TEORIA DE COLAS

Objetivo de la SesinTeora de Colas

Componentes del Sistema de Colas

Tipos de Colas

Proceso de Nacimiento Muerte

Nomenclaturas de los sistemas de colas

Parmetros de los sistemas de colas

7. Frmulas de los parmetros

La Teora de Colas (Lneas de Espera)Siempre presente en nuestra vida

Colas : Bancos

Colas : Supermercados

Colas : Aeropuerto

Colas : Restaurantes comida rpida

Colas : Redes de telfono o computo

Colas : Procesos de Manufactura

DefinicinUna cola es una lnea de espera

La teora de colas es un conjunto de modelos matemticos que describen sistemas de lneas de espera particulares

Descripcin de un sistema de colasUn sistema de colas tiene dos componentes bsicos: la cola y el mecanismo de servicio.

Clientes ServidosFinitaInfinitaPoblacinLqLWqW LlegadaDeterminsticaProbabilsticoDeterminsticaAleatoriaDisciplina de cola:PEPS (FIFO)UEPS (LIFO)PrioridadAleatoriaComponentes de un Sistema de Colas

PoblacinLos clientes o arribos provienen de una fuente que pueden ser:Finito o Limitado:Cuando se tienen muy pocos servidores y el servicio es restringido. Ej.: los pacientes en un consultorio mdico, alumnos de universidad.Infinito o Ilimitado:Cuando el nmero de clientes o arribosen un momento dado es una pequea parte de los arribos potenciales. Ej. los vehculos que se acercan a un caseta de peaje, los aficionados a un partido del mundial de Ftbol, clientes en un supermercado, entre otros.LA MAYORIA DE LOS MODELOS ASUME ARRIBOS INFINITOS

Proceso de llegadas o arribosEs la forma en que los clientes de la fuente de entrada (poblacin) llegan a solicitar un servicioLos clientes arriban a ser atendidos de una manera programada o determinada (un paciente cada 15 minutos) o de una manera aleatoria.

Se consideran que los arribos son aleatorios cuando stos son independientes de otros y su ocurrencia no se puede predecir exactamente.

Frecuentemente en problemas de colas, el nmero de arribos por unidad de tiempo pueden ser estimados por medio de la Distribucin de Poisson que es una distribucin discreta de probabilidad.

Elementos del Proceso de ColasEn una situacin de colas hay tres elementos principales:Llegadas: Los clientes llegan al sistema en busca de un servicio y pueden llegar de diferente manera. Nos interesa conocer:Poblacin: Limitada e ilimitadaDistribucin:1. Proceso Determinstico =Intervalos fijos o 2. Probabilstico = Tiempo entre llegadas sucesivas es incierto -frecuentemente una distribucin de Poisson. Variable: Tiempo entre llegadas Las llegadas probabilsticas son ms comunes en la empresa. Comportamiento: permanece o no. Consecuencias

Gestin de la lnea de esperaEn general, a nadie le gusta esperar

Cuando la paciencia llega a su lmite, la gente se va a otro lugar

Sin embargo, un servicio muy rpido tendra un costo muy elevado

Es necesario encontrar un balance adecuado

Balance

Costos en Sistemas de ColasLos Administradores reconocen el equilibrio que debe haber entreCOSTO DEL SERVICIO y el COSTO DE ESPERAdel cliente o de la mquina que deben ser atendidosLos Administradores desean que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen ms.

Sin embargo los Administradores contemplan tener una longitud de cola razonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorros significativos en el COSTO DEL SERVICIO

Los Administradores de ciertos centros de servicio pueden variar su capacidad teniendo personal o mquinas adicionales que son asignadas a incrementar la atencin cuando crecen excesivamente los clientes.

En supermercados se habilitan cajas adicionales cuando es necesario.

En bancos y puntos de chequeo de aeropuertos, se contrata personal adicional para atender en ciertas pocas del da o del ao.Los COSTOS DE SERVICIO se incrementan si se mejora el NIVEL DE SERVICIO.

Cuando el servicio mejora, disminuye el costo de tiempo perdido en las lneas de espera.

