09 clase 9 geometria plana (version para impresion rev1)

GEOMETRIA

El trmino viene del griego geos que quiere decir Tierra y mtrica que significa medir. Medir la Tierra literalmente. Es una rama de la matemtica que se dedica al estudio de las figuras en el plano y el espacio.

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La geometra plana es una parte de la geometra que trata de aquellos elementos cuyos puntos estn contenidos en un plano.

La geometra del espacio es la rama de la geometra que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geomtricas en el espacio tridimensional.

GEOMETRIA PLANAELEMENTOS DE LA GEOMETRIA PLANA PUNTO LINEA LINEA RECTA ANGULOS POLIGONOS TRIANGULOS CUADRILATEROS PENTAGONO HEXAGONO HEPTAGONO OCTAGONO ENEAGONO DECAGONO CIRCUNFERENCIA ELIPSE

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GEOMETRIA DEL ESPACIOELEMENTOS DE LA GEOMETRIA DEL ESPACIO

TETRAEDRO REGULARES POLIEDROS IRREGULARES PENTAEDRO HEXAEDRO O CUBO HEPTAEDRO OCTAEDRO ENEAEDRO DECAEDRO PIRAMIDE PRISMA

CONO ESFERA CILINDRO

GEOMETRIA PLANA EL PUNTO

Un punto no tiene dimensiones. Sirve para indicar una posicin. Se nombran con letras maysculas.

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GEOMETRIA PLANA LA LINEA

Lnea es una figura geomtrica que se genera por un punto en movimiento. Una lnea puede ser recta, curva o combinada. Una lnea cualquiera, puede extenderse en forma ilimitada.

GEOMETRIA PLANA LA LINEA RECTA

Es una lnea sin principio y sin final

SEMI RECTA (rayo)

Es una linea que tiene un inicio pero no final

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GEOMETRIA PLANA

SEGMENTO DE RECTA (trazo)

Es una linea que tiene un inicio y un final

GEOMETRIA PLANAPARALELISMO

Dos lineas son paralelas si no se tocan nunca

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GEOMETRIA PLANAANGULOS Formados por 2 semirectas que parten de un mismo punto. Las semirectas se llaman lados y el punto comn vrtice.

GEOMETRIA PLANAANGULOS Los ngulos se clasifican en:

Angulo agudo

0 < < 90

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GEOMETRIA PLANAANGULOS

Angulo recto

= 90


Angulo obtuso

90 < < 180

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Angulo extendido

= 180


Angulo convexo

180 < < 360

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Angulo completo

= 360

GEOMETRIA PLANAPAREJAS DE ANGULOS

ANGULOS COMPLEMENTARIOS

Son dos ngulos adyacentes cuya suma es 90

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ANGULOS SUPLEMENTARIOS

Son dos ngulos adyacentes cuya suma es 180


ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE

Dos lneas que se intersectan generan ngulos opuestos por el vrtice. - Son ngulos no adyacentes. El ngulo 1 y 2 y los ngulos 3 y 4 son opuestos por el vrtice, por lo tanto, miden lo mismo

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GEOMETRIA PLANAPAREJAS DE ANGULOS ANGULOS CORRESPONDIENTES ENTRE PARALELAS

L y L son paralelas y L1 es una recta transversal. Se forman pares de ngulos que tienen la misma medida, as 1=5 2=6 3=7 4=8

GEOMETRIA PLANAPAREJAS DE ANGULOS ANGULOS ALTERNOS ENTRE PARALELAS

L y L son paralelas y L1 es una recta transversal. Se forman pares de ngulos que tienen la misma medida, como si fueran opuestos por el vrtice, as 1=7 2=8 3=5 4=6

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GEOMETRIA PLANAPAREJAS DE ANGULOS ANGULOS CONJUGADOS ENTRE PARALELAS

L y L son paralelas y L1 es una recta transversal. Se forman pares de ngulos que suman 180, como si fueran adyacentes suplementarios, as 1 con 6 2 con 5 3 con 8 4 con 7

GEOMETRIA PLANAPAREJAS DE ANGULOS ANGULOS COLATERALES ENTRE PARALELAS

L y L son paralelas y L1 es una recta transversal. Se forman otros pares de ngulos que suman 180, como si fueran adyacentes suplementarios, as 1 con 8 2 con 7 3 con 6 4 con 5

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GEOMETRIA PLANATRIANGULOS

vrtice

Tringulo es un tipo de polgono (o figura plana y cerrada) que tiene tres lados.

vrtice


En los tringulos, se cumple que:

+ + = 180

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En los tringulos, se cumple que: C El tramo DC se denomina altura del tringulo ( h H )

En este caso, el tramo AB corresponde a la base del tringulo ( b ) A D B


En este caso C

El tramo DC se denomina altura del tringulo ( h H )

