1 números racionales -...

18 Unidad 1 |Números racionales

1 Números racionales

ACTIVIDADES INICIALES

1.I. Completa la tabla del texto añadiendo una fila que indique cuál sería la fracción exacta de cada tamaño.

Tamaño 44

34

12

14

Longitud de la caja 356 mm 330 mm 300 mm 267 mm

Fracción real 1 330 165356 178

= 300 150356 178

= 267356

1.II. Qué lugar ocupa el violín 78

en la escala de los tamaños?

Está entre 44

y 34

.

1.III. ¿Quién fue el fabricante de violines más reconocido de la historia?

Antonio Stradivarius (1644 – 1737), lutier (fabricante de violines) italiano.

ACTIVIDADES PROPUESTAS

1.1. Actividad resuelta

1.2. Un embalse está a dos tercios de su capacidad total. Si contiene 816 hm3, ¿cuál es esa capacidad?

Sea x la capacidad total del embalse: 32 816 3816 1224hm3 2

x x x⋅= ⇒ = ⇒ =

1.3. Calcula los 125

de un total de 225 unidades. ¿Por qué resulta una cantidad mayor?

12 225 12225 5405 5

⋅⋅ = =

La cantidad resultante es superior debido a que el numerador de la fracción es mayor que el denominador.

1.4. Los 73

de una cantidad son 147. ¿Cuál es esa cantidad?

Si x es la cantidad: 7 147 3147 63.3 7

x x x⋅⋅ = ⇒ = ⇒ =

Números racionales | Unidad 1 19

1.5. Los 711

de la población de aves en unas islas son gaviotas argénteas y se estima que el total

de aves es de 1331. ¿Cuántas de ellas pertenecen a la mencionada especie?

El número de gaviotas argénteas será: 7 1331 71331 847.11 11

⋅⋅ = =

1.6. De los usuarios de un polideportivo, 29

practican fútbol, y los 133 restantes, otros deportes.

¿Cuántas personas practican fútbol?

En el resto de deportes, se han matriculado los 79

de los alumnos. Si x es el total de alumnos:

7 133 9133 1719 7

x x x⋅⋅ = ⇒ = ⇒ =

En número de alumnos que practican fútbol será: 171 – 133 = 38.

1.7. Actividad resuelta.

1.8. Calcula los valores de a, b y c para que se verifique:

2 10 11 33 22

a cb

= = =−

2 662 33 11 611 33 11

a a a a= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

2 10 11011 10 2 5511 2

b b bb

= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

( )2 4422 2 11 411 22 11

c c c c−= ⇒ − ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = −−

1.9. Ordena de mayor a menor estos números racionales:

3 11 7 15 , , y 4 12 8 16

3 36 11 44 7 42 15 45 15 11 7 3; ; ;4 48 12 48 8 48 16 48 16 12 8 4= = = = ⇒ > > >

1.10. Una memoria externa se ha dividido en ocho áreas de igual capacidad. Después de grabar

unos archivos quedan 1316

libres del total de la memoria. ¿Cuántas áreas ocupan los archivos?

La parte de la memoria que ha sido ocupada es 13 3116 16

− = .

Como cada área ocupa 1 28 16= del total de la memoria, el número de áreas ocupadas por los

archivos grabados es 1,5.



1.12. (TIC) Opera y simplifica las expresiones:

a) 1 6 2 12 5 ( 6)5 20 3 3

− ⋅ − ⋅ + ⋅ −

b) 3 5 32 3 55 10 15

+ ⋅ − ⋅ +

a) 1 6 2 1 1 12 5 ( 6) 2 5 2 2 5 0 2 2 2 05 20 3 3 5 5

− ⋅ − ⋅ + ⋅ − = − ⋅ − − = − ⋅ − = − =

b) 3 5 3 3 1 1 10 3 6 1 25 1 13 5 26 1692 3 5 2 3 55 10 15 5 2 5 5 2 5 5 2 5 5

+ − + + ⋅ − ⋅ + = + ⋅ − ⋅ + = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

1.13. (TIC) Calcula y simplifica:

a) 1 12 : 2 1: 23 3

+ + +

b) 3 2 6 9 1( 2) : 35 3 12 5 10

− ⋅ − + ⋅ − ⋅

a)

1 6 1 7 7 72 7 7 493 3 3 3 31 1 3 14 3 17 3 17 512 2 21 6 1 7 7 72

3 3

++ ⋅

= = = = = =+ ⋅+ + +

++

b)

3 2 6 6 1 18 5 23( 2)23 10 23 2 465 3 12 5 3 15 15

9 1 9 3 18 3 15 15 15 15 3 4535 10 5 10 10 10

+− ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ = = = = = =− ⋅ ⋅− ⋅ −


1.15. En una clase, un tercio de los alumnos eligen fútbol como deporte, las 25

partes eligen

atletismo, 15

parte natación y los ocho restantes eligen baloncesto. Halla el total de alumnos

de la clase y cuántos eligen cada deporte.

Entre los alumnos que eligen fútbol, atletismo y natación, suman 1 2 1 5 6 3 143 5 5 15 15

+ ++ + = = , por lo

que solo 115

se corresponde con los 8 alumnos de baloncesto.

Si llamamos x al número total de alumnos de la clase: 1 8 8 15 12015

x x x= ⇒ = ⋅ ⇒ = alumnos: 40

de fútbol, 48 de atletismo, 24 de natación y 8 de baloncesto.


1.16. Patricia dedica los 25

de su tiempo libre diario a leer novelas de miedo, y 14

de lo que resta, a

practicar deporte. Quitando estas dos actividades, todavía le quedan otras dos horas y cuarto de tiempo libre.

a) ¿Cuál es el total de su tiempo libre?

b) ¿Cuánto tiempo le dedica a la lectura de novelas de miedo?

c) ¿Y a practicar deporte?

