estimación de parámetros de líneas de transmisión incluyendo análisis de robustez numérica
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Resumen—En este trabajo se presenta una metodología
para la estimación de parámetros (PE) de líneas de transmisión.
Los parámetros a estimar son la conductancia serie (𝒈𝒑𝒒), la
susceptancia serie (𝒃𝒑𝒒) y la susceptancia en derivación (𝒃𝒑𝒒𝒔𝒉 )
de algunas líneas del Sistema Eléctrico de Potencia (SEP). Para
esto, el modelo 𝝅 nominal de líneas de longitud corta y mediana
es empleado. El método usado es el de estimación de
parámetros por el aumento del vector de estado usando
ecuaciones normales. Se usa la formulación de Mínimos
Cuadrados Ponderados (WLS) para la solución del conjunto de
ecuaciones normales a través del esquema de solución iterativo
de Gauss-Newton. Además, en este trabajo se incluye el análisis
de robustez numérica de la matriz de Ganancia aumentada de
la última iteración del estimador de parámetros. Empleando la
Descomposición de Valores Singulares (SVD) se calcula el
rango numérico, el número de condición y la distancia relativa
a la singularidad de dicha matriz. Los resultados muestran que
al estimar un gran número de parámetros se presentan
problemas de robustez numérica, lo que resulta en un aumento
en el número de iteraciones para la convergencia y a veces el
estimador de parámetros no proporciona buenas estimaciones.
Para las simulaciones se utilizó el sistema Nueva Inglaterra de
39 nodos.
Palabras Clave—Estimación de Parámetros, Mínimos
Cuadrados Ponderados, Descomposición de Valores Singulares,
Líneas de Transmisión, Sistemas Eléctricos de Potencia.
I. INTRODUCCIÓN
La estimación de estado en sistemas de potencia es una
función importante de un Sistema de Gestión de Energía
(EMS) ya que obtiene un modelo de red en tiempo real del
Sistema Eléctrico de Potencia (SEP) que es usado por las
funciones de seguridad y control del EMS, según [1, 2], estas
funciones pueden ser: Análisis de contingencias, flujos de
potencia óptimos con restricciones de seguridad, despacho
económico, pronóstico de carga, simulador de entrenamiento
para operadores, etc.
El estado del SEP es estimado a partir del estimador de
estado, el cual usa un conjunto de datos de mediciones y
datos de parámetros de red. Por lo tanto el desempeño del
estimador depende de la precisión de las mediciones, así
como de los parámetros de la red eléctrica.
Los datos de las mediciones están sujetos a ruido o errores
en el sistema de medición y en el proceso de comunicación.
Según [3], los parámetros de red pueden estar sujetos a
errores en los parámetros de las líneas y a las posiciones de
los taps de transformadores.
De acuerdo con [4], al ignorar los errores en los parámetros
de la red, la mayoría de los algoritmos de estimación de
estado relacionan cualquier inconsistencia detectada durante
el proceso de estimación a errores en las mediciones
analógicas o a las mediciones digitales incorrectas (aquellas
reportando el estado de interruptores). Como consecuencia
[5], los errores de los parámetros de las líneas permanecen
sin ser detectados por largos lapsos de tiempo, lo que puede
producir errores permanentes en los resultados de las
funciones de aplicación de un EMS.
Desde que las estimaciones se obtienen a partir de las
ecuaciones de flujos de potencia, cualquier error de
parámetro de línea puede afectar las estimaciones
proporcionadas por el estimador de estado ya que el
algoritmo de estimación considera que son conocidas y las
emplea en forma iterativa para obtener un vector de estado
del SEP. Para evitar esto, el algoritmo de estimación de
estado debe ser enriquecido para que pueda depurar los
errores presentes en los parámetros de la red.
En [6] se afirma que debido a las desviaciones de las
condiciones ideales supuestas durante los cálculos de los
parámetros de líneas de transmisión y pocas mediciones
reales, los valores encontrados en las bases de datos de las
empresas eléctricas presentan errores que pueden llegar a ser
de hasta 25% a 30% comparados con los valores reales.
