096-143 se matematicas 8 (1) (1)

3

96 proyecto sé © ediciones sm

Factorización y fracciones algebraicasPensamiento variacional

En esta unidad... Conocerás los diferentes casos de facto-

rización de polinomios y el concepto de polinomo irreducible.

Identificarás las fracciones algebraicas, qué son y cómo se trabaja con ellas.

Descubrirás las expresiones radicales, su simplificación y sus operaciones.

Practicarás con ambos tipos de expresio-nes algebraicas y conocerás sus aplica-ciones.

Saberes previosYa sabrás qué es un pixel: cada uno de los cuadritos que componen una imagen, que definen su color y brillo; los pixeles son normalmente invisibles al ojo humano, pero cuando se amplía una fotografía, por ejemplo de 1 000 a 2 000 pixeles, el programa tiene que inventarse los pixeles que faltan. Para eso utiliza distintos métodos, y todos ellos se basan en los polinomios y en la factorización de éstos.

Educación en valoresPaz y cooperaciónLuego de que ocurre una guerra o un desastre natural, la población civil queda desamparada, en ruinas y aislada, muchas veces sin agua potable ni alimentos. Para aliviar la situación, se recurre a lanzar las ayudas desde aviones que sobrevuelan el área.• Muchas veces por las condiciones de acceso, se

hace más difícil llegar a las zonas afectadas. ¿Qué otros medios conoces para estos casos?

97proyecto sé © ediciones sm

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

Mariposa, caos y álgebra

Seguro que has oído ha-blar del efecto mariposa: se dice que el aleteo de una mariposa en Brasil puede provocar un tor-nado en Texas. ¿Cómo es esto posible?

Se debe a que, en ciertos fenómenos, diferencias muy pequeñas en las condiciones de partida (presión, tem-peratura, posición) del objeto, evolucionan en muy poco tiempo a situaciones impredecibles (huracanes, mare-motos o simplemente en la trayectoria del objeto). Esta es la llamada teoría del caos y aparece constantemente en la naturaleza.

Las predicciones meteorológicas, por ejemplo, sólo son fiables durante unos pocos días, porque nuestras me-diciones son inexactas (contiene pequeñas diferencias respecto a la realidad), y los errores en los cálculos se amplifican con el tiempo (eso podría justificar la equi-vocación de muchos informes meteorológicos).

Esta teoría también se aplica a la aerodinámica: el aire al moverse genera vientos, torbellinos y remolinos. Fí-jate en las turbulencias que el avión de la fotografía deja atrás de sus dos motores. ¿Por qué son distintas, si los motores son idénticos?

Las matemáticas necesarias para estudiar esos fenóme-nos son tan complejas que los mismos expertos tienen que recurrir a aproximaciones. Una de ellas se basa en las fracciones algebraicas, que conocerás en esta unidad.

Actividades

I. Has visto que la meteorología es un sistema caótico. También lo es el recorrido de un objeto que baja por un río. Piensa en otros dos sistemas caóticos y comparte tus propuestas con tus compañeros.

II. Construye en clase varios dobles péndulos con ayuda de tu profesor, utilizando cuerda, unos bolígrafos y un poco de plastilina. Colócalos todos en la misma posición inicial y déjalos oscilar a la vez. Fíjate bien en su comportamiento. ¿Qué observas? Discútelo en clase.

III. El descubrimiento de la teoría del caos se atribuye a Edward Lorenz, un famoso meteorólogo.

En www.e-sm.net/8mt13 tienes una lectura sobre sus descubrimientos. Léela y elabora un resumen escrito de los hallazgos de Lorenz.

98

ActividAd resueltA

ActividAdes propuestAs

pensamiento variacional

Figura 3.1

x � 5

x � 5

1

proyecto sé © ediciones sm

Factorizar una expresión algebraica consiste en expresarla como un pro-ducto de expresiones algebraicas de menor grado. Cuando un polinomio no se puede expresar como producto de otros de menor grado, se dice que es un polinomio irreducible.

Ejemplo 1 Al multiplicar 2x por x 2 1 3xy se obtiene 2x 3 1 6x 2y.Es decir, 2x (x 2 1 3xy) 5 2x 3 1 6x 2y.2x ? (x 2 1 3xy) es una expresión factorizada de 2x 3 1 6x 2y.

2x y x 2 1 3xy son factores de 2x 3 1 6x 2y.

Si ahora se multiplica 2x 2 por x 1 3y también se obtiene 2x 3 1 6x 2y.Por lo tanto, 2x 2 ? (x 1 3y) 5 2x 3 1 6x 2y.

Luego 2x 2 ? (x 1 3y) es otra expresión factorizada de 2x 3 1 6x 2y.2x 2 y x 1 3y son factores de 2x 3 1 6x 2y.

Ejemplo 2 El área de un cuadrado de lado x 1 5 se puede representar con la expresión factorizada (x 1 5)2.

Como (x 1 5)2 5 x 2 1 10x 1 25 se dice que x 1 5 es un factor de x 2 1 10x 1 25.

Factorización

rAzonAmiento

1. En cada caso encuentra una expresión para la cual los polinomios dados son factores. Verifica que el grado de los polinomios dados es menor que el grado de la expresión que propones.

a) x 1 3 y x 2 5 b) 2x 2 1 y 5x 2

Solución: a) x 1 3 y x 2 5 son factores de x 2 2 2x 2 15, ya que (x 1 3)(x 2 5) 5 x 2 2 2x 2 15. El grado de x 2 2 2x 2 15 es 2. El grado de x 1 3 es 1 y el de x 2 5 es 1.

b) 2x 2 1 y 5x 2 son factores de 20x 4 2 10x 3, ya que 2x(2x 2 1)5x 2 5 20x 4 2 10x 3. El grado de 20x 4 2 10x 3 es 4. El grado de 2x 2 1 es 1 y el de 5x 2 es 2.

ejercitAción

2. En cada caso escribe tres factorizaciones de cada expresión.

a) 200 b) 6a 3b 3

c) 50 d) 3p 2r 4s 6

e) 300q 2 f) a 2bc 5

g) 450c 3p h) 4a 2t 3

comunicAción

3. Comprueba si las expresiones dadas son factores del polinomio 9x 4 1 3xy 2.

a) 3x; 3x 3 1 3y 2

b) 3x; 3x 3 1 y 2

c) x; 9x 3 1 3xy 2

d) x; 9x 3 1 3y 2

• Más actividades en la página 128, numerales 88 a 90.

99

ActividAd resueltA



Zorro adulto

Tabla 3.1

[www.redes-sm.net

2


Factorización de polinomios por factor común

El factor común de los términos de un polinomio es el producto del máximo común divisor de los coeficientes por el máximo común divisor de las partes literales.

Ejemplo 3 Factoriza el polinomio 3x 3 1 12x 2 1 6x por factor común.

El procedimiento para factorizar el polinomio 3x 3 1 12x 2 1 6x por factor común es el siguiente:• Se determina el factor común de los términos del polinomio. En este caso

3x.• Se expresa el polinomio como el producto del factor común por el cociente

de dividir el polinomio entre el factor común. Es decir:

3x 3 1 12x 2 1 6x 5 3x (x 2 1 4x 1 2)

Ejemplo 4 La suma de un número entero y su cuadrado es igual al producto del número y su siguiente.

Para un número entero n la expresión n 2 1 n representa la suma de un número y su cuadrado.

Por factor común se obtiene n 2 1 n 5 n (n 1 1), que es el producto de un número y su siguiente.

Ejemplo 5 La variación de la población de zorros en una región puede expresarse como aby 2 ay 2. Donde a y b son constantes y y es la población de zorros en un momento dado.

La variación de la población se puede expresar en forma factorizada como ay (b 2 y).

ejercitAción

4. Factoriza los siguientes polinomios por factor común. a) 14x 4y 1 7xy 2 1 21xy b) 24x 2 1 12xy c) 49x 3 1 21x 2 y 2

Solución: a) 7xy (2x 3 1 y 1 3) b) 12x (2x 1 y) c) 7x 2(7x 1 3y 2)

ejercitAción

5. Halla el factor común de los términos de cada polinomio.

Polinomio Factor común

a 3 1 a 2 1 a

b 4 1 b 3 1 b 2

x 6 1 x 5 1 x 3

ab 2 1 ab 3 1 a 2b 3

ax 2 1 12x 4

4ab 2 2 12ab 1 20a 2b 2

3m 2n 3 1 12mn 2 1 9m 3n 3

2x 3 1 4x 2 1 2x

• Más actividades en la página 128, numerales 86 y 91.

rAzonAmiento

6. Encuentra los términos que faltan en la factorización de cada polinomio.

a) 4m 3n 2 2mn 1 6m 5 (2m 2n 2 n 1 ) b) 3x 2y 1 6x 2y 2 1 9x 2 5 (y 1 1 ) c) 4a 2 1 1 20a 2b 2 5 4a( 1 2b 1 ) d) 3mn 2 1 5m 2n 2 1 10m 3n 2 5 (3 1 1 10m 2) e) 2 36ab 1 6a 5 2a(ab 2 2 1 ) f) 14a 2x 2 2 7ax 3 1 5 7ax 2 ( 2 1 4a ) g) 4m 2 2 8m 1 2 5 (2m 2 2 1 ) h) 24a 2b 2 2 36ab 1 5 6a( 2 6b 1 1)

complementa tus conocimien-tos en nuestro sitio web.

100 pensamiento variacional

A4 � 6 y

A2 � 4 xA1 � 2 x2

A3 � 3 xy

Sección deensamble

Secciónde pintura

O�cinas

Bodega

Figura 3.2

Plano de una FÁbrica


Para factorizar un polinomio por agrupación de términos se aplican tanto la propiedad asociativa como la distributiva con respecto a la adición, para encontrar factores comunes por grupos de términos del polinomio.

Para factorizar una expresión por agrupación de términos se utilizan los siguientes pasos:

1. Se agrupan los términos que tengan algún factor común.

2. Se factoriza cada grupo de términos, extrayendo factor común.

3. Se factoriza la nueva expresión.

Ejemplo 6 En la figura 3.2 se muestra el plano de una fábrica. El área total A de la fábrica, está dada por la adición de las áreas de las zonas que la conforman. Es decir:

A 5 2x 2 1 4x 1 3x y 1 6y

De modo que las dimensiones del terreno se pueden obtener factorizando la expresión que representa el área total.

Como no existe un factor común a los términos del polinomio, se aplica la factorización por agrupación de términos.

Para factorizar el polinomio 2x 2 1 4x 1 3x y 1 6y por agrupación de términos, se siguen los pasos descritos:

1. Se agrupan términos que tengan algún factor común.

(2x 2 1 4x) 1 (3x y 1 6y)

2. Se factoriza cada grupo de términos.

2x (x 1 2) 1 3y (x 1 2)

3. Se factoriza la nueva expresión común, en este caso (x 1 2).

(x 1 2)(2x 1 3y)

Por lo tanto,

2x 2 1 4x 1 3x y 1 6y 5 (x 1 2)(2x 1 3y )

Dimensiones del terreno

Ejemplo 7 Factoriza el siguiente polinomio.

5x 1 5y 1 3x 2 1 3xy

1. Se agrupan los términos que tienen algún factor común.

(5x 1 5y ) 1 (3x 2 1 3xy )


5(x 1 y ) 1 3x (x 1 y )

3. Se factoriza la expresión común (x 1 y ).

(x 1 y )(5 1 3x )Por lo tanto, 5x 1 5y 1 3x 2 1 3xy 5 (x 1 y )(5 1 3x )

Factorización de polinomios por agrupación de términos3

En la redreFuerZa la FactoriZaciÓn De polinomios por aGrupaciÓn De tÉrminos analiZanDo los paso a paso Que se Dan en la pÁGina web:www.e-sm.net/8mt14

101

ActividAd resueltA

Ten en cuenta



bm3ax

3ay

3a

2x 6ax

13m

3x

2am

2ax

2mx

2myam an

bn

Figura 3.3 Figura 3.4



Ejemplo 8 Factoriza el polinomio 4x 2 2 2xy 1 9yz 2 18xz.1. Se agrupan los términos que tienen algún factor común.

(4x 2 2 2xy ) 1 (9yz 2 18xz )


2x (2x 2 y ) 1 9z (y 2 2x )

3. Se reemplaza (y 2 2x ) por 2(2x 2 y ).2x (2x 2 y ) 2 9z(2x 2 y )

4. Se factoriza la expresión común (2x 2 y ).(2x 2 y )(2x 2 9z )

rAzonAmiento

7. En cada caso factoriza los polinomios dados. a) 4x 1 4y 1 8z 1 3x 2 1 3xy 1 6xz b) cx 2 1 2x 2 cx 2 2

Solución: a) 4x 1 4y 1 8z 1 3x 2 1 3xy 1 6xz 5 (4x 1 4y 1 8z ) 1 (3x 2 1 3xy 1 6xz ) 5 4(x 1 y 1 2z ) 1 3x (x 1 y 1 2z ) 5 (x 1 y 1 2z )(4 1 3x ) 4x 1 4y 1 8z 1 3x 2 1 3xy 1 6xz 5 (x 1 y 1 2z )(4 1 3x )

b) cx 2 1 2x 2 cx 2 2 5 (cx 2 2 cx ) 1 (2x 2 2) 5 cx (x 2 1) 1 2(x 2 1) cx 2 1 2x 2 cx 2 2 5 (x 2 1)(cx 1 2)

ejercitAción

8. Escribe la factorización de cada polinomio.

a) ac 2 ad 1 bc 2 bd

b) 3ax 2 ay 1 9bx 2 3by

c) 18mx 2 6my 1 54nx 2 18ny

d) 4ax 1 ay 1 12x 2 1 3xy

e) 6x 2 4y 1 6yz 2 9xz

f) m 2 1 mn 1 mz 1 nz

g) ab 2 3bc 2 2a 1 6c

h) 2ax 1 5bx 1 2ay 1 5by

i) 5xp 1 5py 2 3ax 2 3ay

j) xy 2 4x 1 y 2 4

• Más actividades en la página 128, numerales 87 y 92.

rAzonAmiento

9. Encuentra los polinomios que representan los lados de cada rectángulo, factorizando su área.

a) b)

c) d)

El opuesto de a 2 bes b 2 a.Es decir,

2(a 2 b) 5 (b 2 a)

102

ActividAd resueltA



x

x

y

yFigura 3.7

Plano de una Finca


Para factorizar una diferencia de cuadrados perfectos se extrae la raíz cuadrada de cada término y se indica el producto de la suma por la diferencia de esas raíces.

En general:a 2 2 b 2 5 (a 1 b)(a 2 b)

Ejemplo 9 Factoriza la diferencia de los cuadrados x 2 y 36.

La raíz de x 2 es x; la raíz de 36 es 6.

Por lo tanto, x 2 2 36 5 (x 2 6)(x 1 6).

Ejemplo 10 En la figura 3.7 se representa el plano de una finca destinada al cultivo, en la cual se ha destinado un sector de área y 2, para construir una casa. ¿Cuál es el área del sector cultivable?

El área del sector cultivable de la finca, puede calcularse mediante la diferencia x 2 2 y 2.

Esta expresión, que corresponde a una diferencia de cuadrados, se puede factorizar como

x 2 2 y 2 5 (x 1 y )(x 2 y )

Factorización de la diferencia de cuadrados perfectos

ejercitAción

10. Extrae la raíz cuadrada de cada término. a) 9a 2 b) 4x 2y 2z 4 c) 225p 4 d) 49a 4y 6z 8

e) 144a 2m 6n 4 f) 121x 10 g) 100m 2 h) 81a 2b 4

Solución:

a) 9 2a 5 3a b) 4 2 2 4x y z 5 2xyz 2 c) 225 4p 5 15p 2

d) 49 4 6 8a y z 5 7a 2y 3z 4 e) 144 2 6 4a m n 5 12am 3n 2 f) 121 10x 5 11x 5

g) 100 2m 5 10m h) 81 2 4a b 5 9ab 2

ejercitAción

11. Completa los términos de la factorización de cada expresión algebraica.

a) x 2 2 16 5 (x 1 ) (x 2 ) b) a 2 2 144 5 (a 1 ) (a 2 ) c) n 2 2 49 5 (n 1 ) (n 2 ) d) 4a 2 2 100 5 (2a 1 (2a 2 ) e) 9x 2 2 16 5 (3x 1 ) (3x 2 ) f) 4m 2 2 81 5 (2m 1 ) (2m 2 )

rAzonAmiento

12. Expresa como una diferencia de cuadrados las factorizaciones.

a) (7x 1 6)(7x 2 6)

b) (2x 1 10)(2x 2 10)

c) (6x 1 4)(6x 2 4)

d) (11x 1 13)(11x 2 13)

e) (m 1 6)(m 2 6)

f) (8m 1 5)(8m 2 5)

4

• Más actividades en la página 128, numeral 93.

