1. lÓgica...una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa. los valores de...

www.groupbytes.com Ing. Beymar Jiménez Ruíz 1

1. LÓGICA

• Lógica Simbólica

• Lógica Proposicional


1.1. Lógica

La Lógica es la ciencia formal que estudia los principios de la

demostración y la inferencia válida, permitiendo identificar las falacias y

las paradojas, para así establecer la noción de verdad de una expresión

válida.

La palabra lógica deriva del griego logike, que significa: dotado de razón,

intelectual, dialéctico, argumentativo, que a su vez proviene del griego

logos, que significa: palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o

principio.

1.2. Inferencia

Una Inferencia es una evaluación lógica que realiza la mente entre

proposiciones o expresiones bien formadas a través de la cual se deduce o

deriva la conclusión. Al ser relacionadas como abstracciones las

proposiciones, es posible trazar una línea lógica de condición o de

implicación, desde las proposiciones primarias hasta la conclusión


1.3. Conclusión

La Conclusión es una proposición que se escribe al final de un argumento

luego de inferir las premisas. Si el argumento es válido, las premisas

implicarán una conclusión Verdadera o Falsa, pero no ambas. Por ejemplo:

Premisa 1: Todos los mamíferos son de sangre caliente.

Premisa 2: Todos los humanos son mamíferos.

Conclusión: Por lo tanto, todos los humanos son de sangre caliente.

En el lenguaje natural, las conclusiones se suelen establecer mediante

expresiones tales como: “por lo tanto”, “por ende”, “luego”, “en

consecuencia”, “entonces”, “ergo”, etcétera. En los lenguajes formales, se

coloca delante de la conclusión alguno de los siguientes símbolos: ⊢, ⊨ y

∴


1.4. Lógica Simbólica

La Lógica Simbólica o Lógica Matemática es el estudio formal y

simbólico de la lógica, que es a su vez una ciencia y una técnica:

Es una Ciencia porque permite investigar, desarrollar y establecer

principios fundamentales proveyendo los métodos necesarios para

distinguir el razonamiento correcto del incorrecto.

Es una Técnica porque permite desarrollar la destreza para

interpretar el razonamiento correcto y hacer una crítica al

razonamiento incorrecto.

El razonamiento lógico tiene varias aplicaciones en las diferentes

disciplinas, por ejemplo:

En las matemáticas para demostrar los teoremas o proposiciones, que

son demostrados a partir de axiomas o proposiciones evidentes que no

necesita demostración.

En la computación para:

o Verificar la validez de las condiciones algorítmicas

o Validar los algoritmos criptográficos

o Acceder a los sistemas de gestión de base de datos


o Diseñar circuitos electrónicos

En las ciencias sociales para verificar la valides de un enunciado.

1.5. Lógica Proposicional

La Lógica Proposicional o Lógica de Orden Cero, es una rama de la lógica

clásica que permite el razonamiento de las proposiciones en virtud de su

estructura lógica.

La Lógica Proposicional está basado en un leguaje formalizado, donde se

ha eliminado todas las ambigüedades de las proposiciones, es decir, que

cada proposición solo puede leerse o entenderse de una sola manera.

La Lógica Proposicional es un sistema formal cuyos elementos más

simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas

conectivas, permiten realizar operaciones sobre las proposiciones y formar

proposiciones de mayor complejidad.

La Lógica Proposicional estudia las variables proposicionales (sentencias

lógicas), sus posibles implicaciones, evaluaciones de verdad y en algunos

casos su nivel absoluto de verdad.


1.5.1. Proposición

Una Proposición es toda expresión verbal o escrita sobre cuyo significado

tiene sentido afirmar que es verdadero o falso.

Las Proposiciones se representan utilizando las letras minúsculas del

alfabeto latino, tales como: p, q, r, s, t, u, g, h, …

Una Proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa.

Los valores de verdad de una Proposición son dos: Falso (F) o Verdadero

(V); también se representa con 1 el valor Verdadero y con 0 el valor Falso.

La Lógica Simbólica establece tres reglas fundamentales para determinar

la validez de las proposiciones.

El principio de no contradicción: Una proposición no puede ser

Verdadera y Falsa al mismo tiempo.

~(p ∧ ~p) ⇔ T

El principio de tercero excluido: Cualquiera sea la proposición,

sea Falsa o Verdadera; siempre se verificará uno de estos dos

valores de verdad y nunca un tercero.

𝑝 ∨ ~𝑝 ⇔ T


El principio de identidad: Cualquiera sea el valor de verdad del

antecedente, sea Falso o Verdadero, el valor de verdad del

consecuente será idéntico al valor de verdad del antecedente

∀𝑝, 𝑝 = 𝑝, de lo que se puede afirmar que la formula proposicional

p implica a p es una Tautología.

𝑝 → 𝑝 ⇔ T

Ejemplo: Dadas las siguientes expresiones textuales determinar si son

proposiciones, y si lo fueran, indicar el valor de verdad de la proposición.