9 cuadrados representan 135 minutos y cada cuadrado representa 135 15

9= minutos.

a) El tiempo total es 20 15 300 minutos 5 horas⋅ = = .

b) En leer 8 15 120 minutos 2 horas⋅ = =

c) En deporte 33 15 45 minutos de hora4

⋅ = =

1.17. Actividad interactiva.


1.19. Clasifica las expresiones decimales siguientes en exactas, periódicas puras y periódicas mixtas. En su caso, indica el período.

a) 2,4545 c) 0,1234512345…

b) 3,454545… d) 43,43535353…

a) Decimal exacto

b) Decimal periódico puro 3,454545 3,45…=

c) Decimal periódico puro 0,123451234512345 0,12345…=

d) Decimal periódico mixto 43,43535353 43,435…=

1.20. Calcula las expresiones decimales de las siguientes fracciones e indica su tipo.

a) 1325

c) 49

b) 67

d) 548

a) 13 0,5225

= decimal exacto c) 4 0,49=

periódico puro

b)

6 0,8571427= periódico puro d) 5 0,10416

48=

periódico mixto


1.21. Convierte en fracciones estos decimales.

a) 0,85 c) 0,085858585…

b) 0,85858585... d) 8,5858585...

a) 85 170,85100 20

= = c) 85 170,085858585990 198

…= =

b) 850,85858585...99

= d) 858 8 8508,585858599 99−

…= =


1.23. Dibuja en una misma recta los enteros:

4, –4, 3, –2, 5

1.24. ¿Cuáles son los números racionales señalados?

3= 2; 4;2

A B C− = =

1.25. Dibuja en una misma recta los números racionales 45

y 45

− .

Para dibujar el número negativo, se dibuja el positivo y se pincha el compás en el 0 y con apertura hasta el número.

1.26. Dibuja en una misma recta los números racionales 53

y 94

.

Nos fijamos en que 5 213 3= + entonces dibujamos la

fracción 23

comenzando en el 1.

Para dibujar 94

hacemos como en el caso anterior,

comenzando por 2, ya que9 124 4= + .

1.27. Actividad interactiva.


EJERCICIOS

Fracciones. Números racionales

1.28. Escribe la fracción que corresponde a cada una de estas expresiones:

a) Alba ha resuelto bien 4 de 5 ejercicios.

b) El 15 % de los habitantes son inmigrantes.

c) La octava parte de los 96 participantes de un maratón no terminó la prueba.

d) En una empresa, 8 de cada 10 empleados llegan puntualmente al trabajo.

a) 45

b) 15100

c) 1 968⋅

d) 810

1.29. Escribe, si existe:

a) Un número racional que no sea entero.

b) Un número racional que sea entero.

c) Un número entero que no sea racional.

d) Un número decimal que no sea racional.

a) 87

b) 364

c) Es imposible: todos los números enteros son racionales.

d) 1,320332033320…

1.30. Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

a) Todos los números racionales son enteros.

b) Todos los números enteros son racionales.

c) Algunos números enteros son racionales.

d) Algunos números racionales son enteros.

a) No. Por ejemplo 23

es racional y no es entero.

b) Sí, ya que cualquier entero se puede escribir como una fracción cuyo numerador es su valor y cuyo denominador es la unidad.

c) En realidad, todos los enteros son racionales tal y como se expone en el apartado b).

d) Sí, precisamente todos los enteros.


1.31. ¿En qué son iguales los números 3,1414 y 3,1414…? ¿Qué los diferencia?

Son números racionales y, por tanto, se pueden expresar en forma de fracción.

El primero es decimal exacto, tiene una cantidad finita de cifras decimales, y el segundo es decimal periódico puro, 3,14 .

1.32. Explica, utilizando ejemplos, si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones.

a) Todas las fracciones representan cantidades inferiores a la unidad.

b) Un número racional es una fracción.

c) Cualquier número decimal se puede expresar en forma fraccionaria.

d) Todos los números enteros son racionales.

a) Falso: 95

representa una cantidad mayor que 1.

b) Falso: un número racional es un conjunto de infinitas fracciones equivalentes entre sí.

c) Falso: los números decimales con infinitas cifras decimales no periódicas no se pueden expresar en forma fraccionaria. Por ejemplo, 0,12349873412…

d) Verdadero

1.33. Calcula el valor de x para que sean equivalentes las fracciones siguientes.

a) 9 y 26 13x b) 42 7 y

54 x c) 7 2 y

50 x

a) 26 926 9 13 1813

x x x⋅⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

b) 54 754 7 42 9

42x x x⋅

⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

c) 50 2 10050 2 7

7 7x x x⋅

⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = No es entero. No hay ninguna fracción con numerador 2 que

sea equivalente a 710

.

1.34. Halla cuatro fracciones equivalentes a cada una de las dadas.

a) 198

c) 1611

b) 1213

d) 815

a) 19 38 57 190 958 16 24 80 40

= = = = c) 16 32 48 80 16011 22 33 55 110

= = = =

b) 12 24 36 120 6013 26 39 130 65

= = = = d) 8 16 24 40 8015 30 45 75 150

= = = =


1.35. Simplifica las siguientes fracciones.

a) 3045

b) 2835

c) 150200

d) 360300

a) 30 245 3

= b) 28 435 5

= c) 150 3200 4

= d) 360 6300 5

=

1.36. Simplifica las siguientes fracciones hasta su equivalente irreducible.

a) 1625

c) 44200

b) 22121

d) 322230

a) 1625

es irreducible.

b) 22 2121 11

=

c) 44 11200 50

=

d) 322 7230 5

=

1.37. Dadas las siguientes fracciones, ¿cuáles de ellas son equivalentes a 1824

?

a) 90120

d) 912

b) 34

e) 69

c) 7298

a) 90 18 120 18 90 24120 24

= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ Es equivalente.

b) 3 18 3 24 4 184 24= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ Es equivalente.

c) 72 18 72 24 98 1898 24

= ⇒ ⋅ ≠ ⋅ ⇒ No es equivalente.

d) 9 18 9 24 12 1812 24

= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ Es equivalente.

e) 6 18 6 24 9 189 24= ⇒ ⋅ ≠ ⋅ ⇒ No es equivalente.