Como los parámetros de las líneas de transmisión tienen una
influencia en los resultados del estimador de estado y afectan
a las distintas funciones de aplicación del EMS, además de
que también son usados en los diferentes estudios realizados
en sistemas de potencia como: Flujos de potencia, estudios
de cortocircuito, estabilidad transitoria, etc; es evidente la
necesidad de encontrar métodos para estimar los parámetros
del modelo de línea de transmisión. Si la precisión de la
estimación de estado puede ser incrementada, entonces se
obtendrá una mejor representación del SEP y las funciones
de aplicación del EMS, así como otros estudios en sistemas
de potencia, pueden tener un mejor desempeño [7].
En la sección II se presenta la formulación matemática del
método de estimación de parámetros empleado en este
trabajo, en la sección III se detalla la descomposición de
valores singulares para analizar la robustez numérica de la
matriz de Ganancia aumentada. La sección IV muestra los
resultados de la metodología propuesta usando el sistema
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE LÍNEAS
DE TRANSMISIÓN INCLUYENDO ANÁLISIS
DE ROBUSTEZ NUMÉRICA Dr. David Romero Romero M. en C. Omar Yamil Vidal León Romay
Instituto Politécnico Nacional
S.E.P.I-E.S.I.M.E. Zacatenco, Departamento de Ingeniería Eléctrica
Email: [email protected], [email protected].
RVP-AI/2016 SIS-06 PONENCIA RECOMENDADA
POR EL COMITE DE SISTEMAS DE POTENCIA DEL
CAPITULO DE POTENCIA DEL IEEE SECCION
MEXICO Y PRESENTADA EN LA REUNION
INTERNACIONAL DE VERANO, RVP-AI/2016,
ACAPULCO GRO., DEL 17 AL 23 DE JULIO DEL 2016.
SIS-06
PON 85
2
Nueva Inglaterra de 39 nodos y el análisis de los resultados
que se obtuvieron. Finalmente, en la sección V se muestran
las conclusiones obtenidas a partir de las simulaciones
presentadas en la sección IV.
II. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS DE LÍNEAS DE
TRANSMISIÓN
El método de Estimación de Parámetros (PE) usado en este
trabajo aumenta el vector de estado con los parámetros de las
líneas a estimar como si fuesen variables independientes,
por lo tanto éstas se calculan junto con las magnitudes de
voltaje y ángulos de fase de los nodos del sistema. Los
parámetros que se añaden al vector de estado son la
conductancia serie (𝑔𝑝𝑞), la susceptancia serie (𝑏𝑝𝑞) y la
susceptancia en derivación (𝑏𝑝𝑞𝑠ℎ) de las líneas cuyos
parámetros se estimaran.
El modelo de medición no lineal que incluye los parámetros
de líneas a estimar se presenta en la ecuación (1).
𝑧 = ℎ(𝑥, 𝑝𝑙) + 𝑒 (1)
De donde:
- 𝑧 es el vector de las mediciones disponibles de
dimensión 𝑚 × 1.
- 𝑥 es el vector del estado verdadero del sistema de
dimensión 𝑛 × 1.
- 𝑝𝑙 es el vector de parámetros verdaderos de las
líneas a estimar de dimensión 𝑛𝑝 × 1.
- ℎ(. ) es la función vectorial no lineal que relaciona
las mediciones disponibles con las variables de
estado del sistema y los parámetros de la red. Tiene
dimensión 𝑚 × 1.
- 𝑒 es el vector de errores de medición de dimensión
𝑚 × 1.
- 𝑚 es el número de mediciones disponibles.
- 𝑛 es el número de variables de estado del SEP.
- 𝑛𝑝 es el número de parámetros de líneas a estimar.
