(3.b) modelos exponenciales de colas introducciÓn a

U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística

U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística TEORIA DE COLAS

(3.b) MODELOS EXPONENCIALES de COLAS

INTRODUCCIÓN A LOS PROCESOS DE NACIMIENTO YMUERTE. Ecuaciones de equilibrio. Condición de E.E.

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO: La cola M/M/1. Ilustración del comportamiento.

MODELOS DE COLAS EXPONENCIALES. Trabajo de servidores en paralelo. Casos importantes: M/M/s , M/M/s/K , M/M/s/./N. Propiedades. Longitudes medias y Tiempos de permanencia.

tresteve

Cap. 15 Hillier F.S., Lieberman G.J. “Introduction to Operations Research” Holden day Inc. 1986. Cap. 4 Gross D., Harris C.M."Fundamentals of queueing theory" John Wiley and Sons. 1998.

U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística

TIEMPO DE VIDA CONDICIONAL

PROPIEDAD 2. Caso exponencial. Ausencia de memoria

θ s

τi-1 τi

Máquina 1

Máquina 2τ1

τ2

τN=2 N=3 N=5

N=20 N=50Palm(1943)


PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE

Puede ocurrir que el tiempo entre llegadas τ sea v.a. condistribución dependiente del estado N del sistema.

τi1 τi2

τi3 τik … …t

τik

• "Nacimiento" indica llegada al S.E• "Muerte" indica salida del S.E.

1. Si ( ) ntN = el tiempo entre llegadas τ ~ exp. de parámetro nλ .2. Si ( ) ntN = el tiempo de servicio ~exp. De parámetro nµ .

Sólo una llegada o una salida al/del sistema puede darse encada instante t.

Diagrama de tasas de transición

Muestra las posibles transiciones permitidas en el estado del sistema enun instante.

La distribución de probabilidades del estado del sistema, N(t), en régimenestacionario es relativamente intuitivo de deducir a partir del diagrama detasas de transición.

0 1 2 n-1 n n+1• • • • • •

λ0 λn-1λ2λ1 λn λn+1

µ1 µ2 µ3 µn µn+1 µn+2

Tasas del proceso de llegadas al S.E.

Tasas del proceso de servicio en el S.E.

0 1 2 n-1 n n+1• • • • • •

λ0 λn-1λ2λ1 λn λn+1

µ1 µ2 µ3 µn µn+1 µn+2

( )( )

( )( )

M

M

M

M

nnnnnnn

nnnnnnn

PPPPPP

PPPPPP

PP

nn

emergenteTasaincidenteTasaEstado

⋅+=⋅+⋅⋅+=⋅+⋅

⋅+=⋅+⋅⋅+=⋅+⋅

⋅=⋅

−

=

++−−

−−−−−

µλµλµλµλ

µλµλµλµλ

λµ

1111

11122

2223311

1112200

0011

1

210

Hay tantas ecuaciones como valores pueda presentar N(t), portanto, si en el S.E. sólo pueden haber como máximo K clientes,habrán K+1 ecuaciones.

tresteve

...

tresteve

...

( )

( ) ( )

( ) ( )

⋅=⋅==

⋅=⋅=⋅−⋅⋅+⋅=⋅−⋅⋅+⋅=

⋅=⋅=⋅−⋅⋅+⋅=⋅−⋅⋅+⋅=

⋅=⋅=⋅−⋅⋅+⋅=

⋅=

+++

−−

−−

−−−−−−

−

MK

KL

K

KM

0121

10

11

021

1101

100111

122111

1

0321

2102

3

20011

32

3

21122

32

3

23

021

101

2

10011

21

2

12

01

01

11

11

1

PPP

PPPPPPPPP

PPPPPPPPP

PPPPPP

PP

n

nn

n

nn

n

nn

n

n

nn

n

nnnnn

nn

n

nn

µµµλλλ

µλ

µµµλλλ

µλ

λµµµ

λλµ

µµλ

µµµλλλ

µλ

λµµµ

λλµ

µµλ

µµλλ

µλ

λµµµ

λµλ

Resolución del sistema de ecuaciones


1 ; 21 0

21

110 === − CnCn

nn K

K

K ,,µµµ

λλλ

KK

K ,,210021

110 =⋅=⋅= − nPCPP nn

nn µµµ

λλλ

∑∑

∑∞

= ∞

=

∞

==→=⋅=

0

0

000

11n

nn

nn

nC

PPCP

+∞<∑∞

=0nnC

Las probabilidades de estadoestacionario quedan definidas si:

En caso de que el S.E. pueda contener sólo K clientes como máximo,el sumatorio se extiende de n=0 a n=K y siempre será finito.

