030100ma1001todo_recta

Ngj/v2010 3.1 Recta

209

Introduccin a las Matemticas Ma1001

Geometra Analtica

INTRODUCCIN La Geometra (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir') es la rama de las matemticas que se ocupa de las propiedades del espacio. El saber geomtrico es el conocimiento de las propiedades del espacio geomtrico. El espacio geomtrico es importante diferenciarlo del espacio fsico. El espacio geomtrico se constituye como una modelizacin del espacio fsico; nos permite comprender o prever ciertos fenmenos del espacio fsico, pero no coincide con l. Las figuras que se manejan en geometra no existen en la realidad, son idealizaciones de objetos de la realidad material. No existe, por ejemplo, la lnea recta ideal, pues cualquier lnea recta material mirada al microscopio resultara curva; no existe el punto ideal, carente de dimensiones; no existe la superficie ideal, carente de grosor. Aunque las figuras ideales no existen, se pueden estudiar con ayuda de sus representaciones materiales. Desde los griegos, la regla y el comps contribuyeron a materializar las ideas geomtricas. Las construcciones que se realizan con estos instrumentos ayudan a comprender mejor las propiedades geomtricas. Pero la validacin de los teoremas geomtricos no se hace recurriendo al dibujo, sino de forma lgica, mediante razonamientos lgicos. Los dibujos ayudan a establecer relaciones lgicas entre las figuras. No sustituyen, sino que auxilian, al razonamiento lgico. La geometra, a partir de la antigua geometra griega, se ha desarrollado como un sistema deductivo, construido a partir de axiomas, cuya validez se obtiene por procedimientos lgicos.

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Geometra Analtica

HISTORIA El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuy a los egipcios el descubrimiento de la geometra, ya que, segn l, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que, precisamente, la palabra geometra significa medida de tierras. Los egipcios se centraron principalmente en el clculo de reas y volmenes, encontrando, por ejemplo, para el rea del crculo de radio unidad un valor aproximado de 3.1605. Sin embargo el desarrollo geomtrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales. Tambin encontramos rudimentos de trigonometra y nociones bsicas de semejanza de tringulos. Tambin se tienen nociones geomtricas en la civilizacin mesopotmica, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: rea del cuadrado, del crculo, volmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilizacin conoca el teorema de Pitgoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general. En los matemticos de la cultura helnica los problemas prcticos relacionados con las necesidades de clculos aritmticos, mediciones y construcciones geomtricas fueron muy importantes. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemticas que obtuvo la denominacin de "logstica". A la logstica fueron atribuidas: las operaciones con nmeros enteros, la extraccin numrica de races, el clculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, clculo con fracciones, resolucin numrica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2 grado, problemas prcticos de clculo y constructivos de la arquitectura, geometra, agrimensura, etc. Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitgoras se advierte un proceso de recopilacin de hechos matemticos abstractos y la unin de ellos en sistemas tericos. Junto a la demostracin geomtrica del teorema de Pitgoras fue encontrado el mtodo de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de nmeros "pitagricos", esto es, ternas de nmeros que satisfacen la ecuacin . En este tiempo transcurrieron la abstraccin y sistematizacin de las informaciones geomtricas. En los trabajos geomtricos se introdujeron y perfeccionaron los mtodos de demostracin geomtrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitgoras, los problemas sobre la cuadratura del crculo, la triseccin de un ngulo, la duplicacin del cubo, la cuadratura de una serie de reas (en particular las acotadas por lneas curvas). Paralelamente, al ampliarse el nmero de magnitudes medibles, debido a la aparicin de los nmeros irracionales, se origin una reformulacin de la geometra, dando lugar al lgebra geomtrica. Esta nueva rama inclua entre otros conceptos el mtodo de anexin de reas, el conjunto de proposiciones geomtricas que interpretaban las cantidades algebraicas, divisin urea, expresin de la arista de un poliedro regular a travs del dimetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el lgebra geomtrica estaba limitada a objetos de dimensin no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducan a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacan imposibles los problemas que no admitieran

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Geometra Analtica

solucin mediante regla y comps. La historia sobre la resolucin de los tres problemas geomtricos clsicos (sobre la cuadratura del crculo, la triseccin de un ngulo, la duplicacin del cubo) est llena de ancdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cnicas, clculo aproximado del nmero pi, el mtodo de exhaucin como predecesor del clculo de lmites o la introduccin de curvas trascendentes.

