1. redes y robustez: revisiÓn de...
TRANSCRIPT
25
1. REDES Y ROBUSTEZ: REVISIÓN DE CONCEPTOS
Las siguientes medidas o parámetros, que se definirán sobre grafos no dirigidos, serán
de gran utilidad en análisis y cálculos posteriores que nos llevarán a estudios acerca de
la robustez (tolerancia ante fallos aleatorios o provocados) de los distintos tipos de redes
[20-21, 33, 36]. Usaremos grafos sencillos como ejemplo, con el objetivo de aclarar
posibles dudas que pudieran surgir durante su comprensión.
• Incremento de diámetro al eliminar arcos y nodos:
Es la diferencia entre el diámetro de la red después de eliminar una arista y el
diámetro de la misma cuando todavía estaba presente dicha arista. Hace
referencia al incremento de distancia que existe entre dos nodos cuando algún
tramo de la vía que existía en la ruta más corta para unirlos queda fuera de uso,
obligando a tomar una ruta alternativa. Es por esto, por lo que la magnitud solo
tendrá sentido calcularlo si el grafo es conexo.
∆ , 0 ∆ ∞ (3)
El índice tendrá valor nulo en el caso de que, el hecho de haber quitado una
arista no haya afectado en el cálculo del diámetro, es decir, la arista eliminada no
se encontraba en el camino de longitud menor existente entre el resto de los
nodos del grafo. El índice tendrá valor infinito cuando como consecuencia de la
eliminación de esa arista el grafo quede inconexo.
La magnitud se denotará con un subíndice V en caso de que el incremento venga
provocado por la eliminación de un vértice y con un subíndice E en caso de que
sea una arista la que se elimina.
De la misma forma podría calcularse el incremento de diámetro al suprimir un
nodo, aunque hay que tener en cuenta, que la eliminación de un nodo conlleva la
supresión de todas las aristas incidentes en él. La definición de la magnitud
incremental sería la misma.
26
Si, por ejemplo, en el grafo de la figura 2, suprimimos la arista 2, la distancia del
nodo 1 al 6 y al 4 será la misma, 4 y 2 respectivamente. Sin embargo, al nodo 5
será mayor (7), al igual que la distancia hasta el nodo 2 (13). La distancia del
nodo 2 al nodo 3 seguirá siendo 1, y al nodo 5 seguirá siendo 2. La distancia del
2 al 4 será ahora 7, al 6 será ahora 8. La distancia del nodo 3 a ningún nodo
cambiará. La distancia del nodo 4 a los nodos 5 y 6 y la distancia entre los nodos
5 y 6 tampoco cambiará. El nuevo diámetro de la red será 13. Luego, el
incremento de diámetro obtenido será 5.
Si en lugar de suprimir una arista suprimimos un vértice, por ejemplo, en ese
mismo grafo el 1, deberemos suprimir también las aristas que conectaban ese
nodo con los nodos pares. El grafo que nos queda es
Figura 3
Las distancias del vértice 2 al resto serán [0 1 7 2 8]. Las distancias del vértice
3 al resto serán [1 0 8 3 9]. Las distancias del vértice 4 al resto son [7 8 0 5
9]. Las distancias del 5 al resto son [2 3 5 0 6]. Las distancias del 6 al resto no
será necesario calcularlas. Esos valores podrían ser obtenidos por simetría. El
diámetro del nuevo grafo es 9. El incremento de diámetro,∆ , es unitario.
• Concepto clásico de conectividad (Peor Caso de Conectividad estadística):
Se denomina ‘Vértice-conectividad’ (A(G)) al número de vértices que es
necesario eliminar para conseguir que la red sea inconexa. De la misma forma,
llamamos ‘Arista-conectividad’ (B(G)) al número de aristas que es necesario
borrar hasta hacer que el grafo no sea conexo.
No es una medida que nos aporte información valiosa, si en nuestra red el quitar
un pequeño o gran grupo de vértices no afecta significativamente al
funcionamiento global de la red. Internet es un buen ejemplo de ello.
27
En el grafo mostrado en la figura 2, tanto la ‘vértice-conectividad’ como la
‘arista conectividad’ poseen valor 2.
