1 curvas y funciones vectoriales

20/03/2015

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nI :r

CAPTULO I

FUNCION VECTORIAL FUNCION VECTORIAL DE UNA VARIABLE DE UNA VARIABLE

REALREAL

CLCULO VECTORIAL

SESIN 1

Rosa ique Alvarez 2

LOGRO: Al final de la unidad el alumnodescribe las caractersticas geomtricas deuna curva para luego visualizarlo usandoMatlab.

CAPTULO ICAPTULO I

FUNCION VECTORIAL DE FUNCION VECTORIAL DE UNA VARIABLE REALUNA VARIABLE REAL

Rosa ique Alvarez 3

LaLa riquezariqueza geomtricageomtrica dede unauna curvacurva sese concretaconcreta conconloslos temastemas dede curvaturacurvatura yy torsintorsin laslas quequedescribendescriben elel comportamientocomportamiento locallocal dede lala curvacurva..

ESPIRALRosa ique Alvarez 4

Rosa ique Alvarez 5

FUNCION VECTORIAL DE FUNCION VECTORIAL DE UNA VARIABLE REALUNA VARIABLE REAL

( ) nn txtxtxt = )(,),(),()( 21 Lr

niIx i K,2,1,: =

)(:

ttI n

rr

Rosa ique Alvarez 6

INTERPRETACIONINTERPRETACION

I

n

t

(t)r

r

)(:

ttI n

rr

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Rosa ique Alvarez 7

Caso particular: Caso particular: n n =3=3

( ) 3)(,)(),()( = tztytxtr

( ) ( ) ( )kjir tztytxt ++=)(

)(: 3

ttI

rr

Rosa ique Alvarez 8

Para Para nn = 3= 3

)(trt

Ir

( ) ( ) ( )kjir tztytxt ++=)(

Rosa ique Alvarez 9

DOMINIO RANGO E IMAGENDOMINIO RANGO E IMAGEN

( ) ( ){ }ini xDomtItDom 1==r

)( ( ){ } nI = rrIm

( ) nn txtxtxt = )(,),(),()( 21 Lr

)(:

ttI n

rr

Rosa ique Alvarez 10

Grafico de CurvasGrafico de Curvas

{ }= IttPPC n ),(: r

( ) nn txtxtxt = )(,),(),()( 21 Lr

)(:

ttI n:C

rr


CURVASCURVASFORMA VECTORIAL

FORMA PARAMTRICA

==

=

)()()(

:tzz

Ittyytxx

C

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) IttztytxtC

IttztytxtC=

++=;,,)(:

;)(:rr kji


EJEMPLO 1EJEMPLO 1 HLICE CIRCULAR o ESPIRAL CIRCULAR

( ) [ ]p= 6,0;,,cos)( ttsentttr

[ ]

=p=

=

tztsenty

txC 6,0

cos:

x2 + y2 = 1


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-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

10

5

10

15

20

X

Hlice Circular

Y

Z

ESPIRAL

( ) [ ]p= 6,0;,,cos)( ttsentttrSUPERFICIESSUPERFICIES


CILINDROS

SUPERFICIES CUADRTICAS

OTROS


CILINDROCILINDRO CIRCULAR RECTOCIRCULAR RECTO222 Ryx =+

CILINDROCILINDRO


Un cilindro se genera al mover una rectaque recorre la curva paralela al eje decoordenadas que es representada por lavariable que falta en su ecuacin.

CILINDROCILINDRO

Rosa ique Alvarez 17 Rosa ique Alvarez 18

EJEMPLOS DE EJEMPLOS DE CILINDROSCILINDROS


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EJEMPLOS DE EJEMPLOS DE CILINDROSCILINDROS SUPERFICIES CUADRTICASSUPERFICIES CUADRTICAS