Cnicas

Se denomina seccin cnica a la curva interseccin de un cono con un plano que no pasa por su vrtice. En funcin de la relacin existente entre el ngulo de conicidad () y la inclinacin del plano respecto del eje del cono (), pueden obtenerse diferentes secciones cnicas, a saber:

El matemtico griego Menecmo (vivi sobre el 350 A.C.) descubri estas curvas y fue el matemtico griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cnicas y encontrar la propiedad plana que las defina. Apolonio descubri que las cnicas se podan clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hiprbolas y parbolas. Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cnica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices. Las hiprbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie cnica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista). Las parbolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cnica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista).

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Geometra Analtica

Apolonio demostr que las curvas cnicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizs las propiedades ms interesantes y tiles que descubri Apolonio de las cnicas son las llamadas propiedades de reflexin. Si se construyen espejos con la forma de una curva cnica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elpticos, parablicos o hiperblicos, segn la curva que gira. Apolonio demostr que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parablico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parablico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arqumedes (287-212 A.C.) logr incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parablicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisin y espejos solares. La propiedad anloga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automviles concentren el haz en la direccin de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperblicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada. En el siglo XVI el filsofo y matemtico Ren Descartes (1596-1650) desarroll un mtodo para relacionar las curvas con ecuaciones. Este mtodo es la llamada Geometra Analtica. En la Geometra Analtica las curvas cnicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. El resultado ms sorprendente de la Geometra Analtica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cnicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar a dudas las cnicas son las curvas ms importantes que la geometra ofrece a la fsica. Por ejemplo, las propiedades de reflexin son de gran utilidad en la ptica. Pero sin duda lo que las hace ms importantes en la fsica es el hecho de que las rbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, ms an, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una

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Geometra Analtica

curva cnica. El astrnomo alemn Johannes Kepler (1570-1630) descubri que las rbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los dems planetas varan desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutn.. Ms tarde el clebre matemtico y fsico ingls Isaac Newton (1642-1727) demostr que la rbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cnica.

Ngj/

OBJ UnidaIII Ge 3.1

3.1 R los pugeomprimiconocPostufundaAlgun

/v2010

ETIVOS

ad eometra Recta

EnDeDaEn

Recta La recta e

untos del ptricos fundtivos, o se

cidos. Sin eulados caramentales. nas de las di

La recta eesLa rectaentre otroambas dirLa recta etomados d

la formulaLa recta edos plano

Tema

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es la lnea mplano (o el damentalesea que noembargo esractersticos

iferentes dees la lnea ma es un conos dos tienerecciones, ees el lugar gdos puntos

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os.

3.1

Intro

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ms corta q espacio) ens, junto al p es posibles posible es, que d

efiniciones ms corta ennjunto de pe la mnimaen contrapogeomtrico cualesquie

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1 Recta

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Geometr

Subtem

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resulta siemntos situad

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Objetivos

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y el lugar gn. Es unoconsiderad a otros ede ellos, e

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punto que e prolonga to y la semir

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2

s

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14

de tes tos ya

los tes

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de

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Geometra Analtica

PENDIENTE Punto Medio

Teorema 1 Si ),(),( 222111 yxPyyxP son dos puntos cualesquiera en el plano y ),( mmm yxP es un punto medio del segmento 21PP entonces las coordenadas del punto medio estn dadas por:

222121 yyyxxx mm

+=+=

entonces, si ?)5,2()4,3( 21 = mPPyP

21

254

25

223 ==== mm yx

Si )1,2()2,1(1 mPP dnde est el otro extremo?

)4,3(43

)2()1(2)1()2(222

2222

2

22

1212

2121

2121

==

====+=+=

+=+=

P

yxyyyxxxyyyxxx

yyyxxx

mm

mm

mm

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Geometra Analtica

b) Pendiente de una Recta

TEOREMA 2 Si 21 PyP son dos puntos de una recta L entonces la pendiente m est dada por:

tan12

12 ====

xy

adyacentecatopuestocat

xxyym

TEOREMA 3 Dos rectas no verticales son paralelas sus pendientes son iguales: 21 mm = son paralelas

Dos rectas son perpendiculares 2

11

mm = entonces son perpendiculares

Ejemplos: Encontrar el punto medio entre A(0,0) y B(3,4)

223

240

230

==

+=+=

mm

mm

yx

yx

El punto medio del segmento AB est en P(-4,-3). Si A (8,-5) B=?