• Cohesividad (ch(V’)) (Peor Caso de Conectividad estadística):
Sea A(G) la ‘Vértice-Conectividad’ de nuestro grafo. Sea G-V’ el grafo obtenido
a partir del original después de borrar un grupo V’ V de vértices. Se define
entonces la cohesividad como la diferencia entre la conectividad de vértices del
grafo original y la conectividad de vértices del grafo después de haber borrado
de él ese grupo de vértices.
′ ′ (4)
De aquí se deduce que un vértice con cohesividad negativa es un outlier,
mientras que uno con cohesividad unidad es un vértice central.
Figura 4
El vértice 8 del grafo de la figura 4.a tiene cohesividad -2, ya que la red tiene
una ‘vértice conectividad’ igual a 1 si ese vértice está presente (sólo sería
necesario suprimir el vértice 6 para hacer no conexo el grafo) y una ‘vértice-
conectividad’ igual a 3 si ese vértice no está presente (Si quisiese aislar uno de
los vértices externos, por ejemplo el 2, debería eliminar el vértice central y los
dos exteriores adyacentes. En este caso, debería eliminar los nodos 1,3 y 7).
El vértice 7 del grafo de la figura 4.b tiene cohesividad unidad ya que si lo
suprimimos el valor de la ‘vértice-conectividad’ cae de 3 a 2.
28
En el grafo de la figura 2, los vértices 1, 2, 4 y 5 tienen cohesividad unidad,
mientras que la de los vértices 3 y 6 es nula.
• Grado mínimo (ξ(i)) (Peor Caso de Conectividad estadística):
Menor número de aristas que debemos eliminar para desconectar la red en dos
subgrafos conexos G1 y G2, conteniendo G1 exactamente i vértices. Algunas
propiedades de esta magnitud son:
1. ξ(i) = ξ(n-i), donde n = número de vértices de la red = |V|
2. ξ(i) ≥ i(kmín(G)-i+1), donde kmin(G) es el grado mínimo de los
vértices del grafo.
3. Si G es una red regular cuyo grado es r, siendo r ≤ n/2 para n>2 e i≥
l, entonces:
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡+⎥⎦
⎥⎢⎣⎢≥
ll
iir )()( ξξ
Existen algoritmos que lo computan. El tiempo que tardan es del orden de
|| Ein⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
.
Figura 5
En el grafo de la figura 5, el 1-degree es uno. Necesitaríamos eliminar la arista
1-2 para obtener dos subgrafos, uno de los cuales tiene únicamente un vértice, el
1. El 2-degree es 2. Lo obtendríamos de dos formas. La primera suprimiría las
29
aristas 2-3 y 2-4. El subgrafo formado por dos vértices será el constituido por 1 y
2. La segunda suprimiría las aristas 7-8 y 7-9, siendo el grafo de dos vértices el
compuesto por 8 y 9. El 3-degree será 3. Podríamos suprimir 2-4, 3-5 y 3-5, o
bien 7-4, 7-5 y 7-6. Así podríamos continuar hasta que i = 8, lo que ocurre es
que en realidad sólo sería necesario calcular hasta 4, ya que, por ejemplo,
cuando i = 8 habrá dos grafos uno con ocho nodos y el otro con un nodo. Y este
sería el mismo caso que el del 1-degree, solo que entonces buscamos el grafo de
menor dimensión de los dos que obteníamos y ahora buscamos el mayor. Esta
es una de las propiedades definidas. La tabla 1.1 refleja estos valores.
TABLA I.I
El grafo de la figura 2, tiene los valores de i-degree que se reflejan en la tabla
1.2. Para escindir el grafo en dos, y que uno de los subgrafos tenga un solo
vértice, sería necesario eliminar al menos dos aristas (esto sucederá en el caso de
los vértices 3 y 6). El 2-degree se obtiene al separar junto con cualquiera de
estos dos vértices, el 3 o el 6, uno de los vértices 1, 2, 4 ó 5, siendo el que se
escoja del primer grupo adyacente al que se escoja del segundo conjunto. El 3-
degree puede darse de muchas maneras. Sólo hemos calculado hasta el 3-degree
porque hay 6 vértices (las razones ya se comentaron anteriormente).
