Aspectos Complementarios - 1 De sesión 1

1.8.1. La condición “ojos de serpiente”• Alternativa optima puede existir sólo si alguna fila del informe

de solución tiene ceros, tanto en el segunda y tercera columnas del informe, una configuración que algunos estadísticos llaman "ojos de serpiente".

• Esto es, alternativa óptima puede existir sólo si alguna variable tiene valor cero y cero costo reducido, o algún tipo de restricción tiene tanto holgura cero y el precio de dual cero.

• Los matemáticos, sin ninguna intención de juicio moral, se refieren a este tipo de soluciones como degenerativas .

• Si hay alternativa óptima, es posible que su computadora le da una solución diferente de la que en el texto. Sin embargo, siempre se debe obtener el mismo valor de la función objetivo .

• Hay, de hecho, dos formas en que múltiples soluciones óptimas pueden ocurrir. Para el ejemplo en la figura 1.9, los dos informes de la solución óptima sólo se diferencian en los valores de las llamadas variables primarias (es decir, nuestras variables de decisión originales A, C) y las variables de holgura en la restricción.

• También puede haber situaciones en que existen múltiples soluciones óptimas en las que sólo se diferencian las variables duales. Considerar esta variación del problema Enginola en la que la capacidad de la línea Cosmo ha sido reducida a 30.

• La formulación es:

MAX = 20*A + 30*C;A<60;C<30;A+2*C<120;El gráfico correspondiente de este problema está en la Figura 1.10. Una solución

optima es:

Global optimal solution found. Objective value: 2100.000

Variable Value Reduced Cost A 60.00000 0.000000 C 30.00000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 2100.000 1.000000 2 0.000000 20.00000 3 0.000000 30.00000 4 0.000000 0.000000

• Otra vez, note los "ojos de serpiente" en la solución (es decir, el par de ceros en una fila del informe de solución). Esto sugiere que la capacidad de la línea de Cosmo (el lado derecho de la fila 3) podría ser cambiado sin cambiar el valor objetivo. La figura 1.10 ilustra la situación.

• Tres restricciones pasan por el punto A = 60, C = 30. Cualquieras dos de las limitaciones determinan el punto. De hecho, la restricción de A + 2C ≤ 120 es matemáticamente redundante (es decir, se podría caer/salir sin cambiar la región factible).

Si decrece el lado derecho de la fila 3 muy ligeramente, obtendrá la siguiente solución :

Optimal solution found at step: 0Objective value: 2100.000Variable Value Reduced CostA 60.00000 0.0000000C 30.00000 0.0000000Row Slack or Surplus Dual Price1 2100.000 1.0000002 0.0000000 5.0000003 0.0000000 0.00000004 0.0000000 15.00000

Nótese que esta solución difiere de la anterior solamente en los valores duales.Ahora podemos establecer la siguiente regla: Si un informe de solución tiene la característica “Ojos de serpiente “ (es decir, un par de ceros en cualquier fila del informe), entonces puede haber una solución alternativa óptima que es diferente, ya sea en las variables primarias, las variables duales, o en ambos.

Si todas las restricciones son restricciones de desigualdad, entonces "ojos de serpiente", de hecho, implica que hay una solución óptima alternativa. Si una o más restricciones son restricciones de igualdad, sin embargo, el siguiente ejemplo ilustra que "ojos de serpiente" no implica que tiene que haber una solución óptima alternativa:

MAX = 20 * A;A <= 60;C = 30;

La única solución es:Optimal solution found at step: 0Objective value: 1200.000Variable Value Reduced CostA 60.000000 0.0000000C 30.000000 0.0000000Row Slack or Surplus Dual Price1 1200.000 1.0000002 0.0000000 20.000003 0.0000000 0.0000000

Si un informe de solución presenta “Ojos de Serpiente “ , una pregunta natural es: ¿se puede determinar a partir del informe de solución por sí sola si la alternativa óptima es en las variables primarias o las variables duales? La respuesta es "no", los siguientes dos problemas relacionados ilustran.

Problem D Problem PMAX = X + Y; MAX = X + Y;

X + Y + Z <= 1; X + Y + Z <= 1;X + 2 * Y <= 1; X + 2 * Z <= 1;

Ambos problemas tienen múltiples soluciones óptimas. Los que pueden ser identificados por los métodos de solución estándar simplex son los siguientes:

Solución 1Problema D Problema POBJECTIVE VALUE OBJECTIVE VALUE1) 1.00000000 1) 1.00000000Variable Value Reduced Cost Variable Value Reduced

CostX 1.000000 0 000000 X 1.000000 0.000000Y 0.000000 0.000000 Y 0.000000 0.000000Z 0.000000 1.000000 Z 0.000000 1.000000Row Slack or Surplus Dual Prices Row Slack or Surplus Dual Prices2) 0.000000 1.000000 2) 0.000000 1.0000003) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000