A En este caso, el tramo AB corresponde a la base del tringulo ( b )

B

D

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GEOMETRIA PLANATRIANGULOS CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS C Triangulo Equiltero Todos sus lados miden lo mismo. Todos sus angulos interiores miden lo mismo (60) AB = BC = AC B = = = 60

A

GEOMETRIA PLANATRIANGULOS CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS C Triangulo Issceles Solo dos de sus lados miden lo mismo. Solo dos de sus ngulos interiores miden lo mismo A B BC = AC =

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GEOMETRIA PLANATRIANGULOS CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS C Triangulo Escaleno Todos sus lados tienen distinta medida. Todos sus ngulos son distintos AB = BC = AC B = =

A


C

Si se dibujan las alturas en cada vrtice, se intersectan en un punto. A este punto se denomina: ORTOCENTRO

A

D

B

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C

Si se dibujan las lneas que unen los vrtices con el punto medio del cateto contrario, se intersectan en un punto. A este punto se denomina: BARICENTRO

A D

B


C

Si se dibujan lneas perpendiculares los puntos medio de cada cateto, se intersectan en un punto.

A este punto se denomina: CIRCUNCENTRO Desde este punto se puede dibujar una circunferencia que contiene a los vertices A, B y C

A D

B

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C

Si se dibujan lneas que dividan cada angulo del triangulo en dos angulos iguales (bisectriz), se intersectan en un punto. A este punto se denomina: INCENTRO Desde este punto se puede dibujar una circunferencia que quedar dentro del triangulo y cada lado tendr un punto que es tangente a la circunferencia

A D

B

GEOMETRIA PLANATRIANGULOS Medidas importantes en los tringulos C

PERIMETRO: Se podra definir como la distancia que recorre un punto al desplazarse desde A, pasando por B y C y volviendo a A Es decir, el Permetro del tringulo ABC de la figura es la suma de sus lados, o sea:

c

b

A a

B

P = AB + BC + CA P=a+b+c

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GEOMETRIA PLANATRIANGULOS Medidas importantes en los tringulos C

AREA: Se podra definir como la superficie que ocupa el espacio contenido por el tringulo. Se determina mediante la expresin:

H

A

D

B

A=1 bH 2

Se lee como: El rea del triangulo es igual a un medio de la base por la altura. La base es el tramo AB y la altura es el tramo DC

GEOMETRIA PLANACUADRILATEROS CUADRADO D C Polgono formado por 4 lados iguales y 4 ngulos rectos

A

B

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GEOMETRIA PLANACUADRILATEROS CUADRADO D a C Permetro de un cuadrado: P = AB + BC + CD + DA P = a + a + a + a = 4a a a Area de un cuadrado: A = ( AB )2 A= A a B a2

GEOMETRIA PLANACUADRILATEROS RECTANGULO D a C Polgono formado por 4 lados de los cuales 2 son iguales (lados mayores) y los otros 2 son iguales (lados menores). Posee 4 ngulos rectos AB = CD y AD = BC A B a

b

b

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GEOMETRIA PLANACUADRILATEROS RECTANGULO D a C Permetro de un rectngulo: P = AB + BC + CD + DA b b P=a+b+a+b P=2a+2b Area de un rectngulo: A B a A = AB BC A=ab

GEOMETRIA PLANACUADRILATEROS ROMBO a C b b Polgono formado por 4 lados iguales y 4 ngulos son iguales de dos en dos AB = BC = CD = DA = y =

D

A a

B

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GEOMETRIA PLANACUADRILATEROS ROMBO a C b b Permetro de un rombo P = AB + BC + CD + DA P=a+b+a+b H P=2a+2b Area de un rombo: A a B E A = base x altura A = AB EC A= bH

D

GEOMETRIA PLANACUADRILATEROS ROMBOIDE a C

D

b b

Polgono formado por 4 lados de los cuales 2 son iguales (lados mayores) y los otros 2 son iguales (lados menores). Los ngulos son iguales de dos en dos AB = CD y AD = BC

A a

B

=

y

=

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GEOMETRIA PLANACUADRILATEROS ROMBOIDE a C

D

b b

Polgono formado por 4 lados de los cuales 2 son iguales (lados mayores) y los otros 2 son iguales (lados menores). Los ngulos son iguales de dos en dos AB = CD y AD = BC

A a

B

=

y

=

GEOMETRIA PLANACUADRILATEROS ROMBOIDE a C Permetro de un romboide P = AB + BC + CD + DA b b P=a+b+a+b H P=2a+2b Area de un romboide: A a B E A = base x altura A = AB EC A=bH

D

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GEOMETRIA PLANAPENTAGONO PENTAGONO REGULAR d D

c

E

C

e

b

A a

B

GEOMETRIA PLANAPENTAGONO PENTAGONO REGULAR d D Polgono de 5 lados iguales, 5 ngulos iguales y 5 vertices c cada ngulo mide 108 E C Por lo tanto, la suma de los ngulos interiores de un pentgono es de 540 e b