1-degree 2-degree 3-degree
2 3 4
TABLA I.II
El problema de estos razonamientos es el hecho de que estamos dividiendo el
grafo en dos componentes. Esto no aporta una idea intuitiva de robustez. Por
ejemplo, la red de la siguiente figura
1-degree 2-degree 3-degree 4-degree 5-degree 6-degree 7-degree 8-degree
1 2 3 3 3 3 2 1
30
Figura 6
tiene un 3-degree igual a 3. Para dividir en dos grafos conexos en el que uno de
ellos contenga exactamente 3 nodos, podríamos quitar las aristas 7-8, 7-10 y 7-9,
o bien 3-0, 3-1 y 3-2. Podría, a partir de aquí, suponer una determinada robustez
de la red y trabajar con esos datos. Sin embargo, esos datos no serian del todo
correctos. Si no analizamos la red con más profundidad no nos daríamos cuenta
de que si quitásemos las aristas 4-3 y 6-7, sólo habría quitado dos aristas y el
grafo ya no sería conexo (lo habría dividido en tres subgrafos).
• Dureza (t(G)) (Peor Caso de Conectividad estadística):
Medida del número de componentes conexas en los que el grafo puede dividirse
en caso de que se produzca un fallo de un cierto número de vértices. Puede
definirse la dureza de vértices (tv(G)) o la dureza de aristas (tE(G)). La
formulación matemática para ambas es muy similar, por lo que sólo definiremos
con más rigor una de ellas.
Sea S un subgrupo de vértices del grafo G. Sea C (G-S) el número de
componentes conexos que se obtienen al partir G por la supresión del conjunto
S. La dureza de vértices de G se define entonces como sigue:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=
>−⊆ )(C||)( min
1)(, SGSGt
SGKCS (5)
Intuitivamente, se comprueba que la dureza de una red será elevada si
eliminando un gran número de vértices, escindimos el grafo G en pocos
subgrafos. En cambio, si una red se escinde en un gran número de componentes
al suprimir un pequeño número de nodos, la dureza tendrá un valor reducido.
31
Podríamos, por ver algunos ejemplos, medir la dureza sobre una red completa o
mallado total, un árbol, un grafo bipartito o una estrella. En el primer caso, se
definiría como infinita, ya que C(G-S) nunca será mayor que 1, y entonces esa
expresión no será aplicable. En el segundo, obtendríamos una dureza )(
1Gkmáx
,
donde )(Gkmáx es el máximo grado de los vértices del grafo. En el tercer caso,
obtendríamos un valor m/n, siendo m≤ n y n≥ 2. Por último, la estrella, nos daría
un resultado de . Esta última es la topología con menor dureza de todas las
existentes.
La dureza del grafo de la figura 2 es 1. Si suprimimos el par de nodos 1-5 o el
par 2-4, nos quedarían dos componentes.
La dureza del grafo de la figura 5 es ½. Se obtiene al suprimir el vértice 2.
• Conectividad condicional (CC(G:P)) (Peor Caso de Conectividad estadística):
Se denomina conectividad condicional de vértices, CCv(G:P), al menor número
de vértices que han de ser borrados para que la red resultante G’ contenga las
siguientes propiedades:
• G’ no es conexo.
• Cada componente conexo de G’ tiene la propiedad P.
En caso de considerar, aristas en lugar de vértices, se obtendría la conectividad
de aristas, CCE(G:P). Tanto la formulación como la definición serían muy
similares.
De esta definición, deriva otra: la conectividad general. Si una red G posee la
propiedad P e Y es un subconjunto de vértices (o aristas) de G, entonces la
conectividad general CG (G, Y: P) puede definirse como el menor conjunto X de
vértices (o aristas) contenido en Y que hay que suprimir para que la red
resultante no tenga la propiedad P. La conectividad condicional es un caso
particular de la conectividad general.
