36

Semana 1 Leyes Exponenciales

Sonaquellas definiciones y teoremas que

estudian a los exponentes a través de las

operaciones de potenciación y radicación.

POTENCIACIÓN:

Notación: Pan

a: Base n: exponente P: potencia

Exponente natural

na

Exponente cero 0;10 aa

Nota: 00 no está definido

Exponente negativo

Si a 0 n N se define:

0;1

aa

an

n

Teoremas:

1. Multiplicación de bases iguales.

mnmn aaa .

2. División de bases iguales.

3. Potencia de potencia.

4. Potencia de una multiplicación.

5. Potencia de una división.

; b 0

Se efectúa las potencias de arriba hacia abajo

RADICACIÓN EN :

nn rara

1. Raíz de una multiplicación:

=

2. Raíz de una división:

si b 0

3. Raíz de una radicación:

n veces

a si n

a a a si n

1

. ... 2

mm n

n

bb

b

n m

m m n nb b b.

n n nab a b

n n

n

a a

b b

zbbb yxmpnm

na

nb

n ba

n

nn

a a

bb

n m nmb b

. .

37

Exponente fraccionario:

Si existe en se define:

PRÁCTICA DIRIGIDA

Problema 1

Problema 2

Problema 3

A) 9 B) 6 C) 10

D) 12 E) 13

Problema 4

Problema 5

Si xx = 3, calcular: x1xxG

a) 81 b) 9 c) 27 d) 3 e) 243

Problema 6 Hallar el valor de m para que se cumpla la siguiente igualdad:

5,12

y

x3 xy 6

1m8

a) 3 b) 1 c) 1/3 d) 33 e) 43 Problema 7

Si se cumple

Problema 8 Resolver: xx = 0, 25 a) 2 b) – 2 c) 4

d) 1/2 e) 1/8

Problema 9

13. Si: 2xxx

Reducir: xxxx

2xG

a) 2 b) 2 c) 4

d) 22 e) 9.

Problema 10

nm

a

mn

n ma a

38

Problema 11

Al resolver la ecuación

Problema 12

Calcular "X" en: 21X

+ 22X

= 96

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Problema 13

Problema 14

Problema 15

Problema 15

Reducir: c

c

cb

b

ba

a

a

41

41

31

31

21

21M

a) 1 b) 3 c) 7

d) 9 e) 21

Problema 16

Problema 17

Problema 18

Problema 19

Luego de reducir T=)2(2)2(30)2(4

)2(2)2(6)2(5313

312

xxx

xxx

Halle el costo de pintar elcontorno de una

Plaza cuyo perímetro es )42( 82 T

metros, si el pago por metro lineal es S/ 2,5.

A) S/ 120 B) S/ 120,5 C) S/ 130 D) S/ 150 E) S/ 150,

39

Problema 20

Problema 20

Semana 2 Término Algebraico

Es una expresión algebraica donde no están

presentes las operaciones de adición y

sustracción.

Ejemplo:

354),( yxyxM

TÉRMINOS SEMEJANTES

Dos o más términos serán semejantes si a los

exponentes de las respectivas variables son

iguales:

P(x;y) = 4x2y7 y Q(x;y) = –2x2y7

POLINOMIO

Son expresiones algebraicas racionales enteras

en las cuales las variables están afectadas solo de

exponentes enteros positivos.

P(x;y) = 5x3y7 (monomio)

R(x;z) = 2x2z + 5z5 (binomio)

F(x) = 3 – 5x + x2 (trinomio)

GRADO DE UN MONOMIO

A. Grado Relativo:

Es el grado respecto de una de sus variables y el

valor es el exponente que afecta a dicha variable.

Ejemplo: Sea P(x;y;z) = x5y3z

GR(x) =5 , GR(y) =3 , GR(z) =1

B. Grado Absoluto:

Es la suma de los grados relativos.

3

5

Exponentes

Variables

Coeficiente

40

Ejemplo: Sea R(x;y;z) = 2x4y5z3

GA = 4+5+3

GRADO DE UN POLINOMIO

A. Grado Relativo:

Es el grado del polinomio respecto de una de sus

variables y el valor es el mayor de los grados

relativos de la variable en cada término.

Ejemplo: Sea P(x,y) = 3x3y5 – 7x2y9 + 5x7

GR(x) =7 , GR(y) =9

B. Grado Absoluto: (Grado del polinomio)

Es el mayor de los grados absolutos de cada

término.

Ejemplo: Si F(x;y) = 2x2y3 – 7x6y + 4x4

OBSERVACIONES: Sea P(x) un polinomio de

grado “n”de la forma siguiente:

P(x) a0 xn+a1 x n –1+a2 x n –2+....+an. Con: a0

0 tener en cuenta lo siguiente:

a0=coeficiente principal o coeficiente

director (directriz).

an=término independiente o término

constante.

El valor numérico (V.N.) del polinomio P(x)

cuando su variable “x” es sustituida por “a”

(numero real ) se representa asi:

Notar que para nuestro polinomio:

P(x) a0 xn +a1 x n–1+ a2 x n – 2+ .... +an.

Polinomios Especiales

POLINOMIO MÓNICO:

Un polinomio de una variable que tiene

coeficiente principal 1 se le denomina mónico.

Ejemplos: A(x) = 1 + x2 + 3x

B(x) = 7 –2x2+x3 , C(x) = x

POLINOMIO ORDENADO:

Con respecto a una variable es aquel que presenta

a los exponentes de dicha variable colocados en

forma ascendente o descendente.

Ejemplos: P(x) = 4x4 + 12x2 – 3x + 7

POLINOMIO COMPLETO:

Es aquel polinomio que presenta todos sus

exponentes desde el mayor hasta el término

independiente: A(x) = 4x3 + 12x – 7x2 + 16

Nota: Si un polinomio tiene una sola variable y

además es completo, entonces el número de

términos será igual a su grado aumentado en una

unidad.

POLINOMIO HOMOGÉNEO:

Es aquel en el cual todos sus términos tienen el

mismo grado absoluto, al cual se le llama grado

de homogeneidad.

Ejemplo:P(x,y) = 3x3y12 + 23x8y7 – 15x15 –

13y15

POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO:

Es aquel polinomio cuyos coeficientes son todos

ceros.

P(x) = (n – m) x2 + (p – q) x, si es idénticamente

nulo:

n – m = 0 m = n

p – q = 0 p = q

15 15 15 15

TI.P(x)= P(0) x = 0

Coef.P(x) = P(1) x = 1

VN P(x) = P(a) x = a

41

POLINOMIOS IDÉNTICOS:

Dos polinomios son idénticos si sus términos

semejantes tienen coeficientes iguales.

p(x)= ax2 + bx + c , q(x) = dx2 + ex + f

p(x)= q(x)

Si se cumple a = d; b = e; c = f

PRACTICA DIRIGIDA

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Problema 6

Problema 7

Problema 8 Hallar a.b en la identidad de polinomios:

13 – 2x a(2 – x) + b(1 + x) A) 12 B) 14 C) 13 D) 11 E) 15

Problema 9 Calcular a + b + c sí el polinomio

c11x- 2

bx5 -ax2

3x P(x)

42

Es idénticamente nulo.

a) 11 b) 12 c) 15

d) 13 e) 14

Problema 10

Problema 11

Problema 12

Problema 13

Problema 14 Si el polinomio cúbico

1223 42 xxxxxxP aba

es completo , calcule el valor de abP

A)-8 B)1 C)-1

D)4 E)2

Problema 15

Problema 16

Problema 17

43

Problema 18

Problema 19

Problema 20

Semana 3 Principales Identidades:

Trinomio cuadrado perfecto:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Identidades de Legendre:

(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)

(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab

Diferencia de cuadrados:

(a + b) (a – b) = a2 – b2

Desarrollo de un binomio al cubo:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)

Suma y diferencia de cubos:

(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

(a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

IDENTIDA DE STEVEN

(x + a) (x + b) = x2 + (a+b)x + ab

Desarrollo de un trinomio al cuadrado:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)

Desarrollo de un trinomio al cubo:

(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b) (b+c)(a+c)

(a+b+c)3= a3+b3+c3+3(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc

Identidad trinómica (Argan´d):

x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1

44

IGUALDADES CONDICIONALES:

Si: a + b + c = 0 , se cumple:

a3 + b3 + c3 = 3abc

a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc)

PRÁCTICA DIRIGIDA

Problema 1

Si: a + b = 5 ab = 2.

Calcular el valor de : 22 ba

A) 1 B) 2 C) 3

D) 2 E) 5 Problema 2

Si: x3 + y3 = 280; x+y = 10

Calcule: “xy”

A) 2 B) 18 C) 24

D) 32 E) 26

Problema 3

Problema 4

Problema 5

Si x+y=1, calcule el valor de la expresión

2

422 ))((

x

yyxyx

A) 1 B) x C) x2

D) y2 E) xy

Problema 6

Problema 7

Si se cumple que: 1

x x 2 3

Hallar:

4

2

x 1

x

a) 3 b) 5 c) 3

d) 1 3 e) 2 3 Problema 8

Sabiendo que: 2

x 4x 1

Hallar: 3

3

1x

x

a) 52 b) 64 c) 12 d) 8 e) 48 Problema 9

Problema 10

Problema 11

Si: a + b +c = 0, abc = 5

Calcular: E = (2a + b + c)3 + (a + 2b + c)3 + (a + b + 2c)3

A) 5 B) 15 C) 45 D) 9 E) 18

45

Problema 12

Si: 2yxxy 11

Calcular el valor de:

y

x

x

yx3M

n2

2nn

a) 20 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 Problema 13

Si: a + a-1 = 8. Calcular: M = a2 + a-2 a) 64 b) 66 c) 60 d) 62 e) 58 Problema 14

Sabiendo que: x3=1 y x ≠ 1 Reduzca: x5 + x + 1 A) 2 B) 1 C) 0 D) -1 E) 4 Problema 15

Si: x2 + 1 = – x . Halle:

A) 2 B) 3 C) 1

D) 4 E) 6 Problema 16

Problema 17

Problema 18

Problema 18

Problema 19

Problema 20

2x

xxx 999

46

Semana 4 División Algebraica

Dados dos polinomios D(x) y d(x) de grados “m”

y “n” respectivamente llamados dividendo y divisor;

dividir D(x) entre d(x) consiste en hallar otros dos

polinomios q(x) y R(x) denominados cociente y

residuo, donde el máximo grado de R(x) es (n–1) o

bien R(x) = o; si es que la operación fuera exacta, de

tal manera que estas expresiones verifiquen la

identidad fundamental de la división entera,

establecida por Euclides.

Identidad fundamental de la división entera

Dados los polinomios dividendo D(x), divisor d(x),

cociente q(x) y residuo R(x), establecidos por la

definición. Se cumple la identidad:

Conocido universalmente como el ALGORITMO

DE EUCLIDES, desde el punto de vista algebraico.

MÉTODO DE GUILLERMO HORNER

Es el criterio equivalente del método de los

coeficientes separados, y por ello, este procedimiento

requiere las mismas condiciones. Su utilidad es muy

frecuente, debido a que el DIAGRAMA establecido

por Horner, facilita el proceso operativo.

Ejemplos aplicativos Dividir

Del esquema de Horner, se tiene:

Se obtienen: q(x) = 5x3+x2+2x+6

R(x)= 6x+11

REGLA DE PAOLO RUFFINI

Es un caso particular del método de Horner, y se

utiliza para dividir un polinomio de cualquier grado

entre un divisor de primer grado o transformable a él.

Divisor de la forma (x+b) Si el coeficiente a=1, el procedimiento

simplificado de Ruffini generará directamente el

cociente y el residuo de la operación. Veamos:

Ejemplo 1

Dividir:

Regla

Los elementos de la división obtenidos son:

Cociente:

Residuo: R(x) = 4

TEOREMA DE RENATO DESCARTES

(Teorema del Resto)

El residuo de dividir P(x) entre (ax + b), se calcula

al evaluar dicho polinomio P(x), cuando su variable

“x” asume el valor de

(–b/a).

Ejemplo explicativo:

Calcular el residuo de dividir:

De acuerdo al teorema, se trata de evaluar el

polinomio:

P(x) = 6x5 + 9x4 + 4x2 + 8x + 5

para x = . Es decir:

Esto nos conducirá a la obtención del residuo.

Efectuando, resulta:

R = 9 – 12 + 5 = 2

R q d D (x)(x)(x))x(

5 4 3 2

2

10 x 17 x 18 x 13 x 14 x 19

2 x 3 x 5

2 10 17 -18 13 14 -19-3 - 15 25 5 -3 5 -6 10 -18 30 5 1 2 6 6 11

Cociente Residuo

5 4 23 x 7 x 4 x 5 x 6

x 2 x 2 0 x 2

3 -7 0 4 5 -6

2 6 -2 -4 0 10

3 -1 -2 0 5 4

4 3 2( x )q 3x –x –2x 5

5 4 26 x 9 x 4 x 8 x 5

2 x 3

3

2

5 4 2

3

2

3 3 3 3P 6 9 4 8 5

2 2 2 2

729 729 36 24

R 516 16 4 2

47

PRÁCTICA DIRIGIDA

Problema 1

Problema 2

Problema 3

Problema 4

A) -124 B) -125 C) 25 D) 5 E) 625 Problema 5

Problema 6

Problema 7

Problema 8

Hallar el resto de: )x1)(x1(

4)x1(

A) 8x B) 8x+8 C) 8x-6 D) 8x+11 E) 16 Problema 9

Problema 10 Si en la siguiente división.

4 3 2

2

3 2

1

x x x ax a

x x

El residuo no es de primer grado. Calcular dicho residuo. a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

Problema 11

48

Problema 12

Problema 13

Halle el residuo en:

12

72021

12020

2

xx

xx

a) 3 b) 2x -1 c) 3x + 2

d) 2x - 4 e) 2x + 4

Problema 14

Problema 15

Problema 16

Problema 17

Problema 18

Problema 19

Problema 20

49

Problema 20

Semana 5

Cocientes Notables

Son aquellos cocientes que se pueden obtener en

forma directa sin necesidad de efectuar la operación

de división.

Condiciones que debe cumplir:

Donde : x; y bases m Z+; m 2

DEDUCCIÓN DE LOS COCIENTES

CASO I: (para n=par o impar)

=………………………………………

CASOII:(para n=impar)

=……………………………………

CASOIII:(para n=par)

=………………………………………

CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE

PARA OBTENER UN C.N.

De: se debe cumplir: ;r Z+

FORMULA DEL TÉRMINO GENERAL DE UN

C.N.

Es una fórmula que nos permite encontrar un término

cualquiera en el desarrollo de los C.N., sin necesidad

de conocer los demás.

De la división:

Tenemos: . .

Donde:

tk término del lugar k

n número de términos de q(x)

m mx y

x y

n nx y

x y

n nx y

x y

n nx y

x y

m n

p q

x y

x y

m nr

p q

n nx y

x y

n k kkt signo x y 1

50

PRÁCTICA DIRIGIDA

Problema 1

2

30

yx

yxn

m

Sabiendo que el cociente de la división; consta de 10

términos. Determine el valor de:nm

A) 60 B) 8000 C) 203

D) 600 E) 8

Problema 2

Hallar el 12vo término del desarrollo del siguiente

cociente notable: 19 19x y

x y

a) -x7y13 b) x11y7 c) -x9y12

d) x12y9 e) -x7y11

Problema 3 El penúltimo término del C.N. generado por

40 10

4

x y

x y

, es.

a) x9 y8 b) –x4 y8 c) x4 y8

d) x8 y9 e) –x8 y9 Problema 4

Problema 5

Problema 6

Problema 7

Problema 8

Problema 9

Simplificar:

A) x8 + 1 B) x8 – 1 C) x6 + 1 D) x6 – 1 E) x10 + 1 Problema 10

A) 591 B) 191 C) 491 D) 391 E) 291 Problema 11

14 12 10 2

6 4 2x x x ...... x 1

x x x 1y

51

Si en el desarrollo del C.N. 5m m

5

x r

x r

; el término de

lugar 8 contado a partir del extremo final tiene grado absoluto 37, Hallar ‘m’. A) 12 B) 15 C) 10 D) 9 E) 16

Problema 12 La edad de juan Carlos en años, es el grado absoluto del término de lugar 9 en desarrollo del cociente

notable 98

34124

mm

mm

yx

yx

¿Qué edad tendrá Juan Carlos dentro de 8 años? a) 52 b) 56 c) 48

d) 42 e) 50

Problema 13

Problema14

Problema 15

Problema 16

Problema 17

Problema 18

Problema 19

52

Problema 20

Semana 6 Factorización

Es el proceso de transformación de un polinomio

en una multiplicación indicada de sus factores

primos o sus potencias.

FACTORIZACIÓN

CRITERIOS PARA FACTORIZAR

POLINOMIOS.

CRITERIO DEL FACTOR COMÚN

Consiste en buscar factores comunes a todos los

términos de un polinomio para luego extraerlos.

Ejemplo:

luego el polinomio presenta 3 factores primos:

x;y ; 2x + 3y + 1

Factorizar:

N(x;y) = (x + 2)y + (x + 2)x + (x + 2)

= (x + 2) (y + x + 1)

Luego el polinomio presenta dos factores

primos: (x+2); (y + x +1)

AGRUPACIONES:

Consiste en agrupar términos convenientemente

tratando que aparezca algún factor común.

Ejemplo:

Factorizar:

Luego el polinomio presenta dos factores

primos:

Factorizar:

Luego el polinomio presenta tres factores

Primos: (a + b + c) ; a ; (1 + a).

2x1x2x3xp 2x

1y3x2xy

yy3xy2x

xyxy3yx2y,xP

2

22

1zxyx

yxyxzyxx

yxzyzxxyxz;y;xp 2

1zx;yx

a1acba

aacba

cbaacbaa

cabaaacabac;b;aR

2

2

2232

53

IDENTIDADES:

Factorizar:

Luego el polinomio presenta dos factores

primos (a + b + c) ; (a + b + c +1 )

CRITERIO DE ASPAS

Aspa simple

Forma general del polinomio a factorizar.

Donde: m, n N

Procedimiento:

Se descompone los extremos de buscar el

término central.

Aplicación

Luego:

El polinomio presenta dos factores primos.

ASPA DOBLE

Forma general del polinomio a factorizar:

donde m; n N

Aplicación:

Factorizar:

luego:

el polinomio presenta dos factores primos.

Aspa Doble Especial

Forma general del polinomio a factorizar:

Donde: n N

Aplicación:

Factorizar:

Balance:

Tenemos: Falta:

El polinomio presenta dos factores cuadráticos

primos

DIVISORES BINÓMICOS

Se aplica para factorizar polinomios que admiten

por lo menos un factor lineal.

Raíz de un polinomio:

Sea un polinomio tal que

Ejemplo:

“1” es raíz de P(x)

Posibles Raíces Racionales

Sea:

Donde:

Ejemplo:

1cbacba

1.cbacba

cbaa2bc2ab2cba

bc2cac2bab2acbac;b;aN

2

222

222

m2mnn2 CyyBxAxy;xP

xy20

xy18y6x

xy2y2x3

y12xy20x3y;xP 22

y6xy2x3y;xP

FEyDxCyyBxAxy;xP mnm2mnn2

2yx3

2y2x5

4y6x16y2xy11x15y;xP 22

2yx32y2x5y;xP

EDxCxBxAxxP nn2n3n4

2

22

22

23n4

x5

x22xx

x33x2x

6x7x7x3xy;xP

2x5 222 x2x5x7

2xx3x2xxP 22

2xx;3x2x 22

xP 1xPº

0aPxPderaízes"a"

8x7xxP 3

01P1x

n1n1n

1n

o axa...xaxaxP

0aa no

o

n

adeDivisores

adeDivisoresPRR

3x4x5x2xP 23

2deDivisores

3deDivisoresPRR

2,1

3,1PRR

54

Luego el polinomio P(x) posiblemente se anule

para algunos de estos valores.

Si x=1 P(1)=0 “1” es una raíz racional

P(x)

TEOREMA DEL FACTOR

Sea P(x) un polinomio tal que

PRÁCTICA DIRIGIDA

Problema 1

Factorizar: P(x) = x2(x + 7) + 4x(x + 7) + 4x + 28

Indicando un factor primo. a) x+1 b) x+2 c) x+3 d) x+8 e) x+9

Problema 2

Problema 3

Problema 4

Problema 5

A) 6 B) 5 C) 4

D) 3 E) 2 Problema 6

Problema 7

Problema 8

Problema 9

Problema 10

2

33,

2

1,1PRR

2

3,3,

2

1,1

1xPº

xpdefactorunesax0aP

55

Problema 11

Problema 12

Problema 13

Problema 14

Problema 15

Problema 16

Problema 17

56

Problema 18

Problema 19

Problema 20

Problema 21