1 2009 apcnº10 algebra ii usach

7/25/2019 1 2009 Apcn10 Algebra II Usach

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APUNTES DE ALGEBRA LINEAL MARCEL SAINTARD VERAPRIMER SEMESTRE 2009

Para Curso LGEBRA II- USACH Material N10

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3.0.- Transformaciones Lineales. En esta ltima unidad, estudiaremos un tipo de funcionesvectoriales; esto es, funciones que se aplican a vectores de un cierto espacio vectorial

para obtener vectores de otro espacio o del mismo. Concretamente, estudiaremosfunciones F: V W , que al transformar un vector de V en otro de W respetan unacorrespondencia entre las operatorias de ambos espacios vectoriales. Al transformar lasuma de dos vectores de V , se obtiene la suma en W de los transformados de losvectores de V ; Al transformar un vector ponderado en V , se obtendr el ponderado en W del transformado del vector de V . A estas funciones las llamaremos Transformaciones

Lineales en espacios vectoriales . Veremos sus definiciones, su lgebra, la ventaja derepresentarlas por matrices, sus caractersticas internas segn se definan de un espaciovectorial en otro o sobre s mismo, su forma de relacionar los espacios vectoriales y deestablecer isomorfismos, cmo cambiar las matrices de representacin segn se escojandiversas bases para los espacios vectoriales en que se definen, como optimizar la matrizde representacin mediante diagonalizacin y bases ortogonales.

3.1.- Transformaciones Lineales : Las Transformaciones Lineales (T.L.) sern funciones oaplicaciones definidas de un espacio vectorial V en otro W , ambos definidos sobre unmismo cuerpo IK , pero cada uno con sus propias adicin y ponderacin vectoriales. Suaplicacin tiene la particularidad de respetar las operaciones de cada espacio vectorial,es decir, al aplicar una T.L. a una suma de vectores se obtiene la suma de las imgenesde esos vectores y al aplicarla a un vector ponderado se obtiene el ponderado de laimagen de ese vector. Veamos esto formalmente.

Definicin :Consideremos dos espacios vectoriales V(IK) y W(IK). Se define unaTransformacin Lineal T de V en W , como una funcin T:V W tal que v, w V ; IK : 1) T(v + w) = T(v) + T(w)

2) T( v) = T(v)

Observaciones : a) Note que en toda T.L. la imagen del vector nulo de V , ser el vector nulo deW . O sea, si T:V .. LT W entonces T(0v ) = 0 w. Demustrelo Usted.

b) Las dos condiciones de las definicin (respeto de la adicin y de la ponderacin, pueden abreviarse en una sola: Una T.L. respeta las

combinaciones lineales , de otro modo, T( n

1k k k v ) =

n

1k k k vT )( .

El caso particular para dos vectores: T( v + w) = T(v) + T(w), es muy

ilustrativo. Ejemplos : 1.- Tanto T 0: V .. LT W tal que T 0(v) = 0 w, v V como I : V .. LT V , con

I(v) = v , v V , funciones Nula e Identidad respectivamente, son Ts. Lineales,cualesquiera sean V y W .

Demostracin : Resultan inmediatas y triviales, hgalas Usted.

2.- Sea T A: R n R m funcin definida como T A(x) = A[x] t , con A M m n, x = (x 1 , x2 , ...., x n ) R n y [x] t es la matriz columna asociada a x. Afirmamosque T A es una T.L.


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Demostracin : Sean x e y R n, R .Es fcil ver que: 1) T A(x + y) = A[x + y]

= A([x] + [y])= A[x] + A[y]= T A(x) + T A(y).

Luego, T A(x + y) = T A(x) + T A(y)

2) T A( x) =A[ x]= A( [x])= (A[x])= T A(x).

Luego, T A( x) = T A(x).

Observacin : Veremos ms adelante, que toda T.L. definida de R n en R m, se puede identificar con (y representar por) una matriz A M m n,que llamaremos Matriz asociada a esa T.L., o Matriz deTransformacin para la T.L.

