1 definicion de indicador social -...
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL
MAESTRIA EN EDUCACIÓN Y DESARROLLO SOCIAL
Trabajo de grado para la obtención del título de: Máster en Educación y Desarrollo Social
TITULO
"ANÁLISIS Y PROPUESTA METODOLÓGICA PARA LA ENSEÑANZA EN EL ÁREA DE MATEMÁTICAS DEL CICLO BASICO DE LAS UNIDADES EDUCATIVAS DOBRONSKY Y RUBIRA DE LA CIUDAD DE SALINAS PERIODO 2010 - 2011"
Autor: Ing. José Raúl Terán Palloroza
Directora: Patricia A. Cadena MBA.
Salinas, Ecuador Julio 2011
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DEDICATORIA
Si la vida me diera un camino hacia la Sabiduría, no dudaría en seguirme
preparando y fortaleciendo mis conocimientos y el amor por mi esposa Yolanda y mis hijos
Christian, Diego y Alexandra, las razones de mis satisfacciones
y alegrías, a ellos dedico este trabajo.
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AGRADECIMIENTOS
A Dios el ser supremo de nuestra existencia y benefactor de la vida de cada día, a la Universidad
Tecnológica Equinoccial quien nos brinda en todo momento capacitación y preparación, a mi
Directora de Tesis Máster Patricia Cadena por sus orientaciones y directrices acertadas y a
mis compañeros que de una u otra forma estimularon y ayudaron para la culminación
de este trabajo.
iv
RESUMEN
El objetivo de este estudio fue realizar un análisis efectivo de la metodología del aprendizaje-enseñanza de la asignatura de matemáticas, utilizada en el ciclo básico de los colegios Dobronsky y Rubira del cantón Salinas, para presentar una propuesta de enseñanza – aprendizaje de las matemáticas.
El método de estudio inductivo empleado para analizar el problema de la enseñanza – aprendizaje de las Matemáticas, nos permitió encontrar varios problemas puntuales obtenidos en base a las encuestas y entrevistas, realizadas a 154 estudiantes y dos profesores de la asignatura de los dos colegios. Para determinar el número de encuestados utilizamos el “Muestreo Aleatorio Estratificado”.
Los resultados principales obtenidos en esta investigación demostraron la falta de capacitación periódica y regular de las matemáticas que deben tener los profesores dando como resultado una pobre aplicación de las técnicas de enseñanza y falta de estímulo y motivación a los estudiantes pues el 76.4% del colegio público y el 70.8% del colegio privado dijeron “NO” al preguntarle ¿Considera que es fácil el aprendizaje de las Matemáticas?. Es importante que los estudiantes desarrollen la comprensión de los conceptos y procedimientos matemáticos, enseñar matemáticas requiere ofrecer experiencias que estimulen la curiosidad de los estudiantes y construyan confianza en la investigación y la solución de problemas.
En la propuesta se expuso que las Matemáticas deben estar relacionadas con la realidad del medio de nuestros estudiantes y del avance tecnológico para que ellos tengan sentido al momento de estudiar y aprender, basándonos en tres líneas, la epistemología, la Psicología y la metodología.
La dificultad de aprender matemáticas en la educación de nivel básico, representa un problema general en todas las sociedades de ahí que es necesario incentivar y motivar al estudiante para pueda desarrollar sus destrezas, habilidades y razonamiento de los problemas matemáticos aplicados a su entorno y diario vivir.
Palabras Claves: Enseñanza- aprendizaje de las matemáticas en el nivel básico
v
ABSTRACT
The aim of this study was to realize an effective analysis of the methodology learning-teaching of mathematics program used in the middle schools of Dobronsky and Rubira in the Salinas canton, to present a proposal for teaching - learning of mathematics.
Inductive study method used to analyze the problem of teaching - learning of mathematics, allowed us to find several specific problems that are reflected in the surveys of 154 students from the two schools. To determine the number of respondents used the "stratified random sampling."
The main results obtained in this investigation demonstrate the lack of regular training of mathematics that teachers should have, giving the result of a poor application of teaching techniques and lack of encouragement and motivation to students, then the 76.4% of the public school and 70.8% of the private school said "NO" when asked: Do you think that the learning of mathematics is easy? Is important that students develop an understanding of mathematical concepts and procedures, teaching mathematics required to provide experiences that stimulate students' curiosity and build confidence in the investigation and resolution of problems.
In the proposal was exposed that mathematics must be related to the environmental reality of our students and the technological progress, so they can understand when studying and learning, based on three lines, epistemology, psychology and methodology.
The difficulty of learning mathematics at middle school level, is a general problem in all societies, hence the need to encourage and motivate the student to develop their skills, abilities and mathematical reasoning problems applied to their environment and daily life.
Keywords: Teaching-learning of mathematics at middle school level.
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TABLA DE CONTENIDO
Pág. CAPITULO I ............................................................................................................ 1
1 INTRODUCCIÓN.- ............................................................................... 1
1.1 Planteamiento del problema.- ............................................................. 2
1.2 Sistematización del problema ............................................................... 4
1.3 Formulación del problema .................................................................... 5
1.4 Preguntas de investigación .................................................................. 5
1.5 Justificación del tema ........................................................................... 5
1.6 Objetivos.- ............................................................................................ 7
1.6.1 Objetivo General.- ................................................................................ 7
1.6.2 Objetivos específicos.- ......................................................................... 8
1.7 Alcance de la Investigación.- ............................................................... 8
2. MARCO DE REFERENCIA .................................................................. 9
2.1 Marco Teórico ........................................................................................ 9
2.1.1 La educación media y las matemáticas.- ............................................. 9
2.1.2 El desarrollo de las matemáticas.- ..................................................... 15
2.1.3 Las matemáticas y el desarrollo de habilidades numéricas ............... 20
2.1.4 Currículo de matemáticas para la educación básica.- ....................... 22
2.1.5. Perfil del conocimiento profesional de las matemáticas.- .................. 26
2.1.6 Necesidades formativas del profesor de matemáticas.- .................... 27
2.1.7 Materiales, recursos y actividades para la enseñanza de matemáticas.-.............................................................................................. 29
2.1.8 Dificultades en torno al aprendizaje de la matemática ....................... 29
2.2 Marco Conceptual.- ............................................................................ 30
2.3 Marco Temporal Espacial.- ................................................................ 31
2.4 Marco Legal.- ..................................................................................... 33
2.5 Hipótesis.- ............................................................................................. 34
2.5.1 Hipótesis general.- ............................................................................. 34
2.6 Variables e indicadores.- ................................................................... 35
CAPITULO III ....................................................................................................... 38
3 METODOLOGÍA.- .................................................................................... 38
3.1 Unidad de Análisis.- .............................................................................. 38
3.2 Población.- ............................................................................................ 38
vii
3.3 Muestra: tipo y cálculo .......................................................................... 38
3.4 Tipo de investigación.- .......................................................................... 41
3.5 Prueba de Hipótesis.- ............................................................................ 41
3.6 Métodos de estudio.- ............................................................................. 43
3.7 Técnicas e instrumentos.- ..................................................................... 43
3.8 Fuentes de información.-....................................................................... 44
3.8.1 Primarias ............................................................................................ 44
3.8.2 Secundarias ....................................................................................... 44
CAPITULO IV ....................................................................................................... 46
4. RESULTADOS Y ANÁLISIS.- ................................................................. 46
4.1 Técnicas y metodologías actuales en el estudio de matemáticas ......... 46
4.2 Análisis de la Encuesta ......................................................................... 48
Pregunta N 1 ............................................................................................... 49
Pregunta Nº 2 .............................................................................................. 51
Pregunta Nº 4 .............................................................................................. 55
Pregunta Nº 5 .............................................................................................. 57
Pregunta Nº 6 .............................................................................................. 59
Pregunta Nº 7 .............................................................................................. 61
Pregunta Nº 8 .............................................................................................. 63
4.3 Resultados de la entrevista a los profesores........................................ 68
4.4 Ejercicio de Aplicación ......................................................................... 70
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.- ................................... 71
5.1 Conclusiones......................................................................................... 71
5.2 Recomendaciones.- ............................................................................... 73
LA PROPUESTA ................................................................................................... 75
BIBLIOGRAFIA.- ........................................................................................ 101
ANEXOS .................................................................................................... 105
viii
1
CAPITULO I
1 INTRODUCCIÓN.-
Se ha podido constatar que varios estudiantes llegan a la Universidad con
escasos conocimientos y deficiente manejo algebraico, especialmente las
operaciones con fracciones y exponentes, lo que nos lleva a tratar el tema
de la enseñanza de las Matemáticas que es muy sugestivo por varias
razones: en primer lugar, porque es un área, dentro del currículo escolar,
que no está suficientemente estudiada, si la comparamos, por ejemplo, con
el Lenguaje; en segundo lugar, porque, ya desde los primeros niveles de la
enseñanza, se constata un alto índice de fracaso escolar en esta materia,
siendo este hecho realmente preocupante; y, en tercer lugar, porque todo lo
que podamos averiguar en torno a esta materia nos va a permitir nuestra
formación como investigadores.
También, las reflexiones que vayan surgiendo a lo largo de esta
investigación pueden ser útiles a todas aquellas personas que, de una u otra
forma, se relacionan con la enseñanza de las Matemáticas y ciencias
exactas en general. Si tenemos en cuenta que diariamente se está poniendo
en práctica y que ésta necesariamente exige por parte del profesorado
esfuerzos serios de reflexión y autoevaluación, la incorporación a la práctica
docente de formas más actuales y significativas de enseñanza, así como de
modelos de análisis de auto-indagación de la propia práctica docente,
conocer la conducta observable de los profesores que enseñan
Matemáticas, también se trata de profundizar en sus pensamientos,
describiendo, en la medida de lo posible, el contenido de sus creencias.
Cuando un profesor planifica su trabajo, interactúa en clase o evalúa a sus
alumnos, lo hace guiado por sus concepciones o creencias sobre las
Matemáticas y sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje de las mismas.
Los profesores no actúan ni desarrollan su trabajo mecánicamente; bajo sus
acciones subyacen unas creencias, que se han ido elaborando a lo largo de
su vida, y que influyen sobre su enseñanza.
2
El mejoramiento de la educación, permite también un mejoramiento en el
desarrollo sostenido y sustentable de una sociedad, teniendo como principio
básico la equidad y por ende el equilibrio de la enseñanza – aprendizaje
tanto en los planteles públicos como privados.
Los procesos de enseñanza – aprendizaje de las matemáticas empleados
en los colegios particulares y públicos, nos permiten hacer un análisis para
realizar una propuesta metodológica en la enseñanza de las matemáticas
en pos de mejorar la calidad de la educación en los colegios del Cantón
Salinas de la Provincia de Santa Elena.
Para mejorar la calidad de la educación entre otros factores, se debe
considerar la enseñanza y la motivación como elementos básicos e
indispensables en la formación y aprendizaje de los estudiantes.
Como indica René Thom (1959) "toda pedagogía de las Matemáticas,
aunque sea poco coherente, se basa en una filosofía de las Matemáticas".
Quiere esto decir que las creencias de las personas tienen sobre qué son
las Matemáticas y sobre el proceso de su enseñanza-aprendizaje, afectan a
la forma en que se presentan a los alumnos.
Debido precisamente a la diversidad de concepciones sobre el proceso de
enseñanza de las Matemáticas, no hay un acuerdo universal sobre qué es lo
que constituye una "buena enseñanza de las Matemáticas"
1.1 Planteamiento del problema.-
La realidad de los colegios pone en evidencia la variedad de situaciones
(personales, materiales) que se producen en el sistema y que parecen
difíciles de controlar puesto que, por un lado, están los individuos, alumnos
y las manifiestas diferencias aptitudinales surgidas a través de cada historia
personal; cada individuo, a su vez, revela distintas formas de procesar la
información emanada de la tarea o de las relaciones establecidas durante
3
los procesos de enseñanza-aprendizaje; todo ello, influirá en la variabilidad
de resultados, reproduciendo con cierta probabilidad la típica distribución
normal, pero la variabilidad de resultados no es un suceso independiente del
sistema y determinado únicamente por la varianza aptitudinal del alumnado.
Por otro lado, también se pueden diferenciar los resultados educativos entre
aulas, porque es el elemento activo del sistema y sobre el que las
metodologías, los estilos empleados por los docentes, las interacciones
personales, activan y desactivan las diferentes dinámicas del proceso.
Este proceso, a la vez, se relaciona con los contextos o situaciones
específicas que configuran diferencias entre escuelas en sus aspectos
económicos, sociales, organizativos e instructivos vinculados a la facilitación
del aprendizaje (recursos, materias, equipo personal)
La Educación debe cambiar la situación anteriormente descrita, controlando
los recursos necesarios para ajustarse a aquellas aptitudes del estudiante
propedéuticas del rendimiento educativo.
Para ello, debe partir de la situación concreta para la que se diseñará la
adaptación. Ya no se trata de escuelas e individuos en abstracto, sino de
alumnos y profesores con nombre y apellido, en un Centro determinado, en
un periodo de tiempo concreto y frente a una tarea particular.
Cada estudiante demuestra distintas formas de procesar una información
obtenida de una tarea o de los procesos de enseñanza por lo que permitirá
obtener una variabilidad de resultados y de ello dependerá su adaptación y
comprensión en el aprendizaje de las Matemáticas
Por último, el tipo de componentes que tenga la tarea determinara las
aptitudes y conductas de aprendizaje que el alumno debe emplear para
poder llegar a la solución con éxito. Si el estudiante no dispone de
esquemas claros o estos son inapropiados, entonces se deberán aplicar
componentes instructivos que intercedan en el proceso cognitivo del
estudiante para que éste pueda resolver la tarea.
4
Es por eso necesario que la instrucción o enseñanza sea mayor, más
directiva y estructurada, para facilitar al estudiante la resolución exitosa.
Según datos estadísticos del Departamento de Orientación y Bienestar
Estudiantil del colegio fiscal Dobronsky, el porcentaje de estudiantes con
promedios inferiores a 13/20 en matemáticas en el primer trimestre del
periodo lectivo 2009-2010 son: octavo B 40%, noveno B 30% y décimo B
32%, con este planteamiento del problema, se pretende conocer la situación
de cómo se imparten las clases de matemáticas y que metodología se
emplea para hacer las recomendaciones que sea menester.
La baja calidad de la educación y en particular la mala aplicación de
técnicas en enseñanza de ciencias exactas, es expresada a través de la
insatisfacción de los alumnos, produciéndose un desajuste entre lo que la
institución educativa ofrece con lo que realmente se cumple, que sumado a
la poca fomentación de valores, convierten a la educación en superficial y
conformista, se evidencia en varios estudiantes la carencia de
conocimientos teórico- prácticos sobre técnicas y métodos de estudio, que
beneficien el razonamiento, la reflexión y conclusión.
El avance vertiginoso de la ciencia y la técnica, están dejando desfasados a
nuestros estudiantes y educadores principalmente por no tener una buena
infraestructura didáctica, no contar los profesores con suficientes seminarios
y talleres de actualización pedagógica y la falta de estímulos y motivación
tanto a docentes como discentes, no permiten mantener una buena relación
profesor – estudiante, con una visión clara del cambio que los actores
tienen del contenido matemático y del proceso didáctico.
1.2 Sistematización del problema
Según la problemática del bajo rendimiento académico de los estudiantes y
definido este en término del aprendizaje alcanzado por los alumnos durante y
al final del proceso enseñanza – aprendizaje, se cree que en parte el origen
de tales resultados pudieran ser el empleo de estrategias inefectivas.
5
De acuerdo a la opinión de varios autores esta situación se debe a diversas
causas, como son el empleo de estrategias instruccionales inadecuadas
(Gabaldon 1987), el desconocimiento por parte de los docentes de
conocimientos previos que tienen los alumnos ( Peñalosa 1986) y un conjunto
de factores como lo son lo relacionado con el currículo, el docente el
estudiante, las tareas académicas requeridas la fundamentación legal, el
contexto socio cultural y las estrategias tanto instruccionales como de
aprendizaje (Solórzano 1991).
1.3 Formulación del problema
De qué manera la falta de metodología adecuada de la enseñanza en el área
de Matemáticas en la educación básica de secundaria, provoca problemas
en el estudiante mejorar las habilidades numéricas y cuantitativas aplicables
a las matemáticas.
1.4 Preguntas de investigación
¿Qué habilidades numéricas básicas debe tener el estudiante de secundaria? ¿Qué tiempo dedica el estudiante a las matemáticas? ¿Es necesario incrementar las horas de matemáticas en los pensum académicos?
1.5 Justificación del tema
El poco conocimiento de las operaciones matemáticas demostrado
especialmente por varios ex –estudiantes de colegios públicos y privados, en
el primer nivel universitario, de Finanzas y Administración de Empresas y
Negocios de la UTE extensión Salinas, fue la razón que motivo la necesidad
de investigar estos casos tanto en colegios públicos como privados, para
analizar la metodología de enseñanza matemática utilizada en el ciclo básico
y en base a esta sugerir el cambio de método para mejorar la calidad de
enseñanza - aprendizaje de la asignatura de Matemáticas.
6
La enseñanza – aprendizaje en las instituciones educativas deben estar
acorde con las innovaciones tecnológicas, pues este mundo globalizado así
lo exige, con el objeto de ser competitivos, ser una mano de obra calificada
con sólidas bases de conocimiento y destrezas necesarias para contribuir en
el desarrollo y desenvolvimiento de la producción.
El estudio y aprendizaje consiente de las matemáticas, es fundamental para
el desarrollo de habilidades y destrezas que el estudiante debe adquirir, para
que en un futuro inmediato o mediato, sea parte importante en el desarrollo
de la sociedad.
Solamente el 7% de los estudiantes en el Ecuador, es diestro en la materia
de Matemáticas, los docentes de esta asignatura, tienen deficiencias para
enseñar, no tienen libros adecuados para su preparación y los programas no
son actualizados
A ello se añade un problema de fondo: en muchas familias ecuatorianas no
hay estímulo suficiente, seguimiento o control de estudio en los niños y
adolescentes.
“De acuerdo al Sistema Nacional de Evaluación de la Calidad de la
Educación Aprendo, en el que se califican las destrezas en matemáticas, nos
da a conocer que el 80% de estudiantes se encuentra en un nivel básico y el
13% en el de avance (intermedio)”1, y con lo anotado anteriormente vemos
que solo siete de cada 100 alumnos están en capacidad de dominar las
destrezas y por lo tanto de pasar un año escolar.
Una de las causas principales del bajo rendimiento es la falta de preparación
del maestro en todos los niveles.
Varios institutos superiores de enseñanza y ciertas universidades, dan mayor
importancia a la parte pedagógica mientras que dejan relegada la parte
1 Archivo digital de noticias www.explored.com.ec El país reprueba matemáticas, julio/2000
7
científica. El profesor es diestro enseñando teóricamente Matemáticas pero
no sabe cómo enseñar y llegar a la conciencia del estudiante
En la Provincia de Santa Elena, uno de cada dos estudiantes cree que
fracasó en los números, aunque no pierda el año.
Esta situación produce además conflictos familiares y muchas veces
repitencia y deserción escolar. Los ejemplos sobran, de los 147 estudiantes
inscritos en primer curso del Colegio Rubira, 120 fueron promovidos a
segundo curso (81,43 por ciento). Es decir, que 27 perdieron el año (16,5 por
ciento).
Para el período lectivo 2006-2007 se estima que perdieron el año, a
nivel nacional, cerca de 131.000 estudiantes, en matemáticas o materias
afines a ella.
Otra de las razones del fracaso radicaría en la mala orientación vocacional.
No obstante, los responsables de los DOBE (Departamentos de Orientación y
Bienestar Estudiantil) no quieren enfrentar el problema y tratan de echarles la
culpa a los alumnos.
Los alumnos y alumnas, fracasan porque no logran terminar los ejercicios que
los maestros les envían a la casa. Otros/as, en cambio, no razonan y se
dedican a copiar a sus compañeros/as
1.6 Objetivos.-
1.6.1 Objetivo General.-
Realizar un análisis de la metodología de enseñanza - aprendizaje, de las
matemáticas para lograr establecer una situación actual y proponer la
metodología para la formación del educando y del educador consiguiendo
un mejoramiento en el rendimiento académico del área de matemáticas.
8
1.6.2 Objetivos específicos.-
Investigar las técnicas o metodologías actuales que se emplea en el
cumplimiento de los programas educativos en la asignatura de
matemáticas de octavo, noveno y décimo de educación básica.
Identificar y analizar críticamente los métodos utilizados por los
docentes para la enseñanza de las matemáticas.
Recomendar técnicas o metodologías que permita una mejor
comprensión en el razonamiento y aprendizaje de las matemáticas
1.7 Alcance de la Investigación.-
Con este trabajo, se contribuirá al mejoramiento de la calidad de la
enseñanza – aprendizaje de las matemáticas en el ciclo básico De losl
colegio Dobronsky y Rúbira que son público y privado respectivamente,
ubicados en el cantón Salinas de la Provincia de Santa Elena durante el
periodo 2010-2011
La enseñanza – aprendizaje en las instituciones educativas deben estar
acorde con las innovaciones tecnológicas, pues este mundo globalizado a si
lo exige, con el objeto de ser competitivos, ser una mano de obra cualificada
con sólidas bases de conocimiento y destrezas necesarias, para contribuir en
el desarrollo y desenvolvimiento de la producción.
El estudio y aprendizaje consiente de las matemáticas, es fundamental para
el desarrollo de habilidades y destrezas que el estudiante debe adquirir, para
que en un futuro inmediato o mediato, sea parte importante en el desarrollo
de la sociedad
9
CAPITULO II
2. MARCO DE REFERENCIA
2.1 Marco Teórico
2.1.1 La educación media y las matemáticas.-
El sistema educativo actual debe tener la tendencia de trasmitir a los
jóvenes los conocimientos y técnicas necesarias para estar en sincronía con
el avance continuo de la ciencia y de la técnica caso contrario corremos el
riesgo de quedar desfasados en este mundo moderno y cambiante. Esto
traería como consecuencia un atraso en nuestra cultura científica y
tecnológica.
El objetivo de nuestro sistema educativo es que los estudiantes/as aprendan
a pensar y utilizar los procesos para comprender el cambio y encontrar
soluciones a los nuevos y diversos problemas que se presenten en su
entorno y así evitar caer en el facilismo, conformismo y subordinación a
procesos y métodos viejos de enseñanza
Las Matemáticas es una ciencia, que está formada por un conjunto de
conocimientos que están interrelacionados con otros campos de la ciencia y
de la técnica, lo que le obliga a estar en continua evolución y permitiendo
resolver muchos problemas prácticos que se presentan en nuestro diario
vivir.