De acuerdo con [8], al usar la formulación de Mínimos
Cuadrados Ponderados (WLS), la función objetivo que se
busca minimizar con el vector de estado aumentado se
muestra en la ecuación (2).
𝐽(𝑥𝑎𝑢𝑚) = [𝑧 − ℎ(𝑥𝑎𝑢𝑚)]𝑇𝑊[𝑧 − ℎ(𝑥𝑎𝑢𝑚)] (2)
De donde:
- 𝐽(. ) es la función objetivo que se busca minimizar.
- 𝑥𝑎𝑢𝑚 = [𝑥 𝑝𝑙]𝑇 es el vector de estado aumentado.
- 𝑊 = 𝑅−1 es la inversa de la matriz de covarianza
de los errores de medición.
La condición de optimización que debe satisfacer el
estimador de WLS para el modelo aumentado se da en la
ecuación (3).
−𝐻𝑎𝑢𝑚𝑇 (𝑥𝑎𝑢𝑚)𝑊[𝑧 − ℎ(𝑥𝑎𝑢𝑚)] = 0 (3)
De donde:
- 𝐻𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚) = [𝐻(𝑥𝑎𝑢𝑚) 𝐻𝑝(𝑥𝑎𝑢𝑚)] es la
matriz Jacobiana aumentada.
- 𝐻 = [𝜕ℎ(𝑥𝑎𝑢𝑚)
𝜕𝑥] es la matriz Jacobiana de
mediciones usada por el estimador de estado
convencional.
- 𝐻𝑝 = [𝜕ℎ(𝑥𝑎𝑢𝑚)
𝜕𝑝𝑙] es la matriz Jacobiana de
parámetros que contiene las derivadas parciales de
las mediciones disponibles con respecto a cada uno
de los parámetros de las líneas a estimar.
Al expandir la función vectorial no lineal ℎ(𝑥𝑎𝑢𝑚𝑘+1 ) en series
de Taylor alrededor del vector de estado aumentado 𝑥𝑎𝑢𝑚𝑘 y
despreciando los términos de orden igual o mayor a 2 se
obtiene la ecuación (4).
ℎ(𝑥𝑎𝑢𝑚𝑘+1 ) = ℎ(𝑥𝑎𝑢𝑚
𝑘 ) + 𝐻𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚𝑘 )[𝑥𝑎𝑢𝑚
𝑘+1 − 𝑥𝑎𝑢𝑚𝑘 ] (4)
Sustituyendo la ecuación (4) en la ecuación (3) se obtiene el
esquema de solución iterativo para el modelo aumentado [9],
el cual incluye los parámetros de las líneas a estimar como
se muestra en la ecuación (5).
[𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚𝑘 )]𝛥𝑥𝑎𝑢𝑚
𝑘+1 = 𝐻𝑎𝑢𝑚𝑇 (𝑥𝑎𝑢𝑚
𝑘 )𝑊[𝑧 − ℎ(𝑥𝑎𝑢𝑚𝑘 )] (5)
De donde:
- 𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚𝑘 ) = 𝐻𝑎𝑢𝑚
𝑇 (𝑥𝑎𝑢𝑚𝑘 )𝑊𝐻𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚
𝑘 ) es la
matriz de Ganancia aumentada en la k-ésima
iteración de dimensión (𝑛 + 𝑛𝑝) × (𝑛 + 𝑛𝑝).
- 𝛥𝑥𝑎𝑢𝑚𝑘+1 es el vector de incrementos aumentado en la
k-ésima iteración de dimensión (𝑛 + 𝑛𝑝) × 1.
- 𝐻𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚𝑘 ) es la matriz Jacobiana aumentada en
la k-ésima iteración de dimensión 𝑚 × (𝑛 + 𝑛𝑝).
- 𝐻𝑎𝑢𝑚𝑇 (𝑥𝑎𝑢𝑚
𝑘 ) es la transpuesta de la matriz
Jacobiana aumentada en la k-ésima iteración de
dimensión (𝑛 + 𝑛𝑝) × 𝑚.
- 𝑊 es la inversa de la matriz de covarianza de los
errores de medición de dimensión 𝑚 × 𝑚.
- 𝑧 es el vector de mediciones de dimensión 𝑚 × 1.
- ℎ(𝑥𝑎𝑢𝑚𝑘 ) es la función de mediciones en la k-ésima
iteración de dimensión 𝑚 × 1.
- 𝑚 es el número de mediciones disponibles.
- 𝑛 es el número de variables de estado del SEP.
- 𝑛𝑝 es el número de parámetros de líneas a estimar.
El conjunto de ecuaciones normales dada por la ecuación (5),
se resuelve en cada iteración hasta que el máximo valor
absoluto del vector de incrementos aumentado esté por
debajo de una tolerancia 𝜀.
Cabe aclarar que al comenzar el proceso iterativo de la
ecuación (5) con perfil plano de magnitudes y ángulos de
fase, esto conducirá a una matriz de Ganancia aumentada
casi singular durante la primera iteración. Por eso es
necesario, según [2, 8], aumentar el vector de estado a partir
de la segunda iteración para evitar este problema.
III. DESCOMPOSICIÓN DE VALORES SINGULARES
La Descomposición de Valores Singulares (SVD) se define
para matrices cuadradas o rectangulares y desempeña un
papel importante en la caracterización de matrices cercanas
a ser singulares. El Teorema 1 describe la SVD, según [10],
cualquier matriz puede factorizarse usando este teorema.
Teorema 1 Sea 𝐴 ∈ ℝ𝑚×𝑛, entonces existe una matriz
ortogonal 𝑈 ∈ ℝ𝑚×𝑚, una matriz ortogonal 𝑉 ∈ ℝ𝑛×𝑛 y una
matriz diagonal 𝛴 ∈ ℝ𝑚×𝑛 tales que:
𝐴 = 𝑈𝛴𝑉𝑇 (6)
De donde 𝛴 = [𝑆 00 0
], 𝑆 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜎1, … , 𝜎𝑟) ∈ ℝ𝑟×𝑟 y 𝜎1 ≥
𝜎2 ≥ ⋯ ≥ 𝜎𝑟 > 0. La versión abreviada de la ecuación (6)
es la siguiente.
3
𝐴 = [𝑈1 𝑈2] [𝑆 00 0
] [𝑉1
𝑇
𝑉2𝑇]
𝐴 = 𝑈1𝑆𝑉1𝑇 (7)
En la ecuación (7) los tamaños de las submatrices son
determinados por 𝑟 (el cual debe ser ≤ 𝑚𝑖𝑛{𝑚, 𝑛}), es decir,
𝑈1 ∈ ℝ𝑚×𝑟, 𝑈2 ∈ ℝ𝑚×(𝑚−𝑟), 𝑉1 ∈ ℝ𝑛×𝑟, 𝑉2 ∈ ℝ𝑛×(𝑛−𝑟) y
los bloques de 0 en Σ presentan dimensiones adecuadas.
Ahora se definen algunos conceptos a partir del Teorema 1.
- Los valores singulares de 𝐴 distintos de cero son
denotados por Σ(𝐴) = {𝜎1, … , 𝜎𝑟} tal que 𝑟 ≤𝑚𝑖𝑛{𝑚, 𝑛}.
- Las columnas de 𝑈 son llamados vectores
singulares del lado izquierdo de 𝐴 y son los
eigenvectores ortonormales de 𝐴𝐴𝑇.
- Las columnas de 𝑉 son llamados vectores
singulares del lado derecho de 𝐴 y son los
eigenvectores ortonormales de 𝐴𝑇𝐴.
Según [10, 11, 12], el rango numérico de la matriz 𝐴 es el
número de valores singulares distintos de cero. Ahora bien,
el mayor y el menor valor singular (distinto de cero) son muy
importantes por lo que se tendrá la siguiente notación para
ellos.
