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APUNTES DE ALGEBRA LINEAL MARCEL SAINTARD VERA

PRIMER SEMESTRE 2009

Para Curso LGEBRA II- USACH Material N9

1

2.8.0.- Espacios Vectoriales con Producto Interior: Con el propsito de establecer criterios demedicin(para longitud y ngulo) se incorpora a la estructura de Espacio VectorialV(K),

la idea o nocin de Producto Interior, es decir, para construir una teora de medicin en unEspacio Vectorial, se precisa de una tercera operacin vectorial, elproducto interno(p.i.).Tericamente, en cada espacio vectorial se puede definir uno o ms productos interiores

que conducirn a sendas mtricas o teoras de medida en ese espacio vectorial. Nosotrosveremos slo algunas mtricas en matrices Mn(R)y en R

n(R)pero, dejando sentada la

existencia de muchas otras, debemos consignar que se puede estudiar espacios vectorialescon producto interior sobre R y sobre C (Complejos). En el caso de los complejos las

definiciones que veremos se complicaran por cuanto se requiere corregir lasimperfecciones que produce la ausencia de orden en Ca travs de la conjugacin compleja.

Lo mencionaremos en ocasiones.

2.8.1 Definicin de Productos Interiores o Internos:Esta operacin tiene la novedad de exigir unresultado escalarcuando se opera dos vectores:

p.i. : VV K(v,w) = k

Ejemplos: 1) En F(R), espacio vectorial de las funciones reales consideremos el

subespacio vectorial CI(R)de las funciones continuas en I = [a, b], por

ejemplo,f: [0, 1] R, f(x) = (x2 1)

Se definicin como p.i. habitual: = ( ) ( ) b

a

dxxgxf

CICI: R

(f, g)

2) En Mn(R), se define un p.i. habitual de dos modos equivalentes por su

resultante mtrico: = tr(A

tB) o bien = tr (AB

t)

donde tr(A) = =

n

1i

iia

3) En R n(R), el ms habitual p.i. es el llamado p.i. euclidiano o producto

punto:

x = (x1, x2, ...,xn), y = (y1, y2, ...,yn)Rn: =

=

n

1i

ii yx

o tambin:xy = = x= n

1i

ii yx 1y1+ x2y2+ ...... + xnyn.


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2

Definicin:

Sea Kel cuerpo de los reales (o de los complejos) y V(K)un espacio vectorial.

Un producto interior sobre Ves una funcin que asigna a cada par v, w deVun

escalar de Kde modo que, u, v, wV; K:

a) = +

b) =

c) 0

d) = , cuandoK= R

Observaciones: a) La exigencia d), cuando el cuerpo es C, se presenta con el complejo

conjugado para el escalar resultante del producto interior, esto se escribe,

= >< uv, , dondez es el complejo conjugado del complejoz.

b) Note que las condiciones a) y b) se pueden fundir expresndose como una

nica condicin: = + . Y en el caso

complejo: = + .

c) Ms an, se puede observar que lo anterior significa que el p.i. respeta las c.l.de V, es decir, se puede generalizar:

==

m

1k

kku [ ]=

>definido sobre ese espacio.

Teorema 8.1.-

Si V(K) es un espacio con producto interno, entonces v, wV; K :

a) v = || v

b) v > 0, v 0 y V0 = 0.

c) || v w . (Desigualdad de Schwarz)

d) wvwv ++ . (Desigualdad Triangular)

Demostracin: Las afirmaciones a) y b) se desprenden directamente de la definicin de norma,hgalas Usted.Para la afirmacin c): 0

1) Si w = 0V, entonces < v, w > = v w = 0

2) Si w 0, siempre podemos definir: u = v 2

w

wv , w vector para el cual

= 0. (Verifquelo Usted)

Y luego, 0 u2= < v

2w

wv , w, v 2

w

wv , w > y desarrollando el p.i. se

obtiene: u2=

2w

vwwv >>< , 22

wv

y, finalmente: || v w .


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4

Para probar la desigualdad triangular, usamos la parte c):2

wv + =22

wwv2v +> = tr (ABt), para A =

11

41

Como = , se tiene= =

2

ji

2

1k

jkikba

= ( ) = =

+++=2

ji

2

1k

2

22

2

21

2

12

2

11

2

ik aaaaa

191116111

41

11

41=+++=

,

A = no es unitario pues

11

4119A =

Su normalizacin sera:

=

11

41

19

1A


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5

2.8.3. Vectores Ortogonales.

Definicin:

Diremos que uy vVcon p.i., son ortogonales() si y slo si < u, v> = 0.