Las Matemáticas son herramientas imprescindibles en las futuras
actividades profesionales, porque está incorporada en diversas y nuevas
tecnologías, en la realidad social y producción, creando en el estudiante la
necesidad de saber manejar estas herramientas en forma eficiente en la
solución de múltiples problemas y situaciones de todo tipo.
Conocer el lenguaje matemático es muy importante porque su utilización es
amplia por ejemplo en los medios de comunicación, publicaciones,
anuncios, etc., está presente en forma de gráficos, porcentajes, tablas,
10
representaciones de fechas, símbolos de siglos y otros, esto hace que su
lenguaje sea de carácter funcional e interpretativo.
En este sentido la aplicación de la enseñanza – aprendizaje de las
Matemáticas, debe ser de incidencia relevante para lo cual necesita que su
calidad, sea óptima tanto de la institución como la del educador.
La enseñanza de las matemáticas, debe orientar y contribuir al desarrollo de
habilidades mentales en los estudiantes, para lo cual el docente debe tener
un sólido respaldo teórico de la asignatura de Matemáticas y de los métodos
que emplee en dicha enseñanza siendo uno de los principales la motivación,
pero lamentablemente en nuestro país, muy pocos centros de estudios
tienen una buena infraestructura, buen material didáctico y buena calidad de
enseñanza, que facilite al estudiante comprender y asimilar los conceptos y
significados de las Matemáticas para su empleo o aplicación en las
diferentes actividades de su diario vivir, es decir que las Matemáticas
contribuyen al desarrollo de las capacidades mentales que son empleadas
en el razonamiento para la toma de decisiones.
Las Matemáticas son un conjunto de conocimientos en evolución que
relaciona y organiza una secuencia en el aprendizaje, aportando en la
formación integral del estudiante para crear procesos que permitan
desarrollar capacidades de carácter general y personal en la solución de
problemas cuantitativos.
El proceso de la formación y comprensión del conocimiento matemático, se
inicia desde la niñez y dependiendo su forma y característica de
razonamiento, que está en función de la edad, se le orientará a realizar
tareas que puedan hacerlo, de ahí que es muy importante que el docente
tenga una preparación psicológica y bien definido los objetivos principales
de la enseñanza que son:
- Desarrollar la capacidad del estudiante para realizar operaciones
matemáticas mediante el empleo y manejo de los conceptos
matemáticos.
11
- Desarrollar la aptitud para aplicar eficientemente los conocimientos
matemáticos en la solución de problemas cuantitativos que se
presenten en la vida real.
La educación en el Ecuador al igual que muchos países en Latino-América,
tiene muchos problemas y según un “autor indica que la educación en
nuestro país es dramática por la persistencia del analfabetismo, elevadas
tasas de repetición y deserción escolar, mala calidad de educación,
deficiente infraestructura y material didáctico” 2, bajo nivel de escolaridad,
entre otros, que si se logra revertir tendremos una población educada lista
para enfrentar los retos que impone actualmente la globalización de la
economía.
“En cambio se plantea 12 tesis para el cambio y mejoramiento educativo
pero el principal obstáculo que se debe superar es la pobreza imperante en
nuestro país, es allí donde se deriva la corrupción, el endeudamiento
externo, pago de la deuda, recorte del presupuesto social y como resultado
degradación de la educación pública y del derecho a la educación” 3
La buena calidad de la educación, impartida a los estudiantes/as, en un
futuro mediato permitirá mejores logros del ciudadano/na en la vida social,
industrial, mejores niveles de producción, facilidad de aprender y aplicar
nuevas tecnologías es decir tendremos una sociedad con bases sólidas de
educación.
En nuestro país estamos muy lejos de esa realidad, pues la mala calidad de
la educación se refleja claramente en los resultados obtenidos en las
PRUEBAS APRENDO que nuestros estudiantes de básica y bachillerato
obtuvieron. En término promedio podemos decir que es mala pues en 1996
hubo un promedio en Lenguaje y Comunicación de 10,43 y en Matemáticas
de 9,33 mientras que en el 2000 hubo 9,45 y 8,48 respectivamente.
2 VITERI, Galo, “Las Condiciones de Vida de los Ecuatorianos” año 2006 (pp 25)
3 TORRES, Rosa, “Canje de la deuda por educación” año 1995 (pp 37)
12
Incursionando en nuestro interés, que es encontrar nuevas metodologías de
enseñanza de la asignatura de matemáticas, recurrimos a las estadísticas
de los resultados obtenidos en las pruebas APRENDO:
Calificaciones promedio en tercer nivel
Pruebas aprendo 2000
Tipo de establecimiento
Promedio sobre 20
Tipo de Establecimiento
Particular Fiscal
Rural
Lenguaje y
Comunicación
10,95 9,84 8,43
Matemáticas
9,70 8,90 7,53
Fuente: COEA INFO (Corporación Centro de Estudios y Análisis: Boletín Informativo, No. 6, Quito, noviembre 2004, p. 2)
En el cuadro, nuevamente se evidencia la mala calidad de la educación en
nuestro país siendo un poco más acentuado en la educación pública y en la
rural, lo que redunda en un personal no calificado para el buen desarrollo de
nuestra sociedad. Abordar esta situación implica una reflexión sobre la
calidad de la enseñanza la misma que debe incluir todos los aspectos de la
problemática educativa, incluida la formación del profesorado de
matemáticas:
Dados estos resultados, se podría decir que la educación privada y
semiprivada, estaría en un nivel de enseñanza similar a la pública, pese a
que las aportaciones económicas son proporcionadas por los padres de
familia y representantes de los estudiantes para la adquisición de material
didáctico, por otra parte por lo general el número de estudiantes por aula es
menor y esto facilita para que el profesor puede enseñar con mayor
facilidad, siendo un aporte para mejorar la calidad de la educación y no se
ve reflejado en forma marcada en el resultado de las pruebas APRENDO.
13
El gobierno a través del Ministerio de Educación con los resultados de las
pruebas censales SER ECUADOR 2008, oficializó el 4 de junio 2008, la
implementación de las pruebas SER DEL ECUADOR, para la evaluación
del desempeño de los estudiantes, con la adopción de una nueva
metodología, aumentando dos asignaturas más (Ciencias Naturales y
Estudios Sociales). Estas pruebas SER (Sistema de Evaluación y Rendición
de cuentas en la Educación) se utilizará para monitorear el nivel académico
de los planteles educacionales mediante el Plan Decenal de Educación y
sus resultados se conocerán en el 2011.
En una publicación “indica que los resultados de las últimas pruebas
APRENDO del 2007 que fueron tomadas a 23634 estudiantes de las 22
provincias del país, se obtuvo un promedio de 12,0/20 en Lenguaje y
07,5/20 en Matemáticas”4, lo que demuestra que el currículo o reformas en
la asignatura de matemáticas no llena las expectativas esperadas, al
contrario, en vez de mejorar, está cada vez empeorando más.
Si observamos desde el inicio cuando el niño debe acudir a centros de
estudios obligatorios como el sistema pre-primario y primario, muchos niños
no acuden a su debida edad a las aulas, por ignorancia de sus custodios,
principalmente ocurre en las áreas marginales de la ciudad y rurales, pues
pese a existir programas de servicio a la comunidad no todas las familias
participan y prefieren dejar a sus niños en sus casas con llaves o al cuidado
de la hermana/o mayor porque sus custodios trabajan en largas jornadas y
muy lejos de sus hogares.
En las investigaciones preliminares, observamos que la enseñanza –
aprendizaje de las matemáticas en la educación básica de los colegios tanto
pública como privada, en la Provincia de Santa Elena, adolecen de una
mala calidad para lo cual enfocaremos nuestro análisis y descripción en
cuatro dimensiones a saber:
- Capacitación del profesorado de Matemáticas.
4 Diario El Telégrafo del 17 de junio del 2008.
14
- Modelos pedagógicos empleados por los educadores.
- Cumplimiento de los programas educativos en los colegios.
- Políticas y procedimientos empleados para disminuir la tasa de repetición
y abandono de los estudios.
En esta tarea, debemos tomar conciencia educadores, padres y en general
seres humanos adultos para estar comprometidos en la educación porque
esta es un proceso sociocultural orientado a formar ciudadanos íntegros
para el buen desarrollo de la sociedad.
Dentro de los principales indicadores para revisar el porqué de la mala
calidad de educación en nuestro país, tenemos el analfabetismo, repetición
y deserción escolar, niveles de aprendizaje, grado de preparación de
profesores, presupuesto para la educación, entre otros.
La información que se obtenga en el desarrollo de los objetivos específicos,
nos dará la pauta para ir analizando en forma crítica- constructiva los
modelos y métodos matemáticos empleados en la enseñanza de las
matemáticas a si como también el grado de preparación de los educadores
de esta asignatura, para emplear la metodología que se podría utilizar en la
enseñanza matemática ya que el profesor tiene la función de organizar a
través del diseño e implantación, un encuentro entre el estudiante y su
entorno para permitir el surgimiento del conocimiento, este encuentro debe
buscar en todo momento la creatividad, el razonamiento y destrezas para la
solución del problema que se presente.
Dentro de sus principios la educación rescata los valores de la sociedad,
prepara al ser humano con destrezas, habilidades y conocimientos para el
buen desempeño en su diario vivir y en el trabajo, debe contribuir a formar
una conciencia crítica en este mundo globalizado, donde impera las
finanzas y el comercio sin importar al que menos tiene, creando una
competencia desigual, de ahí que la educación debe orientar la formación
de capacidades para la creación de proyectos que beneficien tanto
individual como colectiva para el mejoramiento de su entorno y si a esto
sumamos los grandes avances científicos y tecnológicos en el que avanza
15
vertiginosamente nuestro mundo, la educación está obligada a preparar las
futuras generaciones para que puedan integrarse a esta sociedad
cambiante con capacidad, habilidad, conocimiento y razonamiento.
Todo sistema educativo debe orientar y contribuir la formación integral de
los educandos para que estos constituyan las bases del progreso de la
sociedad en la que se desenvuelve, promoviendo el desarrollo de su
identidad personal y cultural pero enmarcado en el respeto de los derechos
humanos.
La formación del educador tiene varios campos de actuación pero no es
llevado con una buena programación por parte de las autoridades
nacionales de educación en la que también se incluye la Universidad. Es
necesario que existan planes que permita la regulación de la formación del
educador para ir alejando al fantasma de la mala calidad de la educación.
Un modelo de capacitación docente para un profesor de la asignatura de
matemáticas de educación básica, debe estar estructurado del conocimiento
genérico y especializado, científico y técnico, en el área del conocimiento
matemático, sobre los contenidos, métodos y aplicaciones que le permita
emplear habilidades en las competencias de relación interpersonal con una
comunicación ágil y eficaz en la enseñanza y orientación matemática.
La capacitación del docente que imparte sus conocimientos matemáticos, es
fundamental para mejorar la calidad de la enseñanza y debe existir un
sistema de evaluación de los profesores que permita conocer su buen o mal
desempeño docente.
2.1.2 El desarrollo de las matemáticas.-
A mediados del siglo XIX se introduce en las matemáticas la lógica
matemática o simbólica y de esta manera se amplía el concepto de esta
“Matemáticas es la ciencia de la cantidad y de sus propiedades y
16
relaciones”, mientras que los griegos la definen como “Ciencia que se ocupa
del estudio de los números y de las figuras”5.
Estos conceptos nos indican la importancia que tiene esta ciencia en la
educación y en nuestro diario vivir. Con la invención de la computadora las
matemáticas han evolucionado y seguirá evolucionando con el avance
tecnológico y por ende el educador de esta asignatura debe estar
actualizado en las metodologías de enseñanza matemática.
Desde hace mucho tiempo y en la actualidad, la necesidad de contar,
organizar y clasificar, obligó al ser humano crear modelos y procedimientos
de análisis de medidas, cálculos y estimaciones de orden cuantitativo y
espacial, esto permite que las matemáticas sea una ciencia en continua
actualización y expansión convirtiéndose en una herramienta útil de
aplicación en las ciencias de la vida y en general en las actividades diarias.
Las matemáticas es una ciencia exacta y deductiva la misma que es
utilizada en la introducción y aplicación de nuevos medios tecnológicos con
planteamientos diferentes tanto en su contenido como en la forma de
enseñanza.
El conocimiento matemático empleado como un sistema deductivo
constituye una herramienta importante para analizar, interpretar,
representar, explicar y predecir determinadas situaciones en nuestros
trabajos y en el diario vivir
Como disciplina científica, las matemáticas se fundamentan en sus
conceptos como base de otros en forma secuencial caracterizada, por ser
un instrumento de comunicación concisa y exacta. Las matemáticas aportan
la formación integral del ser humano desarrollando su capacidad de
pensamiento, reflexión lógica y adquisición de un conjunto de herramientas
que le permita explorar, representar, explicar y predecir una realidad.
5 Enciclopedia Temática Estudiantil, océano 1997 matemáticas pag. 2
17
La metodología debe ser evaluada para lo cual se deben crear estrategias
personales con el afán de analizar situaciones concretas. Se recomienda
emplear técnicas sencillas en la recolección de datos para presentarlos de
forma gráfica y numérica, creando un juicio y valoración de la misma.
El área de matemáticas tiene como valor fundamental dentro del sistema
educativo buscar estrategias para resolver problemas en diferentes campos
con el objeto de permitir, anticipar y predecir hechos o resultados antes de
que estos se produzcan.
Como se puede observar el conocimiento matemático debe fortalecerse
basado en un correcto programa de aprendizaje de matemáticas, con
objetivos claros que debe iniciarse desde la etapa pre-escolar, “considera
que el desarrollo de la inteligencia de los niños es una adaptación del
individuo al mundo que lo rodea, es decir que el proceso inicia con una
forma de pensar propia de acuerdo al grado de madurez del individuo ya
que la inteligencia como se sabe, se desarrolla a través de un proceso de
maduración y aprendizaje” 6.
En la malla curricular, la asignatura de matemáticas tiene la misión de
desarrollar capacidades en los estudiantes y en especial a los del ciclo
básico, que es motivo de esta investigación, en las operaciones
matemáticas y la aptitud para la utilización eficaz los conocimientos
matemáticos en su diario vivir.
Los contenidos de la asignatura de matemáticas deben estar enlazados con
un lenguaje que permita que el estudiante/a interprete y utilice las
operaciones algebraicas eligiendo la notación más adecuada, para
representarlo gráficamente con la elaboración de códigos, tablas,
alfanuméricos y porcentajes si las condiciones de la solución del problema
así lo exige.
6 PIAGET Seis estudios de psicología. Obras Maestras Del Pensamiento Contemporáneo Editorial
Artemisa, S. A. De C. V. México. 1985M.
18
Los educadores tenemos que enfrentar retos y uno de ellos, es ir de la
mano con los adelantos de la ciencia y de la técnica, que avanza a pasos
agigantados, caso contrario corremos el riesgo de quedar con los
conocimientos que se utilizaron en el pasado es decir fuera del contexto de
este mundo cambiante.
El análisis de todo estudio y por ende el de nuestra futura metodología,
debe ser evaluada porque nos permitirá tener indicadores sobre el
aprendizaje matemático y su aplicación se verá reflejada en un papel activo
en la capacidad de los estudiantes/as, para utilizar sus competencias
matemáticas con el propósito de afrontar los desafíos y retos futuros.
La noción de alfabetización matemática podemos utilizar para referirnos
como un indicador de la capacidad de los estudiantes para utilizar sus
competencias matemáticas en su entorno. Esta noción se define como:
“La capacidad individual para identificar y entender el papel que las
matemáticas tienen en el mundo, hacer juicios bien fundados y usar e
implicarse con las matemáticas en aquellos momentos en que se presenten
necesidades en la vida de cada individuo como ciudadano constructivo,
comprometido y reflexivo”7.
El desarrollo de las matemáticas en la calle y en los mercados, es
sorprendente, se puede observar que adultos, adolescentes y niños con un
pobre o casi nada de conocimientos, son diestros en operaciones
aritméticas, multiplican, suman y restan sin dificultad, por ejemplo al vender
varios artículos con diferentes precios y pesos, cobran con exactitud la venta
realizada, “hacen un interesante análisis sobre la deserción y el fracaso
escolar producto de la llamada “privación cultural” o de los “individuos
marginados”, mostrando deficiencias en las funciones psiconeurológicas
básicas para la lectura y las matemáticas e incluso un pobre concepto de sí
mismo, sentimientos de culpa y vergüenza, sin embargo se han realizado
observaciones que indican incongruencias entre el desempeño de los
sujetos “culturalmente desfavorecidos” en situaciones formales y
7 RICO, Francisco, Estudio de Literatura y Otros 2002
19
experimentales, y en situaciones informales o cotidianas, por ejemplo en el
estudio realizado indica que el uso de las matemáticas cuando el padre
tiene un puesto en la feria, los hijos que le acompañan cuyas edades son
aproximadamente de 10 años o más, ayudan en las transacciones y
asumen la responsabilidad de la venta de parte de las frutas y verduras,
resolviendo innumerables problemas matemáticos en muchos de los casos
sin utilizar papel y lápiz”8.
En la obra antes mencionada, relata que experimentaron con un grupo de
niños y adolescentes realizando 63 preguntas de matemáticas en un
examen informal y 99 preguntas en un examen formal. En el examen
informal, las preguntas y los problemas eran resueltos de forma verbal o sea
lo que sucedía en la feria cuyo método de estudio se asemeja al método
clínico-piagetiano es decir el entrevistador interviene directamente en el
transcurso de los acontecimientos con el objeto de encontrar procesos por
los que el investigado obtiene las respuestas, es decir el entrevistador
participa en forma interactiva entre comprador y vendedor en cambio el
examen formal fue resuelto en forma de operaciones aritméticas con la
utilización del lápiz y papel y los resultados fueron que de los 63 problemas
del examen informal fueron resueltos correctamente el 98.2% mientras que
en el examen formal donde se utilizó el lápiz y el papel, se resolvieron el
73.7% de los problemas, esto demuestra que en el desarrollo de las
matemáticas en la calle y en la escuela difieren y el profesor para obtener
buenos resultados de su enseñanza, comprender la capacidad real del
alumno para establecer una conexión del conocimiento matemático formal
con el conocimiento práctico del estudiante.
Esto demuestra que los niños y adolescentes en situaciones extra clases,
son capaces de resolver correctamente varias operaciones matemáticas
básicas por vía oral es decir informalmente y en situaciones escolares
fracasan al resolver los mismos problemas matemáticos por la vía escrita es
decir formalmente.
8 CARRAHER, Terezinha, CARRAHER, David, Schlieman, Analúcia, “En La Vida diez, y en la
escuela cero” 1991
20
Estos resultados contradictorios nos dan a entender que en el interior de las
instituciones de educación no se le da valor al cálculo oral y por ende a este
tipo de saber popular.
La ciencia Matemática que se ha ido construyendo desde inicios de la
historia, fue hecha por seres humanos por alguna razón o por motivación la
misma que pude ser de varios tipos por ejemplo una respuesta a un
problema de la vida cotidiana, responder preguntas naturales de la propia
matemática. En definitiva las matemáticas se encuentran inmersas en una
red de dependencias y motivaciones frecuentes.
2.1.3 Las matemáticas y el desarrollo de habilidades numéricas
Como ya se explicó en el apartado 2.1.2. la necesidad de contar, organizar y
clasificar, obligó al ser humano crear modelos y procedimientos de análisis
de medidas, cálculos y estimaciones de orden cuantitativo y espacial. En
este contexto la complejidad de los problemas planteados en la didáctica de
las matemáticas produce dos reacciones extremas. En la primera están los
que afirman que la didáctica de la matemática no puede llegar a ser un
campo con fundamentación científica y, por lo tanto, la enseñanza de la
matemática es esencialmente un arte. En la segunda postura encontramos
aquellos que piensan que es posible la existencia de la didáctica como
ciencia y reducen la complejidad de los problemas seleccionando sólo un
aspecto parcial al que atribuyen un peso especial dentro del conjunto, dando
lugar a diferentes definiciones y visiones de la misma.
La didáctica como actividad general ha tenido un amplio desarrollo en las
cuatro últimas décadas de este siglo. Sin embargo, no ha acabado la lucha
entre el idealista, que se inclina por potenciar la comprensión mediante una
visión amplia de la matemática, y el práctico, que clama por el
restablecimiento de las técnicas básicas en interés de la eficiencia y
economía en el aprendizaje. Ambas posturas se pueden observar tanto en
los grupos de investigadores, innovadores y profesores de matemáticas de
los diferentes niveles educativos.
21
La habilidad numérica (y el desarrollo de esta) implica la agilidad mental
para realizar operaciones con números. Esta habilidad es especialmente útil
para el desarrollo de la lógica y el razonamiento.
Los siguientes ejercicios desarrollan la habilidad numérica, pero también
ayudan a desarrollar la concentración y la capacidad de visualización,
integrando estas habilidades para cumplir un objetivo principal: la agilidad
mental en todo tipo de operaciones.
Las exigencias actuales toman a muchas personas desprevenidas, ya que
desde nuestros primeros conocimientos los contenidos que nos enseñan no
siempre van acompañados de una metodología apropiada de aprendizaje.
Luego, cuando muchos necesitan estar actualizados o simplemente
necesitan terminar una carrera, se encuentran con dificultades ya sea de
asimilación de información, de retención, de aplicación o, en la mayoría de
los casos, no les alcanza el tiempo para estudiar.
Las técnicas más efectivas para estudiar y desarrollar estas capacidades y
habilidades numéricas, están aplicadas a:
La concentración
La memoria
La comprensión de textos
El análisis de textos
La oratoria
La creatividad
El razonamiento
El papel del juego en matemática es también importante ya que la
matemática desde siempre ha tenido una componente lúdica que ha sido la
que ha dado lugar a una buena parte de las creaciones más interesantes
que en ella han surgido. El juego y la matemática tienen tantos rasgos
comunes no es menos cierto que participan de las mismas características
en lo que respecta a su propia práctica.