32
• Distancia incremental y secuencia de diámetros (Peor Caso de distancia
estadística):
Sea dG(u,v) la distancia en el grafo G entre los vértices u y v. Sea D(G) el
diámetro del grafo G. Sea A(G) la ‘vértice-conectividad’ y B(G) la ‘arista-
conectividad’. Entonces, definimos:
• c (‘Vertex-Deleted Incremental Distance Sequence’: máximo incremento de
distancia entre dos nodos que resulta de la eliminación de i vértices en la red),
{ } 11,,|),(),(max||
−≤≤−∈−= −=
AiVVvuvudvudc iVGiV
i ii (6)
• e (‘Edge-Deleted Incremental Distance Sequence’: máximo incremento de
distancia entre dos nodos que resulta de la eliminación de i aristas en la red),
{ } 11,,|),(),(max||
−≤≤−∈−= −=
BiVVvuvudvude iEGiE
i ii (7)
• f (‘Vertex-Deleted Incremental Diameter Sequence’: máximo diámetro del
grafo que resulta de la eliminación de i vértices en el mismo)
{ },)(max
||i
iVi VGdf
i
−==
11 −≤≤ Ai (8)
• t (‘Edge-Deleted Incremental Diameter Sequence’: máximo diámetro del grafo
que resulta de la eliminación de i aristas en el mismo) son:
{ },)(max||
iiE
i EGdti
−==
11 −≤≤ Bi (9)
Además, se demostró (Krishnamoorthy, Thulasiraman and Swamy, 1990) que el
incremento de distancia entre cada par de nodos por la supresión de i aristas o
vértices se producía siempre entre vértices vecinos a los que eran borrados. Esto
33
nos lleva a redefinir las secuencias c y e, facilitando enormemente la
computación de estas secuencias:
{ } 11,)(,|),(),(max||
−≤≤∈−= −=
AiVNvuvudvudc iVGiV
i ii
, (10)
{ } 11,)(,|),(),(max||
−≤≤∈−= −=
BiENvuvudvude iEGiE
i ii
, (11)
Figura 7
Las secuencias C, E y T son monótonas no decrecientes. Las entradas de C son
no negativas. Las de E han de ser al menos la unidad.
En el caso de la figura 7, todas las secuencias puede ser calculada para 1≤i≤2, es
decir para i=1,2.
El máximo incremento de distancias entre dos nodos causado por la eliminación
de un vértice es igual a uno, es decir, c1=1. Se produce, por ejemplo, con la
supresión del vértice 3 o 4. El máximo incremento si suprimo dos vértices será
c2=2. Se produce, por ejemplo, si suprimo los vértices 3 y 8.
El máximo incremento de distancias entre dos vértices si suprimimos una arista,
e1, es igual a 3. Se produce por ejemplo si suprimimos la arista 3-4. Si
eliminamos 2 aristas, que por ejemplo, pueden ser 1-3 y la 2-3, tendremos un
incremento de distancia entre dos vértices que como máximo valdrá 3, es decir,
e2=3.
34
El máximo diámetro del grafo causado por la eliminación de un vértice, f1, es
igual a 3, mientras que la misma magnitud obtenida al eliminar dos vértices es
igual a 4, o sea, f2=4.
Por último, el máximo diámetro causado por la eliminación de una o dos aristas
es 4. Esto es equivalente a decir que t1=t2=4.
• Persistencia (ρ(G)) (Peor Caso de distancia estadística):
Mínimo número de vértices (igual con aristas), que debemos borrar para
incrementar el diámetro de la red. Se denotará a la persistencia de vértices ρv(G)
y a la de aristas ρE(G).
Este concepto de persistencia puede extenderse a un vector de N componentes,
un elemento por vértice.
No existe un algoritmo eficiente para su cómputo.
Tanto la persistencia de aristas como la de vértices del grafo de la figura 2 es 1.
Ya se vió cuando se definía la magnitud ‘incremento de diámetro’ que en ese
grafo con solo suprimir la arista 2, se producía un incremento de diámetro de 5
unidades y con solo suprimir el vértice 1 el incremento era unitario. El número
de unidades que se incrementa no es importante para esta magnitud. Lo
importante es que se produce el incremento.
