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Discusión 1_ Introducción a los Métodos Numéricos

Asignatura: Termodinámica Química II

Docente: Dr. José Erazo

Métodos numéricos

�  Interpolación. � Derivación. �  Integración.

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que sean resueltas con operaciones aritméticas. Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos todos comparten una característica común, llevan cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos.

STEVEN C.CHAPRA, RAYMOND P

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Interpolación Interpolación: obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.

(Xk,Yk)

(Xk+1,Yk+1)

(X,Y)

I. Lineal

I. Polinómica

LINEAL

�  2 pares de datos, 1 incógnita

i   (X)   F(X)  0   1   0  1   4   1.3862  

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1 4

Interpolación Lineal 2 ?

(1) (2)

Substituyendo en 2

XK= 1YK= 0

X= 2Y= 0.46206667

Xk+1= 4Yk+1= 1.3862

Punto4medio4Y4Es44Incognita

Punto4Inferior

Punto4Superior

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Polinomios de Lagrange

n=1, dos pares de datos una incógnita (lineal)

F(x) =Polinomio de lagrange en función de una variable

EVALUAMOS LA FUNCION

Obtenemos el valor de F(x) que necesitamos

n=2, Tres pares de datos una incógnita

n=2 pares de datos una incógnita.

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Ejercicios

En base a siguiente información, estime mediante interpolación el valor de la incógnita (Fx) (Evaluar para T = 251oC.

Observación X Temperatura F(x) Densidad

0 94 929

1 205 902

2 371 860

Cual es la ecuación:

� Para encontrar la ecuación utilizaremos el Software data fit de Oakdale Eng.

Introducir datos (igual que en excel) / M SOLVE / REGRESION

Para ver datos / M RESULTS / DETAILED

Clic para ver resultados

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Derivación: �  La derivada de una función es la medida rapidez

de cómo cambia dicha función matemática en función de la variable independiente.

Fx

X

90o

Tangente

� Que diferencia hay entre una derivada regular y una parcial?

Método gráfico

1. Grafique las observaciones Xi, Yi. 2. Para cada intervalo calcule ΔX = Xn- Xn-1 y ΔY = Yn- Yn-1. 3. Calcule ΔYn / ΔXn =m GRAFIQUE vrs. variable dependiente. 4. Grafique los valores de ΔYn / ΔXn en forma de histograma contra X_X1 ( Recuerde que como son deltas X es un rango). 5. Al hacer la grafica grafique en forma de histograma y posteriormente una las secciones centrales del histograma mediante una línea continua. 6. Lea el valor de M en el punto requerido.

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Ejemplo: Encuentre (dy/dx) utilizando el siguiente set de datos y evalué para x=0.8

x   F(x)_Y   Δ(Xn-­‐Xn-­‐1)   Δ(Yn-­‐Yn-­‐1)   M=(ΔY/ΔX)  0   0.2              0.1   1.289   0.1   1.089   10.89  0.2   1.288   0.1   -­‐0.001   -­‐0.01  0.3   1.607   0.1   0.319   3.19  0.4   2.456   0.1   0.849   8.49  0.5   3.325   0.1   0.869   8.69  0.6   3.464   0.1   0.139   1.39  0.7   2.363   0.1   -­‐1.101   -­‐11.01  0.8   0.232   0.1   -­‐2.131   -­‐21.31  

Graficando:

10.89

-0.01 3.19

8.49 8.69

1.39

-11.01

-21.31 -25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

F(x)

Gráfico de la derivada de la ecuación

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Comprobación:

�  La ecuación que se utilizó para obtener el set de datos fue: F(x) = 0.2+25*X-200*X2+675*X3-900*X4+400*X5

Otra forma de escribirlo en maple:

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Un método adicional

Diferenciales hacia atrás Diferenciales hacia delante Diferenciales centradas

Formulario de Métodos Numéricos

Centrado

Como le hacemos? Nos enfocaremos en las diferenciales centradas.

En algunos casos el método visto anteriormente es inexacto – condición. Puntos igualmente espaciados. NO = ESPACIADOS – Use Lagrange.

X

Y

Xi Xi+1 Xi+2

Fx

Xi-1 Xi-2

Fx+2

Fx+1

Fx-1

Fx-2 H

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Encuentre el valor de la derivada en 1.5, con valores incrementales de 0.5.

�  Función=X^4-X^3-2*X^2+X+5

X   F(x)  0   5.0  0.5   4.9  1   4.0  1.5   3.7  2   7.0  2.5   18.4  3   44.0  3.5   91.2  4   169.0   0.0

20.0

40.0

60.0

80.0

100.0

120.0

140.0

160.0

180.0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Esto es lo que normalmente nos dan en termo 2

Pregunta: En este caso los intervalos están igualmente espaciados (tienen el mismo ancho), si no es así las ecuaciones vistas anteriormente no aplican. Que haría en caso en un examen le den intervalos que no estén igualmente espaciados.