Este costo puede reflejar prdida de productividad de los operarios que estn esperando que compongan sus equipos o puede ser simplemente un estimado de los clientes perdidos a causa de mal servicio y colas muy largas.

En ciertos servicios (ESSALUD) el costo de la espera puede ser intolerablemente alto.

Costo Total = Costo Espera + Costo ServicioCT = CW + CSCW = Cw * LCS = Cs * NSCw: Costo promedio unitario de cada cliente en un periodo de tiempoL : Cantidad de clientes en la cola en un periodo de tiempoCs : Costo de los servidoresNS: Cantidad de servidores en el sistemaDonde:

Grafica de la distribucin PoisssonContinuidad: al menos un cliente debe llegar a la cola durante un intervalo de tiempoEstacionario: para un intervalo de tiempo dado, la probabilidad de que llegue un cliente es la misma que para todos los intervalos de tiempo de la misma longitudIndependencia: La llegada de un cliente no tiene influencia sobre la llegada de otro

Distribucin de llegada Poisson

Donde:l = Frecuencia o promedio de llegadas por unidad de tiempo

k = Numero de llegadas t = intervalo de tiempo.e = 2.7182818 (base del logaritmo natural).k! = k (k -1) (k -2) (k -3) (3) (2) (1).

HARDWARE HANKSUn problema que ilustra la distribucin Poisson.- Los clientes llegan a Hanks de acuerdo a una distribucin Poisson.

- Entre las 8:00 y las 9:00 a.m. llegan en promedio 6 clientes al local comercial.- Cul es la probabilidad que k = 0,1,2,... clientes lleguen entre las 8:00 y las 8:30 de la maana?

SOLUCION0000000000=00!0.04978711!10.149361222!0.224042333! 0.224042Valores de entrada para la Dist. Poissonl= 6 clientes por hora.t = 0.5 horas.l t = (6)(0.5) = 3.

12345678

Colas o Lnea de EsperaEl nmero de clientes en la cola es el nmero de clientes que esperan el servicio

El nmero de clientes en el sistema es el nmero de clientes que esperan en la cola ms el nmero de clientes que actualmente reciben el servicio.Las colas pueden ser finitas o infinitas

La suposicin de una cola infinita es la estndar en la mayora de los modelos, incluso las situaciones en las que de hecho existe una cota superior (relativamente grande) sobre el nmero permitido de clientes. Ej. Cola en una caseta de peaje donde llegan o arriban unidades de transporte

Los sistemas de colas en los que la cota superior es tan pequea que se llegan a ella con cierta frecuencia, se suponen como cola finita. Ej. Una peluquera que tiene pocos barberos y sillas para atender.

Seleccin (Disciplina)La disciplina de cola es la manera en que los clientes son seleccionados para recibir el servicio.

Cuando se piensa en colas se admite que la disciplina de cola normal es FIFO (atender primero a quien lleg primero)

Sin embargo en muchas colas es habitual el uso de la disciplina LIFO (atender primero al ltimo).

Tambin es posible encontrar reglas de secuencia con prioridades, como por ejemplo secuenciar primero las tareas con menor duracin o segn tipos de clientes.

PEPS: Primero Entrar, Primero Salir (FIFO)UEPS: Ultimo Entrar, Primero Salir (LIFO)SEOA: Servicio en Orden AleatorioPrioridadGD: Disciplina General de Servicio (representa las disciplinas PEPS, UEPS y SEOA, Prioridad).

Unidades de ServicioEl servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores mltiples

Algunos sistemas de servicio requieren de un tiempo de atencin fijo

Sin embargo, en muchos casos, el tiempo de atencin varia de acuerdo a la cantidad de clientes

Cuando el tiempo de atencin varia, este se trata como una variable aleatoria

1.- Configuracin del sistema: Un Canal representa un estacin de servicio y una fase representa el servicioUn canal, una fase: Ej. Una peluquera con un peluquero.Un canal, multifase: Ej. Un lavadero de automoviles con varios servicios (lavado, enjuague, secado, etc.)Multicanal, una fase: Ej. Las ventanillas de un banco que ofrecen un mismo servicio.Multicanal, multifase: Ej. Hospital con varias estaciones de servicio y varios servicios (triaje, admision, consultorio, etc.)Mixta: Ej. Lneas de submontaje que alimentan a la lnea principal.2.- Distribucin del tiempo de servicio: Constante o aleatorio por lo general una distribucin exponencial negativaCon parmetro que representa el tiempo promedio de duracin del servicio, representa la tasa media de servicios por unidad de tiempo.