103

ActividAd resueltA



Figura 3.8

x

y

yyy

x

x

x � y x � y

Tabla 3.2


Factorización de la suma de cubos perfectos

La factorización de la suma de dos cubos perfectos es equivalente a la multiplicación de dos factores; uno de ellos es un binomio formado por las raíces cúbicas de los términos y el otro factor, es un trinomio cuyos términos son el cuadrado de la primera raíz menos el producto de las raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

En general:x 3 1 y 3 5 (x 1 y )(x 2 2 xy 1 y 2)

Ejemplo 11 Para factorizar la suma x 3 1 27, primero se extrae la raíz cúbica de x 3 que es x 33 5 x. Luego, la raíz cúbica de 27: 273 5 3.

Se expresa x 3 1 27 como el producto de la suma de las raíces (x 1 3) y la suma de los cuadrados de las raíces menos el producto de las raíces(x 2 2 3x 1 9).

Es decir, x 3 1 27 5 (x 1 3)(x 2 2 3x 1 9).

ejercitAción

13. Calcula la raíz cúbica y el cuadrado de la raíz cúbica de cada monomio. a) 64c 3 b) 125a 6 c) 8m 9 d) 343a 3b 6 e) 1 000a 6b 12 c 3

Solución:

término 64c 3 125a 6 8m 9 343a 3b 6 1 000a 6b 12 c 3

raíz cúbica 4c 5a 2 2m 3 7ab 2 10a 2b 4ccuadrado 16c 2 25a 4 4m 6 49a 2b 4 100a 4b 8c 2

ejercitAción

14. Usando los resultados de la tabla 3.2, factoriza las expresiones dadas. a) 64c 3 1 125a 6 b) 8m 9 1 343a 3b 6 c) 1 000a 6b 12 c 3 1 1

Solución: a) 64c 3 1 125a 6 5 (4c 1 5a 2)((4c )2 2 (4c)(5a 2) 1 (5a 2)2) 5 (4c 1 5a 2)(16c 2 2 20a 2c 1 25a 4)

b) 8m 9 1 343a 3b 6 5 (2m 3 1 7ab 2)((2m 3)2 2 (2m 3)(7ab 2) 1 (7ab 2)2) 5 (2m 3 1 7ab 2)(4m 6 2 14ab 2m 3 1 49a 2b 4)

c) 1 000a 6b 12c 3 1 1 5 (10a 2b 4c 1 1)((10a 2b 4c)2 2 (10a 2b 4c)(1) 1 12) 5 (10a 2b 4c 1 1)(100a 4b 8c 2 2 10a 2b 4c 1 1)

ejercitAción

15. Encuentra la expresión factorizada de cada expresión.

a) x 3 1 216 b) a 3 1 8

c) n 3 1 512 d) y 3 1 343

e) m 3 1 1 000 f) z 3 1 729


rAzonAmiento

16. Expresa como una suma de cubos perfectos cada producto.

a) (7 1 4y )(49 2 28y 1 16y 2) b) (5z 1 3)(25z 2 2 15z 1 9) c) (12 1 a)(144 2 12a 1 a 2) d) (8c 1 b)(64c 2 2 8cb 1 b 2)

5

En la red

FactoriZa suma De cubos perFectos realiZanDo las activiDaDes propuestas en:www.e-sm.net/8mt15

104

ActividAdes resueltAs



x

x

y

x � y

x � y

Figura 3.9

Tabla 3.3


Para factorizar una diferencia de dos cubos perfectos se sigue un proceso similar al de la suma de cubos perfectos:

El primer factor es un binomio que corresponde a la diferencia de las raíces cúbicas de los términos y el segundo factor, un trinomio cuyos términos son el cuadrado de la primera raíz más el producto de las raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

En general:x 3 2 y 3 5 (x 2 y )(x 2 1 xy 1 y 2 )

Ejemplo 12 Para factorizar la expresión x 3 2 8, primero se obtiene la raíz cúbica de x 3 que es x y luego la raíz cúbica de 8 que es 2.

Después se expresa x 3 2 8 como el producto de la diferencia de las raíces (x 2 2) y la suma de los cuadrados de las raíces más el producto de las raíces(x 2 1 2x 1 4).

Es decir, x 3 2 8 5 (x 2 2)(x 2 1 2x 1 4)

Factorización de la diferencia de cubos perfectos

ejercitAción

17. Calcula la raíz cúbica y el cuadrado de la raíz cúbica de cada término. a) c 15 b) 216a 6 c) 512b 18 d) 1 000a 6b 3c 9 e) 1 331x 3y 6c 9

Solución: En la tabla 3.3 se encuentran los resultados.

término c 15 216a 6 512b 18 1 000a 6b 3c 9 1 331x 3y 6 c 9

raíz cúbica c 5 6a 2 8b 6 10a 2bc 3 11xy 2c 3

cuadrado c 10 36a 4 64b 12 100a 4b 2c 6 121x 2y 4c 6

rAzonAmiento

18. Usando los resultados de la tabla 3.3 factoriza las expresiones dadas. a) c 15 2 216a 6 b) 512b 18 2 1 331x 3y 6c 9 c) 1 000a 6b 3c 9 2 1

Solución: a) (c 5 2 6a 2)((c 5)2 1 (c 5)(6a 2) 1 (6a 2)2) 5 (c 5 2 6a 2)(c 10 1 6a 2c 5 1 36a 4)

b) (8b 6 2 11xy 2c 3)((8b 6)2 1 (8b 6)(11xy 2c 3) 1 (11xy 2c 3)2) 5 (8b 6 2 11xy 2c 3)(64b 12 1 88b 6c 3xy 2 1 121x 2y 4c 6)

c) (10a 2bc 3 2 1)((10a 2bc 3)2 1 (10a 2bc 3)(1) 1 12) 5 (10a 2bc 3 2 1)(100a 4b 2c 6 1 10a 2bc 3 1 1)

ejercitAción

19. Encuentra la expresión factorizada de cada expresión.

a) x 3 2 64y 6 b) 1 2 125a 9y 9

c) 1 728x 6 2 343x 3y 6z 12 d) 8x 18 2 729y 3z 15

e) 27a 21 2 1 000b 3c 12 f) 64m 9 2 216

g) (9y 2)3 2 (4z )3 h) n 3 2 343x 3

rAzonAmiento

20. Expresa como una diferencia de cubos perfectos cada producto.

a) (3x 2 2)(9x 2 1 6x 1 4)

b) (8nm 1 5p )(64n 2m 2 1 40nmp 1 25p 2)

c) (7a 2 b)(49a 2 1 7ab 1 b 2)

d) (6t 2 2 1)(36t 4 1 6t 2 1 1)

6

• Más actividades en las páginas 128 y 129, numerales 94, 96, 100 y 101.

105

Ten en cuenta



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Factorización de expresiones de la forma x n 6 y n

Las expresiones de la forma x n 1 y n con n un número entero, son factorizables sólo si n es impar. La factorización de este tipo de expresiones se escribe como el producto entre la suma de la raíz n ésima de cada uno de los términos y el cociente que se obtiene de dividir x n 1 y n ———

x 1 y.

Es decirx n 1 y n 5 (x 1 y)(x (n 2 1) 2 x (n 2 2)y 1 x (n 2 3)y 2 2 x (n 2 4)y 3 1 …2 xy (n 2 2) 1 y (n 2 1))

Ejemplo 13 El binomio x 5 1 32y 5 es factorizable porque es la suma de dos potencias impares.

x 5 1 32y 5 5 x 5 1 (2 y)5, su factorización es el producto de la suma de las raíces quintas de cada término, es decir x y 2y, respectivamente, por el cociente x 5 1 (2y) 5 ————

x 1 2y.

rAzonAmiento

21. Determina cuáles de los siguientes polinomios son factorizables, indica para cuáles(2x 2 y) es un factor y para cuáles (2x 1 y) es un factor.

a) 64x 6 2 y 6 b) 64x 6 1 y 6

c) 128x 7 2 y 7 d) 128x 7 1 y 7

e) 8x 5 1 y 5 f) (2x )125 1 y 125

g) (2x )125 2 y 125 h) (2x )1 234 2 y 1 234

• Más actividades en las páginas 128 y 129, numerales 95, 98, 99 y 102.

ejercitAción

22. Factoriza las expresiones dadas. a) x 8 2 y 4 b) x 7 1 128

c) a 3 2 b 3 d) m 5 2 n 5

e) o 6 1 64q 6 f) 32 2 a 5

g) 343c 3 2 27z 3 h) 64 1 m 3

i) o 6 2 64q 6 j) a 2 2 b 2

k) 1 2 z 3 l) 8t 3 1 64

7

La diferencia de cuadrados, la diferencia de cubos y la suma de cubos son casos especiales de las expresiones de la forma

x n y n.

Luego, x 5 1 32y 5 5 (x 1 2y )(x 5 2 1 2 (x 5 2 2)(2y ) 1 x 5 2 3(2y )2 2 x 5 2 4(2y )3 1 x 5 2 5(2y)4) 5 (x 1 2y )(x 4 2 x 3(2y ) 1 x 2(2y )2 2 x 1(2y )3 1 (2y )4) 5 (x 1 2y )(x 4 2 x 3(2y ) 1 x 2(4y 2) 2 x (8y 3) 1 (16y 4)) 5 (x 1 2y )(x 4 2 2x 3y 1 4x 2y 2 2 8xy 3 1 16y 4)

Las expresiones de la forma x n 2 y n son factorizables para todo n.

Si n es par, x n 2 y n es divisible por x 2 y y por x 1 y.

Luego, x n 2 y n 5 (x 2 y )(x 1 y ) (x n 2 y n) —————(x 2 y)(x 1 y)

Si n es impar, x n 2 y n es divisible por x 2 y pero no por x 1 y.

Luego, x n 2 y n 5 (x 2 y )x n 2 y n ———(x 2 y)

En general, aplicando cocientes notables para todo n, se tiene:x n 2 y n 5 (x 2 y )(x (n 2 1) 1 x (n 2 2)y 1 … 1 xy (n 2 2) 1 y (n 2 1))

Ejemplo 14 El binomio x 4 2 y 4 es la diferencia de dos potencias de un número par. Luego es factorizable; (x 2 y ) y (x 1 y ) son dos de sus factores.

x 4 2 y

4 5 (x 2 y)(x (4 2 1) 1 x (4 2 2)y (4 2 3) 1 x (4 2 3)y (4 2 2) 1 y (4 2 1)) 5 (x 2 y)(x 3 1 x 2y 1 xy 2 1 y 3)

El segundo factor se factoriza por agrupación de términos:

x 4 2 y

4 5 (x 2 y)(x 3 1 x 2y 1 xy 2 1 y 3) 5 (x 2 y)(x 2(x 1 y) 1 y 2(x 1 y))x 4 2 y

4 5 (x 2 y)(x 1 y)(x 2 1 y 2)

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106

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En la red


Figura 3.10


Factorización de trinomios cuadrados perfectos

Un trinomio cuadrado perfecto es el trinomio que se obtiene al calcular el cuadrado de un binomio. Se identifica porque al estar ordenado respecto a una variable, el primer término y el tercero son cuadrados perfectos, y el segundo es el doble producto de las raíces cuadradas del primero y tercer términos.

Trinomio cuadrado perfecto

a 2 2ab 1 b 2 Cuadrado perfecto Cuadrado perfecto

Doble producto de las raíces cuadradas de a 2 y b 2

Todo trinomio cuadrado perfecto se factoriza como un binomio al cuadrado.

a 2 1 2ab 1 b 2 5 (a 1 b)2 a 2 2 2ab 1 b 2 5 (a 2 b)2

Ejemplo 15 Para hallar la expresión algebraica de los lados de la pintura de Van Gogh (figura 3.10) es necesario encontrar la expresión factorizada del trinomio cuadrado perfecto que representa su área A.

x 2 2 16x 1 64 5 (x 2 8)2

Ejemplo 16 Determina si existe un cuadrado cuya área sea a 2 114a 1 49.Primero se hallan las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos a 2 y 49, esas raíces son a y 7, respectivamente; luego se verifica que el doble producto de esas raíces da el segundo término 14a.

Como se cumplen las condiciones, el polinomio que representa el área del cuadrado es un trinomio cuadrado perfecto y su expresión factorizada es(a 1 7)2.

Por lo tanto, la longitud del lado del cuadrado es a 1 7.

Ejemplo 17 Determina cuáles de los siguientes trinomios son cuadrados perfectos. Luego, factorízalos.

a) 4a 2 1 12ab 1 9b 2 b) 3a 2 1 30ab 1 5b 2

c) 36a 2 2 60ab 1 25b 2 d) 100a 2 1 90ab 1 81b 2

a) Es un cuadrado perfecto, ya que las raíces del primer y segundo término son 2a y 3b, y su doble producto es 2(2a )(3b ) 5 12ab; es decir, es igual al segundo término. Luego 4a 2 1 12ab 1 9b 2 5 (2a 1 3b )2

b) No es un cuadrado perfecto, ya que el primer y segundo término no son cuadrados perfectos.

c) Es un cuadrado perfecto, ya que las raíces del primer y segundo término son 6a y 5b, y su doble producto es 2(6a )(5b ) 5 60ab; es decir, es igual al segundo término. Luego 36a 2 2 60ab 1 25b 2 5 (6a 2 5b )2

d) No es un cuadrado perfecto, ya que las raíces del primer y segundo término son 10a y 9b, pero su doble producto es 2(10a )(9b ) 5 180ab el cual no corresponde al segundo término.

En enero de 1889 después de 14 días de ingreso al manicomio de Arles, Van Gogh pinta dos autorretratos con “la oreja vendada”

Óleo sobre lienzo de 60 x 49 cmAutorretrato, Vincent Van Gogh.

Área de la pintura:A 5 x 2 2 16x 1 64

Practica la factorización de trinomios cuadrados perfectos visitando la página web: www.e-sm.net/8mt09

8

107


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ejercitAción

23. Ordena cada uno de los siguientes trinomios cuadrados perfectos respecto a la variable x y luego factorízalos.

a) x 2 1 25 2 10x b) 9 1 x 4 1 6x 2 c) 16y 2 1 9x 2 1 24xy

Solución: a) x 2 1 25 2 10x 5 x 2 2 10x 1 25 5 (x 2 5)2

b) 9 1 x 4 1 6x 2 5 x 4 1 6x 2 1 9 5 (x 2 1 3)2

c) 16y 2 1 9x 2 1 24xy 5 9x 2 1 24xy 1 16y 2 5 (3x 1 4y)2

rAzonAmiento

24. Completa el término que falta para que la expresión sea un trinomio cuadrado perfecto.

a) a 2 1 2(a ) (3) 1 2

b) 2 1 2(b) (6) 1 2

c) 2 1 2(a ) (5) 1 2

d) m 2 1 2(m ) (7) 1 2

e) x 2 1 2(x ) (11) 1 2

f) c 2 1 2(c ) (10) 1 2

g) x 2 1 2(x ) (4) 1 2

h) n 2 2 2(n ) (6) 1 2

i) 2 2 2(y ) (g ) 1 2

j) n 2 1 2(n ) (9) 1 2

k) b 2 1 2(b ) (15) 1 2

l) h 2 1 2(h ) (21) 1 2

ejercitAción

25. Extrae la raíz cuadrada de los términos dados y calcula el doble producto de las raíces. Luego, escribe el segundo término de cada trinomio cuadrado perfecto.

a) a 2 1 1 25

b) n 2 2 1 9

c) a 2 2 1 121

d) x 2 1 1 36

e) x 2 1 1 64

f) a 2 2 1 100

g) m 2 2 1 81

h) y 2 1 1 144

• Más actividades en las páginas 129 y 131, numerales 103 y 112.

rAzonAmiento

26. Determina cuáles trinomios son cuadrados perfectos y exprésalos como binomios al cuadrado.

a) x 2 2 2x 1 1

b) 25m 2 2 100m 1 100

c) 64x 2 1 16xy 1 y 2

d) 81a 2 2 36ab 1 4b 2

e) 49y 2 1 14xy + 4y 2

f) 36y 2 2 12y 1 1

g) 121a 2 2 44ab + 4b 2

h) a 2 1 2a 1 1

rAzonAmiento

27. Expresa cada trinomio como un binomio al cuadrado.

a) x 4 1 6x 2 1 9

b) x 6 2 4x 3 1 4

c) y 8 2 2y 4z 3 1 a 6

d) a 10 1 8a 5 1 16

e) 9a 2 2 12ab 1 4b 2

f) y 4 2 6y 2z + 9z 2

g) 16x 2 1 40xy 2 1 25y 4

ejercitAción

28. Factoriza cada trinomio como el producto del factor común y un trinomio cuadrado perfecto; luego factoriza el trinomio cuadrado perfecto como un binomio cuadrado.

a) 6x 3 1 12x 2 1 6x

b) 16x 5 2 48x 3 1 36x

108

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Tabla 3.4 Tabla 3.5

Tabla 3.6


Factorización de trinomios de la forma x 2n 1 bx n 1 c9Un trinomio de la forma x 2n 1 bx n 1 c, con n un número entero, es factorizable si existen dos números p y q que cumplen las condiciones p 1 q 5 b ypq 5 c; en este caso el trinomio se expresa como el producto de dos binomios con primer término x n y como segundos términos los números p y q.