12

12

21

22

2

yyyxxx

xxx

m

m

m

==

+=

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Geometra Analtica

Decir si )2,3()1,5( 11 QP es paralelo a )1,1()2,3(2 QP

23

3121

83

5312

21=

==+= mm

por lo tanto, no es paralelo Ecuacin de una recta

bmxy +=

Ax + By + C=0 Esta ecuacin lineal representa una recta

Ejemplos: Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por )5,3()3,2( 21 PyP

0158

155168)3(5)2(8

23

58

23

58

2335

1

1

11

21

=+

+=++=+

++=

++=

==

++==

yx

yxyx

xy

xym

xxyym

mmm

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Geometra Analtica

Encontrar la ecuacin de la recta que es perpendicular a: 2x-5y+3=0 y pasa por el punto donde la recta x-2y+1=0 intercepta al eje y.

0125

15221

25

21

25

52

21

21

53

52

2253212:?352:

112

352?

1

211

11

2

1

=+

+=+=

===

+=+==+=++=+

=+=+=

yx

xy

xy

bmm

xyxy

yxyxyxLmyxL

mmLlarperpendicuLSi

yxLyxLL

Encontrar la ecuacin de la recta de P(-3,2) que es paralela a (4,1) y (-2,2)

096

1263

)2(63

32

61

61

4212:

=+

+=+

=+

+=

==

yx

yx

yx

xy

mL

:

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Geometra Analtica

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

( ) 21210 )( yyxxPMd o +== Como la ecuacin de la recta L es Ax+By+C=0 entonces

22

00

BA

CByAxd +

++=

Lneas paralelas 21, LL : 21 mm =

Lneas perpendiculares 21, LL : 21

1m

m =

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Geometra Analtica

Actividades de Recta

1. Calcula el punto medio de la recta, cuyos puntos son : a) )2,1()3,2( BA b) )2,1()4,7( BA c) ( ) ( )4,60,0 ByA d) ( ) ( )7,010,3 ByA 2. Dados los siguientes pares de puntos, encuentra la pendiente de la recta que pasa por dichos puntos. a) ( ) ( )5,33/1,2/1 QyP b) ( ) ( )1,112,6 QyP c) ( ) ( )11,30,0 QyP 3. Calcula la distancia del punto a la recta: a) )3,2(A y 6125 = yx b) )5,2(A y 73 = yx 4. Convierte de la forma general a forma particular y = mx + b, la ecuacin dada calculando en cada caso la pendiente y la interseccin con y (b)

a) 0356 =+ yx b) 046103 =++ yx c) 1=y 5. Convierte de la forma particular a la general, la ecuacin dada y encuentra la grfica de cada recta.

a) 6532 += xy b) 3423 += xy

6. Encuentra la pendiente y la ordenada al origen de la recta cuya ecuacin se da y grafcala. a) 1325 =+ xy c) 85158 =+ yx e) 0212 =+ yx b) 05=+y d) 053 =+x

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Geometra Analtica

7. Encuentra la pendiente de la recta cuya grfica se indica en los siguientes esquemas

ba

d c

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Geometra Analtica

8. Asocia cada ecuacin a una grfica:

xy = 1)1 12)2 += xy xy21)3 = xy 3)4 = 2)5 += xy 1)6 += xy

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Geometra Analtica

9. Determina la ecuacin de la recta que pasa por los puntos : a) )2,1()3,2( BA b) )2,1()4,7( BA 10. Determina la ecuacin de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente

a) 32)4,7( =mA b) 1)0,0( =mA

c) definidaestnomA = )2,1( d) 0)4,2( = mA

11. En cada uno de los ejercicios siguientes usar los datos que se proporcionan para hallar la ecuacin de la recta que:

a) Pasa por el punto (6, -1) y tiene un ngulo de inclinacin de 30 b) Pasa por los puntos (3, -5) y (-2, 3) c) Pasa por el punto (8, -5) y tiene pendiente 5/7 d) Interfecta a los ejes x y y, y respectivamente en -1/4 y -1/3 e) Pasa por el punto )3,2( y tiene una inclinacin de 45. f) Pasa por el punto )3,2(A y es paralela a la recta 432 = yx g) Pasa por el punto )3,2(A y es perpendicular a la recta 432 = yx h) Pasa por el punto de interseccin de las rectas: 023 =+ yx y 0465 =+ yx y es paralela a la recta 074 =++ yx .

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Geometra Analtica

Actividades de Recta Solucin

1. Calcula el punto medio de la recta, cuyos puntos son :

a) )2,1()3,2( BA b) )2,1()4,7( BA )2

5,23( P )3,4(p

c)

( ) ( )

)2,3(..

22

4032

)6(04,60,0

=+==+=

MP

yx

ByA

mm

d)

( ) ( )

=+==+=

23,

23..

23

2)7(10

23

203

7,010,3

MP

yx

ByA

mm

2. Dados los siguientes pares de puntos, encuentra la pendiente de la recta que pasa por dichos puntos.

a)

( ) ( )

1528

25

314

213

315

5,33/1,2/1

==

=m

QyP

b)

( ) ( )7

13)6(1)12(1

1,112,6

==

m

QyP c)

( ) ( )3

1103011

11,30,0

==m

QyP

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Geometra Analtica

3. Calcula la distancia del punto a la recta: a) )3,2(A y 6125 = yx b) )5,2(A y 73 = yx

46.8)12(5

)6()3)(12()2)(5()3,2(06125

22

=+

++==

d

d

Pyx

59.7)3(1

)7()5)(3()2)(1()5,2(073

22

=+

++==

d

d

Pyx

4. Convierte de la forma general a forma particular y = mx + b, la ecuacin dada calculando en cada caso la pendiente y la interseccin con y (b)

a) 0356 =+ yx

53)(

56

53

56

=

=

+=

by

m

xy

b) 046103 =++ yx

523)(

103

1046

103

=

=

=

by

m

xy

c) 1=y

1)(01

===

bymy

5. Convierte de la forma particular a la general, la ecuacin dada y encuentra la grfica de cada recta. a) 6532 += xy b) 3423 += xy a) y = -2 x + 5. b) 2y = 34 x + 7 3 6 2 3 Respuesta: 0564 =+ yx Respuesta: 01412102 =+ yx

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6. Encuentra la pendiente y la ordenada al origen de la recta cuya ecuacin se da y grafcala.

a)

513

52

52

513

21351325

==

===+

bm

xy

xyxy

c)

1585

158

1585

158

8851585158

==

+=+==+

bm

xy

xyyx

e)

221

21

21

221212

0212

==

==

=+

bm

xy

xyyx

b)

505

05

====+

bmyy

d)

===+

m

x

x

35

053

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Geometra Analtica

7. Encuentra la pendiente de la recta cuya grfica se indica en los siguientes esquemas

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Geometra Analtica

8. Asocia cada ecuacin a una grfica:

xy21)3 =

xy = 1)1 2)5 += xy

xy 3)4 =

1)6 += xy

12)2 += xy

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Geometra Analtica

9. Determina la ecuacin de la recta que pasa por los puntos : a) )2,1()3,2( BA b) )2,1()4,7( BA 02495 =+ yx 02356 = yx 10. Determina la ecuacin de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente

a) 32)4,7( =mA b) 1)0,0( =mA

02632 = yx 0=+ yx c) definidaestnomA = )2,1( d) 0)4,2( = mA 01 =+ yx 4=y 11. En cada uno de los ejercicios siguientes usar los datos que se proporcionan para hallar la ecuacin de la recta que:

a) Pasa por el punto (6, -1) y tiene un ngulo de inclinacin de 30

( ) 0363 )1(366

)1(3

13

130tan)1,6(

0

0

0

=++=

=

=

==

yx

yx

xy

xxyy

m

mmP

b) Pasa por los puntos (3, -5) y (-2, 3)

0158)3(5)2(8

23

58

58

3253

)3,2()5,3( 21

=++=+

+==

+=

yxyx

xym

PP

c) Pasa por el punto (8, -5) y tiene pendiente 5/7

07575)5(7)8(5

85

75

75)5,8(

=+=

+=

=

yxyx

xy

mP

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Geometra Analtica

d) Interfecta a los ejes x y y, y respectivamente en -1/4 y -1/3

0134134

031

34

34

410

031

31,00,

41

21

=+++=

+

==+

=

yxyx

x

ym

PP

e) Pasa por el punto )3,2( y tiene una inclinacin de 45. 108 ==+ myx

f) Pasa por el punto )3,2(A y es paralela a la recta 432 = yx 0532 =+ yx

g) Pasa por el punto )3,2(A y es perpendicular a la recta 432 = yx

01223 =+ yx

h) Pasa por el punto de interseccin de las rectas: 023 =+ yx y 0465 =+ yx y es paralela a la recta 074 =++ yx .

414

74074

32

230007465462

46523

====++

===

==+=

=+=

mm

xyyx

y

yxx

yxyx

yxyx

981238123

384

032

41

=+=

=

=

yxyx

yx

x

y

030100ma1001todo_recta

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