Modelos de colas con distribuciones no exponencialesPresentado Por:Barceló Margarita Caballero Edwin Castillo Rosmery

Modelos de colas con distribuciones no exponenciales• Hasta ahora todos los modelos estudiados se basan en el

proceso de nacimiento y muerte, lo que hace necesario que los tiempos entre llegadas como de servicio tengan distribuciones exponenciales.

• Tienen muchas propiedades convenientes para la teoría de colas.

• Solo cierto tipo de sistemas proporciona un ajuste razonable.

• Se supone que el proceso de llegada ocurre al azar.

• Los modelos de colas con distribuciones exponenciales no proporcionan un ajuste razonable cuando las llegadas están programas o reguladas con todo cuidado.

• Los modelos de colas se alejan más de la distribución exponencial cuando los requerimientos de servicio de los clientes son muy parecidos.

Modelo M/G/1• En este modelo se supone que el sistema tiene un servidor y

un proceso de entrada de Poisson (tiempos entre llegadas exponenciales) con una tasa media de llegadas fija . Como siempre se supone que los clientes tienen tiempos de servicio independientes con la misma distribución de probabilidad, pero no se imponen restricciones sobre cual debe ser esta distribución de tiempos de servicio. En realidad, solo es necesario conocer (o estimar) la media y la varianza de esta distribución.

Formulas del modelo M/G/1

• La ecuación de con frecuencia recibe le nombre de formula de Pollaczek-Khintchine, en honor de dos pioneros del desarrollo de teoría de colas que dedujeron la formula de manera independiente a principios de la década de 1930.

• Observe que para cualquier tiempo de servicio esperado fijo se incrementan cuando aumenta. Este resultado es importante porque indica que la congruencia del servidor tiene gran transcendía en el desempeño de la instalación de servicio, no solo en su velocidad promedio.

Modelo M/G/1: ejemploUn lava carro puede atender un auto cada 5 min, La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora, con una desviación estándar de 2 min.Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1.DATOS:• λ= 9 autos / horas = 0,15 autos/ minutos

• • =

Modelo M/G/1: ejemplo

min7.8145.0

min7.13228.01

31.1)1(2

06.275.31.1222

hrsL

W

hrsWW

clientesL

clientesLL

qq

qs

q

qs

Modelo M/D/S

• Tiene la misma rutina que el servidor realiza para todos los clientes• Supone que todos los tiempo de servicio son

iguales a una constante fija• Tiene un proceso de entradas Poisson con tasa

media de llegadas fijas λ.• Cuando solo se tiene un servidor, el modelo

M/D/1 es un caso especial del modelo M/G/1 en donde

Formulas del modelo M/D/1

1

1

)1(2

2

qqqs

qss

LWWW

LWL

Ejemplo M/D/1

•Un lava carro puede atender un auto cada 5 min, La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora, Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1. y la media es de 12 autos/hora.

Solución:DATOS λ= 9 Carros / horas = 0,15 Carros/ minutos

Modelo M//S

• M Tiempos entre llegadas exponencial • tiempos de servicio Erlang • s s servidores

Existen dos distribuciones que representan puntos extremos.La distribución exponencial Tiempo de servicio constante Pero entre ellos existe una distribución intermedia donde caen la mayor parte de las distribuciones de tiempos de servicio reales. 0 < σ < 1/ entre ellas la distribución de Erlang (llamada así en honor del fundador de la teoría de colas).

Modelo M//S• = Distribución Erlang o gama del tiempo (o de forma

equivalente, la suma de distribuciones exponenciales independientes)

• Erlang es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros K y λ son parámetros estrictamente positivos k esta restringido a valores enteros.• La función de densidad de probabilidad para la

distribución Erlang es :

Modelo M/Ek/SLa distribución de Erlang es muy importante en teoría de colas por dos razones. suponga que , , . . ., son k variables aleatorias independientes con una distribución idéntica, cuya media =1/(k). , , . . ., = kLa suma de Variable exponenciales Con media de 1/(k) es igual a una Variable aleatoria Erlang siempre y cuando es tiempo de realización de cada una de las tareas sea el mismo.

Una distribución de Erlang con parámetros y k. La presentación de la distribución exponencial sugiere que el tiempo requerido para realizar cierto tipo de tareas podría tener una distribución exponencial. Sin embargo, el servicio total solicitado por un cliente puede incluir una secuencia de k tareas, y no solo una, realizadas por el servidor. Si las tareas respectivas tienen una distribución exponencial idéntica de su duración, el tiempo total de servicio tendrá una distribución de Erlang; este seria el caso, por ejemplo, si el servidor debiera realizar la misma tarea exponencial k veces para cada cliente.

1/(k) 1/(k) ……… 1/(k) 1/(k)

, , , . . . . . . .,

Formula del modelo M//Sformula de Pollaczek-Khintchine con = 1/(k) (y los resultados correspondientes dados por M/G/1) se obtiene las siguientes formulas

Ejemplo del modelo M//1

• Un lava carro puede atender un auto cada 5 min, la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. Suponga que su desviación es de = 3.5 min • Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el

modelo M/Ek/1

DATOS• λ= 9 autos / horas = 0,15 autos/ minutos

• • =

Solución del modelo M//1

= 1,6825 clientes

Modelos Sin Entrada Poisson• Dispone de tres modelos de este tipo siempre que los

tiempos de servicios tenga distribución exponencial con un parámetro fijo.

(G/M/s) = no impone restricciones para los tiempos de llagadas y tiempos de servicios.

(D/M/s)= se supone que todos los tiempos entre llegadas son iguales a una constante fija

(/M/s)= supone una distribución Erlang para los tiempos entre llegadas que maneja el espacio intermedio entre llegadas regulares programadas y completamente aleatoria.

Otros modelos• Distribución hiperexponencial, si bien solo permite valores no negativos,

su desviación estándar es más grande que su media , contrario a la distribución de Erlang, donde en todos los casos excepto cuando (distribución exponencial)

• Distribuciones tipo fase, en estas distribuciones encontramos a las distribuciones erlangianas generalizadas estas distribuciones se obtienen mediante el desglose del tiempo total en cierto numero de fases, cada una con distribución exponencial, donde los parámetros de estas distribuciones exponenciales pueden ser diferentes y las fases pueden ser ya sea en serie o en paralelo Un grupo de fases en paralelo significa que el proceso elige al azar una de las fases cada vez, de acuerdo con probabilidades especificadas Otro caso especial es la distribución de Erlang, que tiene la restricción de que todas sus k fases están en serie y de que tienen el mismo parámetro de sus distribuciones exponenciales. Cuando se eliminan estas restricciones se obtiene mayor flexibilidad en las distribuciones tipo fase para ajustarse a la distribución real de los tiempos entre llegadas o de servicio en los sistemas de colas en estudio.