030200ma1001todo_circunferencia

7/21/2019 030200Ma1001TODO_Circunferencia

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Ngj v2010

3.2 Circunferencia

231

Introduccin a las MatemticasMa1001

Geometra Analtica

OBJETIVOSUnidad Tema Subtema ObjetivosIII Geometra

3.2 CircunferenciaDefinir circunferenciaA partir de la definicin de circunferencia deducir la ecuacin y graficarlaA partir de datos encontrar la ecuacin reducida de una circunferenciaA partir de la ecuacin general de la circunferencia obtener la reducida yviceversaDada una ecuacin general saber si es de una circunferencia, es un punto oconjunto vaco

3.2 Circunferencia

Un conjunto de puntos en el plano 2R (bidimensional) que estn a lamisma distancia de un punto fijo forman una circunferencia

Se llama C al punto fijo con coordenadas en h, k C(h,k) y P(x,y) cualquier punto, r ala distancia de C a P

( ) ( )

( ) ( )222

22

kyhxr

kyhxr

+=

+=

Ecuacin reducida:


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3.2 Circunferencia

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Geometra Analtica

Ejemplo:

Cul es la ecuacin reducida del crculo que tiene el centro en (2,5) y el radio mide

3?

( )

020104

9251044

9)2510()44(

)5()2(3

)(

22

22

22

222

222

=++

=+++

=+++

+=

+=

yxyx

yyxx

yyxx

yx

kyhxr

DEFINICIONES:

SECANTE: Recta que pasa por 2 puntos del crculoDIMETRO: Recta que pasa por el centro del crculoTANGENTE:Recta que toca un punto del crculo


3/9

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3.2 Circunferencia

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Geometra Analtica

Ejemplos:

El segmento de una recta que une a los puntos A (5,-1) y B(-7,-5) es el dimetro deuna circunferencia. Encuentra la ecuacin del crculo.

Una circunferencia es tangente a la recta: 2x-y+1=0 en el punto (2,5) y el centroest sobre la recta x+y=9, encontrar la ecuacin de la circunferencia.

20)53()26(

)5,2()3,6(

6

3

122

90122

2

5

2

1

2

1

2

222 =+=

=

=

=+

=+

=+

=

=

=

r

PC

x

y

yx

yxyx

x

y

m

m

025612

20963612

20)3()6(

22

22

22

=++

=+++

=+

yxyx

yyxx

yx

( ) ( )

( ) ( )

3062

961240

3140

40

40

436

)13()51(

)3,1(

31

2

51

2

)7(5

22

22

22

22

222

222

2121

+++

+++++=

+++=

+=

=

=

+=++=

==

=

+=

+=

+=

yxyx

yyxx

yx

kyhxr

r

r

C

kh

kh

yyk

xxh


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3.2 Circunferencia

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Geometra Analtica

Ecuacin general de la circunferencia

0

2

2

022

22)()(

22

222

22222

22222

222

=++

+=

=

=

=+++

=+++=+

FEyDxyx

rkhF

kE

hD

rkhkyhxyx

rkykyhxhx

rkyhx

Completando cuadrados:

( ) ( ) FEDEyDx

FEDEEyyDDxx

+=+++

+=+++++

4422

4444

2222

222222


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3.2 Circunferencia

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Geometra Analtica

( )

( )

0

2,

20

442,

20

44

2222

+

EDCenpuntounes

FEDrEDCcrculounesFEDSi


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3.2 Circunferencia

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Geometra Analtica

Actividades de Circunferencia

1. Determina la ecuacin de la circunferencia que satisfaga lascondiciones dadas.a) Centro (3, -2) y radio 5/2.b) Centro (5,7) y pasa por el punto (10,9)c) Centro (-7, -13) y pasa por el origen.d) Los extremos de uno de sus dimetros son M (-4, 6), N(0, 2).e) Es tangente a los ejes de coordenadas, su radio es 8 y el centro esten el tercer cuadrante.f) C (-2, 3) y es tangente a la recta 0422120 = yx

