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Una publicación de Grupo Arteche

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Muy estimados lectores:

Es con gran gusto que escribo estas líneas para el primer número de La Conjetura, una revista

especializada en temas técnicos y en aspectos relacionados con su entorno.

Es un esfuerzo de todos los que colaboramos en el Grupo Arteche de diseminar el conocimien-

to técnico que estamos seguros repercutirá en un nivel más alto de la ingeniería eléctrica.

Uno de los principales retos consiste en el encontrar tiempo para reflexionar, aprender algo

nuevo y luego compartir el conocimiento.

Queremos que esto sea un foro vivo y plural por lo que sus colaboraciones y comentarios

serán siempre bien recibidos.

Aprovecho para enviarles un cordial saludo y reitero la invitación a participar.

Santiago Barcónsbarcon@arteche.com.mx

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Índice

La Conjetura de Poincaré: la historia

Palíndromo musical

La educación musical en la época de los grandes compositores

La frecuencia fundamental de 256 Hz y sus armónicas: efectos biológicos

Motores de CD — Representación con el EMTP/MODELS

Series de Fourier

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A la Conjetura se le puede asociar una fecha precisa, pero la historia se inicia , con su carga enorme de fascinación, a partir de la aparición de los Elementos de Euclides, allá por el año 300 a.C. en Alejandría. La obra consolidaba las matemáticas desarrolladas por Tales, Pitá-goras, Platón, Arquímedes y Aristóteles. Acu-diendo a una cita, que se ha repetido en 1854, 1904 y en 2004, Euclides reinterpretó las ma-temáticas milenarias generadas por las cultu-ras babilónica y egipcia, pero vistas desde la perspectiva griega. Escribió diez libros de los cuales la mitad se ha perdido. En su momento, Euclides debió haber sido el primero en recibir la medalla Fields y el premio agregado de un millón de dólares.

Los Elementos incluyen trece libros; los seis primeros tratan sobre geometría plana. El primer libro comienza con 23 definiciones, 5 nociones comunes y 5 postulados. La trama se inicia con el 5o postulado: si una línea rec-ta tendida sobre dos líneas rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean meno-res que dos rectos, las dos líneas rectas, si se prolongan indefinidamente, se encuentran en ese lado.

Mi mente rústica lo traduce y lo pone a mi alcance: si tomamos una línea fija vertical, y des-pués tomamos otras dos líneas que se cruzan con la primera de modo que la suma de los ángulos interiores θ1 y θ2 en el lado derecho sea menor que 180o, entonces ambas líneas acabarán cru-zándose en algún punto de ese mismo lado.

Fig 1. Si la suma de los ángulos A y B es menor que 180 o, entonces las líneas terminarán cruzándose en algún punto a la derecha de la línea vertical.

Los árabes se obsesionaron con el quinto postulado e intentaron deducirlo a partir de los otros e inclusive cambiarlo por algún otro, pero el esfuerzo fue en vano. En el camino surgieron técnicas matemáticas nuevas, que no sólo sim-plificaron el cálculo sino que, además, separa-ron el álgebra de la geometría.

Repasemos la lista de épocas y personajes para los que el quinto postulado, la existencia de rectas paralelas, se convirtió en tema de dis-cusión o en una obsesión. En la época de los Ele-mentos: Aristóteles, Proclo, Ptolomeo y los ára-bes con afán de preservación y ampliación del conocimiento. El gap medieval y el advenimien-to del siglo xvii: John Wallis, Gerolamo Sacche-ri, Abraham Kästener, Johan Lambert. Luego el siglo xviii, con las semillas sembradas por Des-cartes, Galileo, Newton e Immanuel Kant; es la

La Conjetura de Poincaré: la historia

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época de la Flauta Mágica: Johann Carl Friedrich Gauss (personaje glacial según Humbolt, el ma-temático más grande de todos los tiempos para otros), Nikolái Ivánovich Lobachevsky y János Bolyai. Aquí lo más asombroso es que Gauss es-taba convencido de la existencia de geometrías en las que el quinto postulado no se cumple: ... la premisa de que la suma de los tres ángulos de un triángulo es menor que 180o conduce a una curiosa geometría muy diferente de la nuestra, la geometría Euclidiana ... sin embargo jamás dio forma ni publicó sus ideas.

Algo más sobre Gauss; Las notas de János Bolyai indican, sin lugar a dudas, que había con-cebido lo que se conoce como geometría hiper-bólica. János escribió a su padre Farkas Bolyai, que estaba en proceso de crear “otro mundo, un mundo nuevo, de la nada...”. Parece que ese otro mundo se completó en 1824. Siguiendo la re-comendación de Farkas, János puso por escrito sus resultados en un apéndice del Tentamen de su padre, publicado en 1831. Farkas le envió un ejemplar a Gauss, quien después de leer el apéndice, le escribió a un amigo muy cercano .... considero a este joven geómetra Bolyai un genio de primer orden... A Bolyai padre le contestó: .... Ahora unas palabras sobre tu hijo. Si comienzo diciendo que no puedo elogiar su trabajo, de en-trada te quedarás atónito, pero no puedo hacer otra cosa. Porque elogiarlo sería autoelogiarme. Todo el contenido del ensayo, la vía seguida por tu hijo, y los resultados que obtiene, coinciden con mis propios descubrimientos, algunos de los cuales se remontan a treinta o treinta y cinco años atrás. Estoy anonadado. En cuanto a mi propio trabajo, del que hasta ahora no he puesto mucho por escrito, mi intención era no publicar-lo en vida....

La publicación póstuma de la correspon-dencia y de los cuadernos científicos de Gauss

dejaron claro que él había sido el primero en descubrir la geometría no-euclidiana. Ten-dríamos entonces al segundo poseedor de la medalla Fields y del millón de dólares que la acompaña.

Y la trama escarba otra marca notable: junio 10 de 1854, sala de conferencias de la Univer-sidad de Gotinga. Programa: la lectura titulada Sobre los fundamentos subyacentes tras la geo-metría a cargo de Bernhard Riemann. Entre la audiencia se encontraba Carl Friedrick Gauss, su mentor.

Riemann recorrió veinticinco siglos de geo-metría, en un alemán llano despojado de casi toda notación matemática. La disertación no se publicaría sino hasta la muerte de Riemann, diez años después y pasaría a formar parte de la co-rriente matemática hasta quince o veinte años más tarde. El hecho marca la génesis de la geo-metría diferencial tal cual se conoce actualmen-te; sin ella no habría relatividad general, tam-poco buena parte de la obra de Poincaré y, por supuesto, no existiría la de Grigory Perelman.

Después de la lectura Gauss, sabiéndose testigo de una proeza intelectual sin preceden-tes, dijo: que la lección de Riemann había supe-rado todas sus expectativas. En el imaginario, la tercera medalla Fields y el aderezo de un mi-

llón de dólares ya tenían su destinatario.

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Fig 2. Triángulo esférico. La suma de los ángulos rectos es igual a 270o.

Jules Henri Poincaré: semblanza de la personalidad

En el prefacio Science and Hypótesis prime-ra traducción de 1905, Poincaré escribe: ...las verdades matemáticas se derivan de muy pocas proposiciones que son evidentes por sí mismas y de una serie de razonamientos certeros; ellas se nos imponen no sólo a nosotros sino también a la naturaleza; el Creador se encadena a sí mis-mo, y así es que sus opciones quedan acotadas a un número pequeño de soluciones. Unos pocos experimentos son suficientes para que podamos determinar cuál fue su decisión. A cada experi-mento le corresponde una serie de deducciones matemáticas y un cúmulo de consecuencias de tal modo que cada una nos revela una esquina del universo....

En otro párrafo se lee: ...El espacio es otro marco que le hemos impuesto al mundo, sino ¿de dónde han sido derivados los principios de la geometría?, ¿se nos han impuesto por la lógica?. Lobatschewsky, al inventar la geometría no-eucli-diana, ha demostrado que éste no es el caso. ¿Han sido nuestros sentidos los que nos han revelado el espacio? No; por cuanto el espacio revelado por nuestros sentidos es absolutamente diferente del espacio de la geometría. ¿La geometría se ha deri-vado de nuestra experiencia? La respuesta es no.La conclusión es que los principios de la geome-tría son sólo convenciones, eso sí, convenciones no arbitrarias que si se transportan a otro mun-do, ese otro deberá denominarse el mundo no-euclidiano....

Jules Henri Poincaré (1854−1912) nació en Nancy, Francia. Dicen sus biógrafos que destacó en todas las materias de la escuela y era brillante en matemáticas. Poseía una memoria excelente

y era capaz de visualizar formas complicadas en tres dimensiones; esta facultad, en cierto modo compensaba una vista muy deficiente. Las ma-temáticas de su momento incluían las ecuacio-nes diferenciales, la geometría no-euclidiana, la teoría de funciones complejas y la topología. De hecho, los capítulos del libro de H. Poincaré Science and Hypótesis, Dover Publications Inc, ed. 1952., tratan sobre: Número y Magnitud, En la Naturaleza del Razonamiento, Magnitud Ma-temática y Experimento, Geometrías no Eucli-dianas, Espacio y Geometría, Fuerza, Mecánica Clásica, Movimiento Relativo y Absoluto, Ener-gía y Termodinámica, Naturaleza, Hipótesis y Física, La Teoría de la Física Moderna, El Cálculo de Probabilidades, Óptica y Electricidad y Elec-tro Dinámica.

En el terreno de los sistemas no-lineales, to-dos los libros que tratan el tema afirman que las ecuaciones diferenciales no-lineales no tienen solución explícita o cerrada, salvo rarísimas ex-cepciones. Entonces, en lugar de, se busca infor-mación cualitativa acerca del comportamiento general de las soluciones. Esta teoría cualitati-va fue fundada por Poincaré (año de 1880) en conexión con su trabajo sobre mecánica celes-te. En la literatura sobre dinámica no-lineal y el caos, el análisis parecería imposible sin el re-curso de las abstracciones: las secciones o los mapas de Poincaré.

La Conjetura de Poincaré

La Conjetura de Poincaré forma parte de la lista de los siete problemas del milenio plan-teados por el Instituto Clay de Matemáticas en Cambridge, Massachussets: la ecuación Navier-Stokes, la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, la conjetura de Hodge, la conjetura de Poincaré, el problema P vs NP y la Hipótesis de Riemann.

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La conjetura (opinión fundada en probabilidades o apariencias) se lee como sigue: “Any loop on a sphere in three dimensions can be contracted to a point”. Y trastocando el orden también se puede leer: “that any closed three-dimensional manifold where any loop can be contracted to a point, is really just a three-dimensional sphere”.

La dificultad de la conjetura de Poincaré se traduce al castellano diciendo: si al globo terrá-queo que tengo sobre mi escritorio le coloco una liga elástica que lo rodee en el ecuador, podré ro-dar la liga poco a poco, hasta que la liga encogida sea sólo un punto (en el polo), entonces mi globo es una esfera; todo esto deberá ocurrir sin que la liga se separe de la superficie y sin que sea nece-sario cortar o separar la liga. Si queremos repetir el experimento con la misma liga, pero ahora tra-tando de rodarla sobre una dona, no será posible encogerla hasta ser un punto a menos de que se corten la liga o la dona.

En el año de 1904 Poincaré, a sabiendas de que la esfera de dos dimensiones está caracte-rizada por la propiedad de conectividad simple, ubicó la misma pregunta pero ahora consideran-do una esfera tri-dimensional: el conjunto de los puntos en el espacio de cuatro dimensiones situa-dos a una distancia unitaria del origen.

Tratando de establecer un punto de referen-cia con respecto a la complejidad teórica de las conjeturas diremos: que la dificultad del primer problema de la lista de problemas del milenio, reside en la pretensión de aplicar las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes para explicar y predecir las olas que levanta una lancha en su recorrido por el lago o las corrientes turbulentas del aire que siguen el vuelo de un avión.

La conjetura de Poincaré (opinión fundada en probabilidades o apariencias) resultó ser ex-

tremadamente difícil y tardó más de un siglo en ser resuelta. Gregory Perelman: la solución

En 2003, Perelman anunció que tenía la solución del problema de la geometrización del estado-unidense Richard Hamilton, que implicaba una solución de la conjetura enunciada en 1904 por el francés Henri Poincaré.

Para probar la conjetura, Perelman debió modifi-car el programa de Richard Hamilton, cuya parte toral es la noción del flujo de Ricci. La idea básica se describe como sigue: se formula un proceso dinámico en el cual una determinada diversidad-tridimensional (three-manifold) se distorsiona geométricamente. El proceso de distorsión se gobierna mediante una ecuación diferencial si-milar a la ecuación del calor. La ecuación del calor describe el comportamiento de cantidades esca-lares, la temperatura por ejemplo; y asegura que las concentraciones con temperatura elevada se diluirán hasta alcanzar una temperatura unifor-me en cada parte del objeto. De manera similar, el flujo de Ricci describe el comportamiento de una cantidad tensorial denominada tensor de curvatura de Ricci. La esperanza de Hamilton era que supeditadas al flujo de Ricci, las concentra-ciones con gran curvatura se dispersaran hasta llegar a una curvatura uniforme en toda la diver-sidad-tridimensional. Si ocurre así, y si uno em-pieza con cualquier diversidad-tridimensional y deja que transcurra el flujo de Ricci, entonces se obtendrá eventualmente una clase de “forma normal”: De acuerdo con William Thurston, esta forma normal tomará una de muy pocas opcio-nes, cada una con una geometría diferente, deno-minada modelo geométrico de Thurston.

La idea de Hamilton llamó poderosamente la atención, pero nadie fue capaz de probar que

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el proceso estaba impedido de desarrollar sin-gularidades. De acuerdo con Perelman, una mo-dificación de flujo de Ricci estándar, denominada flujo de Ricci con cirugía habría de remover sis-temáticamente las regiones singulares durante su desarrollo, todo de manera controlada. Así, de esta manera, Perelman clamó haber resuelto la conjetura de la geometrización.

