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49 Halla el lugar geomtrico de los puntos P(x, y) tales que el producto de las pendientes de las rectastrazadas desdeP a los puntos:A (2, 1) yB (2, 1) sea igual a 1. Qu figura obtienes? Represntala.

Si P es el punto de coordenadas (x,y) de los datos del enunciado obtenemos:

La pendiente de la recta que une P conA es:2

1

+

x

y

La pendiente de la recta que une P conB es:2

1

+

x

y

El producto de las pendientes ha de ser igual a 1, es decir: 12

1

2

1=

+

+

x

y

x

y

Efectuando las operaciones en la ecuacin que hemos planteado,

133

30144114

1 222222222

2

===+==

yxyxyxxy

x

y

Es una hiprbola de eje horizontal, en la que a = b = 3 Calculemos el valor de c, en una hiprbola c

2= a

2+ b

2

( ) ( ) 663333 222 ==+=+= cc Los focos son los puntos ).0,6()0,6( FyF

La pendiente de las asntotas ser 13

3===

a

bm

Por lo tanto las asntotas son las rectas y = x e y = - x

La excentricidad es: 41123

6===

a

ce

La representacin grfica es:

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Pg. 2/6

37 Una circunferencia del plano pasa por los puntos (1, 3) y (3, 5) y tiene el centro sobre la recta

x + 2y = 3. Halla su centro y su radio.

Si el centro de la circunferencia C(x,y) est sobre la recta x + 2y = 3 x = 3 2y; entonces es de

la forma C (3 2y,y).

La distancia del centro a los dos puntos dados,A(1, 3) yB(3, 5) es la misma. Adems, esta distancia es

el radio, r, de la circunferencia:

r = dist (C,A) = dist (C,B)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 2510525104525323),(

13145964843223123),(

2222222

2222222

+=++=+=+=

+=+++=+=+=

yyyyyyyyyBCd

yyyyyyyyyyACd

Como las dos distancias deben ser iguales,

963)3(233

124

13251014

2510513145

2510513145

22

22

=+===

=

=+

+=+

+=+

xy

y

yy

yyyy

yyyy

El centro de la circunferencia es C (9, 3).

El radio es,

1010013424513)3(14)3(513145 22 ==++=+=+= yyr

34 Halla la ecuacin de la elipse que pasa por el punto (3, 1) y tiene sus focos en (4, 0) y (4, 0).Como los focos de la elipse estn sobre el eje OX y el punto (0,0), que es el punto medio de los dos

focos, es el centro de la elipse, la ecuacin de la elipse es:

12

2

2

2

=+by

ax

Como la elipse pasa por (3, 1)

119

113

222

2

2

2

=+=+baba

Tenemos una ecuacin pero dos incgnitas, a y b, necesitamos otra ecuacin.

En una elipse se cumple a2= b

2+ c

2 y sabemos que c = 4 a

2= b

2+ 16

Por lo tanto el sistema a resolver ser:

+=

=+

+=

=+

+=

=+

16

9

16

19

16

119

22

2222

22

22

22

22

22

ba

baab

ba

ba

ab

ba

ba

Sustituyendo el valor de a2en la primera ecuacin: 9 b

2+ b

2+ 16 = (b

2+ 16) b

2

10 b2+ 16 = b4+ 16 b2

b4+ 6 b

2 16 = 0 que es una ecuacin bicuadrada

vlidaNo

b

82

16

2

106

22

4

2

106

2

106

2

1006

2

64366

2

)16(466 22

=

=

==+

=

=

=+

=

=

Como a2= b

2+ 16 a

2= 2 + 16 a

2= 18

La ecuacin de la elipse ser: 1

218

22

=+yx

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3/6

Pg. 3/6

42 Halla la ecuacin de la hiprbola que tiene por focos los puntosF (3, 0) yF' (3, 0) y que pasa por el

puntoP(8, 5 3 ).

Este ejercicio podramos resolverlo siguiendo un proceso similar al utilizado en el ejercicio 34, lo

haremos de otra forma.

Como los focos de la hiprbola estn sobre el eje OX y el punto (0,0) es el punto medio de los dos focos,

la ecuacin de la hiprbola es:

12

2

2

2

= b

y

a

x

Hallamos la constante de la hiprbola: |dist (P, F) dist (P, F' )| = 2a

22421014

101003.2525)35()38(),(

141963.25121)35()38(),(

22

22

===

==+=+=

==+=++=

aaaqueloPor

FPd

FPd

De las coordenadas de los focos sabemos que c = 3.

