Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

2

2

2

1

2 1

5 6

3 3 2

1

2

2

4

3

1

13

27

2 3.2 10 2

5 1

2 0'5

4256

2

3 3 30

13

9

25 0'2

9 3 10

x

x x

x x

x x

x

x

x x

x

x

x x

5x3 3x5 aa

5x24 5x13 aa

6 7x3 5x3 aa

Ejercic ios a real izar de logaritmos

2log x= log(10x-9)

log(x+2) +log(10x+20)= 3

log x =log2+2.log(x-3)

log(3x+1) – log(2x-3)=1 –log5

log(x2+1) –log(3x-8)=1

log4 (x2-2)=1/2

Razones y proporciones.

Una razón es un cociente o comparación de magnitudes. En la razón se busca comparar dos números en el que el primero contenga al segundo y viceversa. Ejemplos:

34

12 3

5

15

3

1

15

5

Una proporción está determinada como la igualdad de dos razones, ejemplo:

B

AR 1

D

CR 2 la proporción se escribe como: A:B : : C:D que se lee:

A es a B como C es a D.

Se considera que A y D son extremos y B y C son medios.

Proporcionalidad geométrica.

Si en una figura geométrica se conserva la razón que existe al comparar dos de sus magnitudes y una de ellas la hacemos crecer o variar su tamaño, las demás magnitudes deben variar con la misma constante de proporcionalidad.

Ejemplo: los lados de un rectángulo miden 3 m y 5 m, si el largo crece a 10 m ¿cuanto debe de medir el ancho para conservar la razón que existe entre ellos?

105

3 x Entonces

5

)10(3x mx 6

Ejemplo.- sea un triángulo de lados 3, 4 y 5 obtenga uno de mayor dimensión.

Se puede resolver multiplicando por dos cada uno de los lados quedando las nuevas medidas de 6, 8 y 10 unidades.

6 10 5

3

8 4

DIAGONALES DE UN POLÍGONO

Las diagonales de un polígono son segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

El número de diagonales (D) de un polígono convexo (sea o no regular) viene determinado por

el número de lados (N) que tiene el polígono. Su fórmula es:

Ángulos de un polígono

Como ya adelantamos, los tres ángulos internos de un triángulo siempre suman 180°.

Si le asignamos n al número de lados, podemos crear una fórmula para calcular el número de grados de cualquier polígono.

(n – 2) × 180°

Triángulos

Clasificación de los ángulos

EJERCICIOS SOBRE ANGULOS

1) Si alfa = 250. Calcular el complemento de alfa.-

a) 750 b) 650 c) 1550 d) 1000 e) 250

2) Calcular el suplemento del complemento de 500.

a) 400 b) 1400 c) 900 d) 1300 e) 600

3) Alfa y Beta son complementarios. Si Alfa es el doble de Beta. ¿Cuánto mide Alfa?

a) 600 b) 300 c) 1200 d) 1800 e) Otro

4) Alfa y Beta son suplementarios. Si Alfa es 5 veces Beta ¿Cuánto mide Beta?

a) 300 b) 1500 c) 600 d) 800 e) 450

5) Alfa y Beta son suplementarios. Si Alfa es 6 veces Beta ¿Cuánto mide Alfa?

a) 1250 b) 27,50 c) 25,70 d) 154,20 e) 1500

6) AB BC. Si el ABD es la tercera parte

Del DBC. ¿Cuánto mide el ABD? A D

a) 450 b) 22,50

c) 300 d) 500

e) 800

B D C

7) A, B, C, colineales. BD bisectriz del ángulo

E

ABC; BE bisectriz del ángulo ABD. BF bisec- F

triz del ángulo EBD ¿Cuánto mide ABF?

A C

a) 200 b) 450 c) 22,50 d) 67,5 e) 900

RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

1 2 1 adyacente al 2

3 4 2 adyacente al 4

4 adyacente al 3

3 adyacente al 1

5 6

7 8 5 adyacente al 6

6 adyacente al 8

8 adyacente al 7

7 adyacente al 5

a

a

A

A

A

A

A

B

1 opuesto por el vértice al 4 1 2

3 4

2 opuesto por el vértice al 3

5 opuesto por el vértice al 8 5 6

6 opuesto por el vértice al 7 7 8

Def.- ANGULOS CORRESPONDIENTES.- Son los que coinciden por traslación paralela.-

Si trasladamos

la recta R2 por la Transversal

de manera que coincida con R1, el punto B

queda sobre el punto A, entonces:

5 queda sobre el 1

6 queda sobre el 2

7 queda sobre el 3

8 queda sobre el 4

Los ángulos correspondientes

son de la misma medida.-

1

A 2

3 4

5 B

6

7 8

R1

R2

T

Def.- ANGULOS ALTERNOS INTERNOS.- Son los que

están dentro de la cinta y a distinto

lado de la transversal.-

3 es alterno interno con 6

4 es alterno interno con 5 1 2

3 4

Son iguales entre si porque:

6 = 2 (correspondientes) 5 6

3 = 2 ( op. Por el vértice 7 8

6 = 3 ( 2 cantidades iguales a

una tercera, son iguales entre sí)

T

Def.- ANGULOS ALTERNOS EXTERNOS.- Son los que

están fuera de la cinta y a distinto

1 2 lado de la transversal.-

3 4 Son Alternos Externos:

1 con 8

5 6 2 con 7

7 8 Son iguales entre sí.-

Def.- ANGULOS INTERNOS DEL MISMO LADO.- Son los

que están dentro de la cinta y

al mismo lado de la transversal. -

1 2 Son Internos del mismo lado:

3 4

3 con 5

4 con 6

Son suplementarios porque:

5 6 3 + 1 = 1800 (suplementarios)

7 8

5 = 1 ( correspondientes )

T 3 + 5 = 1800 ( cantidades iguales

pueden reemplazarse una por otra )

Def.- ANGULOS EXTERNOS DEL MISMO LADO.- Son los que están fuera de la cinta y

al mismo lado de la transversal. -

Son Externos del mismo lado. - 1 2

2 con 8 3 4

1 con 7

5 6

Son suplementarios. - 7 8

Def.- ANGULOS CONTRARIOS O CONJUGADOS.- Son los que están uno dentro y otro

fuera de la cinta y a distinto lado de la transversal.-

1 2

3 4 Son Contrarios o Conjugados:

1 con 6

5 6 2 con 5

7 8 3 con 8

4 con 7

Son ángulos suplementarios.

Congruencia de triángulos:

Dos triángulos y en general dos figuras son congruentes si estas son idénticas en forma y superficie; es decir si al sobreponerlas coinciden plenamente.

Al ser congruentes los triángulos, ABC y A'B'C', de la figura anterior, se llaman

lados correspondientes u homólogos a los opuestos a ángulos iguales (a con

a’ ; b con b’; c con c’) y ángulos correspondientes u homólogos a los

opuestos a lados iguales ( con ’ ; con ’; con ’), cumpliéndose que los

elementos homólogos de triángulos congruentes son iguales.

Siempre se dejan los vértices de triángulos congruentes en correspondencia; (A con A’ ; B con B’ ; C con C’) a los que les debe corresponder ángulos iguales.

De las seis condiciones de igualdad entre ángulos y lados homólogos es

necesario que se cumplan solo tres de ellas, donde por lo menos una debe ser

referente a la medida de lados, condiciones que formalizan los teoremas de

congruencia.

Teoremas de congruencia:

1) Teorema a.l.a.

Dos triángulos son congruentes si poseen dos pares de ángulos iguales, como

también el lado comprendido entre tales ángulos; es decir:

2) Teorema l.a.l.

Dos triángulos son congruentes si poseen dos pares de lados iguales, como

también el ángulo comprendido entre tales lados; es decir:

(1)

3) Teorema l.l.l.

Dos triángulos son congruentes si poseen sus tres pares de lados iguales; es

decir:

4) Teorema l.l.a.

Dos triángulos son congruentes si poseen dos pares de lados iguales, como

también el ángulo opuesto al mayor de tales lados; es decir:

Ejercicios:

1) Entre los siguientes triángulos, escójanse los que sean congruentes y

justifique con el teorema respectivo:

2) Indique si son congruentes las siguientes parejas de triángulos:

3) Si ABC isósceles base AB; H ortocentro. Determine (V) o (F):

I) ADC BEC (..)

II) ABE BAD (..)

III) AHE BHD (..)

Nota: Si dos triángulos tienen dos pares de ángulos iguales; los terceros ángulos

son también iguales.

3) Si AE ED con EAC EDB ; luego

"x" e "y" valen:

4) Si DCE isósceles base DE con

ACD BCE ; luego "x" e "y" valen:

5) Si AB = AD y BC = DC ; luego "x" e "y"

valen:

6) Si AE = EB y DE = CE ; luego "x" e "y"

valen:

7) Si ABC isósceles base AB; demostrar

que la bisectriz del ángulo del vértice es

transversal de gravedad y altura.

8) Si ABCD romboide, demostrar en este

paralelogramo que sus diagonales se

dimidian; es decir que AE = EC y DE

= BE.

SEMEJANZAS. 2ºESO

1 Si el dibujo de un rectángulo de 12 x 16 cm es ampliado con una fotocopiadora y el rectángulo de la fotocopia mide 24 cm

en su lado mayor, ¿cuál ha sido el número que hemos puesto como porcentaje de ampliación?

Solución: 24 : 16 = 1,5 150%100

1501,5

2.- ¿Son semejantes las figuras siguientes?

Solución: No, ya que sus lados no son paralelos, ni sus ángulos iguales ni sus lados proporcionales.

3.- Si tenemos dos rombos de 4 cm de lado, ¿son semejantes?