(1) "El departamento de Santa Cruz tiene 15 provincias"

Respuesta: Es proposición y es verdadera

(2) "Java es un es un leguaje natural"

Respuesta: Es proposición y es falsa

(3) "Hoy iré a ver una película"

Respuesta: No es proposición, por lo tanto, no es posible de

terminar su valor de verdad


(4) "¿Cuándo terminará la corrupción en Bolivia?"



(5) “Cuándo pienso, como que avanzo"



(6) "!Alto, deténgase, analice lógicamente¡"



La notación utilizada para representar el valor de verdad de una

proposición es la siguiente: (𝐩) y se lee, valor de verdad de la

proposición p.

Ejemplo: Sea p una proposición tal que:

p = "5 es mayor que 3"

Establecer el valor de verdad de p

Solución:


Entonces:

(𝐩) = ("5 es mayor que 3")

(𝐩) = ("5 > 3")

(𝐩) = (V)

Por lo tanto:

(𝐩) = V

Ejemplo: Dado la siguiente expresión textual determinar si es una

proposición, y si lo fuera establecer el valor de verdad de la

expresión

"Bien, es bueno, y que..."

Solución:

La expresión "Bien, es bueno y que..." no es una proposición, por lo

tanto, no es posible determinar su valor de verdad


Ejemplo: Dado la siguiente expresión textual determinar si es una

proposición, y si lo fuera establecer su valor de verdad

"10 + 2 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 √81"

Solución:

Sea:

p = "10 + 2 es mayor que √81"

p = "12 > 9"

Luego:

(p) = ("12 > 9")

(p) = (V)

Por lo tanto:

(p) = V


Una proposición puede ser Simple o Compuesta:

Es Simple, si no incluye dentro de sí, ninguna otra proposición o no es

posible descomponerla en proposiciones más simples.

Ejemplo:

p = “La matemática es una ciencia exacta”

q = “PHP es un lenguaje de bajo nivel”

r = “(3 + 5 − 2)/2 es un número par”

Es Compuesta, si está constituida por dos o más proposiciones simples,

mediante la utilización de conectivos lógicos.

Ejemplo:

p = “Tres es un número primo o está haciendo frio”

q = “Carlos maneja la bicicleta y canta en la piscina”

r = “O María es brasilera o María es africana”

s = “Ni estoy estudiando, ni estoy chateando”

t = “No hay clases en la universidad, entonces está lloviendo”

u = “Soy boliviano si, y sólo si, nací en Santa Cruz”

w = “Soy extranjero si, y sólo si, no nací en Bolivia”


Para componer proposiciones o formar proposiciones complejas, se deben

utilizar los conectivos lógicos.


1.5.2. Conectivos Lógicos

Son símbolos que permiten componer proposiciones complejas y

establecer operaciones lógicas. Entre los conectivos lógicos más conocidos

tenemos:

Negación ~ no

Conjunción ∧ y

Disyunción ∨ o

Condicional → si, entonces

Bicondicional ↔ si, y sólo si,

Disyunción Exclusiva ⊻ o … o …

Adjunción ↛ … y no …

Negación de la Conjunción ↓ ni … ni …

Negación de la Disyunción ↑ no … o no …

Negación de la Disyunción Exclusiva ∨ y … y

Condicional Negativa ← … solo si …

Bicondicional Negativa ↮ o bien … o bien …

Adjunción Negativa ↚ no … y ….


1.5.3. Orden jerárquico de los conectivos lógicos

La jerarquía de los conectivos lógicos es como sigue:

1. Bicondicional ↔

2. Bicondicional Negativa ↮

3. Condicional →

4. Condicional Negativa ←

5. Conjunción ∧

6. Disyunción ∨

7. Disyunción Exclusiva ⊻

8. Negación de la Conjunción ↓

9. Negación de la Disyunción ↑

10. Negación de la Disyunción Exclusiva ∨

11. Adjunción ↛

12. Adjunción Negativa ↚

13. Negación ~


Para especificar el conectivo lógico dominante o de mayor prioridad en la

formula proposicional, se debe utilizar paréntesis ( ), corchetes [ ] o llaves

{ }.

Las operaciones proposicionales que se encuentran entre paréntesis se

operacionalizan como si fueran proposiciones simples, esto con el fin de

lograr una correlación correcta respecto de las propiedades y leyes lógicas.

Ejemplo:

1. 𝐫 ∧ (𝐩 ∨ 𝐪 )

En este ejemplo se evidencia que el conectivo dominante es el " ∧ ",

porque se está operando con la proposición que está entre paréntesis

(𝐩 ∨ 𝐪 ), que se interpreta como una proposición simple

2. 𝐫 ∨ (𝐩 ∧ 𝐪 )

3. 𝐫 ∨ (𝐩 → 𝐪 )


1.5.4. Operaciones Proposicionales

Las Operaciones Proposicionales son especificaciones gramaticales

constituidas por operaciones unarias, binarias y n-arias, que forman

operandos mediante los conectivos lógicos.

Las operaciones entre proposiciones permiten determinar el valor de

verdad o de equivalencia de la formula proposicional que se está

analizando u operando.


1.5.4.1. Negación

Definición: La negación de una proposición p, es la proposición

compuesta agregando el adverbio “no” en la proposición original.