Richard Hamilton, a quien Perelman con-sidera su maestro, subrayó que el matemático ruso es brillante, pero insistió en que deben re-conocerse las contribuciones de una larga lista de matemáticos, incluso aquellos que a pesar de que fracasaron en su intento, han dado las cla-ves para resolver la conjetura del fundador de la rama de la topología.

Respecto a la posibilidad de que la resolu-ción de la conjetura pueda revelar detalles res-pecto a la forma del universo, Hamilton admitió que el problema explica la conjetura de la geo-metrización de Thurston, que a su vez lleva a conocer todas sus posibles formas.

Anecdotario:

El lado humano de Perelman queda expuesto cuando se dice que es un violinista talentoso y un muy diestro jugador de ping-pong. En otro terreno, declinó el premio ofrecido por la Socie-dad Matemática Europea alegando que el comité de premiación no estaba calificado para evaluar su trabajo, aun con un juicio positivo. Luego la decisión de no acudir a la ceremonia de premia-ción y rechazar el millón de dólares.

Quiénes reclamaron para sí la primicia

En junio de 2006, la revista Asian Journal of Ma-thematics publicó un artículo de Xi-Ping Zhu, de la Universidad de Sun Yat-sen en China, y de Huai-Dong Cao, de la Universidad de Lehigh en Pensilvania, EE. UU. Los autores afirman que el

documento contiene una demostración comple-ta de las conjeturas de Poincaré y de la geome-trización. De acuerdo con el medallista Shing-Tung Yau, este artículo tenía como objetivo dar los últimos toques a la demostración completa de la conjetura de Poincaré.

Lo relevante tiene dos aristas muy puntia-gudas. Yau es editor en jefe de la Revista Asiática de Matemáticas y es el asesor doctoral de Cao. Un artículo aparecido en el New Yorker sugiere que Yau intentaba ser asociado, directa o indi-rectamente, con la demostración de la conjetu-ra y presionó a los editores de la revista para aceptar el artículo de Zhu y Cao de manera in-usualmente rápida. Esta especie de regateo del mérito no fue el único, pero parece ser el que motivó la respuesta de G. Perelman. “no puedo decir que estoy indignado. Otras personas hacen cosas peores. Por supuesto, hay muchos matemá-ticos que son más o menos honestos. Pero de ellos, casi todos son conformistas. Son más o menos ho-nestos pero toleran a quienes no lo son”. También ha dicho: “no es a la gente que rompe los están-dares éticos a quien se considera extraña. Es a la gente como yo a quien se aísla”.

Actualmente Perelman se ha separado de la comunidad matemática. Le ha desilusionado la falta de integridad de la comunidad. No le inte-resa el dinero, el gran premio para él fue resol-ver la conjetura.

CoroLario

En nuestro entorno, el de sistemas eléctricos de potencia, no existe una conjetura. Sin embargo los conceptos que contienen estos párrafos si son aplicables a los SEP´s; cito el segundo mé-todo de Liapunov, el concepto de energía tran-sitoria, el análisis de la estabilidad de diversos filtros y de redes neuronales aplicadas a la esta-bilización, etcétera. Debemos empezar a hablar

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de geometrías, plana, esférica, parabólica y de la geometría diferencial.

La ingeniería de SEP´s es capaz de resolver redes enormes para estimar los flujos de carga, de resolver sistemas de 5000 o más ecuaciones diferenciales simultáneas o calcular transitorios electromagnéticos, incluir criterios de optimiza-ción de los flujos de carga como el de Kamarkar, simular la caldera, la turbina y los controles, el control automático de generación, etcétera. La ingeniería de SEP´s es la apología de los méto-dos numéricos.

No existe una conjetura pero sí una gran crea-tividad. Basta con invocar la teoría de las compo-nentes simétricas, las componentes modales, el método de Newton-Raphson aplicado al colapso de tensiones, a los flujos óptimos y a la determi-nación de las raíces de problemas diversos.La tecnología aplicada a las protecciones, mi-cro-procesamiento, filtros digitales, la genera-ción eólica, foto-voltaica, etcétera. La aplicación de la electrónica de potencia al control de VAR´s. Es un territorio riquísimo en aspectos teóricos y prácticos ... y la certidumbre de que aún hay problemas por dilucidar.

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Palíndromo musical

J.S. Bach tenía 62 años cuando compuso la obra BWV 1079, titulada Musikalisches Opfer. La obra fue dedicada al rey Frederick II de Prusia y está dividida en 20 partes (a veces 17), de ellas el canon cancricans (cangrejo) tiene la siguiente peculiaridad: es un palíndromo. Un palíndromo es una palabra o grupo de palabras que cuan-do se leen, ya sea de derecha a izquierda o de izquierda a derecha, dicen lo mismo. Las reglas gramaticales tales como la puntuación y la asig-nación de letras mayúsculas se ignoran cuando se crean palíndromos.

Un palíndromo musical es lo que escribió Bach. El canon cancricans suena exactamente igual si se ejecuta leyendo la partitura hacia de-lante o hacia atrás. Puntualizando, ocurre que cuando se toca una segunda parte, escrita igual a la primera pero empezando por el final, suena exactamente igual.

En la lista de compositores que han incor-porado palíndromos en sus obras están: W. Amadeus Mozart, Béla Bartok, Guillaume de Ma-chaut, Paul Hindemith, Igor Stravisnsky y Anton Webern.

Crab Canon. Escher

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La educación musical en la época de los

grandes compositores

Hasta finales del siglo xix, los principios del bel canto se enseñaban a los niños en las escuelas como si fueran una forma más de lectura o de escritura. Dicho de otro modo, el bel canto es el resultado de una cultura en la que se enseñaba a cantar apropiadamente, como a leer o a escribir, a una población entera a edad temprana, y no sólo a las voces privilegiadas.

Esto explica el gran número de grandes compositores que nacieron durante un interva-lo corto de 1680−1780: Bach, Hayden, Mozart, Beethoven, Schubert... a todos ellos se les ense-ño a cantar cuando niños.

La música fue para ellos un lenguaje común que aprendieron desde niños. En la actualidad, lamentablemente, la música está excluida de los programas de enseñanza básica. La carencia da pábulo a la música minimalista que poco aporta.

De los elementos básicos de aprendizaje del bel canto el registro juega un papel primordial. Esto se hace evidente tan pronto como inicia el entrenamiento del infante; si asciende la escala cantando, empezará a gritar en cierto punto, a menos que se le entrene para usar la mente y pro-piciar un cambio creativo de índole anatómico.

Los músicos del Renacimiento se dieron cuenta que los niños (niñas) promedio efectúan un desplazamiento o cambio del registro, ubi-cándolo en otro punto de la escala. Esto se suele lograr cantando más suavemente en la nota es-pecífica o cuando ocurre el cambio de sonido de una nueva vocal. De cualquier manera, se habrá dado un cambio en la forma física de producir las notas.