Solución: No necesariamente. Además, sus ángulos interiores deberían ser iguales; veamos un ejemplo:

4.- Si tenemos un folio con un texto que ocupa 128 x 200 mm, ¿cuánto ocupará el texto en una fotocopia al 150%?

Solución: Al ampliar una figura, ampliamos la longitud de sus lados multiplicándolos por el factor de semejanza. En este caso,

150% es igual que decir que multiplicamos las medidas por 150/100 = 1,5. Luego, sus medidas serán:

128·1,5 = 192 mm 200·1,5 = 300 mm El texto en la fotocopia ocupará 192 x 300 mm.

5.- Utilizando un utensilio de medida, he multiplicado un segmento por un factor que desconozco. Si el segmento original

medía 19,7 cm y el resultante mide 84,71 cm, calcula la razón de semejanza.

Solución: 84,71 : 19,7 = 4,3

6.- En la siguiente figura, sabiendo que las dimensiones están en metros, calcula x, y, z.

Solución:

m102

yz

a

z

a2

y

m2024

x30y

y

x

30

24

m163

48x

a2

x

a3

24

7.- Calcula las dimensiones en centímetros de los lados del cuadrilátero mayor.

Solución:

Como podemos observar, los ángulos resaltados son iguales entre si. Los dos cuadriláteros son semejantes, por tanto, las

medidas de sus lados serán proporcionales. Entonces:

cm51,6

24c

c

2

4

1,6

cm91,6

3,64b

b

3,6

4

1,6

cm4,51,6

1,84a

a

1,8

4

1,6

c

2

b

3,6

a

1,8

4

1,6

8.- Calcula x en el siguiente dibujo si a = 3 cm, b = 4 cm, c = 6 cm (x se denomina segmento cuarto proporcional).

Solución: cm83

6·4x

x

6

4

3

x

c

b

a

9.- A la vista de esta imagen, calcula h.

Solución: Los dos triángulos son semejantes pues dos de sus lados son paralelos y podemos considerar que los lados formado

por los rayos del Sol también son paralelos. En consecuencia:

m6,671,5

101CD

10

h

1,5

1

DE

CD

BC

AB

10.- Los triángulos que forman esta figura ¿son semejantes?

Solución:Sí, pues los lados son paralelos entre si, y por tanto los ángulos comprendidos son iguales y los dos triángulos son

semejantes.

11.- Para calcular la profundidad de un pozo, hasta no hace mucho tiempo, se utilizaba una vara de un metro de largo que

se apoyaba en el suelo y se iba separando del borde del pozo hasta que se veía el extremo del fondo. Aquí tienes una

representación esquemática:

Si te has separado a 75 cm del borde, ¿cuál será la profundidad del pozo si tiene 1,5 m de diámetro?

Solución:

AB = 1m = 100cm

BC = 75cm

DE =1,5m = 150cm

La profundidad del pozo será CD.

Son dos triángulos semejantes puesto que sus ángulos son iguales.

Por ser semejantes, tenemos que

m2cm20075

100·150CD

150

CD

75

100

DE

CD

BC

AB

12.- Si en la figura siguiente conoces AB = 3 cm, BC = 1 cm, DE = 8 cm, calcula CD.

Solución: cm2,673

8CD

8

CD

3

1

DE

CD

BC

AB

13.- Calcula el valor de x en esta ilustración.

Solución: m335

55·3x

55

x

5

3

14.- En la siguiente ilustración, calcula D si conocemos h = 1,65 m; d = 2 m; H = 14,85 m

Solución: m181,65

14,85·2

h

H·dD

D

H

d

h

15.- Calcula la altura de un depósito de agua que da una sombra de 15 m de largo, si a la misma hora un bastón de 1 m de

alto da una sombra de 1,8 m de largo.

Solución:

Los dos triángulos son semejantes pues dos de sus lados son paralelos, y podemos considerar que los lados formados en

ambos triángulos por los rayos del Sol también son paralelos.

En consecuencia,

m8,331,8

1·15CD

15

h

1,8

1

DE

CD

BC

AB

16.- Halla x e y en la siguiente figura:

Solución:Aplicando el Teorema de Tales: cm6,752

3·4,5x

2

3

4,5

x

cm10,114,5

7·6,5y

y

6,5

7

4,5

17.- Calcula x (todas las medidas están en centímetros).

Solución: cm7,52

3·5x

5

x

2

3

18.- Calcula x (las unidades son metros):

Solución: m33

6·1,5x

x

6

1,5

3

19.- Calcula x e y (las unidades son metros):

Solución:

m26

8·1,5y

y

1,5

8

6

m2,56

10·1,5x

x

1,5

10

6

20.- Calcula x, y, z (las unidades son centímetros):

Solución:

cm38

6·4x

4

8

x

6

cm46

3·8y

y

8

3

6

cm46

3·8z

z

8

3

6

21.- Halla la altura de una torre que proyecta una sombra de 45 m, sabiendo que un muro de 3 m da una sombra de 5m.