𝜎𝑚𝑎𝑥(𝐴) ⟹ 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝐴 (8)
𝜎𝑚𝑖𝑛(𝐴) ⟹ 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝐴 (9)
De acuerdo con [13], la cantidad de distorsión de una esfera
unitaria bajo la transformación de 𝐴 determina el grado en
que las incertidumbres del problema 𝐴𝑥 = 𝑏 pueden ser
magnificados, por lo que puede ser medido usando la 2-
norma y a este valor se le conoce como número de
condición, el cual está dado por la ecuación (10).
𝑐𝑜𝑛𝑑(𝐴) =𝜎𝑚𝑎𝑥(𝐴)
𝜎𝑚𝑖𝑛(𝐴)⁄ (10)
Según [13, 14], la distancia de la matriz 𝐴 a la matriz
singular más cercana es igual al valor singular más pequeño
de 𝐴 y la distancia relativa de 𝐴 a la matriz singular más
cercana es el inverso del número de condición el cual está
dado por la ecuación (11).
𝐷𝑅(𝐴) = 1𝑐𝑜𝑛𝑑(𝐴)⁄ (11)
Finalmente, para obtener la SVD en esta tesis se utilizó la
subrutina DLSVRR de la biblioteca IMSL de FORTRAN
[15].
IV. RESULTADOS
Para las pruebas del algoritmo se usó el sistema Nueva
Inglaterra de 39 nodos, los datos del sistema se pueden ver
en [16]. La Figura I presenta el sistema junto con el esquema
de 301 mediciones que se empleó.
Para ejecutar las pruebas se utilizaron las siguientes
consideraciones:
- Se simulan errores de medición de hasta ±2% para
tomar en cuenta el efecto del error en las
mediciones. Esto se realiza con el uso de un
generador de números pseudo-aleatorios que sigue
una distribución normal o gaussiana. El nivel de
error en las mediciones es de acuerdo al nivel de
error presentado en [17, 18, 19].
- Se simulan errores de parámetros de +30% con
respecto a los valores nominales encontrados en los
datos de parámetros de red del SEP. Esto es
conforme con [6].
- Las desviaciones estándar de las mediciones se
consideraron como sigue: 𝜎 = 0.014 para
mediciones de magnitudes de voltaje, 𝜎 = 0.028
para mediciones de flujos de potencia, 𝜎 = 0.030
para mediciones de inyecciones de potencia y 𝜎 =0.012 para mediciones de inyecciones cero.
- Se usó una tolerancia de 𝜀 = 1 × 10−5 para el
criterio de convergencia.
1
3
305
1113
35
36
37
38
34
2
33 14
3239
18
31
1025
8
26
27
28 29
24
6
2221
16
17
15
19
204
23
7
9
12
: Medición de flujo de potencia activa/reactiva
: Medición de magnitud de voltaje
: Medición de inyección de potencia activa/reactiva
Figura I.- Diagrama unifilar con 301 mediciones del sistema Nueva
Inglaterra. Asimismo la computadora empleada para realizar las
pruebas cuenta con las siguientes características:
- Modelo: Toshiba Satellite C55-A.
- Procesador: Intel Core i3-3110M CPU a 2.40 GHz.
- Memoria instalada (RAM): 8 GB.
- Disco duro: 680 GB.
- Tipo de sistema: Sistema operativo de 64 bits.
Varias simulaciones se realizaron a este sistema pero debido
a las limitaciones de espacio, solamente 3 casos
representativos se presentan a continuación.
CASO I
En este caso se añaden errores a los 3 parámetros de la línea
21-22 (errores de 30% con respecto a los valores correctos
de la resistencia serie, reactancia serie y susceptancia en
derivación). Para este caso, el algoritmo de estimación de
parámetros se tomó 6 iteraciones para converger con un
tiempo de cómputo de 0.2964 segundos.
La Tabla I presenta los resultados obtenidos del estudio de
estimación de parámetros para el caso I. La Tabla II presenta
los resultados del análisis de la robustez numérica de la
matriz de Ganancia aumentada 𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚) de la última
iteración del proceso de estimación de parámetros para el
caso I.