1.38. Estudia si son correctas las siguientes relaciones de orden.

a) 8 65 5> c) 3 3

11 10<

b) 7 416 9

> d) 9 420 6

>

a) Verdadero c) Verdadero

b) 7 63 4 64;16 144 9 144

= = ⇒ Falso d) 9 27 4 40;20 60 6 60

= = ⇒ Falso

1.39. Compara los siguientes números racionales.

a) 8 9 y 9 4

e) 16 9 y 27 27

b) 3 1 y 40 36

− f) 13 16 y 21 49

c) 9 4 y 12 29− g) 10 10 y

28 16− −

d) 6 12 y 25 15−

− h) 5 6 y

18 32−

−

a) 8 32 9 81 8 9;9 36 4 36 9 4= = ⇒ <

b) 3 140 36

− <

c) 9 412 29

− <

d) 6 18 12 60 6 12;25 75 15 75 25 15− −

= − = − ⇒ >− −

e) 16 9>27 27

f) 13 91 16 48 13 16;21 147 49 147 21 49

= = ⇒ >

g) 10 1028 16− −

>

h) 5 80 6 54 5 6;18 288 32 288 18 32

− −= − = − ⇒ <

− −


1.40. Ordena de menor a mayor los siguientes grupos de fracciones.

a) 19 32 9 24 7, , , ,36 36 36 36 36

b) 10 8 13 24 37, , , ,29 29 29 29 29−

−−

c) 43 43 43 43 43, , , ,27 18 39 5 40

d) 15 2 1 4 6, , , ,9 9 5 15 10

e) 29 29 29 29, , ,5 36 15 48

−−

f) 18 3 12 7, , ,45 45 45 45

− −

a) 7 9 19 24 3236 36 36 36 36

< < < <

b) 37 13 10 8 2429 29 29 29 29

−< − < < <

−

c) 43 43 43 43 4340 39 27 18 5

< < < <

d) 1 18 2 20 4 24 6 54 15 150 1 2 4 6 15; ; ; ;5 90 9 90 15 90 10 90 9 90 5 9 15 10 9= = = = = ⇒ < < < <

e) 29 29 29 2936 48 15 5

< − < <−

f) 12 3 7 1845 45 45 45− −

< < <

1.41. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones.

a) 19 19 19 19 19, , , ,9 12 6 5 18

− −−

b) 2 4 8 9 7, , , ,3 15 25 10 6− −

c) 1 5 9 1 15, , , ,12 8 16 4 36

− −− −

a) 19 19 19 19 195 9 18 12 6

− −> > > >

−

b) 2 100 4 40 8 48 9 135 7 175 9 8 4 2 7; ; ; ;3 150 15 150 25 150 10 150 6 150 10 25 15 3 6− − − − − −

= = = = = ⇒ > > > >

c) 1 12 5 90 9 81 1 36 15 60 9 1 1 15 5; ; ; ;12 144 8 144 16 144 4 144 36 144 16 12 4 36 8

− − − − − − − −= = = = = ⇒ > > > >

− − − −


1.42. Las fracciones 9 25, y36x

x y representan el mismo número racional. Calcula x e y, y la

fracción irreducible que lo representa.

2 2 2 29 9 36 324 18 1836x x x x x

x= ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±

9 25 25 189 25 18 5018 3

y y yy

⋅= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

La fracción irreducible es: 9 25 136 2x

x y= = = . Y también 9 18 25 1

18 36 50 2−

= = = −− −

Operaciones con números racionales

1.43. (TIC) Realiza las siguientes sumas y restas.

a) 5 3 10 114 8 6 12+ − − d) 7 2 8 4

30 45 5+ + −

b) 19 1 4 816 3 9 3

− − −

e) 5 1 3224 4 9

− − +

c) 7 1 3 512 18 4 9

− − −

f) 10 8 9 133 9 6 4

− − −

a) 5 3 10 11 30 9 40 22 234 8 6 12 24 24

+ − −+ − − = = −

b) 19 1 4 8 171 48 64 384 171 48 64 384 19716 3 9 3 144 144 144 144 144 144

− + − − − − = − − − = = −

c) 7 1 3 5 21 2 27 20 21 2 27 20 12 112 18 4 9 36 36 36 36 36 36 3

− − + − − − = − − − = = =

d) 7 2 8 21 4 144 360 191430 45 5 90 90 90 90 90

+ + − = + + − = −

e) 5 1 3 15 144 18 24 15 144 18 24 135 15224 4 9 72 72 72 72 72 72 8

− + − − − + = − − + = = − = −

f) 10 8 9 13 120 32 54 117 120 32 54 117 833 9 6 4 36 36 36 36 36 36

− − − − − − = − − − = = −


1.44. (TIC) Halla el resultado de las siguientes multiplicaciones y divisiones.

a) 9 5 146 4 25

⋅ ⋅ −

c) 6 4 8: :9 3 12− −

b) 3 12 108 15 9− ⋅ − ⋅ −

d) 2 21 4: :

7 6 9 −

a) 9 5 14 9 5 14 216 4 25 6 4 25 20

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = − = − ⋅ ⋅

b) 3 12 10 3 12 10 18 15 9 8 15 9 3− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − = − = − ⋅ ⋅

c) 6 4 8 6 3 8 6 3 12 3: : :9 3 12 9 4 12 9 4 8 4− ⋅ ⋅ ⋅ − = − − = = ⋅ ⋅ ⋅

d) 2 21 4 2 6 4 2 6 9 9: : :7 6 9 7 21 9 7 21 4 49

⋅ ⋅ ⋅ − = − = − = − ⋅ ⋅ ⋅

1.45. Calcula las siguientes potencias.

a) 43

5

c) 37

6

e) 09

5−

b) 28

9 −

d) 52

3 −

f) 11

2 −

a) 43 81

5 625 =

c) 37 343

6 216 =

e) 09 1

5− =

b) 28 64

9 81 − =

d) 52 32

3 243 − = −

f) 11 1

2 2 − = −

1.46. (TIC) Calcula las siguientes potencias de fracciones.

a) 11

9

−

c) 35

8

− −

b) 43

4

−−

d) 26

7

−

a) 11 9

9

− =

c) 3 3

3

5 8 5128 1255

− − = − =

b) 4 4

4

3 4 2564 813

−− = =

d) 2 2

2

6 7 497 366

− = =


1.47. (TIC) Opera y simplifica.

a) 18 3 615 4 25

− − − ⋅

d) 5 71 : 26 9

− −

b) 11 6 9 110 15 5 4

− − − e) 7 4 1 5:

2 6 3 9 − −

c) 7 1 3 58 8 2 3+ ⋅ − f) 8 5 1: 1

3 3 4− − −

a) 18 3 6 18 100 18 360 100 18 442 22115 4 25 5 100 100 100 50

− − − + − − − ⋅ = − − = = − = −

b) 11 6 9 1 11 6 27 1 11 21 1 66 84 15 165 1110 15 5 4 10 15 4 10 15 4 60 60 4

− + + − − − = − − = − − − == = =

c) 7 1 3 5 7 3 5 42 9 80 298 8 2 3 8 16 3 48 48

+ −+ ⋅ − = + − = = −

d) 5 7 5 18 7 5 11 45 21 71 : 2 1 : 1 : 16 9 6 9 6 9 66 66 22

− − − = − = − = − = =

e) 7 4 1 5 7 4 9 315 60 54 309 103:2 6 3 9 2 6 15 90 90 30

− + − − = − − = = =

f) 8 5 1 8 5 1 4 8 5 5 8 4 12: 1 : : 43 3 4 3 3 4 3 3 4 3 3 3

− − − − − − = − = − = + = =

1.48. Halla el resultado de las siguientes operaciones con números racionales.

a) 4 6 8 5 3:7 7 3 4 2

− − ⋅ −

c) 21 2 4 3 1

6 6 5 5 2 + ⋅ − ⋅

b) 35 11 72 3 :

6 4 2− − + ⋅

d) ( )2 1 8 9: : 5

3 2 12 3− ⋅ −

a) 4 6 8 5 3 4 48 10 24 96 35 37:7 7 3 4 2 7 21 12 42 42

− − + − − ⋅ − = − + = =

b) 35 11 7 18 11 343 18 3773 320 576 18865 191212 3 : 2 2

6 4 2 5 4 8 5 32 160 160− − − − − + ⋅ = − + ⋅ = − − = = −

c) 21 2 4 3 1 1 2 16 3 1 16 3 25 32 45 12 2

6 6 5 5 2 6 6 25 10 6 75 10 150 150 25⋅ + − + ⋅ − ⋅ = + − = + − = = = ⋅

d) ( ) ( ) ( )2 1 8 9 4 72 4 4 2 20 6 26: : 5 : 5 2 : 53 2 12 3 3 36 3 3 5 15 15

+− ⋅ − = − − = − − = + = =



a)

2 13 6

129

−

⋅ b)

3 514 61 112 3

+ ⋅

+ − c) 1

11 112

+−

a)

2 1 4 13 2 27 93 6 6 :

1 2 6 9 12 429 9

−−

= = = =⋅

b)

3 5 51 1 13 7 78 394 6 8 :1 1 6 3 2 8 6 56 2812 3 6

+ ⋅ += = = =

+ −+ −

c) 1 1 1 11 1 1 2 31 11 11

2 2

= = =++ +

−

1.50. (TIC) Realiza las siguientes operaciones.

a) 7 1 2 6 3:9 9 3 4 7

− ⋅ −

d) 4 3 2 3 61

10 4 5 2 5 ⋅ + ⋅ − ⋅

b) 31 11 4 33 :

2 5 5 4 − − ⋅

e) 215 3 9 78 : 2

2 4 8 16 − ⋅ − −

c) 8 2 4 74 2 :9 3 5 2

+ ⋅ − ⋅

a) 7 1 2 6 3 7 1 2 42 7 1 8 42 7 34 84 34 118 59:9 9 3 4 7 9 9 3 12 9 9 12 9 108 108 108 54

− − + − ⋅ − = − ⋅ − = − ⋅ = − = = =

b) 3 3 21 11 4 3 5 11 3 125 8 625 253 : : :

2 5 5 4 2 5 5 8 5 64 8 − − ⋅ = − = = =

c) 8 2 4 7 8 8 7 16 7 64 1260 64 13244 2 : 4 2 : 4 2 : 49 3 5 2 9 15 2 45 2 315 315 315

+ + ⋅ − ⋅ = + ⋅ − = + ⋅ = + = =

d) 4 3 2 3 6 4 3 2 9 4 7 3 4 20 21 11 1 1

10 4 5 2 5 10 4 5 5 10 5 4 10 20 50⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ − = ⋅ + − = ⋅ = − ⋅

e) 2 215 3 9 7 1 3 7 7 1 21 7 1 35 88 : 2 : : :

2 4 8 16 2 4 8 16 4 32 16 4 32 35 − ⋅ − − = ⋅ − − = − − = − = −


1.51. (TIC) Expresa como una única potencia:

a)* 24 37 7 8:

8 8 7 ⋅ −

c)

4 6 12 3 2:3 2 3

− − − ⋅

b) 62 59 4 4:

4 9 9

−− − ⋅ −

d) 2 1 44 5 5 4: :

5 4 4 5

− − ⋅

a) 24 3 4 6 1 4 6 ( 1) 117 7 8 7 7 7 7 7: :

8 8 7 8 8 8 8 8

− + − − ⋅ − = ⋅ − = =

b) 6 6 62 5 2 5 3 5 18 5 139 4 4 4 4 4 4 4 4 9: : :

4 9 9 9 9 9 9 9 9 4

− − −− − − − − + ⋅ − = ⋅ − = − = − = −

c) 4 6 1 4 6 4 (6 1) 3 32 3 2 3 3 3 3 3 2: :

3 2 3 2 2 2 2 2 3

− − − + − − ⋅ = − ⋅ = = =

d) 2 1 4 2 4 (2 1) (4 1) 04 5 5 4 4 4 4 4 4 4: : : : 1

5 4 4 5 5 5 5 5 5 5

− − + − − ⋅ = ⋅ = = =


a) 3 22 8 4 1 7 1 91 : 2

3 5 6 6 2 4 5

− − − + ⋅ − + ⋅ −

b) 2 35 1 2 3 1 9: 2

4 3 6 2 12 2

− − ⋅ − − ⋅

c) 211 3 1 3 12 :

6 4 3 5 11 − ⋅ − −

a) 3 2 32 8 4 1 7 1 9 1 32 1 49 1 11 : 2 :

3 5 6 6 2 4 5 3 30 6 4 4 5

− − − − + ⋅ − + ⋅ − = − + − + ⋅ =

16 1 246 49 815 1 968 25 47 87227 :15 6 20 1 845 1 845

− + −= − + − = = −

b) 2 3 35 1 2 3 1 9 5 1 36 1 3 5 1 3: 2 : 3 :

4 3 6 2 12 2 4 3 4 2 8 4 8 8

− − ⋅ − − ⋅ = − ⋅ − − = − − − =

7 1 14 7:4 2 4 2

= − − = =

c) 2 2 211 3 1 3 1 11 3 1 33 5 11 9 1 282 : : :

6 4 3 5 11 6 2 3 55 6 3 55− − − ⋅ − − = − − = − =

22 1 28 4 3 28 1 28 55 84 29:

6 3 55 36 55 3 55 165 165⋅ − − = − = − = − = =


Fracciones y decimales

1.53. Justifica si los siguientes números decimales se pueden expresar en forma de fracción.

a) 4,08939393… c) 3,14 e) 82,7777…

b) 8,0100100001… d) −6 f) 2,1919…

Todos menos el del apartado b), porque tiene infinitas cifras decimales no periódicas.