Solución: m753

45·5x

5

3

x

45

22.- Una escalera de 10 m está apoyada contra la pared. Su pie está a 1,6 m de la base de la misma. ¿Cuánto dista de la

pared el escalón situado a 2,4 m de altura?

Solución: m1,2110

1,6·7,6x

x

2,410

1,6

10

23.- Del siguiente dibujo conocemos: AC = 108 m, CE = 72 m, BF = 27 m. ¿Cuánto miden BC y CF?

Solución: m8136

27·108x

27

BC

72108

108

CF = 81 - 27 = 54 m

24.- ¿Cuál es la altura de una torre sabiendo que proyecta una sombra de 32 m si al mismo tiempo un bastón de 1,2 m

proyecta una sombra de 1,5 m?

Solución: m25,61,5

32·1,2x

1,5

1,2

32

x

25.- Calcula x (las unidades son centímetros):

Solución: cm109

6·15x

x

15

6

9

26.- Calcula x e y (las unidades son centímetros):

Solución: cm34

6·2y

y

6

2

4

cm82

4·4x

4

x

2

4

27.- Calcula x e y (las unidades son centímetros):

Solución: cm4,58

6·6x

6

8

x

6

cm7,5

8

6·10y

y

10

6

8

1. En la siguiente figura L1//L2

a) PC = 12 cm., PB = 6cm., BD = 2 cm., AC = ?

b) CD = 7 cm., PA = 2 cm., AC = 5 cm., AB = ?

c) PC = 9 cm., CD = 6 cm., AB = 5 cm., BD = 1 cm. Determina PA, PB y PD.

d) PC = 16 cm., BD = 6 cm., AB = 9 cm., PD = 24 cm. Determina CD y PA.

e) PA = 18 cm., AC = 14 cm., PD = 16 cm., BD = ?

f) BD = 2 cm., AB = 8 cm., PD = 12 cm., CD = ?

g) PC = 20 cm., PA = 15 cm., PD = 40 cm., BD = ?

h) PA = 3x, AB = 3x - 2, AC = x + 2, CD = 4x - 1. Determina PC y CD.

i) AC = 4,5 cm., PA = 2 cm., PD = 3,6 cm., BD = ?

2. En la siguiente figura L1//L2.

a) a = 12 cm., b = 15 cm., c = 20 cm., d = ?

b) a = (x - 1) cm., b = 4 cm., c = (2x - 4) cm., d = 7 cm. Determina las medidas

de a y c.

c) a = 14 cm., c = 10 cm., b + d = 36 cm. Determina la medida de b.

d) a = 6 cm., a + c = 14 cm., b + d = 18 cm., d = ?

3. En la siguiente figura L1//L2.

a) BP = 6 cm., CP = 4 cm., CD = 3 cm., AB = ?

b) AP = x + 13, BP = 10 cm., PC = 4 cm., PD = x + 4, AP = ?

c) BP = 16 cm., CP = 14 cm., DP = 12 cm., AD = ?

d) AB = 2 cm., AP = x cm., BP = (y - 3) cm., CP = (y + 2) cm., DP = (x+5) cm.,

CD = 4 cm. Determina las medidas de BC, AP, BP, CP, DP y AD.

1. En la figura, arco DE = 39º, arco FH = 45º, luego ángulo x =

a) 42º b) 135º c) 138º d) 90º

2. Según la figura, ángulo ? y ángulo ?

a) º67 y º112

b) º112 y º67

c) º68 y º113

d) º136 y º226

3. En la figura el valor de los ángulos , son respectivamente:

a) º50 y º55

b) º50 y º100

c) º25 y º50

d) º100 y º50

4. En la figura, arco GH=146º ; arco EF=31º, entonces ángulo =?

a) 17,5º b) 27,5º c) 37,5º d) 47,5º e) 57,5º

5. En la figura, AB es diámetro, si ángulo º23 , entonces ángulo ?

a) 46º b) 23º c) 11,5º d) 134º

6. En la circunferencia de la figura, arco BC=80º, entonces ángulo ?

a) 75º b) 25º c) 35º d) 45º e) 55º

7. En la circunferencia de la figura, ángulo º48 , arco EF=70º, entonces el arco CD=?

a) 26º b) 22º c) 24º d) 96º

8. En el cuadrilátero inscrito en la circunferencia, º120 . Si 2

, cuanto mide el ángulo x:

a) 30º b) 75º c) 105º d) 150º

9. La siguiente figura muestra un trapecio de bases AB y CD inscrito en la circunferencia,

entonces xyz

a) 80º b) 100º c) 180º d) 200º

10. ¿Cuál es el valor de en la circunferencia de centro O?

a) 100 b) 90 c) 80 d) 70 e) ninguna de las anteriores

11. En la figura 26 y 36CD , ¿Cuánto mide el arco AB?

a) 52 b) 36 c) 88 d) 100 e) 72

12. Si arco 130AB y arco 60CD . ¿Cuánto mide el ángulo ?

a) 190 b) 180 c) 260 d) 120 e) 95

Problemas de l t eorema de P i tágoras

1La h ipo tenusa de un t r i ángu lo rec tángu lo mide 30 cm y l a p royecc ión de un

ca te to sob re e l l a 10 .8 cm. Ha l la r e l o t ro ca te to .