• Conectividad media (Media estadística de robustez):
Sea G=(V,E) una red conexa con n vértices y m aristas. Sea también S(G) el
conjunto de todas las permutaciones de las m aristas (estará constituido, por
tanto, por m! elementos) y sea G0 = (V,ϕ) otro grafo que en el instante inicial
tiene un conjunto V de vértices aislados. Insertaremos las aristas de G en G0 en
orden, de acuerdo con una secuencia s perteneciente al conjunto S(G) y
definiremos para cada disposición en secuencia de un conjunto s , un
número ξ(s) como el índice de aristas que transforman la red en conexa. La
conectividad media se define:
35
!∑ (12)
Algunas propiedades de esta magnitud son:
• Si G=(V,E’) con E’ E es un subgrafo conexo de G=(V,E), entonces
M(G’) M(G).
•Sea G una red con n vértices y m aristas. Construimos una nueva red G’
añadiendo un nuevo vértices y h aristas que lo conecten a los vértices en G.
Sea M(G,k) el número de secuencias de aristas para G con ξ(s)=k. Se
satisface entonces la siguiente desigualdad:
′ 11
11 ,
1 !! !
•Se verifica:
1 1
Donde es la arista-conectividad de G.
Si la diferencia entre la conectividad media y la clásica es muy grande, entonces
pueden producirse cuellos de botella en la red. Se soluciona añadiendo algunas
aristas que hagan de puente en los lugares en los cuales se produce el
embotellamiento.
Figura 8
Calcularemos la conectividad media sobre el grafo de la figura 8. En él, el
número de aristas será igual a 4, m=4. El conjunto S(G) formado por todas las
posibles permutaciones de aristas, estará compuesto por 24 elementos. Será:
36
Primero Segundo Tercero Cuarto ξ(s)
1 2 3 4 4
1 3 2 4 4
1 4 3 2 3
1 2 4 3 3
1 3 4 2 3
1 4 2 3 3
2 1 3 4 4
2 3 1 4 4
2 4 1 3 3
2 1 4 3 3
2 3 4 1 3
2 4 3 1 3
3 1 2 4 4
3 2 1 4 4
3 4 1 2 3
3 1 4 2 3
3 2 4 1 3
3 4 2 1 3
4 1 2 3 3
4 2 1 3 3
4 3 1 2 3
4 1 3 2 3
4 2 3 1 3
4 3 2 1 3
TABLA II
Además, en esta tabla también se han calculado los valores del índice ξ(s).
Vemos como el valor de este índice es siempre 3 salvo que la arista 4 se meta en
último lugar. Que esta arista este presente es la única posibilidad de que el grafo
sea conexo, mientras que las aristas 2 y 3 no tienen porque estar
obligatoriamente de forma simultánea.
37
Ya tan solo nos falta sustituir en la expresión matemática.
4124 18 3 6 4 4
7824
96 7824
1824
912
34
• Distancia Media de conexión (Media estadística de robustez):
Media aritmética de las mínimas distancias entre pares de nodos conectados de
la red. En el grafo de la figura 2, recordemos que las mínimas distancias entre
nodos eran
0 3 4 2 5 43 0 1 5 2 74 1 0 7 3 82 5 7 0 5 65 2 3 5 0 64 7 8 6 6 0
De acuerdo con esto, la distancia media conexa sería
ó 1
6 6 18 18 23 25 21 31
13636 3,7777781
• Fragmentación (Media estadística de robustez):
Ya anteriormente se comentó que cuando ciertos nodos de un grafo conexo son
eliminados, la agrupación de los nodos restantes disminuye, fragmentando el
grafo en varios subgrafos. Llamamos C(G) al número de componentes del grafo
disconexo resultante. La fragmentación puede definirse matemáticamente
mediante dos parámetros:
1 El sumatorio se ha calculado sumando las filas de la matriz de distancias obtenida mediante el algoritmo de Dijsktra.
38
• Tamaño relativo del componente mayor: Frag1 = C | |
∑ | |C . Fracción de
nodos que contiene la mayor agrupación.