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO: el modelo M/M/1

Hipótesis del modelo:

• Tiempos entre llegadas i.i.d. de ley exponencial con parámetro λλ =n .• Tiempos de servicio i.i.d. según una ley exponencial de parámetro µµ =n .• Un único servidor, s = 1.

0 1 2 n-1 n n+1• • • • • •

λ λλλ λ λ

µ µ µ µ µ µ

K

K

,2,1,2,1,0

====nn

n

n

µµλλ

tresteve

...

tresteve

...

➨ Hay régimen estacionario si el factor de carga del S.E. es µλρ = <1

➨ Dado que 1<ρ

→===

== − 1,2,1 021

110 CnC nn

n

nn K

K

K ρµλ

µµµλλλ

K,2,1,000 =⋅=⋅= nPPCP nnn ρ

y por tanto,

( ) K,2,1,010 =−⋅=⋅= nPCP nnn ρρ

ρ

ρρ

−=

−

=∑

=∑

= ∞

=

∞

=

1

11111

00

0

n

n

nnC

P

1000

=∑=∑∞

=

∞

=PCP

nn

nn

tresteve

(Distribución geométrica)


EJEMPLO DE LA EVOLUCIÓN DE UNA COLA M/M/1COMPORTAMIENTO: Pueden presentarse dos situaciones:

1. En promedio la afluenciade clientes al S.E.sobrepasa la capacidad detrabajo del Sistema deServicio:

N(t) PRESENTA UNATENDENCIA CRECIENTE

2. El Sistema de Servicio tienesuficiente capacidad detrabajo frente a la afluenciade clientes:

N(t) puede crecer en ocasiones,pero el S.E. siempre retorna al

estado 0 (vacío)

t

N(t)

N(t)

t

ρ ≥ 1

ρ <1

➨ La esperanza matemática de la variable aleatoria estado del sistema ( 1<ρ )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( ) λµ

λρ

ρρ

ρρ

ρρρρρ

ρρρ

ρρρρρρρ

−=

−=

−⋅−⋅=

=

−

⋅−⋅=

−⋅=

=⋅−⋅=⋅−=⋅−⋅=⋅=

∑

∑∑∑∑∞

=

−∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

1111

1111

111

2

0

1

0000

dd

dd

nnnPnL

n

n

n

n

n

n

n

nnn

➨ La esperanza matemática de la variable aleatoria longitud de cola en un sistema deespera M/M/1 ( 1<ρ )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )λµµλ

ρρρ

ρρρ

−⋅=

−=−

−=−=

=−−=−⋅=⋅−=∑ ∑∑∞

=

∞

=

∞

=22

01 11

11

11

L

PLPPnPnLn n

nn

nnq


UTILIZACIÓN DE LAS FÓRMULAS DE LITTLE

Distribución de la v.a. tiempo depermanencia en el S.E. de uncliente:

w ~ exp. E[w]=W


TIEMPO DE VIDA CONDICIONAL

PROPIEDAD 2. Caso exponencial. Ausencia de memoria

θ s

τi-1 τi

U P C

I.O.E. Diplomatura de Estadística

TRABAJO DE SERVIDORES EN PARALELO

La variable aleatoria U definida como el mínimo de entre nvariables aleatorias independientes y exponenciales nTT ,,1 L ,

de parámetros respectivos nαα ,,1 L , sigue una ley exponencial

de parámetro ∑=

=n

ii

1αα .

es decir, { }nTTMinU ,,1 K= y por tanto la función de distribución de U ,

( ) { }( ) { }( ) { }( ) { }( ) { }( )tttt

nnU

eeee

tTPtTPtTtTPtUPtUPtFn

i in αααα −−−− −=∑−=−=

=>>−=>>−=>−=≤== 111

1,,1111

11

L

LK

U P C


La interpretación que puede darse de la propiedad en el caso del tiempo entrellegadas es que si la población esta constituida para diferentes clases de clientesque llegan cada una al sistema de espera según una ley exponencial vinculada ala clase, entonces el tiempos entre las llegadas de 2 clientes cualesquiera sigueuna ley exponencial, o el que es equivalente, la población puede tratarse desdeel punto de vista de la distribución entre llegadas al sistema de espera como sifuera homogénea.

