UNIVERSIDAD REGIONAL AUTÓNOMA DE LOS ANDES

EXTENSIÓN SANTO DOMINGO

CARRERA DE SISTEMAS

SIMULACIÒN

TEMA: CONSULTA

AUTOR: ADRIAN PAREDES

TUTOR: ING. SANDRO TOCTAGUANO

NIVEL: QUINTO

PERIODO: OCTUBRE – FEBRERO

STO. DGO – ECUADOR

2015-216

1. INTRODUCCION

Esta consulta está enfocada a presentar de manera precisa una interpretación de

diferentes temas referentes a la asignatura de simulacion, teniendo en cuenta su

definición, componentes, aspectos y procesos relevantes para que se dé, desde

una perspectiva amplia y tener un entendimiento de la materia en sí. 

En la actualidad, los métodos numéricos son una herramienta indispensable en

prácticamente todos los campos de las ciencias exactas e ingenierías. Aquellos

métodos utilizados para encontrar las raíces de un polinomio de grado n tienen

además aplicaciones que van desde encontrar los puntos de intersección de

funciones complejas, hasta la resolución de ecuaciones diferenciales.

2. OBJETIVOS

2.1.GENERAL

Investigar los métodos de desarrollo para el aprendizaje de la matera de

simulación.

2.2.ESPECIFICOS

Identificar los diferentes tipos de métodos que se ha investigado.

Realizar ejemplos de los diferentes tipos de métodos investigados.

3. FUNDAMENTACION CIENTIFICA

MÉTODOS DE APROXIMACIONES SUCESIVAS

Descripción

El método de las aproximaciones sucesivas es uno de los procedimientos más

importantes y más sencillos de codificar. Supongamos la ecuación

donde f(x) es una función continua que se desea determinar sus raíces reales. Se

sustituye f(x) por la ecuación equivalente

Se estima el valor aproximado de la raíz x0, y se sustituye en el segundo miembro

de la ecuación para obtener x1.

Poniendo x1 como argumento de j(x), obtendremos un nuevo número x2, y así

sucesivamente. Este proceso se puede sintetizar en la fórmula.

 (1)

Si esta secuencia es convergente es decir, tiende hacia un límite, la solución x es

El método de iteración se explica geométricamente mediante el gráfico de la figura.

Se dibuja la curva y=j(x), y la recta y=x, bisectriz del primer cuadrante. La

abscisa x del punto de intersección es la raíz buscada.

Un ejemplo típico es la de encontrar la raíz de la ecuación

Para encontrar la raíz, se comienza en el punto cualquiera de abscisa x0 dentro del

intervalo (0, p/2), y se traza la línea vertical hasta que interseca la curva, luego,

desde este punto, se traza una línea horizontal hasta que se alcanza la recta

bisectriz, este punto tendrá por abscisa x1. Se traza de nuevo, una línea vertical

hasta encontrar a la curva, y otra línea horizontal hasta encontrar la línea recta, el

punto de intersección tiene de abscisa x2 , y así sucesivamente. Como podemos

apreciar en la figura, la sucesión x1, x2, x3... tiende hacia la raíz x de la ecuación

buscada.

Tal como nos sugiere la representación gráfica de la función en la figura, la raíz

buscada está en el intervalo 0 a p/2. Tomamos una aproximación inicial a la raíz x0,

en dicho intervalo y aplicamos la fórmula (1), su codificación no presenta grandes

dificultades.

double x=0.5;

while(true){

x=Math.cos(x);

}

 

La condición de finalización

Primero, introducimos el valor inicial x, la primera aproximación, calculamos el valor

del coseno de x, el valor devuelto (segunda aproximación), lo guardamos de nuevo

en la variable x, y repetimos el proceso indefinidamente. El código aunque correcto,

necesita terminarse en algún momento, cumpliendo una determinada condición.

Cuando el valor absoluto del cociente entre la diferencia de dos términos

consecutivos de la sucesión y uno de los términos, sea menor que cierta

cantidad e.

Este criterio, no es completamente riguroso, pero es un buen punto de partida para

el estudio de este método. Volvemos a escribir el código incluyendo la condición de

terminación y dentro de una función denominada raiz, a la que se le pasa el valor

inicial y que devuelve la raíz buscada

final double ERROR=0.001;

double raiz(double x0){

double x1;

while(true){

x1=Math.cos(x0);

if(Math.abs((x1-x0)/x1)<ERROR) break;

x0=x1;

}

return x0;

}

En primer lugar, fijamos el valor de la constante e o ERROR. Introducimos la

primera aproximación a la raíz, y la guardamos en la variable x0, calculamos su

coseno y obtenemos la segunda aproximación, la guardamos en la variable x1.