Es decir, x 2n 1 bx n 1 c 5 (x n 1 p)(x n 1 q)

Ejemplo 18 x 4 2 3x 2 2 40 5 (x 2 2 8)(x 2 1 5)

Porque 2 8 1 5 5 23 y (28)(5) 5 240.

Ejemplo 19 Al lanzar un balón su altura se expresa como x 2 2 7x 1 10, donde x representa el tiempo en segundos. Determina la expresión factorizada que describe la altura del balón en el tiempo x.

Para expresar la altura del balón en forma factorizada se buscan dos números p y q, tales que p 1 q 5 27 y p ? q 5 10.

Se busca entre los factores de 10 que son 1, 2, 5, 10, 21, 22, 25 y 210, aquellos que cumplan esas condiciones.

Los dos números son 22 y 25.

Luego la expresión factorizada de x 2 2 7x 1 10 es (x 2 2)(x 2 5).

modelAción

29. Halla p y q, que satisfagan las condiciones dadas: a) pq 5 12 p 1 q 5 8 b) pq 5 218 p 1 q 5 3 c) pq 5 8 p 1 q 5 29

Solución:

a) Se determinan la parejas de factores de 12 y se halla el producto y la suma de cada pareja.

Factores suma

p q p 1 q

1 12 13

2 6 8

3 4 7

21 212 213

22 26 28

23 24 27

Los números que satisfacen la condición son 2 y 6.

b) Se hallan las parejas de factores de 218 y se de-termina la suma de cada pareja.

Factores suma

p q p 1 q

1 218 217

2 29 27

3 26 23

21 18 17

22 9 7

23 6 3

Los números que satisfacen la condición son23 y 6.

c) Se encuentran los factores de 8 y se calcula la suma de cada pareja.

Factores suma

p q p 1 q

1 8 9

2 4 6

21 28 29

22 24 26

Los números que satisfacen la condición son21 y 28.

La altura de un objeto en movimiento, que describe una trayectoria parabólica, se puede establecer mediante una expresión de la forma:

x 2n 1 bx n 1 cdonde x representa el tiempo en segundos.

109


ActividAd resueltA


Tabla 3.7

Tabla 3.8

1. x 8 1 5x4 1 4 5 (x4 1 4) (x4 1 1)

2. x 6 2 6x3 2 7 5 (x3 2 7) (x3 1 1)

3. a2 2 4ab 2 21 b2 5 (a 2 8b) (a 1 3b)

4. x2y 2 1 xy 2 12 5 (xy 1 4) (xy 2 3)

5. m 2 1 mn 2 56n

2 5 (m 1 8n) (m 2 7n)

Nombre: Mateo Suárez 25


rAzonAmiento

30. Determina cuáles de los siguientes trinomios son de la forma x 2n 1 (p 1 q)x n 1 pq y luego factorízalos.

a) x 4 1 8x 2 2 20 b) x 2 1 7x 2 3

Solución:

a) x 4 1 8x 2 2 20 es de la formax 2n 1 (p 1 q)x n 1 pq, porque para n 5 2 se tiene la equivalenciax 4 1 8x 2 2 20 5 x 2n 1 8x n 2 20 y existen dos números cuyo producto es 220 y su suma es 8, 2 20 5 10(22) y 10 1 (22) 5 8.

Luego, x 4 1 8x 2 2 20 5 (x 2 1 10)(x 2 2 2)

b) x 2 1 7x 1 3 no es de la formax 2n 1 (p 1 q)x n 1 pq, porque el número 3 tiene los factores que se muestran en la tabla 3.7, y ninguno cumple la condición p 1 q 5 7.

Factores suma

p q p 1 q

1 23 22

21 3 22

modelAción

31. Completa la tabla 3.8 con los números p y q que correspondan.

p q p 1 q pq

5 6

3 240

24 221

26 240

25 224

rAzonAmiento

32. Elige los términos p y q, de modo que se cumpla x 2n 1 (p 1 q)x n 1 pq.

a) x 2 1 5x 1 6 5 1 3 2 4

b) x 4 1 6x 2 1 7 2 27 5 1 22

c) x 2 1 23x 1 120 2 215 26 28 29

d) x 2 1 21x 1 100 1 25 5 24 6

ejercitAción

33. Factoriza cada trinomio de la forma(x n 1 p)(x n 1 q).

a) x 2 1 2x 2 35 b) x 4 1 4x 2 2 5

c) x 6 1 6x 3 1 9 d) x 8 1 13x 4 1 42

e) x 2 2 14x 1 33 f) x 2 2 10x 1 9

• Más actividades en las páginas 130 y 131, numerales 104, 107 a 111 y 113 a 115.

rAzonAmiento

34. Completa cada trinomio para que la igualdad sea verdadera.

a) x 2 1 x 2 5 (x 1 6)(x 2 3)

b) m 2 1 m 2 5 (m 1 9)(m 2 8)

c) 1 2 a 2 a 2 5 (1 2 8a)(1 1 6a)

d) x 4 2 x 2 2 5 (x 2 2 3)(x 2 1 1)

e) y 2 2 y 2 5 (y 2 24)(y 1 3)

f) a 2 1 ab 2 b 2 5 (a 1 5b)(a 2 3b)

g) m 2 2 m 2 5 (m 2 7)(m 1 4)

rAzonAmiento

35. Observa la evaluación de Mateo y responde.

Mateo afirma que su calificación es incorrecta. ¿Por qué? ¿Cuál es la calificación correcta?

110

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Proceso de producción


Factorización de trinomios de la forma ax 2n 1 bx n 1 c

Un trinomio de la forma ax 2n 1 bx n 1 c, con n un número entero, se factoriza transformándolo en un polinomio de la forma y 2n 1 by n 1 d.

El procedimiento que se sigue para factorizar un trinomio de la formaax 2n 1 bx n 1 c es el siguiente:

1. Se multiplica y se divide el polinomio por el coeficiente del primer término. a — a

(ax 2n 1 bx n 1 c) 5 a 2x 2n 1 a (bx n) 1 ac ——————— a

2. Se expresa en la forma (ax n)2 1 b (ax n) 1 ac ——————— a

.

3. Se factoriza el numerador de la forma (ax 1 p)(ax 1 q), dondep 1 q 5 b y pq 5 ac.

(ax n 1 p )(ax n 1 q ) ——————— a

Cuando sea posible, se simplifica a.

Ejemplo 20 Identifica los valores de a, b y c en cada trinomio de la forma ax 2n 1 bx n 1 c.

a) 7x 2 1 2x 1 5 a 5 7; b 5 2; c 5 5

b) 3x 2 1 8x 1 1 a 5 3; b 5 8; c 5 1

c) 6x 2 1 4x 1 3 a 5 6; b 5 4; c 5 3

Ejemplo 21 Las utilidades de una empresa procesadora de cereales se modela con la expresión U 5 3x 2 2 35x 1 100, donde U representa la utilidad y x el nivel de producción. ¿Para qué valores de x, la procesadora no tendrá pérdidas ni ganancias?

La expresión U 5 3x 2 2 35x 1 100, corresponde a un trinomio de la forma ax 2n 1 bx n 1 c y para expresarlo en forma factorizada se multiplica y divide el polinomio por 3.

3 — 3(3x 2 2 35x 1 100) 5 32x 2 2 3(35x ) 1 300 ———————

3

El numerador se expresa de la forma y 2n 1 by n 1 d:

(3x )2 2 35(3x ) 1 300 ——————— 3

Para factorizar el denominador se buscan dos números p y q para los cuales p 1 q 5 235 y pq 5 300, esos números son 215 y 220.

Así, (3x )2 2 35(3x ) 1 300 ——————— 3 5 (3x 2 15)(3x 2 20) ———————

3

Sacando factor común al primer factor del numerador y simplificando se

obtiene 3(x 2 5)(3x 2 20) ——————— 3

5 (x 2 5)(3x 2 20).

El nivel de producción que no produce pérdidas ni ganancias se calcula resolviendo la ecuación (x 2 5)(3x 2 20) 5 0, entonces se deduce que no hay pérdidas ni ganancias para los niveles x 5 5 o x 5 20 —3

.

En economía una utilidad negativa representa pérdidas y una utilidad positiva representa ganancias.

a ? b 5 0,si a 5 0 o b 5 0

10

111

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Ejemplo 22 Efectúa las operaciones que se indican al trinomio 5x 2 1 6x 1 1.

a) Multiplica por 5 — 5.

b) Expresa el trinomio del numerador de la forma y 2 1 by 1 d.c) Encuentra dos números p y q tales que pq 5 d y p 1 q 5 b.d) Expresa el trinomio en forma factorizada.

e) Saca factor común al primer término del numerador.

f) ¿Cuál es la forma factorizada del trinomio?

a) 5 — 5(5x 2 1 6x 1 1) 5 52x 2 1 5(6x ) 1 5 ——————

5

b) (5x )2 1 6(5x ) 1 5 —————— 5

c) p 5 5 y q 5 1, porque pq 5 5 y p 1 q 5 6

d) (5x 1 5)(5x 1 1) —————— 5

e) 5(x 1 1)(5x 1 1) —————— 5

f) (x 1 1)(5x 1 1)

ejercitAción

37. Multiplica cada trinomio de la forma ax 2n 1 bx n 1 c por el valor a.

a) 3x 2 1 6x 1 2

b) 2x 2 2 5x 1 4

c) 6x 2 2 10x 1 7

ejercitAción

38. Factoriza cada trinomio de la forma ax 2n 1 bx n 1 c.

a) 7x 2 2 8x 1 1 b) 5x 4 2 16x 2 1 3

c) 2x 6 1 x 3 2 6 d) 8x 8 2 x 4 2 9

e) 3x 6 2 3x 3 2 6 f) 6x 8 1 x 4 2 2


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39. Realiza el producto indicado para encontrar el trinomio de la forma ax 2n 1 bx n 1 c.

a) (8x 1 3)(8x 2 5)

b) (6x 2 1 12)(6x 2 1 3)

c) (3x 5 2 1)(3x 5 1 4)

rAzonAmiento

40. Escribe el trinomio de la forma ax 2n 1 bx n 1 c que cumpla las condiciones y factorízalo.

a) a 5 7; b 5 9; c 5 2 y n 5 2

b) a 5 9; pq 5 2; p 1 q 5 23 y n 5 10

c) a 5 2c; b 5 9; c 5 23 y n 5 3

ejercitAción

36. Factoriza cada trinomio de la forma ax 2n 1 bx n 1 c. a) 2x 2 1 5x 1 3 b) 12x 2 2 27x 1 15

Solución:

a) 2(2x 2 1 5x 1 3) —————— 2

5 4x 2 1 5x(2) 1 6 —————— 2

5 (2x 1 3)(2x 1 2) —————— 2

5 (2x 1 3) ? 2 (x 1 1) ——————————— 2

5 (2x 1 3)(x 1 1)

b) 12(12x 2 2 27x 1 15) ——————— 12

5 144x 2 2 27(12x ) 1 180 ———————— 12

5 (12x 2 15)(12x 2 12) ——————— 12

5 3(4x 2 5) ? (3x 2 3) ——————— 12

5 (4x 2 5)(3x 2 3)


112

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Factorización de trinomios cuadrados perfectos por adición y sustracción11Los trinomios de la forma a 2 6 mab 1 b 2, con m distinto de 2, satisfacen parcialmente las características de los trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer términos son cuadrados perfectos pero el segundo término no es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Para factorizar esos trinomios se adiciona y se sustrae al trinomio dado, un término de la forma nab, de manera que mab 1 nab 5 2ab; si el trinomio original es factorizable se obtiene la diferencia entre un trinomio cuadrado perfecto y un cuadrado perfecto, lo que finalmente es factorizado como diferencia de cuadrados.

Ejemplo 23 En el trinomio x 4 1 x 2 1 1, se identifica que el primer y tercer términos son cuadrados perfectos, pero el segundo término no corresponde a 2x 2.En este caso se adiciona y se sustrae x 2, es decir se adiciona 0, pero escrito de la forma (x 2 2 x 2):

x 4 1 x 2 1 1 5 (x 4 1 x 2 1 1) 1 (x 2 2 x 2)

Aplicando la asociatividad de la adición se obtiene:

x 4 1 x 2 1 1 5 (x 4 1 x 2 1 1 1 x 2) 2 x 2

x 4 1 x 2 1 1 5 (x 4 1 2x 2 1 1) 2 x 2

En el paréntesis se identifica un trinomio cuadrado perfecto que se expresa como un binomio al cuadrado:

x 4 1 x 2 1 1 5 (x 4 1 2x 2 1 1) 2 x 2 5 (x 2 1 1)2 2 x 2

Se factoriza esta diferencia de cuadrados y se obtiene:

x 4 1 x 2 1 1 5 (x 2 1 1 2 x )(x 2 1 1 1 x )

Finalmente se ordenan los términos de cada factor:

x 4 1 x 2 1 1 5 (x 2 2 x 1 1)(x 2 1 x 1 1)

Ejemplo 24 Factoriza el trinomio 9x 4 2 15x 2 1 1.

Para que el trinomio 9x 4 2 15x 2 1 1 sea cuadrado perfecto, el segundo término debe ser 26x 2.

9x 4 2 15x 2 1 1 5 9x 4 2 15x 2 1 1 1 (9x 2 2 9x 2) Se adiciona y sustrae 9x 2.

9x 4 2 15x 2 1 1 5 (9x 4 2 15x 2 1 1 1 9x 2) 2 9x 2 Se aplica la propiedad asociativa de la adición.

9x 4 2 15x 2 1 1 5 (9x 4 2 6x 2 1 1) 2 9x 2 Se reducen términos semejantes.

9x 4 2 15x 2 1 1 5 (3x 2 2 1)2 2 9x 2 Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto como un binomio al cuadrado.

9x 4 2 15x 2 1 1 5 [(3x 2 2 1) 1 3x][(3x 2 2 1) 2 3x] Se factoriza la diferencia de cuadrados.

Un trinomio cuadrado perfecto es de la formaa 2 2ab 1 b 2 y se puede expresar como (a b )2.

Una diferencia de cuadrados es de la formaa 2 2 b 2 se puede factorizar como (a 1 b )(a 2 b ).

La suma de las tres primeras potencias pares de un número entero, términa en 1 o en 3.Es decir x 4 1 x 2 1 x 0 termina en 1 o en 3.

Por ejemplo:24 1 22 1 20 5 21

termina en 1 y44 1 42 1 40 5 273

termina en 3.