Ejemplo: En R2

, (2,3)y (6,4)son ortogonales, pues = 12 12 = 0.

Propiedades Bsicas:

a) 0vv, vV.

b) Si = 0, vV, entonces u = 0v.

c) uv v u, u, vV.

d) u v v wno implica queuw, u, v, wV.

Definiciones:1) Diremos que S ={ } es un conjunto normal, ssi = 1, i = 1, 2, ..., k.

Notacin: = { } S k1ii

S=

2) Diremos que S ={ } es un conjunto ortogonalssi = 0, i j.

Notacin: S= { } k

1iiS =

3) Diremos queS ={ } es un conjunto ortonormal ssi = .

=

jisi1

jisi0

,

,

Notacin: S = { } k

1iiS =

Observacin: Si el conjunto es una base B, entonces B,BB, B sern bases normal, ortogonal yortonormalrespectivamente

Ejemplo: a) Las bases cannicas en Rny en Mnson ortonormales.

b) En R4,

=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1B ,,,,,,,,,,,,,,, es base ortonormal;

peroBB

3

2

6

4

= {(1, 1,1,1), (1,1, 1,1), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1)} es slo base ortogonal.

y

x


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6

2.8.3.1.- Teoremas Adicionales de Ortogonalidad:

a) Un conjunto ortogonal en V(K), es un conjunto l.i., si no contiene al vector

nulo. Es decir,[S ={ } V, con vk1ii

S= ivj; cuando ij; 0vS] S esl.i.

Demostracin: Sea = 0=

k

1i

iiv v,viS,iIK. Luego, para cadajvariando de 1a k,

= = 0

= 0,pero =

=

jiv

ji02

j si,

si,

2

jj v = 0, con jv 0ya que Sno tiene vectores nulos.

j= 0, para cadajvariando de 1 ak. Luego, S es l.i.

Si wV es ortogonal con cada vector de S V entonces w esortogonal con cada vector de . (Consecuencia de lo anterior)

b)

c)El conjunto de todos los vectores ortogonales a un conjunto Sno vaco,es un s.e.v de Vy se le llama s.e.v. ortogonal a S. Notacin: S .

Consecuencia: es s.e.v. ortogonal con , se dice que y son s.e.v. complementosortogonales.

S

S

Pues: 1) = {0S v}

2) S + = V

tenemos una suma directa: S

(note que la unin de sus bases ser base de V.)

Ejemplo: Sea S = {(1, 2, 1, 1)}R4. Obtenga y una base para RS4, a partir de S.

Respuesta: Sea (x, y, z, u) , luego: = 0S

x + 2y + z u = 0

u = x + 2y + z = 0 ,x, y, zIR(x, y, z, x + 2y + z) ,x, y, zIRS

lo cual significa que = es el s.e.v.complemento ortogonal de .

S

Y una base para R4, sera:

BB

R4= {(1, 2, 1, 1), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 2), (0, 0, 1, 1)}


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7

2.8.3.2. Teoremas con Norma.Ya hemos visto que en Espacios Vectoriales con p.i. sobre R, la norma o longitud de un

vector vV es vvv ,= y hemos dicho que se cumple:

1.- v 0, vV; v = 0 v = 0v. 2.- v = || v R,vV.

3.- || v w . 4.- wvwv ++ ,v, wV.

5.- vv

1v = , vector unitario. 6.-

2v = vV.

Ahora, gracias a la ortogonalidad (vw = 0), se puede agregar:

7.- Teoremas de Pitgoras: v, wV, espacio vectorial con p.i., Si vw entonces222

wvwv +=+ .

Demostracin:2

wv + =

= +

= + + + , pero = 0

=2

v +2

w

222

wvwv +=+

wv + w

v

8.- Diagonales en paralelogramo:v, wV, espacio vectorial con p.i.,

2wv + +

2wv = 2

2v +2

2w

Demostracin: Es anloga a la anterior, hgala desarrollando 2wv + y2wv .

Haga un dibujo para visualizar la situacin.

9.- Coeficiente de Fourier(proyeccin de un vector sobre otro):

Sea wV, no nulo. vV, espacio vectorial con p.i., !R/(v w) w. Es fcil

probar que existe y que tiene la forma: =2

w

wv

ww

wv ,

,

,= .