Notación: ∼

Otras notaciones : ¬ ̅ !

Lectura: “Es falso que p”, “No es verdad que p”, “No es cierto que

p”

Escritura: ∼ p

Tabla de Verdad:

p ~p

F V

V F


Ejemplo: Negar el siguiente enunciado si es una proposición:

“Las matemáticas discretas son útil para el desarrollo de la lógica en los

estudiantes de Ingeniería de Sistemas”.

Solución:

Sea:

p = “Las matemáticas discretas son útil para el desarrollo de la

lógica en los estudiantes de Ingeniería de Sistemas”

Negando la proposición 𝐩 tenemos:

∼ 𝑝 = “Es falso que las matemáticas discretas sean útiles para el

desarrollo de la lógica en los estudiantes de Ingeniería de

Sistemas”.

Luego:

(p) = V

Negando p tenemos:

(∼ p) = F


1.5.4.2. Conjunción

Definición: Dadas dos proposiciones p, q, se llama conjunción de

las proposiciones, a la proposición compuesta que se obtiene

uniendo ambas proposiciones mediante el operador "𝐲".

Notación: ∧

Otras notaciones : ⋅ & &&

Lectura: "p 𝐲 q"

Escritura: p ∧ q

Tabla de Verdad de la Conjunción

𝐩 𝐪 𝐩 ∧ 𝐪

F F F

F V F

V F F

V V V


Ejemplo: Dadas las siguientes proposiciones:

p = "El universo es infinito"

q = "7 es un número primo"

r = "3 ∗ 2 − 6 = −1"

Expresar las siguientes conjunciones:

p ∧ q

q ∧ r

p ∧ r

Solución:

Entonces:

p ∧ q = "El universo es infinito y 7 es un número primo"

Entonces:

q ∧ r = "7 es número primo y 3 ∗ 2 − 6 = −1"

Entonces:

p ∧ r = "El universo es infinito y 3 ∗ 2 − 6 = −1"


1.5.4.3. Disyunción

Definición: Dadas dos proposiciones p, q, se llama disyunción de


uniendo ambas proposiciones mediante el operador "𝐨".

Notación: ∨

Otras notaciones : | ||

Lectura: "p o q"

Escritura: p ∨ q

Tabla de Verdad de la Disyunción

𝐩 𝐪 𝐩 ∨ 𝐪

F F F

F V V

V F V

V V V



p = "8 + 4 = 13"

q = "Jaime estudia lógica"

r = "Jaime carnavalea"

Expresar las siguientes disyunciones:

p ∨ q

q ∨ r

p ∨ r

Solución:

Entonces:

p ∨ q = "8 + 4 = 13 o Jaime estudia lógica"

Entonces:

q ∨ r = "Jaime estudia lógica o Jaime carnavalea"

Entonces:

p ∨ r = "8 + 4 = 13 o Jaime carnavalea"


1.5.4.4. Disyunción Exclusiva (XOR)

Definición: Dadas dos proposiciones p, q, se llama disyunción

exclusiva de las proposiciones, a la proposición compuesta que se

obtiene uniendo ambas proposiciones mediante las palabras"𝐨 . . . 𝐨".

Notación: ⊻

Otras notaciones : △ ⨁

Lectura: "𝐨 p 𝐨 q", "p 𝐨 q pero no ambas"

Escritura: p ⊻ q

Tabla de Verdad de la Disyunción Exclusiva (XOR)

𝐩 𝐪 𝐩 ⊻ 𝐪

F F F

F V V

V F V

V V F



p = "20 es impar"

q = "Grover estudia"

r = "Llueve en Santa Cruz"

Expresar las siguientes disyunciones exclusivas:

p ⊻ q

q ⊻ r

p ⊻ r

Solución:

Entonces:

p ⊻ q = "O 20 es impar o Grover estudia"

Entonces:

q ⊻ r = "O Grover estudia o Llueve en Santa Cruz"

Entonces:

p ⊻ r = "O 20 es impar o Llueve en Santa Cruz"


1.5.4.5. Condicional o Implicación

Definición: Dadas dos proposiciones p, q en este orden, se llama

condicional de las proposiciones, a la proposición compuesta que se

obtiene uniendo ambas proposiciones mediante la palabra

"𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬". Donde, la proposición 𝐩 es el antecedente, y la

proposición 𝐪 es el consecuente; cabe aclarar, que la condicional no

cumple con la propiedad conmutativa.

Notación: →

Otras notaciones : ⊃

Lectura: "𝐒𝐢 p, 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬 q"

Escritura: p → q


Tabla de Verdad de la Condicional

𝐩 𝐪 𝐩 → 𝐪

F F V

F V V

V F F

V V V


p = "√9 = 0"

q = "32 = 9"

r = "1

2+ 4 = 4"

Expresar las siguientes condicionales:

p → q

q → r

p → r

Solución:

Entonces:


p → q = "Si √9 = 0, entonces 32 = 9"

Entonces:

q → r = "Si 32 = 9, entonces 1

2+ 4 = 4"

Entonces:

p → r = "Si √9 = 0, entonces 1

2+ 4 = 4"


1.5.4.6. Bicondicional o Condicional Doble

Definición: Dadas dos proposiciones p, q, se llama bicondicional de


uniendo ambas proposiciones mediante las palabras "𝐬𝐢, 𝐲 𝐬ó𝐥𝐨 𝐬𝐢".