Fuente 1

Fuente 2

Fuente n

α1

α2

αn

α1 + α2 + …+αn

U P C


Si hay n servidores, el tiempo que resta hasta la próxima finalizaciónde servicio no depende del instante ni del servidor que ha completadoel último servicio y sigue una distribución exponencial, lo que permitetratar sistemas de espera con n>1 servidores, como si tuvieran unúnico servidor pero que trabaja tan rápido como los n juntos.

Supongamos n fuentes exponenciales y sean r1 …rn los intervalos de tiempotranscurridos desde el último suceso para las fuentes 1 … n respectivamente.Consideremos variables aleatorias s1 …sn , tiempos contados desde el instanteactual hasta el próximo suceso para cada una de las n fuentes.

Por la propiedad de ausencia de memoria lasvariables aleatorias s1, … sn también sedistribuyen exp. con parámetros α1 , α2 …, αn

el tiempo contado a partir del instante actualhasta que algún otro suceso proviniente delas n fuentes se produzca, se distribuye

exponencialmente con parámetro ∑==

n

ii

1αα .

r1

r2

rn

s1

s2

sn

Instante actual

• Tiempos entre llegadas τ i.i.d. de ley exp. con parámetro λ.• s > 1 servidores iguales.• Tiempo de servicio x i.i.d. según una ley exp. de parámetro µ.

+=⋅−=⋅

=

==

K

KK

,,,,,,,,

1121

210

ssnssnn

n

n

n

µµ

µ

λλ

MODELO M/M/s

0 1 2 s-1 s s+1• • • • • •

λ λλλ λ λ

µ 2µ 3µ sµ sµ sµ


Si el factor de carga ρ del S.E. 1<⋅

=µ

λρs

+=

−=

== −−

K

K

K

K

,,!

,,,!

11

1211

21

110

ssnss

snnC sns

n

n

nn

µλ

µλµλ

µµµλλλ

+=⋅

−=⋅

=⋅= −

K

K

,,!

,,,!

11

1211

0

0

0

ssnPss

snPnPCP sns

n

nn

µλ

µλµλ

ρµλ

µλ

µλ

µλ

µλ

−

+

=

+

==

→=⋅=

∑∑∑∑

∑∑

−

=

∞

=

−−

=

∞

=

∞

=

∞

=

1111

111

111

1

0

1

00

0

00

0

ss

n

n

sn

snss

n

n

n n

n nn n

snssnC

P

PCP

!!!!


( ) ( )

( )⋅

−

=

==

=⋅=⋅−= ∑∑ ∑

∞

=

−+∞

=

∞

=+

20

00

0

11

1

ρρ

µλ

ρµλ

Ps

PsnPnPsnL

s

n

snss

sn n nsnq

!

...!

µλ

µλλ +=

+⋅=⋅=⋅= ∑

∞

=qq

nn LWWPnL 1

0

Resumen del cálculo de una cola M/M/s (se conocen λ, µ, s)

=→+=

=

→−

=→

λµλ

λ

ρρ

µλ

LWLL

LW

PsLP

q

qqs

q)1(!

12

00


{ }( )

ρµλρ

µλ

ρµλ

−

=

=

=

==≥

∑

∑∑

∞

=

∞

=

−∞

=

111

1

0

00

0

Ps

Ps

Ps

PsnPs

n

ns

sn

sns

sn n

!!

!Fórmula C-Erlang

Distribuciónde Poisson

U P C


El modelo M/M/s/K

Sistema de espera con limitación de capacidad que presupone:

1. Tiempos entre llegadas τ i.i.d. exp. de parámetro λλ =n .

2. Tiempos de servicio x i.i.d. exp. de parámetro µ .

3. Un conjunto de servidores en paralelo s > 1.

4. El número de clientes al sistema de espera es ≤ K.

El número máximo de clientes N(t) presentes en el S.E. debe ser ≤ K

Si el S.E. está lleno al llegar un cliente éste se pierde:

➨ Siempre alcanzará régimen estacionario.

0 1 2 s-1 s s+1• • • • • •

λ λλλ λ λ


K

U P C


1

,2,10

,,1,!

1

1,,2,1!

1

021

110 =

++=

+=

−=

==−

− Ci

KKn

Kssnss

snn

Csns

n

n

nn

K

K

K

K

K

µλ

µλµλ

µµµλλλ

➨ Lo que facilita el estado del sistema en régimen estacionario: 0PCP nn ⋅=

∑∑∑

∑∑

=

−−

=

∞

=

∞

=

∞

=

+

==

→=⋅=

K

sn

snss

n

n

nn

nn

nn

ssnC

P

PCP

µλ

µλ

µλ

!1

!1

11

1

1

00

0

00

0

; 1≠⋅

=µ

λρs .

Si K no es demasiado alto es aconsejable utilizar las fórmulasgenerales para procesos de nacimiento y muerte en equilibrio.

U P C


( )KK

n

K

nnn

nnn PPPP −⋅=⋅=⋅=⋅= ∑ ∑∑

−

=

−

=

∞

=

11

0

1

00

λλλλλ

Población Sistema de Espera

Si N (t) < K

Si N (t) = K

U P C


• La esperanza matemática de la variable aleatoria longitud de cola

( ) ( )

( )( ) ( )( ).11

1!1....

...!

1!

1

20

00

00

ρρρρ

ρµλ

ρµλρ

µλ

−⋅⋅−−−−

=

∑ =

=∑

=∑ ⋅−=

−−

−

=

−

=

−+∞

=

sKsKs

sK

n

ns

sK

n

snss

snnq

sKPs

nPs

PsnPsnL

En las fórmulas presentadas se ha supuesto 1≠⋅

=µ

λρs .

• La esperanza matemática de la variable aleatoria estado del sistema.

µλ

µλλ +=

+⋅=⋅=⋅= ∑∞

=qq

nn LWWPnL 1

0

Aplicación de las fórmulas de Little para el calculo de W y qW .

[ ]λLWEW ==

[ ]

λq

qq

LWEW ==

MODELO M/M/s/./N

S.E. con población finita (N) que presupone:

• Tiempo de permanencia en la población de los clientes i.i.d según leyexp. de parámetro λ

• Tiempos de servicio por servidor i.i.d. según ley exp. de parámetro µ.• Un conjunto de servidores en paralelo s > 1.• Una población finita de clientes limitado al valor N. Para simplificar

se supone N > s.Es un S.E. cerrado: Hay siempre N clientes (población+S.E.)

Tras salir del S.E. el cliente se reintegra en la Población


EJEMPLO: TALLER DE REPARACIONES


En un taller de reparación de motores hay 3 mecánicos.Atienden un conjunto de 12 motores de una planta.• Cada mecánico repara un motor en un tiempo x ~ exp. E[x]=1día.• Tras repararse un motor es puesto en servicio inmediatamente.• El tiempo entre averías de un motor τ ~ exp. E[τ]=20 días.

Motoresfuncionando

TALLER

M/M/s/./N: DIAGRAMA DE TASAS

0 1 2 N-3 N-2 N-1• • •

Nλ 3λ(N-2)λ(N-1)λ 2λ λ


N

( )

( ) 1

,2,10

,,1,!!

!

1,,2,1!!

!

021

110 =

++=

+=

−

−=

−

==−

− Ci

NNn

NssnssnN

N

snnnN

N

Csns

n

n

nn

K

K

K

K

K

µλ

µλµλ

µµµλλλ

( ) ( )∑∑∑

∑∑

=

−−

=

∞

=

∞

=

∞

=

−+

−

==

→=⋅=

N

sn

snss

n

n

n n

n nn n

ssnNN

nnNNC

P

PCP

µλ

µλ

µλ

!!!

!!!1

00

0

00

0

111

No se puede conseguiruna expresión analíticacompacta y los cálculoscon población finita sedesarrollan a partir detablas específicas.

U P C


( ) ( )∑ ∑ ⋅−=⋅−=∞

= =sn

N

snnnq PsnPsnL

➨ La esperanza matemática de la variable aleatoria estado del sistema se puede

deducir a partir de qL ,

−⋅++⋅=⋅+⋅=⋅= ∑∑∑∑∑

−

=

−

==

−

=

∞

=

1

0

1

0

1

00

1s

nnq

s

nn

N

snn

s

nn

nn PsLPnPnPnPnL

➨ Cálculo de la tasa media efectiva de llegadas por unidad de tiempo,

➨ La aplicación de las fórmulas de Little permite deducir el tiempo medio de espera en elsistema W y en la cola de los sistema qW

[ ]λLWEW == y [ ]

λq

qq

LWEW == .