En una hiprbola se cumple que c2= a2+ b2, por lo tanto 32= 22+ b2

9 = 4 + b2, b

2= 5

La ecuacin es:

154

22

=yx

44 La parbolay2 4y 6x 5 = 0 tiene por foco el punto (0, 2). Encuentra su directriz.

Arreglamos la ecuacin de la parbola para ponerla en su forma reducida,

y2 4y = 6x + 5 y

2 4y + 4 = 6x + 5 + 4 (y 2)

2= 6x + 9

+=

+=

2

36)2(

6

96)2(

22xyxy El vrtice de la parbola es V

2,

2

3

El foco y el vrtice de la parbola tienen la misma ordenada, luego la directriz ser una recta vertical, x= a, de forma que

32

3

22

3

2

0

2=

=

=

+=

+a

aax

axv

F

La directriz esx = 3.

32 Identifica las siguientes cnicas, calcula sus elementos caractersticos y dibjalas:

a) 4x2+ 9y

2= 36 b) 16x

2 9y

2= 144 c) 9x

2+ 9y

2= 25

d)x2 4y2= 16 e)y2= 14x f ) 25x2+ 144y2= 900

a) 4x2+ 9y2= 36Dividimos ambos miembros de la igualdad por 36,

149

136

9

36

4

36

36

36

94 222222=+=+=

+ yxyxyx

Es la ecuacin reducida de una elipse de eje mayor horizontal.

a2= 9 a = 3 ; b

2= 4 b = 2

En una elipse se cumple a2= b

2+ c2, en este caso: 9 = 4 + c

2 c2= 5 c = 5

Los elementos de esta elipse son:

Centro ( 0 , 0 )

Focos ( 5 , 0 ) y ( 5 , 0 )

Semieje mayor a = 3

Semieje menor b = 2

74503

5===

a

ce

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4/6

Pg. 4/6

b) 16x2 9y

2= 144

Dividimos ambos miembros de la igualdad por 144,

1169

1144

9

144

16

144

144

144

916 222222===

yxyxyx

Es la ecuacin reducida de una hiprbola de eje horizontal.

a2= 9 a = 3 ; b2= 16 b = 4

En una hiprbola se cumple c2= a

2+ b

2, en este caso: c

2= 9 + 16 c

2= 25 c = 5

Los elementos de esta hiprbola son:

Centro ( 0 , 0 )

Focos (-5, 0 ) y (5, 0 )

Semieje mayor a = 3

Pendiente de las asntotas3

4

Ecuaciones de las asntotas:

xyexy 3

4

3

4

==

Excentricidad: 66713

5===

a

ce

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Pg. 5/6

c) 9x2+ 9y2= 25Dividimos ambos miembros de la igualdad por 9,

9

25

9

25

9

9

9

9

9

25

9

99 222222

=+=+=+

yxyxyx

Es la ecuacin de una circunferencia de centro ( 0 , 0 ) y radio3

5

9

25=

d)x2 4y2= 16Dividimos ambos miembros de la igualdad por 16,

1416

116

4

1616

16

16

4 222222===

yxyxyx

Es la ecuacin reducida de una hiprbola de eje horizontal.

a2= 16 a = 4 ; b

2= 4 b = 2

En una hiprbola se cumple c2= a

2+ b

2, en este caso: c

2= 16 + 4 c

2= 20 c = 20

Los elementos de esta hiprbola son:

Centro ( 0 , 0 )

Focos (- 20 , 0 ) y ( 20 , 0 )

Semieje mayor a = 4

Pendiente de las asntotas2

1

4

2=

Ecuaciones de las asntotas:

xyexy2

1

2

1 ==

Excentricidad: 11814

20===

a

ce

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e)y2= 14xEs la ecuacin de una parbola,

532

7

27142 ====

ppp

Los elementos de esta parbola son: vrtice ( 0 , 0 ), foco ( 35 , 0 ) y directriz x = - 35

f) 25x2+ 144y

2= 900

Dividimos ambos miembros de la igualdad por 900,

136

125

4

361

900

144

900

25

900

900

900

14425

4

25

22222222

=+=+=+=+ yxyxyxyx

Es la ecuacin reducida de una elipse de eje mayor horizontal.

a2= 36 a = 6 ; b

2= 25/4 b = 5/2

En una elipse se cumple a

2

= b

2

+ c

2

, en este caso:455

2

119

4

119

4

25144

4

2536

4

2536 22 ===

==+= ccc

Los elementos de esta elipse

son:

Centro ( 0 , 0 )

0,

2

1190,

2

119:cos yFo

Semieje mayor a = 6

Semieje menor b = 5/2

909012119 ===

ace