Notación: ↔

Otras notaciones : ≡

Lectura: "p 𝐬𝐢, 𝐲 𝐬ó𝐥𝐨 𝐬𝐢, q"

Escritura: p ↔ q

Tabla de Verdad de la Bicondicional

𝐩 𝐪 𝐩 ↔ 𝐪

F F V

F V F

V F F

V V V



p = "3.5 es entero"

q = "𝜋 no es entero"

r = "5

3𝜋2= 100"

Expresar las siguientes bicondicionales:

p ↔ q

q ↔ r

p ↔ r

Solución:

Entonces:

p ↔ q = "3.5 es entero si, y sólo si, 𝜋 no es entero"

Entonces:

q ↔ r = "𝜋 no es entero si, y sólo si,5

3𝜋2= 100"

Entonces:


p ↔ r = "3.5 es entero si, y sólo si,5

3𝜋2= 100"

Ejemplo: Dadas las siguientes proposiciones aplicar la definición de la

Bicondicional y determinar su valor de verdad:

p = "5 < 5.5 − 3"

q = "√64 > 3"

Respuesta:

Aplicando la definición de la Bicondicional tenemos:

p ↔ q = "5 < 5.5 − 3 si, y sólo si, √64 > 3"

Determinando el valor de verdad de p, q tenemos:

(p) = F

(q) = V

Operando p, q mediante la tabla de verdad tenemos:


F V F


Por lo tanto, decimos que:

(p ↔ q) = F


1.5.4.7. Tabla de verdad de las operaciones unarias

y binarias

Tabla de Verdad de la Negación

𝐩 ~𝐩

F V

V F

Tabla de Verdad de la Conjunción

𝐩 𝐪 𝐩 ∧ 𝐪

F F F

F V F

V F F

V V V


Tabla de Verdad de la Disyunción


F F F

F V V

V F V

V V V

Tabla de Verdad de la Disyunción Exclusiva (XOR)

𝐩 𝐪 𝐩 ⊻ 𝐪

F F F

F V V

V F V

V V F


Tabla de Verdad de la Condicional

𝐩 𝐪 𝐩 → 𝐪

F F V

F V V

V F F

V V V

Tabla de Verdad de la Bicondicional


F F V

F V F

V F F

V V V


Tabla de Verdad de la Conjunción Negativa (NAND)

𝐩 𝐪 𝐩 ↓ 𝐪

F F V

F V V

V F V

V V F

Tabla de Verdad de la Disyunción Negativa (NOR)

𝐩 𝐪 𝐩 ↑ 𝐪

F F V

F V F

V F F

V V F


Tabla de Verdad de la Disyunción Exclusiva Negativa (XNOR)


F F V

F V F

V F F

V V V

Tabla de Verdad de la Negación de la Implicación

𝐩 𝐪 𝐩 ← 𝐪

F F V

F V F

V F V

V V V


Tabla de Verdad de la Negación de la Bicondicional

𝐩 𝐪 𝐩 ↮ 𝐪

F F F

F V V

V F V

V V F

Tabla de Verdad de la Adjunción

𝐩 𝐪 𝐩 ↛ 𝐪

F F F

F V F

V F V

V V F


Tabla de Verdad de la Negación de la Adjunción

𝐩 𝐪 𝐩 ↚ 𝐪

F F F

F V V

V F F

V V F


1.5.5. Formulas proposicionales

Una Formula Proposicional es toda expresión que está constituido por un

número finito de proposiciones, donde cada proposición está representada

por una letra minúscula del alfabeto latino, a quienes se las denomina

“variables proposicionales”.

Una Fórmula Proposicional o Expresión Proposicional es un tipo de

fórmula sintáctica que está bien formada y que tiene un único valor de

verdad, para cualquier valor de verdad que asuman las variables

proposicionales que componen la Fórmula Proposicional. Por ejemplo:

Si: p = V

q = F

Entonces

(p ∧ ~q) → (p ∨ q) = V


1.5.5.1. Clasificación de las formula

proposicionales

Las formulas proposicionales se clasifican en:

Tautología o verdad lógica: Formula proposicional que resulta

verdadera para todos los valores de verdad que asuman las

proposiciones atómicas.

Contradicción o falsedad lógica: Formula proposicional que resulta

falsa para todos los valores de verdad que asuman las proposiciones

atómicas.

Contingencia o indeterminismo lógico: Formula proposicional que

no es tautología ni contradicción, pues en la determinación del valor

de verdad de la fórmula proposicional se obtiene resultados que son

verdaderos o falsos, para algunos valores de verdad que asumen las

proposiciones atómicas.


1.5.5.2. Tabla de verdad

La Tabla de Verdad es una matriz constituida por columnas y filas, que se

utiliza para determinar si una formula proposicional es una Tautología,

Contradicción o Contingencia, una vez verificado para todos los valores de

verdad que asuman las variables proposicionales.