1.54. Halla la expresión decimal de las siguientes fracciones e indica, en cada caso, si es decimal exacta, periódica pura o periódica mixta.

a) 1350

c) 3527

e) 8125

g) 9742

b) 489

d) 2536

f) 5064

h) 709

a) 13 0,2650

= ⇒ decimal exacto e) 8 0,064125

= ⇒ decimal exacto

b) 48 5,39

= ⇒

periódico puro f) 50 0,7812564

= ⇒ decimal exacto

c)

35 1,29627

= ⇒ periódico puro g)

97 2,3095238042

= ⇒ periódico mixto

d) 25 0,69436

= ⇒

periódico mixto h) 70 7,79

= ⇒

periódico puro

1.55. Calcula la fracción irreducible equivalente a los siguientes números decimales.

a) 0,36 f) 10,5

b) 2,983 g) 1,2

c) 3,985 h) 5,34

d) 18,41 i) 8,1730−

e) 8,0359

a)

36 40,3699 11

= = f) 105 10 9510,59 9−

= =

b)

2983 29 14772,983990 495

−= = g) 12 61,2

10 5= =

c) 3985 7973,9851000 200

= = h)

534 5 5295,3499 99−

= =

d) 184118,41100

= i)

81730 817 269718,17309900 3300

−− = − = −

e)

80359 803 198898,03599900 2475

−= =


1.56. Escribe los siguientes números racionales en forma de fracción.

a) 12,160 b) 8,49

c) 30,805 d) 17,89

a)

12 160 12 12 14812,160999 999

−= = c) 30 805 616130,805

1000 200= =

b) 849 84 765 178,4990 90 2−

= = =

d)

1789 17 177217,8999 99−

= =

1.57. Expresa los números decimales en forma de fracción y luego compara los pares de fracciones.

a) 1,318 y 2825

c) 718

y 0,16

b) 179

y 2,5

d) 5,36 y 11120

a) 1318 659 28 560 281,318 ; 1,3181000 500 25 500 25

= = = ⇒ >

b) 25 2 23 17 172,5 ; 2,59 9 9 9−

= = ⇒ <

c)

16 32 7 77 70,16 ; 0,1699 198 18 198 18

= = = ⇒ >

d) 536 111 555 1115,36 ; 5,36100 20 100 20

= = ⇒ <

1.58. Expresa los números decimales en forma fraccionaria y después realiza las operaciones indicadas.

a) 60,45 1,25

− + − c)

7 0,3 1,299− +

b) 118,4 2,584

− +

d)

23,18 1,159

− −

a) 6 45 12 6 45 120 120 45 90,45 1,25 100 10 5 100 100 20

− + −− + − = − + − = = − = −

b) 1 184 1 258 25 92 1 233 3312 45 466 373318,4 2,584 10 4 90 5 4 90 180 180

− − +− + = − + = − + = =

c)

7 7 3 129 1 77 33 128 1720,3 1,299 9 9 99 99 99 99 99

−− + = − + = − + =

d)

2 318 3 115 11 2 315 104 2 1575 572 110 8933,18 1,159 99 90 9 99 90 9 495 495

− − − −− − = − − = − − = =


1.59. Calcula y simplifica:

a) 0,42 3,1 10,8 1,52⋅ − +

b) 7,16 1,7 3,8 7,2 − + ⋅

c) 19,85 13,2 4,5 8,16− ⋅ +

d) 2,84 5,1 0,503 4,96 ⋅ − −

a)

42 31 98 151 1302 1078 151 798 1020,42 3,1 10,8 1,52100 10 9 99 1000 99 99 99 000

⋅ − + = ⋅ − + = − + = −

b) 716 16 38 65 179 16 247 179 263 49647,16 1,7 3,8 7,2100 9 10 9 25 9 9 25 9 225

− + ⋅ = − + ⋅ = − + = − = −

c)

1787 132 45 808 1787 297 808 31 06919,85 13,2 4,5 8,1690 10 10 99 90 5 99 990

− ⋅ + = − ⋅ + = − + = −

d)

284 46 503 492 3266 49 079 5 214 7612,84 5,1 0,503 4,96100 9 999 99 225 10 989 274 725

⋅ − − = ⋅ − − = + =

Representación de números racionales

1.60. (TIC) Descompón las siguientes fracciones en suma de un entero más una fracción menor que la unidad e indica entre qué dos valores enteros quedarían representadas sobre la recta.

a) 298

c) 375

b) 134

− d) 113

−

a) 29 538 8

= + . Está entre 3 y 4.

b) 13 134 4

−= − − . Está entre 4− y 3− .

c) 37 275 5

= + . Está entre 7 y 8.

d) 11 2 13 43 3 3

− = − − = − + . Está entre 4− y 3− .


1.61. (TIC) Representa en la recta numérica:

a) 27

d) 83

−

b) 35

e) 116

c) 49

−

a) d)

b) e)

c)

1.62. Representa en la recta numérica los siguientes números, expresando previamente los decimales en forma fraccionaria.

17 20; 3,16; 2,35;5 9

− −

Ordénalos de menor a mayor.

316 31 285 19 235 2 2333,16 2,3590 90 6 99 99− −

= = = − = − = −

20 172,35 3,169 5

− < − < <


PROBLEMAS

1.63. Juan se gasta 18 euros en un diccionario de latín. ¿Cuánto dinero tenía antes de la compra si esta ha supuesto los tres octavos del total?

Cuando se conocen los 38

de una cantidad total y se quiere conocer dicho total, se debe multiplicar la

cantidad conocida por 83

. Por tanto, Juan tenía al principio: 8 18 818 6 8 483 3

⋅⋅ = = ⋅ = euros.

1.64. En un grupo de 4.º de ESO de 23 alumnos hay 7 chicas. De entre los chicos, la octava parte no

ha nacido en España. ¿Qué fracción del total representan estos?