El tema da para más; aquí sólo resta hacer evidente la importancia de la educación musical.

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LaS SEiS ESPECiES DE La VoZ HUMaNa Los desplazamientos del registro principal estan determinados en forma absoluta; los extremos bajo y alto de rango están de acuerdo con los rangos usados el las composiciones vocales del bel canto clásico.

La pintura, de un autor anónimo, data del siglo xvii y da fe del conocimiento pleno de un expe-rimento que es la quinta esencia del bel canto. El joven cantante aparece con la boca totalmente abierta, a pulgadas de la vela, cuya flama nunca parpadea − señalando una asombrosa propiedad de una voz producida de manera apropiada.

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En agosto de 1999, el tenor Carlo Bergonzi y el musicólogo Maestro Arturo Sachetti de radio Vaticano, lanzaron una iniciativa consistente en bajar la frecuencia del diapazón (pitch) desde el valor vigente o estándar de La (A)=440 Hz, para la música clásica de la epoca de la posguerra, hasta La (A)=430−431 Hz, lo que corresponde a Do (C)=256 ciclos por segundo.

Anunciaron también que, con motivo del centenario de Giuseppe Verdi, en 2001, los Can-tantes del Conservatorio Busseto presentarían la ópera Don Carlos y otras grandes óperas de Verdi, con plena orquesta, en el Do (C) original de 256 ciclos por segundo que, en su momento, el mismo Verdi demandó.

El hecho es que durante el período de 450 años, desde 1430 hasta 1880, todos los grandes maestros –desde el Renacimiento tales como Josquin hasta Bach, Mozart, Beethoven y Verdi− compusieron basados en el Do medio (middle C) de 256 ciclos por segundo, lo que da La (A), entre 430 − 432 Hz. La justificación fue la siguiente: Do (C)=256 Hz proviene o corresponde al registro de la voz del ser humano cuando canta.

Se aduce que con el diapazón vibrando a 440 ciclos por segundo, los pasajes que alguna vez fueron escritos expresamente para acomo-dar el despalazamiento biológico o natural del registro, empujado hacia arriba, lo único que se ha logrado con la subida de Do (C)=263 La (C) =440 Hz, es forzar la voz de la manera más

La frecuencia fundamental de 256 Hz y sus armónicas:

efectos biológicos

dañina posible. Lo más grave es que las compa-ñías disqueras y los directores han aumentado, de manera arbitraria, más aun la frecuencia es-tándar para afinar los instrumentos (pitch) has-ta La (A)=445 Hz. En 1998 en la Scala de Milán se llegó hasta La (A)=448 Hz. De hecho el fabri-cante de pianos Steinway & Co. anunció que au-mentaría el pitch estándar de sus pianos desde La (A)=440 hasta 442 Hz.

En abril de 1998, en la Casa Verdi de Milan, se llevó acabo la conferencia titulada “Música y Estética Clásica”. La soprano Liliana Gorini y un grupo de investigadores, presentaron una nue-va evidencia histórica: en 1889 Giuseppe Verdi demandó un Do (C) =256 Hz como el pitch ne-cesario para la ejecución de la música clásica. La correspondencia de Verdi y otros documentos, demandaban al gobierno italiano pasar un de-creto para estandarizar el límite superior de La (A) en 432 Hz.

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Motores de CD — Representación con el EMTP/MODELS

Teniendo a la vista la sexta edición (1959) del libro Principles of Direct-Current Machines de Alexander S. Langsdorf y el Rule Book del EMTP: Electromagnetic Transients Program, lo que cualquiera haría sería intentar representar el aparato, un motor de CD, para analizar el pro-ceso de arranque, aplicando el poder de resolu-ción del programa, agregando a la tarea un con-vertidor con su transformador asociado, para terminar con un análisis de Fourier que permita tener una idea con respecto a la generación de armónicas. El Langsdorf muestra en una de sus páginas la gráfica compuesta siguiente:

La gráfica plasma ciertas características

propias de una máquina de CD; por ejemplo: la tasa a la que un motor aumenta su velocidad, es decir su aceleración angular α, se relaciona con el par o torque de aceleración Ta a través de la fórmula:

Ta = Jα

Donde J es el momento polar o inercia de la ar-madura y de la carga conectada. El para de ace-leración por si mismo es igual a:

Ta =Tg-To-Tℓ

donde: Tg = kφ ZIa = torque desarrollado por la armaduraTo = torque consumido en fricción y pérdidas en el núcleoTl = torque resistivo resultado de la carga que mueve el motor.

Considerando que los tres pares son más o menos variables que dependen de la velocidad, entonces es evidente que tanto el para aceleran-te Ta como la aceleración angular α, son canti-dades que varían desde standstill hasta los va-lores normales de operación.

En algunas aplicaciones el tiempo requeri-do para arrancar, parar e ir en reversa durante un lapso de operación, es muy importante. Tal importancia se hace evidente en las ecuaciones siguientes:

de ahí se obtiene:

Esta última sirve para determinar el tiempo re-querido para acelerar el motor desde standstill hasta alcanzar la velocidad n; sin embargo para lograrlo fue necesario establecer Ta como una

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MODELS -- description of the modelMODEL shunt -- motor DC(excitacion shunt)MODELDATA vs -- voltaje de alimentacion ra -- resistencia de armadura la -- inductancia de armadura rf -- resistencia del campo lf -- inductancia propia del devanado de campo laf -- inductancia mutual campo-armadura j -- constante de inercia del motor d -- factor: viscous torque bl -- factor: load viscous torque rac[1..4]-- valores de la resistencia de arranque irf -- corriente de referencia VAR rs -- resistencia dinámica de arranque va -- voltaje de alimentacion – de fase a tierra ia -- corriente de armadura vf -- voltaje del devanado de campo ix -- corriente de campo emf -- fuerza electromotriz drv -- caida de tension interna tqg -- par electromagnetico tac -- par de aceleracion omegm -- velocidad del rotor n -- paso de la resistencai de arranque flg1 flg2 -- variables auxiliares INIT n:=1 flg2:=0 rs:=rac[1] omegm:=0 ia:=0 ix:=0 ENDINIT HISTORY omegm ia ix EXEC -- calculation of tha starting resistance IF (flg2=0) THEN IF (ia<irf) AND (n=1) THEN flg1:=0 ELSE flg1:=1 ENDIF ENDIF IF (flg1>0) THEN IF (ia>irf) AND (n=1) THEN flg2:=1 ENDIF ENDIF IF (flg2>0) THEN

función de la velocidad n. La manera más simple de hacerlo es usando un método gráfico basado en la construcción de curvas par-velocidad. La gráfica es interesante por sí misma, pero, adi-cionalmente muestra el efecto de los valores particulares de la resistencia intercalada por pasos durante el período de arranque. La dis-minución de la resistencia en pasos sucesivos permite observar como la corriente fluctúa en-tre un valor máximo I1, y un valor mínimo I2. El otro aspecto interesante es observar como el par desarrollado Tg y la velocidad, en tanto el motor se acelera, toma la forma de una sierra dentada. En fin, la gráfica contiene información interesante y variada

Para lograr un buena reproducción del mo-tor de CD trasladamos la lectura a la referencia siguiente: “Electric Machines Dynamics”. S.A. Nasar y I. Boldea. Ed 1993.