1.5.5.3. Construcción de tablas de verdad

Los pasos a seguir para construir una tabla de verdad son las siguientes:

1. Contar el número de variables proposicionales que componen la

formula proposicional.

2. Calcular el número de filas que constituirá la tabla de verdad

utilizando la siguiente fórmula

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐹𝑖𝑙𝑎𝑠 = 2𝑛 Donde:

𝑛: Número de variables proposicionales.

3. Llenar cada columna de la tabla de verdad con los valores de

verdad que tomarán cada una de las variables proposicionales,


manteniendo la proporción media respecto de la formula 2𝑛 para la

primera columna y la proporción media de cada sección de la

columna predecesora en las siguientes columnas.

4. Hallar el valor de verdad de cada una de las proposiciones

compuestas que integran la formula proposicional, hasta determinar

su valor de verdad.

Ejemplo: Construya la tabla de verdad de la formula proposicional

siguiente e indicar si es Tautología, Contradicción o Contingencia.

(p ∧ q) → ~p

Solución

1. Proposiciones simples: p, q

2. Número de proposiciones simples: 2

3. Número de filas de la tabla de verdad:

𝐍𝐅𝐓𝐕 = 𝟐𝒏 = 𝟐𝟐 = (𝟐)(𝟐) = 𝟒

4. Número de valores de verdad de la 1ra columna: 𝟒/𝟐 = 𝟐

5. Construcción de la Tabla de Verdad

𝐩 𝐪 (𝐩 ∧ 𝐪) ~𝐩 (𝐩 ∧ 𝐪) → ~𝐩


F F F V V

F V F V V

V F F F V

V V V F F

6. Por lo tanto:

La fórmula proposicional (p ∧ q) → ~p es una Contingencia.

Ejercicios Guía MAAP:

Construya la tabla de verdad de cada una de las formulas proposicionales

siguientes y verificar si es Tautología, Contradicción o Contingencia.

a) (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧∼ q) Tautología

b) ∼ (p ∨∼ q) → (∼ p ∨ q) Tautología

c) [(p → q) ∧∼ q] →∼ p Tautología

d) [(p → q) ∧ p] ∧ ~q Contradicción

e) (p ∨ q) ∧ (∼ p ∧∼ q) Contradicción

f) [(q ∨ p) ∧ p] ∧ ~q Contingencia


g) p → [~r ∨ (~q ⊻ r)] Contingencia

h) {~[(p ∧ r) ∨ q] → (~r ⊻ ~p)} ↔ r Contingencia

i) (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q) Contingencia

j) (p ∨ ~q) → (~r ∧ p) Contingencia


1.5.5.4. Relación entre formulas proposicionales

Se dice que dos fórmulas proposicionales 𝐟𝟏 y 𝐟𝟐 se relacionan, si, y sólo

si, es posible determinar una Tautología e Identidad entre la formula

proposicional 𝐟𝟏 y la formula proposicional 𝐟𝟐.

1.5.5.4.1. Implicación Lógica

Definición: Se dice que 𝐟𝟏(𝐩, 𝐪, 𝐫, … ) Implica Lógicamente a

𝐟𝟐(𝐩, 𝐪, 𝐫, … ) si la condicional entre:

𝐟𝟏(𝐩, 𝐪, 𝐫, … ) → 𝐟𝟐(𝐩, 𝐪, 𝐫, … )

es una Tautología para cualquier valor de verdad que asuman las

variables proposicionales 𝐩, 𝐪, 𝐫, ….

Notación: ⇒

Escritura: f1(p, q, r, … ) ⇒ f2(p, q, r, … )

Lectura: f1(p, q, r, … ) Implica Lógicamente a f2(p, q, r, … )


Definición Formal:

f1(p, q, r, … ) ⇒ f2(p, q, r, … ) sí y sólo sí,

(f1(p, q, r, … ) → f2(p, q, r, … )) = 𝐕 (Tautología)

Ejercicio:

Dadas las siguientes fórmulas proposicionales f1 y f2 verificar si f1 Implica

Lógicamente a f2

f1 = (p → q) ∧ (r → s) ∧ (~q ∨ ~s)

f2 = ~p ∨ ~r

Solución:

Relacionando f1 y f2 mediante la implicación tenemos:

f1 → f2

[(p → q) ∧ (r → s) ∧ (~q ∨ ~s)] → (~p ∨ ~r)

Verificando la relación existente entre f1 y f2 mediante Tabla de Verdad

tenemos:


α β γ f1 f2

𝐩 𝐪 𝐫 𝐬 p → q r → s ~q ~s ~q ∨ ~s α ∧ β ∧ γ ~p ~r ~p ∨ ~r f1 → f2

F F F F V V V V V V V V V V

F F F V V V V F V V V V V V

F F V F V F V V V F V F V V

F F V V V V V F V V V F V V

F V F F V V F V V V V V V V

F V F V V V F F F F V V V V

F V V F V F F V V F V F V V

F V V V V V F F F F V F V V

V F F F F V V V V F V V V V

V F F V F V V F V F F V V V

V F V F F F V V V F F F F V

V F V V F V V F V F F F F V

V V F F V V F V V V F V V V

V V F V V V F F F F F V V V

V V V F V F F V V F F F F V

V V V V V V F F F F F F F V

Una vez elaborado la tabla de verdad se verifica que la implicación de:

[(p → q) ∧ (r → s) ∧ (~q ∨ ~s)] → (~p ∨ ~r) 𝑒𝑠 𝑇𝑎𝑢𝑡𝑜𝑙𝑜𝑔í𝑎


Luego:

([(p → q) ∧ (r → s) ∧ (~q ∨ ~s)] → (~p ∨ ~r)) = V

(f1 → f2) = V

Por lo tanto, existe una Implicación Lógica entre:

f1 ⇒ f2


1.5.5.4.2. Equivalencia Lógica

Definición: Se dice que 𝐟𝟏(𝐩, 𝐪, 𝐫, … ) y 𝐟𝟐(𝐩, 𝐪, 𝐫, … ) son

Equivalentes Lógicamente si la bicondicional entre:

𝐟𝟏(𝐩, 𝐪, 𝐫, … ) ↔ 𝐟𝟐(𝐩, 𝐪, 𝐫, … )

es una Tautología para cualquier valor de verdad que asuman las

variables proposicionales 𝐩, 𝐪, 𝐫, …

Notación: ⇔

Escritura: f1(p, q, r, … ) ⇔ f2(p, q, r, … )

Lectura: f1(p, q, r, … ) es Equivalente Lógicamente a f2(p, q, r, … )

Definición Formal:

f1(p, q, r, … ) ⇔ f2(p, q, r, … ) sí y sólo sí,

(f1(p, q, r, … ) ↔ f2(p, q, r, … )) = 𝐕 (Tautología)


Ejercicio: (Es una Equivalencia Lógica)

Dadas las siguientes fórmulas proposicionales f1 y f2 verificar si f1 es

Lógicamente Equivalente a f2

f1 = [(p → q) ∧ (q → p)] f2 = (q ⟷ p)

Relacionando f1 y f2 mediante la bicondicional tenemos:

f1 ↔ f2

[(p → q) ∧ (q → p)] ↔ (q ⟷ p)


tenemos:

f1 f2

𝐩 𝐪 p → q q → p (p → q) ∧ (q → p) q ↔ p f1 ↔ f2

F F V V V V V

F V V F F F V

V F F V F F V

V V V V V V V


Una vez elaborado la tabla de verdad se verifica que la equivalencia entre:

[(p → q) ∧ (q → p)] ↔ (q ⟷ p) 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑇𝑎𝑢𝑡𝑜𝑙𝑜𝑔í𝑎

Luego:

([(p → q) ∧ (q → p)] ↔ (q ⟷ p)) = V

(f1 ↔ f2) = V

Por lo tanto, existe una Equivalencia Lógica entre:

f1 ⇔ f2

Ejercicio:


Lógicamente Equivalente a f2

f1 = [(p → q) ∧ (q → r)] f2 = (p → r)

Solución:

Relacionando f1 y f2 mediante la bicondicional tenemos:

f1 ↔ f2

[(p → q) ∧ (q → r)] ↔ (p → r)



tenemos:

f1 f2

𝐩 𝐪 𝐫 p → q q → r (p → q) ∧ (q → r) p → r f1 ↔ f2

F F F V V V V V

F F V V V V V V

F V F V F F V F

F V V V V V V V

V F F F V F F V

V F V F V F V F

V V F V F F F V

V V V V V V V V

Una vez elaborado la tabla de verdad se verifica que la equivalencia entre:

[(p → q) ∧ (q → r)] ↔ (p → r) 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

Luego:

([(p → q) ∧ (q → r)] ↔ (p → r)) = F


(f1 ↔ f2) = F

Por lo tanto, no existe una Equivalencia Lógica entre:

f1 ⇎ f2


1. Ejercicio: (Es una Equivalencia Lógica)


Equivalente Lógicamente a f2

f1 = (p ⟷ q)

f2 = [(p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)]

2. Ejercicio: (Es una Equivalencia Lógica)



f1 = [p → (~q ∨ r)] f2 = [~(q ∧ p) ∨ r]

3. Ejercicio: (no es una Equivalencia Lógica)



f1 = [(p ∧ q) → r] f2 = [q → (p → r)]


4. Ejercicio: (no es una equivalencia lógica)



f1 = [p ∧ (q ∨ r)] f2 = [(p ∧ q) ∨ (q ∧ r)]


1.5.5.4.3. Proposiciones asociadas a la Condicional

Las proposiciones asociadas a una condicional directa, son proposiciones

obtenidas por la conmutación y/o negación del antecedente y el

consecuente.