22
El Ministerio de Educación define el juego a toda actividad lúdica en la que
los participantes quieren lograr un mismo objetivo, cumpliendo reglas
previamente aceptadas por ellos. También define los juegos matemáticos,
son los juegos que permiten dinamizar el pensamiento, coadyuvando al
logro de aprendizaje en el área de matemática.9
El juego comienza con la introducción de una serie de reglas, un cierto
número de objetivos o piezas, cuya función en el juego viene definido por
tales reglas exactamente de la misma forma en que se puede proceder en el
establecimiento de una teoría matemática por definición implícita. (Hilbert,
Grundlagen der geometrie).
Quien se introduce en la práctica de un juego debe adquirir una cierta
familiarización con sus reglas, relacionando unas piezas con otras al modo
como el novicio en matemáticas compara y hace interactuar los primeros
elementos de la teoría unos con otros. Estos son los ejercicios elementales
de un juego o de una teoría matemática.
Quien desea avanzar en el dominio del juego va adquiriendo unas pocas
técnicas simples que, en circunstancias que aparecen repetidas a menudo,
conducen al éxito. Estos son los hechos y lemas básicos de la teoría que se
hacen fácilmente accesibles en una primera familiarización con los
problemas sencillos del campo
2.1.4 Currículo de matemáticas para la educación básica.-
La promulgación de nuevas leyes de educación general acompañado de
una malla curricular y procesos pedagógicos diferentes a los anteriores, son
indicadores que nos dan a conocer la intención de mejorar la calidad
educativa.
9 Abarca Abarca, Sadith P. Método de enseñanza de resolución de problemas en el aprendizaje de las
matemáticas
23
Para que estas nuevas leyes y malla curricular alcance las metas
esperadas, entre otros, estas leyes, deben estar libre de la política y/o
ideologías políticas, que en nuestro país lo lideran partidos de la izquierda,
estos deben dar paso al trabajo consiente de expertos en una forma más
técnica así esta provenga de la oposición para obtener buenos resultados y
en lo posible formar una entidad autónoma que se preocupe en el
mejoramiento de la calidad educativa.
Las nuevas tendencias del desarrollo que exigen incrementar la
productividad y la competitividad de las naciones dentro de un mercado
globalizado y exigente, la educación debería estar contribuyendo a superar
deficiencias para ser competitivos con criterios de equidad, éticos y cívicos,
exigiendo reformas educativas principalmente en la educación media
La búsqueda de nuevas formas de relación de las entidades educativas
principalmente del nivel medio con la sociedad, exigen cambios en las
mallas curriculares orientadas a vincularse cada vez más con la comunidad
o su entorno y al mundo de la producción y del trabajo.
Estos factores se deben tomar en cuenta para propiciar el desarrollo y el
avance del conocimiento curricular sobre la enseñanza – aprendizaje, con el
objeto de profundizar sobre el papel de las nuevas tecnologías y su
incorporación al currículo matemático tomando en cuenta un proceso de
consultas, discusiones, estrategias y ante todo la reflexión de la nueva
implementación curricular.
El objetivo de toda malla curricular es de mejorar la calidad de la enseñanza
acorde con el avance tecnológico, para lo cual se debe conformar un grupo
de docentes comprometidos en el empleo de los recursos que la tecnología
pone al alcance de los centros educativos y el impacto que esta tendrá en el
currículo; esto permitirá fortalecer la capacitación del grupo de docentes que
se convertirán en los futuros maestros diseminadores del conocimiento y
experiencia de la aplicación del currículo en otras regiones del país.
24
Aplicar un cambio curricular es complejo, porque no es tan solo cambiar
algunos aspectos y adaptarlo al profesor y estudiantes, sino que se debe
concientizar y preparar políticas y procedimientos para poder poco apoco ir
introduciendo las nuevas innovaciones previa aceptación de profesores y
alumnos y de esta manera alcanzar los objetivos esperados por el currículo
cuya misión principal es la guía en los procesos de enseñanza, orientados a
la adquisición de determinados aprendizajes.
En Mayo de 1998, el Consejo Nacional de Educación presentó la Reforma
Curricular para la Educación Básica y dentro de esta la propuesta
consensuada de reforma curricular para la educación básica en el área de
matemáticas. Estas reformas nacen según el Consejo Nacional de
Educación, por la enseñanza tradicional de matemáticas, que es un proceso
mecánico y memorista antes que el desarrollo del pensamiento matemático.
Para lograr el mejoramiento de la calidad educativa, deben existir políticas y
procedimientos adecuados en las que se debe incluir una verdadera
capacitación profesional de los profesores de matemáticas para conseguir
una coordinación y continuidad de contenidos entre los niveles básicos de
educación matemática tomando como referencia el desarrollo evolutivo del
estudiante. En la reforma propuesta, por el Consejo Nacional de Educación
antes mencionado, los contenidos de los sistemas propuestos en el área de
matemáticas son:
1. Numérico
2. De funciones
3. Geométrico y medida
4. De estadística y probabilidad
Los objetivos propuestos de cada uno de los sistemas, en general proponen
la conceptualización, aprendizaje gradual, desarrollar destrezas propias del
pensamiento lógico – formal, con el objeto que el estudiante alcance el perfil
ideal en el proceso de inter-aprendizaje de la matemática.
25
Como se puede observar esta reforma curricular es muy bueno pero los
resultados obtenidos en las pruebas APRENDO y actualmente SER
(Sistema de evaluación y rendición de cuentas en la educación) no
satisfacen pues continuamos con una educación de mala calidad.
Dentro de los fines que persigue una malla curricular es el de resaltar la
importancia de los procesos en el aprendizaje de los alumnos poniendo
énfasis en el razonamiento, planteamiento y resolución de problemas con el
empleo de las nuevas tecnologías y de esta manera propiciar los cambios
en el currículo de matemáticas
La elaboración del currículo para la puesta en práctica en la enseñanza,
debe contener estrategias pedagógicas basadas en la resolución de
problemas, plan de actividades en el aula y evaluación del desempeño del
estudiante/a con el empleo de recursos tecnológicos, acorde con el avance
de la ciencia, pero ante todo esta elaboración del currículo debe estar
enmarcado con características específicas de cada región y etnia que tiene
el país.
El enfoque que se da a la educación como una fuente de equidad social, es
también una de las razones que motivaron las reformas curriculares
diseñadas de acuerdo a las características culturales y necesidades
sociales.
Para tener acceso a un derecho innegable que es una educación de calidad,
se debe disminuir la pobreza imperante en los países latinos y una de las
proyecciones del nuevo mileno señala que quienes no tengan los
conocimientos de lectura y escritura, un segundo idioma, conocimiento
científico, matemático y dominio de informática, no tendrán acceso a la
modernidad y no podrán considerarse como una persona alfabetizada. Este
objetivo implica que se debe concretar de forma inmediata una educación
de calidad a lo largo de toda la vida porque las innovaciones tecnológicas
están cambiando y mejorando cada día por lo que debemos estar listos
26
ante la exigencia de la modernización de las sociedades y de los procesos
de globalización.10
2.1.5. Perfil del conocimiento profesional de las matemáticas.-
El éxito de la enseñanza de cualquier asignatura, depende de cómo la lleve
el profesor responsable de la misma, la creación y utilización de
herramientas en la enseñanza matemática, debe permitir nuevas
creaciones de herramientas por parte de profesores y estudiantes y en la
enseñanza y solución de problemas matemáticos respectivamente, teniendo
en cuenta que los contenidos deben preparase en forma atractiva y sean
fáciles de manejar.
El buen desarrollo de estrategias pedagógicas para la enseñanza
matemática, están en función del grado de conocimiento teórico de la
asignatura por parte del profesor, este conocimiento debe aplicarlo en forma
práctica que comprenda valores y principios que guíen la acción, deben
estar bien enlazados el conocimiento pedagógico-didáctico con los
mecanismos de enseñanza-aprendizaje.
El docente es considerado como el eje central en el proceso de enseñanza
de matemáticas; en esta enseñanza el conocimiento y dominio basto de la
asignatura, actitud vocacional, así como el manejo eficiente de
metodologías didácticas son de gran importancia en el proceso de
aprendizaje de los alumnos/as y de ello depende que el maestro influya en
los estudiantes la satisfacción o insatisfacción en el aprendizaje de las
matemáticas. La tarea central de la enseñanza debe tener la característica
de conducir al alumno al aprendizaje en base a una buena calidad
educativa.
El profesor de matemáticas debe tener conocimientos y destrezas, para
sincronizar el aprendizaje con la enseñanza, partir de lo general y terminar
10
http://www.mineduc.cl/biblio/documento/200511101833410.MarcoCurriculardeEducBasica%20.pdf
27
en lo particular, de esta manera el aprendizaje se vuelve más sólido con la
adición de técnicas generales y particulares.
La autoevaluación es muy importante porque permite al profesor impartir sus
conocimientos en la enseñanza de matemáticas de una manera más
flexible, adaptándose a las diferentes circunstancias en el aprendizaje de
sus alumnos, verifica su metodología y debe aprovechar el trabajo de otras
personas especializadas en dicho campo, para emplear la información que
pueda serle útil.
2.1.6 Necesidades formativas del profesor de matemáticas.-
La capacitación y formación del profesor de matemáticas es muy importante
que se realice dentro de un marco de concientización y cumplimiento de
periodos regulares con el objeto de mantenerlo actualizado en el avance de
la ciencia y de esta manera incidir o contribuir en el mejoramiento de la
calidad educativa, se debe dar a los profesores charlas y exposiciones
animadas que despierten mayor interés en el conocimiento matemático y de
esa manera trasmita a los estudiantes para ayudarles en un razonamiento
creativo lógico-matemático.
En muchos discursos, seminarios y retóricas en general, se habla o se
expone que el profesor es la esencia de la calidad educativa, sin embargo
no hay un programa bien definido para su formación y capacitación, no goza
de estímulos profesionales, no tienen una remuneración decente, no se
propicia la atracción a los más capaces para la docencia y más bien lo que
se hace en nuestro país, es deteriorar las condiciones de vida y de trabajo
de los docentes, afectando en muchos de los casos su estima personal, en
esas condiciones el docente, no está en condiciones de ser un líder nato en
la sociedad y además afecta la calidad de de la educación.
En los sistemas curriculares o en proyectos de innovación curricular, se
expone que una de los componentes principales es la formación del docente
no solo en el sentido de profundizar sus conocimientos sino en cuestionar
28
sus prácticas educativas con miras a evolucionar su visión sobre las
matemáticas, la Reforma Curricular de 1998, contempla seminarios
intensivos y continuos para la capacitación del profesor de matemáticas,
centrados en la propia práctica docente y en el recurso tecnológico de
manera que se enriquezca permanentemente la reflexión teórica y la
experiencia práctica, sin embargo hasta la presente no se ha dado estos
cambios o innovaciones con efectividad.
El objetivo de la formación docente es adquirir y profundizar conocimientos
que le permita cuestionar sus prácticas educativas en la evolución de la
enseñanza matemática. Esta formación debe ser permanente y centrada en
la práctica docente en el aula y la utilización de recursos tecnológicos
actualizados por medio de seminarios intensivos y continuos que facilite el
uso de la tecnología y la reflexión sobre sus potencialidades educativas.
“Según un artículo exponen que una de las causas del bajo rendimiento en
matemáticas de los escolares, radica en la ausencia de un plan de
formación de profesores de secundaria que contemple los nuevos avances
sobre el currículo de matemáticas, la incorporación de nuevas tecnologías y
los procesos de aprendizaje basados en competencias” 11
La titulación académica en matemáticas debe ser el primer paso para la
formación inicial y profesional docente; la formación inicial de los futuros
profesores de matemáticas debe ser llevada con un buen plan de estudios
de tal manera de tener profesores con una cultura general sólida y con
fundamentos firmes en educación de valores.
Por otra parte se necesita que la formación del profesor de matemáticas, no
se quede únicamente en realizar cursos o seminarios sino que se produzca
realmente cambios de las actividades en el aula, aprovechar las nuevas
tecnologías con el objeto que las computadoras personales PC, sirvan como
ayuda para facilitar cálculos complicados y para fundamentar conceptos.
11 MARIN Y GUERRERO, “Una lectura del informe PISA desde la secundaria” 2005.
29
2.1.7 Materiales, recursos y actividades para la enseñanza de
matemáticas.-
El empleo adecuado de materiales, recursos pedagógicos en las actividades
de enseñanza de matemáticas permiten mantener el interés del estudiante,
se debe tener una acertada bibliografía, dependiendo de la unidad de
estudio y el uso de la tecnología especialmente con el empleo de
calculadoras que grafican funciones y resuelven ejercicios de Algebra.
Los materiales de apoyo conjuntamente con la capacitación docente,
constituyen una sólida herramienta para la enseñanza de matemáticas, el
comportamiento del profesor en el salón de clases está en función del grado
de conocimiento y de su visión acerca de las matemáticas, para ello se debe
utilizar la tecnología como nuevo agente didáctico y la necesidad de diseñar
situaciones didácticas que le permita enfrentarse a estas nuevas situaciones
para construir una nueva visión del contenido matemático.
2.1.8 Dificultades en torno al aprendizaje de la matemática
De acuerdo al Manual diagnóstico y estadístico de los trastornos mentales,
en su tercera edición (DSM–III), se considera que la dificultad para el
aprendizaje de la matemática existe:
– Cuando el desempeño es muy inferior con relación al esperado para la
edad y el nivel escolar.
– Cuando se produce un impacto importante en la escuela y la vida
cotidiana.
– Por el diagnóstico diferencial con los trastornos inespecíficos.
Dadas algunas circunstancias de la evolución histórica, las mismas que
justifican aspectos de la enseñanza y sus dificultades. En su origen
histórico, la aritmética fue una disciplina intuitiva-experimental; su invención
30
respondió a necesidades primarias y fundamentales en la vida del hombre
civilizado. De forma análoga, la enseñanza de la aritmética en su iniciación,
en la escuela primaria, se realiza siguiendo un camino empírico-intuitivo y
los conocimientos que se dan responden primordialmente a necesidades
fundamentales de carácter instrumental en la preparación para la vida. Hay
en esto una alteración del verdadero método de la matemática que es el
racional, y se debe a razones de carácter psicológico, ya que el rigorismo
lógico está fuera del alcance del niño. (Rebollo 2006).
2.2 Marco Conceptual.-
Metodología
La Metodología, es un proceso que nos orienta para aplicar un método o un
conjunto de métodos siguiendo una norma en la exposición o descripción de
una técnica aplicada. (www.aibarra.org)
Matemáticas
Las Matemáticas es una ciencia que pertenece al grupo de las exactas y
tiene su propio lenguaje en base de letras, números y símbolos, para
analizar y describir sistemas numéricos y generalizar relaciones
matemáticas. (www.econlink.com.ar/definición/ciencia).
Enseñanza pedagógica
La enseñanza pedagógica es una forma de impartir los conocimientos
mediante una justificación y planificación de los contenidos de la enseñanza
en forma práctica y sicológica es decir es la aplicación de una pedagogía en
forma disciplinada y con identidad propia. (www.oei.es/salactsi/ispajae)
31
Malla curricular
La malla curricular, son procesos pedagógicos diferentes a los anteriores
que se emplea en una área social con la idea de mejorar la calidad
educativa. (Bernal 2008)
Método
Es el conjunto de reglas, normas y procedimientos que sigue el investigador
para estudiar la realidad y adquirir conocimientos verdaderos de los
fenómenos de esa realidad. (Bernal 2008)
2.3 Marco Temporal Espacial.-
La presente estudio se desarrolló durante el año 2010 – 2011, en el cantón
de Salinas, Provincia de Santa Elena, la misma que cuenta con industria del
petróleo, industria pesquera, industria de la sal, industria alimenticia y una
gran actividad turística – hotelera.
Estas actividades requieren de personal técnico que entre otros
conocimientos, las matemáticas constituye un soporte básico para obtener
una mano de obra calificada.
Para identificar la relación entre los aprendizajes de los estudiantes de
básica con los conocimientos futuros tanto en el bachillerato como en la
universidad, es necesario determinar la característica común que tienen los
estudiantes de primer curso, haciendo que lleguen con escasos
conocimientos de matemáticas (lo demuestran las pruebas aprendo); tratar
de mejorar los conocimientos y habilidades del estudiante de primer año
ajustándose al curriculum del colegio, el estudiante no ha adquirido las
habilidades suficientes para ese nivel. Dada esta circunstancia que ha sido
la principal causa de estudio y análisis, se fundamente la propuesta de
mejorar la calidad de educación y en particular la enseñanza de matemática.
Las matemáticas hay que enseñarla teniendo en cuenta el lugar donde lo
hago. Es decir, en Quito no se debe enseñar matemática igual que en
32
Salinas, a no ser que se aclare las terminologías de una región con otra, son
dos contextos distintos. Hay una corriente que surge en el Brasil de la mano
de un profesor muy reconocido, Ubiratan D`Ambrosio que se denomina la
“Etnomatemática”. Tenemos que enseñar matemática en el contexto cultural
en el que estamos. No podemos olvidar eso. A partir de allí todo lo que
podamos realizar hay que hacerlo, eso incluye esfuerzo. Mucho esfuerzo, no
solo del maestro, también de la familia y fundamentalmente del estudiante.
La matemática moderna probablemente funcionó bien en Europa y América
del Norte, pero no en nuestro país. Tenemos otra idiosincrasia que soporta
nuestra educación. No podemos imponer una corriente de educación
importada cuando la base cultural es totalmente diferente.
Una de las diferencias con las demás ciencias es la manera de estudiar, en
matemática y otras ciencias, cuando se está frente a un proceso deductivo y
lo interrumpe, al retornar casi nunca retoma desde el mismo lugar. Se tiene
que volver necesariamente al principio, porque el camino de varios pasos, a
veces requiere que se tenga en claro lo que ocurrió en determinado punto
para llegar al paso siguiente. Esto es fundamental. Requiere completar
determinadas etapas, para luego interrumpir si es necesario.
A veces en matemática es más útil una hora de estudio, que tres como en
otros tipos de asignaturas, utilizados para consultar más bibliografías, más
horas de lectura. Comprender la demostración de un teorema es lo básico
para determinado aspecto. Esa comprensión requiere 1 hora o más.
Es muy importante el hábito de la lectura para el aprendizaje de las
matemáticas. “Si no sabes leer cómo puedes aprender e interpretar
matemática”, la lecto-comprensión es básica, cómo se puede interpretar un
teorema, si no se sabe lo que se lee, Lo mismo con una definición.
Para dar cumplimiento a la Política Sexta del Plan Decenal de Educación,
El Ministerio de Educación implanta con Acuerdo Ministerial 025 del 26 de
enero del 2009 el Sistema Nacional de Evaluación y Rendición Social de
Cuentas que evalúa cuatro componentes: la gestión del Ministerio y sus
33
dependencias, el desempeño de los docentes, el desempeño de los
estudiantes y el currículo nacional.
Sus objetivos fundamentales son el monitoreo de la calidad de la educación
que brinda el sistema educativo ecuatoriano y la definición de políticas que
permitan mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje.
El sistema de evaluación se complementa con la rendición social de cuentas
que consiste en la entrega de información transparente a la ciudadanía
sobre los resultados de los procesos de evaluación efectuados.
La evaluación del desempeño del estudiante pretende a través de la
aplicación de varios instrumentos de evaluación medir las actitudes y
aptitudes del estudiante como respuesta al proceso educativo; es decir, las
demostraciones de los conocimientos, habilidades, destrezas y valores
desarrollados, como resultado del proceso educativo y su aplicación en la
vida cotidiana.
Con las pruebas se aplican cuestionarios de contexto para evaluar los
factores intraescolares y extraescolares que inciden en el aprendizaje de los
estudiantes, la aplicación se ejecuta a través de un cronograma previamente
establecido.
2.4 Marco Legal.-
La Constitución Política del Estado, en los artículos 26 y 27 garantiza el
derecho de las personas a una educación de calidad:
Art. 26.- La educación es un derecho de las personas a lo largo de su vida y
un deber ineludible e inexcusable del Estado. Constituye un área prioritaria
de la política pública y de la inversión estatal, garantía de la igualdad e
inclusión social y condición indispensable para el buen vivir. Las personas,
las familias y la sociedad tienen el derecho y la responsabilidad de participar
en el proceso educativo.
34
Art. 27.- La educación se centrará en el ser humano y garantizará su
desarrollo holístico, en el marco del respeto a los derechos humanos, al
medio ambiente sustentable y a la democracia; será participativa,
obligatoria, intercultural, democrática, incluyente y diversa, de calidad y
calidez; impulsará la equidad de género, la justicia, la solidaridad y la paz;
estimulará el sentido crítico, el arte y la cultura física, la iniciativa individual y
comunitaria, y el desarrollo de competencias y capacidades para crear y
trabajar.
La educación es indispensable para el conocimiento, el ejercicio de los
derechos y la construcción de un país soberano, y constituye un eje
estratégico para el desarrollo nacional.
La Ley de Educación en su artículo 2 literal e, f, g dice:
e) Estimular el espíritu de investigación, la actividad creadora y responsable
en el trabajo, el principio de solidaridad humana y el sentido de
cooperación social;
f) Atender preferentemente la educación preescolar, escolar, la
alfabetización y la promoción social, cívica, económica y cultural de los
sectores marginados,
g) Impulsar la investigación y la preparación en las aéreas: técnica,
artísticas y artesanales.
Por lo tanto el estado está en la obligación de capacitar el personal docente
en los nuevos métodos, técnicas y estrategias para así cumplir con el
mandato constitucional de recibir una educación de calidad.
2.5 Hipótesis.-
2.5.1 Hipótesis general.-
La metodología de enseñanza en el área de Matemáticas en la educación
básica secundaria incide en el estudiante para mejorar sus habilidades
numéricas y cuantitativas aplicables en la educación superior.
35
2.6 Variables e indicadores.-
Variable Independiente:
La metodología de enseñanza en el área de Matemáticas en la educación
básica secundaria.
Variable Dependiente:
Mejores habilidades numéricas y cuantitativas aplicables en el área de
matemáticas en la educación superior.
36
2.6
V
ari
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nd
icad
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Ind
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(V
.D.)
38
CAPITULO III
3 METODOLOGÍA.-
3.1 Unidad de Análisis.-
Las unidades de análisis que se tomaron para nuestra investigación fueron los
cursos de educación básica de los colegios diurnos, mixtos, “DOBRONSKY”
que es público y “RUBIRA” que es particular, ambos situados en la ciudad de
Salinas, provincia de Santa Elena.