El motor, todos sabemos, puede ser excitado de maneras diferentes dependiendo de la apli-cación: con excitación separada, con excitación shunt, con excitación serie o en compound que es una combinación de las otras dos. Para el caso, hemos supuesto excitación en paralelo y resistencia para asistir durante el arranque.

El circuito siguiente y sus ecuaciones co-rresponden a un motor excitado en derivación (shunt) o en compound.

Ahí, Tg es el par electromagnético, Tℓ el par re-presentativo de la carga.

El siguiente paso es trasladar y resolver el juego de ecuaciones que definen el comporta-miento del motor (tres de ellas son diferenciales y alguien las llamaría el espacio-estado). Estas, para todo fin práctico, se leen y asocian en forma directa e inmediata en el archivo de datos de en-trada al módulo MODELS del EMTP. Así:

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Figura 2.

Muestra la interrelación entre la velocidad y los pasos o secuencia de conmutación de la resistencia (3 pasos efectivos; último =0).

IF (ia<=irf) AND (n<4) THEN n:=n+1 rs:=rac[n] ENDIF ENDIF -- -- calculation of electrical and mechanical variables va:=vs-rs*ia vf:=vs -- motor input variables LAPLACE(ix/vf):=1.0| / (rf| + lf|s) -- field current emf:=laf*ix*omegm drv:=va - emf -- internal voltage drop LAPLACE(ia/drv):=1.0| / (ra| + la|s) -- armature current tqg:=laf*ix*ia tac:=tqg - bl*omegm -- accele-rating torque LAPLACE(omegm/tac):=1.0| / (d| + j|s) -- rotor speed ENDEXEC ENDMODEL

resultados obtenidos con el EMTP:

Figura 1. Muestra la evolución del par durante el proceso de arranque.

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Figura 3. Muestra - trazo verde: la corriente de armadura. - trazo azul: la velocidad. - trazo rojo: la corriente de campo.

Figura 4. Muestra - trazo rojo: la corriente en el lado de alterna del convertidor; lado de baja tensión del XFRM. - trazo verde: la corriente en el lado de alto voltaje del XFRM.

Espectro de frecuencias:

Enseguida se procede a compara el contenido armónico de las corrientes en ambos lados del transformador (XFRM). Primero, se lee la tabulación que corresponde a la señal roja - la corriente del lado de bajo voltaje, medida a la entrada del convertidor; la señal aparece muy distorsionada Enseguida, el análisis del trazo azul; las señal se muestra casi limpia; sin embargo, la componente de directa, y la segunda armónica llegan a un nivel de 5% de la fundamental.

file=spool.019 T3XA VSAC --Begin the Fourier series computation using 59 equidistant points. The firsttwo points, followed by the last two, are : -3.7800207734107970E-02 -6.7760668694972990E-02 -7.8229047358036040E-02 -1.0276490449905400E-01

Coefficients of the resultant Fourier series follow. “Complex amplitude” is the

NT W18. p I4 : c : T2XA - T3HANT W19. p I4 : c : T 3XA - VSA

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square root of the sum of the squares of the cosine and the sine coefficients.“Fraction of fundamental” applies to this amplitude.

Harm Cosine Sine Complex Fraction of ## coefficient coefficient amplitude fundamental 0 -3.78597277548E-03 0.00000000000E+00 3.78597277548E-03 0.022401150 1 -9.55954103326E-02 -1.39374349984E-01 1.69007964044E-01 1.000000000 2 7.54715550803E-03 5.65607951555E-03 9.43137273935E-03 0.055804310 3 5.41036194371E-03 1.24310589818E-02 1.35574054956E-02 0.080217554 4 8.44811186028E-03 -2.95115342828E-03 8.94873737244E-03 0.052948614 5 3.12431318177E-02 -1.27490725641E-02 3.37442163492E-02 0.199660510 6 -1.97758099755E-02 1.38747885963E-02 2.41576575599E-02 0.142937983 7 -2.54951617971E-02 1.70128474925E-02 3.06502896375E-02 0.181354114 8 1.07002410284E-02 2.63519964903E-03 1.10199562275E-02 0.065203769 9 8.16411125709E-03 -9.24058905515E-03 1.23304987208E-02 0.072958093 10 2.32471365600E-04 7.04226142468E-03 7.04609742406E-03 0.041690920 11 -2.87553277607E-03 4.80113059558E-04 2.91533828161E-03 0.017249709 12 1.78801548818E-02 -2.09849558055E-03 1.80028781671E-02 0.106520887 13 1.20806784193E-02 -4.30753361660E-03 1.28256632159E-02 0.075887922

Derived from table: 1) RMS value = 1.27332491E-01 2) THD value = 3.66405800E+01 %

file: spool.018 T2XA T3HAC --Begin the Fourier series computation using 59 equidistant points. The firsttwo points, followed by the last two, are :

2.0041188597679140E-01 1.9665721058845520E-01 1.9064246118068700E-01 1.7666681110858920E-01

Coefficients of the resultant Fourier series follow. “Complex amplitude” is the square root of the sum of the squares of thesquare root of the sum of the squares of the cosine and the sine coefficients.“Fraction of fundamental” applies to this amplitude.

Harm Cosine Sine Complex Fraction of ## coefficient coefficient amplitude fundamental 0 1.12832816539E-02 0.00000000000E+00 1.12832816539E-02 0.053731334 1 1.91547672897E-01 -8.60648370528E-02 2.09994445567E-01 1.000000000 2 -7.80858241561E-03 7.29904689428E-03 1.06887812638E-02 0.050900305 3 -2.62438728512E-03 4.45285779759E-03 5.16868950391E-03 0.024613458 4 -1.08360768558E-03 2.30647626330E-03 2.54834031664E-03 0.012135275 5 4.65077896438E-04 6.87746429055E-04 8.30236472599E-04 0.003953612 6 -1.15803017758E-03 2.49806050757E-03 2.75342335859E-03 0.013111887 7 -9.14269873929E-04 1.85762229811E-03 2.07042266333E-03 0.009859416 8 6.72762080956E-04 1.96472503188E-03 2.07671694471E-03 0.009889390 9 8.66119083391E-04 9.66731062124E-04 1.29797196160E-03 0.006180982 10 3.26824679506E-04 1.66813265202E-03 1.69984732134E-03 0.008094725 11 9.49935086867E-05 1.08855423489E-03 1.09269121392E-03 0.005203429 12 1.16493777142E-03 6.09670971558E-04 1.31483029508E-03 0.006261262 13 6.28882634537E-04 3.73473538078E-04 7.31420434270E-04 0.003483047

Derived from table: 1) RMS value = 1.49205652E-01 2) THD value = 6.25190274E+00 %

19

GráfiCaS CoMPLEMENTariaS:

Figura 5. Contiene la corriente de armadura y la evolución del switcheo de la resistencia: RS1 — RSn

Figura 6. Variaciones de la corriente de armadura (rojo) y de torque Tg (azul)

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Corolario:

Más adelante se complementará el tema de análisis de Fou-rier, que habiendo iniciado con series de Fourier y sus ejer-cicios complementarios (el motor de CD), traerá al texto lo relativo a Transformada Discreta de Fourier y Transformada Rápida de Fourier. Su utilidad es más que evidente.