ELIPSOIDE

122

2

2

2

2

=++cz

by

ax

a>0,b>0,c>0

SUPERFICIES CUADRTICASSUPERFICIES CUADRTICAS


PARABOLOIDE ELPTICO a b

2

2

2

2

by

axz +=

a>0,b>0



PARABOLOIDE CIRCULAR

22 yxz +=



CONO ELPTICO, a b

2

2

2

2

2

2

by

ax

cz

+=

a>0,b>0,c>0



CONO CIRCULAR

222 yxz +=


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122

2

2

2

2

=-+cz

by

ax

a>0,b>0,c>0

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA



122

2

2

2

2

=--by

ax

cz

a>0,b>0,c>0

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS



2

2

2

2

ax

byz -=

a>0,b>0PARABOLOIDE HIPRBOLICO


CURVASCURVASUNA CURVA TAMBIN SE OBTIENE ALINTERSEPTAR DOS O MASSUPERFICIES


Cilindro, S1: x2 + y2 = 1

Plano, S2: y + z = 2

EJEMPLO 2: Interseccin de EJEMPLO 2: Interseccin de superficiessuperficies



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( )p

-++=

-=p=

=

202cos)(

220

cos:

: 21

ttsensentttC

tsenzttseny

txC

SSC

kjir:

S2: y + z = 2S1: x2 + y2 = 1


ElipseElipse ( )p20

2cos)(

-++=t

tsensentttC kjir:


EJEMPLO 3: Interseccin de EJEMPLO 3: Interseccin de superficiessuperficies

Cilindro, S1: y = x2

Cilindro, S2: z = x3


SS11:y = x:y = x2 2 yy SS22 : z = x: z = x33


22;)(:

22:

:

32

3

2

21

-++=

=

-=

=

tttttC

tztty

txC

SSC

kjir

SS11:y = x:y = x2 2 yy SS22 : z = x: z = x33


Cbica Alabeada Cbica Alabeada ( ) 22;,,)(: 32 -= tttttC r

-2 -1.5 -1 -0.50 0.5 1 1.5

20

12

34-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

X

CUBICA ALABEADA

Y

Z


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GRAFICA DE CURVAS GRAFICA DE CURVAS USANDO MATLABUSANDO MATLAB


( ) [ ]battztytxtrC ,;)(),(),())(: =

t x(t) y(t) z(t) P = r(t)

t1=a x1=x(t1) y1=y(t1) z1=z(t1) (x1, y1, z1)

t2 x2=x(t2) y2=y(t2) z2=z(t2) (x2, y2, z2)

t3 x3=x(t3) y3=y(t3) z3=z(t3) (x3, y3, z3)

tn=b xn=x(tn) yn=y(tn) zn=z(tn) (xn, yn, zn)


COMANDO DESCRIPCIN

variable=linspace[a, b, n]Define el vector variable cuyoprimero y ltimo elementos son a y b,y que tiene en total n elementosuniformemente espaciados entre s.

plot3(x, y, z)Dibuja el conjunto de puntos (x, y, z)donde x, y, z son vectores fila omatrices del mismo tamao.

plot3(x, y, z, S)Grfica de plot3(x, y, z) con lasopciones definidas en S. Usualmente Sse compone de dos valores entrecomillas simples, el primero de loscuales fija el color de la lnea delgrfico y el segundo es el carcter ausar en el grfico.


COMANDO DESCRIPCIN

comet3(x, y, z) Grfica en forma dinmica lospuntos (x(t), y(t), z(t)) de la curva C.

quiver3(x,y,z,u,v,w) Dibuja los vectores de componentes (u,v,w) en los puntos (x,y,z).

set(H,propiedad 1, propiedad 2,.) Sita las propiedades especificadas en el objeto H.

clear Borra todas las variables de laventana de comandos.

clc Limpia la ventana de comandos.


COMANDO DESCRIPCION

clf Borra la figura actual de la ventana degrficos.

reset Restablece las propiedades de objetosgrficos a sus valorespredeterminados.

pauseCausa la interrupcin de la ejecucinde un M-fichero hasta que el usuariopulse una tecla para continuar.


COMANDO DESCRIPCIN

grid onSita rejillas en los ejes de un grfico.La opcin grid on coloca las rejillas ygrid off las elimina.

holdPermite mantener el grfico existentecon todas sus propiedades, de modoque el siguiente grfico que se realicese situ sobre los mismos ejes y sesuperponga al existente. La opcin holdon activa la opcin y hold off laelimina


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EJEMPLO 1EJEMPLO 1


Grafique la siguiente curva

( ) [ ]2,2;,,)(: 32 -= tttttrC

[ ]