2. En cada uno de los ejercicios siguientes, determinar si la ecuacin esuna circunferencia, un punto o el conjunto vaco. Si es unacircunferencia, graficarla y dar su centro y radio.

a) 0103181022 =++ yxyx

b) 01041244 22 =++ yxyx

c) 0512699 22 =++ yxyx

d) 05020422 22

=+++ yxyx e) 0106222 =+++ yxyx

f) 0111181022 =+++ yxyx

g) 0422 =++ xyx


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3.2 Circunferencia

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Geometra Analtica

Actividades de CircunferenciaSolucin

1. Determina la ecuacin de la circunferencia que satisfaga las condiciones dadas.a) Centro (3, -2) y radio 5/2.

( ) ( )

027162444

4

254496

4

2523

22

22

22

=++++

=++++

=++

yxyx

yyxx

yx

b) Centro (5,7) y pasa por el punto (10,9)

( )

( )

0451410

2949142510

29)7(5

29

)79(510

22

22

22

2

222

=++

=+++

=+

=

=+

yxyx

yyxx

yx

r

r

c) Centro (-7, -13) y pasa por el origen.

( )

( )

02614

218169264914

218)13(7

218

)130(70

22

22

22

2

222

=+++

=+++++

=+++

=

=+++

yxyx

yyxx

yx

r

r

d) Los extremos de uno de sus dimetros son M (-4, 6), N(0, 2).

01284

816844

8)4()2(

)4,2(42

262

2

04

8222

32

2

)62()40(

2

22

22

22

2

22

=+++

=++++

=++

=+

==+

=

===++

==

yxyx

yyxx

yx

Ckh

rMNr


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Geometra Analtica

e) Es tangente a los ejes de coordenadas, su radio es 8 y el centro est en el tercercuadrante.

0641616

6464166416

64)8()8(

)8,8(8)8,0()0,8(

22

22

22

21

=++++

=+++++

=+++

=

yxyx

yyxx

yx

CrPP

f) C (-2, 3) y es tangente a la recta 0422120 = yx

01264

259644

25)3()2(

529

145

)21(20

)42()3)(21()2)(20(

22

22

22

22

=+++=++++

=++

==+

++=

yxyx

yyxx

yx

r

2. En cada uno de los ejercicios siguientes, determinar si la ecuacin es unacircunferencia, un punto o el conjunto vaco. Si es una circunferencia, graficarla ydar su centro y radio.

a) ( ) ( )

3)9,5(

3)9()5(

812510381182510

01031810

22

22

22

=

=+++=+++

=++

rC

yx

yyxx

yxyx

b)

52

1,

2

3

52

1

2

3

4

1

4

9

4

10

4

1

4

93

04

103

4

01041244

22

22

22

22

=

=

++

+

++=

+++

+

=++

=++

rC

yx

yyxx

yxyx

yxyx


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Geometra Analtica

c)

=

+

++=

++

+

=++

=++

3

2,

3

10

3

2

3

1

9

4

9

1

9

5

9

4

3

4

9

1

3

2

095

912

96

9

0512699

22

22

22

22

enpuntounyx

yyxx

yxyx

yxyx

d)( ) ( )

1)5,1(

1)5()1(

25125251012

025102

2

05020422

22

22

22

22

=

=+++

++=++++

=+++

=+++

rC

yx

yyxx

yxyx

yxyx

e)

)3,1(0)3()1(

1910)96()12(

01062

22

22

22

=++

++=++++

=+++

puntoyx

yyxx

yxyx

f) ( ) ( )vacoconjuntoyx

yyxx

yxyx

5)9()5(

258111181182510

01111810

22

22

22

=++

++=++++

=+++

h)( )

2)0,2(

4)2(

444

04

22

22

22

=

=++

=+++

=++

rC

yx

yxx

xyx

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