1 matemáticas i 1º bachillerato 6 la recta en el plano. problemas métricos x y o sistema de...

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Matemáticas I1º BACHILLERATO6

La recta en el plano. Problemas métricos

Un sistema de referencia está formado por un

punto y una base: R = {O; i ,

j }

X

Y

Oi

j

Sistema de referencia en

el plano

1



y1

j

x1

i

• A

a

OA = a = x1

i + y1

j A(x1, y1)

X

Y

Oi

j

Coordenadas cartesianas de los puntos del plano

1



X

Y

Oi

j

b

• B(x2,y2)

a

a +

AB =

b

AB =

b –

a

AB = (x2, y2) – (x1, y1) = (x2 – x1, y2 – y1)

•

A(x1,y1)

Coordenadas cartesianas de un vector libre determinado por dos puntos

1



X

Y

Oi

j

a

b

•

A(x1,y1)•

M(xm,ym)

m

m =

a +

AM =

a +

12

AB =

= a +

12 (

b –

a ) =

12 (

a +

b )

xm = 12 (x1 + x2) ; ym =

12 (y1 + y2)

• B(x2,y2)

Coordenadas del punto medio de un segmento

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a

•A(x1,y1)

Recta que pasa por el punto A(x1, y1),u (a, b)de vector director

x =

a + t

u con tR

tu

x

u

X

Y

Oi

j

Ecuación vectorial de la recta

•X(x, y)

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(x, y) = (x1, y1) + t(a, b) = (x1 + ta, y1+tb)

x = x1 + ta

y = y1 + tb con tR

Ecuaciones paramétricas de la recta

a

•A(x1,y1)


x =

a + t

u con tR

tu

x

u

X

Y

Oi

j

•X(x,y)

1



t =

x – x1

a

t = y – y1

b

x – x1

a = y – y1

b

x = x1 + ta

y = y1 + tb con tR

Ecuación de la recta en forma

continua

a

•A(x1,y1)


tu

x

u

X

Y

Oi

j

•X(x,y)

1



bx – ay + ay1 – bx1 = 0

Ax + By + C = 0

x - x1

a = y - y1

b


general

a

•A(x1,y1)


tu

x

u

X

Y

Oi

j

•X(x,y)

1



b

O X

Y


u

x - x1

a = y - y1

b

y - y1 = ba (x - x1)

ba = tg = m

y – y1 = m(x – x1)

r

a

• A(x1, y1)

Ecuación de la recta en la forma punto–pendiente

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y – y1 = m(x – x1)

y – y1 = m x – mx1

y = m x – mx1 + y1

y = m x + n


b

O X

Y

u

r

a

• A(x1, y1)


explícita

1



O X

Y

p

q

xp +

yq = 1

P(p,0)

Q(0,q)


segmentaria

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n

n .

PX = 0

n . (

x -

p ) = 0

(A, B) .

A (x – x1) + B(y – y1)=0

Ecuación normal de la

recta

(x – x1, y – y1) = 0

OX

Y

i

j

x

•

p

P(x1,y1) •

X(x,y)

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Secantes:un solo punto en común

Coincidentes: infinitos puntos en común

Forma explícita r: y = mx + ns: y = m'x + n' Forma general

r:Ax+By+C=0s:A'x+B'y+C'=0

Solución única

Posición Sistema Condiciones

AA'

BB'

m m’

Paralelas: ningún punto en común

Sin solución

Infinitas soluciones

m = m’ y n n’

AA' =

BB'

CC'

m = m’ y n =n’

AA' =

BB' =

CC'

Posiciones relativas de dos rectas en el plano

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y – yo = m (x – xo) Para cada valor de m se obtiene una recta

que pasa por P

Ax+By+CA'x+B'y+C' Para cada valor de (, se obtiene una

recta que pasa por P

r: Ax+By+C=0

r’: A'x+B'y+C'=0

Haz de

rectas

m1

m2

m3

• P(xo,yo)

(

• P (

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Ax+By+k=0 Para cada valor de k obtenemos una

recta paralela a r

r: Ax+By+C=0

Haz de rectas paralelas

Ax+By+k1 = 0

Ax+By+k2 = 0

Ax+By+k3 = 0

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s: A'x + B'y + C' =0

r: Ax + By + C = 0

cos (

r , s) = cos

(u ,

v ) =

|u .

v |

|u |.|

v |

= |AA' + BB'|

A2 + B2 A'2 + B'2

r , s=

u ,

v

u

v

Ángulo de dos rectas

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X

Y

Oi

j

b

• B(x2,y2)

a

•

A(x1,y1)

d (A, B) = |AB| = (x2 – x1)

2 + (y2 – y1)2

AB = (x2 – x1 , y2 – y1)

Distancia entre dos

puntos

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= 0

n = (A, B)

r: Ax + By + C = 0

• Q QoP =

QoQ +

QP

d(P,r) = d(P,Q)

QoP

n =

QoQ

n +

QP

n

d (P, r) = d(P, Q) = |QP| =

|

QoP n |

|n |

= |Ax1 + By1 + C|

A2 + B2

Distancia desde un punto a

una recta

• P(x1, y1)

• Qo(xo,yo)

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r: Ax + By + C = 0

r ': Ax + By + C ' = 0

• P(xo,yo)

d (r, r’) = d(P, r’) = |Axo + Byo + C'|

A2 + B2 = |C' - C|A2 + B2

Distancia entre rectas

paralelas

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La recta en el plano. Problemas métricosMediatriz de un

segmento

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en su punto medio

B(4, –7)•

A(2, 5)

•

(4–2, –7–5) = (2, –12)

m

(12,

2)

Pm( , ) = (3, –1)4 + 22

5 – 7

2

m x-312 =

y+12 x – 6y – 9 = 0

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La recta en el plano. Problemas métricosPuntos notables de un triángulo:

ortocentro

Punto de corte de las tres alturas de un triángulo

• O

90º

90º90º

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baricentro

Punto de corte de las tres medianas de un triángulo. Es el centro de gravedad

del triángulo

• B

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circuncentro

Punto de corte de las mediatrices de los tres lados.

Es el centro de la circunferencia circunscrita

• C

90º

90º

90º

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La recta en el plano. Problemas métricosPuntos notables de un

triángulo: incentro

Punto de corte de las tres bisectrices de un triángulo. El incentro equidista

de los tres lados del triángulo • I

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La recta en el plano. Problemas métricosLugares

geométricos (I)

• A

• B

Mediatriz: conjunto de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.

r

r'

• P

• P• PBisectriz: conjunto de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo.

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geométricos (II)

rr'

• P Paralela media: conjunto de los puntos del plano que equidistan de dos rectas paralelas

• I

Incentro: conjunto de los puntos del plano que equidistan de los tres lados del triángulo. Este lugar geométrico se reduce a un punto

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geométricos (III)

Circuncentro: conjunto de los puntos del plano que equidistan de los tres vértices del triángulo. Este lugar geométrico se reduce a un punto• C

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