Figura 7. Muestra la corriente del lado del alterna del convertidor durante el proceso de arranque.

21

Series de fourier

El primer número de La Conjetura no puede prescindir de un tema que es el pan nuestro de cada día: las series de Fourier.

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), un físico matemático excelente, fue amigo de Napoleón y lo acompañó a Egipto en 1798. Se hizo amigo de Jean François Champollion que descifró la piedra Rosetta. En ese período traba-jó en la teoría de conducción del calor, en la que hizo uso extensivo de la series que hoy llevan su nombre.

En un sistema de potencia ideal, la energía se suministra con una frecuencia, única y cons-tante, y con un nivel de voltaje especificado, cuya magnitud se asume constante también. Sin embargo, en la práctica, ninguna de estas condi-ciones se satisfacen. El problema de distorsión de las formas de onda no es un problema nuevo, de hecho las medidas para mitigarla casi coinci-den con el advenimiento de la corriente alterna. El tema emerge formalmente entre 1920-1930 y el libro titulado: The Mercury Arc Current Con-vertor. Rissik, H. Pitman London, trata el pro-blema de distorsión causado por los converti-dores estáticos.

Desde el punto de vista de calidad del vol-taje y la energía estos conceptos básicos son imprescindibles. Por esa razón se incluyen en el contenido. El complemento consiste en el aná-lisis de una máquina de corriente directa que movería un malacate acompañado de una ge-neración substancial de corrientes armónicas.

Para un grupo como Arteche a través de su empresa Inelap, el conocimiento del contenido armónico de las corrientes y de los voltajes, la sitúa en una muy buena posición para que su

toma de decisiones sea lo más certera posible. La presencia cada vez más frecuente de dispo-sitivos que basan su funcionamiento en la apli-cación de la electrónica de potencia, la cercanía de hornos de arco, la cargas no-lineales, el tema genérico designado como PQ, etcétera, hacen cotidiana la necesidad de conocer el espectro.

Tratando de evitar ser demasiado reiterati-vos en los aspectos teóricos, me propongo ir en forma directa al grano, considerando que esto es posible. Así, entrando en materia, para alcan-zar el objetivo, el cálculo digital del espectro, se procede a consolidar los ingredientes.

iNGrEDiENTES

funciones trigonométricas

a).- De especial interés son las funciones periódicas seno y coseno; por ejemplo:

cuyo período es T=2�/ω, o si se prefiere, la frecuencia es f = ω/2�.

Entre las tres existe la siguiente vinculación:

La igualdad proviene de la identidad siguiente:

Se puede concluir, a simple vista que:

también:

Señales discretas

b).- Otra vinculación importante se da en la siguiente figu-ra; ahí se muestran la señal f(t)=cos ωt y la señal discreta:

Esta última obtenida mediante muestras de f(t) tomadas cada T= n/5ω segundos.

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Esta correspondencia será de gran importancia para cumplir nuestro propósito, el cálculo digital del espectro.

Señales complejasLas señales representativas de cantidades físi-cas son, generalmente, reales. Sin embargo, en muchos casos conviene considerar señales com-plejas y usar la parte imaginaria para represen-tar cantidades físicas. Una muestra importante de una señal compleja es la exponencial e jωt. En términos de su serie (power series) la función se expresa de la siguiente manera:

Es interesante notar que al separar las

partes real e imaginaria de la serie, éstas cor-responden al las series cosωt y senωt respec-tivamente. Entonces:

Esta igualdad sirve para derivar todas las propiedades de ejωt en términos de las propiedades de las funciones trigonomécas. Por ejemplo:

es decir: Resaltando el hecho de que ejωt es un

número complejo cuya amplitud es unitaria y el ángulo de fase es igual a ωt, tal como lo sugiere el circulo unitario:

Resulta obvio que:

y que:

Estas expresiones se conocen como fórmu-las de Euler.

Series de fourierLa siguiente figura permite definir cualita-

tivamente el propósito de las series de Fourier; una señal consistente de un bloque, es sometida al análisis de Fourier. Como resultado se obtiene un número infinito de señales senoidales, cada una con una frecuencia que es múltiplo entero de la frecuencia fundamental; para completar

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el espectro aparece o se agrega la componente de directa. Si se procede en sentido contrario, cuando se lleva a cabo la suma, desde 1 hasta ∞ de las armónicas y de la componente de CD, se habrá reconstruido, con plena precisión, la se-ñal de entrada. Si la sumatoria va solo desde 1 hasta N (máximo práctico igual a 50) el bloque se reproducirá con deformaciones que depen-den del valor de N seleccionado. Que tanta o que tan poca es la distorsión, depende del fenómeno de Gibbs.

Por ejemplo: las dos señales siguientes cor-responden a la serie de Fourier escrita al calce:

Ahora será fácil aceptar que la función más

general que puede ser interpretada mediante su serie de Fourier será una suma infinita de funciones trigonométricas tal cual se indica enseguida:

Esta expresión se denomina serie de Fourier y a sus términos varios, armónicas. Así la k-teava armónica sería: ak cos kω0t + bk sen kω0t

Y la primera armónica o fundamental sería: a1 cos ω0t + b1 sen ω0t

rumbo a la solución digital. A modo de calibración mental, se procede a in-dicar el criterio a seguir para el cálculo a mano la serie de Fourier del tren de pulsos de la figura siguiente:

La justificación teórica que fundamente el cál-culo de los coeficientes de la serie de Fourier, se da enseguida:Dada la fórmula original (1):

Para calcular a0 se procede a la integración de ambos términos, desde t =0 hasta t =T (T es el período); así:

La integral o área bajo la curva, llevada de 0 a T, un ciclo, de una función periódica seno o coseno es cero; por lo tanto:

Para obtener an (después bn) multiplicamos ambos tér-minos por cos mω0t e integramos:

Respecto al segundo término de la derecha; todo vale cero, excepto el término que tiene la forma:

; = 0 si m ≠ n

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De ser así:

Aplicada al tren de pulsos, queda como sigue:

Con la ecuación (2t) y con:

para la componente de directa, se podrán calcular am, a0 y de manera similar, bm .