3.2 Población.-
La población de estudio estuvo constituida por estudiantes de educación básica
de dos colegios un fiscal y un colegio particular, en el colegio fiscal hay 48
alumnos promedio por curso dando un total de 144 estudiantes en ciclo básico
(solo se toma en cuenta un curso por nivel), mientras que en el particular hay
un promedio de 35 alumnos promedio por curso dando un total de 105 alumnos
en el ciclo básico del colegio; con estas referencias establecemos que la
población con la que contamos es de 249 estudiantes
3.3 Muestra: tipo y cálculo
Uno de los diseños más útiles, es el “muestreo aleatorio estratificado” ya que
divide a la población en segmentos homogéneos y a partir de ahí tomamos las
muestras aleatorias de las sub-poblaciones individuales para ser analizadas.
Este método de considerar la estratificación como condición suficiente para un
diseño de muestra adecuada, tiene fundamento en la teoría estadística, cada
estrato es una sub-población y en los procedimientos de selección utilizados
dentro del estrato deben aplicarse los principios del muestreo probabilístico
39
Colegio Dobronsky
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58
59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82
83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106
107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142
143 144
TOTAL 89 estudiantes para la encuesta
Colegio Rubira
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58
59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82
83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105
TOTAL 65 estudiantes para la encuesta
Se supone a veces que la estratificación es una condición necesaria, un deber
ser, para un diseño correcto.
En este caso en los cuadros del muestreo aleatorio estratificado tenemos que
corresponden al ordenamiento alfabético de los alumnos del colegio particular
Rubira y del colegio fiscal Dobronsky por lo que aleatoriamente fueron
designados los alumnos que nos ayudaran proporcionando los datos para
comprobar esta investigación.
40
La muestra para nuestro caso es de tipo Probabilística de Muestreo
Aleatorio Estratificado con afijación proporcional, por tanto aplicaremos la
siguiente fórmula:
QPNe
NQPn
*.)1.(
.*.22
2
Donde:
n = tamaño de muestra
N = tamaño de la población o universo (249 estudiantes)
e = error admisible, máximo hasta el 6% (en nuestro caso tomamos 5% =
0,05para un nivel de confianza del 95%)
= margen de confiabilidad
= 2 para un nivel de confianza del 95% que es dato para este caso
= 3 para un nivel de confianza del 99%
P*Q = Variabilidad máxima que se obtiene con P=0,5 y Q=0,5 dando como
resultado 0,25.donde:
P es la variabilidad de proporción positiva y
Q es la variabilidad de proporción negativa
Con estas indicaciones procedemos a calcular la muestra:
1547.153)5,0)(5,0(2)1249(05,0
249)5,0)(5,0(222
2
n
Para el cálculo de esta muestra se tomaron los datos indicados en la población
del punto 3.2 del presente trabajo y con los resultados del tamaño de esta
muestra y proporcionalmente al de la población antes anotada, se determinó
que el número de estudiantes a ser encuestados en el Colegio Dobronsky es
de 89 estudiantes y del Colegio Rubira es de 65 estudiantes
41
3.4 Tipo de investigación.-
Se trata de un estudio descriptivo, del problema de aprendizaje de las
matemáticas en los colegios fiscal y privado, también se utilizó la exploratoria
que es de tipo cualitativo porque se basa en las encuestas aplicadas a los
estudiantes del ciclo básico y la condición descriptiva del presente estudio, está
también dada, por el tipo de estadígrafos que se utilizaron para el
procesamiento y análisis de los datos.
Para Salkind en la investigación descriptiva “se reseñan las características o
rasgos de la situación o fenómeno objeto de estudio”.12 Para Cerda,
“tradicionalmente se define la palabra describir como acto de representar,
reproducir o figurar a personas, animales o cosa, ósea aquellas propiedades
que las hacen reconocibles a los ojos de los demás”.13
En cambio, los estudios de tipo exploratorio o formulativo tienen como objetivo
“la formulación de un problema para posibilitar una investigación mas precisa o
el desarrollo de una hipótesis… pero tienen otras funciones, como aumentar la
familiaridad del investigador con el fenómeno que va a investigar, aclarar
conceptos, establecer preferencias para posteriores investigaciones”.14
La investigación puede ser clasificada tomando como referencia varios criterios
como por ejemplo el propósito o finalidad que se persigue, clase de medios
utilizados para la obtención de datos, deductiva, analítica y sintética.
3.5 Prueba de Hipótesis.-
La prueba de hipótesis se la realiza por recolección, análisis e interpretación de
los datos obtenidos mediante la encuesta administrada a los estudiantes. La
información colectada permite, a nivel de estadígrafos descriptivos (por tratarse
de una investigación descriptiva) verificar la legitimidad o falsedad de la
hipótesis del estudio que textualmente dice: “Análisis y propuesta metodológica
12 Salkind, Neil. Métodos de investigación, México 1998, p.12.
13 Cerda, Hugo. Los elementos de la investigación Bogotá, 1998.
14 Claire Selltiz. Método de investigación en las relaciones sociales, España 1976.
42
para la enseñanza en el área de matemáticas en el ciclo básico de las
unidades educativas Dobronsky Y Rubira de la ciudad de Salinas para el
periodo 2010-2011
Para proceder a realizar la prueba de hipótesis se considero la pregunta N.- 9
de las encuestas realizadas a los estudiantes, debido a que en esta pregunta
se refleja la necesidad del cambio tanto del colegio, hablamos de colegio como
ente administrativo de la educación en ella están incluidos los docentes de la
materia de matemática, para ensayar un nuevo método de enseñanza de las
matemáticas a fin de mejorar el rendimiento académico y evitar la deserción o
el fracaso escolar.
Pregunta Nº 9
¿Considera usted que su profesor de matemáticas domina los contenidos?
1
0
N
xt
Dónde:
x = Respuesta afirmativa en decimales de porcentajes.
0 = Respuestas negativas en decimales de porcentajes.
= Desviación estándar.
N = Total de encuestas.
1= Constante. Reemplazando los valores:
x = 0,32
0 = 0,68
= 0,05
N = 154
43
115405.0
68.032.0
t
15305.0
36.0t
906184.0
36.0t
Tenemos un resultado de 90% lo cual nos indica que los datos del estudio
permiten comprobar que la hipótesis es verdadera.
3.6 Métodos de estudio.-
Los métodos empleados fueron el método analítico porque nos permite definir
el aprendizaje–enseñanza de las matemáticas y el comportamiento del mismo
en su rendimiento y calidad. El método analítico consiste en descomponer un
objeto de estudio separando cada una de las partes del todo para estudiarlas
en forma individual (Bernal 2008).
El método inductivo, porque nos permitió analizar y detallar partiendo desde el
problema de la enseñanza – aprendizaje, llegar a conclusiones generales de
enseñanza con la medición de sus indicadores, estableciendo las
características de las unidades investigadas, nos ayuda a identificar y
comprobar la asociación entre las variables de investigación, tomando en
cuenta la muestra y el instrumento.
3.7 Técnicas e instrumentos.-
Las técnicas empleadas para relacionar el objeto con el sujeto de investigación
en la búsqueda de la información, se determinó mediante la encuesta dirigida a
estudiantes del ciclo básico de los colegios Dobronsky y Rubira, que nos
44
entregó información cuantitativa, facilitándonos la recolección de la información
mediante el formulario correspondiente (anexo 1).
3.8 Fuentes de información.-
3.8.1 Primarias
Esta información se obtuvo en el lugar donde se estaba realizando la
investigación
Sistema de información del Colegio Rubira de la ciudad de Salinas
Sistema de información del Colegio Dobronsky de la ciudad de Salinas
Sistema Nacional de Evaluación y Rendición Social de Cuentas SER (2008)
3.8.2 Secundarias
Esta información fue obtenida en diferentes obras de diferentes autores que
guardan relación de alguna manera con el objetivo de la investigación
BOLIVAR ÁLVAREZ, A., (1997) Liderazgo, mejoras y centros educativos.
CHAMORRO, Carmen, El aprendizaje significativo en el área de las
Matemáticas
ORTIZ, Andrés, Investigación Social en Educación y Desarrollo.
RICO, L. La evaluación de matemáticas en el proyecto PISA.
TORRES, Rosa María, tesis para el cambio educativo.
ESCÁMEZ, J. (2002): Educación intercultural, en CONILL, J.
GOBIERNO DE CANARIAS La educación que queremos.
MARINA, J.A. Glosario para una sociedad intercultural.
45
MARTÍN TEIXÉ, G. Apuntes para una propuesta didáctica.
SARRAMONA, J. (1989): Fundamentos de la educación.
STANDLEY, Fred. L. Multiculturalismo, en Diccionario de Teoría crítica y
Estudios Culturales.
Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la
Cultura.
VITERI DIAZ, G, Situación de la Educación en el Ecuador.
46
CAPITULO IV
4. RESULTADOS Y ANÁLISIS.-
En la encuesta realizada a 154 estudiantes, de los cuales 89 corresponden al
colegio fiscal DOBRONSKY y 65 al colegio particular RUBIRA. Estos estratos
fueron obtenidos mediante el promedio de estudiantes por aula y por nivel o
curso básico de dos colegios (fiscal y privado). En el capítulo III, sección 3.2 y
3.3 se indica cómo se determinó el número de encuestados por colegio
Los ítems se refieren a la manera de cómo el estudiante aprende la asignatura
de matemáticas, de los sujetos de análisis, intentando descubrir la falta de
estrategias por parte del docente al momento de impartir sus clases.
Por lo que se procedió a elaborar las encuestas conformadas por diez
preguntas, las mismas que tratan de identificar: el aprendizaje de las
matemáticas.
4.1 Técnicas y metodologías actuales en el estudio de matemáticas
Descripción del estado actual de los estudios en el 8º año de educación básica
Registro de Observación de los métodos actuales en la enseñanza de matemáticas
Criterio Colegio Rubira Colegio Dobronsky
Total de docentes 18 13
Cantidad de docentes
de matemáticas
3 2
Cantidad de
estudiantes por curso
35 48
Hora efectiva de clase 50 minutos 46 minutos
Ejercicios por clase 5 4
Participantes en los
ejercicios
4 4
Utiliza libro si Si
47
Se resolvieron todos
los ejercicios
si si
tareas si Si
Recursos utilizados Pizarra, marcador, calculadora Pizarra, marcador, calculadora
Consideraciones
finales
El Modelo educativo actual, permite que el estudiante con
poco conocimiento matemático sea promovido al curso
superior.
Se observa falta de condiciones y elementos didácticos
para la dinamización de la enseñanza matemática
Las condiciones ambientales no permiten concentración,
especialmente cuando hace calor.
Los profesores conocen la materia e imparten sus clases
basados en la disciplina.
Análisis del método utilizado
Son diversos los textos que se han reproducido sobre la metodología de
enseñanza de las matemáticas; de acuerdo a ellos, se ha considerado la
observación directa en los centros de educación (colegios Rubira y Dobronsky)
con el fin de analizar estos métodos y explicarlos en sus distintas relaciones.
Inicialmente se considera que durante las fases de aprendizaje el estudiante
debe transitar por una adecuada graduación y organización de actividades que
le permita adquirir las experiencias necesarias para llegar al nivel superior de
razonamiento en un área del conocimiento. Es función del docente procurar
que sus alumnos construyan la red mental de relaciones del nivel de
razonamiento correspondiente, creando primero los conceptos centrales, es
decir, los vértices de la red y después las conexiones entre ellos.
En este contexto surge una idea central del Modelo Van Hiele la misma que
hace referencia a que la adquisición de nuevas habilidades de razonamiento es
fruto de la experiencia del alumno. Por lo tanto es deseable una enseñanza que
les proporcione la posibilidad de esa experiencia. Por este motivo, Van Hiele, al
describir las “fases de aprendizaje”, hace una propuesta para la graduación y
48
organización de las actividades, que denomina: Información, Orientación
dirigida, Explicitación, Orientación libre e Integración.
La primera, permite que los alumnos conozcan el tipo de trabajo que van a
hacer y que el docente descubra que nivel de razonamiento y que conocimiento
poseen sus alumnos sobre el nuevo tema. La Orientación dirigida es una de las
fases más potentes en la que los estudiantes comienzan a explorar el campo
de estudio, con las actividades convenientemente dirigidas hacia los conceptos
y propiedades que deben estudiar.
Por otra parte, si bien el rigor es una función de la edad y una definición no
siempre puede darse con el mayor rigor matemático, deberían cuidarse las
expresiones que se utilicen cuando se trata de ayudar al alumno en la
formación de un concepto, ya que puede ocurrir que, tal vez en el afán de
simplificar, se den definiciones ambiguas y, en muchos casos, incorrectas. Esta
situación ha sido observada reiteradas veces.
4.2 Análisis de la Encuesta
En las preguntas siguientes se trata de investigar si las horas semanales de
clases son adecuadas, que si dedica un momento de su tiempo libre a las
matemáticas, de cómo se siente con la metodología de su docente, si cree que
las matemáticas le ayudan en su diario vivir, que otra materia le gustaría
estudiar en vez de matemáticas, que cantidad de horas necesita a la semana
para aprender matemáticas.
La presentación de los resultados obtenidos, comprende: tabla de frecuencias,
gráfico y, análisis por cada una de las preguntas que componen el instrumento.
Con el producto de las encuestas, se pretendería plantear una propuesta de
una mejora en la metodología en la enseñanza de las matemáticas
49
Pregunta N 1
¿Considera que es fácil el aprendizaje de las matemáticas?
Tabla Nº 1
Fuente: Encuesta. Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
Grafico Nº 1
Fuente: Encuesta. Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
Los alumnos encuestados del colegio fiscal con relación a la pregunta, 25
contestaron sí que representa el 28.1% y 64 contestaron no que da el 71.9%, y
en el colegio particular contestaron si 27 que da 41.6% y no 38 que es el 58.4%
Esta pregunta se realizó para encontrar el grado de afinidad que tienen los
estudiantes con las matemáticas y se observa que hay un porcentaje alto que
consideran que la asignatura no es fácil principalmente en el colegio fiscal, lo
que indica que se debe mejorar o cambiar la metodología de enseñanza.
En su mayoría los maestros de matemáticas, se han capacitado en escuelas o
institutos superiores de matemáticas en donde la interacción con otras
disciplinas, es tradicionalmente escasa.
0
10
20
30
40
50
60
70
COLEGIO FISCAL COLEGIOPARTICULAR
SI
NO
Colegio Fiscal
Respuesta Ni Fi
Sí 25 28.1%
No 64 71.9% Total 89 100%
Colegio Particular
Respuesta Ni Fi
Sí 27 41.6%
No 38 58.4% Total 65 100%
50
El actual sistema educativo, está basado en una larga tradición la enseñanza
verbalista que amoldaron a los alumnos acostumbrarse a ella. La inercia
creada por esta situación no han permitido a los estudiantes percatarse que las
ciencias exactas, lo importante es entender.
Este aprendizaje tradicional hace que los estudiantes en lugar de participar en
clase y estar prestos a los razonamientos, se conforman en aprender por el
método tradicional de aprendizaje, tomando apuntes que tratarán de memorizar
al estudiar para rendir exámenes.
Una variedad de factores contribuyen a que esta situación se mantenga sin
cambio y con frecuencia el profesor también se acostumbra este estado de
situaciones y lo ve como normal y natural. Por lo general son extensos los
programas de la asignatura de matemáticas y los profesores se preocupan en
cubrirlos en su totalidad y no se dan tiempo para generar el diálogo, fomentar
las intervenciones de los alumnos y hacerles ver que es posible sacar más
provecho a los tiempos de las clases.
En consecuencia el interés por las matemáticas debe surgir de las mismas
matemáticas y no de la interacción con las otras ciencias. Los docentes de
otras asignaturas que requieren de las matemáticas como herramienta de
apoyo deben interrelacionar las ideas y conceptos centrales adecuadamente.
La rapidez con que se imparte la materia, la amplitud de los programas o
currículo, la falta de ejemplos que interrelacionen las matemáticas con el resto
de las materias y la poca o casi nada motivación con que los emprenden, no
permiten al alumno comprender correctamente el contenido, limitando su
esfuerzo a estudiar únicamente para pasar los exámenes.
.
51
Pregunta Nº 2
¿Considera apropiadas las horas de matemáticas que usted recibe?
Tabla Nº 2
Fuente: Encuesta Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
Grafico Nº 2
Fuente: Encuesta. Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
Con relación a la pregunta los alumnos del colegio particular contestaron si 32
que da un 49.2% y no contestaron 33 que da un 50.8% y en el colegio fiscal si
contestaron 12 que es un 13.5% y contestaron no 77 que da un 86.5% en
relación que los alumnos no consideran apropiadas las horas de matemáticas
que reciben.
A lo largo de la Historia las matemáticas ha sido empleada con objetivos muy
diversos convirtiéndose en un instrumento para la elaboración de vaticinios, por
los sacerdotes de los pueblos principalmente mesopotámicos mientras que para
los pitagóricos era un camino de acercamiento a la divinidad .
Las Matemáticas y la Filosofía, en el Medioevo fueron importantes elementos
disciplinarios del pensamiento, fue una herramienta idónea para la exploración
0102030405060708090
COLEGIO FISCAL COLEGIOPARTICULAR
SI
NO
Colegio Particular
Respuesta Ni Fi
Sí 32 49.2%
No 33 50.8%
Total 65 100%
Colegio Fiscal
Respuesta Ni Fi
Sí 12 13.5%
No 77 86.5%
Total 89 100%
52
y comprensión del Universo, constituyendo una magnífica guía del pensamiento
filosófico y para los pensadores contemporáneos, ha sido un instrumento de
formación y creación de belleza artística.
Muchos niños y jóvenes tienen poco interés en el desarrollo de sus destrezas
matemática y se ha podido comprobar que en ciertos casos sienten pánico
cuando presienten que la hora del examen esta acerca.
Se ha considerado importante conocer el número de horas que dedican en el
estudio de Matemáticas y que forma parte del plan de estudios, puesto que este
dato es un indicador de la importancia concedida, política y educativamente.
La calidad y tiempo de enseñanza de Matemáticas que recibe el estudiante no
sólo depende del número de horas que se dediquen apegados al horario, sino
también del ambiente de la clase en que el alumno recibe esa enseñanza.
.
53
Pregunta Nº 3
¿En su tiempo libre dedica horas de estudio a las matemáticas?
Tabla Nº 3
Fuente: Encuesta. Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
Grafico Nº 3
Fuente: Encuesta. Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
Con relación a esta pregunta los alumnos del colegio particular contestaron si
22 que da el 33.8% y contestaron no 43 que da el 66.2% y en el colegio fiscal si
dijeron 18 que da el 20.2% y no dijeron 71 que da el 79.8%. Esta pregunta nos
permite ver el grado de dedicación que tiene el estudiante con respecto a
matemáticas y se observa que es poca la atención que se da al estudio de
matemáticas tanto en el fiscal como en el particular por lo que se hace
necesario estimular y dar las directrices para que el estudiante investigue la
clase aprendida en internet o libros de matemáticas.
La formación que se adquiere al estudiar matemáticas podría verse en forma
integral: como conocimiento elemental y de cultura general; como motor del
desarrollo de nuestras capacidades de deducción, comparación, clasificación y
0
10
20
30
40
50
60
70
80
COLEGIO FISCAL COLEGIOPARTICULAR
SI
NO
Colegio Particular
Respuesta Ni Fi
Sí 22 33.8%
No 43 66.2% Total 65 100%
Colegio Fiscal
Respuesta Ni Fi
Sí 18 20.2%
No 71 79.8% Total 89 100%
54
orden, y, finalmente, como impulso para continuar, cuestionar, ser críticos e
investigar.
Por lo tanto, el efecto de la formación matemática adecuada no habría que verlo
a corto plazo. Se refleja a mediano o largo plazo en la formación integral y en el
desarrollo profesional de las personas y esto se proyecta, como consecuencia,
en el desarrollo de un país.
La importancia de las matemáticas no consiste solamente en que forman parte
de cualquier currículo básico; se trata de algo más profundo. Es una rama del
conocimiento, es parte de la cultura, es obra de la organización y de la
evolución del pensamiento humano. Se utiliza como herramienta, como
lenguaje y, como tal, tiene sus reglas del juego, su lógica. Es una ciencia viva
en la cual se sigue realizando investigación. Siempre hay preguntas nuevas,
que han permitido que la matemática crezca porque mucha gente, durante
mucho tiempo, ha tratado de responderlas; ésa es la labor de un investigador
en matemáticas.
Podemos escuchar muchas veces a los adolescentes. ¡Yo es que no valgo para
estudiar! ¡No me da tiempo! ¡A mí nunca me han gustado las matemática!...
Pero ellos se dan cuenta al hacerles reflexionar que hay cosas que no van bien,
“me he quedado en blanco en el examen! Cuando llevo dos días intensivos de
estudios y ahora no me acuerdo de nada”. Es que a mi hijo no le gusta estudiar,
no es capaz ni de sentarse a trabajar. Se pasa la tarde en el televisor o en el
ordenador. No sé qué hacer con él. Todas estas apreciaciones y
lamentaciones, no ayudan en nada el aprendizaje de las Matemáticas
55
Pregunta Nº 4
¿Le parece interesante la clase de matemáticas?
Tabla Nº 4
Fuente: Encuesta. Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
Grafico Nº 4
Fuente: Encuesta. Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
Con relación a la pregunta en el colegio particular los alumnos respondieron si
19 que da un 29.2% y 46 alumnos respondierón no que da un 70.8% y en el
colegio fiscal 21 alumnos respondieron sí que da un 23.6% y 68 alumnos
respondieron no que da un 76.4%. Esta pregunta nos indica el grado de poca
atención que el estudiante tiene respecto al estudio de las matemáticas casi el
50% tanto en el fiscal como en el particular consideran que las matemáticas son
aburridas que sumadas al porcentaje de “no entiende”, nos indica que el 70%
de los estudiantes no les gusta las matemáticas, esta situación es preocupante
lo cual indica que no hay estímulos y la metodología empleada para la
enseñanza, no es la adecuada.
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COLEGIO FISCAL COLEGIOPARTICULAR
SI
NO
Colegio Particular
Respuesta Ni Fi
Sí 19 29.2%
No 46 70.8%
Total 65 100%
Colegio Fiscal
Respuesta Ni Fi
Sí 21 23.6%
No 68 76.4%
Total 89 100%
56
La finalidad de las Matemáticas es involucrar valores y desarrollar actitudes y
destrezas en el alumno para lo cual es necesario el uso de estrategias que
permitan desarrollar el razonamiento y la comprensión para analizar e
interpretar los conocimientos adquiridos en su entorno.
El problema actual en cuanto a la planificación se refiere es que varios
docentes para impartir clase en el área de matemática, las estrategias
utilizadas no son las más adecuadas y se puede transmitir los contenidos a los
estudiantes en forma eficiente.
Para un mejoramiento, el profesor debe involucrarse en su planificación y
trasmitir valores y motivar a los alumnos a desarrollar problemas matemáticos,
de tal forma que el estudiante pueda captarlo de manera significativa, de aquí el
empleo adecuado de estrategias, debe existir una orientación para facilitar la
aplicación de las matemáticas en su vida cotidiana y en su entorno
planteándose y resolviendo ejercicios para afianzar sus conocimientos.
El objetivo fundamental de la planificación de estrategias para la enseñanza de
la matemática en la etapa de la educación básica, tiene el propósito de
contribuir en la formación integral del estudiante desarrollando habilidades y
destrezas básicas en la interpretación del medio que lo rodea como condición
necesaria para la convivencia social tanto para el docente como para el alumno,
donde el docente desarrolla el autoestima de los educandos en la aplicación de
estrategias de enseñanza de la matemática
Las matemáticas, debe ser la herramienta que facilite y oriente el estudio
aplicado a su vida cotidiana, debe facilitar y proporcionar al alumno los métodos
de razonamiento básico.
57
Pregunta Nº 5
¿Cree usted que las matemáticas le ayudan en su diario vivir?
Tabla Nº 5
Fuente: Encuesta. Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
Grafico Nº 5
Fuente: Encuesta. Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
En el colegio particular se obtuvo los siguientes resultados si 48 que da un
73.8% y 17 alumnos respondieron no que da 26.2% y en el colegio fiscal se
obtuvo los siguientes resultados si 68 que da un 76.3% y 21 alumnos dijeron
que no esto equivale a un 23.7%. Esta pregunta se realizó con el objeto de
conocer si las matemáticas son importantes para su diario vivir y esto nos da la
pauta de que el estudiante si considera importante a las matemáticas porque
hay un elevado porcentaje de aceptación, lo cual indica que orientando y
estimulando, acompañado de una buena metodología de enseñanza, el
estudiante puede tener un buen rendimiento en el aprendizaje de las
matemáticas.
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70
80
COLEGIO FISCAL COLEGIOPARTICULAR
SI
NO
Colegio Particular
Respuesta Ni Fi
Sí 48 73.8%
No 17 26.2%
Total 65 100%
Colegio Fiscal
Respuesta Ni Fi
Sí 68 76.3%
No 21 23.7%
Total 89 100%
58
La Matemática es usada en todo el mundo como la herramienta principal en
varios campos, la ingeniería en sus diferentes aplicaciones, las ciencias
naturales, la medicina y las ciencias sociales en general, e incluso disciplinas
que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música, diseño
gráfico. Las matemáticas aplicadas, conocida así porque se la utiliza en la
aplicación de los conocimientos matemáticos en otros ámbitos como ser la
Administración, las finanzas, y también porque ayudan en a encontrar nuevos
descubrimientos matemáticos que en ocasiones, conducen al desarrollo de
nuevas disciplinas.
La evolución de las matemáticas esta basada en la abstracción de ciertas
circunstancias y necesidades que tiene el hombre. Los primeros conceptos
abstractos utilizados por el hombre, fueron probablemente los números. Esta
noción nació de la necesidad de contar los objetos que nos rodeaban.
En los inicios de la historia, seguramente las necesidad de contar con criterios
matemáticos surgieron cuando el hombre de quería hacer cálculos con el fin de
controlar y manejar el comercio, comprender la aplicación y relación entre los
números, la medición de terrenos y la predicción de los eventos astronómicos.
Estas necesidades sin lugar a dudas están estrechamente relacionadas con las
propiedades básicas que estudian las matemáticas. Desde entonces, las
matemáticas se han desarrollado satisfaciendo necesidades y dando una
fructífera interacción entre las matemáticas y la ciencia, en beneficio mutuo.
Diversos descubrimientos matemáticos se han sucedido a lo largo de la historia
y se continúan produciendo en la actualidad.
59
Pregunta Nº 6
¿Le gustaría aprender otra asignatura en reemplazo de las matemáticas?
Tabla Nº 6
Fuente: Encuesta. Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
Grafico Nº 6
Fuente: Encuesta. Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
En el colegio particular se obtuvieron los siguientes resultados 45 alumnos
dijeron si que da un 69.2% y 20 alumnos dijeron no que da un 30.8% en el
colegio fiscal se obtuvo los siguientes resultados si dijeron 75 alumnos que da
un 84.3% y 14 dijeron que no da un 15.7%.
Esta pregunta se realizo con el afán de conocer el porcentaje de estudiantes
que prefieren matemáticas y esta reveló que tanto en el fiscal como en el
particular apenas el 23.6% promedio prefieren matemáticas, esto nos indica
que hay que fortalecer la enseñanza – aprendizaje de las matemáticas para
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COLEGIO FISCAL COLEGIOPARTICULAR
SI
NO
Colegio Particular
Respuesta Ni Fi
Sí 45 69.2%
No 20 30.8%
Total 65 100%
Colegio Fiscal
Respuesta Ni Fi
Sí 75 84.3%
No 14 15.7%
Total 89 100%
60
mejorar ese porcentaje y por ende el mejoramiento de aprendizaje de las
matemáticas.
Básicamente hay dos razones básicas que se deben mejorar y son:
1. El modelo de enseñanza académico.
2. La falta de dominio de los docentes de nivel básico.
El desarrollo de la primera etapa del ser humano, este relaciona diferentes
partes de las ciencias, los deportes y las matemáticas, como algo en común,
conocidas como reglas.
Hay dos formas de aprender las asignaturas en general memorizando o
razonando, cuando se memoriza, se pierde la noción de análisis y no entiende
el origen de las cosas, ni que es lo que se obtiene cuando. Cuando se aprende
razonando, lo que hace es entender el origen del problema o ejercicio para
buscar un resultado determinado.
Se puede ver a diario que en el kínder el niño aprende porque todo cuestiona,
pregunta, experimenta, explora, tiene duda de todo mientras que un niño de
primaria obedece y aprende memorizando so pena de ser sancionado
disciplinariamente. "Maestra porque 1+1=2? porque si, porque así es, porque si
tienes una naranja y ahora pongo otra cuantas tienes? que absurdo, responder
con otra pregunta.
Esta es la tónica de muchos estudiantes que en base a memorización quieren
aprender Geometría, Trigonometría, algebra sin entender las bases ni a donde
se quiere llegar.
Los pocos que continuamos nuestros estudios en la UNIVERSIDAD, nos damos
cuenta que el modelo es el equivocado, porque una vez que entiendes las
reglas, todo es tan simple.
61
Pregunta Nº 7
¿Le gustaría que incrementen las horas de matemáticas en su colegio?
Tabla Nº 7
Fuente: Encuesta. Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
Grafico Nº 7
Fuente: Encuesta. Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
En el colegio particular se obtuvo los siguientes resultados 24 alumnos
respondieron sí que equivale al 37% y 41 estudiantes respondieron no que
equivale al 63% en el colegio fiscal se obtuvo los siguientes resultados 31
alumnos respondieron si que equivale al 35.9% y 58 alumnos respondieron no
que equivale al 65.1%.
Esta pregunta se realizó para auscultar en el interior del estudiante el
porcentaje de aceptación de las matemáticas y esta reveló que no hay
aceptación del incremento de las horas de matemáticas, esto demuestra que no
hay predisposición por parte del estudiante para aprender matemáticas y se
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70
COLEGIO FISCAL COLEGIOPARTICULAR
SI
NO
Colegio Particular
Respuesta Ni Fi
Sí 24 37%
No 41 63%
Total 65 100%
Colegio Fiscal
Respuesta Ni Fi
Sí 31 35.9%
No 58 65.1%
Total 89 100%
62
debería aprovechar esta circunstancia incentivando y aplicando una buena
metodología de enseñanza.
Algunos educadores, sin embargo, consideran que el desafío principal para las
autoridades y los profesionales de la enseñanza pública es cómo se utiliza el
tiempo de estudio. Se cree que el problema principal no sea la falta de horas
sino la forma en que se estructura ese tiempo para impartir los conocimientos
necesarios a los alumnos. Esto es lo que ha empeorado en los últimos años.
Algunos profesores piden menos vacaciones porque indican que los alumnos
olvidan fácilmente lo aprendido en y por lo general los profesores deben dedicar
las primeras semanas del curso a reforzar lo que ya habían aprendido.
Por lo que se ha podido observar, el profesor de matemáticas tiene una
formación general y es de esperarse que no sea un conocedor experto del tema
que enseña pero su base de conocimientos elementales de Matemática debe
ser lo suficientemente firme para poder cumplir con su enseñanza.
.
63
Pregunta Nº 8
¿Considera que en su colegio o aula hace falta algo que le permita mejorar el aprendizaje de las matemáticas?
Tabla Nº 8
Fuente: Encuesta. Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
Grafico Nº 8
Fuente: Encuesta. Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
En el colegio particular se obtuvo los siguientes resultados 55 estudiantes
dijeron que si que da un 84.7% y 10 alumnos dijeron no que da un 15.3%
mientras en el colegio fiscal 65 estudiantes dijeron que si que da un 73% y 24
estudiantes dijeron que no que equivale a un 27%, Esta pregunta se realizó con
el objeto de conocer si al colegio o al aula le falta algo para poder entender
mejor a las matemáticas.
Se ha detectado que al enseñar matemáticas surgen diferentes interrogantes
acerca de cómo llevarla a cabo: ¿Cómo empezar? ¿Qué actividades organizar
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COLEGIO FISCAL COLEGIOPARTICULAR
SI
NO
Colegio Particular
Respuesta Ni Fi
Sí 55 84.7%
No 10 15.3%
Total 65 100%
Colegio Fiscal
Respuesta Ni Fi
Sí 65 73%
No 24 27%
Total 89 100%
64
para los alumnos? ¿Qué materiales ayudan la enseñanza-aprendizaje? ¿Qué
estilos de enseñanza - aprendizaje se emplea en clases?, entre otros, tomando
en cuenta que es una herramienta importante para resolver problemas,
permitiéndole actuar con eficacia e iniciativa en las cuestiones prácticas que se
le presentan.
Es por eso que las Matemáticas al estudiante le permiten actuar con criterio y
razonamiento ante situaciones que se le presentan en su diario vivir y en el
medio que lo rodea. Lo importante es que los profesores no pueden perder de
vista estos objetivos, ya que debe permanecer presente a lo largo del ejercicio
docente.
Los docentes constituyen piezas fundamentales para que los niños logren los
propósitos establecidos en el plan y programas de estudios, su tarea no solo
debe ser transmitir información, sino sobre todo diseñar actividades a través de
las cuales los alumnos se apropien de los conceptos matemáticos.
Además es necesario lograr que la sesión de clases sea una actividad
constructiva y de razonamiento, de tal manera que el estudiante relacione con
objetos concretos y logre adquirir su significado.
También se debe propiciar el trabajo en equipo para utilizar los diferentes
recursos a su alcance como ser, enciclopedias y libros, material concreto y
demás del entorno, que favorezcan la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas.
65
Pregunta Nº 9
¿Considera usted que su profesor de matemáticas domina los contenidos?
Tabla Nº 9
Fuente: Encuesta. Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
Grafico Nº 9
Fuente: Encuesta. Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
En referencia a la pregunta realizada en el colegio particular se obtuvo los
siguientes resultados 28 alumnos dijeron que si que equivale a un 43% y 37
alumnos dijeron que no que equivale al 57% mientras en el colegio fiscal se
obtuvo que 22 estudiantes dijeron que si que equivale al 24.8% y 67 alumnos
dijeron que no que equivale al 75.2%.
Las aulas están llenas de docentes que dominan todas las estrategias y
métodos pedagógicos, pero el dominio de las materias es limitado y muchas
veces deficiente, hay varios profesores de matemáticas que están en esta
situación.
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COLEGIO FISCAL COLEGIOPARTICULAR
SI
NO
Colegio Particular
Respuesta Ni Fi
Sí 28 43%
No 37 57%
Total 65 100%
Colegio Fiscal
Respuesta Ni Fi
Sí 22 24.8%
No 67 75.2%
Total 89 100%
66
Necesitamos que los futuros profesores de matemáticas sean buenos en las
dos áreas, la de conocimientos y la de pedagogía. No necesitamos que sean
doctores, pero que al menos dominen con soltura las materias que van a
enseñar. Los alumnos respetan al profesor que sabe, y por lo mismo le pierden
el respeto al que no sabe resolver un problema. Los Profesores de matemáticas
deben ser capaces de entender que tienen al frente un grupo de alumnos que
no tienen su mismo nivel de bagaje, que no tienen la mente estructurada como
la de él, y que tienen que plantear la enseñanza de manera que los alumnos
sepan hacer la transición.
Enseñar Matemáticas no es solo aprender Matemáticas para enseñar, ni
tampoco consiste en añadir a las matemáticas un conjunto de "recursos
didácticos y metodológicos" que parecen independientes del contenido,
"aprender a enseñar". Enseñar Matemáticas es incentivar, motivar y despertar
interés consiente y razonado en el desarrollo del aprendizaje de los educandos
67
Pregunta Nº 10
¿Al final de la clase su profesor de matemáticas evalúa su aprendizaje?
Tabla Nº 10
Fuente: Encuesta. Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
Grafico Nº 10
Fuente: Encuesta. Realizado Por: Ing. José Raúl Terán Palloroza
En referencia a esta pregunta se obtuvo los siguientes resultados en el colegio
particular 12 alumnos dijeron que si que equivale al 18.4% y 53 alumnos dijeron
que no que equivale al 81.6% en el colegio fiscal se obtuvo que 18 alumnos
dijeron que si que equivale al 20.2%y que 71 alumnos dijeron que no que
equivale al 79.8%,
Dentro de este marco, las teorías implícitas que tienen los estudiantes
entrevistados sobre el aprendizaje de las matemáticas, son coherentes con las
explicaciones que ellos dan, respecto de la forma en que las aprenden.
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COLEGIO FISCAL COLEGIOPARTICULAR
SI
NO
Colegio Particular
Respuesta Ni Fi
Sí 12 18.4%
No 53 81.6%
Total 65 100%
Colegio Fiscal
Respuesta Ni Fi
Sí 18 20.2%
No 71 79.8%
Total 89 100%
68
Para la mayoría de ellos aprender matemáticas significa realizar una
considerable cantidad de práctica, la cual favorece un buen aprendizaje, esto
explica la importancia que dan a resolver la mayor cantidad de problemas
El estudiante resalta la ventaja de la práctica en la comprensión que se tenga
del tema. A partir de esto se puede deducir que una práctica limitada traerá
como consecuencia un menor aprendizaje. Vale la pena aclarar que cuando
el/la estudiante se refiere a entender el tema, el proceso al que hace referencia
es al de poder resolver los problemas automáticamente, propio de un
aprendizaje asociativo y no a un proceso comprensivo, característico de un
aprendizaje constructivo.
Se afirma que la cantidad de práctica es una variable fundamental de cualquier
aprendizaje; especialmente el aprendizaje de procedimientos, que requiere de
ingentes cantidades de práctica para alcanzar un nivel de pericia.
El aprendizaje de las matemáticas, como resolución de problemas, involucra la
adquisición de procedimientos que faciliten la resolución de los mismos, y es
hacia allá que apuntan los objetivos de los estudiantes cuando tratan de
resolver los talleres de la cartilla, su intención es aprender cuales son los
procedimientos matemáticos que les permiten llegar a la solución de los
problemas.
4.3 Resultados de la entrevista a los profesores
En los resultados obtenidos en las entrevistas al personal de docentes de la
asignatura de matemáticas se obtuvo lo siguiente:
1.- Al iniciar el periodo escolar, considera ud que es necesario realizar una
evaluación a los/as estudiantes/as para conocer su grado de conocimiento:
Casi la totalidad indicaron que siempre toman un diagnostico en donde se
comprueba en qué nivel de conocimientos llegan los estudiantes para iniciar el
nuevo periodo educativo.
69
2.- La planificación es importante en toda actividad, usted planifica las
estrategias en la enseñanza de matemáticas para conseguir un mejor
rendimiento:
En su totalidad indican que si planifican su clase haciendo constar sus
estrategias y metodología a utilizar dentro del aula pero en nuestra
investigación tenemos que los docentes siguen manteniendo las mismas
técnicas y estrategias de siempre o sea son repetitivas.
3.- Emplea algún software para la enseñanza en matemáticas:
En esta pregunta ninguno de los colegios cuenta en su poder con un software
apropiado para el aprendizaje de las matemáticas pero el colegio particular
Rúbira está siempre compitiendo en los concursos de matemáticas con
resultados favorables.
4.- Cuantos seminarios o talleres de actualización pedagógica en matemáticas
tiene durante el año escolar:
En esta pregunta se pudo constar que el colegio privado en este caso tiene
invitaciones de las ESPOL Y de la Escuela Naval a seminarios sobre nuevas
metodologías para la enseñanza de las matemáticas, mientras en el colegio
público solo tienen una capacitación en pedagogía organizada por el Ministerio
de Educación, el mismo que no es orientada a las matemáticas.
5.- Qué modelo pedagógico emplea Ud., en la enseñanza de las matemáticas:
En este aspecto en el colegio privado se tiene más participación de los
alumnos con el docente lo que llamamos un inter-aprendizaje pero no tan
profundo un poco deficiente porque al final el docente es el que tiene la última
palabra, mientras que en el colegio público el coductivismo todavía está
presente el momento de enseñar matemáticas.
70
6.- A cuantos estudiantes por aula enseña matemáticas y cuál sería el número
ideal de estudiantes para conseguir un mejor rendimiento en el aprendizaje:
En el colegio particular vemos que la población de alumnos por aula no es en
alguna manera pedagógico pero no hay mucha población, mientras que en el
colegio público la población de alumnos es exagerada de manera crónica por
eso se nota más la pérdida del año en matemáticas.
7.- Existe algún procedimiento o política en su colegio para disminuir la tasa de
repetición y el abandono de los estudios:
En este punto vemos una diferencia muy grande mientras en el colegio privado
las horas de recuperación pedagógica son pagadas al docente en el colegio
público no son, entonces se nota el abandono en que se encuentra el alumno
en el colegio público eso se acentúa en las estadísticas de cuantos pierden el
año en matemáticas en el público y el privado.
4.4 Ejercicio de Aplicación
En la construcción de un adecuado modelo de evaluación de la enseñanza
matemática se realizó una prueba simple de aplicación a los estudiantes de los
colegios Rubira y Dobronsky de la ciudad de Salinas, (prueba y resultado se
incluye en el anexo 4).
71
5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES.-
5.1 Conclusiones.-
Se evidencia una notable deficiencia en los estudiantes de primero de
básica, quienes llegan con escasos conocimientos de matemáticas; los
estudiantes de segundo curso de básica tratan de mejorar estos
conocimientos sin desarrollar habilidades y destrezas para el estudio de
matemáticas; por último, los estudiantes de tercero arrastran un modelo
casi que conformista, sin lograr una adecuada formación en el área de las
matemáticas.
Los estudiantes no consideran apropiadas las horas que reciben de
matemáticas, manifiestan estar poco interesados en el desarrollo de su
destreza matemática y en algunos casos sienten temor cuando presienten
que la hora de esta clase se acerca. Adquirir las aptitudes necesarias en
matemáticas y lectura en muchos casos es particularmente difícil para los
estudiantes y las minorías, quienes a menudo salen perdiendo en ambos
frentes: rendimiento más bajo y origen socioeconómico bajo. Entre las
propuestas para superar esos obstáculos está fortalecer el cuidado y la
educación en la materia de matemáticas.
La mayoría de los estudiantes manifiestan que no se dedican en su tiempo
libre a las matemáticas, que prefieren hacer otro tipo de actividades o
estudiar otras asignaturas menos matemáticas. El rendimiento escolar es
objeto de frecuente preocupación, pues los datos que de vez en cuando se
publican reflejan las altas tasas de insuficiencia de nuestros alumnos. En
algunos casos, como en la Provincia de Santa Elena, las cifras de fracaso
superan el 30% de los alumnos en la materia de matemáticas.
El personal de alumnos encuestados manifiesta que no les parece
interesante las clases de matemáticas pero esto debido a la actitud del
docente en el momento de impartir la clase. El rendimiento escolar en las
matemáticas es una vertiente de fracaso se presenta como un fenómeno
72
de malestar y desigualdad que se deja sentir más allá de la escuela. No se
puede reducir, por tanto, esta inquietante temática al ámbito pedagógico,
aun cuando en estas páginas este terreno reclame más atención. El
alcance laboral, social, político e incluso económico del fracaso escolar
hace necesaria la multiplicación de recursos desde todos los frentes
posibles para neutralizarlo.
Todos están de acuerdo en que las matemáticas son muy importantes en
su diario vivir, la evolución de las matemáticas puede ser considerada
como resultado de un incremento de la capacidad de abstracción del
hombre o como expansión de la materia estudiada.
La mayoría de los estudiantes coinciden en que les gustaría estudiar otra
materia en vez de matemáticas, esto nos indica que hay que fortalecer la
enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.
Todos los estudiantes no les gustaría que se incrementen las horas de
matemáticas, por lo tanto esto revela que no hay aceptación del incremento
de las horas de matemáticas y la no predisposición por parte del estudiante
para aprender matemáticas.
La mayoría de los estudiantes indican que falta algo en su colegio y en su
aula para la mejor comprensión de las matemáticas. La motivación, en su
doble vertiente intrínseca y extrínseca, es requisito del rendimiento escolar,
esta necesaria concepción binocular puede correr peligro si, como sucede
en ocasiones, el discurso educativo, docente e institucional renuncia a la
dimensión motivadora por considerar que no es de su incumbencia o, si por
el contrario, se responsabiliza en exclusiva al profesorado de la
desmotivación del alumnado. Obviamente, la posición más cabal se
mantiene equidistante entre las dos señaladas y es la que activa y canaliza
el comportamiento del alumno hacia el éxito del aprendizaje.