113

ActividAd resueltA



Tabla 3.9

[www.redes-sm.net


Ejemplo 25 Determina por qué cada trinomio no es un trinomio cuadrado perfecto.

a) x 4 2 11x 2y 2 1 y 4 a) x 4 y y 4 son cuadrados perfectos, el doble producto de sus raíces cuadradas es 2x 2y 2 el cual no corresponde al segundo término del trinomio.

b) x 4 2 6x 2 1 1 b) x 4 y 1 son cuadrados perfectos, el doble producto de sus raíces cuadradas es 2x 2 que no corresponde al segundo término del trinomio.

c) x 6 2 4x 3 1 2 c) x 6 es el único término del trinomio que es un cuadrado perfecto.

d) 25x 4 1 54x 2y 2 1 49b 4 d) 25x 4 y 49b 4 son cuadrados perfectos, el doble producto de sus raíces cuadradas es 2(5x 2)(7b 2) 5 70x 2b 2 que no es igual al segundo término del trinomio.

rAzonAmiento

41. Determina qué expresión se debe adicionar al trinomio para obtener un trinomio cuadrado perfecto. a) x 4 2 11x 2y 2 1 y 4 b) x 4 2 6x 2 1 1 c) 25x 4 1 54x 2y 2 1 49b 4

Solución: a) El doble producto de las raíces cuadradas de x 4 y y 4 es 2x 2y 2, luego a 211x 2y 2 se le debe

adicionar 9x 2y 2. b) El doble producto de las raíces cuadradas de x 4 y 1, es 2x 2, entonces a 26x 2 se debe adicionar

4x 2. c) El doble producto de las raíces cuadradas de 25x 4 y 49b 4 es 70x 2b 2, luego a 54x 2y 2 se le debe

adicionar 16x 2y 2.

ejercitAción

42. Determina el doble producto de las raíces de cada pareja de cuadrados perfectos.

a) x 8, 4 b) 4a 4, 25 c) m 4, 25n 4 d) 9x 4, 1 e) x 8, y 8 f) 121c 4, 81

rAzonAmiento

43. Completa la tabla 3.9 con los trinomios o los números faltantes.a 2 mab 1 b 2 a b 2ab mab

x 8 1 3x 4 1 4

y 4 1 2y 2 1 9

x 8 25 46x 8

11x 2 6y 4 2133x 2y 4

7x 2 112x 2 76x 2


ejercitAción

44. Factoriza cada trinomio de la forma a 2 1 mab 1 b 2.

a) x 8 2 3x 4 1 4

b) 4x 4 2 29x 2 1 25

c) x 4 2 19x 2y 2 1 25y 4

ejercitAción

45. Completa cada igualdad, escribiendo el término que falta.

a) 54x 2y 2 1 5 90x 2y 2

b) 16b 3y 2 1 5 220b 3y 2

c) 21x 4y 6 1 5 228x 4y 6


114

Ten en cuenta

Ten en cuenta


Factorización de polinomios aplicando la regla de Ruffi ni

Para factorizar un polinomio ax n 1 bxn 2 1 1 …. 1 tx 1 d aplicando la regla de Ruffini se emplean los siguientes pasos:

1. Se halla una raíz r del polinomio. Si las posibles raíces enteras no dan residuo 0, el polinomio no se puede factorizar.

2. Se expresa el polinomio ax n 1 bxn 2 1 1 …. 1 tx 1 d como el producto de (x 2 r ) y el cociente de dividir el polinomio entre (x 2 r ).

3. Si es posible se factoriza el cociente aplicando nuevamente la regla de Ruffini o cualquiera de los métodos de factorización.

Ejemplo 26 Expresa el polinomio x 3 1 7x 2 1 11x 1 5 como un producto de factores.

Dado que las posibles raíces del polinomio son 1, 21, 5 y 25, se realiza la división aplicando la regla de Ruffini, hasta encontrar una raíz.

1 7 11 5 1 1 7 11 5 21

1 8 19 21 26 25

1 8 19 24 1 6 5 0

1 no es raíz. 21 sí es raíz.

Como 21 es raíz de P (x ), porque el residuo de la división es 0, entonces se puede escribir el polinomio como el producto del cociente por el divisor.

P (x ) 5 (x 1 1) ? (x 2 1 6x 1 5)

El polinomio x 2 1 6x 1 5 es factorizable, entonces se buscan dos números p y q tales que pq 5 5 y p 1 q 5 6.

p 5 1 y q 5 5 satisfacen la condición.

Luego, x 2 1 6x 1 5 5 (x 1 1)(x 1 5)

Por lo tanto, x 3 1 7x 2 1 11x 1 5 5 (x 1 1)(x 1 1)(x 1 5) 5 (x 1 1)2(x 1 5)

Ejemplo 27 Factoriza el polinomio P (x ) 5 x 3 1 3x 2 2 13x 2 15, aplicando la regla de Ruffini.

Se determina, aplicando la regla de Ruffini, una raíz del polinomio entre los divisores del término independiente.

1 3 213 215 1 1 3 213 215 21

1 4 29 21 22 15

1 4 29 224 1 2 215 0

P (x ) 5 (x 1 1) ? (x 2 1 2x 2 15)

Se repite el mismo proceso para el polinomio x 2 1 2x 2 15.

1 2 215 21 1 2 215 3

21 21 3 15

1 1 216 1 5 0

La factorización del polinomio es:

P (x ) 5 (x 1 1) ? (x 2 1 2x 2 15) 5 (x 1 1) ? (x 2 3) ? (x 1 5)

12

No siempre es posible factorizar un polinomio, por ejemplo el polinomio

x 2 1 x 1 1.

1 1 1 1 1 2 1 2 3

1 1 1 21 21 0 1 0 1

Las raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente. Por ejemplo, el término independiente del polinomio x 3 1 3x 2 2 13x 2 15, es 215. Sus raíces son 21, 3 y 25 que son divisores de 215.

115

ActividAd resueltA


En la red


Ejemplo 28 Para factorizar x 3 1 x 2 2 x 2 1 se determina, aplicando la regla de Ruffini, una raíz del polinomio:

1 1 21 21 1

1 1 2 1

1 2 1 0

1 es una raíz del polinomio, por lo tanto Q (x ) 5 (x 2 1)(x 2 1 2x 2 1 1).

El segundo factor es un trinomio cuadrado perfecto.

La factorización máxima del polinomio es Q (x ) 5 (x 2 1)(x 2 1 1)2.

rAzonAmiento

46. Factoriza el polinomio x 4 2 4x 3 2 x 2 1 16x 2 12.

Solución:Se determina, aplicando la regla de Ruffini, una raíz deR (x ) 5 x 4 2 4x 3 2 x 2 1 16x 2 12.

1 es una raíz del polinomio, por lo tantoR (x ) 5 (x 2 1)(x 3 2 3x 2 2 4x 1 12).

Se factoriza el segundo factor; aplicando la regla de Ruffini, se determina una raíz de x 3 2 3x 2 2 4x 1 12.

1 no es raíz de x 3 2 3x 2 2 4x 1 12.

Se realiza el mismo procedimiento con otro divisor de 12. Entonces, 2 es una raíz del polinomio.

Se escribe R (x ) 5 (x 2 1)(x 2 2)(x 2 2 x 2 6).

Para factorizar el tercer factor se buscan dos númerosp y q con los cuales pq 5 26 y p 1 q 5 21.

p 5 23 y q 5 2 satisfacen la condición.

Luego, x 2 2 x 2 6 5 (x 2 3)(x 1 2).

Por lo tanto, la máxima factorización del polinomio es:R (x ) 5 (x 2 1)(x 2 2)(x 2 3)(x 1 2)

1 24 21 16 212 1 1 23 24 12

1 23 24 12 0

1 23 24 12 1

1 22 26

1 22 26 6

1 23 24 12 2

2 22 212

1 21 26 0

ejercitAción

47. Factoriza cada polinomio aplicando la regla de Ruffini.

a) x 4 1 2x 3 2 3x 2 2 4x 1 4 b) x 3 2 12x 2 1 41x 2 30 c) x 3 2 8x 2 1 5x 1 50 d) x 3 2 x 2 1 9x 2 9 e) x 4 2 6x 3 2 7x 2

• Más actividades en las páginas 131 y 132, numerales 116 a 118.

comunicAción

48. Selecciona las raíces de cada polinomio. Justifica tu respuesta.

a) 6x 3 1 12x 2 2 90x 2 216

x 5 3; x 5 4 x 5 23; x 5 4

b) 2x 4 1 3x 3 1 x 2 6

x 5 22; x 5 21 x 5 22; x 5 1

Practica la regla de Ruffi ni realizando las actividades que se indican en:www.e-sm.net/8mt17

116

Ten en cuenta


Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos polinomios; el denominador debe ser una expresión no nula.

Expresiones algebraicas como estas

2x 1 1 ———x 2 1 1

x 2 ———x 2 1 y 2

t 3 ———5x 2 1 t 4

son fracciones algebraicas.

El valor numérico de una fracción algebraica se calcula sustituyendo las variables por números y realizando luego las operaciones.

Ejemplo 29 Calcula el valor numérico para x 5 2 y y 5 21 de la fracción algebraica x 2 y ———

x 2 1 y 2.

Se sustituye en la fracción algebraica x por 2 y y por 21.

2 2 (21) ———2 2 1 (21) 2

5 2 1 1 ——4 1 1

5 3 — 5

El valor numérico es 3 — 5.

Ejemplo 30 Calcula el valor numérico para x 5 3 de estas fracciones algebraicas.

a) 2x 2 5 ———x 2 1 1

b) x 1 1 ———3x 2 6

c) x 2 3 ———2x 2 2 9

a) 2(3) 2 5 ———(3)2 1 1

5 6 2 5 ———9 1 1

5 1 —10

El valor numérico de 2x 2 5 ———x 2 1 1

para x 5 3 es 1 —10.

b) 3 1 1 ———3(3) 2 6

5 4 ———9 2 6 5 4 —3

El valor numérico de x 1 1 ———3x 2 6

para x 5 3 es 4 —3.

c) 3 2 3 ———2(3)2 2 9

5 0 ———2(9) 2 9 5 0 —9

5 0

El valor numérico de x 2 3 ———2x 2 2 9

cuando x 5 3 es 0.

Ejemplo 31 Escribe tres fracciones para las cuales no exista su valor numérico cuando x 5 2.

Las fracciones para las que no existe el valor numérico deben tener un denominador igual a cero, cuando x toma el valor de 2.

Como las expresiones x 2 2; x 2 2 4 y x 2 1 x 2 6 son iguales a cero cuando

x 5 2, entonces las fracciones pueden ser 3x ———x 2 2

, x 1 1 ———x 2 2 4

, x 1 3 —————x 2 1 x 2 6

.

Fracciones algebraicas. Valor numérico13

En adelante se considerarán sinónimos fracción algebraica y fracción, siempre que no se confunda.

En la redentÉrate De otros aspectos re-lacionaDos con las Fracciones alGebraicas en la pÁGina web:www.e-sm.net/8mt18

117




Ejemplo 32 El número de horas que requiere un carro a una velocidad de v kilómetros por hora para alcanzar a un carro que ha avanzado t horas a una velocidad de 60 kilómetros por hora se puede representar por la fracción algebraica 60t ——

v 2 60.

¿Cuánto tiempo tardará un carro, a una velocidad de 80 kilómetros por hora, para alcanzar a otro que salió dos horas antes a una velocidad de 60 kilómetros por hora?

Para hallar la velocidad se halla el valor numérico de 60t ——v 2 60

para t 5 2 y v 5 80.

Entonces en 60 ? 2 ——————80 2 60

5 6 horas el segundo carro alcanzará al primero.

ejercitAción

49. Para la fracción algebraica x 1 z ———3 1 x 2

:

a) Calcula el valor numérico para x 5 23 y z 5 2. b) Calcula el valor numérico para x 5 0 y z 5 21.

Solución: a) Se reemplaza x por 23 y z por 2: 23 1 2 ———

3 1 (23)2 5 21 ——

3 1 9 5 2 1 —12

El valor numérico es 2 1 —12 .

b) Se sustituye x por 0 y z por 21: 0 1 (21) ———3 1 02

5 2 1 —3

El valor numérico es 2 1 —3 .

rAzonAmiento

50. Indica para qué valores las siguientes fracciones tienen un valor indeterminado.

a) x 2 1 1 ———x 2 1

b) x 2 2 6x 1 5 —————x 2 5

Solución: En ambos casos se iguala a 0 el denominador.

a) x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1; para x 5 1 se tiene 2 —0 , luego no tiene valor numérico.

b) x 2 5 5 0 ⇒ x 5 5; para x 5 5 se tiene 0 —0 , luego es indeterminado.

ejercitAción

51. Halla el valor numérico de la fracciónx 2 2 7x 1 10 —————

x 2 2 6x 1 8 para los valores 2, 0 y 4.

ejercitAción

52. Halla el valor numérico para cada expresión, x 5 2, y 5 21 y z 5 0.

a) 2x 2 1 yz ———z 3 2 y 3

b) x 2 y 1 z ————2z 2 y 2

• Más actividades en la página 132, numerales 119, 120, 127 y 128.

rAzonAmiento

53. Indica si estas fracciones tienen valor numérico para los valores que anulan el denominador.

a) x 2 2 5x 1 6 ————x 2 4

b) x 2 2 9 ———x 2 3

rAzonAmiento

54. Determina para qué valores las siguientes fracciones tienen un valor indeterminado.

a) x 2 2 4 ———x 2 2

b) x 2 2 6x 1 9 ————2x 2 3

118

Ten en cuenta


Tabla 3.10

[www.redes-sm.net


Simplifi cación de fracciones algebraicas

Dos fracciones algebraicas son equivalentes si el producto de medios es igual al producto de extremos.

Ejemplo 33 Halla el valor numérico de las fracciones algebraicas 3x 2 3 ———x 2 2 x

y 3 — x para los valores 22, 3 y 5.

x 22 x 3 x 5

3x 2 3 ———x 2 2 x

3 ? (2 2) 2 3 —————————(22)2 2 (22) 5 2

3 — 23 ? 3 2 3 ———

32 2 3 5 13 ? 5 2 3 ———

52 2 5 5 3 — 5

3 — x

3 — 22 5 2

3 — 2 3 — 3 5 1

3 — 5

Si se dan más valores a x, se comprueba que las dos fracciones algebraicas tienen el mismo valor numérico. Estas fracciones son equivalentes.

Observa que el producto de medios es igual al producto de extremos:3x 2 3 ———x 2 2 x

5 3 — x ⇒ (3x 2 3) ? x 5 3x 2 2 3x 5 (x 2 2 x) ? 3

Para simplificar una fracción algebraica, primero se factoriza y luego se divide el numerador por una misma expresión no nula.Una fracción es irreducible cuando no puede simplificarse más.

Ejemplo 34 Simplifica la fracción x 2 2 2x 2 3 —————x 3 2 4x 2 2 5x

hasta transformarla en una fracción irreducible.

x 2 2 2x 2 3 —————x 3 2 4x 2 2 5x

5 (x 2 3) ? (x 1 1) ————————(x 2 5) ? (x 1 1) ? x

5 x 2 3 ————(x 2 5) ? x

Ejemplo 35 Comprueba que las fracciones x 2 1 ——x 2 4

y 1 2 x ——4 2 x

son equivalentes.

Primero se halla el producto de los medios, es decir:(x 2 4)(1 2 x) 5 x 2 x 2 2 4 1 4x 5 2x 2 1 5x 2 4

Al hallar el producto de los extremos se tiene:(x 2 1)(4 2 x) 5 4x 2 x 2 2 4 1 x 5 2x 2 1 5x 2 4

Las fracciones son equivalentes porque el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

14

a — b 5

c — d ⇔ a ? d 5 b ? c

Se descomponen en factores el numerador y el denominador

Se suprimen los factores iguales en el numerador y denominador

Fracción irreducible


119


ActividAd resueltA


ejercitAción

56. En cada caso, determina si las dos fracciones son equivalentes.

a) 3x 1 3 —————3x

y x 2 2 1 —————x 2 2 x

b) 7x 2 1 —————x 2 2 1

y 7 — x

c) x 2 2 8x 1 16 —————x 2 2 16

y x 2 4 ————x 1 1

d) x 1 y ————x 2 y

y x 2 1 2xy 1 y 2 —————x 2 2 y 2

e) x 1 1 ————x

y x 2 2 1 ————x 2 2 x

rAzonAmiento

57. Escribe tres fracciones equivalentes a la fracción dada.

a) x 1 5 ————x 2 2 25

b) 3x 2 12 ———5x 2 20

c) x 1 y 2 z ———12x 2

d) x 2 2 2xy 1 y 2 ——————x 3 2 y 3

rAzonAmiento

58. Completa para obtener fracciones equivalentes.

a) 4x ———x 2 2 5 ————

2x 2 4

b) x 2 1 ——— 5 x 1 2 ————3x 1 6

• Más actividades en la página 132, numerales 121 a 123.

rAzonAmiento

59. Determina cuáles de las siguientes fracciones son irreducibles, luego simplifica las que no son irreducibles.

a) 4x 2 8 —————5x 1 10

b) x 2 11 ———x 2 2 121

c) x 1 y 2 z ———12x 2

d) x 2 2 2xy 1 y 2 ——————x 3 2 y 3

e) x 2 2 6x 1 5 ——————x 2 2 8x 1 15

f) x 2 1 1 ————x 4 2 1

ejercitAción

60. Factoriza el numerador y denominador de cada fracción y si es posible simplifica.

a) x 2 2 7x 1 10 ——————x 2 2 4

b) 2x 2 1 x 2 15 ——————2x 2 1 3x 2 20

c) 3x 2 2 4x 2 15 ———————x 2 2 5x 1 6

d) 2x 2 2 x 2 6 ——————x 2 2 4

ejercitAción

61. Simplifica x 3 2 1 ————x 2 2 1

y calcula el valor numérico

para x 5 2.

ejercitAción

55. Simplifica la fracción 3x 1 3 —————x 2 1 x

y calcula el valor numérico si x 5 1.