Ejemplo : La T.L. F : R 2 R 3 tal que F(x, y) = (2x y, x + y, 2x 3y) tiene

por matriz asociada a A =

32

11

12

, pues segn definicin de F A

resulta A[(x,y)] =

32

11

12

y

x =

y3 x2

y x

y x2

, y significa que

[F(x, y)] = [(2x y, x + y, 2x 3y)] y representa, de un modo msevidente, a F(x, y) = (2x y, x + y, 2x 3y).

3.- Veamos un ejemplo no genrico.T : P 2[x] funcin R 2, tal que T(ax 2 + bx + c) = (2a c, a + b c) es T.L.

pues: 1) Para p(x) = ax 2 + bx + c y q(x) = dx 2 + ex + f P 2[x] ,T(p(x) + q(x)) = T[(a + d)x 2 + (b + e)x + (c + f)]

= [2(a + d) (c + f), (a + d) + (b + e) (c + f)]= [(2a c) +(2d f), (a + b c) + (d + e f)]= [(2a c), (a + b c)] + [(2d f), (d + e f)]= T(ax 2 + bx + c) + T(dx 2 + ex + f)

= T[p(x)] + T[q(x)]2) Para R y p(x) = ax 2 + bx + c P 2[x] ,

T( p(x)) = T[( a)x 2 +( b)x + ( c)]= [2( a) c, a + b c]= [ (2a c), (a + b c)]= (2a c, a + b c)= T(ax 2 + bx + c)= T[p(x)]


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Teorema 3.1 - La Imagen de una base define a una T.L.Sean V(IK) y W(IK) dos espacios vectoriales. Consideremos una base ordenada

B = n 1k k b en el espacio V y un conjunto S = n

1k k w de vectores cualesquieraen W . Es demostrable que existe una nica transformacin lineal T , de V en W ,

tal que T(b j ) = w j, para cada j variando de 1 a n. Demostracin : Siendo B una base de V , para cualquier vector v en V , existen escalares n 1k k

nicos y tales que v = n

1k k k b . Para este vector v, se define T(v) =

n

1k k k w

que ser nico por construccin. Luego, T es funcin de V en W .

Note que F(v) = F (n

1k k k b ) =

n

1k k k b F )( , cuando F sea una T. L.

Luego, la funcin T arriba definida es un T.L. pues, por su definicin ocurreque para cada vector de la base B, T(bk ) = w k . Luego tendramos que:

T(v) = T (n

1k k k b ) = T (

n

1k k k w ) =

n

1k k k bT )(

Con todo lo anterior, la existencia y la unicidad se demuestran fcilmente.

Observacin : Siendo muy elemental el teorema anterior es de una importancia destacable. Nosdice que bastar conocer las imgenes de los vectores de una base cualquiera delespacio vectorial V en W , para tener totalmente definida una T.L. de V en W .

Ejemplo 1) : Sea T : R 3 .. LT R 4 tal que T(1, 0, 0) = (1, 1, 0, 1); T(0, 1, 0) = (2, 1, 1, 0) y, por ltimo, T(0, 0, 1) = (3, 0, 0, 1) .Obtenga la imagen de (x, y, z) cualquiera de R 3, segn T ; T(x, y, z) .

Confirme que es T.L.

Respuesta a): Sea (x, y, z) R 3, luego, como conocemos las imgenes de la base cannica,escribimos al vector como c.l. de esta base: (x, y, z) = xe 1 + ye 2 + ze 3 Aplicando T a nuestro vector: T(x, y, z) = T(xe 1 + ye 2 + ze 3 ), y como es T.L.tenemos que: T(x, y, z) = xT(e 1 ) + yT(ye 2 ) + zT(e 3 ), y usando las imgenes

= x(1, 1, 0, 1) + y(2, 1, 1, 0) + z(3, 0, 0, 1)= (x + 2y + 3z, x + y, y, x + z)

Luego, T(x, y, z) = (x + 2y + 3z, x + y, y, x + z) .

Respuesta b): Consideremos v = (x, y, z) y w = (a, b, c) R 3

y R . Veremos si T( v + w) = T(v) + T(w) .T( v + w) = T( x + a, y + b, z + c)

= [ x + a + 2( y + b) + 3( z + c), ( x + a) + y + b, y + b, x+ a + z + c]

= [ x + 2 y + 3 z + a + 2b +3c, x + y a + b, y + b, x + z + a + c]


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= [ (x + 2y + 3z) + a + 2b +3c, ( x + y) a + b, y + b, (x + z) + a + c]

= (x + 2y + 3z, x + y, y, x + z) + (a + 2b + 3c, a + b, b, a + c)

= T(x, y, z) + T(a, b, c)

= T(v) + T(w).Luego, T es una T.L.

Observacin : Note que T(x, y, z) = (x + 2y + 3z, x + y, y, x + z)= x(1, 1, 0, 1) + y(2, 1, 1, 0) + z(3, 0, 0, 1) , nos permite

asegurar que todas las imgenes segn T sern generadas por el conjunto devectores S = {(1, 1, 0, 1), (2, 1, 1, 0), (3, 0, 0, 1)} que rene a las imgenes dela base segn T . Luego podemos decir que rec T = . Ms an, se ve que S esl.i., luego S ser una base de rec T .

Ejemplo 2) : Hagamos algo similar pero con base no cannica.

Si F : R 3 .. LT R 2 se define como F( 1, 1, 0) = (2, 1); F(1, 0, 1) = (1, 1) y, F(0,1, 2) = (3, 2) , Obtengamos F(x, y, z) segn base cannica.

Respuesta : Escribiendo (x, y, z) R 3, como c.l. de B = {( 1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 2)} , base deR 3, (x, y, z) = b1 + b2 + b3.

Se obtiene:

z 2

y

x

que por Gauss-Jordan nos entrega

[A/b] =

z y

x

210101

011

z y x

y

210110

101

y x z y x

y

100110

101

y, finalmente: [A/b]

y x z z y2 x2

z y2 x

100010

001, con lo cual resulta que:

(x, y, z) = b1 + b2 + b3 = (x + 2y z)b1 + (2x + 2y z)b2 + (z x y)b3 Si Usted duda de esto, verifquelo!Luego, usando el teorema que estamos ejemplificando:

F(x, y, z) = F( b1 + b2 + b3 ) = F(b 1 ) + F(b 2 ) + F(b 3 )

= (x + 2y z)F(b 1 ) + (2x + 2y z)F(b 2 ) + (z x y)F(b 3 )= (x + 2y z)(2, 1) + (2x + 2y z)(1, 1) + (z x y)(3, 2)

= [2(x + 2y z) + (2x + 2y z) + 3(z x y), (x + 2y z) + (2x + 2y z) + 2(z x y)

= (x + 3y, x + 2y)

Luego, hemos llegado a que F(x, y, z) = (x + 3y, x + 2y), (x, y, z) R 3

Verifique Usted que: F( 1, 1, 0) = (2, 1); F(1, 0, 1) = (1, 1); F(0, 1, 2) = (3, 2)


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Observacin : Observe que, debido a que las T.L. respetan las operaciones de los espacios dedominio y de imgenes, se pudo usar el escalonamiento de la aumentada: [B/S]en que B y S se forman con las [b i / F(b i )] :

[B|S] =

23

11

12

210

101

011

23

23

11

210

110

101

00

23

11

100

110

101

y, finalmente: [B/S]

002311

100010001

= [E/F(E)] , donde cada fila entrega las

imgenes de los vectores de base cannica que usamos como en el Ejercicio 1a) : F(x, y, z) = xF(e 1 ) + yF(ye 2 ) + zF(e 3 ), y usando las imgenes

= x(1, 1) + y(3, 2)

Luego, hemos llegado a que F(x, y, z) = (x + 3y, x + 2y) , (x, y, z) R 3.

3.2.- Ncleo e Imagen de una T.L. : Para caracterizar a T:V .. LT W , son fundamentales dosconjuntos de vectores relacionados con T , el primero es subconjunto del espaciovectorial de partida V y el otro del espacio vectorial de llegada W . Ambos llegarn a sersubespacios de sus respectivos espacios vectoriales y facilitarn las formas de describiry conocer a la T.L.

Definicin :

A.- Ncleo de T : Es el subconjunto de vectores de V cuya imagen segn T es0W . Tambin se le llama Conjunto Nulo para T o Kernel deT . Se anotar, N(T) KerT .