Aprender a enseñar matemáticas no es la suma de aprender matemáticas
y aprender a enseñar, la mayoría de estudiantes indican que su profesor de
matemáticas no domina los contenidos que está enseñando por lo tanto
ellos no se sienten motivados para aprender. El profesor puede tener
73
vastos conocimientos de estrategias y métodos pedagógicos pero si no
tiene un dominio y conocimiento de la asignatura de matemáticas de nada
servirá para llegar a una buena calidad de la enseñanza
Así como es necesario que los alumnos estén motivados, también se
precisa que rentabilicen el esfuerzo que conlleva el estudio, las prácticas
constantes de las mismas actividades, no se deben confundir con las
técnicas o procedimientos y recursos, sin embargo, conllevan a la eficacia
del estudio, de un lado, el hábito de estudio es necesario si se quiere
progresar en el aprendizaje, de otro, conviene sacar el máximo provecho a
la energía que requiere la práctica intencional e intensiva del estudio por
medio de técnicas adecuadas
La dificultad de los adolescentes para aprender Matemática en la
enseñanza media constituye un problema muy generalizado en el mundo
entero. La educación desempeña un papel fundamental que determina
cómo se vivirá en la edad adulta, tener un mayor nivel de educación
significa que se tendrán ingresos más altos, una mejor salud y una vida
más larga. La gente sin las aptitudes para participar social y
económicamente genera costos más altos para la salud, el apoyo al
ingreso, el bienestar de la infancia y los sistemas de seguridad social.
5.2 Recomendaciones.-
Las matemáticas deben desarrollar en el alumno valores y actitudes y para
ello se requiere el empleo de estrategias que le ayuden a desarrollar su
capacidad para comprender, asociar, analizar e interpretar los
conocimientos adquiridos y de esta forma emplearlo en su entorno, para
ello se consideró la situación problemática actual en cuanto a la
planificación que realizan los docentes para impartir clase en el área de
matemática, ya que las estrategias utilizadas no son las más adecuadas
para transmitir los contenidos a los estudiantes.
74
Dentro de su planificación, el profesor debe inculcar a los estudiantes el
desarrollo de valores de tal forma que este pueda comprender en forma
significativa, de aquí se requiere el uso de estrategias adecuadas para su
eficaz aplicación, debe existir una orientación con el objeto de facilitar y
orientar el estudio donde versará su vida cotidiana, debe proveer al alumno
de los métodos de razonamiento básico, requerido para plantear algunos
ejercicios a resolver cuya ejecución le permitirá afianzar sus conocimientos.
El objetivo principal de este estudio es dar importancia a la planificación de
estrategias para la enseñanza de las Matemáticas en la etapa de
educación básica, para contribuir en la formación integral del alumno en el
desarrollo de sus habilidades y destrezas, en la interpretación del medio
que lo rodea y en su diario vivir siendo una condición necesaria e
importante para la convivencia social.
Desde el punto de vista de la ciencia pura, las matemáticas tienen el
objetivo de encontrar las relaciones lógicas que se establecen entre los
diversos conjuntos de principios, reglas, axiomas y teoremas que forman la
teoría de la asignatura, éste es el criterio que con frecuencia encontramos
en la pedagogía tradicional de las matemáticas.
Desde este ángulo las
matemáticas se presentan como un conjunto de conocimientos y reglas
lógicas propias de funcionamiento.
La enseñanza de las matemáticas facilita el desarrollo de habilidades de
razonamiento y conteo, promueve el desarrollo de la persona, en la medida
que permite el desarrollo de la capacidad crítica y de las destrezas y
habilidades expresivas.
Para la mejor comprensión en el razonamiento y aprendizaje de las
matemáticas se recomienda la puesta en práctica de la metodología
propuesta en el presente estudio (adjunto).
75
LA PROPUESTA
I ANTECEDENTES DE LA PROPUESTA.-
Los expertos reconocen que se ha perdido el carácter lúdico de la enseñanza.
A Gisela, una adolescente a punto de cumplir 15 años y estudiante, le afecta
cada vez que sus padres le recriminan el haber perdido el tercer año por una
materia: matemáticas.
Según cuenta, "desde que era niña le cogí pánico a la asignatura. Uno de los
profesores de segundo grado me calificaba de burra porque tenía dificultades
para resolver las sumas y restas. Pero aunque no tenga apoyo suficiente de
mis padres pienso obtener el bachillerato y continuar una
carrera en la universidad que no se vincule con los números", dice.
Gisela es parte de un ejército de estudiantes que les tienen fobia a las
matemáticas. Según el Ministerio de Educación, uno de cada dos niños
ecuatorianos cree que fracasó en los números, aunque no pierda el año.
Esta situación produce además conflictos familiares y muchas veces
repiticencia y deserción escolar. Los ejemplos sobran, de los 447 estudiantes
inscritos en primer curso del ciclo lectivo 2007-2008, 364 fueron promovidos a
segundo curso (81,43%). Es decir, que 74 perdieron el año (16,5%).
Una de las razones del fracaso radicaría en la mala orientación vocacional. No
obstante, los responsables de los DOBE (Departamentos de Orientación y
Bienestar Estudiantil) tratan de evadir el problema y echar la culpa a los
alumnos. "Las alumnas fracasan porque no logran terminar los ejercicios que
los maestros les envían a la casa. Otras, en cambio, no razonan y se dedican a
copiar a sus compañeras".
Este tema va más allá de las respuestas simplistas. Martha Grijalva, consultora
de Medición de Logros del proyecto EB/Prodec, señala que a los estudiantes
“les disgustan las matemáticas porque a los profesores tampoco les gustan y
76
no están preparados”, esto demuestra que no saben enseñar. El origen del
problema está en que los profesores de matemáticas que no recibieron una
formación y capacitación inicial adecuada ya sea en las universidades o en los
Institutos Pedagógicos.
"Es la actitud del maestro la que hace fría y tensa a la clase. Los alumnos en
vez de permanecer tranquilos están serios, rígidos y la charla se convierte día a
día en una rutina. Se ha perdido el carácter lúdico de la enseñanza".
Grijalva sentencia algo más: “los maestros se han encargado de deformar a los
alumnos. Buscan siempre lo capcioso y no lo ágil y comprensible, envían
ejercicios tediosos, o realizan en la pizarra cálculos aritméticos interminables".
A raíz de la aplicación de una prueba nacional tomada a 100.000 estudiantes,
se obtuvieron resultados negativos por lo que el Ministerio del ramo empezó a
tomar cartas en el asunto editando los primeros 80.000 ejemplares de una
guía de matemáticas y lenguaje para docentes.
Para María Inés Molinari, experta en la materia y autora de las guías, invita a
reflexionar sobre la enseñanza matemática y sobre la innovación didáctica, con
el propósito de lograr el desarrollo en los alumnos de una actitud afectiva y
positiva frente a esta área del conocimiento. Las guías de Molinari presentan
una matemática dinámica y humana. Su objetivo es enseñar a calcular, a
pensar para descubrir las posibles soluciones a los problemas sociales y
humanos.
En el ciclo lectivo 2007-2008, el Programa Educativo Psicología y Salud, una
ONG dirigida por un equipo de profesionales, realizó un análisis sicológico en
planteles educativos. Este reveló que el 54% de estudiantes niños y jóvenes
tiene dificultades y vacíos en matemáticas.
Para que la asignatura de matemáticas pueda ser mejor captada, se necesita
de una mente tranquila y relajada que permita asimilar ya que se requiere de
un gran dominio de atención, memoria y concentración. Sin embargo, la
77
presión por parte de los maestros y la falta de paciencia para repetir una o dos
veces más el desarrollo del problema, da como resultado una respuesta
general de los alumnos: ¡no me gusta la materia¡
II JUSTIFICACION.-
En el momento de plantearse que matemáticas deben trabajar los/las
alumnos/as de educación secundaria, conviene hacer una consideración
previa: las matemáticas han de estar relacionadas con la realidad de nuestros
estudiantes, deben tener sentido para ellos en el momento en que estudian y
aprenden. No son validas las justificaciones futuristas: lo necesitas para el
próximo curso, ya verás cómo lo utilizas más adelante, etc.
Las matemáticas son una ciencia viva que se inicia a partir de las necesidades
de los hombres de conocer y descubrir su entorno físico y social. Por tanto, si
queremos que los conceptos matemáticos tengan sentido y puedan ser
utilizados posteriormente por los educandos, debemos presentarlos en relación
con una situación concreta, con un problema real que precise solución, donde
lo que interese sea la solución y solo en segundo término el concepto
matemático.
La solución deberá ser aplicada y comprobada, mas tarde se verá su utilidad
en otras situaciones y a partir de ahí podremos ir generalizando y formalizando
el concepto matemático que contiene.
El entorno de los/as alumnos/as es, a cualquier edad, suficientemente rico
como para plantear una diversidad de cuestiones con sentido, significativas,
desde el punto de vista del conocimiento y de su formación. Estas cuestiones
necesitan de las matemáticas para ser comprendidas, estudiadas o
expresadas y es a partir de ellas que el trabajo en matemáticas se llena, a su
vez de sentido.
En los últimos años hemos asistido a numerosas reformas y cambios en el
currículo de matemáticas, pero estos cambios han dependido más de las
78
características y evolución de la propia disciplina que de las necesidades socio
cognoscitivo del estudiante.
Hasta la década de los setenta la enseñanza de las matemáticas estaba
basada en un modelo algorítmico, su objetivo era que el estudiante
memorizara una serie de “técnicas ad hoc” encaminadas a resolver problemas
considerados básicos desde el punto de vista matemático.
Se tenía la idea que aprender matemáticas era aprender técnicas para realizar
operaciones, la comprensión conceptual, o no se planteaba o se daba por
supuesto que se lograba a través del ejercicio continuado y repetido tales
técnicas.
Pero en los años setenta se producen grandes cambios curriculares que
empiezan a introducirse a partir de la Reforma Educativa de 1970, dichos
cambios se caracterizan por la introducción de la llamada matemática
moderna, cuyo objetivo era fomentar el razonamiento y la capacidad lógica por
encima del mero cálculo en que se basaban las matemáticas clásicas.
Se pasaba así de un modelo de enseñanza formalista que pretendía enseñar
estructuras matemáticas vacías de contenido intuitivo, los contenidos de la
teoría de conjuntos y algebra llenaron los libros de textos de la época.
La nueva matemática, creada y difundida a principios del siglo XX, volvía a
interpretar las teorías matemáticas existentes de la época, desde un nuevo
modelo más potente y globalizador, integrando los diversos contenidos
matemáticos que podían ser formalizados a partir de una estructura común.
Sin embargo la introducción de la matemática moderna no fue nunca bien
recibida ni comprendida por los docentes, la reforma se limito a cambiar unos
contenidos por otros, o, la mayoría de las veces, a añadir los nuevos
contenidos a los clásicos, con la consecuente sobrecarga de los programas,
las criticas de educadores, matemáticos y psicológicos no se hicieron esperar,
y progresivamente las matemáticas modernas fueron desapareciendo de los
79
programas oficiales, acusadas, fundamentalmente, de excesivo formalismo y
falta de aplicación real.
Consecuentemente, como reacción a este excesivo formalismo, a principios de
los ochenta surgió una tendencia que propugnaba enseñar una matemática
más ligada a la realidad y a la solución de problemas reales y concretos.
La resolución de problemas ha sido el eje alrededor del cual ha girado la
enseñanza de las matemáticas en los últimos quince años, y en este sentido
se orientan las recomendaciones de diferentes documentos elaborados por las
principales asociaciones mundiales para la enseñanza de las matemáticas.
La creciente complejidad y tecnificación de la sociedad actual, la presencia de
potentes computadoras que realizan rápidamente complicados cálculos, la
interrelación entre las diferentes ciencias, que exige un trabajo coordinado e
interdisciplinar, etc., deben de llevar a docentes y matemáticos a una profunda
reflexión sobre el cual es el tipo de matemáticas que se debería enseñar.
Sin duda, el concepto de utilidad de la matemática está cambiando, su objetivo
ya no puede ser el de enseñar a razonar o el de enseñar un riguroso método
deductivo encaminado a validar las propias teorías matemáticas, sino el de ser
instrumento de conocimiento y transformación de la realidad, desde esta
perspectiva debe entenderse el movimiento de las matemáticas para todos o la
creciente importancia de las llamadas etno-matemáticas que se orientan hacia
la búsqueda y enseñanza de actividades ligadas a la vida cotidiana.
No obstante, hay que preguntarse si este nuevo enfoque no incurrirá, una vez
más, en los mismos errores que llevaron al fracaso tanto a las matemáticas
clásicas como a las modernas, en efecto, esta rápida visión de los sucesivos
cambios curriculares lleva a cuestionarnos si no se trata de un continuo cambio
de contenidos y objetivos, sin que simultáneamente se produzcan un
verdadero cambio metodológico y conceptual.
80
Los cambios programáticos descritos han venido siempre mas determinados
por las reflexiones epistemológicas de los propios, matemáticos y filosóficos y
las nuevas aportaciones o descubrimientos de la matemática misma, que por
razonamientos psicopedagógicos sobre los procesos de enseñanza-
aprendizajes, la introducción de la matemática moderna en los programas
escolares es una buena prueba de ello.
Tanto si se trata de una enseñanza algorítmica como si es estructural, el
problema fundamental es que la enseñanza de las matemáticas ha sido
básicamente formalista, la manipulación de signos y la primacía de los
aspectos puramente sintácticos sobre los semánticos ha sido una constante.
III OBJETIVOS.-
Los estudiantes deben apreciar el papel importante que cumple las .
. Matemáticas en el desarrollo científico y tecnológico y explorar las . . .
. . . conexiones con las otras áreas y disciplinas del conocimiento.
El lenguaje matemático permite expresar oral o por escrito ideas
diversas, formular definiciones y realizar generalizaciones, reflexionar y
clarificar sobre conceptos y relaciones, es decir, que el uso de signos,
símbolos términos matemáticos para recibir y emitir información
desarrolla la economía, potencia y elegancia del lenguaje matemático.
El trabajo escolar debe permitir a los estudiantes la capacidad de usar
su creciente potencia matemática para darle sentido a situaciones
problemáticas nuevas en el mundo que los rodea.
Desarrollar en los estudiantes la capacidad de resolver problemas es
esencial si queremos ciudadanos productivos. La resolución de
problemas es la espina dorsal de la enseñanza a nivel secundario y
obliga que algo tan evidente se precise resaltarlo.
El trabajo escolar de la Matemática permite elaborar y comprobar
criterios, formular ejemplos y contraejemplos, seguir argumentos
81
lógicos, analizar la validez de un argumento y construir argumentos
sencillos válidos. La Matemática es una buena escuela de raciocinio.
IV COMPONENTES.-
¿Cómo deberían enseñarse las matemáticas?
Para dar respuesta a esta pregunta ha surgido en los últimos años gran
cantidad de información, cuya dimensión se refleja en la multitud de
publicaciones, congresos, jornadas y encuentros dedicados al tema, sin
embargo, y a pesar de lo mucho que se ha escrito sobre el particular, son
muchas las personas, incluso las que no ha leído nada sobre la enseñanza de
las matemáticas, que emiten juicios, opinan y dictaminan sobre cómo debe o
cómo no debe orientarse la cuestión, y es que, todo el mundo es y se siente
conocedor, todo el mundo sabe, por que ha tenido experiencias, por que ha
sido objeto de la Didáctica de las Matemáticas en algún momento de su vida.
Las opiniones se vierten fundamentalmente en tres líneas: la epistemología
(que matemáticas queremos que aprendan o cuales deben ser las matematices
escolares) la psicológica (cómo se aprende o cómo se adquiere o produce el
conocimiento) y la metodológica (cómo debe enseñarse o cómo llevar adelante
la enseñanza), cada una de estas se relacionan entre si apoyándose unas a
otras.
A continuación se pretende señalar la evidencia que existen pareceres en
contraste cuando se trata de opinar acerca de la naturaleza de las matemáticas
que deben saber los estudiantes, la forma de enseñarles y la forma en que las
aprenden.
Diferencias epistemológicas.-
La educación debe atender únicamente aquellos aprendizajes que son
idénticos a los que los estudiantes van a necesitar y que es un error dedicar
tiempo a aprendizajes que son socialmente estériles? Los que así piensan
82
entienden que las matemáticas son como una herramienta, algo para manejar y
aplicar: símbolos y fórmulas, algoritmos y técnicas bien memorizadas.
No extrañaría que las personas que así piensen, se sientan satisfechas cuando
contemplan a sus hijos esforzándose hora tras hora en hacer deberes
mecánicos y aburridos (que ellas no realizarían sin recurrir a una calculadora)
estudiantes obedientes, sufren la rutina de un calvario plagado de eso está
mal!, otra vez te has equivocado!, vuélvelo hacer!, hasta que al fin Eureka son
capaces de dar la respuesta estipulada, por el procedimiento estipulado, en el
tiempo estipulado y un suficiente número de veces.
Bajo esta concepción los estudiantes tienen que aprender a distinguir entre
respuesta estipulada y respuesta pertinente para no abrir la puerta a un tipo
frecuente de fracaso escolar, fracaso escolar que se deriva del hecho de que
cuando el docente hace una pregunta, el estudiante no solo tiene que entender
el enunciado de lo que se le está preguntando sino que además debe adivinar
que es lo que se desea que conteste, rechazando lo que para él sería la
respuesta lógica.
Por ejemplo, si el docente pregunta si a 5n le quitamos n cuanto queda? Si el
estudiante responde queda 5 estará dando una respuesta que va a ser
considerada errónea, para él la respuesta es pertinente pero no para el docente
que desea como respuesta 4n. ¿Quiere esto decir que el estudiante no sabe la
respuesta? Para lograr la respuesta deseada convendría ser algo más
cuidadoso y realizar la pregunta de otra manera ¿Cuánto equivale 5n-1n?
Los estudiantes tienen que aprender, así mismo, que determinadas palabras se
emplean en matemáticas con un sentido diferente al que tienen en el lenguaje
usual, se nos ha informado que una persona visito un aula de estudiantes entre
10 y 11 años, tras preguntar ¿Cuál es la diferencia entre 10 y 7? Recibió como
respuesta 10 es par y 7 es impar en lugar de 3, como esperaba, diferencia es
una de las muchas palabras a cuyo significado matemático han de
acostumbrarse los estudiantes.
83
En contra de esta postura de aprender exclusivamente lo que se necesita para
la vida diaria está la postura de los que creen que los estudiantes no deben
hacer lo que puedan hacer máquinas y que por lo tanto no hay que
presionarles haciéndoles memorizar mecanismos que no acaban de entender,
lo importante es desarrollar habilidades de índole general que les sirvan para
comprender la realidad del que están inmersos, la conceptualización y
significación de los procesos matemáticos generales, sabiendo donde son
aplicables y bajo qué condiciones, lo que se busca con esta propuesta es que
las matemáticas no se aprendan mecánicamente, ya que cuando los
estudiantes se aprenden como reglas los pasos de las técnicas operatorias
tienen dificultades para decidir que técnicas deben aplicar ante los casos
particulares. ¿No sería mejor que en lugar de abordar la sustracción de
fracciones resolviendo ejercicios utilizando preguntas 6/2 – 3/5, se abordara la
cuestión utilizando preguntas como ¿Cuál de las dos fracciones es mayor y
cuánto?
Existe también el punto de vista formalista, donde lo importante es el lenguaje
formal, la coherencia sintáctica, la estructura lógica. Las ideas matemáticas
vienen de las definiciones y axiomas y la tarea del educando consiste en
habituarse a ellas y en saber manipularse de acuerdo al problema u operación
a resolver, un efecto negativo derivado de esta concepción es el rechazo a los
razonamientos informales del estudiante que desde el punto de vista de la
matemática son muy valiosos.
Por ejemplo, José empieza a jugar con 0 canicas y Aurora con 100 canicas,
cada vez que José toma 3 de la caja, Aurora toma 2. El juego termina cuando
los dos retiraron todas las canicas. ¿Cuántas canicas tiene José y cuantas
tiene Aurora al terminar el juego?
Respuesta formal:
Es un problema de algebra y para obtener el resultado es cuestión de plantear
una ecuación: 3x = 100 - 2x. por tanto José tiene 60 canicas y Aurora 40
canicas
84
Respuesta informal:
Quizás la respuesta es tan sencilla que no valga la pena realizar ecuaciones
¿No estará la respuesta en algún número de fácil manejo como 20, 40, 60 o
100?
¿Qué pasara después de 20 movimientos? Que José tendrá 60 y Aurora 100 -
40.
La respuesta formal, es estándar y general, la respuesta informal, es personal y
particular, en la primera se aplica la herramienta tal como se aprendió en la
clase de matemáticas, en la segunda se hace uso de algo que no
necesariamente se aprende en la clase de matemáticas ¿Qué respuesta es
más valiosa, el método general, válido para infinidad de casos o el método
particular adecuado a las especies circunstancias de cada situación?
La pregunta formulada así es retórica, no es cuestión de negar ninguno de los
dos caminos para resolver el problema, la flexibilidad, sopesar las dos opciones
y elegir la que parezca mejor, es positiva, no hay que llevar las cosas a un
punto en que la subordinación a una forma de trabajar sea tal que obstaculice o
inhiba a la otra, debemos recordar que la formalización, el rigor, la coherencia,
la ausencia de ambigüedad y las características del conocimiento matemático
no son el punto de partida, sino mas bien el punto de llegada de un largo
proceso de construcción.
Es preciso comprender que la actividad matemática no se limita a puros actos
formales en el vacío, sino que como toda actividad intelectual es una actividad
humana en un contexto cultural que se ve afectado por la interacción con otras
personas, por la propia historia individual, por el hecho de producirse en un
organismo vivo y que depende de un gran número de variables: afectivas,
lingüísticas y ambientales.
Debemos admitir que el entendimiento y el significado de los conceptos no se
derivan tanto de sus definiciones como de la clase de problemas que estos
conceptos permiten resolver. Quizás todas las diferencias epistemológicas
señaladas solo sean un problema de enfoque, tal vez se confunde lo que son
85
las matemáticas como disciplina científica con las matemáticas como objeto de
estudio escolar.
Diferencias metodológicas.-
Dos tendencias básicas dominan el panorama de la enseñanza de las
matemáticas: una que defiende la enseñanza directa y otra alternativa que
defiende la enseñanza por descubrimiento o con experiencias personales.
Tomemos como ejemplo la enseñanza de la fórmula del binomio al cuadrado:
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2
Caso 1.