Solución: Se factoriza el numerador y el denominador y se simplifica.

3x 1 3 —————x 2 1 x 5

3(x 1 1) ———————x ? (x 1 1) 5

3 — x

Para x 5 1, la fracción 3 — x toma el valor de 3.

120

Ten en cuenta


Adición y sustracción de fracciones algebraicas

Para adicionar o sustraer dos fracciones algebraicas con el mismo deno-minador, se adicionan o sustraen los numeradores y se deja el denominador común.

Si las fracciones tienen distinto denominador, para adicionarlas o sustraerlas se reducen previamente a común denominador.

Procedimiento para adicionar o sustraer dos o más fracciones con distinto denominador

1. Factorizar el numerador y el denominador de cada fracción.

2. Simplificar cada fracción hasta convertirla en fracción irreducible.

3. Hallar el mínimo común denominador de las fracciones producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.

4. Para cada fracción hallar una fracción equivalente que tenga el mínimo común denominador.

5. Adicionar o sustraer los numeradores y dejar el mínimo común denominador.

Ejemplo 36 Observa cómo se adicionan y sustraen fracciones algebraicas con el mismo denominador.

3x 2 2 —————x 2 1 1

1 5x 1 1 —————x 2 1 1

5 (3x 2 2) 1 (5x 1 1) ————————x 2 1 1

5 8x 2 1 —————x 2 1 1

Se adicionan numeradores y sedeja el mismo denominador.

La sustracción se realiza de forma análoga:

3x 2 2 —————x 2 1 1

2 5x 1 1 —————x 2 1 1

5 (3x 2 2) 2 (5x 1 1) ————————x 2 1 1

5 3x 2 2 2 5x 2 1 ————————x 2 1 1

5 22x 2 3 —————x 2 1 1

Ejemplo 37 Realiza la sustracción 7x 2 2 —————x 2 2 1

2 5x ———x 1 1

.

Se expresan previamente las fracciones con el mismo denominador, y luego se operan como las que tienen igual denominador.

Se descomponen en factores los denominadores.

Se hallan fracciones equivalentes con el mismo denominador.

7x 2 2 —————x 2 2 1 2 5x ———

x 1 1 5 7x 2 2 ——————(x 1 1) ? (x 2 1) 2

5x ———x 1 1 5

7x 2 2 ——————(x 1 1) ? (x 2 1) 2

(x 2 1) ? 5x ——————(x 2 1) ? (x 1 1)

5 (7x 2 2) 2 (x 2 1) ? 5x——— ——————(x 1 1) ? (x 2 1) 5 7x 2 2 2 5x 2 1 5x——— ————

(x 1 1) ? (x 2 1) 5 25x 2 1 12x 2 2 ——————x 2 2 1

Se operan numeradores y se deja el mismo denominador

15

Las fracciones algebraicas se adicionan y sustraen de la misma forma que las fracciones numéricas.

Mismo denominador4 —7

2 1 —7

5 4 2 1 ——7

5 3 —7

Distinto denominador2 —3

1 1 —4

58 —12

1 3 —12

5 11 —12

121

ActividAd resueltA



x � 13

x � 24

x � 36

76x

43x

52x

105x

b � 3ab

a � 5ba2

1x � 3

2x � 4

Figura 3.11

Figura 3.13

Figura 3.12

Figura 3.14


ejercitAción

62. Efectúa 2x 2 2 6x ————4x 3 2 36x

1 5 ————x 2 1 6x 1 9

.

Solución:

2x 2 2 6x ————4x 3 2 36x 5

2x (x 2 3) ————4x (x 2 2 9) 5

2x (x 2 3) ——————4x (x 2 3)(x 1 3)

Se factoriza el numerador y el denominador de cada fracción.

2x (x 2 3) ——————4x (x 2 3)(x 1 3) 5

1 ———2(x 1 3)

Se simplifica.

5 ————x 2 1 6x 1 9 5

5 ———(x 1 3)2 Esta es una fracción irreducible.

5 ———(x 1 3)2

y 1 ———2(x 1 3)

Se obtienen fracciones equivalentes a las dadas.

5 ———(x 1 3)2 5

10 ———2(x 1 3)2 y

1 ———2(x 1 3) 5

x 1 3 ———2(x 1 3)2

Se halla el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente 2(x 1 3)2, este será el denominador común. Para cada fracción se encuentra una fracción equivalente con denominador 2(x 1 3)2.

2x 2 2 6x ————4x 3 2 36x 1

5 ————x 2 1 6x 1 9 5

x 1 13 ———2(x 1 3)2

Finalmente se adicionan los numeradores y se deja el denominador común.

ejercitAción

63. Halla el mínimo común denominador en cada caso.

a) 4x 2 6 —————x 2 2 6x 2 27

, x 2 —————x 2 2 18x 1 81

b) x 2 1 6 ———4x 2 16

, 5x 2 ———x 2 2 16

, 2x 2 7 ———2x 1 8

ejercitAción

64. Opera las fracciones.

a) 7x ——x 3 1 5 1 6x 1 1 ———

x 3 1 5

b) 3xy ——x 2 y 2 1 2 2xy ———

x 2 y

ejercitAción

65. Efectúa las siguientes operaciones.

a) 7x 1 3 ——x 2 4 1 5x ———

x 2 2 16

b) 2x ——x 2 5 2 x 1 2 ———

x 2 1

c) x ——x 2 1 1 2 ———

x 1 2 2 x 1 1 ———x 2 2

d) 1 ——x 1 2 2 1 ———

x 2 2 1 4 ———x 2 2 4


resolución de problemAs

66. Halla el perímetro de cada figura. a) b)

c) d)


xx � 2

x2 � 4x

x � 2x

Figura 3.15

[www.redes-sm.net


16 Multiplicación de fracciones algebraicas

El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción, que tiene por numerador el producto de los numeradores, y por denominador, el producto de los denominadores.

Es decir, si a —b y c —d

son fracciones algebraicas, entonces:

a —b ? c —d 5 a ? c ———b ? d

Procedimiento para multiplicar dos fracciones

1. Factorizar el numerador y el denominador de cada fracción.

2. Simplificar los factores comunes en los numeradores y denominadores.

3. Multiplicar las expresiones de los numeradores y multiplicar las expresiones de los numeradores.

Ejemplo 38 Calcula el volumen de la caja de la figura 3.15.Para calcular el volumen de la caja, se multiplican sus dimensiones. Largo Ancho Alto

x 1 2 ——x ? x 2 2 4 ——

x ? x ——x 2 2

5 x 1 2 ——x ? (x 1 2)(x 2 2) —————

x ? x ——x 2 2 Se factorizan completamente los términos

de las fracciones.

5 x 1 2 ——x ? (x 1 2)(x 2 2) —————

x ? x ——x 2 2 Se simplifican los factores comunes en

los numeradores y denominadores.

5 x 1 2 ——x ? x 1 2 ——

1 ? 1 —1

5 x 2 1 4x 1 4 —————x Se multiplican los numeradores entre

sí y los denominadores entre sí.

Ejemplo 39 Halla el producto de las siguientes fracciones algebraicas.

a) x 1 5 ——3x

? x 2 ——x 1 5

b) x ——x 1 2

? x 1 2 ——x

c) 3x 2 1 12 ————2x

? 8x — 3

a) Cada numerador y denominador es un polinomio primo. Se simplifican los factores comunes y se obtiene:

x 1 5 ——3x ? x 2 ——

x 1 5 22

5 1 — 3 ?

x — 1 5 x — 3

b) Cada numerador y denominador es un polinomio primo. Se simplifican los factores comunes y se obtiene:

x ——x 1 2 22

? x 1 2 ——x 5 1

c) Tanto numeradores como denomidadores son polinomios primos. Al simplificar los factores comunes se obtiene:

3x 2 1 12 ———2x ?

8x — 3 5 3(x 2 1 4) ————

2x ? 8x — 3 5 4(x 2 1 4)


123

ActividAd resueltA



ejercitAción

67. Simplifica

a) 2x 2 2 6x ———4x 3 2 36x 2 22

? 3x 2 2 27x ———x 2 3 22

b) x 2 1 x 2 12 ———x 2 2 6x 1 5 22

? x 2 2 7x 1 10 ————x 2 2 7x 1 12 22

Solución: a) Se factoriza el numerador y el denominador de cada fracción.

2x 2 2 6x ———4x 3 2 36x 2 22

? 3x 2 2 27x ———x 2 3 22

5 2x (x 2 3) ———4x 2 (x 2 9) 22

? 3x (x 2 9) ———x 2 3 22

Se simplifican los factores comunes en los numeradores y en los denominadores.

2x (x 2 3) ———4x 2 (x 2 9) 22

? 3x (x 2 9) ———x 2 3 22

5 2x — 4x 2 ? 3x — 1

5 6x 2 — 4x 2 5 3 — 2

b) Se factoriza el numerador y el denominador de cada fracción.

x 2 1 x 2 12 ———x 2 2 6x 1 5 22

? x 2 2 7x 1 10 ————x 2 2 7x 1 12 22

5 (x 1 4)(x 2 3) ————(x 2 5)(x 2 1) 22 ((

? (x 2 5)(x 2 2) ————(x 2 4)(x 2 3) 22 ((

Se simplifican los factores comunes en los numeradores y en los denominadores.

(x 1 4)(x 2 3) ————(x 2 5)(x 2 1) 22 ((

? (x 2 5)(x 2 2) ————(x 2 4)(x 2 3) 22 ((

5 (x 1 4) ——(x 2 1) 22 ((

? (x 2 2) ——(x 2 4) 22 ((

Se multiplican las expresiones de los numeradores y las expresiones de los numeradores.

(x 1 4) ——(x 2 1) 22 ((

? (x 2 2) ——(x 2 4) 22 ((

5 x 2 1 2x 2 8 ————x 2 2 5x 1 4 22

comunicAción

68. Justifica cada paso del siguiente proceso.

2y 2 1 2y ———

2y 2 ? y 2 2 3y —————

y 2 2 2y 2 3 5

2y (y 1 1) ———

2y 2 ? y (y 2 3) —————

(y 2 3)(y 1 1) 5

y 1 1 ——y

? y ——y 1 1

5 1

ejercitAción

69. Simplifica y realiza cada operación.

a) x 1 6 ——x

? x 2 ——x 2 2 36

b) 2x 1 2y ———3x 2 3y

? x 2 2 y 2

———4x 1 4y

c) x 2 2 y 2

———3x

? 3x 2 ———5x 2 5y

d) 2a 2 2 3a 2 2 —————6 22 ((a 1 3

? 3a 1 6 —— 22 ((a 2 2 4


ejercitAción

70. Realiza cada multiplicación.

a) x 2 1 4x 2 21 ————x 2 2 6x 2 16 22 ((

? x 2 2 8x 1 15 ————x 2 1 9x 1 14

b) 5x 2 2 5 ———x 2 1 1

? x 3 1 x ———5x

? x 4 1 2x 2 1 1 ————x 1 1(

c) (x 2 7)2 2 1 ————x 2 2

? x 2 2 4 ———5x 2 40

? x 2 1 ————x 2 2 4x 2 12(

rAzonAmiento

71. Escribe en cada cuadro el signo 5 ó según corresponda.

a) 2x 1 6 ———x 1 1 22 ((

? x 2 1 3x 1 2 ————4x 2 1 12x

x 1 2 ———2 22 ((

b) 5m 1 25 ———14 22 ((

? 7m 1 7 ———10m 1 50

m 2 1 ———4 22 ((

c) 2a 2 1 a ———6 22 ((

? 8 ——4a 1 2

2a ——3 22 ((

d) 2y 2 1 2y ———2y 2 22 ((

? y 2 2 3y ————y 2 2 2y 2 3

21

124


Sabías que...


h

AB

Figura 3.16

Tabla 3.11


División de fracciones algebraicas

La división de dos fracciones algebraicas es equivalente a la multiplicación del dividendo por el inverso multiplicativo del divisor.

Es decir, si a — b y c — d

son fracciones algebraicas, entonces:

a — b 4 c — d

5 a — b ? d — c

5 ad — bc

Ejemplo 40 Para calcular el área de la base AB de la pirámide de la figura

3.15, es necesario dividir el volumen m 2 2 9 ———4m 1 12 22

entre la altura m 2 3 ———6 22

y mul

tiplicar el cociente por 3.

Para dividir fracciones algebraicas, se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo (fracción recíproca) del divisor.

En este caso:m 2 2 9 ———4m 1 12 22

4 m 2 3 ———6 22

Inverso multiplicativo del divisor

5 m 2 2 9 ———4m 1 12 22

? 6 ——m 2 3 22

5 (m 1 3)(m 2 3) ——————4(m 1 3) 22

? 6 ——m 2 3 22

Se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor, se factoriza y se simplifica.

5 6 — 4

5 3 — 2 Se obtiene el cociente.

Luego el área de la base AB de la pirámide es 3 32 5 9 — 2

.

ejercitAción

72. Encuentra la fracción recíproca o inverso multiplicativo en cada expresión.

FracciÓn FracciÓn recíProca

1 — a2 1 x ———x 2 1 22

5x 2 2 3 ———2x 2 3 22

7 2 x 2 ———4 1 8x 22

6 ———2x 3 1 1 22

ejercitAción

73. Calcula.

a) x 2 1 6x 1 9 ————x 2 1 22 ((

4 x 2 2 9 ——x 2 2 1

b) x 2 2 121 —— —x 2 2 49

4 x 2 11 ——— —x 1 7

c) 3 ————x 2 2 x 2 30

4 6 ————x 2 1 x 2 42

rAzonAmiento

74. Completa para que se cumpla la igualdad.

a) x x�

2

4 5 2

b) aa

� �4 4

4 5 a 2 2

El volumen V de una pirámide equivale a un tercio del área de la base A B por su altura h. Es decir:

V 5 1 — 3 A Bh

Si el volumen y la altura de una pirámide se pueden representar mediante las expresiones

V 5 m 2 2 9 ——— 4m 1 12

h 5 m 2 3 ——

6¿Cuál es el área de la base?

17


125

ActividAd resueltA



Tabla 3.12

Tabla 3.13


Expresiones radicales

Las expresiones algebraicas en las que aparecen radicales se llaman expresiones radicales.

Una expresión radical con índice n, y radicando b se escribe bn .

El valor numérico de una expresión radical es el resultado de sustituir las variables por números.

Las siguientes expresiones son expresiones radicales:

x y23 a bc3 54 4 22 27 m n�

Ejemplo 41 Halla el valor numérico de las expresiones x y x3 para los valores 64 y 264.

64 264

x 64 5 8 No existe

x3 643 5 4 �643 5 24

Como un radical de índice par y radicando positivo tiene dos raíces, conviene distinguir una de otra.

Raíz positiva: 64 Raíz negativa: 2 64

Dos expresiones radicales son equivalentes si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor que se asigne a sus variables.

Ejemplo 42 Halla para los valores 4, 9 y 25, el valor numérico de las expresiones radicales x y x 24 .

4 9 25

x 4 5 2 9 5 3 25 5 5

x 24 424 5 164 5 2 924 5 814 5 3 2524 5 6254 5 5

Si se calculan otros valores numéricos, se comprueba que los resultados para cada expresión radical son iguales.

ejercitAción

75. Comprueba que los radicales x 3 y x 23 no son equivalentes.

Solución: Se halla el valor numérico de las dos expresiones radicales, por ejemplo, para x 5 2.