Tabla I.- Resultados del estudio de estimación de
parámetros-Caso I
4
Parámetro Valor
inicial (pu)
Valor
estimado
(pu)
Valor
correcto
(pu)
% Error de
estimación
𝑟21−22 0.001040 0.000804 0.000800 0.509261
𝑥21−22 0.018200 0.013985 0.014000 -0.108497
𝑏21−22𝑠ℎ 0.166725 0.126652 0.128250 -1.245917
Nota: El porciento de error de estimación es el por ciento de
error que hay del valor estimado con respecto al valor
correcto.
Tabla II.- Robustez numérica de la matriz de Ganancia
Aumentada-Caso I
𝝈𝒎𝒂𝒙 𝝈𝒎𝒊𝒏 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝑵𝑪 𝑫𝑹
2.94472E+0
9
3.38581E
-01 80
8.697242E+0
9
1.149790E
-10
De donde:
- 𝜎𝑚𝑎𝑥 es el máximo valor singular de 𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚).
- 𝜎𝑚𝑖𝑛 es el mínimo valor singular de 𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚).
- 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 es el rango numérico de 𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚).
- 𝑁𝐶 es el número de condición de 𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚).
- 𝐷𝑅 es la distancia relativa a la singularidad de
𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚).
En la Figura II se muestra el espectrograma de los elementos
de la matriz de Ganancia aumentada del estudio de
estimación de parámetros para el caso I.
Figura II.- Matriz de Ganancia aumentada-Caso I.
CASO II
En este caso se añaden errores a los 3 parámetros de las
líneas 15-16 y 21-22 (errores de 30% con respecto a los
valores correctos de la resistencia serie, reactancia serie y
susceptancia en derivación). Para este caso, el algoritmo de
estimación de parámetros se tomó 6 iteraciones para
converger con un tiempo de cómputo de 0.2808 segundos.
La Tabla III presenta los resultados obtenidos del estudio de
estimación de parámetros para el caso II. La Tabla IV
presenta los resultados del análisis de la robustez numérica
de la matriz de Ganancia aumentada 𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚) de la
última iteración del proceso de estimación de parámetros
para el caso II.
Tabla III.- Resultados del estudio de estimación de
parámetros-Caso II
Parámetro
Valor
inicial
(pu)
Valor
estimado
(pu)
Valor
correcto
(pu)
% Error de
estimación
𝑟15−16 0.001170 0.000907 0.000900 0.744231
𝑥15−16 0.012220 0.009363 0.009400 -0.396114
𝑏15−16𝑠ℎ 0.111150 0.084472 0.085500 -1.202646
𝑟21−22 0.001040 0.000804 0.000800 0.502220
𝑥21−22 0.018200 0.013985 0.014000 -0.108659
𝑏21−22𝑠ℎ 0.166725 0.126691 0.128250 -1.215385
Nota: El porciento de error de estimación es el por ciento de
error que hay del valor estimado con respecto al valor
correcto.
Tabla IV.- Robustez numérica de la matriz de Ganancia
Aumentada-Caso II
𝝈𝒎𝒂𝒙 𝝈𝒎𝒊𝒏 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝑵𝑪 𝑫𝑹
2.007850E+0
9
0.18194
8 83
1.103528E+1
0
9.100000E
-11
De donde:
- 𝜎𝑚𝑎𝑥 es el máximo valor singular de 𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚).
- 𝜎𝑚𝑖𝑛 es el mínimo valor singular de 𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚).
- 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 es el rango numérico de 𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚).
- 𝑁𝐶 es el número de condición de 𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚).
- 𝐷𝑅 es la distancia relativa a la singularidad de
𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚).
En la Figura III se muestra el espectrograma de los elementos
de la matriz de Ganancia aumentada del estudio de
estimación de parámetros para el caso II.
Figura III.- Matriz de Ganancia aumentada-Caso II.