Directa Contraria Recíproca Contrarecíproca

𝐩 𝐪 𝐩 → 𝐪 ~𝐩 → ~𝐪 𝐪 → 𝐩 ~𝐪 → ~𝐩

F F V V V V

F V V F F V

V F F V V F

V V V V V V

La Directa es Lógicamente Equivalente a la Contrarecíproca

p → q ⇔ ~q → ~p

La Contraria es Lógicamente Equivalente a la Recíproca

~p → ~q ⇔ q → p


1.5.5.4.4. Principio de Sustitución

Sean 𝐟𝟏 y 𝐟𝟐 dos fórmulas proposicionales, tal que 𝐟𝟏 ⇔ 𝐟𝟐, entonces 𝐟𝟏

puede ser sustituido por 𝐟𝟐 sin alterar el valor de verdad de las fórmulas

proposicionales, ni la equivalencia lógica entre 𝐟𝟏 y 𝐟𝟐


1.5.6. Leyes de la Lógica Proposicional

Idempotencia

(p ∧ p) ⇔ p

(p ∨ p) ⇔ p

Conmutatividad

(p ∧ q) ⇔ (q ∧ p)

(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p)

(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) (p ↔ q) ⇔ (q ↔ p) (p ↑ q) ⇔ (q ↑ p)

(p ↓ q) ⇔ (q ↓ p)

Asociatividad

[(p ∧ q) ∧ r] ⇔ [p ∧ (q ∧ r)] [(p ∨ q) ∨ r] ⇔ [p ∨ (q ∨ r)] [(p ↔ q) ↔ r] ⇔ [p ↔ (q ↔ r)]

[(p ∨ q) ∨ r] ⇔ [p ∨ (q ∨ r)]


Distributividad

[p ∧ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] [p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] [p → (q ∧ r)] ⇔ [(p → q) ∧ (p → r)] [p → (q ∨ r)] ⇔ [(p → q) ∨ (p → r)] [p → (q ↔ r)] ⇔ [(p → q) ↔ (p → r)]

Leyes de la condicional (implicación material)

(p → q) ⇔ (∼ p ∨ q)

(p → q) ⇔ (p ↑ ∼ q) (p → q) ⇔ (∼ q → ∼ p) Directa / Contrarecíproca

(q → p) ⇔ (~p → ~q) Recíproca / Contraria [p → (q → r)] ⇔ [q → (p → r)] [(p ∧ q) → r] ⇔ [p → (q → r)] [(p ∧ q) → r] ⇔ [q → (p → r)]

Leyes de la bicondicional (equivalencia material)

(p ↔ q) ⇔ [(p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q)] (p ↔ q) ⇔ [(p → q) ∧ (q → p)] (p ↔ q) ⇔ (∼ p ↔ ∼ q)


(p ↔ q) ⇔ (∼ q ↔ ∼ p)

(p ↔ q) ⇔∼ (p ∨ q)

Negación de las operaciones binarias

∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p ∨ ∼ q) Ley de De Morgan

∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q) Ley de De Morgan

∼ (p → q) ⇔ (p ∧ ∼ q)

∼ (p ↔ q) ⇔ (p ∨ q)

∼ (p ↔ q) ⇔ (∼ p ↔ q) ∼ (p ↔ q) ⇔ (p ↔ ∼ q) ∼ (p ↔ q) ⇔ (p ∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q) ∼ (p ↑ q) ⇔ (p ∧ q)

∼ (p ↓ q) ⇔ (p ∨ q)

∼ (p ∨ q) ⇔ (p ↔ q)

Leyes de identidad (p ∧ T) ⇔ p (T es elemento neutro en ∧)

(p ∧ F) ⇔ F (F es elemento absorbente en ∧)

(p ∨ T) ⇔ T (T es elemento absorbente en ∨)


(p ∨ F) ⇔ p (F es elemento neutro en ∨)

(p ∨ F) ⇔ p (F es elemento neutro en ∨)

(p ∨ p) ⇔ F (Idempotencia en ∨)

(T → p) ⇔ p (T es elemento neutro en →)

(p → T) ⇔ T (T es elemento absorbente en →)

Leyes de complementación (p ∨ ∼ p) ⇔ T Ley del tercero excluido

(p ∧ ∼ p) ⇔ F Ley de contradicción

∼ T ⇔ F

∼ F ⇔ T

∼ (∼ p) ⇔ p Ley de involución o de doble negación

Leyes de absorción

[p ∧ (p ∨ q)] ⇔ p

[p ∨ (p ∧ q)] ⇔ p

Primeros principios de la lógica

∼ (p ∧∼ p) ⇔ T Principio de no contradicción

p ∨ ∼ p ⇔ T Principio de tercero excluido


p → p ⇔ T Principio de identidad

Leyes bajo la forma de Equivalencia Lógica

(p ∧ q) ⇔ ∼ (p → ∼ q)

(p ∨ q) ⇔ ∼ p → q

(p ∨ q) ⇔ ∼ [(p → q) → ∼ (q → p)]

(p ∨ q) ⇔ (p ∨ q) ∧ (∼ p ∨ ∼ q)

Leyes bajo la forma de Implicación Lógica

p ⇒ (q → p) Ley paradójica

(p → ∼ p) ⇒ ∼ p 1ra Reducción al absurdo

(p ∧ ∼ p) ⇒ ∼ p 2da Reducción al absurdo

p ⇒ (∼ p → q) Ley del nuevo factor [(p → q) ∧ p] ⇒ q Modus ponendo ponens

[(p → q) ∧ ∼ q] ⇒ ∼ p Modus tollendo tollens [(p ∨ q) ∧ ∼ p] ⇒ q Modus tollendo ponens [(p → q) ∧ (q → r)] ⇒ (p → r) Silogismo hipotético [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r)] ⇒ (q ∨ s) Dilema constructivo