En un enfoque tradicional (enseñanza directa) se presenta la igualdad, dándola
como cierta, y se procede a la comprobación mediante una demostración que
consiste, normalmente, en el desarrollo algorítmico que se deriva de las
propiedades estructurales que rigen la operación algebraica, en particular, la
ley de la distribución:
(x + a)2 = (x + a) (x + a) = (x + a)x + (x + a)a =
x2 + ax + xa + a2 = x2 + 2ax + a2
La instrucción, clara, directa, ordenada, precisa y elegante termina cuando el
docente, para provocar la memorización de la igualdad, dicta y hace que los
estudiantes repitan en coro: el cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del
primer término más el doble del producto del primer término por el segundo
más el cuadrado del segundo, a continuación presenta la lista de ejemplos para
que el estudiante la ejercite.
Caso 2-
En un enfoque con experiencias personales se busca un entorno de
aprendizaje que modele o interpreta la expresión (x + a)2 y que provoque o de
paso a la actividad individual, por ejemplo, pedimos a los estudiantes que
86
recorten un cuadrado de cartulina o cartón de lado x + a y otros dos cuadrados
más pequeños de lados x y a, hacemos las preguntas adecuadas y les
pedimos que formules alguna relación entre ellos: ¿se puede descomponer el
cuadrado de lado x + a de modo que en la descomposición aparezcan los
cuadrados más pequeños de lado x y de lado a? ¿Qué otras figuras aparecen?
¿Cómo son esas figuras? ¿Qué se puede generalizar acerca del cuadrado
grande y los cuadrados pequeños?
a
(x + a)2 = a
x
x
El docente garantiza que se alcance el resultado esperado dirigiendo al
estudiante y ayudándole con la notación adecuada, el método por
descubrimiento, admite distintos caminos con distintos grados de conducción
por parte del docente.
El caso 1 tiene un enfoque tradicional seda mucha importancia a lo formal, en
la utilización y manipulación de símbolos escritos en el papel y sin ningún
significado en la memorización de hechos establecidos y en el aprendizaje de
rituales desprovistos de todo significado concreto.
El caso 2 tiene un enfoque en el que los signos utilizados tienen una
interpretación realista (en el ejemplo hay un modelo geométrico que los
interpreta y da sentido a la fórmula como descripción matemática de una
situación real) y es la actuación sobre la situación de aprendizaje lo que da
sentido y validez a la fórmula.
Las anteriores metodologías nos plantean concepciones diferentes acerca del
papel de la actividad y de lo que debe ser el aprendizaje escolar, en el primer
caso, hay una postura centralista por parte del docente, que debe presentar un
xa a2
x2 xa
87
producto que otros han elaborado, el estudiante mira, escucha, contesta
preguntas, repite a coro y, sin involucrarse aprende, en el otro caso, a
diferencia de lo que ocurre con la presentación tradicional de sentarse y
esperar a que el docente haga y diga lo que hay que hacer, la clase esta
descentralizada y el estudiante debe rematar un producto en elaboración, el
estudiante marca su propio ritmo, toma la iniciativa y aprende a hacerse
responsable de su trabajo, de lo razonable de su análisis y de la cantidad de
sus anotaciones y conclusiones.
Diferencias psicológicas.-
Un estudiante de secundaria está aprendiendo a multiplicar, ya sabe multiplicar
números de dos cifras por números de una cifra, colocándolos ordenadamente
en la forma usual, como en el ejemplo:
23
X4
El estudiante sabe multiplicar reconociendo y aplicando las propiedades
conmutativa, asociativa y distributiva, sabe decir que propiedades y que
operaciones se han aplicado en igualdades dadas, como:
(5 + 30) x 6 = (5 x 6) + (30 x 6)
El estudiante se enfrenta por primera vez a la multiplicación de dos números de
dos cifras, por ejemplo: 57 x 23 ¿Será capaz de resolverla con los
conocimientos adquiridos, sin darle más instrucción?
Caso 1.
Bajo una concepción tradicional de la transferencia del conocimiento el
estudiante no va a resolver la operación, la multiplicación de números de dos
cifras difiere de la multiplicación que el ya sabe hacer. Hay necesidad de
reflexionar sobre la manera de distribuir el producto en productos parciales,
sobre la forma de colocar los resultados que va obteniendo y sobre la forma
más adecuada para sumarlos que no va a poder realizar sin ayuda externa, no
88
parece lógico que detecte la conveniencia que es algo que no le ha sido
enseñado.
Caso 2.
Por el contrario en una concepción más liberal se puede esperar que si se
produzca la necesaria transferencia de conocimientos, lo que ya sabe hacer
cuando la multiplicación es de forma 57 x 3 será para el fácilmente
generalizable a la nueva situación 57 x 23 pero cuidado, esta generalización
solo se realizara en el caso que su docente haya sido cuidadoso; es decir, si se
ha preocupado de que el estudiante se percate de (el papel de la propiedad
distributiva en el algoritmo) la conveniencia de parcelar los productos de
acuerdo con las ordenes de unidades (unidades, decenas, centenas, etc.)
Si esto sucede, es razonable pensar que el estudiante hará una doble
distribución:
57 x 23 = (50 + 7) x 23 = (50 + 7) x (20 + 3) = 3 x (50 + 7) + 20 x (50 + 7)
y después efectuará los arreglos pertinentes para sumar los productos
parciales, aunque al principio no utilice la notación en columnas usual.
La primera concepción (caso 1) se mueve en la hipótesis tradicional de que el
docente enseña al estudiante y que el estudiante aprende lo que le es
enseñado, la otra (caso 2) aprovecha la conducta espontanea de los
estudiantes cuando se enfrentan a los problemas matemáticos bajo la hipótesis
de que ellos inventan sus propios métodos y que esos métodos, quizá
totalmente diferentes a los usualmente presentados por el maestro, pueden ser
más adecuados a sus propias maneras de pensar.
En el caso 1 se duda de lo que el pensamiento es capaz de lograr por si solo;
en el caso 2, se confía en las posibilidades de la mente del estudiante, pero
aun así, este segundo enfoque es limitado en cuanto a lo que se deja hacer el
estudiante y en cuanto al aprovechamiento de su conocimiento informal,
existen enfoques más liberales que se están experimentando en varios países.
89
Cuando la multiplicación con números de un digito está bien comprendida, el
estudiante podría reflexionar cómo desarrollar estrategias para resolver
multiplicaciones con números de dos dígitos. Por ejemplo:
285 x 17
Puede ser fragmentada en productos parciales por aplicación de la propiedad
distributiva:
285 x 17 = 285 x (10 + 7) =(285 x 10) + (285 x 7)
Pudiendo ser resuelta en varios pasos:
285 x 10 = 2850
285 x 7 = 200 x 7 = 1400
80 x 7 = 560
5 x 7 = 35
285 x 7 = 1995
285 x 17 = 2850 + 1995 = 4845.
En este tipo de presentación, se admite la flexibilidad en la elección del formato
y se enfatiza la aplicación de las propiedades estructurales de la operación,
debemos considerar que la complejidad se encuentra más que en el tamaño de
los números, en los sucesivos grados de esquematización y abreviación, ya
que lo que se persigue es ir aumentando la brevedad en lo que se escribe y la
rapidez del caculo, de esta manera no hay por qué tratar separadamente las
multiplicaciones de un número de varias cifras por otro lado de una, dos o tres
cifras, básicamente el algoritmo es el mismo.
Anteponiendo la flexibilidad del cálculo a la rigidez usual, se pretende que el
algoritmo sea desarrollado gradualmente por el estudiante como resultado de la
ponderación de sus ventajas e inconvenientes frente a estrategias alternativas,
redescubriendo las reglas que los seres humanos han tardado siglos en
90
elaborar, por lo tanto el algoritmo es el resultado de una actividad humana que
el estudiante puede revivir guiado por el principio de la reinvención
(entiéndase: recrear y saber cómo se obtiene y las razones de sus pasos)
V RESULTADOS ESPERADOS.-
Que los estudiantes de educación básica: Comprendan e interpreten, formulen
y resuelvan, problemas y ejercicios matemáticos, geométricos, mediante el
empleo de modelos y técnicas de cálculo aplicando métodos apropiados que
involucren criterios y demostraciones, generalizaciones utilizando sistemas
numéricos, funciones, geometría, estadística y probabilidad, desarrollando
comunicación, razonamiento y realizando conexiones matemáticas y
manifestando confianza, flexibilidad y perseverancia.
La competencia es ambiciosa pero necesaria para conseguir una sociedad
capaz de pensar y razonar matemáticamente. Para ser miembro productivo de
esta sociedad, todo ciudadano debería desarrollar una base común de
conocimiento y habilidades matemáticas. Esto implica que cada estudiante
debe comprender y usar la Matemática a través de la interpretación formulación
y resolución de problemas, tanto de la vida cotidiana como de la matemática
misma en un proceso de recopilación, descubrimiento y recreación de
conocimientos y procedimientos matemáticos.
VI PRESUPUESTO.-
Estará a cargo de los colegios donde se pondrá en ejecución este proyecto
más que todo en la capacitación de sus profesores de matemáticas.
VII COMPONENTES.-
¿Necesitan los docentes conocer teorías?
Si la docencia es considerada una profesión, los fundamentos teóricos de la
práctica cotidiana se transforman en un elemento imprescindible para dar
dirección a las propuestas de trabajo que se ofrece a los estudiantes.
91
Como lo anterior no se quiere suponer la necesidad del estudio pormenorizado
y riguroso de tal o cual teoría y su aplicación directa e inmediata en el aula,
sino la lectura de los principios que las caracterizan y como la elección de unas
y otras pueden favorecer la consecución del objetivo primario de los colegios
que los estudiantes aprendan.
El que el docente se pronuncie conductista, piagetiano, neo-piagetiano,
psicogenista o constructivista, no modifica su práctica docente por sola alusión
de la elección.
La práctica se enriquece cuando, diciéndose docente, se puede fundamentar la
elección de tal o cual proceso de enseñanza porque de esa manera se asegura
la adquisición del conocimiento por parte del estudiante.
Tenemos enfoques enfrentados como resultados de diferentes conceptos
epistemológicos, metodológicos o psicológicos acerca de la didáctica de las
matemáticas.
El trabajo diario del docente le obliga a tomar partido situándose ante las
diversas alternativas y adoptar decisiones que afectan las siguientes áreas:
Currículo: ¿Qué programa? ¿En qué contenidos se ha de poner el énfasis?
¿Cómo se debe segmentar y secuenciar la enseñanza?
Docentes: ¿Cuál es su papel? ¿Cuál es su responsabilidad? ¿Qué
metodología deben poner en práctica?
Estudiantes: ¿Qué se puede esperar de ellos? ¿Qué pueden aprender y
cómo? ¿Qué saben? ¿Qué actividades deben realizar en clase?
El resultado de la acción docente será producto del acierto o error en la toma y
aplicación de estas decisiones.
92
Aunque muchos docentes crean que puedan tomar la mejor decisión sin
necesidad de conocimientos teóricos, el hecho es que implícita o
explícitamente están equivocados en querer aplicar la teoría que determina el
currículo y su puesta en práctica.
También es oportuno reconocer que las teorías que conforman la práctica
escolar son casi siempre informales, ingenuas, no analizadas, implícitas y que
guardan poco parecido con las teorías más formales presentadas en los libros.
Estos docentes podrían dejarse llevar por la inercia, imitación, imposición o
ilusión, podrán confiar ciegamente en su sentido común o en el libro de texto,
aunque el libro de texto no contesta las preguntas que hacen los estudiantes ni
dice como resolver sus problemas individuales de aprendizaje, pero difícilmente
podrán justificar su trabajo y, lo que es peor, no entenderán por que hacen lo
que hacen, ni podrán saber con certeza si lo están haciendo bien o mal,
ignorarán por que unos estudiantes aprenden y otros no y no discriminaran lo
que de verdad interesa que aprendan de lo que es secundario y está más allá
de lo que realmente pueden aprender. Además, en la actualidad el discurso de
los docentes se hace de cierta manera, en función de unos conocimientos, de
unas teorías y de una terminología que, como docentes, es necesario conocer
por razones culturales (es poder estar informado y poder entender de que se
está hablando) y profesionales (resulta beneficioso para su labor docente
familiarizarse con las modernas aportaciones de las teorías educativas).
En definitiva, nos guste o no, la didáctica de las matemáticas se encuentran en
el filo de la navaja; los esfuerzos por innovar y mejorar que se vienen
sucediendo de forma continua no son suficientes; no basta con hacer una
propuesta, recomendación o experiencia piloto (como sucedió con la
introducción en nuestras escuelas de la matemática moderna), es preciso
implicar a los docentes de tal modo que el cambio no se pervierta.
Hay que optar por un cambio real frente al cambio nominal, y dentro del cambio
real, hay que lograr que no sea mecánico (simplemente la adopción de rituales
y rutinas del nuevo programa sin haber captado su intención) ni ilusorio, sino
93
que sea constructivo, es decir que implique la comprensión y aceptación de los
principios y valores subyacentes.
En definitiva, no basta con que los docentes conozcan las actuales sugerencias
para la mejora de la enseñanza de las matemáticas, sino que es necesario que
las entiendan y que conozcan los argumentos teóricos que las sustentan.
Anteriormente se ha dicho que las sucesivas formas que se han producido en
los últimos años en la enseñanza de las matemáticas han venido mas
determinados por los cambios internos acaecidos en la misma matemática que
por principios psicopedagógicos sobre los procesos de enseñanza-aprendizaje.
Se ha incidido mas en que se enseñaba que en cómo, y el espíritu formalista
que da prioridad a los aspectos axiomáticos y deductivos, al rigor y al lenguaje
formalizado, ha presidido en general la enseñanza de las matemáticas.
Dentro de las teorías que tratan de ofrecer una respuesta al complejo problema
de las formas de adquisición del conocimiento, se pueden diferenciar, grosso
modo, dos grandes grupos: las teorías asociacionistas y las teorías cognitivas.
Las primeras tratan de estudiar los cambios en la conducta manifiesta u
observable de los individuos, mientras que las segundas se interesan por el
estudio de los procesos internos que tienen lugar en la mente del individuo y
que explicarían la conducta.
Mientras que las primeras se acogen a un modelo de caja negra que explica el
vinculo entre el estimulo y respuesta, en términos de conexión o asociación, las
segundas tratan de esclarecer los procesos mentales a través de los cuales se
constituyen los sistemas de relación que subyacen al conocimiento.
La resolución de problemas como propuesta didáctica.-
En la enseñanza de las matemáticas se debe orientar y conducir al estudiante
hacia la resolución de problemas.
94
¿Qué significa orientar y conducir al estudiante hacia la resolución de
problemas? Cabe al menos tres interpretaciones:
Enseñar a resolver problemas:
Proponer a los alumnos más problemas de un modelo parecido
Emplear aplicaciones de los problemas a la vida cotidiana y a su
entorno
No proponer solo ejercicios si no también problemas, prácticos que
promuevan la búsqueda y la investigación por los alumnos
Enseñar sobre la resolución de problemas:
El objetivo es que los estudiantes lleguen a aprender y a emplear sus
propias estrategias para la resolución de problemas.
Enseñar vía resolución de problemas:
Enseñar las matemáticas a través de problemas.
En un seminario celebrado en, España, en 1982, el profesor C. Gaulin, al
preguntar por los objetivos de la resolución de problemas, los docentes
asistentes enumeran los siguientes:
- Desarrollo de la capacidad de razonamiento
- Aplicación de la teoría previamente expuesta
- Resolución de cuestiones que la vida diaria plantea
La primera propuesta, durante muchos años fue un argumento aceptado por lo
general sobre las virtudes de la educación matemática, que con el paso del
tiempo se ha convertido en un mito.
Las dos últimas caen dentro de la primera interpretación, el relator del
seminario concluye con una nota diciendo que al final, pareciéndole que el
docente al buscar algo más, con regularidad, termina por olvidarse la propuesta
95
de problemas con el fin de elaborar una teoría, esto es, para explorar y
aprender nuevos conceptos. En efecto, pese a ser eminentemente formativa,
no es tomada en cuenta por el docente.
La heurística moderna, trata de comprender el método que conduce a la
solución de problemas, en particular las operaciones típicamente útiles en el
proceso. “Tener un problema significa buscar de forma consciente una acción
apropiada para logra un objetivo claramente concebido pero no alcanzable de
forma inmediata”.
Uno de los primeros intentos para clarificar la noción de problema, originado
por el interés en mejorar la calidad de enseñanza de la solución de problemas,
se utiliza los siguientes elementos estructurales
La situación en la cual se enmarca el problema mismo.
La formulación del problema, definición explicita de la tarea a realizar.
El o conjunto de soluciones que pueden considerarse como aceptables
para el problema.
El método de aproximación que podría usarse para alcanzar la
solución.
Ejemplos:
Ejercicio.-
Calcular (5 x 3) + (7 x 2) =
Problema de texto.-
Arturo ha comprado una hamburguesa y una coca-cola y paga con un billete de
$ 5.00. La hamburguesa cuesta $ 1.80 y la coca-cola $ 0.9 ¿Cuánto recibió a
cambio?
96
Rompecabezas, juego, acertijo.-
A partir de seis palillos construir cuatro triángulos equiláteros.
Prueba de una hipótesis.-
Demostrar que si a, b y c son enteros impares, entonces las raíces de la
ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 no son racionales.
Problemas de la vida real.-
Queremos sembrar césped en un jardín cuya forma es irregular, deseamos
estimar la cantidad de metros cuadrados de césped que debemos comprar.
Situación.-
Considere las siguientes parejas de números primos gemelos (2,3) (3,5) (5,7)
(11,13) (17,19) (29,31) (41,43) (71,73)
Se considera que, para una buena resolución de los problemas, el estudiante
debería intentar resolver una gran variedad de los mismos es decir de tipos
parecidos en base a una formulación
Además tan importante como resolver problemas es acostumbrarse a plantear
problemas a partir de situaciones que requieren una formulación idónea de los
mismos.
Se considera que la resolución de un problema consiste, tiene cuatro fases
bien definidas:
Comprender el problema
Concebir un plan
Ejecutar un plan
Examinar la solución obtenida
97
Para cada una de estas fases, se elabora una larga lista de preguntas para el
estudiante ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿Es suficiente la
información proporcionada por los datos? ¿Te has encontrado con un problema
semejante? ¿Podrías enunciar el problema de otra forma? ¿Has empleado
todos los datos? ¿Son correctos los pasos dados? ¿Puedes verificar el
resultado? ¿Puedes verificar el razonamiento?
Mientras que el docente, debe hacer que se interesen y debe darles el mayor
número posibles de ocasiones de imitación y practica; el docente debe ayudar,
pero no mucho, ni muy poco, de suerte que le deje asumir una parte
considerable del trabajo; el docente debe ponerse en el sitio del alumno para
tratar de comprender su punto de vista e indicar algún camino que pudiese
ocurrírsele al propio estudiante.
Al preguntar a los estudiantes ¿De qué otra manera pueden obtener otra
solución? Se presentas efectos beneficiosos como ser:
- Es un desafío y la oportunidad de ser creativo o inventivo en clase de
matemáticas, si lo que inventan es nuevo para ellos y sienten que lo han
descubierto ellos solo, se sentirán satisfechos y se animaran a repetir la
experiencia.
- Intentar encontrar resultados de maneras diferentes puede llevar a. por
ejemplo, generalizar o particularizar, buscar analogías con otros
problemas ya resueltos, en fin, a mejorar las propias técnicas generales
de resolución de problemas.
- Analizando diferentes soluciones de un mismo problema, es casi seguro
que los estudiantes descubrirán relaciones que incrementarán su
compresión de los aspectos matemáticos que rodean al problema.
- Cuando el estudiante se adapta a emplear otras soluciones, un
problema no lo considera acabado aunque hayan logrado una solución.
Esta actitud es muy beneficiosa en comparación con la de otros
estudiantes que, resuelto el problema, lo abandonan y lo archivan, sin
sacar partido y pierden mucho de lo valioso que pueda encerrar.
98
- Preguntar a los estudiantes sobre diferentes soluciones introduce
elementos sorpresa; los docentes muchas veces nos encontramos con
situaciones y respuestas interesantes que no conocíamos, nos enseñan
nuestros estudiantes.
Se propone un marco de cuatro componentes que sirve para el análisis de la
complejidad del comportamiento en la resolución de problemas:
- Recursos cognitivos: Conjunto de hechos y procedimientos a a
emplearse por quién resuelve el problema.
- Heurísticas: Reglas para progresar en situaciones complejas.
- Control: Emplear todo lo que permita un uso eficiente de los recursos
disponibles.
- Sistemas de creencias: Las perspectivas respecto a la naturaleza de
las matemáticas y como trabajar en ella.
Cada uno de estos componentes expone las carencias y el poco éxito en la
resolución de problemas y de los resultados. Así cuando a pesar de conocer
las reglas no se cual utilizar o como utilizarla, señalan la ausencia de un buen
control o gestor de los recursos disponibles.
Pero las reglas y un buen control no son suficientes, porque puede quién
resuelve el problema no conozca un hecho, algoritmo o procedimiento
especifico del dominio matemático del problema en cuestión.
En estos casos se observa la falta de recursos cognitivos en la resolución de
los problemas. Por otro lado, puede que todo lo anterior esté presente en la
mente de quien resuelve el problema, pero sus creencias de lo que es resolver
problemas matemáticos o de la propia concepción sobre las matemáticas haga
que no progrese en la resolución.
Por último las heurísticas, que lamentablemente la mayor parte de las veces
se carecen de ellas en la resolución de problemas matemático, se dispone de
conocimientos específicos del tema o dominio matemático del problema,
99
incluso de un buen control pero la falta o falla del empleo de las reglas no se
puede superar las dificultades en las tareas de resolución.
Las heurísticas son las operaciones mentales muy útiles para la resolución de
problemas, son como reglas que favorecen el éxito en el proceso de la
resolución, dan sugerencias generales que ayudan al individuo o grupo a
comprender mejor el problema y hacer progresos hacia su solución.
Existe una amplia, lista de heurísticas (reglas o modos) entre las más
importantes tenemos las siguientes:
Buscar un problema relacionado
Resolver un problema similar más sencillo
Dividir el problema en partes
Considerar un caso particular
Hacer una tabla
Hacer un esquema
Empezar el problema desde atrás
Variar las condiciones del problema
La característica más importante del proceso de resolución de un problema es
que, por lo general, no es un proceso paso a paso sino más bien un proceso
vacilante.
Cuanto más precisas sean las respuestas a las preguntas:
¿Qué estoy haciendo?
¿Por qué lo hago?
¿Para qué lo hago?