CASO III
En este caso se añaden errores a los 3 parámetros de las
líneas 15-16, 16-21 y 21-22 (errores de 30% con respecto a
los valores correctos de la resistencia serie, reactancia serie
y susceptancia en derivación). Para este caso, el algoritmo de
estimación de parámetros se tomó 8 iteraciones para
converger con un tiempo de cómputo de 0.3120 segundos.
La Tabla V presenta los resultados obtenidos del estudio de
estimación de parámetros para el caso III. La Tabla VI
presenta los resultados del análisis de la robustez numérica
de la matriz de Ganancia aumentada 𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚) de la
última iteración del proceso de estimación de parámetros
para el caso III.
10 20 30 40 50 60 70 80
10
20
30
40
50
60
70
80
Matriz de Ganancia Aumentada para la Caso I
Variables de Estado
Va
ria
ble
s d
e E
sta
do
-5
0
5
10
x 108
10 20 30 40 50 60 70 80
20
40
60
80
Matriz de Ganancia Aumentada para la Caso II
Variables de Estado
Va
ria
ble
s d
e E
sta
do
-5
0
5
10
x 108
5
Tabla V.- Resultados del estudio de estimación de
parámetros-Caso III
Parámetro Valor
inicial (pu)
Valor
estimado
(pu)
Valor
correcto
(pu)
% Error de
estimación
𝑟15−16 0.001170 0.000905 0.000900 0.553599
𝑥15−16 0.012220 0.009363 0.009400 -0.395387
𝑏15−16𝑠ℎ 0.111150 0.084539 0.085500 -1.123428
𝑟16−21 0.001040 0.002216 0.000800 177.049632
𝑥16−21 0.017550 0.012800 0.013500 -5.187440
𝑏16−21𝑠ℎ 0.165620 0.123359 0.127400 -3.172012
𝑟21−22 0.001040 -0.000025 0.000800 -103.186137
𝑥21−22 0.018200 0.014283 0.014000 2.020960
𝑏21−22𝑠ℎ 0.166725 0.129972 0.128250 1.342677
Nota: El porciento de error de estimación es el por ciento de
error que hay del valor estimado con respecto al valor
correcto.
Tabla VI.- Robustez numérica de la matriz de Ganancia
Aumentada-Caso III
𝝈𝒎𝒂𝒙 𝝈𝒎𝒊𝒏 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 𝑵𝑪 𝑫𝑹
2.007090E+0
9
0.00012
3 86
1.628101E+1
3
6.140000E
-14
De donde:
- 𝜎𝑚𝑎𝑥 es el máximo valor singular de 𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚).
- 𝜎𝑚𝑖𝑛 es el mínimo valor singular de 𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚).
- 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 es el rango numérico de 𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚).
- 𝑁𝐶 es el número de condición de 𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚).
- 𝐷𝑅 es la distancia relativa a la singularidad de
𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚).
En la Figura IV se muestra el espectrograma de los
elementos de la matriz de Ganancia aumentada del estudio
de estimación de parámetros para el caso III.
Figura IV.- Matriz de Ganancia aumentada-Caso III.
ANÁLISIS DE RESULTADOS
De la Tabla I y la Tabla III se observa que se obtuvieron
porcentajes de error menores a 1.5% para el caso I y II
respectivamente. Por lo que se obtuvieron buenas
estimaciones para dichos casos. Mientras que de la Tabla V
se puede ver que se obtuvieron algunos porcentajes de error
mayores del 100% para el caso III, por lo que en este caso
no todas las estimaciones son buenas.
De la Tabla II, la Tabla IV y la Tabla VI se observa que para
los 3 casos se obtuvieron matrices de rango columna
completo lo que asegura la observabilidad del sistema.