2En un t r i ángu lo r ec tángu lo , l a s p royecc iones de lo s ca te to s sobre l a h ipo tenusa

miden 4 y 9 me t ros . Ca lcu la r l a a l tu ra r e la t iva a l a h ipo tenusa .

3La h ipo tenusa de un t r i ángu lo r ec tángu lo mide 405 .6 m y l a p royecc ión de un

ca te to sob re e l l a 60 m. Ca lcu la r :

1 Los ca te to s .

2 La a l tu ra r e la t iva a la h ipo tenusa .

3 E l á r ea de l t r i ángu lo .

4Ca lcu la r lo s l ados de un t r i ángu lo r ec tángu lo sab iendo que l a p royecc ión de

uno de lo s ca te to s sobre l a h ipo tenusa e s 6 cm y l a a l tu ra r e la t iva de l a misma

cm.

5Una esca le ra de 10 m de long i tud es tá apoyada sobre l a pa red . E l p ie de l a

e sca le ra d i s t a 6 m de l a pared . ¿Qué a l tu ra a lcanza l a e sca le ra sobre l a pa red?

6Determina r e l l ado de un t r i ángu lo equ i l á te ro cuyo pe r íme t ro e s igua l a l de un

cuadrado de 12 cm de l ado . ¿Serán igua les sus á r eas?

7Ca lcu la r e l á r ea de un t r i ángu lo equ i l á te ro in sc r i to en una c i r cunfe renc ia de

r ad io 6 cm.

8 De te rminar e l á r ea de l cuadrado in scr i to en una c i r cun ferenc ia de long i tud

18 .84 m.

9 En un cuad rado de 2 m de l ado se in sc r ibe un c í r cu lo y en e s te c í r cu lo un

cuadrado y en e s te o t ro c í r cu lo . Hal l a r e l á r ea comprend ida en t r e e l ú l t imo cuadrado

y e l ú l t imo c í r cu lo .

10 E l per íme t ro de un t r apec io i sósce les e s de 110 m, l a s bases miden 40 y 30

m respec t ivamen te . Ca lcu la r lo s l ados no para le lo s y e l á r ea .

11 S i lo s l ados no para le lo s de un t r apec io i sósce les se p ro longan , quedar ía

fo rmado un t r i ángu lo equ i l á te ro de 6 cm de l ado . Sab iendo que e l t r apec io t iene l a

mi tad de l a a l tu ra de l t r i ángu lo , ca lcu la r e l á r ea de l t r apec io .

12 E l á r ea de un cuadrado es 2304 cm² . Ca lcu la r e l á r ea de l hexágono r egu la r

que t i ene su mismo pe r íme t ro .

13En una c i r cun ferenc ia de r ad io igua l a 4 m se insc r ibe un cuad rado y sob re

lo s l ados de e s te y hac ia e l ex te r io r se cons t ruyen t r i ángu los equ i l á te ros . Ha l l a r e l

á r ea de l a es t r e l l a a s í fo rmada .

14 A un hexágono r egu la r 4 cm de l ado se l e in scr ibe una c i r cunferenc ia y se

l e c i r cunsc r ibe o t r a . Hal l a r e l á r ea de l a co rona c i r cu la r as í fo rmada .

15 En una c i r cun ferenc ia una cuerda de 48 cm y d i s t a 7 cm de l cen t ro . Ca lcu la r

e l á r ea de l c í r cu lo .

16 Los ca te to s de un t r i ángu lo in sc r i to en una c i r cunfe renc ia miden 22 .2 cm y

29 .6 cm respec t ivamen te . Ca lcu la r l a long i tud de l a c i r cun ferenc ia y e l á r ea de l

c í r cu lo .

17 Ca lcu lar e l área de la corona c ircu lar de terminada por las c ircunferenc ias inscr i ta

y c ircunscr i ta a un cuadrado de 8 m de d iagona l .

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.

Seno: Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por sen B.

Coseno: Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Se denota por cos B.

Tangente: Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto

contiguo al ángulo.

Se denota por tg B

Cosecante: Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.

Se denota por cosec B.

Secante

Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

Cotangente

Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cotg B.

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Trigonometria_Razones.html La trigonometría, enfocada en sus inicios sólo al estudio de los triángulos, se utilizó

durante siglos en topografía, navegación y astronomía.

Etimológicamente, trigon significa triángulo, y metron, medida. Por lo tanto, trigonometría se

puede definir como "medida de triángulos".

Para establecer las razones trigonométricas, en

cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer

sus elementos. Para ello, veamos la figura a la

derecha:

Los ángulos con vértice en A y C son agudos, el

ángulo con vértice en B es recto.