• Tamaño medio del componente aislado: Frag2 = ∑ | | C | |C
C
Donde | | denota el número de vértices de la i-ésima componente.
Si, por ejemplo, en el grafo de la figura 5, eliminamos los vértices 5 y 7, el grafo
original se escindirá en tres subgrafos: el primero, formado por los nodos 1,2,3 y
4, el segundo formado por el vértice 6 y el tercero y último, constituido por los
vértices 8 y 9. Con lo cual, C (G) = 3.
El tamaño relativo del componente mayor será:
C | |
∑ | |C 4
1 2 447 0,5714286
El tamaño medio del componente aislado
∑ | | C | |C
C 17 43 1 1,5
• Elasticidad de corte equilibrado (Media estadística de robustez):
Sea G=(V,E) una red con n vértices y aristas de peso unidad. Definiremos la
elasticidad de corte equilibrada R(N(v,h)) como el tamaño medio de los mínimos
cortes equilibrados dentro de las h-vecindades del vértice v, es decir:
, ∑ . (13)
Recordemos que la h-vecindad de un vértice v contiene todos los vértices con
distancia menor o igual a h desde v.
39
Computacionalmente, es difícil de calcular. Su cálculo es un problema NP-duro.
No obstante, haciendo uso de métodos heurísticos obtenemos buenos valores y
estimaciones.
Figura 9
En el grafo de la figura 9, si consideramos h = 1, estaríamos considerando como
vecinos solo nodos adyacentes. En este caso, R(v) para v = 1 es igual a 1 (El
subgrafo resultante sería el formado por los nodos 1 y 2. Para escindir este grafo
en otros dos, cada uno con 1 elemento (n=2), solo deberíamos eliminar la arista),
para v = 2 es igual a 2 (El subgrafo resultante es el formado por 1,2,3 y 5. Para
escindirlo en dos subgrafos de 2 elementos (n=4) deberíamos suprimir las aristas
2-3 y 2-5), para v = 3 es igual a 3 (El subgrafo estaría formado por los nodos 3,
2, 5 y 4. Para que, posteriormente dividamos este subgrafo a su vez en otros dos
es necesario que, por ejemplo, sean suprimidas las aristas 2-5, 3-5 y 3-4). Así, se
podría hacer este razonamiento en cada uno de los vértices. Si h=2, estaremos
tomando un entorno de vecindad de dos saltos a partir del vértice origen. En este
caso, R(1)=2 (el subgrafo estaría formado por los nodos 1, 2,3 y 5. Sería
necesario eliminar las aristas 2-3 y 2-5), R(2)=R(3)=R(4)=R(5)=3 (el subgrafo y
el grafo serían el mismo. El subgrafo contiene todos los nodos. Para escindirlo
en dos subgrafos de tres componentes la única opción es que eliminemos las
aristas 2-5, 3-5 y 3-4) y R(6)=3 (El subgrafo estaría formado por todos los nodos
salvo por el 1; al ser 5 nodos, nos deberá quedar un subgrafo de tres elementos y
otro de dos. La división podría ser la misma que cuando v=2,3,4,5). Siguiendo el
mismo razonamiento podríamos obtener el valor de la resistencia de corte
equilibrado para otros valores de h. En la figura 5, se pueden observar estos
resultados para h=1,2,3. Sobre cada nodo se denota su resistencia.
40
Figura 10: Resistencia de corte equilibrado de cada vértice. (a) h=1, (b) h=2, (c) h=3
• Excentricidad efectiva:
La excentricidad efectiva ξ v, r , 0 1, de un vértice v es el menor valor
de h tal que el número de vértices N(v,h) dentro de una h-vecindad de v es al
menos r veces el número total de vértices, es decir,
ξ v, r min h |N v, h rn (14)
Cuando r = 1, obtenemos la excentricidad del vértice v, ξ (v), ya definida en el
primer apartado de esta memoria.
