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UNIDAD 8

AREAS SOMBREADAS

1. 

En un triángulo equilátero se inscribe una circunferencia de radio R y otra de radio rtangente a dos de los lados y a la primera circunferencia, hallar el área que seencuentra adentro del triángulo y fuera de las circunferencias, en función de R.

GRAFICA 99

El triángulo ABC es equilátero por lo tantoA= B= C =60  , el OPA=90 ya que   es tangente a la circunferencia.

Teniendo presente lo anterior lo cual nos lleva a determinar que eltriángulo AOP es de 30 dedonde obtenemos   2 r

=    4       √   

√    √    √   

 =   –    =  √ 

√   

   = .     =   

  =  

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2. Para cada caso calcular el área sombreada en función de R

GRAFICA 100

Si el triángulo BCD es equilátero

   

 

Si aplicamos el teorema de Pitágoras al triangulo o el teorema  obtenemos que:

√        √       √   

    

 ya que    si aplicamos el teorema del baricentro

al triangulo que contiene a la circunferencia menor; por lo tanto

 

  √     √   

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3. Calcular el área sombreada en función de I

GRAFICA 101

AB=BC=CD=DA= 

 Comencemos por hallar  en el triangulo rectangulo donde   

    Aplicando el teorema de Pitágoras

√   

podemos demostrar facilmente que los triangulos BCG y el triangulo BPC son semejantes, lo que implica:

 

√    √   

Ahora conociendo  y  aplicando el teorema de Pitágoras podemos hallarel segmento ¯PC

  √   Ahora tenemos que los triangulos    

   

  √  √ 

  

 

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1. 

Calcular el área sombreada en función de I

GRAFICA 102

El segmento AB=2r ,  Aplicando el teorema de Pitágoras en el (2r)² = (

 

√  

√ 

  

si tenemos     √   

(√ )  

Con estos datos hallemos el área sombreada

AS = A cuadrado-2A circunferencia- 4 A triangulo DEC

AS =  -2 √  -2X²

AS = -   -2(√ )  

AS = √   

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5. calcular el área sombreada en función de I

GRAFICA 103

Si tomamos el triángulo ABC equilátero,podemos observar que todos los triángulosinteriores son congruentes y equiláteros de

lado   por lo tanto el área sombreadaserá igual a seis veces el área del trianguloBDE

Por teorema h= √  √   AS = 6 A  AS =

√   

AS = √   AS = 0.29 

6. calcular el área sombreada en función de I

GRAFICA 104

Si tomamos los cuadriláteros ABHI , BCED,ACFG como cuadrados donde el esequilátero, entonces el área formada por los

tres triángulos isósceles congruentesequivale al área sombreada, por lo tanto elFCE será igual a:

 Si tomamos el triángulo FCE tendremos

X = √     A (√ )  A √   AS = 3 A  AS = √   

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7. en la figura el ángulo XOY es recto el arco AO tiene radio “a” y el arco MN radio “a”, con

centro en “M” y ”O”. Halle el área de la región circular MPA. 

GRAFICA 105

Podemos observar fácilmente que el triánguloOMP es equilátero  H=√   

por lo cual el área del triángulo equivale a:

A √   

si tomamos el área entre los arcos OP y PM

con sus respectivas cuerdas tendremos

A₁=A₂= A sector circular – A  

A₁=A₂=   √    (√ )  

AS=    

AS= [√ 

√  + 

AS= (√ )

 

AS= (√ )    

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8. calcular el área sombreada en función de I

GRAFICA 106

Si analizamos la gráfica podemos determinar queel polígono regular en cada uno de sus vértices

forma ángulos de 120, es decir que cada sectorequivale a un tercio de la circunferencia.Por lo tanto el área sombreada equivale a ladiferencia entre el área del hexágono y dos

veces la circunferencia de radio R=  √  , por lotanto:AS = A hexágono – 2A circunferencia

AS =(√ ₂)

  -2  AS = √     AS = (√  ) AS = 1.02 

9. Demostrar que T = N+M, si AB es perpendicular a BC

GRAFICA 107

Tenemos que el área T = A  

   

 

N + M =

 

N + M =  N + M = ( ) () ( )  N + M =

( ) () ( )) ⏟

 N + M =T

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10. hallar el área sombreada en función de D

GRAFICA 108 

Podemos observar fácilmente que el áreasombreada equivale al doble de la diferenciaentre la semicircunferencia de radio

equivalente a la tercera parte del diámetro yla semicircunferencia de radio equivalente ala sexta parte del diámetro es decir: 

AS = 2* + AS =  AS =  AS =  AS = 0.26 D 

11. demuestre que P₁ = P₂ 

GRAFICA 109

Asumimos que ABCD es un paralelogramo por lotanto    ,    Asumimos que E-O-G, F-O-H son colineales y dondeEG  Por lo tanto EODH y FBGO son paralelogramos.

Con los datos anteriores podemos demostrarfácilmente que

 y  Por lo tanto dichas áreas son iguales

A  A ₂      ₂ 0 + 0 + P₁ = P₂ P₁ = P₂ 

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12. AB = a, AC perpendicular a BC. Demuestre que el área sombreado sobre la hipotenusa esigual a la suma de las áreas sobre los catetos.

GRAFICA 110

A

₁ =

 

 ( ) 

A₂ =    ( ) 

A³ =      () 

A₁ =  *( ) ()+    A₁ =  ()  () A₁ = A₂  + A³