23 5 8 5 2,82... 223 5 43 5 11,58... Como los valores numéricos no son iguales, se deduce que las expresiones no son equivalentes.

ejercitAción

76. Calcula el valor numérico para x 5 2 de cada expresión radical.

a) �x 2 b) �y 33


ejercitAción

77. Comprueba que las siguientes expresiones radi cales no son equivalentes.

a) x 4 y x123 b) x 6 y x 63

18

126



Ten en cuenta


Simplifi cación y reducción de radicales a índice común

Si se multiplica o divide el índice y el exponente de un radical por un número distinto de cero, se obtiene otro radical equivalente siempre que se elijan las raíces con el mismo signo que la dada.

amn 5 ak mk n ��

Un mismo radical puede escribirse de distintas formas.

x 22 5 x 33 5 x1212 5 ...

x 35 5 x 2 32 5 ��

5 x 3 33 5 �� 5 ...

Observa cómo se simplifican los siguientes radicales.

x 412 x 515 x y z12 6 96

42 45 43

x 26 x3 x y z4 2 3

Expresión irreducible

Ejemplo 43 Escribe con el mismo índice los radicales 2x , 73 x y 94 x .

Los índices de las raíces son 2, 3 y 4; un índice común puede ser el producto de todos ellos, es decir, 24.

2x 5 21212 2 x( )�

5 212 1224 x 73 x 5 788 3 x( )� 5 78 824 x

94 x 5 966 4 x( )� 5 96 624 x

rAzonAmiento

78. Reduce al menor índice común los radicales x , y3 y xy6 .

Solución: El menor índice común es el mínimo común múltiplo de los índices de los radicales: m.c.m. (2, 3, 6) 5 6

x 5 x 33 2� 5 x 36

y3 5 y 22 3�

5 y 26 xy6

5 xy6

ejercitAción

79. Simplifica los siguientes radicales.

a) a b c12 6 924 b) x y z12 4 88

Solución:

a) a b c12 6 924 5 a b c4 2 38 b) x y z12 4 88 5 x yz3 2

rAzonAmiento

80. Un estudiante dice que los radicales x 4 y x 63 son iguales.

a) ¿Es cierta esta afirmación?

b) ¿Y si los radicales son x 4 y x 84

ejercitAción

81. Simplifica o reduce a índice común estos radicales.

a) x y z12 36 618 b) x y z15 30 1545

c) ab15 , ab5 , ab3 d) x y23 , x y7 29 , xy 26

El menor índice común es el m.c.m. de los índices de los radicales.m.c.m. (2, 3, 4) 5 12

y3 5 y 22 3�

y 26 5 xy6

a b c12 6 924 5 x y z12 4 88

19

• Más actividades en la página 132, numerales130 y 131.

127


Ten en cuenta

Ten en cuenta


Operaciones con expresiones radicales

El producto o el cociente de dos expresiones radicales del mismo índice es otra expresión radical del mismo índice que tiene por radicando el producto o el cociente de los radicandos.

an ? bn 5 a bn � an 4 bn 5 a bn �

Ejemplo 44 Realiza las operaciones indicadas.

a) xy 35 ? x y2 45 5 xy x y3 2 45 ( ) ( )� 5 x y3 75

b) x y4 53 4 x y2 33 5 x y x y4 5 2 33 � 5 x y2 23

Si los radicales tienen distinto índice, antes de hacer el producto o el cociente hay que transformarlos en radicales equivalentes con el mismo índice.

Ejemplo 45 Opera los siguientes radicales.

a) x y23 ? xy4 5 x y24

4 3 ( )� ? xy( )33 4� 5 x y8 412 ? x y3 312 5 x y11 712

b) a b5 26 4 a b24 5 a b5 2 22 6 ( )� 4 a b2 33 4 ( )� 5 a b10 412 4 a b6 312 5 a b412

La potencia de una expresión radical es otra expresión radical que tiene por índice el mismo, y por radicando, la potencia del radicando.

La raíz de una expresión radical es otra expresión radical que tiene por índice el producto de los índices, y por radicando, el mismo.

apn ( ) 5 ah

p

( ) anm 5 am n�

Ejemplo 46

a) 2 462

x( ) 5 2 4 26 x( ) 5 22 86 x 5 4 86 x b) x z235 5 x z25 3�

5 x z215

Para sumar o restar radicales con la misma parte radical, se extrae el factor común de dicha parte radical y se suman o restan los coeficientes.Si los radicales no tienen la misma parte radical, es necesario expresar los sumandos con el mismo radicando aplicando las propiedades.

Ejemplo 47 Realiza las operaciones.

a) 17 xy 2 11 xy 1 8 xy 5 (17 2 11 1 8) xy 5 14 xy

b) xy 2 x y3 3 5 xy 2 x xy y2 2 5 xy 2 xy xy 5 (1 2 xy) xy

ejercitAción

82. Realiza las siguientes operaciones.

a) x y23 ? x y23 b) x y7 34 4 xy 24

c) x y332

( ) d) xy 33

ejercitAción

83. Extrae factores de estos radicales.

a) x y z15 7 227 b) x y zt9 10 73 c) x y z t10 11 12 135

• Más actividades en las páginas 132 y 133, numerales 132 a 137.

ejercitAción

84. Calcula estas sumas de radicales.

a) x y3 3 2 xy 5 1 x y3

b) x y4 54 1 x y84 2 y 94

ejercitAción

85. Realiza estos cálculos.

a) x y2 35 ? xy 45 b) ab23 ? a b46

Las operaciones con expresiones radicales se realizan de forma análoga a las operaciones con radicales numéricos.

Aplicando la regla del producto de radicales se puede simplifi car una expresión radical extra-yendo factores fuera del signo radical.

x z7 115 5 x x z z z5 2 5 55 5

xzz x z25 5 xz 2 x z25

20

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x 22x

xy2y

� �xy

Figura 3.17

A c t i v i d A d e s


Factorización por factor común y agrupación de términos

E n t r e n aejercitAción

86. Factoriza estas expresiones sacando factor común.

a) 2x 2yz 2 2xy 2z 1 2x 2y 2

b) 8x 4 2 4x 3 1 6x 2

c) 2x 3 (x 2 2) 1 4x 4 (x 2 2)2

ejercitAción

87. Factoriza cada polinomio por agrupación de términos.

a) ax 2 1 bx 2 1 ay 2 1 by 2

b) m 5n 2 2 m 2n 5 1 7m 3 2 7n 3

c) a 5 1 2a 2 1 a 3b 1 2b

d) ax 2 1 bx 2 2 ay 2 2 by 2

e) x 2 1 xa 1 3x 1 3a

f) 18a 3 1 12a 2 2 15a 2 10

rAzonAmiento

88. Descompón en factores la siguiente expresión, hallando previamente el área de las figuras geométricas.

A c l a r a c o n c e p t o srAzonAmiento

89. Relaciona cada polinomio con su expresión factorizada. Justifica tu respuesta.

a) 8a 2 2 12ab 5m 2 (3m 1 4)

b) 15m 3 1 20m 2 (a 1 c)(2y 2 5x )

c) a (n 1 2) 1 (n 1 2) abc (1 1 c )

d) 25x (a 1 c ) 1 2y (a 1 c ) (n 1 2)(a 1 1)

e) abc 1 abc 2 4a (2a 2 3b)

f) x (a 1 1) 2 2y (a 1 1) (a 1 1)(x 2 2y )

rAzonAmiento

90. Halla un polinomio de grado cuatro cuyos factores sean x 2 1 x 1 1, x 1 1 y x 2 3, y cuyo término independiente sea 29.

R e f u e r z aejercitAción

91. Factoriza cada uno de los siguientes polinomios sacando factor común.

a) 5x 7 2 6x 6 1 3x 5

b) 5xy 1 3x 2 2 2xy 2

ejercitAción

92. Factoriza por agrupación de términos. a) a 2bc 2 ac 2d 1 ab 2d 2 bcd 2

b) 6ax 1 3a 1 1 1 2x c) 2ab 2 2ac 1 2a 2 b 1 c 2 1 d) 3xy 2 3xz 1 3x 2 y 1 z 2 1

Factorización de expresiones de la forma x n 6 y n (casos especiales cubos y cuadrados)


93. Factoriza la diferencia de cuadrados. a) 16x 2 2 9y 2

b) 144a 2 2 100b 2

c) 400n 2 2 169m 2

d) 144 2 9a 2

e) 121 2 x 4

f) 4a 2b 4 2 121 g) 25a 12 2 100a 4b 10

ejercitAción

94. Encuentra la expresión factorizada para cada suma o diferencia de cubos.

a) 8x 3 1 1 b) 27 2 8a 3

c) 27x 3 1 8 d) 64a 3 2 27b 3

e) 125n 3 1 64 f) 216a 3b 3 1 1 000 g) x 6 2 y 6

h) 125a 6 1 512b 6

i) x 9 1 8y 9

ejercitAción

95. Encuentra la expresión factorizada en cada caso.

a) x 10 2 1 b) x 15 1 y 15

c) 16x 4 1 81y 4 d) 3 125 2 a 5

129pensamiento variacional

3a

9

9 9

3a

3a

3a

xy

xy

xy

4x2 6xy

6xy 9y2

28xy 16

49x2y2 28xy

9m2 15m

15m 25

25a2 15ab

15ab 9b2

35 mn 9

25 m2

n2 35 mn

x2 xy

xy y2

4x2 6xy

6xy 9y2

28xy 16

49x2y2 28xy

9m2 15m

15m 25

25a2 15ab

15ab 9b2

35 mn 9

25 m2

n2 35 mn

x2 xy

xy y2

4x2 6xy

6xy 9y2

28xy 16

49x2y2 28xy

9m2 15m

15m 25

25a2 15ab

15ab 9b2

35 mn 9

25 m2

n2 35 mn

x2 xy

xy y2

4x2 6xy

6xy 9y2

28xy 16

49x2y2 28xy

9m2 15m

15m 25

25a2 15ab

15ab 9b2

35 mn 9

25 m2

n2 35 mn

x2 xy

xy y2



Figura 3.18



A c l a r acomunicAción

96. Contesta, con base en la información. Dos estudiantes presentaron las siguientes

pruebas.

mariana luis

2x 2 2 36 5 2x 2 2 36 5 2(x 2 6)(x 1 6) No se puede factorizar.

¿Quién aprobó el examen? Explica.

rAzonAmiento

97. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el volumen del sólido? ¿Cuál es la factorización de esta expresión?

Volumen: Expresión factorizada:

rAzonAmiento

98. Indica para cuáles binomios, 2 2 x es un factor.

a) 8 2 x 3 b) 125 1 x 3

c) x 3 2 64 d) 162 2 2x 3

rAzonAmiento

99. Indica para cuáles binomios, x 1 3 es un factor.

a) x 2 1 9 b) x 4 2 81

c) x 3 2 27 d) x 5 1 243

A m p l í aejercitAción

100. Factoriza la diferencia de cuadrados y luego factoriza el polinomio total.

a) (x 2 1) 1 (x 2 2 1) 5 (x 2 1) 1

b) (x 1 y) 1 (x 2 2 y 2) 5 (x 1 y) 1

c) (a 2 2 4b 2) 1 (a 1 2b) 5 1 (a 1 2b)

d) (2m 2 3n) 1 (4m 2 2 9n 2) 5 (2m 2 3n) 1

ejercitAción

101. ¿Factoriza la suma o diferencia de cubos, y luego, factoriza la expresión completa.

a) (x 1 2) 1 (x 3 1 8) 5

b) (x 2 4) 1 (x 3 2 64) 5

c) (a 1 5) 1 (a 3 1 125) 5

d) (2b 1 1) 1 (8b 3 1 1) 5

e) (m 1 1) 1 (m 3 1 1) 5

f) (3x 1 2) 1 (27x 3 1 8) 5

ejercitAción

102. Factoriza el binomio y luego factoriza la expresión completa.

a) (x 1 1) 1 (x 7 1 1)

b) (x 2 3) 1 (x 5 2 243)

c) (x 1 2) 1 (x 5 1 32)

d) (x 2 3y) 1 (x 6 2 729y 6)

Factorización de trinomios

E n t r e n arAzonAmiento

103. ¿Cuál es el polinomio que expresa el área de cada figura? Factorízalo.

a) b)

c) d)

130 PENSAMIENTO VARIACIONAL

A � 4b

A � 2a

A � 2b2

A � 2b3

Figura 3.23

A � x2 � 6x � 5

Figura 3.24

A � x2�12x � 27

Figura 3.26

bm

am

bn

an

3ax 2mx

3ay 2my


A � x2 � 144

Zona adultos

Zona niños

Figura 3.25

A C T I V I D A D E S

PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

109. Un centro vacacional ha diseñado un mo-delo de piscina que tiene dos secciones. Si el área de la zona de adultos se puede expresar como x 2 � 144, ¿cuáles son las expresiones algebraicas para las dimen-siones de esta zona?


110. La figura 3.25 muestra el área de un piso recubierto con madera.

¿Cuáles son las expresiones que representan la base y la altura de esa superficie?

R e s u e l v eRAZONAMIENTO

111. Factoriza el área total de los rectángulos y encuentra los polinomios que representan sus dimensiones.

a) b)

RAZONAMIENTO

104. Completa cada trinomio para que la igual-dad sea verdadera.

a) x 2 � x � � (x � 6)(x � 3) b) m 2 � m � � (m � 9)(m � 8) c) 1 � a � a 2 � (1 � 8a )(1 � 6a ) d) x 4 � x 2 � � (x 2 � 3)(x 2 � 1) e) y 2 � y � � (y � 24)(y � 3 ) f) a 2 � ab � b 2 � (a � 5b)(a � 3b )

EJERCITACIÓN

105. Factoriza cada trinomio. a) 4x 4 � 8x 2 � 3 b) 2x 4 � 5x 2 � 3 c) 3x 6 � x 3 � 2 d) 8x 8 � 10x 4 � 3 e) 7x 2 � 22x � 3 f) 3x 2 � 8x � 3 g) 2x 2 � 11x � 15 h) 6x 2 � 53x � 40

EJERCITACIÓN

106. Factoriza por adición o sustracción. a) 25a 2 � 54ab � 49b 2

b) 121x 6 � 108x 3 � 4 c) 64x 2 � 169xy � 81y 2

d) x 4 � 9x 2 � 16

R e s u e l v e p r o b l e m a sRAZONAMIENTO

107. Para construir una estructura de cartón se requieren cuatro piezas de diferente área.

¿Cuál es la expresión más reducida posi-ble para indicar la sumatoria de todas las áreas?


108. El área de la superficie plana de un mo-delo de mesa está dada por la expresión algebraica x 2 � 6x � 5.

¿Cuáles serán las expresiones algebraicas para las medidas de sus lados?