• Diámetro efectivo (Media estadística de robustez):
El diámetro efectivo de una red, , es el menor valor de h tal que el
número de pares dentro de una h-vecindad es, al menos, r veces el número total
de pares alcanzables, es decir,
diam r min h |P h r P ∞ (15)
Donde P denota el número de pares dentro una vecindad concreta, esto es,
| , | , | ∑ , (16)
41
• Fiabilidad polinomial (Probabilidad estadística de robustez):
Sea G una red conexa con n vértices y m aristas. Asumimos ahora, que las
aristas son eliminadas de forma independiente con una probabilidad 1-p, donde 0
≤ p≤ 1. La fiabilidad polinomial, R(G,p), es la probabilidad de que G sea
conexo.
Algunas de las propiedades de esta magnitud son las siguientes:
• R(G,0) = R(G,1) = 1
• Si p1 < p2 ⇒ R(G, p1) < R(G, p2)
• Sea G un grafo conexo. Sea el grafo obtenido a partir de G borrando
el conjunto E de aristas y GE el grafo obtenido a partir de G contrayendo
el conjunto E de aristas (es decir, suprimiendo cada arista de ese
conjunto y haciendo que los dos vértices de sus extremos sean uno solo).
Se verifica la siguiente igualdad:
, 1 · , · ,
Decidir para una arista determinada una probabilidad de fallo si la probabilidad
de que la red sea conexa es, al menos, un valor q, es un problema NP-duro. No
existe ningún algoritmo que pueda ser ejecutado en una fracción tiempo
proporcional al número de nodos y aristas (polinomial), y que compute esta
magnitud para grafos generales.
En el caso de un árbol con m aristas, la fiabilidad polinomial es , .
• Elasticidad probabilística (Probabilidad estadística de robustez):
Sea G una red con n vértices. La elasticidad probabilística, , , es el
mayor número de vértices que pueden fallar siempre que G todavía sea conexo
con una probabilidad 1-p, esto es,
42
, | ∑ , (17)
Donde P(G,i) es la probabilidad de desconexión de una red G, es decir, la
probabilidad de que la red sea no conexa exactamente después del i-ésimo fallo
que se produce en la misma.
La elasticidad probabilística relativa relaciona , con el tamaño de
G:
, , (18)
• Desconexión de red
á (19)
Donde ε es el número de pares de vértices que no se pueden alcanzar a través de
ningún camino, o lo que es lo mismo el número de nodos fragmentados
(separados del resto) multiplicado por el número de nodos que permanecen en el
grafo. lmáx es el número máximo posible de enlaces.
Así, si por ejemplo tuviésemos: un grafo no conexo, formado por dos subgrafos,
estando el primero compuesto por dos nodos conectados y el segundo por tres
nodos también conectados en camino. En este caso, ε = 6, ya que cada uno de los
nodos del primer subgrafo tendría 3 nodos inalcanzables (los pertenecientes al
segundo). Si lo vemos de la otra manera, el número de nodos fragmentados sería
2, mientras que el número de nodos que permanecen sería 3. Lmáx sería 10 (todos
los enlaces posibles del grafo). Luego, el índice de desconexión es 3/5.
El índice de desconexión de un anillo es nulo ya que el grafo es conexo.
43
1.1 Conceptos relativos a robustez y flujos
Los conceptos vistos en este apartado consideran el impacto de la destrucción de un
nodo o una arista en términos de potencial de desconexión del grafo. Sin embargo, la
destrucción de nodos o aristas puede provocar dramáticas consecuencias en términos
de carga del enlace y capacidad de los enlaces por los cuales se deriva esa carga.
¿Por qué enlaces se podría derivar el flujo? ¿Qué caminos hay entre esos dos nodos?
¿Qué caminos caen al caer un nodo o una arista? ¿Cómo de importante es una arista
en un camino? ¿Qué impacto produciría la carga procedente de ese enlace en el
resto?