Los lados de los ángulos agudos (α y γ) son la

hipotenusa y un cateto, y los lados del ángulo recto

(β) son los catetos.

Cada uno de los ángulos águdos del triángulo, uno de

cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden ser cateto opuesto al

ángulo o cateto adyacente o contiguo al ángulo.

Cateto adyacente o contiguo es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.

Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se

encuentra enfrente de este.

Con los siguientes ejemplos, veamos lo dicho:

Si consideramos el ángulo α Si consideramos el ángulo γ

cateto adyacente

cateto opuesto

cateto adyacente

cateto opuesto

Por convenio, como vemos en los ejemplos, los trazos que son lados del triángulo se pueden

representar con las letras mayúsculas correspondientes a sus dos extremos, coronadas con una

línea; o bien, con una letra minúscula enfrentando a la correspondiente mayúscula de los

ángulos.

Aprendido y recordado lo anterior, veremos ahora que las razones o relaciones trigonométricas

se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con cada uno de sus ángulos

agudos. También se llaman Funciones trigonométricas.

Seis son las razones o funciones trigonométricas que se pueden establecer para cualquiera de los

dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo; de ellas, tres son fundamentales y tres son

recíprocas, como lo vemos en el siguiente cuadro:

Funciones (razones) trigonométricas

Fundamentales Recíprocas

sen seno cosec (csc) cosecante

cos coseno sec secante

tan (tg) tangente cotan

(cotg) cotangente

Veamos un ejemplo, para un ángulo α:

Sea el ángulo BACde medida α (siempre

menor de 90º) en el triángulo rectángulo

ABC.

Los lados BC y BA son los catetos y AC, la

hipotenusa.

En este triángulo rectángulo, las razones trigonométricas con respecto a alfa (α) se definen

como:

Seno

Seno, es la razón (división) entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa

Coseno

coseno, es la razón (división) entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa

Tangente

tangente, es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al mismo.

Estas tres (seno, coseno, tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre

un ángulo agudo y los lados del triángulo rectángulo del cual forman parte.

A cada razón fundamental corresponde una razón recíproca, llamadas así por que cada una es

la inversa de otra fundamental.

Las tres siguientes son las razones recíprocas que se pueden establecer respecto al mismo

ángulo:

Cosecante

cosecante, es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo, y como es la recíproca

del seno de α se puede expresar como

Secante

secante, es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo, y como es la reciproca

del coseno de α se puede expresar como

Cotangente

cotangente, es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto puesto al mismo, y como

es la recíproca de la tangente de α se puede expresar como

Utilización de la calculadora en trigonometría

Todas las calculadoras científicas del mercado disponen de teclas para las funciones

trigonométricas seno, coseno y tangente. Sin embargo, es importante tener en cuenta dos factores

de interés: En algunos modelos se introduce el valor del ángulo y luego se pulsa la tecla de la razón

trigonométrica para obtener su valor, mientras que en otros se hace justamente al revés, primero se pulsa la tecla de la razón deseada, luego se introduce el valor del ángulo y por último la tecla de resultado (generalmente =) nos muestra el resultado en la pantalla.

Las calculadoras científicas utilizan tres sistemas de medida angular, los radianes (RAD), los grados sexagesimales (DEG) y los gradianes centesimales (GRAD). Es muy importante tener en

cuenta este factor, ya que no es lo mismo que

o .

La conversión entre los sistemas es la siguiente:

Ejercicios de identidades trigonométricas Ejercicio: Comprueba las identidades:

1

Solución:

2

Solución:

3

Solución:

4

Solución:

5

Solución:

6

7

Simplificar las fracciones:

1

2

3

Ecuaciones trigonométricas

En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y

por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en

todas las vueltas.

Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para

trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades

trigonométricas fundamentales.

Ejemplos:

Resuelve las ecuaciones trigonométricas:

1

2

3

4

5

7

6

7

1. Un ebanista debe reproducir un tablero triangular del que sólo se conseva el fragmento que indica

la figura. ¿Qué dimensiones tenía la pieza original?

2. Dos motoristas parten del punto en que se bifurcan dos carreteras rectas que forman un ángulo

de 55º. Viajan a 90 km/h y a 120 km/h, respectivamente.¿A qué distancia se encuentran uno del

otro al cabo de 3 minutos?.

4. Desde dos puntos A y B situados en la misma orilla de un río y distantes entre sí 80 m, se observa

un punto C situado en la orilla opuesta, bajo ángulos de 60º y 45º, respectivamente. Calcula las

distancias desde los puntos A y B al punto C.

5. Tres pueblos, A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., la

BC es 9 Km. El ángulo que forman AB y BC es 120º. ¿Cuánto distan A y C?.

6. Un faro, de 50m. de altura, está situado sobre un promontorio. Las respectivas

distancias del extremo superior e inferior del faro a un barco son de 85 y 65 metros. Halla

la altura del promontorio.