LlegadasSistema de colasColaServidorSalidasTipos de ColasTipo1: 1 Cola 1 Servidor

LlegadasSistema de colasColaServidorSalidasServidorServidorSalidasSalidasTipo 2: 1 Cola Mltiples Servidores

LlegadasSistema de colasColaServidorSalidasServidorServidorSalidasSalidasColaColaTipo 3: Mltiples Colas Mltiples Servidores

LlegadasSistema de colasColaServidorSalidasColaServidorTipo 4: 1 Cola Servidores Secuenciales

Distribucin exponencial del tiempo de atencinDonde: m = es el nmero de clientes promedio que pueden ser atendidos por perodo de tiempo.

Ilustracin esquemtica de la distribucin exponencialProbabilidad de que la atencin sea completadadentro de t unidades de tiempoX = tf(X)

2.6 Proceso de SalidaEs la forma en que los clientes abandonan un sistema de colasPara describir el proceso de salida de un sistema de cola, por lo general, se especifica una distribucin de probabilidad

4. Proceso de Nacimiento - MuerteIngresa al sistemaSale del sistema

Nomenclatura de sistemas de colas(a, b, c) : (d, e, f)a: Distribucin de llegadas (M: Poisson / D: Determinista / E: Erlang)b: Distribucin de salidas - tiempo de servicio (M: Exponencial / D: Determinista / E: Erlang)c: Nmero de servidores en paralelod: Disciplina del servicioe: Nmero mximo de clientes permitidos en el sistema (en cola + en servidores)f: Poblacin

5. Nomenclatura de sistemas de colas

Ejemplos de sistemas de colas

Parmetros del sistemas de colas

Lq : Nmero esperado de clientes en la cola

Ls : Nmero esperado de clientes en todo el sistema de colas

Wq : Tiempo de espera en la cola

Ws : Tiempo de espera en todo el sistema

: Tasa de utilizacin del sistema

P0 : Probabilidad que hayan cero clientes en el sistema

Pn : Probabilidad que hayan n clientes en el sistema

Parmetros del sistemas de colas

Formulas de Parmetros: 1 Servidor = /

Wq = / ( * (-))

Ws = Wq + 1/ = 1 / (-)

Lq = * Wq = 2 / ( *(-))

Ls = Lq + / = * Ws = / (-)

P0 = 1 - /

Pn = ( / ) n * P0

Anlisis de la ColaLongitud Promedio de la ColaLq = ( - )2Tiempo de EsperaPromedio en la ColaWq =LqEn donde: es la tasa promedio de llegadas por unidad de tiempo es la tasa promedio de servicio de las llegadas por unidad de tiempoMedidas del desempeo del sistema de colas: Una cola y un servidor

Anlisis del SistemaLongitud Promedio del SistemaL = - Tiempo de EsperaPromedio en el SistemaW =1 -

Regla general: la tasa de llegada debe ser menorque la tasa de servicio

C) Utilizacin de la Instalacin de ServicioProbabilidad de que el sistema est vaco:Tiempo de actividad esperado en el sistema:

Probabilidad de tener n unidades en el sistema:

Probabilidad de que la lnea exceda a n:Po =1 -1 - PoU =Pn =nPoP(n>L)=L+1

EjercicioEn un servidor de la universidad se mandan programas de ordenador para ser ejecutados. Los programas llegan al servidor con una tasa de 10 por minuto. El tiempo medio de ejecucin de cada programa es de 5 segundos y tanto los tiempos entre llegadas como los tiempos de ejecucin se distribuyen exponencialmente.Efecte el clculo de los parmetros del sistema de colas

