1. concepto de movimiento 1.1 relatividad del movimiento 2 ... · en el tercer caso existen los dos...
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18/11/2014 IPEP de Cádiz - Dpto. de Física y Química 1
Tema 2: MOVIMIENTO
1. Concepto de movimiento
1.1 Relatividad del movimiento
2. Trayectoria, posición, desplazamiento
3. Velocidad media y velocidad instantánea
4. Aceleración media y aceleración instantánea
4.1. Componentes intrínsecas de la aceleración
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1. Concepto de movimiento
Cambio de posición de un cuerpo respecto a otro que tomamos como referencia
Sistema de referencia es un punto respecto del cual describimos el movimiento
de un cuerpo
Sistemas de referencia
P (x)
O
x
X
En una dimensión
O
P (x,y)
x
y
X
Y
En dos dimensiones
O P (x,y,z)
xy
X
Y
Z
z
En tres dimensiones
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Relatividad del movimiento
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O’ X’
Y’
Relatividad del movimiento
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O X
Y
Relatividad del movimiento
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2. TRAYECTORIA, posición y desplazamiento
Trayectoria:
La curva descrita por los
distintos puntos por los que ha
pasado el móvil
Puede ser: rectilínea, circular,
elíptica, parabólica, ….
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2. Trayectoria, POSICIÓN y desplazamiento
XO
Y
i
r
r(t) x(t) i y(t) j j
P
r x i y j
Posición :
Es una magnitud vectorial que
nos indica en qué punto de la
trayectoria se encuentra el
móvil, respecto del origen del
sistema de referencia.
r
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r(t) x(t) i y(t) j
Ecuación del movimiento
Ejemplos:
Las componentes de este vector:
x = x (t) reciben el nombre de ecuaciones paramétricas
y = y (t) de la trayectoria
r(t) 2t i (3 t) j
x(t) 2t
y(t) 3 t
r 2t i (3 t) j x 2t
y 3 t
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2. Trayectoria, posición y DESPLAZAMIENTO
XO
Y
i
j
1r
Desplazamiento:
Es una magnitud vectorial que
nos indica la diferencia de
posición entre dos instantes
determinados
ΔrP1P2
2 1Δr r r
2r
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2. Trayectoria, posición y desplazamiento
XO
Y
i
1r
ΔrP1P2
2 1Δr r r
2r
Δs
Δr Δs
j
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Trayectoria Rectilínea: Movimientos rectilíneos
P
O
x
X
P1O
x1 X
P2
x2
Δr Δx iΔr
Δs
Δr Δs ; Δx Δs
r x i ; r (t) x(t) i ; x x(t)
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3. VELOCIDAD MEDIA y velocidad instantánea
0r
r
Δr
Δs
X (m)
Y (m) La velocidad media es el
cociente entre el vector
desplazamiento y el intervalo
de tiempo transcurrido
t0
t
0m
0
r r rv
t t t
El cociente entre la distancia recorrida ∆s sobre la
trayectoria y el intervalo de tiempo transcurrido ∆t se
denomina rapidez media o celeridad media
0
0
s ssRapidez media
t t t
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La velocidad media nos informa acerca del comportamiento de
un móvil en un intervalo de tiempo. Sin embargo, en ocasiones,
nos interesa estudiarlo en un instante determinado.
3. Velocidad media y VELOCIDAD INSTANTÁNEA
0r
r
Δr
X (m)
Y (m)t0
t
tt
ΔsSi tomamos intervalos de tiempo cada
vez más pequeño:
• El vector desplazamiento se acerca a
la trayectoria, hasta situarse tangente
a ésta
• El módulo del vector desplazamiento
se aproxima a la distancia recorrida
Δr Δs
• El vector velocidad media se aproxima al vector velocidad en el instante t0
Δr drv cuando Δt 0 v
Δt dt
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Datos: r(t) (2t 1) i 3 j en unidades S.I. t = 1s ; t = 3 s
r(1 s) (2 1 1)i 3 j 3i 3 j m
El vector de posición para t = 3 s, lo obtenemos sustituyendo t por 3 en el
vector que nos dan:
r(3 s) (2 3 1)i 3 j 7i 3 j m
El vector desplazamiento entre esos dos instantes es la diferencia entre
ambos:
Δr r(3 s) r(1 s) 7i 3 j (3i 3 j) 4i m
El vector de posición para t = 1 s, lo obtenemos sustituyendo t por 1 en el
vector que nos dan:
Ejercicio 6 de la página 29
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Ejercicio 7 de la página 29
Datos: x = 2 – t ; y = t2 en unidades S.I.
a) Las coordenadas x e y se obtienen sustituyendo t por su valor:
x (0 s) = 2 – 0 = 2 m
Para t = 0 s P0 (2,0) m
y (0 s) = 02 = 0 m
x (2 s) = 2 – 2 = 0 m
Para t = 2 s P1 (0,4) m
y (2 s) = 22 = 4 m
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b) Escribimos los vectores de posición correspondientes a cada punto.
P0 (2,0) m ;
P1 (0,4) m ;
0r 2i m
1r 4 j m
Calcularemos el vector desplazamiento Δr entre estas dos posiciones
restando los respectivos vectores de posición y a partir de él, su módulo:
1 0Δr r r 4 j 2i 2 i 4j m
El módulo de este vector es:
2 2Δr Δr ( 2) 4 20 4,5 m
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c) La ecuación de la trayectoria la obtenemos eliminando el tiempo t
entre las ecuaciones paramétricas:
x = 2 – t
y = t2
Despejamos t en una ecuación: t = 2 – x ;
y sustituimos en la otra:
y = t2 = (2 – x)2 = 4 – 4x + x2
Ecuación de la trayectoria:
y = x2 – 4x + 4 en unidades S.I.
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4. Aceleración media y aceleración instantánea
Cuando el conductor de un automóvil toma una curva el vector velocidad
cambia su dirección en cada instante. Y cuando el conductor pisa el
acelerador o el freno cambia el módulo (el valor) del vector velocidad
Siempre que exista una variación de la velocidad, ya sea en módulo o en
dirección, existe una ACELERACIÓN.
0m
0
v vva
t t t
2
2
mm s en el S.I.
s
Δv dva cuando Δt 0 a
Δt dt
0
0
v vΔva
Δt t t
Cuando la trayectoria es rectilínea:
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Ejercicio 18 de la página 35
Datos: 0v 2i 2j m / s ; Δt = 2 s ; v 4i 10j m / s
La aceleración media ma entre dos instantes la obtenemos dividiendo
v que experimenta el móvil entre esos dosla variación de la velocidad
instantes por el intervalo de tiempo Δt empleado en producir dicha variación
de velocidad (página 33):
0m
2
0
v v v (4i 10 j) ( 2i 2 j) 6i 12 j 6i 12 j ma (3i 6 j)
t t t 2 0 2 2 2 s
El módulo de este vector vale:
2 2m m 2
ma a 3 6 45 6,7
s
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4.1. Componentes intrínsecas de la aceleración
La velocidad es una magnitud vectorial y su variación la medimos mediante
la aceleración.
Pero la velocidad puede variar:
▪ sólo en el módulo (un vehículo que recorre una trayectoria recta y el
conductor va “pisando” el acelerador)
▪ sólo en dirección (un vehículo que recorre una trayectoria circular y la
aguja del velocímetro está fija en un valor concreto)
▪ en módulo y en dirección, a la vez
En el primer caso sólo existe un tipo de aceleración: la aceleración
tangencial, que es tangente a la trayectoria y su valor es:
0t
0
v vΔva
Δt t t
En el segundo caso sólo existe un tipo de aceleración: la aceleración
normal, que es normal (perpendicular) a la trayectoria y su valor es:
2
n
va
R
∆v = Variación del módulo de la velocidad
∆t = Intervalo de tiempo en el que se produce
v = módulo de la velocidad
R = Radio de curvatura de la trayectoria
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En el primer caso sólo existe un tipo de aceleración: la aceleración
tangencial, que es tangente a la trayectoria y su valor es:
0t
0
v vΔva
Δt t t
En el segundo caso sólo existe un tipo de aceleración: la aceleración
normal, que es normal (perpendicular) a la trayectoria y su valor es:2
n
va
R
∆v = Variación del módulo de la velocidad
∆t = Intervalo de tiempo en el que se produce
v = módulo de la velocidad
R = Radio de curvatura de la trayectoria
En el tercer caso existen los dos tipos de aceleración, la tangencial, para
medir la variación del módulo de la velocidad, y la normal, para medir la
variación de la dirección de la velocidad y ambas tienen el mismo valor que
antes. En este caso la aceleración es:
t na a a
2 2
t na a a Y su módulo:
ya que at y an son siempre perpendiculares.
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ta
na a
El vehículo va aumentando
el valor de su velocidad
ta
ta
naa
ta
naa
Sentido del
movimiento
El vehículo va disminuyendo
el valor de su velocidad
Tramo
recto
an =0
v
v
v
v
v
Componentes intrínsecas de la aceleración
trayectoria
Vamos a dibujar la velocidad, la aceleración tangencial, la aceleración normal
y la aceleración en distintos puntos de la trayectoria de un móvil
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Ejercicio 23 de la página 35
Datos: R = 15 m; v = 5 m/s
El valor de la componente normal de la aceleración es función de la velocidad y
del radio de la noria, según la expresión:
2
n
va
R
2 2
n 2
v 5 ma 1,7
R 15 s
Sustituyendo los valores que nos dan, obtendremos el valor de la aceleración
normal, que nos pide el problema:
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Ejercicio 47 de la página 41
Datos: v0 = 60 km/h = 16,7 m/s; v = 100 km/h = 27,8 m/s; ∆t = 3 s;
── Como se trata de un movimiento rectilíneo, la aceleración media que nos piden
es la aceleración tangencial.
0m 2
0
v v 27,8 16,7 ma 3,7
t t 3 s
Su valor lo calculamos aplicando la expresión:
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