Además de que para estimación de parámetros, el caso III
presenta la robustez más débil debido a que
𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚)] es la más grande y 𝐷𝑅[𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚)] es
la más pequeña con respecto a los demás casos. Esto es ya
que el caso III presenta el mayor número de elementos a
estimar. Además de que el caso I es el más robusto debido a
que 𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚)] es la más pequeña y
𝐷𝑅[𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚)] es la más grande con respecto a los demás
casos.
Se puede ver que para el caso III se requirieron 8 iteraciones
para la convergencia del estimador de parámetros mientras
que se requirieron 6 iteraciones para la convergencia en los
casos I y II. Esto es debido a que el número de condición de
la matriz de Ganancia aumentada 𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚) es muy
grande en el caso III y se presentan problemas de robustez
numérica.
Se puede observar de la Figura II, la Figura III y la Figura IV
que los elementos (filas y columnas) que corresponden a los
parámetros de líneas a estimar en la matriz de Ganancia
aumentada son muy pequeños en comparación de los
elementos de las demás variables de estado (magnitudes de
voltaje y ángulos de fase). Esta es una de las causas del mal
condicionamiento del método que aumenta el vector de
estado ya que se pueden presentar problemas de robustez
numérica a medida que aumenta el número de parámetros a
estimar.
V. CONCLUSIONES
Se presenta un algoritmo de estimación de parámetros de
líneas de transmisión por el aumento del vector de estado
usando ecuaciones normales; con este método se añaden los
parámetros de líneas de transmisión al vector de estado como
nuevas variables de estado a estimar para así realizar el
proceso de estimación simultánea de estado y parámetros.
Se obtuvieron buenas estimaciones para el caso I y II, y se
obtuvieron malas estimaciones para el caso III; por lo que se
concluye que a pesar de que se tienen matrices de rango
columna completo, asegurando la observabilidad del
sistema, las estimaciones proporcionadas por el estimador de
parámetros no son siempre buenas debido al mal
condicionamiento de matrices como se vio en el caso III.
Se puede apreciar la importancia del cálculo del número de
condición de la matriz de Ganancia aumentada 𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚),
ya que a medida que aumenta el número de parámetros a
estimar, se incrementa el número de condición
𝑐𝑜𝑛𝑑[𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚)] y disminuye la distancia relativa a la
singularidad 𝐷𝑅[𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚)] de la matriz de Ganancia
aumentada 𝐺𝑎𝑢𝑚(𝑥𝑎𝑢𝑚) para el estimador de parámetros,
esto se ve reflejado en un incremento en las iteraciones del
proceso de estimación de parámetros para llegar a la
convergencia.
VI. REFERENCIAS
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Systems. A Generalized Approach, Kluwer Academic
Publishers, 1999.
[2] A. Abur and A. Gómez Expósito, Power System State
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Estimation," IEEE Transactions on Power Systems,
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10 20 30 40 50 60 70 80
20
40
60
80
Matriz de Ganancia Aumentada para la Caso III
Variables de Estado
Va
ria
ble
s d
e E
sta
do
-5
0
5
10
x 108
6
[4] J. Zhu and A. Abur, "Identification of Network
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Identification and Correction," IEEE Power and
Energy Society General Meeting, pp. 1-12, July 2012.
VII. CURRICULUM
Dr. David Romero Romero
- Profesor-Investigador Titular "C"
(TCE).
- Member, IEEE.
-Miembro del Comité Internacional de
IASTED.
- Doctor en Ciencias en Ingeniería
Eléctrica en la Universidad de Purdue,
USA, 1984.
- Maestro en Ciencias en la Universidad
de Purdue, USA, 1981.
- Maestro en Ciencias en Ingeniería
Eléctrica. SEPI-ESIME-ZACATENCO,
IPN, 1976.
- Ingeniero Electricista, Escuela Superior
de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, IPN,
1974.
Ing. Omar Yamil Vidal León Romay
- Maestro en Ciencias en Ingeniería
Eléctrica, SEPI-ESIME-ZACATENCO,
IPN.
- Ingeniero Electromecánico, Instituto
Tecnológico de Minatitlán, Campus
Minatitlán, 2012.