Demostracin: Para quev w sea con w, exigimos que = 0.

= 0, y luego =ww

vw

,, existe por construccin

si w 0v.

Se define a este escalar como la componente de vsobre w, y se le anota: c=2

w

wv , .

Tambin a c se le llama coeficiente de Fourier para v, con respecto a w.

Adems, cw es la proyeccin de v sobre w, luego,2

w

wv , w es la proyeccin de v

sobre w.


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8

Observacin: Note que si w = u fuese unitario (normal), la proyeccin de v sobre w

sera simplemente u .

Ejemplo: En Rn, con ej= (0, 0, ... 0 ,1 , 0, ..., 0), j-simo vector de la base cannica, la

proyeccin de x = (x1, x2, ... , xn) sobre ej, sera simplemente el vectorproyeccin = xjej= (0, 0, ... 0 ,xj, 0, ..., 0).

10.- Angulo entre vectores: Si el ngulo formado por vy wmide , entonces se deduce

de lo anterior que cos =wv

wv, .(haga un dibujo)

Demostracin: En el tringulo que forman los dos vectores v y w, cuyos lados

sern de medidas v , w y wv , aplicamos la ley del coseno

para el ngulo , resultando:2

wv = v 2+ w 2 2 v w cos , y despejandocos ,

2 v w cos = v

2

+ w

2

2

wv = v 2+ w 2[ v

22 + w

2]

= 2

De donde resulta obvio quecos =wv

wv , .

11.- Ortogonalidad a un conjunto de vectores:

Si S = { } es un conjunto ortogonal en V, espacio vectorial con p.i., entonces,

para cualquier vector vV, no generado por S (v< S >), existe el vector

que es ortogonal a cada vector de S.

m

1iiv

=

=

m

1i

iivcv

Demostracin: Hgala Usted mismo sabiendo que los vectores de S son

ortogonales todos entre s: = 0, si i j), y que ci es elcoeficiente de Fourier para cada vi de Ssobre v

Consecuencia: Diremos que la proyeccin de vsobre S, o sobre , es .

Si S =

=

m

1i

iivc

{ }m1ii

u = es base ortonormalde entonces a

se le llamaproyeccin ortogonal de v sobre y anotamos Pr

=

>


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Ejemplo: Aplique el proceso de Gram-Schmidt para ortogonalizar y ortonormalizar la

baseB = {(1,0, 0, 1), (0, 2, 1, 1), (1, 1, 1, 0)}de WR4.

Adems, para v = (2, 3, 0, 4) que no est en W (Verifquelo), obtenga suproyeccin ortogonal sobre W.

Respuesta: 1) Al normalizar v1=(1,0,0,1), obtenemos =1u ),,,(

),,,(

1001

1001

= ( 2

1,0, 0, 2

1)

2) w2 = v2 1u 1u

= (0, 2, 1, 1) (

2

1, 0, 0,

2

1)

= (0, 2, 1, 1) 2

1(

2

1, 0, 0,

2

1)= (0, 2, 1, 1) (

2

1, 0, 0,

2

1)

= (2

1, 2, 1,

2

1) =

2

1(1, 4, 2, 1)

y normalizamos =2u ),,,(

),,,(

1241

1241

= ( 22

1

, 22

4

, 22

2

, 22

1

)

3) w3= v31u 1u 2u 2u

= (1, 1, 1, 0)2

1(

2

1, 0, 0,

2

1)

22

1(

22

1,

22

4,

22

2,

22

1)

= (1, 1, 1, 0)(2

1, 0, 0,

2

1) (

22

1,

22

4,

22

2,

22

1)

= (11

6,

11

9,

11

12,

11

6 ) =

11

3(2, 3, 4,2)

y normalizamos =3u3w

1w3=

),,,(

),,,(

2432

2432

= (

33

2,

33

3,

33

4,

33

2)

B = {(2

1, 0, 0,

2

1),(

22

1,

22

4,

22

2,

22

1),(

33

2,

33

3,

33

4,

33

2)}

es base ortonormal

Ahora, para v = (2, 3, 0, 4)obtengamos suproyeccin ortogonal sobre W.

Probemos que v Wverificando que ves l.i. respecto deB.

Si escalonamos

4032

0111

1120

1001

2030

1110

1120

1001

2000

3300

1110

1001

Se concluye queB{v} es l.i.y luegov W.

Laproyeccin ortogonal de v sobre W es , luego,=

>

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