1.6.2 METODO DE LAS 2 FASES.

Cuando una solución factible básica no está fácilmente disponible, se podría utilizar el método simplex de dos fases en lugar del método de la gran M. En el método simplex de dos fases, se suman las variables artificiales a las mismas restricciones, igual que en método de la gran M. Luego se encuentra una sfb para el PL original mediante la resolución del PL de la fase 1. En el PL de la fase 1, la función objetivo es para minimizar la suma de todas las variables artificiales. Al finalizar la fase 1, se reintroduce la función objetivo del PL original y se determina la solución optima par el PL original.

Este método es sumamente sencillo.  Se usa ante la presencia de variables artificiales en el modelo a solucionar y su objetivo es eludir el uso de la constante M, aquella que definimos como un número muy grande aunque finito, supuestamente por problemas de redondeo o de escala. 

Primera Fase:

Se reemplaza la función objetivo del programa lineal a solucionar por la minimización de la suma de las variables artificiales encontradas en la normalización del modelo y se resuelve. Si en la minimización Z = 0 entonces se puede proceder a la Segunda Fase, de lo contrario el problema no es factible, por lo tanto, no tiene solución.  

Segunda Fase:

Se inicia con base en el tablero final de la Primera Fase, se retoma la función objetivo del programa, haciendo todas las variables artificiales iguales a cero y eliminándolas de las restricciones.

Ejemplo: Min Z  = 2X1 +  X2 + 3X3 Sujeto a:                  3X1 +   X2 + 2X3   <=  10                    X1 -  2X2 + 3X3   >=  6                  2X1 +  3X2 -  X3   <=  9                                        X1 +  X2  +  2X3  =  7         

C.N.N (Condición de No Negatividad)   1. Convertir al Modelo Estándar:  Cada restricción debe ser convertida de inecuación a una igualdad, agregando variables como se requiera. Con las restricciones de tipo <=, es supremamente

fácil. Simplemente se agrega una en cada restricción con coeficiente 1 en la misma restricción y con coeficiente cero en la función objetivo. Por ejemplo:                      3X1 +   X2 + 2X3   <=    10 queda:                    3X1 +   X2 + 2X3 + S1  =    10  Se puede leer así: el uso de la primera restricción no puede superar la disponibilidad de 10 unidades, lo que equivale a decir que lo usado más lo que sobre (s1) es igual a 10. Para las restricciones de tipo mayor o igual, la lógica es la misma, de esta manera decir:                     X1 -  2X2 + 3X3    >=     6  Se puede leer como: el uso de la restricción 2 debe ser como mínimo 6 unidades. Eso significa que el uso podría ser 6.1 o tal vez 7 u 8... etc. Podríamos escribirlo también como 6+0.1 o 6+1 o 6+2 ... o en términos generales:                     X1 -  2X2 + 3X3    =     6   + S2 que es equivalente a decir: lo usado en la restricción2es igual al mínimo requerido que es 6 mas el adicional que está en S2. Esto lo podemos reescribir como:                      X1 -  2X2 + 3X3  - S2   =     6    Sin embargo para el método simplex, cuando aparece esta restricción tipo >= es necesario adicionar una variable comodín, llamada Variable Artificial, sin ningún significado físico, sólo como artificio matemático. Lo sumamos al lado izquierdo de la restricción como se muestra a continuación:                     X1 -  2X2 + 3X3  - S2   + A1 =     6   Al usar una variable artificial debemos penalizar la función objetivo allí la vamos a incluir con un coeficiente muy grande, llamado M, al estar minimizando la sumamos  + .MA1.  La tercera restricción es de tipo <=, por lo que no tenemos ningún problema con ella:                   2X1 + 3X2 -    X3    <=     9   queda                  2X1 + 3X2 -    X3  + S3  =     9    La cuarta restricción es de tipo =. Para  este tipo de restricción simplemente adicionamos una variable artificial al lado izquierdo:                       X1 +  X2  +2X3      =     7 queda:                      X1 +  X2  +2X3    + A2  =     7

Recordemos: las variables de holgura quedan con coeficiente 0 en la función

objetivo y las variables artificiales con coeficiente M. Positiva si es minimizando o negativa si es maximizando.  