Solución 2Problema D Problema POBJECTIVE VALUE OBJECTIVE VALUE1) 1.00000000 1) 1.00000000Variable Value Reduced Cost Variable Value Reduced CostX 1.000000 0.000000 X 0.000000

0.000000Y 0.000000 1.000000 Y 1.000000

0.000000Z 0.000000 0.000000 Z 0.000000

1.000000Row Slack or Surplus Dual Prices Row Slack or Surplus Dual Prices2) 0.000000 0.000000 2) 0.000000 1.0000003) 0.000000 1.000000 3) 1.000000 0.000000

Tenga en cuenta que:Solución 1 es exactamente la misma para ambos problemas;Problema D tiene múltiples soluciones óptimas en las variables duales (solo), mientras queP problema tiene múltiples soluciones óptimas en las variables primarias (sólo).

Por lo tanto, no se puede determinar a partir del informe de solución por sí solo el tipo de alternativa óptima que pueda existir. Puede generar Solución 1 mediante el establecimiento del lado derecho de la fila 3 y el coeficiente de X en el objetivo para un valor ligeramente mayor que 1 (por ejemplo, 1.001).

Del mismo modo, la solución 2 se genera mediante el establecimiento del lado derecho de la fila 3 y el coeficiente de X en el objetivo para un valor ligeramente menor de 1 (por ejemplo, 0,9999)

• Algunos autores se refieren a un problema que tiene múltiples soluciones para las variables primarias como dual (doble) degenerativo y un problema con múltiples soluciones en las variables duales como primario degenerativo.

• Otros autores dicen que un problema tiene múltiples óptimos sólo si hay múltiples soluciones óptimas para las variables primarias.

1.8.2. Restricciones degenerativas y redundantes

The constraint set below and the corresponding Figure 1.11 illustrate:

En pequeños ejemplos, la degeneración por lo general significa que hay restricciones redundantes. En general, sin embargo, especialmente en problemas grandes, la degeneración no implica que hay restricciones redundantes. El conjunto de restricciones siguientes y la figura 1.11 ilustran:

2x – y ≤ 12x – z ≤ 12y – x ≤ 12y - z ≤ 12z - x ≤ 12z - y ≤ 1

• Estas restricciones definen un cono con vértice o punto en x = y = z = 1, que tiene seis lados. El punto x = y = z = 1 es degenerado, ya que cuenta con más de tres restricciones que pasan por él. No obstante, ninguna de las limitaciones son redundantes.

• Tenga en cuenta el punto x = 0,6, y = 0, z = 0,5 viola la primera restricción, pero responde a todos los demás. Por lo tanto, la primera restricción es no redundante. Al tratar todas las seis permutaciones de 0,6, 0, 0.5, usted puede verificar que cada una de las seis restricciones son no redundantes

1.9. Modelos no lineales y optimización global.

A lo largo de este texto se hace hincapié en la formulación de programas lineales. Históricamente, los modelos no lineales fueron evitados, si era posible, por dos razones:

a) se toman mucho más tiempo para resolver, y b) una vez "resuelto" por solucionadores tradicionales

sólo se podía garantizar que usted tenía una solución óptima a nivel local. Una solución es un óptimo local si no hay una mejor solución cercana, aunque podría haber una solución mucho mejor a cierta distancia. Tradicionales solucionadores no lineales son como los escaladores de miopes de montaña, que pueden llegar a la cima del pico más próximo, pero no puede ver y alcanzar que el pico más alto en toda la montaña.

Versiones de LINGO desde LINGO 8 en adelante tienen una opción Global Solver. Si revisa la opción Global Solver, entonces Ud tiene garantía que alcanzó el óptimo global, si dejas que el solucionador funcione (corra) el tiempo suficiente. Para ilustrar, supongamos que nuestro problema es el siguiente:Min = @sin(x) + .5*@abs(x-9.5);

x <= 12;La gráfica de la función aparece en la Figura 1,12

• Si se aplica un solucionador no lineal tradicional a este modelo es posible que obtenga una de las tres soluciones: o bien x = 0, ó x = 5,235987, o x = 10.47197. Si marca la opción Global Solver en LINGO, le informará la solución x = 10.47197 y etiquetarlo como un óptimo global.

• Tenga presente que el Global Solver no elimina la desventaja (a), es decir, modelos no lineales pueden tomar mucho tiempo para resolver la optimalidad garantizada. Sin embargo, el Global Solver puede dar una muy buena, incluso óptima, la solución muy rápidamente, pero luego tomar tiempo para probar que no hay otra solución mejor.