(D) LEY DE LOS SENOS

La Ley de los Senos es una relacin de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ngulos de un tringulo cualquiera, y que es til para resolver ciertos tipos de problemas de tringulos, en especial en tringulos oblicuos. La Ley de los Senos, establece que: Las longitudes de los lados de un tringulo son proporcionales a los senos de los ngulos opuestos, es decir:

La ley de los senos se aplica cuando los datos que se conocen son:

1. Dos ngulos y un lado (A-L-A): Se halla la medida de tercer ngulo aplicando el teorema de la suma de los ngulos internos de un tringulo y los datos que faltan aplicando la ley de los senos.2. Dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos (L-L-A): Se utiliza la ley de senos para encontrar uno de los dos ngulos que faltan y determinar si tiene una, dos o ninguna solucin.

(E) LEY DEL COSENO

La ley del Coseno es una expresin que te permite conocer un lado de un tringulo cualquiera, si conoces los otros dos y el ngulo opuesto al lado que quieres conocer. Esta relacin es til para resolver ciertos tipos de problemas de tringulos, en especial en tringulos oblicuos. La Ley de los, establece que: el cuadrado de cada lado de un tringulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble del producto de dichos lados por el coseno del ngulo que forman, es decir:

La Ley del Coseno se aplica cuando los datos que se conocen son: dos lados y el ngulo entre ellos (L-A-L) y los tres lados (L-L-L).

Ejercicios Propuestos.

1. En el siguiente tringulo, calcula la medida del ngulo y lado restante.

2. Hallar la medida de los ngulos internos de un tringulo cuyos lados miden 3, 7 y 9 centmetros.3. Luisa y Mario quieren saber a qu distancia se encuentra un campamento que est en la orilla opuesta de un ro. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran el tringulo en cuyos vrtices estn cada uno de los dos, y el campamento. El ngulo correspondiente al vrtice en el que est Luisa es de 25 y el ngulo del vrtice en el que est Mario es de 140. A qu distancia se encuentra Luisa y Mario del campamento?4. En dos estaciones de radio, A y C, que distan entre s 50 km, son recibidas seales que manda un barco, B. Si consideramos el tringulo de vrtices A, B y C, el ngulo en A es de 65 y el ngulo en C es de 80. A qu distancia se encuentra el barco de cada una de las dos estaciones de radio?5. Dos de los lados, a y b, de una parcela de forma triangular miden 20 m y 15 m, respectivamente. El ngulo comprendido entre estos dos lados es de 70. Si deseramos cercar la parcela Cuntos metros de valla necesitaramos?6. Dos autobuses salen de un terminal a la misma hora con rumbos distintos, formando un ngulo de 110. Al cabo de 2 horas, el primer autobs est a 34 km del punto inicial y el segundo autobs, a 52 km de dicho punto. En ese mismo instante, a qu distancia se encuentra un autobs del otro?7. Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B, B con C y C con A. La distancia entre A y B es de 100 metros, el ngulo correspondiente a B es de 50, y el ngulo en A es de 75. Cul es la distancia entre B y C? Y entre A y C?8. Calcular la altura (x) de la siguiente pirmide irregular:

9. Calcular la distancia (d) sealada en la siguiente figura: