1 relatividad prof. luis torres 2 objetivo terminal: al finalizar la discusión: al finalizar la...
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RelatividadRelatividad
Prof. Luis TorresProf. Luis Torres
2
Objetivo terminal:Objetivo terminal:
Al finalizar la discusión: Al finalizar la discusión: Ampliarán sus conocimientos físicos Ampliarán sus conocimientos físicos
sobre la importancia de la relatividad sobre la importancia de la relatividad en la investigación científica.en la investigación científica.
Demostrarán su dominio en la Demostrarán su dominio en la resolución de problemas resolución de problemas relacionados con fórmulas dentro del relacionados con fórmulas dentro del proceso de relatividad.proceso de relatividad.
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La RelatividadLa Relatividad
TEORIA QUE DESARROLLO ALBERT TEORIA QUE DESARROLLO ALBERT EINSTEIN PARA TRATAR EVENTOS EINSTEIN PARA TRATAR EVENTOS FISICOS QUE LA FISICA CLASICA NOFISICOS QUE LA FISICA CLASICA NO
PUEDE EXPLICARPUEDE EXPLICAR
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Introducción:Introducción: Hacia el final del siglo XIX los ciéntificos Hacia el final del siglo XIX los ciéntificos
estaban convencidos de que habían estaban convencidos de que habían aprendido la mayor parte de lo que se aprendido la mayor parte de lo que se necesitaba conocer acerca de la física, las necesitaba conocer acerca de la física, las leyes de movimiento de Newton y su Teoría leyes de movimiento de Newton y su Teoría de la Gravitación Universal. de la Gravitación Universal.
El trabajo de Maxwell en la unificación de la El trabajo de Maxwell en la unificación de la electricidad y el magnetismo, así como las electricidad y el magnetismo, así como las leyes de la termodinámica y la teoría cinética leyes de la termodinámica y la teoría cinética tuvieron un gran éxito en la explicación de tuvieron un gran éxito en la explicación de una amplia variedad de fenómenos.una amplia variedad de fenómenos.
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Al comenzar el Siglo XX la ciencia se Al comenzar el Siglo XX la ciencia se impacto por una nueva revolución del impacto por una nueva revolución del pensamiento cientpensamiento cientíífico. fico.
En 1900 Planck brindó las ideas básicas En 1900 Planck brindó las ideas básicas que llevaron a formular la que llevaron a formular la Teoría Cuántica.Teoría Cuántica.
En 1905 Albert Einstein formuló la En 1905 Albert Einstein formuló la TeorTeoríía a de la Relatividad.de la Relatividad.
Las dos teorías tuvieron un profundo Las dos teorías tuvieron un profundo efecto en nuestra comprensión de la efecto en nuestra comprensión de la naturaleza. Pero la historia no termina naturaleza. Pero la historia no termina aún. Los descubrimientos continaún. Los descubrimientos continúúan an surgiendo y la teoría se amplifica haciendo surgiendo y la teoría se amplifica haciendo mucho más profunda nuestra comprensión mucho más profunda nuestra comprensión del mundo natural.del mundo natural.
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La mayor parte de nuestras experiencias La mayor parte de nuestras experiencias y observaciones cotidianas se relacionan y observaciones cotidianas se relacionan con objetos que se mueven a con objetos que se mueven a velocidades mucho menos que la velocidades mucho menos que la velocidad de la luz.velocidad de la luz.
Las primeras ideas sobre el espacio, el Las primeras ideas sobre el espacio, el tiempo y la mectiempo y la mecáánica Newtoniana se nica Newtoniana se formularon para describir el movimiento formularon para describir el movimiento de dichos objetos. de dichos objetos.
La mecLa mecáánica newtoniana fracasa cuando nica newtoniana fracasa cuando se aplica a partse aplica a partíículas cuyas velocidades culas cuyas velocidades se acercan a la velocidad de la luz.se acercan a la velocidad de la luz.
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Es posible acelerar un electrEs posible acelerar un electróón a una n a una velocidad de 0.99c empleando una velocidad de 0.99c empleando una diferencia de potencial de varios millones diferencia de potencial de varios millones de voltios.de voltios.
De acuerdo con la mecDe acuerdo con la mecáánica Newtoniana, nica Newtoniana, si la diferencia en potencial se si la diferencia en potencial se incrementa por un factor de cuatro, la incrementa por un factor de cuatro, la velocidad del electrvelocidad del electróón debe ser 1.98C.n debe ser 1.98C.
Pero la velocidad del electrPero la velocidad del electróón al igual n al igual que las velocidades de otras partque las velocidades de otras partíículas culas en el universo, siempre permanece en el universo, siempre permanece menor que la velocidad de la luz menor que la velocidad de la luz independientemente del voltaje de independientemente del voltaje de aceleraciaceleracióón.n.
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La mecLa mecáánica Newtoniana es contraria a nica Newtoniana es contraria a los resultados experimentales modernos los resultados experimentales modernos debido a que no impone un ldebido a que no impone un líímite mite superior a la velocidad de la luz.superior a la velocidad de la luz.
La teorLa teoríía de la relatividad surge de la a de la relatividad surge de la necesidad de resolver contradicciones necesidad de resolver contradicciones serias y profundas en la vieja teorserias y profundas en la vieja teoríía de a de las cuales parece no haber salida.las cuales parece no haber salida.
La teorLa teoríía Newtoniana sa Newtoniana sóólo es un caso lo es un caso especial de la teorespecial de la teoríía de la relatividad.a de la relatividad.
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El Principio de El Principio de la Relatividadla Relatividad
NewtonianaNewtoniana
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Marco Inercial:Marco Inercial:
Un marco inercial es aquel Un marco inercial es aquel en el cual la primera Ley de en el cual la primera Ley de Newton es válida.Newton es válida.
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No hay un marco inercial privilegiado:No hay un marco inercial privilegiado:
Esto significa que los resultados de un Esto significa que los resultados de un experimento efectuado en un auto que experimento efectuado en un auto que se mueve con velocidad constante son se mueve con velocidad constante son iguales a los resultados de un iguales a los resultados de un experimento que se lleve a cabo en un experimento que se lleve a cabo en un auto en reposo.auto en reposo.
PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD NEWTONIANANEWTONIANA
Las leyes de la mecánica deben ser las Las leyes de la mecánica deben ser las mismas en todos los marcos inercialesmismas en todos los marcos inerciales
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Considere dos marcos inerciales Considere dos marcos inerciales S y SS y S11
SS11S
zz
00 xxyy
zz11
0011 xx11
yy11
vt xx11
xx
P{P{evento}evento}
Figura 1
vv
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El sistema SEl sistema S11 se mueve con una velocidad se mueve con una velocidad constante v a lo largo de los ejes xxconstante v a lo largo de los ejes xx11, ,
donde v se mide en relación con S.donde v se mide en relación con S.
Suponga que un evento ocurre en el punto Suponga que un evento ocurre en el punto
P y que los orígenes de S y SP y que los orígenes de S y S11 coinciden en coinciden en
t = 0, un observador en S describe el evento t = 0, un observador en S describe el evento con unas coordenadas espacio tiempo, con unas coordenadas espacio tiempo,
(x, y, z, t) en tanto que un observador en S(x, y, z, t) en tanto que un observador en S11 emplea las coordenadas espacio tiempo emplea las coordenadas espacio tiempo
(x(x11, y, y11, z, z11, t, t11) para describir el mismo evento.) para describir el mismo evento.
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Deseamos poder transformar estas coordenadas Deseamos poder transformar estas coordenadas de un marco inercial a otro. De la figura 1 estas de un marco inercial a otro. De la figura 1 estas coordenadas se relacionan por medio de las coordenadas se relacionan por medio de las ecuaciones.ecuaciones.
x x = x= x1 1 + vt+ vt y = yy = y11
z = zz = z11
t = tt = t11
Es lo mismo que:Es lo mismo que: xx11 = x= x - vt - vt y y 11 = y = y z z 11 = z = z tt11 = t = t
Transformación de coordenadas Transformación de coordenadas galileanagalileana
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Dentro de el marco de la mecánica clásica, Dentro de el marco de la mecánica clásica, todos los relojes funcionan al mismo todos los relojes funcionan al mismo tiempo sin que la velocidad entre los tiempo sin que la velocidad entre los marcos inerciales importe;marcos inerciales importe;
de modo que el tiempo durante el cual de modo que el tiempo durante el cual ocurre un evento para un observador en ocurre un evento para un observador en (S) es el mismo tiempo para el mismo (S) es el mismo tiempo para el mismo evento en (Sevento en (S11).).
Como consecuencia el intérvalo de tiempo Como consecuencia el intérvalo de tiempo entre dos acontecimientos sucesivos debe entre dos acontecimientos sucesivos debe ser el mimo para ambos observadores.ser el mimo para ambos observadores.
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Ésta suposición se vuelve incorrecta Ésta suposición se vuelve incorrecta cuando tratamos situaciones en las cuando tratamos situaciones en las cuales (v) es comparable a la cuales (v) es comparable a la velocidad de la luz.velocidad de la luz.
El punto de tiempos iguales El punto de tiempos iguales representa una de las profundas representa una de las profundas diferencias entre los conceptos de la diferencias entre los conceptos de la teoría newtoniana y los conceptos de teoría newtoniana y los conceptos de la teoría de la relatividad.la teoría de la relatividad.
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Suponga que dos eventos están Suponga que dos eventos están separados a una distancia (dx) y un separados a una distancia (dx) y un intérvalo de tiempo (dt) de acuerdo intérvalo de tiempo (dt) de acuerdo como lo mide un observado en (S).como lo mide un observado en (S).
Se deduce de la ecuación Se deduce de la ecuación x1 = x – vt que la distancia recorrida (dx1) medida por un observador en S1 es:
dx1 = dx – vdt donde dx es la distancia entre los dos eventos medida por un obsevador en S.
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Puesto que dt = dtPuesto que dt = dt11
dxdx1 1 = dx – vdt
dt dt dt dxdx1 1
= dx – v
dt dt u1
x = ux - v
Donde u1 y u son las velocidades instantáneas del evento en relación S1 y S, respectivamente, v es la velocidad el marco inercial S1 desde el punto de vista del observador en S.
LEY GALILEANA DE ADICIÓN DE LEY GALILEANA DE ADICIÓN DE VELOCIDADES (transformación galileana de VELOCIDADES (transformación galileana de velocidadesvelocidades
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Velocidad de la Velocidad de la LuzLuz
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Albert Michelson (1852-1931)Albert Michelson (1852-1931)Edward W. Morley (1838-1923)Edward W. Morley (1838-1923)
Idearon un experimento que Idearon un experimento que accidentalmente eliminó de un accidentalmente eliminó de un plumazo la teoría del éter como plumazo la teoría del éter como marco inercial absoluto, marco inercial absoluto,
y con esto la posibilidad de que la y con esto la posibilidad de que la luz tuviera diferentes velocidades en luz tuviera diferentes velocidades en diferentes marcos inerciales.diferentes marcos inerciales.
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Olaf Roemer (1644-1710)Olaf Roemer (1644-1710)
Astrónomo danés midió la Astrónomo danés midió la velocidad de la luz, observando el velocidad de la luz, observando el eclipse de una de las lunas de eclipse de una de las lunas de Júpiter.Júpiter.
Concluyó que la velocidad de la luz Concluyó que la velocidad de la luz es 3 x 10es 3 x 1088 m/s en el sistema S I. m/s en el sistema S I.
1-Raymond A. Serway/ IV Edición / Págs. 1159-1161
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Albert MichelsonAlbert Michelson
Se le debe la primera medición exacta Se le debe la primera medición exacta de la velocidad de la luz calculada en la de la velocidad de la luz calculada en la tierra.tierra.
Utilizó un rayo de luz y un espejo Utilizó un rayo de luz y un espejo rotativo de 8 caras (f = 625 rev/s).rotativo de 8 caras (f = 625 rev/s).
Desde luego la velocidad de la luz fue Desde luego la velocidad de la luz fue de 3.0 x 10de 3.0 x 1088 m/s. m/s.11
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Principio de relatividad Principio de relatividad dede
EinsteinEinstein
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Albert Einstein propuso la teoría de Albert Einstein propuso la teoría de la relatividad especial que elimina la relatividad especial que elimina esta dificultad y al mismo tiempo esta dificultad y al mismo tiempo alteró por completo la noción del alteró por completo la noción del
tiempo. tiempo. ÉÉste fundamentste fundamentóó su teoría su teoría en dos postulados.en dos postulados.
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Postulado #1:Postulado #1:
Todas las leyes de la Todas las leyes de la física son las mismas física son las mismas en todos los marcos en todos los marcos
inerciales.inerciales.
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Postulado #2Postulado #2
La velocidad de la luz es La velocidad de la luz es cc en todos los marcos en todos los marcos inerciales.inerciales.
(c = 3 x 10(c = 3 x 1088 m/s en el SI) m/s en el SI)
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Simultaneidad y relatividad Simultaneidad y relatividad del tiempodel tiempo
Una premisa básica de la mecánica Una premisa básica de la mecánica newtoniana es que existe una escala de newtoniana es que existe una escala de tiempo universal que es la misma para tiempo universal que es la misma para todos los observadores.todos los observadores.
La mecánica relativista propone, que La mecánica relativista propone, que una medida del intérvalo de tiempo una medida del intérvalo de tiempo depende del marco de referencia en el depende del marco de referencia en el cual se efectúa medida.cual se efectúa medida.
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Figura 2
Un vagón se mueve con velocidad uniforme uniforme y dos rayos inciden sobre sus extremos, el observador estacionario dice
que los rayos inciden a la misma vez mientras que el observador en el vagón dice que el rayo incide en B1
primero que en A1
a)
A1 B1
01
A 0 B
v v
A 0 B
A1
01
B1
b)
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Dos eventos que son simultáneos en un Dos eventos que son simultáneos en un marco de referencia no son en general marco de referencia no son en general simultáneos en un segundo marco de simultáneos en un segundo marco de referencia que se mueve en relación referencia que se mueve en relación con el primero.con el primero.
La simultaneidad no es un concepto La simultaneidad no es un concepto absoluto si no que depende del marco absoluto si no que depende del marco de referencia del observador. de referencia del observador.
Ambos observadores tienen razón Ambos observadores tienen razón cuando explican el evento desde sus cuando explican el evento desde sus respectivos marcos de referencias. respectivos marcos de referencias.
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¿Qué dice el¿Qué dice el
Principio de la Principio de la Relatividad?Relatividad?
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El principio de la relatividad dice El principio de la relatividad dice que no hay un marco inercial que no hay un marco inercial privilegiado, o sea, las leyes de la privilegiado, o sea, las leyes de la física son las mismas en cualquier física son las mismas en cualquier marco inercial y la simultaneidad marco inercial y la simultaneidad no es absoluta.no es absoluta.
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Figura 3 Dilatación del Tiempo Figura 3 Dilatación del Tiempo
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Un observador dispara un rayo Un observador dispara un rayo hacia un espejo desde su marco de hacia un espejo desde su marco de referencia que se mueve con referencia que se mueve con velocidad uniforme respecto a velocidad uniforme respecto a éste. éste.
El tiempo que se tarda el rayo en ir El tiempo que se tarda el rayo en ir al espejo y regresar al espejo y regresar ∆t∆t1=1= 2d2d//c.c.
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De acuerdo con el observador estacionario el De acuerdo con el observador estacionario el láser se mueve a la derecha con una velocidad v láser se mueve a la derecha con una velocidad v y la distancia total es:y la distancia total es:
dt = dh + d⊥
(½ c ∆t )2 = (½ v ∆t )2 + d2
(½ c ∆t )2 - (½ v ∆t )2 = d2
(c ∆t )2 - ( v ∆t )2 = d2
4
(c ∆t )2 - ( v ∆t )2 = 4d2
∆t 2 - ( c - v 2 ) = 4d2
∆t = √4d 2
c2 2 - v 2
∆t = 2 d √ c2 2 - v 2
∆t = 2d c √1- v2 2
c 2
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Como ∆t1 = 2d sustituyendo
c
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Este resultado nos dice que el intérvalo Este resultado nos dice que el intérvalo de tiempo ∆t medido por un observador de tiempo ∆t medido por un observador que se mueve respecto del reloj es más que se mueve respecto del reloj es más largo que el intlargo que el intéérvalo de tiempo ∆trvalo de tiempo ∆t11 medido por el observador en reposo medido por el observador en reposo respecto del reloj debido a que respecto del reloj debido a que es es siempre más grande que la unidad. siempre más grande que la unidad.
Esto es ∆t > ∆tEsto es ∆t > ∆t11. Este efecto se conoce . Este efecto se conoce como la dilatación del tiempo.como la dilatación del tiempo.
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La dilatación del tiempo es un fenómeno verificable.
Por ejemplo los muones son partículas elementales inestables que tienen una carga igual a la del electrón y 207 veces su masa. Éstos se producen por el choque de radiación cósmica con átomos a gran altura en la atmósfera.
Tienen una vida media de 2.2 μs cuando se mide en un marco de referencia en reposo relativo a ellos. Si la vida media de un muón es 2.2 μs y suponemos que su velocidad es cercana a la de la luz encontramos que estas partículas sólo pueden recorrer una distancia de aproximadamente 600m antes de su decaimiento.
Entonces éstos no pueden alcanzar la tierra desde la altura en la atmósfera donde se producen (4,800m).
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El fenómeno de dilatación del tiempo explica este El fenómeno de dilatación del tiempo explica este evento. evento.
En relación con un observador en tierra los En relación con un observador en tierra los muones tienen un tiempo de vida muones tienen un tiempo de vida tt donde donde tt = 2.2 = 2.2 μs es el tiempo de vida media en un marco de es el tiempo de vida media en un marco de referencia que viaja con los muones. referencia que viaja con los muones.
Por ejemplo si, Por ejemplo si, vv = 0.999c, = 0.999c, = 7.1 y = 7.1 y tt = 16s. = 16s. Entonces la distancia recorrida es Entonces la distancia recorrida es tvtv = 4,800m. = 4,800m.
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En el 1976 se inyectaron muones en el En el 1976 se inyectaron muones en el (CERN) laboratorio del Consejo Europeo para (CERN) laboratorio del Consejo Europeo para la Investigación Nuclear en Ginebra Suiza. la Investigación Nuclear en Ginebra Suiza.
ÉÉstos alcanzaron velocidades de stos alcanzaron velocidades de aproximadamente 0.9994C. aproximadamente 0.9994C.
Los electrones producidos por los muones en Los electrones producidos por los muones en decaimiento fueron detectados mediante decaimiento fueron detectados mediante contadores alrededor del anillo, lo que contadores alrededor del anillo, lo que permitió a los científicos medir la taza de permitió a los científicos medir la taza de decaimiento y por consiguiente el tiempo de decaimiento y por consiguiente el tiempo de vida del muón. vida del muón.
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El tiempo de vida de muones en El tiempo de vida de muones en movimiento se midió y se encontró que movimiento se midió y se encontró que era 30 veces mayor que el de un muón era 30 veces mayor que el de un muón estacionario. estacionario.
Esto concuerda con la predicción de la Esto concuerda con la predicción de la teoría de la relatividad dentro de dos teoría de la relatividad dentro de dos partes en mil.partes en mil.
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Contracción de la longitudContracción de la longitud La distancia medida entre dos puntos, depende La distancia medida entre dos puntos, depende
del marco de referencia. del marco de referencia.
La longitud propia (Lp) de un objeto se define La longitud propia (Lp) de un objeto se define como la longitud del objeto medida por alguien que como la longitud del objeto medida por alguien que esta en reposo respecto del objeto. esta en reposo respecto del objeto.
La longitud de un objeto medida por alguien en un La longitud de un objeto medida por alguien en un marco de referencia que se mueve respecto del marco de referencia que se mueve respecto del objeto, siempre es menor que la longitud propia.objeto, siempre es menor que la longitud propia.
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Figura 4Figura 4
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Considere una nave espacial que viaja con Considere una nave espacial que viaja con velocidad v de una estrella a otra. velocidad v de una estrella a otra.
Hay dos observadores uno en la tierra y otro Hay dos observadores uno en la tierra y otro en la nave espacial. El observador en reposo en la nave espacial. El observador en reposo en la tierra (que se supone que esté en en la tierra (que se supone que esté en reposo respecto a las dos estrellas mide la reposo respecto a las dos estrellas mide la distancia entre las estrellas Ldistancia entre las estrellas Lp)p). .
De acuerdo con este observador el tiempo De acuerdo con este observador el tiempo que tarda la nave en completar el viaje es que tarda la nave en completar el viaje es LLpp/v /v
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¿¿Qué distancia entre las estrellas mide el Qué distancia entre las estrellas mide el observador en la nave espacial? observador en la nave espacial?
Debido a la dilatación del tiempo, el viajero Debido a la dilatación del tiempo, el viajero espacial mide un tiempo de viaje más espacial mide un tiempo de viaje más pequeño ∆tpequeño ∆t11 = ∆t / = ∆t / . .
El viajero espacialEl viajero espacial afirma que está en reposo afirma que está en reposo y que ve la estrella de destino moviéndose y que ve la estrella de destino moviéndose hacia la nave espacial con velocidad v. hacia la nave espacial con velocidad v. Debido a que el viajero espacial alcanza la Debido a que el viajero espacial alcanza la estrella en un tiempo ∆testrella en un tiempo ∆t11 concluye que la concluye que la distancia L es más corta que Ldistancia L es más corta que Lpp..
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Esta distancia Esta distancia LL medida por el viajero medida por el viajero espacial es:espacial es:
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Esta ecuación significa, que si un objeto Esta ecuación significa, que si un objeto tiene una longitud Ltiene una longitud Lpp cuando está en cuando está en
reposo, entonces al moverse con reposo, entonces al moverse con velocidad v en una dirección paralela a velocidad v en una dirección paralela a su su
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Ecuaciones de Transformación Ecuaciones de Transformación dede
Lorentz.
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Las transformaciones galileanas no son Las transformaciones galileanas no son válidas cuando v se aproxima a la válidas cuando v se aproxima a la velocidad de la luz (c). velocidad de la luz (c).
Estableceremos las ecuaciones de Estableceremos las ecuaciones de transformación correctas que son transformación correctas que son válidas para todas las velocidades en el válidas para todas las velocidades en el intervalo o ≤ v < cintervalo o ≤ v < c
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Figura 5.Figura 5.
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Suponga que un evento que ocurre en algún Suponga que un evento que ocurre en algún punto P se informa por dos observadores uno en punto P se informa por dos observadores uno en descanso en el marco S y otro en el marco Sdescanso en el marco S y otro en el marco S11 que se mueve hacia la derecha con velocidad v que se mueve hacia la derecha con velocidad v (figura 5). (figura 5).
El observador en S, informa sobre el evento con El observador en S, informa sobre el evento con coordenadas espacio-tiempo (x, y, z, t). coordenadas espacio-tiempo (x, y, z, t). Mientras el observador en SMientras el observador en S11 informa sobre el informa sobre el mismo evento empleando las coordenadas (xmismo evento empleando las coordenadas (x11, , yy11, z, z11, t, t11). ).
Deseamos encontrar una relación para estas Deseamos encontrar una relación para estas coordenadas que sea válida para todas las coordenadas que sea válida para todas las velocidades. velocidades.
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Las ecuaciones que son válidas para Las ecuaciones que son válidas para o ≤ v < c y que nos permiten o ≤ v < c y que nos permiten transformar las coordenadas de S a Stransformar las coordenadas de S a S11 están dadas por las ecuaciones de están dadas por las ecuaciones de transformación de Lorentz. transformación de Lorentz.
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Las coordenadas y Las coordenadas y y y z no son z no son afectadas por el movimiento a lo largo afectadas por el movimiento a lo largo de la dirección x. Aunque el de la dirección x. Aunque el movimiento a lo largo de x no cambia movimiento a lo largo de x no cambia las coordenadas y las coordenadas y y y z, si cambia los z, si cambia los componentes de velocidad a lo largo de componentes de velocidad a lo largo de y y yy z. z.
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Estas ecuaciones las desarrolló Estas ecuaciones las desarrolló Hendrick A. Lorenz (1853-1928) pero Hendrick A. Lorenz (1853-1928) pero fue fue
Einstein quien reconoció su significado Einstein quien reconoció su significado físico y dió el audaz paso de físico y dió el audaz paso de interpretarlas dentro del marco interpretarlas dentro del marco conceptual de la teoría de la relatividad.conceptual de la teoría de la relatividad.
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Vemos que el valor de tVemos que el valor de t11 asignado a un asignado a un evento por un observador en Oevento por un observador en O11 depende depende tanto del tiempo t como de la coordenada x tanto del tiempo t como de la coordenada x según los mide un observador en O. según los mide un observador en O.
Esto es consistente con la noción de que un Esto es consistente con la noción de que un evento está caracterizado por cuatro evento está caracterizado por cuatro coordenadas espacio tiempo (x, y, z, t). coordenadas espacio tiempo (x, y, z, t).
En otras palabras en la relatividad el espacio En otras palabras en la relatividad el espacio y el tiempo no son conceptos separados sino y el tiempo no son conceptos separados sino que están estrechamente vinculados uno con que están estrechamente vinculados uno con el otro.el otro.
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Si deseamos transformar las Si deseamos transformar las coordenadas del marco Scoordenadas del marco S1 1 en en coordenadas del marcocoordenadas del marco S, simplemente S, simplemente sustituimos v por – v e intercambiamos sustituimos v por – v e intercambiamos las coordenadas prima y no prima en la las coordenadas prima y no prima en la ecuación.ecuación.
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EcuaciónEcuación
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xx1 1 = x - vt = x - vt
yy1 1 = y= y
zz1 1 = z= z
tt11 = t = t
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En muchas situaciones deseamos conocer la En muchas situaciones deseamos conocer la diferencia en coordenadas entre dos eventos diferencia en coordenadas entre dos eventos en el intérvalo de tiempo entre dos eventos en el intérvalo de tiempo entre dos eventos de acuerdo a como lo ven los observadores de acuerdo a como lo ven los observadores O y OO y O11..
A partir de las ecuaciones de Lorentz A partir de las ecuaciones de Lorentz podemos expresar la diferencia entre los podemos expresar la diferencia entre los cuatro variables ( x, xcuatro variables ( x, x11, y, y, y, y1 1 ) de la forma:) de la forma:
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Donde ∆x1 = x12 - x
11 y ∆t1 = t1
2 - t1
1, son las diferencias
medidas por el observador en O1 , mientras que ∆x = x2 -
x1 y ∆t = t2 - t1 son las diferencias medidas por el
observador en O.
NOTA: No se incluye las expresiones para relacionar las coordenadas y y z debido a que no son afectadas por el movimiento a lo largo de la dirección x.
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Transformación Transformación de velocidadesde velocidades
de Lorentzde Lorentz
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La transformación de velocidades de Lorentz es la contraparte relativista de la transformación de velocidades galileana.
En este caso S es el marco de referencia estacionario y S1 es el marco de referencia que se mueve a una velocidad v relativa a S.
Suponga que se observa un objeto en el marco S1 con una velocidad
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Dada las ecuaciones:Dada las ecuaciones:
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y sustituyendo estos valores en uy sustituyendo estos valores en u11xx = dx = dx11/ dt/ dt1 1
obtenemosobtenemos
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por lo que esta última expresión se por lo que esta última expresión se convierte en:convierte en:
De manera similar, si el objeto tiene componentes de velocidad a lo largo de y é z la componente en s son:
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En el caso de que uEn el caso de que uxx y v sean mucho más y v sean mucho más pequeñas que c (caso no relativista) el pequeñas que c (caso no relativista) el denominador de la ecuación A, se aproxima a denominador de la ecuación A, se aproxima a la unidad y ula unidad y u11
xx = u = uxx – v que es la ecuación – v que es la ecuación para la transformación de velocidades para la transformación de velocidades galileanas.galileanas.
En el otro extremo cuando uEn el otro extremo cuando uxx = c la ecuación = c la ecuación uu11
xx = = .. u uxx – v – v .. se transforma en se transforma en (1 – (1 – vv u ux x ))
cc22
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A partir de este resultado, vemos que un objeto A partir de este resultado, vemos que un objeto que se mueve con una velocidad c relativa a que se mueve con una velocidad c relativa a un observador en S tiene también una un observador en S tiene también una velocidad c relativa a un observador Svelocidad c relativa a un observador S11 independientemente del movimiento relativo de independientemente del movimiento relativo de S y SS y S11..
Esta conclusión es consistente con el segundo Esta conclusión es consistente con el segundo postulado de Einstein que dice que la postulado de Einstein que dice que la velocidad de la luz es c en todos los marcos velocidad de la luz es c en todos los marcos inerciales y que la velocidad de la luz es la inerciales y que la velocidad de la luz es la velocidad límite.velocidad límite.
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Momento relativista y forma Momento relativista y forma relativista de las relativista de las
Leyes de NewtonLeyes de Newton
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Para describir propiamente el movimiento de Para describir propiamente el movimiento de partículas dentro del esquema de la relatividad partículas dentro del esquema de la relatividad especial, las transformaciones galileanas deben de especial, las transformaciones galileanas deben de sustituirse por las transformaciones de Lorentz. sustituirse por las transformaciones de Lorentz.
Debido a que las leyes de la física deben Debido a que las leyes de la física deben permanecer invariables bajo las transformaciones de permanecer invariables bajo las transformaciones de Lorentz, debemos, generalizar las Leyes de Newton Lorentz, debemos, generalizar las Leyes de Newton y las definiciones de momento y energía para y las definiciones de momento y energía para ajustarlas a la transformación de Lorentz y al ajustarlas a la transformación de Lorentz y al principio de la relatividad. principio de la relatividad.
Estas definiciones generalizadas deben poder Estas definiciones generalizadas deben poder reducirse a las definiciones clásicas (para v << c).reducirse a las definiciones clásicas (para v << c).
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Se define el momento de una partícula en S como p = mu donde es la masa de la partícula en Kg. U es la velocidad << c expresada en m
s
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NOTA:NOTA:Las unidades de p son NosLas unidades de p son Nos
En un sistema relativista donde u En un sistema relativista donde u ~~ c se c se modifica el momento clásico p = mu modifica el momento clásico p = mu
por el momento relativista.por el momento relativista.
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La transformación del momento La transformación del momento relativista de la partícula es a partir del relativista de la partícula es a partir del marco del observador que se mueve a marco del observador que se mueve a velocidad u respecto de la partícula. velocidad u respecto de la partícula.
La fuerza relativista F sobre una La fuerza relativista F sobre una partícula cuyo momento es p se define partícula cuyo momento es p se define como:como:
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Energía relativistaEnergía relativista
Hemos visto que la definición de momento y Hemos visto que la definición de momento y las leyes de momento de acuerdo a la las leyes de momento de acuerdo a la mecánica clásica requieren de una mecánica clásica requieren de una generalización para hacerlas compatibles con generalización para hacerlas compatibles con el principio de la relatividad. el principio de la relatividad.
Esto significa que la definición de energía Esto significa que la definición de energía cinética debe de modificarse.cinética debe de modificarse.
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Cuando una fuerza hace trabajo sobre una Cuando una fuerza hace trabajo sobre una partícula aumenta su energía cinética y también partícula aumenta su energía cinética y también causa que su masa aumente por una cantidad causa que su masa aumente por una cantidad igual al aumento en energía dividido por cigual al aumento en energía dividido por c22..
Para una partícula de masa m acelerando a lo Para una partícula de masa m acelerando a lo largo de una línea recta bajo la acción de una largo de una línea recta bajo la acción de una fuerza constante F, el trabajo sobre la partícula fuerza constante F, el trabajo sobre la partícula es igual al cambio en energía cinética.es igual al cambio en energía cinética.
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Trabajo hecho = fuerza - distanciaTrabajo hecho = fuerza - distancia
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KE expresa la energía cinética relativista y se confirma rutinariamente mediante experimentos que emplean aceleradores de partículas de alta energía.
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Podemos verificar esto empleando la expansión del binomio
( 1 – x2 ) -½ ≈ 1 + ½ x2 + ... para x << 1 donde las potencias de orden mas alto de x
se desprecian en la expansión.
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En la ecuación KE = m0 c2 - m0 c
2 , el termino m0
c2 es independiente de la velocidad y se llama energía en reposo de la partícula libre.
Despejando para γ m0 c2 en la ecuac. KE = m0
c2 - m0 c2 obtenemos:
m0 c2 = KE + m0 c
2
Se define m0c2 como la energía total Eт
Eт = KE + m0 c2 pero,
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mm0 0 = m entonces,= m entonces,
EE == m cm c22
En muchas situaciones el momento o la En muchas situaciones el momento o la energía de una partícula se mide en energía de una partícula se mide en lugar de su velocidad por consiguiente lugar de su velocidad por consiguiente es útil tener una expresión que relacione es útil tener una expresión que relacione la energía total E con el momento la energía total E con el momento relativista p. relativista p.
EE22 = = ( m( m0 0 cc
2 2 ) ) 2 2 + p + p2 2 cc22
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Esta ecuación se deriva de la Esta ecuación se deriva de la siguiente forma:siguiente forma:
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Nota: La forma clásica para la energía que se relaciona con el momento de la partícula es: E = p2
2M
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Para el caso de partículas que tienen masa Para el caso de partículas que tienen masa cero la ecuación: Ecero la ecuación: E22
== ( m( m0 0 cc2 2 )) 2 2 + p + p2 2 cc22 se se
convierte en:convierte en:
EE22 = = pp
2 2 cc22
EE == pcpc
Esta ecuación es una expresión exacta que Esta ecuación es una expresión exacta que relaciona la energía y el momento para relaciona la energía y el momento para neutrinos y fotones que viajan siempre a la neutrinos y fotones que viajan siempre a la velocidad de la luz. velocidad de la luz.
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La masa mLa masa mo o de una partícula es de una partícula es independiente de su movimiento, mindependiente de su movimiento, moo debe debe de tener el mismo valor en todos los de tener el mismo valor en todos los marcos de referencia por lo tanto mmarcos de referencia por lo tanto moo se le se le llama masa invariante. llama masa invariante.
Por otra parte la energía y el momento Por otra parte la energía y el momento totales de una partícula dependen del totales de una partícula dependen del marco de referencia en el cual se miden, marco de referencia en el cual se miden, ya que ambos dependen de la velocidad. ya que ambos dependen de la velocidad.
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De acuerdo a la ecuación EDe acuerdo a la ecuación E22 == m m0 0
22cc44 + p + p2 2 cc22, la , la cantidad Ecantidad E22
- p- p2 2 cc22 = = m m0 0 22cc44 debe tener el debe tener el
mismo valor en todos los marcos de mismo valor en todos los marcos de referencia, ya que depende de la masa en referencia, ya que depende de la masa en reposo y la velocidad de la luz, ambas reposo y la velocidad de la luz, ambas cantidades invariantes en cualquier marco de cantidades invariantes en cualquier marco de referencia. referencia.
Entonces EEntonces E22 - p- p2 2 cc2 2 es invariante bajo una es invariante bajo una
transformación de Lorentz.transformación de Lorentz.
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Cuando trabajamos con partículas Cuando trabajamos con partículas subatómicas es conveniente expresar subatómicas es conveniente expresar su energía en electrón voltios (eV) su energía en electrón voltios (eV) debido a que las partículas ganan debido a que las partículas ganan energía mediante aceleración producida energía mediante aceleración producida por una diferencia de potencial.por una diferencia de potencial.
1eV = 1.60 x 10 1eV = 1.60 x 10 -19 -19 JJ
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Ejemplo: La masa de un electrón es 9.11 v10-31 Kg., entonces la energía en reposo del electrón es:
moc2 = (9.11 v10-31) (3 x 108) Kg. m2/s2 = 8.20 x 10-14 J
Al convertir esta energía a eV lo hacemos de la siguiente manera:
8.20 x 10-14 J 1eV_____ = 0.511 MeV1.60 x 10 -19 J
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Equivalencia de Equivalencia de lala
Masa y la Masa y la EnergíaEnergía
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Para entender la equivalencia de la Para entender la equivalencia de la masa y la energía, considere el masa y la energía, considere el siguiente experimento pensado, siguiente experimento pensado, propuesto por Einstein al desarrollar su propuesto por Einstein al desarrollar su ecuación: E = mcecuación: E = mc22
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Imagine una caja de masa M y longitud L como en la figura a. Suponga que un pulso de la luz se emite desde el lado
izquierdo de la caja (figura B) de la
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Suponiendo que la caja es muy masiva, la velocidad de retroceso v es muy pequeña comparada con la velocidad de la luz y la conservación del momento produce.
Momento de la caja = momento del pulso de luz
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El tiempo que tarda la luz en recorrer la El tiempo que tarda la luz en recorrer la longitud de la caja es longitud de la caja es
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Sustituyendo v = Sustituyendo v = EE//McMc
∆ ∆ xx = v ∆t = v ∆t∆t = ∆t = LL//cc
∆ ∆x = x = ELEL//McMc22
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La luz incide después en el extremo derecho de la La luz incide después en el extremo derecho de la caja y le transfiere su momento haciendo que ésta se caja y le transfiere su momento haciendo que ésta se detenga. detenga.
Con la caja en su nueva posición, en apariencia su Con la caja en su nueva posición, en apariencia su centro de masa se movió hacia la izquierda. centro de masa se movió hacia la izquierda.
Sin embargo, su centro de masa no puede moverse Sin embargo, su centro de masa no puede moverse debido a que la caja es un sistema aislado Einstein debido a que la caja es un sistema aislado Einstein resolvió esta situación suponiendo que además de resolvió esta situación suponiendo que además de energía y momento la luz también conduce masa. Si energía y momento la luz también conduce masa. Si mm es la masa equivalente que conduce el pulso de es la masa equivalente que conduce el pulso de luz y el centro de masa se mantiene fijo entonces:luz y el centro de masa se mantiene fijo entonces:
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Despejando para Despejando para EE obtenemos obtenemos E = mcE = mc22
De este modo llegó a la conclusión de De este modo llegó a la conclusión de que si un cuerpo brinda su energía E en que si un cuerpo brinda su energía E en forma de radiación su masa disminuye forma de radiación su masa disminuye en en EE/c/c22 , por lo tanto la masa de un , por lo tanto la masa de un cuerpo es la medida de su contenido cuerpo es la medida de su contenido energético.energético.
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Se concluye que la masa varía con la Se concluye que la masa varía con la velocidad relativa al observador. velocidad relativa al observador.
Debemos distinguir entre la masa en Debemos distinguir entre la masa en reposo mreposo moo, que es la masa medida por , que es la masa medida por un observador en reposo relativo a la un observador en reposo relativo a la partícula (y en la misma posición) y la partícula (y en la misma posición) y la masa medida en experimentos reales.masa medida en experimentos reales.
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Para una partícula libre m = γ mPara una partícula libre m = γ m0 0 nos brinda la nos brinda la masa de una partícula experimentalmente. masa de una partícula experimentalmente.
En el caso de un gran objeto, cuyo centro de En el caso de un gran objeto, cuyo centro de masa esta en reposo respecto del observador masa esta en reposo respecto del observador m = E ∑ m = E ∑ iimm00. .
En cualquier caso la masa real es En cualquier caso la masa real es proporcionada por la energía total E dividida proporcionada por la energía total E dividida entre centre c22..
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La ecuación E = La ecuación E = γγ m m00 c c22 sugiere que cuando sugiere que cuando
una partícula esta en reposo (una partícula esta en reposo (γγ= 1) este = 1) este sigue poseyendo una gran energía ( msigue poseyendo una gran energía ( m00 c c
2 2 ). ).
Prueba de esto esta en las reacciones Prueba de esto esta en las reacciones nucleares y colisiones de partículas nucleares y colisiones de partículas elementales donde se liberan grandes elementales donde se liberan grandes cantidades de energía acompañadas por la cantidades de energía acompañadas por la liberación de masa.liberación de masa.
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E = mcE = mc22 pero m = pero m = γγmm00
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ProblemasProblemas