La forma exponencial

Apliquemos la fórmula de Euler de la manera siguiente:

Si hacemos

Entonces podrá escribirse:

Esto último resultado habrá que interpre-tarlo pues incide en el diseño del software y, la mejor manera es mediante un ejemplo; así:

La función: 7cosω0t + 3senω0t + 5cos2ω0t - 4sen2ω0t puede escribirse como:

Sólo resta determinar la correspondencia entre los coeficientes an, bn y cn. Esto se da de la siguiente manera:

an = cn + c_n ; bn = j(cn - c_n ) para n > 0

Es interesante notar que an y bn están defini-

das para n ≥ 0 y n respectivamente. Por su parte, los coeficientes cn están definidos para toda n desde -∞ hasta ∞.Si es una función real, entonces an y bn serán reales. Por otra parte, los coeficientes cn son generalmente, complejos y c_n es el comple-jo conjugado de cn. Además, si cn es un número real, entonces bn =0 y la serie sólo contiene cosenos. Si cn es un número imaginario, enton-ces an =0 y la serie sólo contiene senos.

Evaluación final: (resumen).

Nuestro deseo manifiesto es: expresar los coefi-cientes cn de la expansión o serie de Fourier

de la función periódica en términos de ella misma. Para hacerlo, se usa el simple hecho de que la integral de las funciones cosnω0t y senω0t , en el intervalo de longitud T=2�/ω, es igual a cero. Esto puede expresarse de la siguiente manera:

para cualquier t0 y para cualquier entero n≠0.Entonces, si introducimos m en el exponente del número e, se obtendrá:

Para determinar cn, multiplicaremos ambos lados de (2) por :

(2) repetida por comodidad e integramos de t0 a t0 + T, entonces:

Esto porque todos los términos del lado derecho de (2) son cero, excepto el m-eavo término cuya integral es Tcm. En (3), t0 es una constante arbi-traria aunque resulta interesante en dos casos, a saber: cuando t0 =0 y cuando t0 = T/2. Cambi-ando el índice m por n obtenemos:

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ó:

Es importante notar que ya no parece ; ha sido sub-stituida por f(t), esto porque las integrales involucran, sólo, un segmento de la función periódica. Así, (5) puede expresarse como:

Igualando partes real e imaginaria se obtiene, por fin, para n > 0

El término a0 (la componente de CD) es el promedio de en el período:

El software

El diseño de una rutina requiere de una cali-bración de sus resultados. En el caso presente el caso de prueba consiste en la toma de 334 muestras de una onda de corriente de un reactor controlado por tiristores. La onda se muestra en la figura que sigue y, enseguida el espectro que calcula el EMTP. En la gráfica es perceptible la presencia de una componente de directa.

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Begin the Fourier series computation using 334 equidistant points.The first two points, followed by the last two, are :

1.6308031268119360E-39 -2.3858087264055040E-40-1.7120223858042020E-40 2.5046808751341780E-41

Coefficients of the resultant Fourier series follow. “Complex amplitude” is the square rootof the sum of the squares of the cosine and the sine coefficients.”Fraction of fundamental” applies to this amplitude.

Harmonic Cosine Sine Complex Fraction ofnumber coefficient coefficient amplitude fundamental 0 -4.43404832489E-01 0.00000000000E+00 4.43404832489E-01 0.013490227 1 1.30050007815E+01 3.01863315626E+01 3.28685968446E+01 1.000000000 2 -7.93423462086E-02 -6.06272019235E-01 6.11441713665E-01 0.018602611 3 -1.25579168393E+01 -3.94696570400E+00 1.31635790578E+01 0.400491056 4 1.65808425687E-01 -2.39804050260E-01 2.91544879136E-01 0.008870013 5 -1.89355978437E+00 -2.05884488500E-01 1.90471968530E+00 0.057949528 6 1.86995642419E-01 -8.45182798164E-02 2.05208942073E-01 0.006243313 7 5.38701168256E-01 -1.54081098642E+00 1.63226757750E+00 0.049660397 8 1.54014595772E-01 2.38299205932E-03 1.54033030101E-01 0.004686328 9 -1.08084385690E-01 -1.22045490239E+00 1.22523157126E+00 0.03727666210 1.06137503515E-01 5.65883301340E-02 1.20280541900E-01 0.00365943611 1.22270206525E-01 -1.28408561546E-01 1.77309791275E-01 0.00539450412 5.96419720975E-02 8.30631080315E-02 1.02257736879E-01 0.00311110713 5.82702554238E-01 -6.93612775818E-02 5.86816200818E-01 0.017853400

Derived from table: 1) RMS value = 2.51270427E+01 2) THD value = 4.10443088E+01 %

Summary statistics RMS and THD of the preceding line now will be explained briefly this one time only (the present explanation will not be repeated).RMS and THD are acronyms for the Root Mean Square (or effective) value and the Total Harmonic Distortion, respectively.

Each of these two statistics is produced by taking the square root of the sum of the squares of printed entries only. For THD, the column labeled “Fraction of fundamental” is used, but the first two rows are ignored, and the result is multiplied by 100 to convert per unit to percent. For RMS, every entry of the “Complex amplitude” column is used, and the result is divided by the square root of 2.

Fourier series ended. Return to plotting. | FOURIER OFFBlank card terminating all plot cards. |BLANK card ending plot cards

El Código (fortran):

SUBROUTINE FSER(NS,N,NCHOCE)C --C T - periodC NS - the highest harmonic requiredC N - number of divisions of T usedCC NCHOSE =0 compute and print coefficients CC =1 compute and print coefficients C, A and BC --C -- declarations: DOUBLE PRECISION cero, T1 DOUBLE PRECISION C1, C2, C3, C4, C6 DOUBLE PRECISION FTX, FLTH, cAMPL, H60, Hmax COMPLEX*16 H60c, C5, DC1, DC2CC cero=0.0000 ! discrete Fourier series - program itself: IO =0 T1 =T/DFLOAT(N) I =1 NC =-NS DC1 =DCMPLX(cero,6.2831853072/DFLOAT(N))