Para T:V .. LT

W , Ker T = {v V / T(v) = 0 W }. B.- Imagen de T : Es el subconjunto de vectores de W que son imagen de

algn vector de V , segn T . Tambin se le llama recorridode T . Se le anotar ImT recT .

Para T:V .. LT W , ImT = {w W / v V:T(v) = w} .

Teorema 3.2.1.- Ncleo e Imagen como Subespacios .

En toda T.L. T:V .. LT W , se tiene que KerT V y ImT W

Demostracin : Son usos directos del teorema fundamental desubespacios vectoriales.A) Sean K , s y t KerT , es decir, T(s) = T(t) = 0 W .

Luego, T( s + t) = T(s) + T(t) , por ser T una T.L. y porende, T( s + t) = 0W + 0 W = 0 W , resultando que el vector s + t KerT .

Con lo que est demostrado que KerT V .B) Intente Usted desarrollar la demostracin de ImT W .


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Consecuencia : Al ser ambos conjuntos subespacios, se definen la nulidad de T como ladimensin del Ncleo y rango de T como la dimensin de la Imagen.Y se anotan: nulT = dim(KerT) ranT = dim(ImT) .

Teorema 3.2.2.- De Nulidad y Rango de una T.L .En toda T.L. T:V .. LT W , con dimV finita, nul T + ran T = dimV .

Demostracin : Sea B = k 1iib una base de KerT , espacio nulo de T . Expandiendo B a una basede V , con dimV = n , existen n k vectores en V , n 1k iib , de modo que elconjunto BV = n 1iib es una base de V .Segn el teorema 3.1.-, el conjunto de imgenes de una base generara a ImT ,luego ImT = y como T(b i ) = 0 W , i = 1,..., k tendremos que ImT = .

No es difcil probar que {T(bk + 1 ), ..., T(b n )}, vemoslo:

Supongamos que tenemos n k escalares j tales quen

1k j j j bT )( = 0 W .

Como T es T.L., se tiene que:

n

1k j j jbT = 0 W , en consecuencia,

n

1k j j jb es

un vector de KerT y se escribe como c.l. de su base B = k 1iib .

Luego, resulta que n

1k j j jb

k

1 j j jb , con lo cual

k

1 j j jb

n

1k j j jb = 0 V .

Y como BV = n

1iib es base de V , entonces j = 0 y j = 0, j = 1, ..., n .Luego, {T(bk + 1 ), ..., T(b n )} es base de ImT y ranT = n k , con lo cual estdemostrado que nulT + ranT = dimV .

Ejemplo : Para T: R 3 .. LT R 4 tal que T(1, 1, 1) = (0, 3, 0, 6) ; T(1, 1, 0) = (0, 2, 1, 2) yT(1, 0, 0) = (0, 1, 0, 2) , obtenga bases para el Ncleo y la Imagen de T y verifiqueel teorema de nulidad y rango.

Respuesta : 1) Obtengamos T(x, y, z) .

Recordemos que basta escalonar reducido [B/ T(B)] [E/ T(E)] , con filas de

E , base cannica deR 3

:

2010

2120

6 030

001

011

111

4110

0110

2010

100

010

001

T(x, y, z) = x(0, 1, 0, 2) + y(0, 1, 1, 0) + z(0, 1, 1, 4) T(x, y, z) = (0, x + y + z, y z, 2x + 4z), x, y, z R .


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2) Obtengamos Ncleo : T(x, y, z) = (0, x + y + z, y z, 2x + 4z) = (0, 0, 0, 0)

0 z 4 x2

0 z y

0 z y x

Y luego: x = 2z ; y = z, z IR.Y entonces KerT = {( 2z, z, z) , z IR} = y nulT = 1 .

3) Para la Imagen de T : Considerando que ya tenemos la imagen de cualquiervector (x, y, z) de IR3, tenemos una forma caracterstica de los vectores de

ImT .

Luego, ImT = {(0, x + y + z, y z, 2x + 4z) , x, y, z IR} =

Revisando si son l.i. l.d.: 4110

0110

2010

00002100

2010

, resultan l.d.

y una base para ImT sera: {(0, 1, 0, 2), (0, 1, 1, 0)} , y ranT = 2 .