Hay 23 7 16− = chicos.

1 16 2 de 8 23 23

= de los alumnos no han nacido en España.

1.65. *En un pueblo hay dos centros escolares de Secundaria, uno de ellos de reciente construcción. La elección de la asignatura de Matemáticas de los alumnos de 4.º de ESO en cada uno de ellos es la que se observa en el cuadro siguiente.

¿En qué centro el número de alumnos que ha elegido la opción A respecto del total de matriculados en 4.º de ESO es mayor?

En el instituto antiguo: 120 12 2180 18 3

= = es la fracción de alumnos matriculados en la opción A.

En el instituto nuevo: 90 9 3120 12 4

= =

Hay que comparar las fracciones obtenidas.

2 83 23 12

3 9 4 34 12

= ⇒ >=

Se han matriculado más alumnos en el instituto nuevo que en el antiguo.

Matemáticas A Matemáticas B

Instituto antiguo 120 60

Instituto nuevo 90 30


1.66. Se está probando un nuevo tratamiento para una determinada enfermedad en 320 personas. Aunque los efectos secundarios deberían ser nulos, se ha comprobado que en 15 de ellas produce un intenso dolor de cabeza. El tratamiento se aceptará como válido si el porcentaje de personas en el que se manifiesta este dolor es inferior a un 0,01 %.

Con los datos experimentales anteriores, ¿el tratamiento será aceptado o rechazado?

Produce dolor de cabeza en 15320

que equivale a un porcentaje del 0,046875 %.

Como ese porcentaje es superior al válido para que sea aceptado, el tratamiento será rechazado.

1.67. Javier ha cortado 13

de una baguette para hacer un bocadillo, y con los 34

del resto ha

preparado unas rebanadas. Si ha sobrado un trozo de 4 centímetros, ¿cuánto medía la baguette?

1 213 3

− = de la barra quedan después de hacer el bocadillo.

3 2 14 3 2⋅ = utiliza para las rebanadas.

Queda: 1 1 6 2 3 113 2 6 6

− −− − = = , que equivale a 4 cm.

Por tanto, la medida de la baguette era de: 6 · 4 = 24 cm.

1.68. Elena se gasta 13

de su asignación mensual en ir al cine y 25

en comprar música. Después de

estos gastos le quedan todavía 24 euros.

a) ¿Cuál es la asignación mensual de Elena?

b) ¿Cuánto se gasta en ir al cine? ¿Y en comprar música?

1 2 15 5 6 413 5 15 15

− −− − = =

Por tanto, los 415

de la asignación son 24 euros.

a) La asignación total es 15 24 904⋅ = euros.

b) Se gasta en el cine 1 90 303⋅ = euros.

Se gasta en comprar música 2 90 365⋅ = euros.


1.69. En un invernadero se siembran 500 plantas de tomates, 400 de pimientos y 350 de calabacines. Se pierden por término medio 1 de cada 60 plantas de tomates, 2 de cada 25 de pimientos y 6 de cada 11 de calabacines.

a) ¿Cuál de las tres plantas es más resistente?

b) ¿Cuántas de cada clase se espera que crezcan?

c) Si se han conseguido 490 plantas de tomates, 320 de pimientos y 318 de calabacines, ¿en cuál se ha dado una producción superior a la esperada?

a) Hay que comparar las fracciones 1 2 6, y 60 25 11

.

1 55 2 264 6 1800 1 2 6; ;60 3300 25 3300 11 3300 60 25 11

= = = ⇒ < <

Se pierden menos plantas de tomates. Por tanto, son las más resistentes.

b) 59 500 491,67 49160

⋅ = ≈ plantas de tomates 23 400 36825

⋅ = plantas de pimientos

5 350 159,09 15911

⋅ = ≈ plantas de calabacines

c) En los calabacines

1.70. El consumo de un televisor encendido es de 45 W·h a la hora. Si se apaga con el mando a distancia, su consumo se reduce a 15 W·h a la hora mientras permanece en stand by. Si a lo largo de un día el televisor está encendido durante cuatro horas y se apaga con el mando:

a) ¿Qué gasto total de energía se produce?

b) ¿Qué cantidad se podría ahorrar desconectando el aparato de la corriente?

c) ¿Qué fracción y qué porcentaje de ahorro se producirían en ese caso?

a) 4 45 20 15 480 W h⋅ + ⋅ = ⋅ se gastan en un día.

b) 20 15 300 W h⋅ = ⋅ se podrían ahorrar.

c) La fracción: 300 5480 8

=

El porcentaje: 5 62,5 %8 100

x x= ⇒ =


AMPLIACIÓN

1.71. El inverso del número P es el número Q si PQ = 1. ¿Cuál es el inverso de 21 1

3P = −

?

a) 32

− b) 124

+ c) 211

3 −

d) 59

2 2 21 1 2 3 9 11 2

3 3 2 4 4P

− −− = − = − = − = = +

La respuesta es b) 124

+

1.72. En un torneo mixto de tenis –cada chico juega contra una chica–, 13

de los chicos está

jugando con 25

de las chicas. ¿Qué fracción del total de participantes no está jugando?

a) 711

− b) 115

c) 215

d) 58

Sea x el número de chicos e y el número de chicas:

1 2 63 5 5

x y x y= ⇒ =

2 3 4 373 5 5 5

6 115

x y y yy

x y y

+ += + =

+

La respuesta es a) 711

1.73. ¿Cuál es el valor de 2011 20102 2− ?

a) 20102 c) 10052

b) 2 d) Nada de lo anterior.

( )2011 2010 2010 2010 2010 20102 2 2 2 2 2 2 1 2− = ⋅ − = ⋅ − =

La respuesta es a) 20102

1.74. En el desarrollo decimal de 17

, ¿qué cifra ocupa el lugar 2011 después de la coma?

a) 7 b) 5 c) 3 d) 1

1 0,1428577= , periódico puro. Como 2011 335 6 1= ⋅ + será la primera cifra del periodo, es decir, el 1.