131pensamiento variacional

4b

3ab

3a

� �2ab

3b

Figura 3.30

x

x

y

y Figura 3.29



rAzonAmiento

112. La figura 3.29 es un cuadrado dividido en cuatro partes: un cuadrado grande, uno pequeño y dos rectángulos iguales. Con base en esta información y la que ofrece la figura, anota lo que se indica.

a) La medida de un lado de la figura.

b) El área de cada una de las partes: Cuadrado grande. Cuadrado pequeño. Rectángulo.

c) El área total de la figura.

d) De las siguientes seis expresiones, hay dos que corresponden al área de la figura. Encuéntralas y subráyalas.

x ² 1 y ² (xy )² (x 1 y )² x ² 1 2xy 1 y ² 2x 1 2y x ² 2 y ²

e) Explica por qué se puede asegurar que la siguiente igualdad es correcta:

x ² 1 2xy 1 y ² 5 (x 1 y)²

f) Encuentra la expresión que representa el área del rectángulo cuando y 5 7.

g) Determina el valor tomado por x, si el área total de la figura es:

A 5 256 1 32y 1 y 2

ejercitAción

113. Factoriza los siguientes trinomios. a) x 2 1 8x 1 12

b) x 2 2 7x 1 12

c) x 2 1 8x 1 7

d) x 2 1 9x 2 10

rAzonAmiento

114. Factoriza la siguiente expresión; determina previamente el área de las figuras geométricas.

ejercitAción

115. Expresa cada polinomio de la forma x 2n 1 bx n 1 c. Luego, factorízalos.

a) x 4 1 7x 2 1 10

b) x 4 2 x 2 2 12

c) x 6 1 2x 3 2 15

d) x 4 1 10x 2 1 24

e) x 8 2 10x 4 1 24

f) x 4 1 26x 2 1 144

g) x 10 2 x 5y 5 2 20y 10

h) x 6 2 6x 3y 3 2 7y 6

Factorización de polinomios aplicando la regla de Ruffini


116. Factoriza al máximo cada polinomio. a) x 3 1 3x 2 2 6x 2 8

b) x 4 2 x 3 2 11x 2 1 9x 1 18

c) x 4 2 9x 2 1 x 1 3

d) x 4 2 2x 3 2 8x 2 1 19x 2 6

e) x 6 2 x 5 2 2x 2 1 3x 2 1

A c l a r arAzonAmiento

117. Indica para cuáles polinomios, x 2 3 es un factor.

a) x 6 2 20x 3 1 x 2 2 198

b) x 8 1 2x 2 2 15x 1 321

c) 25x 5 1 20x 4 2 15x 3

d) 2x 4 1 x 3 2 x 2 186




rAzonAmiento

118. Indica para qué valores de a, x 1 2 es un factor de x 5 1 2x 2 1 ax 1 14.

a) 227 b) 5 c) 210 d) 14

Fracciones algebraicas


119. Determina el valor numérico de estas fracciones algebraicas para x 5 1 y y 5 22.

a) 2xy ——x 2 1 y 2

b) 3x 1 2y ——x 1 y

c) 4x 2y ——5x 1 y

ejercitAción

120. Halla los valores de x para los cuales el valor numérico de la fracción algebraicax 3 2 7x 2 6 ————x 2 2 x 2 6

es indeterminado.

ejercitAción

121. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

a) x 1 1 ——x 2 2 1

b) x 2 1 4x 1 4 ————x 2 2 4

c) x 2 1 x 2 2 ————x 2 1 2x 2 3

d) x 2 2 x 2 2 —————x 5 2 x 4 2 2x 3

ejercitAción

122. Reduce a común denominador estas fracciones algebraicas.

x 2 1 ——x 1 2

x 1 1 ——x 2 2

3x ————x 2 1 2x 2 8

ejercitAción

123. Indica qué pares de fracciones algebraicas son equivalentes.

a) x 1 1 ——x 2 1

y x 3 1 x 2 2 2x 2 2 ——————x 3 2 x 2 2 2x 1 2

b) x ——2x 2 1

y x 2 1 x —————2x 2 2 3x 1 1

c) (x 2 3)2

———x 2 2 9

y x 2 2 3x 1 9 ——————(x 2 3) ? (x 1 3)

ejercitAción

124. Opera y simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

a) x ——x 2 2

1 2x 1 1 ——x 1 2

2 1 ——x 2 2 4

b) 1 ——3x 2 2 3

2 2 ——2x 1 2

1 x 1 5 ——x 1 1

c) x ——x 2 1

2 1 ——x 1 2

1 3x 2 1 ——x 2 3

ejercitAción

125. Realiza estas operaciones y simplifica el resultado.

a) x 1 1 ——x 2 1 2x

? 4x 1 3x 3 ———x 2 1 x

b) xx

xx

� � �1 1

? (x 2 1)

ejercitAción

126. Opera y simplifica.

a) 1 12

13x x x

� �

4

1 1 122x x x

� �

b) x 2 2 ——x 2 2 9

4 x 2 2 4 ———x 1 3

c) x

x

xx

�

��

�1

1

12

2

( )

4 x

x

�

�

1

12( )

A c l a r arAzonAmiento

127. ¿Puede ser que el resultado obtenido al calcular el valor numérico de una expresión algebraica sea otra expresión algebraica? Razona tu respuesta.

comunicAción

128. Indica los casos en los que sea necesario factorizar una fracción algebraica para calcular el valor numérico para algún valor en concreto.

Pon algún ejemplo.

Expresiones radicales


129. Escribe tres radicales equivalentes a cada uno de los siguientes.

a) x y2 84 b) ab3

ejercitAción

130. Reduce estos radicales a índice común.

x 23 x 3 x 56

ejercitAción


a) a b8 416 b) x y2 2 312 ( )

c) x y12 1815 d) x y2 4 520 ( )

ejercitAción

132. Realiza estas operaciones con radicales.

a) x y12 6 b) x y5 4 xy

c) x y23 ? x y4 23 d) xy( )4

ejercitAción

133. Extrae factores de los siguientes radicales.

a) 64 84 x b) x yz4 53 c) 16 6

3a

b

133

AutoevAluAción




ejercitAción

134. Efectúa estas operaciones con expresiones radicales.

a) x 23 4 x 3 b) x y2 3 ? xy5

c) x 3 ? x 23 d) xy 23 4 x y3 54

ejercitAción

135. Opera las siguientes expresiones radicales.

a) 12x 1 75x 2 27x 1 48x

b) a3 2 ab33 1 ab63 2 ab93

c) xy 25 1 16 3 4x y 2 9 6xy

ejercitAción

136. Realiza estas operaciones.

a) xy 33 ? xy ? x y54 b) x x

x

3 35

46

�

rAzonAmiento

137. Indica si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas, justificando tu respuesta.

a) x a x a� � �( ) ( ) 5 x 2 a

b) x y

x y

�

� 5 1

1. Selecciona la expresión equivalente a cada polinomio dado.

a) 6y 2 4x 2 3xy 1 2x 2

(2 1 x)(3y 2 2x ) (2 2 x)(3y 2 2x ) (2 2 x)(3y 1 2x )

b) 3a 3 2 1 2 a 2 1 3a (3a 2 1 1)(3a 1 1) (a 2 1 1)(3a 1 1) (a 2 1 1)(3a 2 1)

2. Factoriza al máximo las siguientes expresiones.

a) 3a 2bc 1 6abc 3 2 12a 3b 2c b) 9x 4 2 12x 2y 3 1 4y 6

3. Factoriza cada una de las sumas o diferencias de cubos.

a) n 3 1 125 5 ( 1 )( 2 2 1 ) b) a 3 2 1 000 5 ( 2 )( 2 1 1 ) c) 8x 3 1 512 5 ( 1 )( 2 2 1 ) d) 27n 3 2 8m 3 5 ( 2 )( 2 1 1 ) e) 64a 3 1 343b 3 5 ( 1 )( 2 2 1 )

4. Expresa cada polinomio de la forma x 2n 1 bx n 1 c. Luego, factorízalos.

a) x 6 1 7x 3 1 12 b) x 8 2 5x 4 1 6 c) x 8 2 8x 4 1 15 d) x 10 1 2x 5 2 24

5. Factoriza al máximo estos polinomios. a) 6x 3 1 12x 2 2 90x 2 216 b) 2x 4 1 3x 3 1 x 2 6

6. Factoriza al máximo estas expresiones. a) x 3 2 2x 2 2 11x 1 12 b) x 3 2 5x 2 2 8x 1 12

7. Factoriza, aplicando la regla de Ruffini. a) 2x ³ 1 7x ² 2 7x 2 30 b) x 3 1 6x 2 1 3x 2 10 c) x 4 2 x 3 2 x 2 2 5x 2 30

8. Factoriza al máximo los siguientes polinomios.

a) P (x ) 5 x 4 2 5x 2 1 4

b) Q (x ) 5 x 3 1 4x 2 2 7x 2 10

c) R (x ) 5 x 3 2 19x 1 30

9. Realiza estas operaciones con fracciones algebraicas.

a) 3x 2 2 ———x 2 3

2 2x 2 5 ——x 2 2 9

1 2x ——x 1 3

b) x 2 1 ——3x

? 5x 2 ——x 2 2 x

4 2 —x

10. Halla el valor numérico de cada una de estas expresiones.

3x 2y 1 1 —— —2x 1 1

2 3xyxy

�

a) Para x 5 1 y y 5 2. b) Para x 5 21 y y 5 22.


a) a b c4 8 612 b) x y c12 36 618

12. Realiza las siguientes operaciones con expresiones radicales.

a) xy 45 ? x y25 ? xy5

b) xy3 ? xy4 4 xy6

R E S O L U C I Ó ND E P R O B L E M A S

Comprende la estrategia

ejercicio resuelto1

30 cm

20 cm

40 cm 48 cm

h

x

h

x

2 cm10 cm

Figura 3.32Figura 3.31 Figura 3.33

Figura 3.34


Generalizar la solución mediante una fórmula

En ocasiones para resolver problemas, es necesario buscar regularidades a partir de casos particulares para encontrar una fórmula general que permita resolver otros problemas similares.

Problema

Hallar una fórmula con una sola letra en el segundo miembro (una variable) que permita calcular el área de cualquier rectángulo que se puede formar con una cuerda de 100 cm de longitud.

ResoluciónAlgunos rectángulos posibles son los siguientes:

Base: x 5 30 cm Base: x 5 40 cm Base: x 5 48 cm

Altura: h 5 20 cm Altura: h 5 10 cm Altura: h 5 2 cm

30 1 30 1 20 1 20 5 100 40 1 40 1 10 1 10 5 100 48 1 48 1 2 1 2 5 100

Área: A 5 30 ? 20 5 600 cm² Área: A 5 40 ? 10 5 400 cm² Área: A 5 48 ? 2 5 96 cm²

Como hay infinitos rectángulos con perímetro igual a 100 cm, ¿cómo se podría calcular el área de cualquiera de ellos?

Observa la figura 3.34

Área del rectángulo: A 5 xh Se tiene que cumplir: x 1 x 1 h 1 h 5 2x 1 2h 5 100

Dividiendo por 2, se obtiene: x 1 h 5 50

Luego, h 5 50 2 x.

Reemplazando h en la fórmula del área, se obtiene:

A 5 xh 5 x (50 2 x) 5 50x 2 x²

R/ Luego, con la fórmula A 5 50x 2 x², cuyo segundo miembro es un polinomio de segundo grado, se puede calcular el área de cualquier rectángulo de 100 cm de perímetro, dada la base x del mismo.

Para comprobar el resultado se reemplazan, en las fórmulas, las medidas de las bases.

Si la base x es 30 cm, se obtiene: A 5 50 ? 30 2 30² 5 1 500 2 900 5 600 cm².

Si la base x es 40 cm, se obtiene: A 5 50 ? 40 2 40² 5 2 000 2 1 600 5 400 cm².

Si la base x es 48 cm, se obtiene: A 5 50 ? 48 2 48² 5 2 400 2 2 304 5 96 cm².

Para resolver un problema debes:• Entender el problema• Concebir un plan• Ejecutar el plan• Verifi car las respuestas

2 ejercicio resuelto

Aplica la estrategia

x � 4

x

x

x � 2

x � 8

xx

Figura 3.35

Figura 3.36


ProblemaEn una fábrica de cartón venden diferentes tipos de cajas. La figura 3.35 muestra un molde con la medida del largo, alto y ancho de una de las cajas.

a) ¿Cuánto mide el área total de esa lámina de cartón?

b) Si se recorta el molde y se construye la caja, ¿cuál sería el volumen de dicha caja?

Resolucióna) Para determinar el área de la lámina es necesario determinar la longitud del ancho y del

largo de ésta. En la figura se observa que el ancho está representado por los polinomios 2x y x 1 4, y el largo por los polinomios 3x y x 1 2. Así que se puede afirmar que el largo de la lámina es 3x 1 4 y el ancho es 4x 1 2. Como el área del rectángulo es b ? a, entonces la fórmula para un conjunto de posibles láminas con esas condiciones sería:

A 5 (3x 1 4)(4x 1 2) ⇒ A 5 12x 2 1 22x 1 8

Reemplazando el valor de x es posible encontrar algunos resultados:Si x 5 10 cm, entonces A 5 12(10)2 1 22(10) 1 8 5 1 200 1 220 1 8 5 1 428 cm2

Si x 5 20 cm, entonces A 5 12(20)2 1 22(20) 1 8 5 4 800 1 440 1 8 5 5 248 cm2

Si x 5 30 cm, entonces A 512(30)2 1 22(30) 1 8 5 10 800 1 660 1 8 5 11 468 cm2

R/ El área puede tomar los valores, por ejemplo, de 1 428 cm2, 5 248 cm2, 11 468 cm2

b) Para establecer los valores del volumen se aplica la fórmula del volumen de un poliedro regular V 5 (largo)(ancho)(alto).Como el largo de la caja es x 1 4, el ancho es x 1 2 y el alto es x, al reemplazar en la fórmula se tiene:

V 5 (x 1 4)(x 1 2)(x) ⇒ V 5 x 3 1 6x 2 1 8x

Reemplazando el valor de x se pueden encontrar algunos resultados:Si x 5 10 cm, entonces V 5 (10)3 1 6(10)2 1 8(10) 5 1 680 cm3

Si x 5 20 cm, entonces V 5 (20)3 1 6(20)2 1 8(20) 5 10 560 cm3

Si x 5 30 cm, entonces V 5 (30)3 1 6(30)2 1 8(30) 5 32 640 cm3

R/ El volumen puede tomar los valores, por ejemplo, de 1 680 cm3, 10 560 cm3, 32 640 cm3.

1. Halla una fórmula que involcre una sola variable para calcular el área de los rectángulos que se puedan formar con una cerca de 20 m de longitud.

2. La figura 3.36, muestra otro tipo de molde de cajas. ¿Cuánto mide el área total de la lámina de cartón?, ¿cuál sería el volumen de la caja si se construyera?

M A T E M Á T I C A S E N C O N T E X T OJugando


con las fi guras

¿Se puede convertir fácilmente un cuadrado en un rec-tángulo? ¿Y en un triángulo?

La respuesta es sí, y además de forma divertida, utilizando el tangram. Se trata de un juego chino muy antiguo, aunque las primeras noticias que se tienen de él son del siglo XIX. Se juega con las siete piezas que se ven en la imagen, con las que se pueden componer polígonos y cientos de formas de todo tipo, como personas y animales. Puedes fabricarte tu propio tangram recortando las piezas en una cartulina cuadrada, y en internet hallarás fácilmente muchas ideas para jugar con él.

• Reúnete con un grupo de amigos y construyan fi guras de aves. Busquen algunos modelos en la web.

El método de factorización de Fermat

Para factorizar un cierto número, Fermat propone lo siguiente:

Si n es igual a la diferencia de dos cuadrados, n 5 x 2 2 y 2, entonces n puede factorizarse así: n 5 (x 1 y) (x 2 y). Como x 2 debe ser mayor que n, entonces x debe ser mayor que n . El método de Fermat indica que: dado un número entero positivo n que se quiere factorizar, se busca un entero positivo x, mayor que n y se calcula x 2. Luego se sustrae la cantidad n. Si se obtiene un cuadrado perfecto, el proceso finaliza, sino, se calcula(x 1 1)2, y se sustrae n; este proceso se repite hasta obtener un cuadrado perfecto.

Por ejemplo, para factorizar el número 13 837, se determina que su raíz cua-drada está entre 117 y 118. Si se tomax 5 118, entonces 1182 2 13 837 5 87, que no es un cuadrado perfecto, entonces se considera x 5 119.

1192 2 13 837 5 324 5 182. Por lo tanto, despejando n 5 13 837 de esta expresión se tiene su factorización: 13 837 5 1192 2 182.

Entonces, 13 837 5 (119 1 18)(119 2 18) de donde, 13 837 5 137 101.

• Comprueba la efectividad del método de Fermat factorizando el número 2 027 651 281.

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ZO

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137PROYECTO SÉ © EDICIONES SM

de los elementos fi nitos

Muchos fenómenos pueden ser explicados me-diante un modelo matemático que los describe, pero como la realidad es muy compleja, suelen ser aspectos parciales de un proceso mucho mayor.

Klau-Jürgen Batle, un ingeniero alemán, ha desarrollado a lo largo de más de 30 años de investigaciones, modelos para describir sistemas muy complejos, mediante un mé-todo que se llama “Método de los elementos finitos”. Las ecuaciones que ha desarrollado contienen millones de variables, por lo que sólo se pueden resolver con ayuda de po-tentes ordenadores. Pese a la capacidad de esos modelos, todavía no permiten modeli-zar el comportamiento del cuerpo humano en

su conjunto, tan solo por partes. Por ejemplo, Batle está desa-

rrollando un modelo del corazón que ayu-dará a los cirujanos a saber qué puede ocurrir en cada paso de la operación qui-rúrgica mientras están realizándola.

• ¿Qué otros com-portamientos

del cuerpo hu-mano crees que

se puede modelar mediante un mode-

lo matemático?

DANIEL A. FONSECA

INGENIERO DE SISTEMAS

NETSCAPE, VENTAS POR INTERNET

BOGOTÁ, D.C.

Álgebra sin números ni letras

Intenta resolverlo sin usar álgebra. Usa tu intuición. ¿Cuántos

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necesitas para que se cumpla la última igualdad?