[(p → q) ∧ (r → s) ∧ (∼ q ∨ ∼ s)] ⇒ (∼ p ∨ ∼ r) Dilema destructivo


Disyunción Exclusiva XOR

(p ∨ q) ⇔ (p ∨ q) ∧ ∼ (p ∧ q)

⇔ (p ∨ q) ∧ (∼ p ∨ ∼ q)

⇔ (p ∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q)

⇔ (p ∨ ∼ q) ∧ (∼ p ∨ q)

Negación de la Conjunción NAND

(p ↓ q) ⇔ ∼ (p ∧ q)

⇔ ∼ p ∨ ∼ q

Negación de la Disyunción NOR

(p ↑ q) ⇔ ∼ (p ∨ q)

⇔ ∼ p ∧ ∼ q

Negación Disyunción Exclusiva

(p ∨ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q)

Negación de la Implicación

(p ← q) ⇔ p ∨ ∼ q


Negación de la Bicondicional

(p ↮ q) ⇔ p ∨ q

⇔ (p ∨ q) ∧ (∼ p ∨ ∼ q)

Adjunción

(p ↛ q) ⇔ ∼ (∼ p ∨ q)

⇔ p ∧ ∼ q

Negación de la Adjunción

(p ↚ q) ⇔ ∼ (p ∨ ∼ q)

⇔ ∼ p ∧ q


1.5.7. Simplificación de Fórmulas Proposicionales

Ejemplo:

Simplificar la siguiente fórmula proposicional a su mínima expresión.

f =∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) Sea:

∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) ⇔ (∼ p ∧∼ q) ∨ (∼ p ∧ q) Ley de De Morgan

⇔ [(∼ p ∧∼ q) ∨∼ p] ∧ [(∼ p ∧∼ q) ∨ q] Distributividad

⇔ [∼ p ∨ (∼ p ∧∼ q)] ∧ [q ∨ (∼ q ∧∼ p)] Conmutatividad

⇔ [∼ p] ∧ [q ∨ (∼ q ∧∼ p)] Ley de Absorción

⇔∼ p ∧ [(q ∨∼ q) ∧ (q ∨∼ p)] Distributividad

⇔∼ p ∧ [T ∧ (q ∨∼ p)] Principio de Tercero Excluido

⇔∼ p ∧ [q ∨∼ p] T es elemento neutro de la ∧

⇔∼ p ∧ (∼ p ∨ q) Conmutatividad

⇔∼ p Ley de Absorción


Por lo tanto:

∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) ⇔∼ p

Demostrando mediante tabla de verdad tenemos:

f2 f1

𝐩 𝐪 𝐩 ∨ 𝐪 ~(𝐩 ∨ 𝐪) ~𝐩 ~𝐩 ∧ 𝐪 ~(𝐩 ∨ 𝐪) ∨ (~𝐩 ∧ 𝐪) f1 ↔ f2

F F F V V F V V

F V V F V V V V

V F V F F F F V

V V V F F F F V

Entonces:

(f1 ↔ f2) = 𝐕 (Tautología)

Por lo tanto afirmamos que f1 es Lógicamente Equivalente a f2

f1 ⇔ f2


Ejemplo (Otra forma):

Simplificar la siguiente fórmula proposicional a su mínima expresión.

f =∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q)

Sea:

∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) ⇔ (∼ p ∧∼ q) ∨ (∼ p ∧ q) Ley de De Morgan

⇔∼ p ∧ (∼ q ∨ q) Distributividad

⇔∼ p ∧ (q ∨∼ q) Conmutatividad

⇔∼ p ∧ T Principio de Tercero Excluido

⇔∼ p T es elemento neutro de la ∧

Por lo tanto:

∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) ⇔∼ p


Simplificar las siguientes formulas proposicionales a su mínima expresión:

a) p ∨ [(p ∧ r) ∧ ~q]

b) (q ∧ p) ∨∼ (∼ p ∨ q)

c) (p → q) → p

d) (p → q) ∨∼ (q → q)

e) (p → q) ∧ (∼ p → q)

f) (∼ p ∨ q) ↔ [(∼ p → q) →∼ q]

g) (~q ⊻ ~p) ↔ (~r → p)


Demostrar que las siguientes formulas proposicionales son Tautología:

a) (p ∧ q) → p

b) ∼ (p ∧ q) → (p ∨ r)

c) (q →∼ q) ∨∼ (p ∧∼ p)

d) (p → q) ∨∼ (p ∨ q)

e) (p ∨ q) ↔ (∼ p → q)

f) (p → q) ↔ (∼ p ∨ q)

g) [p ∧ (p → q)] → q

h) (p ↓∼ q) ∨ q

i) (p ∧ q) → (p ∨∼ r)

1. lÓgica...una proposición es una afirmación que puede ser verdadera o falsa. los valores de...

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