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C -- 1 C(I)=DCMPLX(cero,cero) DO 2 M=1,N FTX =TAB(M,2) NH =((I-1) -NS)*(M-1) FLTH =-DFLOAT(NH) DC2 =DC1*CMPLX(FLTH,cero) C(I) =C(I) +FTX*CDEXP(DC2) 2 CONTINUEC -- IF(I.EQ.1) WRITE( *,10) IF(I.EQ.1) WRITE(NF2,10) C1 =DREAL(C(I))/DFLOAT(N) C2 =DIMAG(C(I))/DFLOAT(N) C(I) =DCMPLX(C1,C2) cAMPL=CDABS(C(I)) WRITE( *,3) NC,C(I),cAMPL WRITE(NF2,3) NC,C(I),cAMPL I =I +1 NC =NC +1 IF(NC -NS) 1,1,4C -- 4 IF(NCHOCE -1) 9,5,5 5 A(NS +1) =DREAL(C(NS +1))C -- Hmax=-9999. DO NC=1,NS ! calculate norm I = NS +NC +1 C3 = DREAL(2.0*C(I)) C4 =-DIMAG(2.0*C(I)) H60c = DCMPLX(C3,C4) H60 = CDABS(H60c) Hmax = AMAX1(HMAX,H60) END DOC -- DO 7 NC=1,NS I =NS +NC +1 A(I) = DREAL(2.0*C(I)) B(I) =-DIMAG(2.0*C(I)) IF(NC.EQ.1) THEN WRITE( *,12) WRITE(NF2,12) WRITE( *,6) IO,A(NS +1),A(NS +1)/Hmax ! dc component.. WRITE(NF2,6) IO,A(NS +1),A(NS +1)/Hmax END IF C5 = DCMPLX(A(I),B(I)) C6 = CDABS(C5)/Hmax WRITE( *,8) NC,A(I),NC,B(I),C6 WRITE(NF2,8) NC,A(I),NC,B(I),C6 7 CONTINUECC -- formats: 3 FORMAT(3H C(,I4,2H)=,2D16.8, 2X,D16.8) 6 FORMAT(3H-A(,I4,2H)=, D16.8,28X,D16.8) 8 FORMAT(3H A(,I4,2H)=, D16.8,2X,2HB(,I4,2H)=,D16.8,2X,D16.8 ) 10 FORMAT(/4X,’ ---’,9X,’c(n) =0.5*(c(n) +jb(n)):’,8X,’amplitude:’) 12 FORMAT(/1X,’ -- a(n)=cosine coeff:’ + 4X,’ -- b(n)=sine coeff:’,8X’amplitude:’ )C -- 9 RETURN END

-- datos de entrada: -- primeros DOS puntos/ £ltimos DOS puntos: 1 .16308003E-38 2 -.23860049E-39 333 -.17119944E-39 334 .25045407E-40

--- c(n) =0.5*(c(n) +jb(n)): amplitude: C( -13)= .29135129D+00 -.34680385D-01 .29340809D+00

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C( -12)= .29820815D-01 .41531527D-01 .51128747D-01 C( -11)= .61135041D-01 -.64204342D-01 .88654897D-01 C( -10)= .53068630D-01 .28294017D-01 .60140094D-01 C( -9)= -.54041790D-01 -.61022753D+00 .61261583D+00 C( -8)= .77007235D-01 .11915787D-02 .77016453D-01 C( -7)= .26935086D+00 -.77040520D+00 .81613360D+00 C( -6)= .93497505D-01 -.42258909D-01 .10260409D+00 C( -5)= -.94678003D+00 -.10294252D+00 .95236001D+00 C( -4)= .82903904D-01 -.11990188D+00 .14577214D+00 C( -3)= -.62789576D+01 -.19734841D+01 .65817891D+01 C( -2)= -.39670385D-01 -.30313529D+00 .30572004D+00 C( -1)= .65024992D+01 .15093166D+02 .16434298D+02 C( 0)= -.44340479D+00 .00000000D+00 .44340479D+00 C( 1)= .65024992D+01 -.15093166D+02 .16434298D+02 C( 2)= -.39670385D-01 .30313529D+00 .30572004D+00 C( 3)= -.62789576D+01 .19734841D+01 .65817891D+01 C( 4)= .82903904D-01 .11990188D+00 .14577214D+00 C( 5)= -.94678003D+00 .10294252D+00 .95236001D+00 C( 6)= .93497505D-01 .42258909D-01 .10260409D+00 C( 7)= .26935086D+00 .77040520D+00 .81613360D+00 C( 8)= .77007235D-01 -.11915787D-02 .77016453D-01 C( 9)= -.54041790D-01 .61022753D+00 .61261583D+00 C( 10)= .53068630D-01 -.28294017D-01 .60140094D-01 C( 11)= .61135041D-01 .64204342D-01 .88654897D-01 C( 12)= .29820815D-01 -.41531527D-01 .51128747D-01 C( 13)= .29135129D+00 .34680385D-01 .29340809D+00

-- a(n)=cosine coeff: -- b(n)=sine coeff: amplitude:-A( 0)= -.44340479D+00 -.13490226D-01 A( 1)= .13004998D+02 B( 1)= .30186332D+02 .10000000D+01 A( 2)= -.79340770D-01 B( 2)= -.60627057D+00 .18602561D-01 A( 3)= -.12557915D+02 B( 3)= -.39469682D+01 .40049103D+00 A( 4)= .16580781D+00 B( 4)= -.23980376D+00 .88699951D-02 A( 5)= -.18935601D+01 B( 5)= -.20588504D+00 .57949539D-01 A( 6)= .18699501D+00 B( 6)= -.84517818D-01 .62432899D-02 A( 7)= .53870171D+00 B( 7)= -.15408104D+01 .49660386D-01 A( 8)= .15401447D+00 B( 8)= .23831574D-02 .46863244D-02 A( 9)= -.10808358D+00 B( 9)= -.12204551D+01 .37276665D-01 A( 10)= .10613726D+00 B( 10)= .56588033D-01 .36594257D-02 A( 11)= .12227008D+00 B( 11)= -.12840868D+00 .53945046D-02 A( 12)= .59641631D-01 B( 12)= .83063054D-01 .31111001D-02 A( 13)= .58270259D+00 B( 13)= -.69360770D-01 .17853399D-01

Homologación: resultados del EMTP hasta 4a. armónica:

Harm Cosine Sine Complex Fraction of## coefficient coefficient amplitude fundamental 0 -4.43404832489E-01 0.00000000000E+00 4.43404832489E-01 0.013490227 1 1.30050007815E+01 3.01863315626E+01 3.28685968446E+01 1.000000000 2 -7.93423462086E-02 -6.06272019235E-01 6.11441713665E-01 0.018602611 3 -1.25579168393E+01 -3.94696570400E+00 1.31635790578E+01 0.400491056 4 1.65808425687E-01 -2.39804050260E-01 2.91544879136E-01 0.008870013

resultados obtenidos después procesar la rutina fSEr:

-- a(n)=cosine coeff: -- b(n)=sine coeff: amplitude:-A( 0)= -.44340479D+00 -.13490226D-01 A( 1)= .13004998D+02 B( 1)= .30186332D+02 .10000000D+01 A( 2)= -.79340770D-01 B( 2)= -.60627057D+00 .18602561D-01 A( 3)= -.12557915D+02 B( 3)= -.39469682D+01 .40049103D+00 A( 4)= .16580781D+00 B( 4)= -.23980376D+00 .88699951D-02

El resultado no puede ser más alentador.

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El espectro (presentado en forma primitiva)

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intento de reconstrucción:

Lo más interesante de esta gráfica, a pesar de su calidad, es que muestra claramente el fenómeno de Gibbs.

Finalmente, al observar la fórmula para calcular la serie discreta de Fourier, se vislumbra el acceso fácil e inmediato a la Transformada Discreta, a la Integral y, por último, a la Trasformada Rápida de Fourier (FFT).

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Editor Responsable: Santiago Barcón

Supervisor Técnico: Rafael Guerrero Cepeda

Colaboradores:

Santiago Rementería

Manuel Rendón

Omar Ramírez

Rolando Gómez

Natalia Sangroniz

Miguel García

César Chávez

Mikel Aranguren

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