Verificamos si se cumple la condición de terminación. En el caso de que no se

cumpla, x0 toma el valor de x1 y se repite el proceso. En el momento en que se

cumpla la condición de terminación, se sale del bucle y la función devuelve la raíz

buscada. Como podemos observar las variables x0 y x1 guardan dos términos

consecutivos de la sucesión que tiende hacia la raíz de la función.

 

La clase que describe el procedimiento

Queremos que el procedimiento numérico sea independiente de la función f(x) cuya

raíz deseamos averiguar. Para ello, creamos una clase base

abstracta denominada Ecuacion con una función miembro raizque defina el

procedimiento numérico, y que deje sin definir la función f(x), declarándola

abstracta, dejando a las clases derivadas de Ecuacion la definición de la

función f(x) particular.

public abstract class Ecuacion {

protected static final double ERROR=0.001;

public double raiz(double x0){

double x1;

while(true){

x1=f(x0);

if(Math.abs(x1-x0)<ERROR) break;

x0=x1;

}

return x0;

}

abstract public double f(double x);

}

Las clases derivadas denominadas Funcion1 y Funcion2 definen la función f(x)

public class Funcion1 extends Ecuacion{

public double f(double x){

return Math.cos(x);

}

}

public class Funcion2 extends Ecuacion{

public double f(double x){

return Math.pow(x+1, 1.0/3);

}

}

Creamos objetos de las clases derivadas y llamamos desde ellos a la

función raiz que describe el procedimiento numérico

Funcion1 f1=new Funcion1();

System.out.println("solucion1 "+f1.raiz(0.5));

System.out.println("solucion1 "+f1.raiz(0.9));

Funcion2 f2=new Funcion2();

System.out.println("solucion1 "+f2.raiz(0.5));

En las dos primeras llamadas a la función raiz comprobamos que la solución

buscada no depende del valor inicial de partida x0, que en el primer caso es 0.5 y

en el segundo caso es 0.9.

 

El criterio de convergencia

No todas las ecuaciones pueden resolverse por este método, solamente si el valor

absoluto de la derivada de la función j(x) en la vecindad de la raíz x es menor que

la unidad (la pendiente de la recta bisectriz del primer cuadrante es uno). En la

figura, podemos ver como es imposible encontrar la solución marcada por un

puntito negro en la intersección entre la curva y la recta bisectriz del primer

cuadrante, ya que la sucesión xi diverge.

Por ejemplo, la ecuación

tiene una raíz en el intervalo (1, 2) ya que f(1)=-1<0 y f(2)=5>0. Esta ecuación

puede escribirse de la forma

En este caso,

y por tanto,

en consecuencia, no se cumplen las condiciones de convergencia del proceso de

iteración. Si escribimos la ecuación en la forma

como podrá verificar fácilmente el lector, cumple las condiciones de convergencia,

obteniéndose rápidamente un valor aproximado de la raíz buscada.

 

Ejemplos

Resolver por el método de aproximaciones sucesivas las siguientes ecuaciones.

Primero hay que ponerlas de la forma x=f(x).

METODO DE ALINEACION DE NEWTON RAPHSON

El método de Newton-Raphson es un método iterativo que nos permite aproximar

la solución de una ecuación del tipo f(x)=0. Partimos de una estimación inicial de la

solución x0 y construimos una sucesión de aproximaciones de forma recurrente

mediante la fórmula xj+1 = xj − f (xj) f0 (xj). Por ejemplo, consideremos la ecuación

ex = 1 x. En este caso es imposible despejar la incógnita, no obstante, si

representamos las curvas y = ex, y = 1/x en el intervalo x ∈ [0, 4], es evidente que

la ecuación tiene una solución en este intervalo. 1 Para aplicar el método de

Newton-Raphson, seguimos los siguientes pasos: 1. Expresamos la ecuación en la

forma f(x)=0, e identificamos la función f. En el ejemplo es f(x) = ex − 1 x. 2.

Calculamos la derivada f0 (x) = ex + 1 x2. 3. Construimos la fórmula de recurrencia

xj+1 = xj − exj − 1 xj exj + 1 x2 j

En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de

Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para

encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También

puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando

los ceros de su primera derivada.