A a

B

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GEOMETRIA PLANAPENTAGONO PENTAGONO REGULAR d D Permetro de un pentgono P = AB + BC + CD + DE + EA c P=a+b+c+d+e C Como a=b=c=d=e P=5a

E

e

b

A a

B

GEOMETRIA PLANAPENTAGONO PENTAGONO REGULAR D El tramo OF se denomina apotema que es la menor distancia entre el centro de un polgono y cualquiera de sus lados. C O r corresponde al radio de la circunferencia circunscrita El punto F es el punto medio del tramo AB r

E

Area de un pentgono es: A F A = apotema permetro B 2

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GEOMETRIA PLANAHEXAGONO HEXAGONO REGULAR E e

d

D

c

F

C

f A a B

b

GEOMETRIA PLANAHEXAGONO HEXAGONO REGULAR E e Polgono de 6 lados iguales, 6 ngulos iguales y 6 vertices

d

D

c

cada ngulo mide 120

F

Por lo tanto, la suma de los C ngulos interiores de un pentgono es de 720

f A a B

b

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GEOMETRIA PLANAHEXAGONO HEXAGONO REGULAR E e Permetro de un hexgono d c D P = AB + BC + CD + DE + EF + FA P=a+b+c+d+e+f Como a=b=c=d=e=f F C P=6a

f A a B

b

GEOMETRIA PLANAHEXAGONO HEXAGONO REGULAR E El tramo OG se denomina apotema que es la menor distancia entre el centro de un polgono y cualquiera de sus lados. r corresponde al radio de la circunferencia circunscrita r Area de un pentgono es: A G B A = apotema permetro 2 C El punto G es el punto medio del tramo AB

D

O F

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GEOMETRIA PLANAEn general, para un polgono de n lados, la medida de los ngulos internos se obtiene segn la expresin:

donde n es el numero de lados

por ejemplo cuadrado con n = 4 ( 4 2 ) 180 4 pentagono con n = 5 ( 5 2 ) 180 5 = ( 3 ) 180 5 = 0,6 180 = 108 = ( 2 ) 180 4 = 180 2 = 90

GEOMETRIA PLANAEn general, para un polgono regular de n lados, el permetro se determina siempre como:

P=na

donde n es el numero de lados y a es la medida de uno de sus lados

En general, para un polgono regular de n lados, el rea se determina siempre utilizando la expresion:

A = apotema permetro 2

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GEOMETRIA PLANACIRCUNFERENCIA y CIRCULO La distancia que une el centro 0 de la circunferencia con el punto P se denomina radio

P

r

D Q O Q La distancia que une al punto Q con el punto Q y que pasa por el centro O se denomina Dimetro

El crculo es la parte del plano limitado por una lnea que llamamos circunferencia.

GEOMETRIA PLANACIRCUNFERENCIA y CIRCULO El permetro de una circunferencia viene dado por:

P

P=D=2r=2rr

D Q O El rea de un crculo viene dada por: Q

A=r2 =

D 2

2

= D2 4

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GEOMETRIA PLANACIRCUNFERENCIA y CIRCULO tangente

O

GEOMETRIA PLANACIRCUNFERENCIA y CIRCULO cuerda

secante O

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GEOMETRIA PLANACIRCUNFERENCIA y CIRCULO arco de circunferencia

cuerda

GEOMETRIA PLANACIRCUNFERENCIA y CIRCULO cuerda

O

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GEOMETRIA PLANACIRCUNFERENCIA y CIRCULO arco de circunferencia

cuerda

O

La longitud del arco se determina por:

l = r (rad)

GEOMETRIA PLANACIRCUNFERENCIA y CIRCULO segmento circular

O El rea del segmento circular se determina por:

Asc = 360

r2

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GEOMETRIA PLANACIRCUNFERENCIA y CIRCULO segmento circular

O El rea del segmento circular se determina tambin por:

Asc = (rad)2

r2

= (rad) r 22

GEOMETRIA PLANAELIPSE La elipse es una curva plana y cerrada, simtrica respecto a dos ejes perpendiculares entre s:

Semieje mayor (el segmento C-a de la figura)

b P

-a F1Semieje menor (el segmento C-b de la figura)

a C F2

-bLos focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1y F2 en el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del dimetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).

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b P

-a F1 = c a

c C F2

a

-bLa excentricidad (epsilon) de una elipse es la razn entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.


b P

-a F1 C

c F2

a

-bEl permetro de una elipse puede calcularse con suficiente aproximacin como:

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b P

-a F1 C

c F2

a

-bEl area de una elipse puede calcularse como:

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09 clase 9 geometria plana (version para impresion rev1)

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