Datos: = 10 programas / min = 12 programas / min Tasa promedio de llegada: = 10 prog/min

Tiempo promedio de llegada: 1/ = 1/10 prog/min = 0.1 min/prog

Tasa promedio de servicio: = 12 prog/min

Tiempo promedio de servicio: 1/ = 1/12 prog/min = 0.083 min/prog

Tasa de utilizacin del sistema = / = 10 /12 = 83%

Tiempo promedio de espera en la cola WqWq = / * ( - )Wq = 10 / 12 * (12-10) = 0.417 min = 25 seg.

Tiempo promedio de espera en todo el sistema WsWs = Wq + 1/ = 1 / ( - )Ws = 1 /(12 -10) = 0.5 min = 30 seg.

Nmero esperado de programas en la cola LqLq = * Wq = 2 / *( - )Lq = 10 * 0.417 = 4.17 prog

Nmero esperado de programas esperado en todo el sistema LsLs = Lq + / = * Ws = / - Ls = 10/12 10 = 5 programas

Probabilidad que hayan cero programas en el sistema P0P0 = 1 - / P0 = 1 10/12 = 17%

Probabilidad que hayan 1,2,3 prog en el sistema PnPn = ( / ) n * P0P1 = (10/12) * 0.17 = 14.17%P2 = (10/12)2 * 0.17 = 11.81%P3 = (10/12)3 * 0.17 = 9.84%

Una Cola y Varios ServidoresSea c el nmero de servidoresAnlisis de la colaLongitud Promedio de la ColaTiempo de EsperaPromedio en la ColaLq=(/)C+1C x C!1-/C2XPoWq =Lq

Anlisis del SistemaLongitud Promedio del SistemaL = Tiempo de EsperaPromedio en el SistemaW =Lq +L

Utilizacin de la instalacin de servicioProbabilidad de que el sistema est vacoPo =(/)C1-/CC!+1+(/)(/)(/)++...+1!2!(C-1)!Tiempo de actividad esperado en el sistema

c-112(C-1)< 1

Aplicacin 1Lnea de espera en un supermercado Sistema M/M/1

10 cajas en operacin.90 clientes por hora entran en las cajas.12 personas por hora es la tasa de servicio de cada caja.Las llegadas cumplen una distribucin Poisson.Tiempos de servicio exponenciales.

Descripcin

DescripcinDebido al poco intercambio entre las lneas de espera, se considerar este sistema como 10 sistemas separados de una sola lnea.Cada uno con una llegada de 9 personas por hora.

ObjetivosDeterminar la longitud promedio de la fila en cada caja.Determinar el tiempo promedio que espera una persona antes de ser atendida.Determinar el numero de clientes en el sistemaDeterminar el tiempo promedio que demora una persona en todo el sistema.Utilizacin de las instalaciones.

1)Longitud promedio de la filaEsta determinada por la siguiente ecuacin: = 9 clientes por hora = 12 clientes por horaLq = 2.25 clientes promedio en la fila

2)Tiempo de espera promedio en la colaSe determina por: = 9 clientes por hora = 12 clientes por horawq = 0.25 horas (15 min pasa en promedio en la fila

3) Nmero promedio de clientes en el sistemanumero promedio de clientes en el sistema (una caja) = 9 clientes por hora = 12 clientes por horaL = 3 clientes en el sistema (una caja)Por lo tanto habra 3*10=30 clientes en todo el supermercado

4) Tiempo de espera para el sistemaTiempo de espera promedio para todo el sistema = 9 clientes por hora = 12 clientes por horaW = 0.33 horas (20 minutos) pasa un cliente en el sistema

5) Utilizacin de las instalacionesDeterminado por la tasa de arribo sobre la tasa de servicio U = 0.75 (75 % esta ocupado el servidor) = 9 clientes por hora = 12 clientes por hora

Aplicacin 2Restaurant

Sistema M/M/1

Supngase que la administracin quiere que el cliente no espere ms de dos minutos antes de que se tome su orden y el promedio de pedidos es de 30 ordenes por hora. Cuntos pedidos se atienden en el restaurant por hora?Objetivo