( )

( ) λλλλλ

λλλλλ

⋅−=⋅⋅−⋅=⋅⋅−⋅=

=⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅−=⋅=

∑

∑ ∑ ∑ ∑

=

∞

= = = =

LNLNPnN

PnPNPnNPN

nn

n

N

n

N

n

N

nnnnnn

0

0 0 0 0

M/M/c system-size probabilities

0,000,050,100,150,200,25

0 2 4 6 8 10

size

prob

abilit

y

CDF for M/M/c line waiting times

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 0,5 1 1,5time

cdf

SESION DE PROBLEMAS:USO de QTS_EXCEL

U P C


Terminal de facturación de equipaje

Un terminal de facturación dispone de 2 operarios que atienden los clientes quellegan según una distribución de Poisson de media 80 clientes por hora y esperen enuna cola única hasta que alguno de los operarios esté libre. El tiempo requerido paraatender un cliente esta distribuido exponencialmente con media 1.2 minutos.1. Cual es el número esperado de clientes en la terminal de hacecturación?2. Cual es el tiempos medios que un clientes pasa a la terminal de hacecturación?3. Qué porcentaje del tiempo está libre un determinado operario?

Modelo M/M/2

Tasa de llegadas 80=λ clientes/hora 8.0502

80 =⋅

=⋅

=µ

λρs

Tasa de servicio por operario 502.1

60 ==µ clientes/hora.

=→+=

=

→=→−

λµλ

λρ

ρµλ

LWLs

L

LWPLPq

qq

s

q )1( 20

0 !1

U P C


111.0

8.011

5080

!21

5080

!1

1

11

!1

!1

121

0

1

0

0 =

−

+

=

−

+

=

∑∑=

−

= n

nss

n

n

nsn

P

ρµλ

µλ

( )( )

( )84.2

8.018.0111.0

58

!21

1!1

2

2

20 =−

=

−

=

ρρ

µλ P

sL

s

q clientes

1. El número medios de clientes en el terminal de facturación es

44.4508084.2 =+=+=

µλ

qLL clientes.

2. Un clientes pasa en promedio en el terminal de facturación 0555.08044.4 ===

λLW horas

= 3.33 minutos.

3. ( ) ( ) 2.058211211211 00110 =⋅⋅+=⋅⋅+=⋅+⋅ PPCPP

■

U P C


El servicio de urgencias de un hospital

El servicio de urgencias de un hospital dispone permanentemente de un médico deguardia, pero se han detectado tiempos de espera desaconsejables en muchas ocasiones,de manera que Dirección del Hospital quiere avaluar los beneficios de disponer de unsegundo médico de urgencias. La tasa de llegada de enfermos al servicio de urgenciases de 1 paciente cada 30 minutos y el tiempo medio de servicio es de 20 minutos para

paciente. Determinar los parámetros WiWLLP qq ,,,, 0ρ con s=1 y s=2 médicos deguardia. Determinar la función de distribución de probabilidad del tiempo de espera hastaser examinado un paciente en ambas situaciones.

En el caso M/M/1,

32==

µλρ ; 3

132110 =−=−= ρP pacientesL 2

32132

1=

−=

−=

ρρ

( ) pacientesLq 34

32132

1

22

=−

=−

=ρ

ρ

hora 112 ===

λLW ( ) hora

32132 =⋅=⋅= WWq ρ

U P C


En el caso M/M/2, 31

322 =⋅

=⋅

=µ

λρs .

21

3111

32

!21

32

!1

1

11

!1

!1

121

0

1

0

0 =

−

+

=

−

+

=

∑∑=

−

= n

nss

n

n

nsn

P

ρµλ

µλ

( ) ( ) pacientesPs

Ls

q 121

31131

21

32

!21

1!1

2

2

20 =−

=

−

=

ρρ

µλ

pacientesLL q 43

32

121 =+=+=

µλ

horasLW 83

21

43 =⋅==

λ horasL

W qq

241

21

121 =⋅==

λ■

=→+=

=

→=→−

λµλ

λρ

ρµλ

LWLs

L

LWPLPq

qq

s

q )1( 20

0 !1

U P C


Ejemplo: El Asesor Fiscal

Un asesor fiscal dispone de un local para atender a sus clientes, los cuales se concentranmayoritariamente durante los meses de mayo y junio. El local tiene una capacidadmáxima de 8 asientos en espera, el cliente se va si no encuentra un asiento libre, y eltiempo entre llegadas de clientes se puede considerar distribuidoexponencialmente según un parámetro 20=λ clientes por hora en período punta. Eltiempo de una consulta esta distribuido exponencial con una media de 12 minutos,

1. ¿Cuantas consultas por hora realizará en promedio?