7. Sea AB una altura de pie accesible, situado en un terreno horizontal. Desde el punto E, situado a

23,41m. de A, con un aparato colocado en C a un metro del suelo, se dirige una visual a B, que forma

un ángulo de 4º12´ con la horizontal. ¿Cuánto mide la altura AB?.

8. Los lados de un triángulo miden 13, 14 y 15 metros. Calcula el seno y el coseno del

ángulo menor de dicho triángulo.

9. ¿ Es posible que un triángulo tenga lados qué midan a = 15m., b = 7m. y c

= 5m.?

10. Calcula la longitud de un túnel que atraviesa una montaña, sabiendo que la cima

de la misma dista de los extremos del túnel 400 y 520 metros respectivamente y que

desde la cima a los extremos, las visuales forman un ángulo de 40º.

11. Dos barcos salen de un puerto, y desde un mismo punto, según dos rectas

que forman entre sí un ángulo de 60º. Calcula la distancia que los separa

después de dos horas de navegación, suponiendo que mantienen velocidades

constantes de 50 y 65 km/h.

14. Calcula la distancia entre los puntos A y B de la figura siguiente, con los datos que se

indican: CD= 400m. ,

C = 70º ,

D = 80º,

x = 30º,

y = 42º

15. Indica si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes, justificando la

respuesta:

a) “ No se puede calcular cosx, sabiendo sólo que tgx = 0.6”. b) “Nigún ángulo tiene

cosecante –2”. c)“ Es imposible construir un triángulo de lados 8cm., 3cm. y 2cm”. d) “ La

identidad sec(-x) = - secx es cierta”. e) “Todas las ecuaciones trigonométricas

tienen solución”. f) “Se pueden obtener las razones trigonométricas de cualquier ángulo,

si conocemos las de su ángulo mitad” g)”El teorema del seno nos permite resolver cualquier

triángulo”

16. Calcula el área de un triángulo ABC, sabiendo que

A = 46º,

B = 37º y la distancia de

A hasta B es 25m.

17. En la pirámide de Keops, de base cuadrada, el lado de la base mide 230 m y el ángulo

que forma una cara con la base es de 52º. Calcula:

a) La altura de la pirámide. b) La altura de una cara.

c) La longitud de una arista. d) El ángulo que forma la

arista con la base del triángulo.

e) El ángulo superior de cada cara. f) El volumen de la

pirámide.

32. Dos barcos parten de un puerto con rumbos distintos que forman un ángulo de 127°. El

primero sale a las 10 h de la mañana con una velocidad de 17 nudos, y el segundo sale a las 11

h 30 min, con una velocidad de 26 nudos. Si el alcance de sus equipos de radio es de 150 km,

¿podrán ponerse en contacto a las 3 de la tarde?

(Nudo = milla / hora; milla = 1 850 m).

33. En un entrenamiento de la selección española de fútbol, Villa coloca el balón

en un punto que está a 5m y 8m de cada uno de los postes de la portería, cuyo

ancho es de 7m, para lanzar a puerta. Además, Casillas se coloca en el borde

de la portería y enfrente del balón. ¿Bajo qué ángulo ve Villa los dos bordes de

la portería desde el punto de tiro? ¿A qué distancia está Casillas del balón?

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Un triángulo que no es rectángulo se le llama oblicuángulo. Los elementos de un triángulo

oblicuángulo son los tres ángulos A, B y C y los tres lados respectivos, opuestos a los

anteriores, a, b y c.

Un problema de resolución de triángulos oblicuángulos consiste en hallar tres de sus

elementos, lados o ángulos, cuando se conocen los otros tres (uno de los cuales ha de ser un

lado).

Oblicuángulo se contrapone a rectángulo, en sentido estricto. Pero cuando se habla de triángulos

oblicuángulos no se pretende excluir al triángulo rectángulo en el estudio, que queda asumido

como caso particular. No obstante cuando el triángulo es rectángulo, porque se dice

expresamente que lo es, el problema se reduce, tiene un tratamiento particular y no se aplican las

técnicas generales de resolución que vamos a ver seguidamente.

Se utilizan tres propiedades:

Suma de los ángulos de un triángulo A + B + C = 180º

Teorema del seno

Teorema del coseno

a2 = b2 + c2 - 2·b·c·Cos A

b2 = a2 + c2 - 2·a·c·Cos B

c2 = a2 + b2 - 2·a·b·Cos C

Casos en la resolución de triángulos:

CASO DATOS CONOCIDOS INCÓGNITAS

I Los tres lados: a, b, c Los tres ángulos A, B, C

II Un lado y los ángulos adyacentes: a, B, C Dos lados y un ángulo: b, c, A

III Dos lados y el ángulo formado: a, b, C Un lado y dos ángulos: c, A, B

IV Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a, b, A Un lado y dos ángulos: c, B, C

CASO I: Se dan los 3 lados del triángulo: a, b y c

ORIENTACIONES

Hay que tener en cuenta que este caso no siempre tiene solución, es decir no valen cualesquiera

tres segmentos a, b y c ya que para que pueda formarse un triángulo ha de cumplirse que

cualquier lado ha de ser menor que la suma de los otros dos.