Se tiene la tasa de llegadas () es de 30 rdenes por hora y Wq = 2 minutos (0.033 horas), determinamos . Resolucinsi despejamos

Entonces, siendo

= 30 ordenes por hora. Wq = 2 minutos 0.033 horas

resulta = 48.5 rdenes por hora. Resolucin

Se necesita una tasa de servicio de casi 50 rdenes por hora para cumplir con el requerimiento inicial. Resolucin

Una cola y mltiples servidoresLas llegadas son Poisson, los tiempos de servicio son exponenciales, hay una sola lnea, varios servidores y una cola infinita que opera con la disciplina de primero en llegar primero en ser servido.

Aplicacin 3Oficina estatal de transporte Sistema M/M/k

Descripcin: 3 equipos de investigacin igualmente eficientes. 2 das para investigar un accidente. 300 accidentes por ao.

Determinar:a. Nro medio de accidentes cuya investigacin an no ha comenzadob. Tiempo medio desde que se produce un accidente hasta que se empieza a investigarc. Tiempo medio desde que se produce un accidente hasta que finaliza la investigacind. Nro medio de accidentes cuya investigacin an no ha terminado

Parmetros del modelo: = 300 accidentes por ao = 0.82 por da

= 0.5 investigaciones por da

K = 3 servidores

Resolucina. Nro medio de accidentes cuya investigacin no ha comenzado

ResolucinLuego:Sustituyendo:

Resolucin:b. Tiempo medio desde que se produce unaccidente hasta que se empieza a investigar :

Sustituyendo:

Wq = 0.3489 / 0.82 = 0.4255 das = 10 horas aprox.

Resolucin:c. Tiempo medio desde que se produce unaccidente hasta que finaliza la investigacin

W = Wq + 1/

Sustituyendo:

W = 0.42555 + 1/ 0.5 = 2.4255 das = 58 horas aprox.

Resolucind. Nro medio de accidentes cuya investigacin an no ha terminado

L = Lq + (/)

Sustituyendo:

L = 0.3489 + (0.82 /0.5) = 1.9889

TEORIA DE COLASAnlisis de Costos

Aplicacin 4Planta de manufactura de tela

La planta tiene un gran nmero de mquinas tejedoras que con frecuencia se averan (atascan).Llegan al taller de mantenimiento 25 mquinas por hora con distribucin Poisson.El tiempo de servicio por mquina es de 15 minutos con distribucin exponencial.El costo de servicio es de $50 por hora-reparador.El costo de espera o costo de oportunidad de una mquina fuera de servicio es de $100 por hora.

Descripcin del sistema:

Determinar el nivel ptimo del servicio (nmero ptimo de reparadores) que minimice el costo total del sistema.

CT = Costo Total

Objetivo

Costo totalSea k el nmero de reparadores en el taller de mantenimiento, se busca un k tal que la suma de los costos de espera y servicio se minimicen Costo total = Cw L + k Cscosto de esperanmero de mquinas fuera de serviciocosto de servicio

Parmetros del modelo: = 25 mquinas por hora. = 4 mquinas por hora.Cs = $50 por hora-reparador.Cw = $100 por hora-mquina.K mnimo = 7 para que cumpla la condicin de estado estable < K.

... = 25 MquinasReparadores=4

Resolucin: (modelo m/m/k)Calculamos L para K= 7 reparadoresL = Lq + / = 5.8473 + 25/4 = 12.0973

Donde:

= 0.001017= 5.8473

Resolucin:Ahora calculamos el costo total para k=7 reparadores: costo de espera por mquinaNmero promedio de mquinas fuera de serviciocosto de servicio por reparadorNmero de reparadoresCT=100 * 12.0973 + 7 * 50 CT=1209.73 + 350CT=$ 1559.73

Resolucin:Clculo del costo total para k=8 reparadores: L = 7.7436CT=100 * 7.7436 + 8 * 50 CT=774.36 + 400 CT=$ 1174.36

Clculo del costo total para k=9 reparadores: L = 6.7863CT=100 * 6.7863 + 9 * 50 CT =678.63 + 450 CT=$ 1128.63Resolucin:

Clculo del costo total para k=10 reparadores: L = 6.4594CT=100 * 6.4594 + 10 * 50 CT=645.94 + 500 CT=$ 1145.94Resolucin:

No deNo Promedio Costo por hora ($)Costo Reparadoresen el sistemaesperaservicioTotalKLCw=100*LCs=50*kCT=Cw+Cs712.09731209.733501559.7387.7436774.364001174.3696.7863678.634501128.63106.4594645.945001145.94116.333633.35501183.3

Grfica de costos:

Aplicacin 5Mecnico lento Vs. mecnico rpido

Una Empresa tiene la necesidad de contratar un mecnico de reparacin de mquinas.Las mquinas se descomponen con una tasa promedio de 4 por hora de acuerdo con una distribucin PoissonEl tiempo improductivo de cualquiera de las mquinas cuesta $10 por hora a la empresa.La empresa puede contratar dos tipos distintos de mecnicos: uno lento pero poco costoso ($2.5/hora), y el otro rpido pero costoso ($4.5/hora).El mecnico lento puede reparar exponencialmente las mquinas con una tasa promedio de 6 por hora, mientras que el rpido puede repararlas exponencialmente a razn de 8 por hora.Descripcin del sistema:

Determinar el tipo de mecnico que la empresa debe contratar a efectos de minimizar el costo total.Objetivo

Parmetros del modelo: = 4 mquinas por hora.1 = 6 mquinas por hora (mecnico lento).2 = 8 mquinas por hora (mecnico rpido).Cw = $10 por hora-mquina.Cs1 = $2.5 por hora-mecnico (lento)Cs2 = $4.5 por hora-mecnico (rpido)K = 1

Resolucin:Calculamos L para cada caso:L = /(-) (modelo m/m/1)

Mecnico lento:L1 = /(1-) = 4/(6-4) = 2 mquinas

Mecnico rpido:L2 = /(2-) = 4/(8-4) = 1 mquina

Resolucin:Clculo del costo total para el mecnico lento: costo de espera por mquinaNmero promedio de mquinas fuera de serviciocosto de servicio del mecnicoNmero de mecnicosCT= 10 * 2 + 1 * 2.5 CT =20 + 2.5 CT =$ 22.5

Resolucin:Clculo del costo total para el mecnico rpido:CT= 10 * 1 + 1 * 4.5 CT =10 + 4.5 CT =$ 14.5

Aplicacin 6Carga y descarga de camiones

DescripcinEn un muelle de carga y descarga de camiones se desea formar el grupo de trabajadores con la cantidad ptima de gente.El muelle tiene espacio para un solo camin.El tiempo de carga y descarga puede reducirse aumentando la cantidad de trabajadores.

DescripcinLa tasa promedio de servicio es de un camin por hora para un cargador. Los cargadores adicionales aumentan la tasa de servicio proporcionalmente.Los camiones llegan con una tasa de dos por hora en promedio.El costo de espera es de $ 20 por hora por un camin. Se le paga $ 5 por hora a cada miembro de la brigada

Objetivo Se desea calcular el mejor tamao de la brigada. Datos : = llegada = 2 camiones por hora. = servicio = 1 camin por hora por persona. Cw = costo de espera = $20 por hora por camin. CS = costo de servicio = $ 5 por hora por persona.

Costo totalSea n el nmero de personas en la brigada, se busca un n tal que la suma de los costos de espera y servicio se minimicen : Costo total = Cw L + n CScosto de esperaNmero de camiones en esperacosto de servicioNmero de personas en la brigada

ResolucinCalculamos el valor de L para diferentes tamaos de la brigada:L=/(-) Modelo M/M/1nmnimo = 3 para que se cumpa <

Resolucin:El costo total para diferentes valores de n es:5Por lo tanto el tamao ptimo de la brigada es de 5 personas, por ser la de menor costo.

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