¿Cómo lo usare después?
100
Permitirá que el control sea mejor sobre el problema y las decisiones a tomar
para la solución.
No tomar decisiones acertadas y de control, suelen tener efectos desastrosos
en el proceso de resolución de un problema.
Al no disponer el estudiante un plan lógico de solución, las probabilidades son
altas a fracasar en la resolución de un problema.
101
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105
ANEXOS
106
ANEXO 1 E N C U E S T A
Datos de control del estudiante encuestado:
Edad ______________ Sexo M ( ) F ( )
Curso _______________ Colegio___________________________
Marque con una X la respuesta (sólo una).
1.- ¿Considera que es fácil el aprendizaje de las matemáticas?
SI ( ) N0 ( )
2.- ¿Considera apropiadas las horas de matemáticas que usted recibe?
SI ( ) N0 ( )
3.- ¿En su tiempo libre dedica horas de estudio a las matemáticas?
SI ( ) N0 ( )
4.- ¿Le parece interesante la clase de matemáticas?
SI ( ) N0 ( )
5.- ¿Cree UD que las matemáticas le ayudan en su diario vivir?
SI ( ) N0 ( )
6.- ¿Le gustaría aprender otra asignatura en reemplazo de las matemáticas?
SI ( ) N0 ( )
7.- ¿Le gustaría que incrementen las horas de matemáticas en su colegio?
SI ( ) N0 ( )
8.- ¿Considera que en su colegio o aula hace falta algo que le permita mejorar el aprendizaje de las matemáticas? SI ( ) N0 ( )
9.- ¿Considera usted que su profesor de matemáticas domina los contenidos?
SI ( ) N0 ( )
10.- ¿Al final de la clase su profesor de matemáticas evalúa su aprendizaje?
SI ( ) N0 ( )
Se le agradece su valiosa colaboración.
107
ANEXO 2
LA ENTREVISTA
1. ¿Al iniciar considera que es necesario realizar una evaluación a los/as estudiantes/as para
conocer su grado de conocimiento?
2. La planificación es importante en toda actividad, ¿Ud., planifica las estrategias en la
enseñanza de matemáticas para conseguir un mejor rendimiento?
3. ¿Emplea algún software para la enseñanza en matemáticas?
4. ¿Cuántos seminarios o talleres de actualización pedagógica en matemáticas tiene durante
el año escolar?
5. ¿Qué modelo pedagógico emplea Ud., en la enseñanza de las matemáticas?
6. ¿A cuantos estudiantes por aula enseña matemáticas y cuál sería el número ideal de
estudiantes para conseguir un mejor rendimiento en el aprendizaje?
7. ¿Existe algún procedimiento o política en su colegio para disminuir la tasa de repetición y
el abandono de los estudios?
108
ANEXO 3
DATOS DE LAS INSTITUCIONES OBJETO DE ESTUDIO
INSTITUCION PUBLICA
NOMBRE DEL COLEGIO Fernando Dobronsky Ojeda
FECHA DE CREACIÓN 5 de abril de 1978
REPRESENTANTE LEGAL Lic. Julio Cantuña - Rector
DIRECCIÓN Av. 21, Sindicato de Sales
CIUDAD / PROVINCIA Salinas / Santa Elena
TELÉFONO 042773874 - 2774094
INSTITUCION PRIVADA
NOMBRE DEL COLEGIO Unidad Educativa Rubira
FECHA DE CREACIÓN 26 de mayo de 1947
REPRESENTANTE LEGAL P. José Novoa Mendoza – Rector
DIRECCIÓN Av. Carlos Espinoza Larrea y calle San José
CIUDAD / PROVINCIA Salinas / Santa Elena
TELÉFONO 04 2776115 - 2776174
MAIL [email protected]
109
ANEXO 4
EXAMEN DE MATEMATICAS
Julio / 2010
1) EXPRESE SU RESPUESTA EN LA FORMA MAS SIMPLE DE:
√(√ )
(√√
)
2) RACIONALICE EL DENOMINADOR Y SIMPLIFIQUE :
√ √
√ √
3) SREALICE LA SIGUIENTE OPERACION
( )
( )
4) CALCULAR A CUANTO ASCENDERA EL CAPITAL DE $2000 COLOCADO AL 6% DE INTERES
COMPUESTO ANUAL DURANTE 8 AÑOS SI SE LOS CAPITALIZA ANUALMENTE
5) GRAFIQUE LA SIGUIENTE FUNCION:
F ( x ) = x² + 2x + 1 PROFESORES Dr. Manuel Tomala Ing. Julio Reyes
Notas Obtenidas
110
MATEMATICAS PARALELO A No NOMINA NOTA
1 ALEJANDRO VILLAO JOSÉ LUIS 4.5
2 ARELLANO ALTAMIRANO JENNIFER RUBÍ * 2.5
3 BAGUIO RAMÍREZ CAROLINA DEL CARMEN 6.5
4 BENAVIDES TIGRERO ASHLEY MICHELLE 5.9
5 CORONEL RUEDA DANIEL ALEJANDRO * 1
6 FEIJOO GONZÁLEZ FREDDY ENRIQUE 1.3
7 GÓMEZ RINCONES TATIANA PAOLA 0.5
8 MAGIAS MAGIAS YULY YAJAIRA * 1
9 MAGIAS TIGRERO JEYCO ARMANDO * 4.9
10 MUÑOZ ROSALES KATHERINE ABIGAIL * 4.1
11 PALACIO AGUIRRE LEIDY JOHANNA 1
12 RAMÍREZ BORBOR DANILO PAUL * 2.2
13 TIGUA FIGUEROA VÍCTOR HUGO *
14 TORRES BETANCOURT CARLOS YAMPIERE
15 ZAMBRANO CORNEJO PAYANA LISBETH * 2
16 RAMIREZ GONZALEZ DANILO 1.8
17 SANTOS PIZARRO IVAN 1
18 VERA GOMEZ VALERIA 4.5
PROMEDIO 2.8
MATEMATICAS PARALELO B No NOMINA NOTA
1 AQUINO SEGURA ER1KA CAROLINA 6.5
2 BALÓN BALÓN KEVIN ANDRÉS 2
3 BASTIDAS MONTERO JOSSELINE RAQUEL 6.5
4 BORBOR ALEJANDRO GIANELLA ANNABELLE 5.5
5 CARRION FLORES MARÍA FERNANDA 7.5
6 DEL PEZO LAINEZ KENNIA LIZBETH 7.5
7 GONZABAY ROSALES STEFANI ELIZABETH 6.5
8 GONZÁLEZ PILAY ANGIE DENISES 7.5
9 HELGUERO GARCÍA ANDREA PAOLA____ 6.5
10 LAINEZ RODRÍGUEZ RÓÑALO GABRIEL ©
11 MENOSCAL ALDAS DAVID RICARDO 9
12 PANCHANA TÓMALA LILIBETH VIVIANa 9
13 PANIMBOZA TIGRERO LUIS ANTONIO 6.5
14 PILCO TÓMALA MARÍA JOSÉ 10
15 REYES DE LA CRUZ LISSETTE CECILIA 6.5
16 RODRÍGUEZ GONZÁLEZ EVELYN GISELLA 2.5
17 SANDOVAL TALLEDO DANNY ISMAEL 2.5
18 SUAREZ GÓMEZ LEONARDO FRANCISCO 7
19 TORRES JORDÁN DENISSE GRACIELA 5
20 QUIROZ ASENCIO MARIA 2.5
21 PREDES SACON KATTY 1.5
22 LAINEZ MARTINEZ MONICA 0.5
PROMEDIO 5.6
111
MATEMATICAS PARALELO C No NOMINA NOTA
1 ALVAREZ VITERI CARLOS XAVIER 4
2 ASENCIO SUAREZ RUDDY ELIZABETH * 5.5
3 AVILA JARAMILLO TANYA MARIELISA
4 BALDEON SUAREZ DAHO WLADIMIR 1.1
5 BENITEZ AGUIRRE MARÍA LISSETTE 2.9
6 BERNABÉ BORBOR JOHN IVAN 7.8
7 BOHORQUEZ FLORES KATHERINE FERNANDA 3.5
8 CACAO CORTEZ JAIME ALEXANDER 6.8
9 CAISA MAZABANDA FRANKLIN RAMIRO
10 CARVAJAL BRITO ROSA VIVIANA 0.8
11 DEL PEZO MONTENEGRO RICHARD GEOVANNY 7.5
12 FLORES SALINAS RÜDDY ANDERSON
13 GONZÁLEZ MERO ROSARIO ELENA 1.5
14 MALAVE VIVAR MARÍA ISABEL 8.4
15 FALTAN GUERRERO SILVIA LORENA 1.5
16 PARRA FLORES JOSÉ LUIS 6.6
17 PIEDRA SANTILLAN CESAR ALEJANDRO 0.6
18 POZO TÓMALA JUAN CARLOS 9.9
19 REYES SALTOS PAQUITA AURORA 0.2
20 ROCA GONZÁLEZ FRANK FERNANDO 0.4
21 SANTOS SÁNCHEZ ANDREA MARIUXI
22 TIERRA CANDO LUIS CRISTÓBAL
23 URDÍALES VELIZ YASMIN ROCIÓ 3
24 VALLEJO YAGUAL VIVIANA MARISOL 0.8
25 VARGAS VERA LUPE FERNANDA
26 VEGA SÁNCHEZ JAIME GUILLERMO 2.5
27 VERA TÓMALA ANGÉLICA GABRIELA 10
28 ZUÑIGA GONZÁLEZ SANDRA STEFANIA
29 CASTILLO VARAS KERLY 2.6
30 BASTIDAS CHAN KAREN 0.6
PROMEDIO 4.43
112
ANEXO 5
RESULTADOS FINALES PRUEBAS SER
EVALUACIÓN INTERNA Y EXTERNA PRIMERA Y SEGUNDA CONVOCATORIA
PROVINCIA
DOCENTES EVALUADOS
INTERNA
DOCENTES EVALUADOS
EXTERNA
DOCENTES NO EVALUADOS
INTERNA
DOCENTES NO EVALUADOS
EXTERNA
PORCENTAJE EVALUADOS
INTERNA
PORCENTAJE EVALUADOS
EXTERNA
PORCENTAJE NO EVALUADOS
INTERNA
PORCENTAJE NO EVALUADOS
EXTERNA
TOTAL DOCENTES A
EVALUARSE
GUAYAS 1.258 1.231 533 560 70,2% 68,73% 29,76% 31,27% 1.791
SANTA ELENA 163 156 43 50 79,1% 75,73% 20,87% 24,27% 206
SANTO DOMINGO 171 178 184 177 48,2% 50,14% 51,83% 49,86% 355
LOS RíOS 589 575 505 519 53,8% 52,56% 46,16% 47,44% 1.094
ESMERALDAS 353 348 471 476 42,8% 42,23% 57,16% 57,77% 824
EL ORO 679 607 256 328 72,6% 64,92% 27,38% 35,08% 935
MANABí 1.621 1.412 665 874 70,9% 61,77% 29,09% 38,23% 2.286
GALÁPAGOS 21 21 0 0 100,0% 100,00% 0,00% 0,00% 21
TOTAL 4.855 4.528 2.657 2.984 64,6% 60,28% 35,37% 39,72% 7.512
NOTA: HUBO DOCENTES QUE SOLO DEBIERON PRESENTARSE A LA EVALUACIÓN EXTERNA
PORQUE LAS PRUEBAS DE LAS ASIGNATURAS QUE DICTAN SE TOMARÁN EN NOVIEMBRE.
OTROS DOCENTES SOLO DEBÍAN PRESENTARSE A LA EXTERNA PORQUE SE HABÍAN
EVALUADO INTERNAMENTE EL AÑO PASADO, EN UN PROCESO VOLUNTARIO.
Estos docentes son sometidos a
sumarios administrativos para destitución
113
EVALUACIÓN DOCENTE PRIMERA Y SEGUNDA CONVOCATORIA
FASE INTERNA
NO EVALUADOS
SI EVALUADOS
71
2.76%
1.873
72.88%
624
24.28%
2
0.08%
RESULTADOS EVALUACIÓN PRIMERA CONVOCATORIA(INTERNA MÁS EXTERNA)
TOTAL EVALUADOS
INTERNA Y EXTERNA
PRIMERA CONVOCATORIA:
2.570
114
ANEXO 6
MODELO DE PUEBA DE MATEMATICA 2009 (PRUEBAS SER)
INSTRUCCIONES
Lee con atención cada pregunta. Las preguntas presentan cuatro opciones de respuesta: A, B, C y D. Solo una de las opciones es la correcta. Resuelve el ejercicio en el espacio en blanco de la pregunta
respectiva.
Si la respuesta que obtienes es una de las opciones, pinta completamente con el lápiz, el rectángulo de esa opción, como en el ejemplo.
Toma en cuenta lo siguiente:
La prueba tiene 32 preguntas.
Para escribir, usa el lápiz que te entregan con la prueba.
No puedes usar calculadora.
Si necesitas cambiar una respuesta, debes borrar completamente la equivocada.
Si no sabes cómo responder a una pregunta, pasa a la pregunta siguiente y cuando termines la prueba, vuelve a las preguntas que no respondiste.
115
EJEMPLOS
0 ¿Qué fracción del área de la figura está sombreada?
A) 12
1
B) 12
5
C) 12
7
D) 12
12
M7NS045
Solución:
Sumamos las fracciones de área no sombreadas: 12
7
3
1
4
1
La fracción sombreada será la diferencia entre la unidad y el resultado anterior : 12
5
12
7
12
12
La respuesta 12
5, corresponde a la letra B.
En la hoja de respuestas pinta completamente el rectángulo que corresponde a la letra B.
116
PREGUNTAS Y PROBLEMAS PARA RESOLVER
1.- Si el perímetro del ABC es de 14cm, el valor del lado es:
A) 3 cm.
B) 4 cm.
C) 6 cm.
D) 7 cm.
M10FS-171
2.- En el listado de números racionales: 2
1;
3
1;
6
1 ;
7
1 ;
8
1.
Los dos números racionales más alejados entre sí, en la recta
numérica, son:
A) 7
1 ;
8
1.
B) 6
1 ;
2
1 .
C) 7
1 ;
2
1 .
D) 6
1 ;
8
1.
M10NC-131
117
3.- En la figura, ¿cuál es el valor del diámetro de la circunferencia?
A) 28 m
B) 14 m
C) 10 m
D) 14 m
M10GP-026
4.- Un pedazo de alambre tiene una longitud de 6 pies con 4 pulgadas.
Se conoce que 1 m = 3,28 pies y 1 pulgada = 2,54 cm. La longitud
del alambre en centímetros es:
A) 12 cm.
B) 64 cm.
C) 120 cm.
D) 193 cm.
M10MC-053
118
Se determinó el peso en kg de los alumnos de décimo año de
Educación Básica; con los resultados se construyó la siguiente
tabla de frecuencias:
Peso/masa
(kg)
No. de
alumnos
Peso No.
de alumnos
55 1 55
54 2 108
53 4 212
52 6 312
51 3 153
49 7 343
48 4 192
=1375
5.- Calcula la media aritmética ( x ) y determina la moda ( x̂ ). Los
resultados son:
A) x = 50,93; x̂ = 49.
B) x = 52,50; x̂ = 52.
C) x = 50,93; x̂ = 52.
D) x = 52,50; x̂ = 49.
M10GP-172
119
6.- En el listado de números enteros: -13, 31, -47, 58, -26, los dos
números enteros más cercanos entre sí, en la recta numérica, son:
A) - 47 ; 58.
B) -13 ; - 26.
C) - 13 ; 31.
D) - 26 ; - 47.
M10NC-131
7.- Resuelve la división.
El cociente es:
A) 1
7
x.
B) 1
7
x.
C) 1
7
x
x.
D) 1
7
x
x.
M10FP-075
120
8.- La capacidad del tanque de la figura es 160 litros, ¿cuál es su
profundidad h? Se conoce que 1 l = 1 dm3
A) 0,04 m
B) 0,40 m
C) 0,50 m
D) 0,80 m
M10MS-054
9.- En la secuencia gráfica, los números se obtienen efectuando una
operación entre el número de circunferencias y el número de
diámetros.
¿Qué número corresponde al espacio vacío?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
M10NP-110
121
10.- El hombre hala un cajón con una fuerza = 300 N, con un ángulo
= 30º, con la horizontal.
Se conoce: sen 30º = 0,5; cos 30º = 0,86; tg 30º =0,58.
La componente horizontal (Fx) es aproximadamente:
A) 150 N.
B) 173 N.
C) 258 N.
D) 300 N.
M10GS-035
11.- El centro de un círculo circunscrito a un triángulo es el punto de
intersección de:
A) Las medianas.
B) Las mediatrices.
C) Las bisectrices.
D) Las alturas.
M10GC-011
122
12.- ¿Cuál es el costo para cubrir una pared de108 m2 con baldosas de 30
cm x 30 cm, si cada una tiene un valor de USD 0,65?
A) USD 780
B) USD 700
C) USD 117
D) USD 120
M10MS-060
13.- Un avión vuela hacia el Este con una rapidez v = 300 km/h; el viento
sopla hacia el Norte con una rapidez v = 120 km/h.
¿Cuál es la tangente del ángulo?
A) 0,37
B) 0,40
C) 2,50
D) 2,69
M10GSP-037
123
14.- Según el diagrama de barras, el total de colegios del país es 4 049,
¿qué porcentaje son fiscales?
Fuente: SINEC.ME.
A) 37,1%
B) 49,4%
C) 50,5%
D) 63,9%
M10NS-141
15.- En la figura, el valor del ángulo , es:
A) 35º
B) 55º
C) 90º
D) 125º
M10GP-021
0
1,000
2,000
3,0002,005
162 31
351
1,500
PLANTELES DE NIVEL MEDIO POR SOSTENIMIENTO AÑO
2006-2007
FISCAL FISCOMISIONAL MUNICIPAL
PARTICULAR RELIGIOSO PARTICULAR LAICO
124
16.- Un recipiente contiene 6 bolas rojas, 2 verdes y 1 azul. Si se saca
una bola al azar, ¿cuál de las siguientes proposiciones es
verdadera?
A) Es muy probable que salga una bola roja.
B) Es muy probable que salga una bola verde.
C) Es seguro que sale una bola azul.
D) Es poco probable que salga una bola roja.
M10EP-042
17.- ¿Qué término falta en la siguiente expresión?
6x2 +………- 18y2 = (2x + 9y) (3x – 2y)
A) 27x
B) 24xy
C) 23x
D) 23xy
M10FP-095
125
9x
9x
2y
2y3y
4y
18.- El polinomio que representa el área sombreada es:
A) (9x – 4y)2
B) 9x2 +4y2 +12y
C) 9x2 + 16y2
D) (9x + 4y) (9x -4y)
M10FS-098
19.- El área sombreada de la figura es:
A) 3692 xx .
B) 3662 2 xx .
C) 72182 2 xx .
D) 72124 2 xx .
M10FPa-003
126
20.- Una persona gastó los 7
3 de USD 14 000, ¿qué cantidad de dinero le
queda?
A) USD 8 000
B) USD 6 000
C) USD 2 000
D) USD 4 000
M10NS-142
21.- La pintura, es 5 cm más larga que ancha, con un marco de 2 cm de
ancho; el perímetro exterior del marco es igual a 126 cm, ¿cuáles
son sus dimensiones?
A) Largo = 66 cm; ancho = 61 cm
B) Largo = 30 cm; ancho = 25 cm
C) Largo = 34 cm; ancho = 29 cm
D) Largo = 33 cm; ancho = 28 cm
M10FC-123
127
22.- ¿Cuáles son los posibles valores enteros de k, tales que, el trinomio
16x2 + kx + 81 sea trinomio cuadrado perfecto?
A) k = 4 ; k = -4
B) k = 9 ; k = -9
C) k = 36 ; k = -36
D) k = 72; k = -72
M10FP-096
23.- Las edades actuales del padre y su hijo, suman 41 años. Dentro de
17 años el padre tendrá el doble de edad que el hijo, ¿cuál es la edad
del padre?
A) 8
B) 17
C) 31
D) 33
M10FS-161
24.- Si la cotización del euro es USD 1,47, ¿cuánto se paga en dólares
por una remesa de 850 euros, si el costo del giro es del 2,5%?
A) USD 21,25
B) USD 31,24
C) USD 212,5
D) USD 312,4
M10NC-135
128
25.- ¿Cuántas baldosas de 20 cm x 20 cm, se necesitan para cubrir la
pared del gráfico?
A) 288 baldosas
B) 216 baldosas
C) 29 baldosas
D) 22 baldosas
M10MS-059
26.- En la secuencia: 9, 4, 14, 9, 19, 14, 24, … ¿Cuál es el número que
sigue?
A) 9
B) 14
C) 19
D) 24
M10NP-114
129
27.- El polinomio que representa la suma de las áreas parciales es:
A) 7m + 7n + mn + n2 .
B) 7 + 7n + mn + n2.
C) 7m + n + mn + n2.
D) 7m + 7n + mn + n.
M10FP-064
28.- Si se lanzan 2 dados, la probabilidad aproximada de que salga 6 en
cada uno de ellos, expresada en porcentaje es:
A) Menor que el 3%.
B) Mayor que el 3%.
C) Mayor que el 17%.
D) Mayor que el 36%.
M10EP-041
130
Debes completar con números todos los espacios. La suma de dos números adyacentes da como resultado el
número de arriba.
29.- ¿Qué número corresponde al espacio X?
A) 39
B) 67
C) 71
D) 138
M10NC-109
30.- Un patio cuadrado tiene 9 m por lado, cada metro cuadrado se cubre
con 4 baldosas, el precio de cada baldosa es USD 1,20. El costo
aproximado de la obra es de:
A) USD 173.
B) USD 324.
C) USD 388.
D) USD 389.
M10NP-151
131
Se conoce: Sen 60º = 0,87 Cos 60º = 0,5 Tg 60º = 1,73
31.- El área del triángulo inscrito en el semicírculo es:
A) 5,44 .
B) 6,25 .
C) 10,82 .
D) 21,65 .
M10GS-032
Se tiene una balanza equilibrada con 5 kg de maíz, 4 kg de maní y 3
fundas iguales de fréjol, en un plato y en el otro, el conjunto de
pesas.
32.- El peso de cada funda de fréjol es de:
A) 1,0 kg.
B) 1,5 kg. C) 2,5 kg. D) 4,5 kg.
M10FP-119