El algoritmo ha sido generalizado de muchas formas para la resolución de otros

problemas no lineales más difíciles; por ejemple, sistemas de ecuaciones y

ecuaciones diferenciales e integrales no lineales.

Nos es siempre el mejor método para un problema dado, pero su simplicidad forma

y su gran velocidad hace que frecuentemente sea el primer algoritmo que se

experimenta en la resolución de un problema no lineal.

Además los más comunes se consideran la técnica grafica otra posibilidad es la

derivar una estrategia simple para intentar conseguir una convergencia más rápida

de la que ofrecen muchos otros tipos de alineación.

Considé re la ecuaci´on f (x) = 0 en la que supondremos que f (x) es una

funci´on de clase C2([a, b]). Supongamos adem´as que la ecuaci´on anterior admite

una

2 ·

soluci´on x∗ en el intervalo [a, b]. Para cualquier otro valor x0 ∈ [a, b], denotando

por h al valor tal que x∗ = x0 + h, la expresi´on del desarrollo en serie de Taylor

nos permitir´ıa escribir que:

0 = f (x∗) = f (x0 + h) = f (x0) + h.f ′(x0) + h2

2 · f ”(x0 + θh), θ ∈ [0, 1]

Si conocido x0 se fuese capaz de determinar h resolviendo la ecuaci´on:

h2

f (x0) + h · f ′(x0) + 2 · f ”(x0 + θh) = 0

podrıa determinarse x∗ como x∗ = x0 +h. Pero para resolver esta ecuaci´on

primero deberíamos conocer el valor de θ (lo cual no es obvio) y una vez conocido

resolver una ecuaci´on, en general, no lineal pues obsérvese que h interviene en la

expresión f ”(x0 + θh). Por tanto, salvo en situaciones muy particulares, no se

ganaría gran cosa remplazando el problema de resolver f (x) = 0 por el de resolver

F (h) = f (x0) + h · f ′(x0) + h2

.f ”(x0 + θh) = 0

2

El m´etodo de Newton-Raphson (o m´etodo de linealizaci´on de Newton) se

sustenta en simplificar la expresi´on anterior linealiz´andola. Para ello

considera que si se est´a suficientemente cerca de la soluci´on (es decir si h es

suficientemente pequen˜o)

el t´ermino h2 f ”(x0 + θh) podr´a despreciarse fente a los otros t´erminos de

la

ecuaci´on. Por ello resuelve la ecuaci´on lineal:

de la que se obtiene que:

−

f (x0) + H · f ′(x0) = 0

H = f (x0)

f ′(x0)

Obviamente, al ser diferente la ecuación linealizada que la proporcionada por el

desarrollo de Taylor, se tendría que H ƒ= h y por tanto x∗ = x0 + h ƒ= x1 = x0 + H.

De una forma intuitiva (que después deberemos precisar cuándo es correcta)

puede pensarse que aunque x1 sea diferente de x∗ sería un valor más próximo a

x∗ que x0 pues lo hemos obtenido ”aproximando” el valor h que nos llevaba de x0

a x∗. Ello, al menos, seria asi cuando h sea suficientemente pequeño, es decir

cuando x0 sea suficientemente próximo a x∗. Con ello el m´etodo de Newton-

Raphson propone

repetir este proceso de forma recursiva hasta estar lo suficientemente cercanos a la

soluci´on buscada. Más concretamente el m´etodo de Newton-Raphson consiste

∞

en generar la sucesió n,xi+1 = xi − f ( xi ) , a partir de un valor x0 dado.

f ′(xi) i=0

Sobre este m´etodo, en primer lugar, puede observarse que si denotamos por:

f (x)

g(x) = x − f ′(x)

MÉTODO DE REGULA-FALSI Y DE LA SECANTE

Método de la secante

Este método aproxima el valor de f

(xi) mediante:

f

(xi) ≈

f(xi) − f(xi−1)

xi − xi−1

con lo que el esquema iterativo del método de Newton-Raphson se ve modificado

a:

xi+1 = xi −

f(xi)

f(xi)−f(xi−1)

xi−xi−1

=

xi−1 · f(xi) − xi

· f(xi−1)

f(xi) − f(xi−1)

Obsérvese que para aplicar el método se necesitan dos valores x0 y x1 con los que

Inicializar el proceso. Por ello en el método de la secante la primera iteración se

realiza mediante el método de Newton siguiéndose el siguiente proceso:

Dado x0:

x1 ← x0 −

f(x0)

f

′(x0)

xi+1 =

xi−1·f(xi)−xi·f(xi−1)

f(xi)−f(xi−1)

, i = 1, 2, . . .

