Aproximacin y errores

Marlo Carranza Purca

Lic. en Ciencias

Mg. en ciencias

Logro de la sesin

Logros

Informarnos

que los errores

estn siempre

presentes

Calcular el

error

verdadero

Calcular el

error relativo

porcentual

P. Henrici da una definicin aproximada del Anlisis numrico

como, la teora de los mtodos constructivos en Anlisis

matemtico, haciendo un especial nfasis en la palabra

constructivos, durante mucho tiempo, las matemticas fueron

totalmente constructivas, pues su nico objetivo era llegar a la

solucin de problemas concretos. No obstante, a medida que los

problemas sujetos a la investigacin matemtica crecan en

alcance y generalidad, los matemticos fueron interesndose, cada

vez ms, por cuestiones como la existencia, unicidad y

propiedades cualitativas de las solucin, antes que por su

construccin.

Aproximacin y errores

Ingredientes de los mtodos numricos

ResultadosAlgoritmoDatos de entrada

Ejemplo

Clculo del sen(x), con frecuencia nos encontramos con distintos

algoritmos para construir la informacin de salida que se requiere,

podemos usar el algoritmo que se obtiene de hacer un desarrollo de

Taylor a la funcin sen(x) 3

3!+5

5!

x=linspace(-6,6,1000);

y=x-x.^3/6+x.^5/120;

yy=sin(x);

plot(x,y,r,x,yy);legend(aproximacin por Taylor,funcinsin);axis([-5,5,-6,6])

Por lo tanto para escoger entre los

diversos algoritmos disponibles deben

estudiarse los aspectos tericos que

contribuirn a la eleccin del algoritmo

mas adecuado a cada caso concreto.

En general, los criterios fundamentales

para preferir un criterio frente a otro son

la rapidez y la precisin o

equivalentemente el error

Errores de +

entrada

Errores de +

almacenamiento

Errores

Algortmicos = Errores de

salida

Momentos de errores

Los errores de truncamiento o

discretizacin provienen, por ejemplo, de la

sustitucin de una expresin continua por

otra discreta (por ejemplo al aproximar la

derivada de f por una expresin en

diferencias)

1. Error de truncamiento o discretizacin.

+

Tipos de errores

Estos se originan debido a que la computadora emplea

un nmero determinado de cifras significativas durante

los clculos. Los nmeros irracionales como

2. Error de redondeo.

=3,14159265358979323846

e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995

Infinitos dgitos no pueden representarse en la

computadora, adems se usa la base 2, no pueden

representar exactamente algunos nmeros en base 10.

Esta discrepancia por la omisin de cifras significativas se

llama error de redondeo.

Para ambos tipos de errores, la relacin entre el

resultado exacto o verdadero y el aproximado est

dado por

Valor verdadero = Valor aproximado + Error

De aqu se tiene

Error = Valor verdadero - Valor aproximado

Tambin

Error relativo fraccional verdadero =

tambin se puede expresar as

=

100%

Es el error relativo porcentual verdadero.

1.1.

significa que el error a sido normalizado a un valor

aproximado

pero en situaciones reales no se conoce el valor

exacto, entonces en dichos casos, una alternativa el

normalizar el error usando la mejor aproximacin

posible al valor verdadero, es decir, para la misma

aproximacin

1.2 =

100%

Ejemplo Calculo de errores

Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la

de un remache, y se obtiene 9999 y 9 cm, respectivamente si

lo valores verdaderos son 10000 y 10 cm.

1. Calcule el error verdadero

2. EL error relativo porcentual verdadero en cada caso.

Resolucin

1. El error en la medicin del puente es

Et = 10000 - 9999 = 1 cm. y en el remache es

Et = 10 - 9 = 1 cm.

2. El error relativo porcentual en el puente es

=1

10000100% = 0.01 %

.

y para el remache es

=1

10100 % = 10 %

Por lo tanto, aunque ambas medidas tienen un error de 1

cm. el error relativo porcentual, es mucho mayor .

se concluye entonces que se ha hecho un buen trabajo en

la medicin del puente, mientras en la medicin del

remache se hizo un mal trabajo

Las cifras significativas de un nmero son la primera no nula y

todas las siguientes.

As pues 2,350 tiene cuatro cifras significativas mientras que

0,00023

tiene slo dos. Es conveniente relacionar los errores con el

nmero de cifras significativas en las aproximaciones.

Nmero de cifras significativas

Teorema 2 (Scarborough, 1966).Se tendr la seguridad de que el resultado es correcto en al menos

n cifras significativas.

= . %1.3

Estimacin del error con mtodos iterativos.

En matemticas con frecuencia las funciones se

representan mediante series infinitas, por ejemplo, la

funcin exponencial se calcula usando

Ejemplo

= 1 + +2

2!+3

3!+ +

!

As cuanto ms trminos se le agreguen a la serie, la

aproximacin ser cada vez ms una mejor estimacin

del valor de

1. Calcule los errores relativo, porcentual verdadero

y normalizado a un valor aproximado usando las

ecuaciones respectivas.

Observe que el valor verdadero de 0.5 = 1.648721

Ejemplo

2. Agregue trminos hasta que el valor absoluto del

error aproximado sea menor que un criterio deerror preestablecido con tres cifras significativas,use la ecuacin

La ecuacin 1.3 se emplea para determinar el criterio de error

que asegura un resultado sea correcto en al menos tres cifras

significativas:

Resolucin

= . % = . %

por lo tanto, se agregaran tantos trminos a la serie hasta que sea menor que este valor.

La primera estimacin es = 1

La segunda estimacin es = 1 + y para = 1 + 0;5 = 1.5

De aqu se tiene un error relativo

=1.64721 1.5

1.64721100% = 9.02%

Se utiliza para determinar una estimacin aproximada del error por

=1.5 1

1.5100% = 33.3 %

Como el no es menor que el valor requerido se debe seguir agregando trminos y continuar los clculos, tenemos la

siguiente tabla.

As despus de usar seis trminos, el error aproximado es

menor que = 0.05 % y el clculo termina, aunque esto es cierto la mayora de las veces

Ejercicio

1. Se mide la distancia de la tierra al sol y se obtiene

149999900 km y la distancia de lima a Tingo Mara que

se obtiene es de 500 km, los valores reales son

150000000 km y 600

1. Calcule el error verdadero

2. EL error relativo porcentual verdadero en cada

caso.

2. Agregue trminos hasta que el valor absoluto del

error aproximado sea menor que un criterio deerror preestablecido con tres cifras significativas,use la ecuacin

a) 0.2 = 1.22065

b) 0.3 = 1.34862

c) 0.4 = 1.49

d) 0.6 = 1.8187

e) 0.7 = 2.009

f) 0.8 = 2.220

g) 0.9 = 2.452

h) 1.2 = 3.307

i) 1.3 = 3.6547

j) 300 = 0.5

k) 450 = 0.701

l) 600 = 0.866

conclusin

En que momentos se producen errores

Trabajamos con datos exactos

Relacin entre el resultado verdadero y aproximado

. =

100%

1.2 =

100%

. = . %