La respuesta es d) 1


AUTOEVALUACIÓN

1.1. Para cada apartado, calcula cinco fracciones, incluyendo la irreducible, que representen el número racional dado.

a) 7540

c) 150324

b) 5664

d) 610425

a) 75 15 30 45 60 15040 8 16 24 32 80

= = = = =

b) 56 28 14 7 21 3564 32 16 8 24 40

= = = = =

c) 150 75 25 50 100 300324 162 54 108 216 648

= = = = =

d) 610 122 244 366 488 1220425 85 170 255 340 850

= = = = =

1.2. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones.

a) 37 37 37 37, , ,15 3 16 8

−−

b) 8 3 5 12, , ,20 16 8 10

− −

a) 37 37 37 378 15 16 3

−> > >

−

b) 32 15 50 96 8 3 5 12, , ,80 80 80 80 20 16 8 10

− − − −⇒ > > >

1.3. Calcula la expresión decimal de cada una de las siguientes fracciones y di de qué tipo es.

a) 3524

c) 1527

b) 125

d) 740

a) 35 1,458324

=

Decimal periódico mixto

b) 1 0,0425

= Decimal exacto

c) 15 0,527

=

Decimal periódico puro

d) 7 0,17540

= Decimal exacto


1.4. Halla la fracción irreducible a la que equivalen los números decimales siguientes.

a) 5,72 b) 8,340 c) 16,09

a) 572 1435,72100 25

= =

b)

8340 8 83328,340999 999

−= =

c) 1609 160 1449 16116,0990 90 10−

= = =

1.5. Calcula el resultado de las siguientes potencias.

a) 53

4

b) 26

7−

c) 39

8 −

d) 44

5

−

a) 5 5

5

3 3 2434 10244

= =

b) 26 36

7 49− =

c) 3 3

3

9 9 7298 5128

− = − =

d) 4 44 5 625

5 4 256

− = =

1.6. Opera y simplifica.

a) 17 1 5 149 49 2

− ⋅ + c) 21 1 4 7

4 2 3 4 − − ⋅ −

b) 213 1 31

16 16 2 − ⋅ +

d) 2 3 7 21

15 2 5 5 − − ⋅ −

a) 17 1 5 34 5 98 127149 49 2 98 98

− +− ⋅ + = =

b) 2 213 1 3 13 1 5 13 1 25 52 25 271

16 16 2 16 16 2 16 16 4 64 64 64 − ⋅ + = − ⋅ = − ⋅ = − =

c) 2 21 1 4 7 1 4 7 1 7 3 112 115

4 2 3 4 4 3 4 16 3 48 48⋅ + − − ⋅ − = − + = + = = ⋅

d) 2 3 7 2 2 21 2 2 21 4 2 171 1 1 1

15 2 5 5 15 10 5 15 10 10 15 10 − − ⋅ − = − − − = − − − = − − =

2 7 4 21 25 515 10 30 30 30 6

= − − = + = =


1.7. Haz las operaciones y simplifica.

a) 25 1 3 1: 1

4 3 4 2

− − ⋅ −

b) 24 1 5 3 12 :

3 3 6 2 9 + − − ⋅ −

a) 2 25 1 3 1 4 5 1 16 5 384: 1 : :

4 3 4 2 5 12 2 25 24 125

− − ⋅ − = − − = =

b) 24 1 5 3 1 4 1 5 27 4 1 5 23 4 1 115 3972 : 2

3 3 6 2 9 3 9 6 2 3 9 6 2 3 9 12 36 + − − ⋅ − = + − ⋅ − = + − ⋅ − = + + =

1.8. En un grupo de 50 atletas, las 35

partes han conseguido calificación de nivel superior en las

pruebas realizadas y las 35

partes del resto han obtenido calificación de nivel normal. Los

demás fueron calificados como de nivel bajo. Halla el número de atletas que corresponde a cada nivel.

En total, hay 25 cuadrados que se corresponden con 50 atletas. Por tanto, cada cuadrado se corresponde con 2 atletas.

Superior: 15 2 30⋅ = atletas

Medio: 6 2 12⋅ = atletas

Bajo: 4 2 8⋅ = atletas


PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

Construye y aprende > Las matemáticas de la música

Las matemáticas aparecen continuamente en la música. Ya has visto que las fracciones se usan para indicar el tamaño de los violines, pero esa no va a ser su única aparición en este campo.

Pitágoras y sus sucesores experimentaron con el monocordio, un instrumento de una sola cuerda, para determinar la relación entre las notas musicales más “agradables”.

El monocordio permitía cambiar la longitud de la cuerda, de forma que al pulsar se obtuvieran distintos sonidos. Si se tomaba como unidad la longitud de la cuerda, esos sonidos “agradables”

correspondían a las fracciones 34

, 23

y 12

. A partir de esta base se puede construir toda nuestra

escala musical.

Curiosamente, al estudiar esas propiedades musicales aparecían los números 1, 2, 3 y 4, que para los pitagóricos tenían un significado especial.

La tetractys, formada a partir de ellos, era uno de sus símbolos más importantes.

Vamos a construir un monocordio para encontrar los sonidos que buscaba Pitágoras. Para ello necesitarás algunos materiales:

Una tabla de madera de unos 40 centímetros de longitud

Clavos

Una cuerda de guitarra

Una goma elástica

1.º Coloca dos clavos en la tabla. Para que los cálculos sean sencillos, ponlos a una distancia que

sea múltiplo del denominador común de las fracciones que aparecerán 34

, 23

y 12

, por

ejemplo, a 24 cm.

2.º Pega una tira de papel y dibuja en ella una recta, marcando las fracciones 12

, 13

, 14

, 15

y 16

en

los puntos donde cada fracción indique lo que representa la distancia desde ese punto hasta el clavo más próximo respecto de la distancia total entre ambos clavos.

3.º Coloca la cuerda alrededor de los dos clavos de forma que quede tensa.

4.º La goma se introduce por un extremo de la tabla, y sirve para fijar el punto que queramos de la cuerda.

Ahora puedes realizar las siguientes actividades.

1.1. Pulsa la cuerda sin colocar la goma, y escucha el sonido que produce.

Ese sonido es el básico, a partir del cual estudiaremos los demás. Conviene asegurarse de que la cuerda está tensa, y de que los clavos estén bastante separados.

1.2. Coloca la goma en la fracción 12

y pulsa la cuerda. ¿Qué observas?

Se produce la misma nota, pero una octava más alta.


1.3. Colócala en las otras fracciones que has marcado 13

, 14

, 15

y 16

y haz vibrar el lado más

largo de la cuerda. Obtendrás la quinta, la cuarta, la tercera mayor y la tercera menor, respectivamente. ¿Conoces estos términos? Si no es así, búscalos en internet.