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�  Encuentren la derivada en X=3?

X   F(x)  0   5.0  0.5   4.9  1   4.0  1.5   3.7  2   7.0  2.5   18.4  3   44.0  3.5   91.2  4   169.0   0.0

20.0

40.0

60.0

80.0

100.0

120.0

140.0

160.0

180.0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

2 puntos – 1 incógnita Observación   3  PUNTOS  X   F(x),  Y  

Xi-­‐1   2.5   18.4  

Xi   3   72.8  

Xi+1   3.5   91.2  

H=   0.5  

4 puntos, 1 incógnita.

Observación   5  PUNTOS  (4  p  -­‐  1  INC)  X   F(x),  Y  

Xi-­‐2   2   7  

Xi-­‐1   2.5   18.4  

Xi   3   70.06  

Xi+1   3.5   91.2  

Xi+2   4   169  

H=   0.5  

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Utilizando data fit - maple Ecuación en DATA FIT

Y = a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e

a 1.00139860139861 b -1.01051541051545 c -1.97513597513586 d .983320383320283 e 4.99098679098681

Y = 1*x^4-1*x^3-1.97*x^2+0.983*x+4.99

Ec. Resultante

Para mejor manejo -No utilicen ecuaciones tan complicadas polinomios grado 7 por ejemplo.

Comparemos resultados DATA FIT, ecuación seleccionada.

Y = x^4 - x^3-1.97*x^2+0.983*x+4.99 DATA FIT

�  Función=X^4-X^3-2*X^2+X+5

Encontremos la primera derivada utilizando MAPLE.

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COMPARANDO.

Método Eval. De primera derivada

Método gráfico usando grafica de X vrs. Función y ΔY/ΔX. 54

2 Puntos una incógnita (fórmula centrada). 72.8

4 Puntos una incógnita (fórmula centrada). 70.06

Ecuación de Data Fit – Derivación Maple (4) 70.163 (es un polinomio de grado 4)

Ecuación (1) Data Fit – Derivación Maple

70.5 (es un polinomio de grado 7) se redondeó.

Ecuación original - MAPLE 70

Integración: �  Regla del trapecio con segmentos múltiples: es

una formula de Newton – Cotes.

! ≅ ! − ! .! !! + 2 ! !! + !(!")!!!!!!2! !

A B

FXo FX1

FX2 FX3 FX4

FX5 FX6 FXn

n=número de intervalos

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Encuentre el área bajo la curva del siguiente set de datos:

x   F(x)  0   0.2   1  0.1   1.289   2  0.2   1.288   3  0.3   1.607   4  0.4   2.456   5  0.5   3.325   6  0.6   3.464   7  0.7   2.363   8  0.8   0.232  

9 valores de x 9 valores de F(x)

0.2 1.289 1.288 1.607 2.456 3.325 3.464 2.363 1.232

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

F(x)

(x)

B = x8=0.8 A= x0 =0

n=Número de intervalos=8

Desarrollar la regla del trapecio para 8 SEGMENTOS

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Simpson (1/3) Múltiples segmentos (aplica a números pares de intervalos).

Desarrollar fórmula del integral….

Fxo Fx1 Fx2 Fx3 ……... Fx6 Fx7 FXn(8)

B = x8 A= x0

n=Número de intervalos

DESARROLLO EN EXCEL

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Calculo usando MAPLE

Maple generalmente puede calcular la derivada si tengo una función, por lo que el primer paso es definir cual es la ecuación que me esta generando la data, para ello usamos el DATA FIT de Okdale Eng.

x   F(x)  0   0.2  0.1   1.289  0.2   1.288  0.3   1.607  0.4   2.456  0.5   3.325  0.6   3.464  0.7   2.363  0.8   0.232  

99% de confianza

Substituyendo los coeficientes que nos proporciona el data fit

Ecuación. #1

�  Con la ecuación definida integramos en maple de 0 – 0.8.

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Que pasa si utilizamos la ecuación en la cuarta posición en el data fit.

Y = a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e

a -99.9999999999989 b 117.22222222222 c -42.6666666666657 d 10.0844444444443 e .30666666666667

Y = -99.9999*x^4+117.2222*x^3-42.6666*x^2+10.04448*x+0.3066

RESUMIENDO – Integración

Método Área bajo la curva

Trapecio 1.6008 Simpson a la 1/3 1.6394 ≅ 1.64 Data Fit – Maple (Ec.1) Pol g7 1.6361 Data Fit – Maple (Ec.4) Pol g4 1.6403

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TAREA

V=Volumen T (oF) P (lbf/plg2)

2.461 165.2 150

2.339 174.4 160

2.229 183.0 170

2.200 185.0 173

2.132 191.3 180

2.043 199.2 190

1.960 206.9 200

Evaluar Para una S= 1.30 Btu/Lb.oR (P=173 lbf/plg2)

Además calcule el integral de TdV evaluado de 2.461 a 2.043