2. ¿Cual es el tiempo medio de permanencia en el local?

El modelo es M/M/1/9 4520 ===

µλρ

9,2,10

,,2,1,01

11

0 =

++=

=−

−⋅=⋅= + KKKn

KnPCP Kn

nn

K

Kρ

ρρ, 75.0

41414

11

109

109

099 =−−⋅=

−−⋅=⋅=ρρρPCP

( ) ( ) 575.01201 90

=−⋅=−⋅=⋅= ∑∞

=

PPn

n λλλ clientes/hora

( ) 6.841410

414

11

1 10

10

1

1 )=

−⋅−

−=

−+−

−= +

+

K

KKLρ

ρρ

ρ clientes [ ] 37.1

56.8 ))

====λLWEW horas.

tresteve

El asesor fiscal

U P C


Modelo de Reparación de AvionetasUna pequeña compañía aérea de una isla de las Antillas dispone de 5 avionetas, que hayque reparar con una tasa de 1 cada 30 días. Se disponen de 2 técnicos para reparaciones,cada uno de los cuales necesita un promedio de 3 días para una reparación. Los tiemposentre averías y de reparación son exponenciales.1. Determinar el número medios de avionetas en funcionamiento.2. Calcular el tiempo medio que una avioneta esta fuera de servicio cuando requiere una

reparación.3. Calcular el porcentaje del tiempo que un determinado técnico esta libre.

El modelo es exponencial y de población finita: M/M/2//5. La tasa de averías es 301=λ

avionetas por día y la tasa de reparaciones es 31=µ avionetas por día.

El número medios de avionetas en funcionamiento es el número total de avionetas, N,menos el número esperado de avionetas en reparación, L:

∑=

⋅−=−=−N

nnPnLLN

055 .

Hay que determinar las 0PCP nn ⋅= y para esto hacen falta las nC y 0P .

U P C


i 0 1 2 3 4 5iC 1 0.5 0.1 0.015 0.0015 0.000075

∑∑

∑∞

=

=

∞

=

=+++++

==→=⋅=0

5

0

000

619.0000075.00015.0015.01.05.01

111n

nn

nn

n

CPPCP

i 0 1 2 3 4 5iP 0.619 0.310 0.062 0.009 0.001 0.00004

➨ 535.4465.05550

=−=⋅−=−=− ∑=

N

nnPnLLN avionetas en promedio en funcionamiento.

( )

( )

15,,2

1021

101

!2!5!5

1101

!!5!5

02221

110 =

=

⋅

−

=

−== −− Cy

nn

nnnC n

n

n

nn

KK

K

µµµλλλ

( )

( )

=⋅

⋅

−

=⋅

−=⋅= −

5,,21021

101

!2!5!5

1101

!!5!5

0

22

0

0

KnPn

nPnnPCP n

n

nn

U P C


➨ El tiempo medio que una avioneta pasa en reparación es W.

08.3151.0465.0 ===

λLW días

donde ( ) ( ) ( ) 151.0535.4301465.05

301 =⋅=−⋅=−⋅= LNλλ

➨ La fracción de tiempo que un determinado técnico pasa inactivo es774.0310.05.0619.05.0 10 =⋅+=⋅+ PP .



( 3.c) INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS NO EXPONENCIALESY REDES DE COLAS

• INTRODUCCIÓN A LAS REDES DE COLAS. Concepto de red abierta y cerrada. Redes abiertas y Teorema de Jackson.

• MODELOS NO EXPONENCIALES Cola M/G/1: Fórmula de Pollaczeck-Khintchine. Cola G/M/1: casos Ek/M/1, Hip/M/1, Hyp/M/1. Uso de QTS_EXCEL.

• APROXIMACIONES PARA COLAS GI/G/s. Aproximación de Allen-Cuneen. Aproximaciones para colas congestionadas (Heavy Traffic)

tresteve

Cap. 5 Allen A. O. “Probability, Statistics and Queueing Theory” Academic Press. 1998.

(3.b) modelos exponenciales de colas introducciÓn a

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