Si la nota base fuese DO, la cuarta y la quinta corresponderían a FA y SOL; en el piano, si DO es la primera tecla blanca, FA es la cuarta y SOL, la quinta. Empezando en cualquier nota, se puede obtener la cuarta, quinta, etc., contando el número adecuado de tonos y semitonos. Por ejemplo, a partir de una nota se obtiene la tercera mayor avanzando dos tonos y la tercera menor avanzando un tono y un semitono.

En cada caso, la fracción más larga de cuerda se corresponde con la que determinó: 34

(cuarta), 23

(quinta) y 12

(octava).

1.4. ¿Cuáles de las notas anteriores eran las que Pitágoras consideraba más agradables?

Pitágoras: 34

(cuarta), 23

(quinta) y 12

(octava)

1.5. Busca información sobre Pitágoras y los pitagóricos, y haz un breve resumen por escrito. Exponed vuestros trabajos (el monocordio, los resultados obtenidos y el resumen).

Respuesta abierta. Se pueden repartir las tareas por grupos, y que cada uno las exponga al resto.


Calcula e investiga > Fracciones musicales

La duración de las notas es muy importante a la hora de interpretar una pieza musical.

Tomando como unidad la duración de una negra, un tiempo, se pueden distinguir las siguientes notas, de forma que cada una dura la mitad de la anterior: redonda, blanca, negra, corchea, semicorchea, fusa y semifusa.

1.1. Si escribimos la duración de una negra como 1 t, ¿cuánto dura cada nota?

Redonda Blanca Negra Corchea Semicorchea Fusa Semifusa

4 t 2 t 1 t 12

t 14

t 18

t 116

t

1.2. ¿Cuántas semicorcheas hay en una blanca? ¿A cuántas redondas equivale una fusa?

Una blanca equivale a 8 semicorcheas. Una fusa equivale a 132

de una redonda.

1.3. En música se utiliza un símbolo, el puntillo, que incrementa la duración de la nota un 50 %. ¿A cuántas fusas equivaldrá una corchea con puntillo?

Una corchea con puntillo es igual a una corchea y una semicorchea, y equivale a 6 fusas.

1.4. Si se coloca un doble puntillo, se aumenta la duración de la nota un puntillo y la mitad de un puntillo. ¿Qué fracción representa en total ese aumento?

Se aumenta 1 1 32 4 4+ = .

1.5. Investiga acerca del origen de los nombres de las notas de la escala musical y haz un breve resumen.

Respuesta abierta. Debería aparecer el nombre del monje Guido de Arezzo, el himno que le sirvió de referencia y los cambios posteriores de nombre de las notas DO y SI.


Aprende a pensar > La comida que se tira

Cada día se tira a la basura una enorme cantidad de comida. En algunos casos son restos de alimentos cocinados que no se han llegado a consumir. En otros son productos que se desechan por estar a punto de superar la fecha de caducidad indicada, o porque tienen una apariencia menos atractiva, cosa que ocurre frecuentemente con la fruta.

En estudios realizados en todo el mundo se obtuvieron resultados sorprendentes. Por ejemplo, unas dos quintas partes de la comida que se produce en EE. UU. terminan en la basura. En España, cerca de tres millones de toneladas de comida se desperdician cada año, lo que supone un coste de unos 250 euros al año por persona.

1.1. En España hay unos 46 millones de habitantes. ¿Cuánto dinero supone al año la comida desperdiciada? ¿Cuántos kilogramos de comida tira cada uno, en promedio?

Son 11 500 millones de euros cada año, y unos 65 kg por persona y año.

1.2. La media de comida que tira cada habitante es del 18 % de lo que compra. Supongamos que

aproximadamente 35

de esa cantidad se podrían haber consumido si se hubieran conservado

correctamente, y 13

del resto ni siquiera se llegó a sacar del embalaje. Lo demás serían

residuos no comestibles: pieles, cáscaras, etc. ¿Qué fracción de la comida que compra una familia representan?

La fracción de comida que representan los residuos no comestibles es 18 2 2 6· ·100 5 3 125

= . En este tipo

de operaciones suele haber muchos errores al realizar los cálculos. Para evitarlos, se pueden usar varias estrategias: hacer un gráfico en árbol, realizar los cálculos tomando una cantidad inicial arbitraria, etc.

1.3. En el libro Hungry Planet (Peter Menzel y Faith D’Aluisio) aparecen fotos y datos sobre el consumo de alimentos semanal en familias de varios países. Entra en www.e-sm.net/4aesoz04 para ver esos datos, compáralos y coméntalos con tus compañeros. Debate tu opinión en http://matematicas20.aprenderapensar.net/.

Respuesta abierta.

Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: Fernando Alcaide, Antonia Aranda, Rafaela Arévalo, Vanesa Fernández, Juan Carlos Hervás, Miguel Ángel Ingelmo, Cristóbal Merino, Miguel Nieto, Isabel de los Santos, Yolanda A. Zárate Edición: Oiana García, Inmaculada Fernández, Aurora Bellido Revisión contenidos solucionario: Juan Jesús Donaire Corrección: Javier López Ilustración: Modesto Arregui, Estudio “Haciendo el león”, Jurado y Rivas, Félix Anaya, Juan Francisco Cobos, José Santos, José Manuel Pedrosa Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya (*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados han sido marcados porque contienen alguna corrección en su enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno. Gestión de las direcciones electrónicas: Debido a la naturaleza dinámica de internet, Ediciones SM no puede responsabilizarse de los cambios o las modificaciones en las direcciones y los contenidos de los sitios web a los que remite este libro. Con el objeto de garantizar la adecuación de las direcciones electrónicas de esta publicación, Ediciones SM emplea un sistema de gestión que redirecciona las URL que con fines educativos aparecen en la misma hacia diversas páginas web. Ediciones SM declina cualquier responsabilidad por los contenidos o la información que pudieran albergar, sin perjuicio de adoptar de forma inmediata las medidas necesarias para evitar el acceso desde las URL de esta publicación a dichas páginas web en cuanto tenga constancia de que pudieran alojar contenidos ilícitos o inapropiados. Para garantizar este sistema de control es recomendable que el profesorado compruebe con antelación las direcciones relacionadas y que comunique a la editorial cualquier incidencia a través del correo electrónico [email protected]. Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”. © Ediciones SM Impreso en España – Printed in Spain

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