El método de la secante toma su nombre del hecho de que gráficamente

Se puede interpretar el método de forma similar al de Newton pero sustituyendo la

recta tangente a la curva en el punto.

EL MÉTODO DE “REGULA FALSI”

Este método es una combinación del método de bipartición y del método de la

secante. En ´él se considera una ecuación f(x) = 0 y un intervalo [a, b] en el que f(x)

sea continua y además se verifique que f(a) · f(b) < 0. Con ello, según se indicó al

analizar el método de bipartición se puede estar seguro de que en [a, b] existe al

menos una raíz. Tras ello se denomina x1 al punto de corte con el eje de abscisas

de la recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)), (b, f(b)) es decir al punto:

x1 =

a · f(b) − b · f(a)

f(b) − f(a)

Si f(x1)·f(a) < 0 se puede asegurar que en el intervalo (a, x1) existirá una solución de

la ecuación. En el caso de que f(x1)· f(a) > 0 se puede afirmar lo mismo para el

intervalo (x1, b). Y en el caso de que f(x1) = 0 se habrá determinado ya la solución.

En todo caso o se tiene la solución de la ecuación o se dispone de un intervalo más

pequeño en el que volver a repetir el proceso. Esta forma de proceder es repetida

las veces que sea necesario hasta encontrar un intervalo en el que exista una

solución y con una longitud inferior a la precisión deseada.

MÉTODO DE BIPARTICIÓN

En matemáticas, el método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que

trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el su intervalo que tiene la

raíz.

Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver

ecuaciones en una variable, también conocido como Método de Intervalo Medio.1 Se

basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el cual establece que toda función

continua f en un intervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre

f(a) y f(b). Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor

en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero

sería un valor intermedio entre f(j) y f(e), por lo que con certeza existe un p en [a,b]

1

que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una

solución de la ecuación f(x)=0.

Para aplicar el método consideremos tres sucesiones   definidas por

las siguientes relaciones:

Donde los valores iniciales vienen dados por:

Se puede probar que las tres sucesiones convergen al valor de la única raíz del

intervalo:

CASO DE RAÍCES COMPLEJAS. MÉTODO DE BAIRSTOW

Como vimos anteriormente, si un polinomio tiene todos sus coeficientes reales,

entonces puede tener raíces reales o complejas. En este caso, es posible determinar

todas sus raíces de dos en dos, utilizando sólo aritmética real. El procedimiento que

presentamos a continuación, llamado método de Bairstow, permite realizar esto.

Si realizamos la división de polinomios con coeficientes reales

, entonces resulta que

     (3.6)

siendo   el cociente y   el resto de la división, ambos dependientes

de los números reales   y  , por lo que podemos considerar  ,   y los

coeficientes de  funciones dependientes de los parámetros   y  .

2

Si pudiéramos determinar dos valores   y   de manera que   

y   se tendría que

con lo que calculando las raíces de la ecuación de segundo

grado  , se obtendrían dos raíces del polinomio  .

Veamos pues cómo se pueden obtener esos dos valores   y  . En principio

partiremos de dos valores iniciales   y  , por lo que podemos expresar

 y 

Si suponemos que las funciones de dos variables   y   son diferenciables

3

DESARROLLO

MÉTODO DE BIPARTICIÓN.

El método de bipartición o más conocido como método de intervalo medio se basa

en el teorema del valor inter el cual establece que toda función f en un intervalo

cerrado tomas todos los valores que se hallan en f(a) y f(b) estos valores es la

imagen de por lo menos un valor en el intervalo medio

MÉTODO DE REGULA-FALSI Y DE LA SECANTE.

Este método se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculo de la

derivada.

El gran parecido con la fórmula del método de la regla falsa. La diferencia entre una

y otra es que mientras el método de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados,

el método de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo,  encuentra la

aproximación casi con la misma rapidez que el método de Newton-Raphson. Claro,

corre el mismo riesgo de éste último de no converger a la raíz, mientras que el

método de la regla falsa va a la segura. 

MÉTODOS DE APROXIMACIONES SUCESIVAS.