4) Con lo anterior se verifica el teorema de nulidad y rango:nulT + ranT = 1 + 2 = 3 = dimIR 3.

3.2.3.- Teoremas Adicionales de Ncleo e Imagen :En lo que respecta a las T.L. como funciones, el ncleo y la imagen tambin hacenciertos aportes:

a) Inyectividad de T : Si T:V .. LT W es tal que KerT = {0 V }, entonces T es Inyectiva . Se dice que define un Monomorfismo de V en W .

Note que ranT = dimV . Slo tendremos Inyectividad cuandodimV dimW .

b) Epiyectividad de T : Si T:V .. LT W es tal que ImT = W , entonces T es Epiyectiva . Note que en tal caso, nulT + dimW = dimV . Slo tendremos Epiyectividad cuando dimW dimV .

c) Biyectividad de T : T:V .. LT W ser Biyectiva cuando sea Inyectiva y Epiyectiva ,es decir, cuando KerT = {0 V } e ImT = W .

Luego, habr Biyectividad , slo cuando dimW = dimV . Veremosque en estos casos se define un Isomorfismo de V con W .

Note que todas las demostraciones de estas propiedades son inmediatas si se usanadecuadamente los tres teoremas anteriores.


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3.3.- Algebra de Transformaciones Lineales : Por analoga con el espacio vectorial de lasfunciones reales, podemos asumir que las funciones de un espacio V en otro W constituyen un espacio vectorial con la suma y la ponderacin habituales, esto es, porimgenes de las funciones. Aqu demostraremos que el conjunto de todas lastransformaciones lineales de un espacio vectorial V en otro W , con estas operaciones

para funciones, constituye un espacio vectorial. Esto asegura la existencia de un lgebrade Ts.Ls . que se homologar con el lgebra de Matrices de un tamao adecuado a lasdimensiones de los espacios V y W .El conjunto L(V,W) = {T V W/T:V .. LT W}, de todas las transformaciones linealesde V en W , tiene las siguientes propiedades:

Teorema 3.3.1.- La familia de todas las Ts.Ls. de un espacio vectorial en otro constituye unespacio vectorial con las habituales operaciones de funciones .

D

Demostracin :Sean S,T L(V,W) , y IK . Probaremos que S + T est en T(V,W) .

( S + T)( v + w) = ( S)( v + w) + T( v + w) , suma de funciones.= [S( v + w)] + T( v + w) , ponderacin de funciones.

= [ S(v) +S(w)] + T(v) + T(w) , pues S y T son T.L.= [ S(v) + T(v)] + S(w) + T(w) , ordenando en W .

= [( S + T)(v)] + ( S + T)(w) , lgebra de funciones.

Luego, S + T L(V,W) , y L(V,W) es un espacio vectorial .

Observaciones : a) Es necesario tener presente que L(V,W) tiene sentido slo si V y W sedefinen sobre un mismo Cuerpo IK .

b) Por otro lado, la suma y la ponderacin de Ts.Ls. de V en W producenuevas Ts.Ls.

c) Note que la T.L. Nula T 0(v) = 0 W ser el neutro aditivo. Adems, cada T.L.S tiene como opuesta a la T.L. S tal que ( S)(v) = S(v).

d) Es, por ltimo, importante destacar que si dimV = n y dimW = m , entoncesse obtiene que dimL(V,W) = mn . Esto es clave para la identificacin entre

una T.L. de L(V,W) y una matriz de M mxn(IR) que haremos luego con losisomorfismos .

Lo que estamos afirmando es que L(V,W) es un s.e.v. del espaciovectorial de funciones de V en W , con las suma y ponderacin de

funciones por imgenes.


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Teorema 3.3.2.- Cuando tiene sentido, la composicin de Ts. Ls. es una nueva T.L.

Demostracin :

Consideremos s,t V y IR.

(G F)( s + t) = G(F( s + t)) , por definicin de composicin,

= G( F(s) + F(t)) , por ser F una T.L.

= G(F(s)) + G(F(t)) , por ser G una T.L.