La conectividad óptima es muy importante a la hora de reducir el impacto de la
destrucción de un nodo en la carga. En general, supondremos que entre dos nodos
existen al menos λ caminos sin ninguna arista en común y k caminos sin ningún nodo
en común. Si k < λ, el número de caminos arista-disjunto, después de la caída de un
nodo importante podría caer de λ a k-1. Si k = λ, la destrucción de k nodos destruye
como mucho uno de los λ caminos disjuntos entre esos dos nodos. Supongamos para
comprender esto mejor, que tenemos el siguiente grafo:
Para movernos desde el nodo 1 al 17, tendremos λ = 5 caminos sin ninguna arista en
común y k = 3 caminos sin ningún nodo en común. Se verifica que k < λ. Si cayese el
nodo 10, λ = 4. Pero, si cae el nodo 9, por ejemplo, λ = 3. En ninguno de estos casos
hemos caído hasta k-1. Si el grafo fuera el formado por los nodos, 1, 4, 5, 9, 13, 14,
15 y 17, si cae el nodo 9, λ pasará de valer 2 a valer 0.
Algunas de las preguntas anteriores nos llevan a definir la siguiente magnitud:
44
• Centralidad en las interrelaciones del enlace s
∑ , (20)
Donde ncij(s) es el número de caminos de menor longitud entre i y j que pasan
por la arista s, y ncij el número de caminos mínimos entre i y j.
Para un anillo, que, por ejemplo, tenga 6 nodos, la centralidad en las
interrelaciones de una arista s cualquiera es 9.
(Supondremos que el enlace s es, por ejemplo, el enlace entre 2 y 3. Con el resto
de las aristas obtendríamos el mismo resultado por simetría. Si i = 1, cuando j sea
el nodo 6, el 2 o el 5, el camino mínimo no pasará por el enlace s. Cuando sea el
nodo 4, de los dos caminos mínimos que hay, solo uno usa el enlace s. Cuando j
= 3, tan solo hay un camino mínimo y es necesario usar el enlace s para llegar del
nodo i al j. Con lo cual, el elemento del sumatorio correspondiente a i = 1, es
igual a 3/2.
Cuando i = 6, sucede lo mismo. No se usa el enlace s para llegar hasta los nodos
1, 5, 4 y 2. Para llegar al nodo 3, uno de los dos caminos hace uso del nodo s.
Con lo cual, habría que sumar a los 3/2 ya obtenidos, 1/2. El resultado hasta el
momento es 2.
Si i = 5, los términos correspondientes a j = 6, 1, 4, 3 serían nulos, mientras que
el correspondiente a j = 2, sería también 1/2.
Cuando i = 4, estamos en el mismo caso que cuando i = 1 (simetría). Sumariamos
3/2 a lo que ya teníamos. Obtendríamos un valor igual a 4.
Por simetría, se cumple también que el resultado obtenido cuando i = 2, es igual
al obtenido cuando i = 3. Cuando i = 2, no se sumaría nada en los casos j = 1, 6.
Se sumaría ½ en el caso j = 5 y 1 en los casos j = 4 y j = 3. Es decir, sumariamos
5/2. El resultado definitivo de la centralidad del enlace s, es igual a 9.)
45
Se puede comprobar cómo el valor medio de esta magnitud es
∑ ∑, ∑ , (21)
Donde n es el número de nodos, m el número de aristas, dij la distancia mínima
entre los vértices i y j, considerando la longitud entre el par en término del
número de enlaces. <d>, la distancia media entre nodos.
El momento de segundo orden es el siguiente:
∑ ∑ ∑ ,, ∑ , ∑ , ∑ (22)
Hay que señalar que cuando en la ecuación (21) se realiza el sumatorio de distancias
entre pares, no se excluye el caso i = j, en el que la distancia mínima es nula. Sin
embargo, al hacer la media aritmética consideramos n nodos en cada sumatorio, no
n-1. Las expresiones mostradas se pueden encontrar en [21].
La última pregunta, del primer párrafo de esta sección, no será resuelta en esta
memoria. Tan solo se comentará, que la pérdida de un nodo puede provocar un
impacto en la carga muy grande. Como ejemplo se pondrá el anillo, ya que es fácil
ver que en él, las aristas son muy importantes, no hay muchos caminos entre cada par
y, por supuesto, de los caminos que hay, tan solo uno o dos son mínimos. Para ser
precisos, el porcentaje de tráfico incrementado en el enlace más afectado en una
topología anillo genérica sería del 100%, valor que se aproxima al 100 % si n
toma valores grandes.