=

-=

=

3

2 2,2,:tz

ttytx

C

SolucinSolucin


Programa%Grafica una curvaclear; clc; clf resett=linspace(-2,2,100);x=t;y=t.^2;z=t.^3;comet3(x,y,z)pauseH=plot3(x,y,z,'b');

set(H,'lineWidth',2)grid onxlabel('X');ylabel('Y');zlabel('Z');title('curva')

( ) [ ]2,2;,,)(: 32 -= tttttrC

Grfica de la CurvaGrfica de la Curva


-2-1

01

2

01

23

4-10

-5

0

5

10

X

curva

Y

Z

EJEMPLO


EJEMPLO 2: Hlice CircularEJEMPLO 2: Hlice Circular(Espiral Circular)(Espiral Circular)

( ) [ ]p6,0;,,cos)( = ttsentttr

[ ]

==

=

tztsenty

txC p6,0

cos:

x2 + y2 = 1


TabulandoTabulandot x=cost y=sent z=t

0 1 0 0

p/4 0.7072 0.7072 p/4

p/2 0 1 p/2 3p/4 -0.7072 0.7072 3p/4

.. .. .. ..

6p 1 0 6p


GRFICAGRFICA

ESPIRAL

-1-0.5

00.5

1

-1-0.5

00.5

10

5

10

15

20

X

ESPIRAL

Y

Z


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-1.5-1

-0.50

0.51

1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.50

10

20

X

ESPIRAL

Y

Z

ESPIRAL


EJEMPLO 3EJEMPLO 3

( ) [ ]4,4;,,cosh)( -= tttsenhttr

[ ]

=-=

=

tztsenhty

txC 4,4

cosh:

x2 - y2 = 1


TabulandoTabulandot x=cosht y=senht z=t

-4 + - -4

.. + - ..

0 1 0 0

1 + + 1

+ +

4 + + 4


GrficaGrfica

curva6

( ) [ ]4,4;,,cosh)( -= tttsenhttr

0.5

1

1.5

2

2.5

-4-2

02

4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X

CURVA

Y

Z


( ) [ ]p6,0;),(),cos()( = tttsenttttr

[ ]

==

=

tzttsenty

ttxC p6,0)(

)(cos:

x2 + y2 = t2 x2 + y2 = z2

EJEMPLO 4: Concoide


GRFICAGRFICA

Concoide

-20-10

010

20

-20-10

0

10

200

5

10

15

20

X

CONCOIDE

Y

Z


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EJEMPLO 5: Espiral EJEMPLO 5: Espiral ToroidalToroidal

=+=

+=

tztsenttseny

ttsenxC

20cos20;)204(

cos)204(: p


EspiralToroidal

-5

0

5

-5

0

5-1

-0.5

0

0.5

1

X

ESPIRAL TOROIDAL

Y

Z

GRFICAGRFICA


EJEMPLO 6: Nudo de TrbolEJEMPLO 6: Nudo de Trbol

=+=

+=

tsenztsentty

ttxC

5.140;)5.1cos2(

cos)5.1cos2(: p


NudoTrebol -4-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4-1

-0.5

0

0.5

1

X

NUDO DE TREBOL

Y

ZGRFICAGRFICA


CMO RESOLVER PROBLEMAS?

1. Leer el problema por lo menos dos veces

2. Analizar y tratar de entender el problema

3. Plantear la estrategia de resolucin del problema

4. Ejecutar la estrategia

5. Observar y verificar la respuesta

6. Visin retrospectivaRosa ique Alvarez 60

lgebra de las funciones lgebra de las funciones vectorialesvectoriales

nI :, ur

jj orururrur y,, ,. xJ:j


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( )

( ) ( ) ( )urur

urur

DomDomDom

ttt

=

= ;)()()(.1

( )

rr

rr

DomDomDom

ttt

=

=

jj

jj

)(

);()()(.2

lgebra de las funciones vectorialeslgebra de las funciones vectoriales


( )( )

( ) ( ) ( )urur

urur

DomDomDom

ttt

=

=

)()(.3

( )

( ) ( ) ( ) 3ensolo,

);()()(.4

=

=

urur

urur

DomDomDom

ttt



( ) ( )

( ) { })()()(

)()(.5

rr

rr

DomRangtItDom

tt

=

=

jjj

jj

o

o



ComposicinComposicin

jor

jr

))(( tjr

)(tj


1 curvas y funciones vectoriales

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