= (G F) (s) + (G F)(t) , definicin de composicin.

Luego, G F respeta las combinaciones lineales V en W .

Observaciones : 1.- Lo ms frecuente es componer Transformaciones Lineales en L(V,V) y entales casos hablaremos de Operadores Lineales en V .

2.- Note que en L(V,V) existirn G F y F G, pero no sern siempre iguales. Ejemplo :En IR3; componga G F y F G para F(x, y, z) = (y x, z y, x z) yG(x, y, z) = (x + z, y + z, z) . Debiese obtener que:(G F)(x, y, z) = (y z, x y, x z) y (F G)(x, y, z) = (y x, y, x) ,obviamente diferentes.De los dos teoremas anteriores se infiere que: F, G, H y T L(V,V) :

a) (G+H) F = G F + H F b) ( G) F = (G F) = G ( F)

c) G (F+T) = G F + G T

d) I F = F I = F , con I Transformacin Lineal Identidad

3.- Ya hemos dicho que F:V .. LT W ser biyectiva ssi: ImF = W y KerF = 0V , es decir, ssi dimV = dimW y nul(F) = 0 .Luego, F:V .. LT W ser Invertible si y slo si F es biyectiva .Ms an, si F es T.L. invertible, entonces F 1 tambin es una T.L.Por ltimo, si G y F son invertibles en L(V,W) y L(W,V) ,

respectivamente, entonces G F ser invertible y (G F) 1

= F 1

G 1

.4.- Recordemos que F inyectiva ssi KerF = 0V y agreguemos que a T se le

llama en este caso No Singular. Es demostrable que F no singular o inyectiva es el nico tipo de T.L. querespeta la independencia lineal, es decir:

Sea T:V .. LT W . Si T es Inyectiva y S = {s i } es conjunto l.i.en V , entonces {T(si )} es un conjunto l.i. en W .

Demostracin : tarea

Sean F L(U,V) y G L(V,W) , con U,V y W espacios vectoriales sobre IK .Luego, la funcin G F , definida como (G F)(v) = G(F(v)) es una T.L. en L(U,W) .


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Definicin :Se dice que F:V .. LT W , define un Isomorfismo de V en W si y slo si F es biyectiva .Si existe un isomorfismo de V en W , diremos que V y W son Isomorfos yse anota V W .

Observacin : es relacin de equivalencia por lo ya dicho.

Teorema 3.3.3.- Todo espacio vectorial de dimensin finita n es isomorfo con IK n.

Demostracin : Para cualquier base B = n 1iib de V , se puede definir elisomorfismo F:V .. LT IK n / v = v B, vector coordenado dev con respecto a la base B.

Teorema 3.3.4.- L(V,W) es isomorfo con las matrices del tipo M mxn , si V y W son finitos .

Si V(IK) y W(IK) tienen dimV = n y dimW = m , entonces L(V, W) M mxn.

Demostracin : Basta notar que ambos espacios son isomorfos a IK mn.

Observacin : Estos teoremas nos permitirn representar a todo espacio vectorial como n-uplade escalares en IK , y, por otro lado, a toda T.L. de V(IK) en W(IK), comomatrices del tipo M mxn. El lgebra de transformaciones lineales quedar reducidaal lgebra de matrices y tanto los vectores transformados por ellas como susimgenes podrn anotarse como coordenados segn cualquier base de sus

espacios. Ejemplo : 1.- ax2 + bx + c , vector de P 2[ R ] es isomorfo con (a, b, c) de R

3( R ), en amboscasos en sus bases cannicas.

2.- Consideremos F:M 2 .. LT R 3 definida como ),,( u z z y y xu z

y x F

es

isomorfa con A =

1100

0110

0011 pues como M 2 es isomorfo con R 4 se tiene

queu z

y x se transforma en (x, y, z, u) visto como columna.

Y como

110001100011

u

z y x

=

u z

z y

y x

, se observa que A, igual que F ,

transformau z

y x en (x y, y z, z u). Luego, A M 2 es isomorfo con

F L(M 2 ,R 3 ).

Todo es acio vectorial V sobre K con dimV = n es Isomor o con IK n.

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