Esta propiedad se conoce como propiedad triangular y se expresa así:

a < b + c b < a + c c < a + b

Ejemplo: a, b y c son los lados del triángulo y miden: a =7, b =10 y c = 6.

La solución trigonométrica de A, B y C se obtiene calculando en el

siguiente orden:

1º Aplicando el teorema del coseno despejamos Cos A y Cos B, para

calcular A y luego B

2º Aplicando la relación de la suma de ángulos se calcula C:

cos 𝐵 =72 + 62 − 102

2.7.6=

−15

84= −0,17857 cos 𝐴 =

102 + 62 − 72

2.10.6=

87

120= 0,725𝐴

= cos−1 0,75 = 43,531152º = 43º 31´52´´

𝐶 = 180º − 43º31´52´´ − 100º17´12´´ = 36º 10´ 56´´𝐵= cos−1 −0,17857 = 100,28656º = 100º 17´12´´

Ejercicios Caso 1: Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos:

CASO II: Se da un lado y los ángulos adyacentes

ORIENTACIONES

La única limitación es que los dos ángulos tienen que sumar menos de 180º (B + C < 180º)

para que sea posible la construcción.

En un triángulo un lado mide a = 10, y los ángulos adyacentes a este miden B = 45º, C = 76º

La solución trigonométrica se consigue aplicando el siguiente orden a las propiedades:

1º Suma de los ángulos B + C para determinar A

2º Teorema del Seno para determinar sucesivamente los lados b y c.

Ejercicio: Para localizar una emisora

clandestina, dos receptores, A y B, que distan entre sí 10 km, orientan sus antenas hacia el punto donde está la emisora. Estas direcciones forman con AB ángulos de 40º y 65º. ¿A qué distancia de A y B se encuentra la emisora?

CASO III: Se dan dos lados y el ángulo que

forman

Por ejemplo: en triángulo dos lados miden respectivamente a = 6, b=8 y el ángulo comprendido

entre ellos mide C=100º.

La solución trigonométrica se consigue aplicando en el mismo orden las siguientes

propiedades:

1º Teorema del coseno para calcular el lado c,

2º Teorema del seno para calcular el ángulo A

3º Una vez conocidos A y C, la propiedad de la suma de los tres ángulos para calcular B.

Ejemplo: Resolver el siguiente triángulo:

CASO IV: Se dan dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

ORIENTACIONES

Este caso es el más complejo ya que se pueden dar tres situaciones:

No existe triángulo

Existe un triángulo

Existen dos triángulos.

Suponemos conocidos los lados a y b y el ángulo A opuesto al lado a.

La solución trigonométrica se consigue aplicando las siguientes propiedades en el mismo orden:

1º Teorema del seno para calcular el ángulo B

2º La propiedad de la suma de los tres ángulos para calcular C

3º Nuevamente el Teorema del seno para calcular el lado c

Ejemplos: Resuelve los siguientes triángulos:

a = 3, b = 5, A = 80º

Ejercicios y Problemas:

1) De un triángulo ABC se conoce a = 8 cm, c = 14 cm y B = 50º. Hallar los elementos que faltan.

2) De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.

3) De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30°. Calcula los restantes elementos.

4) Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m.

5) Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 6 m.

6) Resuelve el triángulo de datos: A = 60°, a = 8 m y b = 4 m.

7) Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.

8) Resuelve el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.

9) Calcula la altura, h, de la figura:

10) Calcula los lados c y a.

Ley de senos

La sombra que proyecta un árbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal mide 4,3 m. ¿Cuál es la medida del

ángulo que hace la horizontal con la línea que une los dos puntos extremos, de la sombra y del árbol?

5.Un avión sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ángulo constante de 10º hasta que logra

una altura de 6 km. Determina a qué distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento.

6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8 metros del suelo y

observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ángulo de elevación de

35º y la parte inferior, con un ángulo de depresión de 43º. Determina la altura del edificio de enfrente.

TEOREMA DEL COSENO

1. En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un triángulo, mientras que a, b, g

son las medidas de los ángulos opuestos a esos lados, respectivamente. Resuelve el triángulo en cada caso:

a) a = 10 cm. b= 12 cm. = 35º

b) a = 7 m. b = 6 m. c = 4 m.

c) c = 10 cm. = 40º = 70º

d) a = 12 cm. b = 16 cm = 43º

e) = 53º = 75º c = 30,5 cm.

f) = 48º = 68º c = 47,2 mm.

2. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ángulo de 36º y tienen longitudes de 3 y 8 cm.

Determina la longitud de la diagonal menor.

3. Dos trenes parten simultáneamente de una estación en dirección tal que forman un ángulo de 35º. Uno va a 15

km/hr y el otro a 25 km/hr. Determina a qué distancia se encuentran separados después de dos horas de viaje.