En resumen el modelo queda de la siguiente manera: Min Z  =  2X1 +     X2     +  3X3    + 0S1 + 0S2 + MA1 + 0S3 + MA2

Sujeto a:                    3X1  + X2   + 2X3 +   S1                              =  10                       X1 - 2X2 + 3X3         - S2   + A1               =    6                     2X1+ 3X2  -  X3                         + S3         =    9                                           X1+ X2   + 2X3                               + A2    =  7           C.N.N (Condición de No Negatividad)

Inicio del Método de las Dos Fases:

Min Z  =  A1 + A2

Sujeto a:                    3X1 +X2 + 2X3 + S1                     =    10                      X1 -2X2+ 3X3    - S2   + A1         =     6                     2X1+3X2- X3             + S3           =     9                                           X1+ X2+ 2X3                  + A2    =     7           C.N.N (Condición de No Negatividad)

FASE 1.  

En la siguiente figura encontramos la tabla simplex clásica. En la primera fila los nombres de las variables de decisión, y justo abajo de ellas, los coeficientes de estas variables en la función objetivo. Cómo en la primera fase minimizamos la suma de las variables artificiales, por eso sólo encontramos un valor de 1 abajo de A1 (variable artificial 1) y de A2 (variable artificial 2). En la segunda columna encontramos las variables que están en la base al inicio. Como es costumbre, para escogerlas preferimos si sólo hay variables de decisión y de holgura, escogemos la de holgura para estar en la base (aquí las llamamos S) y si hay  de decisión, de holgura y artificiales, preferimos la artificial. Por eso, las variables que se escogen para la base son: S1, A1, S3, A2.    A la izquierda de esta columna, como es usual, se coloca los coeficientes en la función objetivo, de las variables que están en la base.  

Luego vienen los coeficientes de las restricciones, y debajo del título RHS (Right Hand Side), o "lado derecho" de la restricción, colocamos las disponibilidades o

requerimientos.  En otros libros de texto a esta columna también la llaman Bi, lo importante es que usted entienda que todos los diferentes formatos de tablas, realmente son lo mismo, lo único que cambia es el orden, la forma de llamar a las columnas, etc.

Bueno, sin dar tantas vueltas: En la primera iteración se  calcula Z y C - Z, y por lo tanto la variable que entra, como estamos minimizando, entra la más negativa: X3 y entra la que mas restringe: A1. Eso hace que la celda pivote este en el valor 3, que lo coloqué con verde en todas las figuras.  Y se aplica eliminación gaussiana: Se divide toda esa fila por tres, y luego con la fila convertida, elimino por encima y por debajo de la celda pivote multiplicando por el valor opuesto al que quiero eliminar la fila pivote y sumándosela componente a componente a la fila que deseo eliminar. Bueno, en estos momentos del partido, creo que usted ya debe saber bien como hacer la eliminación gaussiana (Y si no, colóquelo en los comentarios abajo, para ampliar la explicación!) .

 

El valor de la función objetivo, en cada iteración la he colocado en azul claro, para que vaya viendo el progreso: 13 -> 3  ->  0.  

Al terminar en cero, el semáforo nos da luz verde para seguir con  la siguiente fase.  

 

 

FASE 2

En la FASE 2, fíjese que cambiamos la fila de la función objetivo y dejamos la del programa original, pero como en la fase 1 nos aseguramos de eliminar las variables artificiales, en la fase 2, nos podemos dar el lujo y el gusto de eliminarlas. También, como es lógico, las borramos de las restricciones. Ahora , sin estorbos, sin constantes M, o variables artificiales que nos retracen el paso, por que vamos de prisa, realizamos la iteración,. y para el colmo de nuestra suerte, en sólo una iteración acabamos. 

Encontramos el valor de Z.  He escogido el mismo programa para resolverlo por la Gran M que por el método de las dos fases.

Bibliografia.

Investigación de operaciones: aplicaciones y algoritmos.

Wayne L. Winston

4ta Edición.

Thomson editorial