En el método de aproximación sucesiva, en cada ecuación se debe reescribir la

ecuación con una ecuación con equivalencia para asi poder encontrar la solución se

debe partir de un valor inicial que será x0 y se procede a calcular la aproximación

de un valor entero o decimal y es proceso se lo debe repetir el proceso las veces

necesarias para obtener el resultado del problema planteado

4

METODO DE ALINEACION DE NEWTON RAPHSON.

Este método es uno de los usados y efectivos, no trabaja sobre un intervalo se basa

en una formula en un proceso iterativo El método de alineación es un método que

nos permite aproximar la solución de un problema o una ecuación más compleja que

al igual que el método de aproximación sucesivas comenzamos desde un valor x0 y

seguimos los siguientes pasos expresando una formula o identificamos la función

que se está empleando.

El método consiste en lo siguiente:

Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo

[a,b]

A continuación se verifica que 

Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es

igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada

En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o

con f(b)

Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] o [m, b] según se haya determinado

en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo

5

Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución

en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada

CASO DE RAÍCES COMPLEJAS. MÉTODO DE BAIRSTOW.

En este caso es posible determinar las raíces de dos en dos, el método de Bairstow

se basa por lo general en esta aproximación. El proceso matemático depende de

dividir el polinomio entre un factor.

Si un polinomio tiene todos sus coeficientes reales, entonces puede tener raíces

reales o complejas, este caso, es posible determinar todas sus raíces de dos en dos,

utilizando sólo aritmética real.

Realizamos la división de polinomios con coeficientes reales.

4. DESARROLLO

MÉTODO DE BIPARTICIÓN.

El método de bipartición o más conocido como método de intervalo medio se basa

en el teorema del valor inter el cual establece que toda función f en un intervalo

cerrado tomas todos los valores que se hallan en f(a) y f(b) estos valores es la

imagen de por lo menos un valor en el intervalo medio

MÉTODO DE REGULA-FALSI Y DE LA SECANTE.

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Este método se basa en la fórmula de Newton-Raphson, pero evita el cálculo de la

derivada.

El gran parecido con la fórmula del método de la regla falsa. La diferencia entre una

y otra es que mientras el método de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados,

el método de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo,  encuentra la

aproximación casi con la misma rapidez que el método de Newton-Raphson. Claro,

corre el mismo riesgo de éste último de no converger a la raíz, mientras que el

método de la regla falsa va a la segura. 

MÉTODOS DE APROXIMACIONES SUCESIVAS.

En el método de aproximación sucesiva, en cada ecuación se debe reescribir la

ecuación con una ecuación con equivalencia para asi poder encontrar la solución se

debe partir de un valor inicial que será x0 y se procede a calcular la aproximación

de un valor entero o decimal y es proceso se lo debe repetir el proceso las veces

necesarias para obtener el resultado del problema planteado

METODO DE ALINEACION DE NEWTON RAPHSON.

Este método es uno de los usados y efectivos, no trabaja sobre un intervalo se basa

en una formula en un proceso iterativo El método de alineación es un método que

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nos permite aproximar la solución de un problema o una ecuación más compleja que

al igual que el método de aproximación sucesivas comenzamos desde un valor x0 y

seguimos los siguientes pasos expresando una formula o identificamos la función

que se está empleando.

El método consiste en lo siguiente:

Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo

[a,b]

A continuación se verifica que 

Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es

igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada

En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o

con f(b)

Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] o [m, b] según se haya determinado

en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo

Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución

en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada

CASO DE RAÍCES COMPLEJAS. MÉTODO DE BAIRSTOW.

En este caso es posible determinar las raíces de dos en dos, el método de Bairstow

se basa por lo general en esta aproximación. El proceso matemático depende de

dividir el polinomio entre un factor.

Si un polinomio tiene todos sus coeficientes reales, entonces puede tener raíces

reales o complejas, este caso, es posible determinar todas sus raíces de dos en dos,

utilizando sólo aritmética real.

Realizamos la división de polinomios con coeficientes reales.

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5. CONCLUSIONES

• Un modelo matemático puede definirse como una formulación o una ecuación

que expresa las características, esenciales de un sistema físico o proceso en

términos matemáticos.

• El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que no

está garantizada su convergencia global. La única manera de alcanzar la

convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz

buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente

cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto).

6. BIBLIOGRAFÌA

6.1.DIGITAL

http://www.academia.edu/3524278/

Metodo_de_Newton_Raphson._Raices_de_ecuaciones_lineales

http://ocw.upm.es/matematica-aplicada/programacion-y-metodos-numericos/

contenidos/TEMA_8/Apuntes/EcsNoLin.pdf

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