“Brindar seguridad a las personas que realizan

compras por la Internet se consigue gracias a la facto-

rización”

Una de las razones por las que el comercio electrónico no ha crecido con mayor rapidez, es que muchos de los usuarios tienen miedo de mandar, por la Internet, información sensible con sus números de tarjetas de crédito. Sin embargo, en la actualidad cuando se navega por la web, se puede llegar a páginas muy se-guras como aquellas en las que se proporcio-nan números de tarjetas de crédito al hacer la compra.

Esto es posible gracias al método RSA, el cual se basa en encontrar la factorización de núme-ros muy grandes.

La factorización de los números que se ingre-san producen una clave pública y otra privada, que posteriormente son destruidas, haciendo más efectiva y segura la compra por estos me-dios virtuales.

Figura 3.37

Figura 3.38


descomposición en factores primos

En la Barra de entrada escribe el número a factorizar, para el ejemplo considera el número 75 600; luego da Enter.

En el menú Simplificar elige Factorizar.

En el cuadro de diálogo verifica como tipo de factorización Factores primos y da clic en el botón Factorizar.

En el renglón #2 aparece la descomposición del número en factores primos con la respectiva escritura exponencial: 24 ? 33 ? 52 ? 7.

Factorización de polinomios

Escribe la expresión en la Barra de entrada, en este caso el binomio 3x 3 2 9x 2 y da Enter.

Selecciona en el menú Simplificar la opción Factorizar.

En el cuadro de diálogo deshabilita el tipo de factorización Factores primos, elige Factorización racional y luego da un clic en el comando Factorizar.

La factorización aparece en el renglón #2, esta vez se trata de un caso de factorización por factor común. El binomio factorizado es 3x 2(x 2 3).

Factorización con Derive

Derive es una buena alternativa para aprender los conceptos del álgebra escolar, entre otras cosas es posible descomponer en factores primos un número, factorizar polinomios y simplificar fracciones algebraicas de manera eficaz, el proceso es bastante corto y fácil de aplicar.

ActividAdes

Introducir y simplificar

Potencia. Úsalo para elevar al cuadrado, al cubo, etc. Figura 3.39


Fracciones algebraicas

Introduce la fracción algebraica, en

este caso 3x 3 2 x 2 2 12x 1 4 ————————x 2 2 4x 1 4

.

Da un clic en el icono Introducir y simplificar.

Derive simplifica y en el renglón #2 arroja la solución 3x 2 1 5x 2 2 —————

x 2 2.

1. Practica la factorización en Derive con los siguientes números.

a) 23 800 b) 469 c) 2 590

d) 324 e) 17 600 f) 870

g) 1 832 h) 93 672 i) 11 693

2. Introduce las siguientes expresiones o polinomios y aplica el proceso para factorizar.

a) x 6 1 2x 5 1 x 4 1 2x 3 1 2x 1 4 b) 2x 5 2 x 4 1 6x 3 2 3x 2 1 8x 2 4 c) 24x 5 1 18 x 4 2 30x 2

d) 1 2 x 2

e) 25x 2 2 4 f) x 5 1 32 g) x 6 2 64 h) x 3 1 15x 2 1 75x 1 125 i) x 5 1 4x 3 1 4 j) 6x 4 2 3x 3 2 24x 2 1 12x k) 20x 3 2 60x 2 1 45x l) x 5 2 4x 3 2 8x 2 1 32

3. Simplifica las fracciones algebraicas.

a) 2x 2 1 3x 2 3 —————x (x 2 1)

b) 5x 1 5 ———3x 1 3

c) x 2 1 3x ————x 2 1 x 2 6

d) 12x ———4x 2 1 2x

e) x 2 1 4x 1 4 —————x 2 2 4

f) x 2 1 2x 2 3 —————x 3 2 x 2

g) x 2 1 x ———x 2 2 1

h) x 2 2 1 ———(x 2 1)2

i) x 3 1 4x 2 1 3x —————x 2 1 x 2 6

j) x 2 1 2x 2 3 —————x 2 1 4x 2 5

P O N A P R U E B A T U S

C O M P E T E N C I A S

El Holstentor, puerta de la ciudad de Lübek, Alemania


Construcciones especiales

El Holstentor

En el mundo existen fantásticas construcciones, algunas de ellas son milenarias y otras son edificaciones recientes. Una de esas construcciones se encuentra a la entrada de la ciudad de Lübek, en Alemania.

El Holstentor es una construcción en ladrillo, que muestra el arte gótico de la edad medieval; fue construida entre 1464 y 1478 por el arquitecto Hinrich Helmsted.

Un historiador está haciendo un estudio exhaustivo sobre esta construcción, para elaborar una maqueta a escala, pero necesita completar cierta información, contestando algunas preguntas. Ayúdalo, teniendo en cuenta la ficha técnica con las medidas que el historiador asignó.

FicHa técnica

• El volumen de los cilindros que forman las torres es p(27 1 27x 1 9x 2 1 3x 3) m3

• El volumen de los conos que forman las torres es p —3

(27x 4 1 135x 3 1 127x 2 2 129x 2 72) m3

• El área del rectángulo que se forma entre los dos cilindros es (x 3 1 7x 2 1 15x 1 9) m2

1. Según la información de la ficha técnica, responde.

a) ¿Cuál es el radio y el diámetro de cada una de las circunferencias que forman la base de las torres cilíndricas?

b) ¿Cuál es la altura de cada una de esas torres?

c) ¿Cuál es la altura de cada uno de los conos?

2. Identifica en la fotografía, el rectángulo que se forma entre las dos torres cilíndricas de la construcción.

a) ¿Cuánto mide cada uno de los lados de ese rectángulo?

b) Teniendo en cuenta la longitud entre las dos torres cilíndricas, ¿cuánto mide la base de cada uno de los rectángulos que separan los dos conos de las torres?

c) El área de los cinco rectángulos que están entre los dos conos es (x 4 2 13x 2 12x) m2. ¿Cuál es la altura de cada uno de esos rectángulos, si se sabe que la altura del grande y de los medianos es tres y dos veces respectivamente, la del pequeño?

3. Respecto a las torres, calcula. a) El área de la construcción. b) El volumen que ocupa la construcción.

4. El historiador va a elaborar la maqueta del

Holstentor a una escala de 8m 4n 3x 2 ———24mn 2x 2

m.

a) ¿Cuánto medirá el radio y el diámetro?

b) Calcula el área de las circunferencias que son base de las torres cilíndricas y de los conos.

c) ¿Cuánto medirán la altura y el volumen de las torres cilíndricas?

d) ¿Cuál es el volumen de los conos?

e) ¿Qué medida tendrá la altura de los conos?

f) ¿Cuál será el área del rectángulo que se forma entre las dos torres cilíndricas y la distancia que hay entre ellos?

g) ¿Cuál será el área y el volumen que ocupará la maqueta de la construcción?

(3 x � 2 � 2) m

( x � 2 � 3) m

Figura 3.40


5. Según la información de la ficha técnica, responde.

a) ¿Cuál es la expresión de la base y la altura del triángulo?

b) ¿Cuál es el radio, el diámetro y la altura de cada uno de los cilindros?

c) ¿Cuál es el área de la circunferencia base de un cilindro?

d) Determina el área de todas las circunferencias base de los cilindros.

e) ¿Cuál es el volumen de todos los cilindros?

6. Entre cada cilindro hay una distancia de 1 —2

x m. Sabiendo esto, responde.

a) ¿Cuál es el área que ocupa la construcción? b) ¿Cuál es el volumen que ocupa la construc

ción sin contar el techo de la misma?

7. Si el historiador usa una escala de 2ax 1 4bx ———3ay 1 6by

m, responde.

a) ¿Cuál es la base, la altura y el área del triángulo en esa maqueta?

b) ¿Cuál es la medida del radio, del diámetro, del área de la circunferencia base de un cilindro y del área de todas las circunferencias base de los cilindros?

c) ¿Cuál sería la distancia entre dos cilindros?

8. Si un árbol está ubicado a x 3 1 3x 2 2 4 —————

x 3 1 x 2 2 8x 2 12 m del monumento,

¿cuál es la distancia que debe haber entre

ellos en la maqueta del monumento?

El terreno 9. Don Reinaldo Parra compró un terreno,

como lo muestra la figura 3.40.

Él afirmó que el área de su terreno es x x� � �6 2 6( ) m2.

a) ¿Crees qué don Reinaldo tiene razón? ¿Por qué?

b) Él desea dividir su terreno en dos partes iguales para cultivar papa y yuca. Representa las opciones que tiene don Reinaldo para realizar esa división.

c) Determina la longitud de cada dimensión si:

• Lo divide verticalmente. • Lo divide horizontalmente. • Lo divide trazando la diagonal.

El Partenón

Es un templo de arquitectura helénica, edificado sobre la cima de la Acrópolis en Atenas, entre los años 447 y 432 antes de Cristo. Dedicado a glorificar a Pártenos, sobrenombre que se daba a la diosa Atenea. Es el mayor logro de la arquitectura antigua occidental.

Su construcción fue encargada por el líder político Pericles al escultor Fidias y a sus arquitectos Calcícrates e Ictinio, quienes lograron levantar un edificio fuera de serie para la época. En el diseño y edificación se aplicaron cálculos matemáticos avanzados.

Un historiador quiere construir una maqueta de esta construcción, para esto supone algunas medidas de la construcción real y requiere completar la información, contestando las siguientes preguntas, ayúdalo.

FicHa técnica

• Área del triángulo [1 1 (x 1 y )3] m2

• Volumen de cada cilindro p(2a 3 1 16a 2 1 32a) m3

P R U E B A S A B E R


Responde las preguntas 1 a 6 de acuerdo con la siguiente información.

La empresa Concrecol S.A. ha desarrollado con ayuda de sus químicos e ingenieros cuatro tipos de concreto según las necesidades de sus clientes. Tipo A para revestimiento de edificios; tipo B resistente a aguas agresivas; tipo C impermeable y tipo D térmico. Aunque todos los tipos tienen los elementos básicos del concreto (arena x, grava y, cemento z, y agua t), cada uno tiene un porcentaje diferente que los distingue. La composición del concreto tipo A es 12x 2y 3z 4t; del tipo B es 3xy 2z 4t 3; del tipo C es 9x 2y 2z 2t 2; y del tipo D es 6x 3y 3z 2t 4.

1. Los ingenieros y químicos de la empresa tienen una mezcla base común de los ele-mentos para fabricar concreto tipo A y D, ya que esos son los que más piden los clien-tes. Esta mezcla base tiene como fórmula:

A. 6x 2y 3z 2t B. 12x 2y 3z 4t C. 6x 3y 3z 2t 4 D. 12x 2y 3z 2t

2. Para fabricar concreto tipo A y D a partir de la mezcla base (encontrada en el punto anterior), los ingenieros y químicos deben adicionar (desde el punto de vista químico) una mezcla especial para cada tipo (ma-temáticamente es encontrar el factor que permita obtener la fórmula del tipo de con-creto que se quiere). Esta mezcla especial tiene como fórmula:

A. xz 2t 3 para el tipo A y 2z 2t para el tipo D. B. 6z 2t para el tipo A y 6xz 2t 3 para el tipo D. C. 12z 2t para el tipo A y 6xz 2t 3 para el tipo D. D. 2z 2 para el tipo A y xt 3 para el tipo D.

3. Para el tipo de concreto B y C que son los que menos piden los clientes, la empresa también tiene una mezcla base común, la fórmula de esta base es:

A. 9xy 2z 2t 2

B. 3xy 2z 4t 3

C. 9x 2y 5z 2t 2

D. 3xy 2z 2t 2

4. Una empresa competidora de los Estados Unidos le vende una fórmula a Concrecol S.A. para fabricar concreto que reduce las fracturas y fisuras. La fórmula desde el punto de vista matemático dice: al cua-drado de la arena se le agrega dos veces el producto de la arena y la grava y a esto, se le adiciona el cuadrado de la grava.

A la fórmula anterior simplemente se le adiciona el cemento y el agua. La fórmula básica corresponde a:

A. (x 1 y )2 1 (z 1 t ) B. (z 1 t )2 1 (x 1 y ) C. (x 2 y )2 1 (z 1 t ) D. (z 2 t )2 1 (x 1 y )

5. El tipo de concreto C impermeable y tipo A revestimiento, han sido de los más vendi-dos en los últimos meses y la empresa ha pensado en sintetizar las fórmulas, es de-cir, reducirla a los elementos más básicos para su mejor distribución. Los ingenieros y químicos encontraron que al sintetizar los concretos, el resultado era la raíz cuadrada de la fórmula original, esto es, respectiva-mente:

A. 3xyzt para el tipo C y 1232

12xy zt para el tipo A.

B. 3x 2y 2z 2t 2 para el tipo C y 2 3 xy 2z 2y 2para el tipo A.

C. 3xyzt para el tipo C y 12xy 3z 2t para el tipo A.

D. 3xyzt para el tipo C y 2 332 2

12xy z t para el tipo A.

6. El último mes las acciones de la empresa han aumentado su cotización debido a que los ingenieros y químicos desarrollaron un concreto que reduce el impacto de los sis-mos sobre las estructuras. Ya patentaron la fórmula que matemáticamente se reduce a: la diferencia entre el cuadrado de la can-tidad de agua y el cuadrado de la cantidad de arena, más la diferencia entre cuadrado de la cantidad de grava y el cuadrado de la cantidad de cemento. Simplificando la fórmula se tiene que:

A. (x 2 y )(y 1 x ) 1 (t 2 z)(t 1 z) B. (t 2 x )2 1 (y 2 z )2

C. (t 2 x )(t 1 x ) 1 (y 2 z )(y 1 z ) D. (t 2 x )2 2 (y 2 z )2

Figura 3.41


Lee la siguiente información y responde las preguntas 7 a 11.

Un circuito eléctrico es la trayectoria que pueden seguir los electrones para producir una corriente. Por ejemplo, el bombillo de una lámpara se ilumina por medio de una pila con ayuda de unos cables de cobre.

El cuarto de Pablo tiene tres bombillos colocados en diferentes partes, uno en el techo, otro en el escritorio y otro en la mesa de noche. El circuito que forman los bombillos en el cuarto se denomina circuito en paralelo.

En física, los bombillos funcionan como resistencias eléctricas en los circuitos. Para poder iluminar el cuarto de Juan, se debe saber cuál es la resistencia equivalente a los tres bombillos (R1, R2, R3) del cuarto. En un circuito en paralelo la resistencia equivalente se expresa como

Requivalente 5 1 ——————1 —R1

1 1 —R2

11 —R3

7. Simplificando la expresión para Requivalente , el resultado es:

A. R1 ? R2 ? R3 ———————R2 R3 1 R1 R3 1 R1 R2

B. R1 ? R2 ? R3 ———————R2 R2 1 R1 R1 1 R1 R2

C. R2 R3 1 R1R3 1 R1R2 ———————R1 ? R2 ? R3

D. R2 R2 1 R1R1 1 R3R3 ———————R1 ? R2 ? R3

8. Las resistencias eléctricas en física se miden en una unidad denominada Ohms (). Si el valor de las resistencias en el cuarto de Juan es R1 8, R2 10 y R3 12, el valor de la resistencia equi-valente, aproximadamente, es:

A. 2,34 B. 4,34 C. 5,24 D. 3,24

9. Para conocer la corriente que circula en el cuarto de Juan, la física propone la de-nominada ley de Ohm. De la ley de Ohm se puede establecer que el voltaje V es directamente proporcional al producto de la corriente I por la resistencia eléctrica equivalente Req. De acuerdo con esto, la expresión algebraica correcta es:

A. V 5 Req —I

B. V 5 I —Req

C. V 5 I ? Req

D. V 5 I 1 Req

10. Si se desea conocer el valor de la corrien-te en el cuarto de Juan, la expresión que permite hacerlo es:

A. I 5 R1 ? R2 ? R3 ————————————————V ? (R2 R3 1 R1 R3 1 R1 R2)

B. I 5 V 1 (R2 R3 1 R1 R3 1 R1 R2) ————————V ? (R1

? R2 ? R3)

C. I 5 V ? (R1 R3 1 R2 R2 1 R1 R2) ————————R1

? R2 ? R3

D. I 5 V ? (R2 R3 1 R1 R3 1 R1 R2) ————————R1

? R2 ? R3

11. El voltaje V es la energía que impulsa la corriente y se mide en voltios, y la corrien-te I se mide en amperios. Generalmente, en una casa el voltaje es de 120 v. El valor aproximado de la corriente, en el cuarto de Juan es:

A. 51 amperios B. 389 amperios C. 37 amperios D. 280 amperios

096-143 se matematicas 8 (1) (1)

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