02integracion por sustitucion y por partes [modo de compatibilidad].pptx

7/25/2019 02integracion por sustitucion y por partes [Modo de compatibilidad].pptx

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MÉTODOS DE INTEGRACION

Temas:• Integración por sustitución

(cambio e !ariab"e#• Integración por partes

Ing. Ms. David Uscamayta

Verástegui

AnálisisMatemático II



Propósit os: Resuelve ejercicios de integrales

usando el cambio de variables eintegración por partes.



M$toos e integración¿Cómo reconocer cuál técnica

emplear para integrar ?

No se pueden dar reglas inalterables yefectivas respecto a cuál método aplicar en

determinado caso, pero uno de los prerrequisitos

para seleccionar una estrategia es el conocimiento

de las fórmulas básicas de integración

Tabla de fórmulas de integración

3. ∫ e x dx = e x + C

5. ∫ sen xdx = - cos x +

C

6. ∫ cos xdx = sen x + C

4. ∫ a dx = ln a

+

C

1. ∫ x dx = n + 1

2. ∫ x

dx = ln x + C + C ( n ≠

-1 )

xn +1

a x x

n 1



Tab"a e %órmu"as e integración

= sen

−1

x

+ C a a2 − x2= tan

−1

x

+ C a x2

+ a2

a

8. ∫ csc2 xdx = − cot x + C

10.. ∫ csc x cot xdx = − csc x + C

12 ∫ csc xdx = ln cscx - cotx +

C

14. ∫ cot xdx = ln sen x + C

16. ∫ cosh xdx = senh x + C

7. ∫ sec2 xdx = tanx + C

9. ∫ sec xtanxdx = sec x + C

11. ∫ sec xdx = ln secx + tanx +

C

13. ∫ tanxdx = ln secx + C

15. ∫ senh xdx = cosh+ C

18.

∫

17.

∫

dx1dx



Desarrollaremosnospermitirán

t$cnicas queemplearlasfórmulas básicas con objeto

de llegar a integrales indefinidasde funciones más complicadas

No podríamos hacerla directamente con las fórmulas deintegración dadas anteriormente,en este caso es

conveniente conocer algunos m$toos e integración,entre ellos el m!todo de integración por sustitución o

cambio e !ariab"e

"i tuvi!ramos que determinar la siguiente integral

∫ 2 x 3 + x2 dx



La regla de sustitución para integrar

corresponde a la regla de la cadena paradiferenciar. ebemos tener presente que si

! " g #$%, entonces d u " g & #$% d$

&' M$too e Integración porsustitución o cambio e !ariab"e

"i u # g$%& es una función diferenciablecu'o rango es un intervalo ( ' la funciónf es contínua en el intervalo (, entonces)

*f$g$%&&g+$%&d% # *f$u&du



Ejercicio: Determine las siguientes integrales

∫ 4( x2 + 3 x + 7)(2 x +

3)dx

∫ x3e x +3dx

4

∫ 2 x2 + 8 x +

3

3 x + 6 dx

(ln( x))∫ dx

x

2



EEM)*OS

Determine:

1) ∫ ( x + 8)7 dx

2) ∫ 6 x − 3dx

4) ∫ ( x2 + 2 x − 4)3 ( x

+1)dx

1+ x

3

dx3) ∫ x2



EEM)*OS

Determine:

5) ∫ ( x + 4) 2 x −

3dx

dx(2 +

senx)3

6 cos

x

7) ∫ x.cos(3 x2 )

dx

dz z 2

+1

3 z

8) ∫

6) ∫ 3



EEM)*OS

Determine:

, sug ,: hacer u

= tgx

11) ∫ sec2

x.tgxdx

, sug ,: hacer u = cos

x10) ∫ tgxdx

1

xcos2 dx , sug ,: hacer u =

x ∫ x 2 1

19)



INTEGRACION DE E!RE"IONE" DE #A $OR%A:

∫ u 2

+

a2

= arc tan+ C a a

du 1 u

∫ a2 − u 2 =

2a a − u+

C

1 Ln

a

+ u

du

∫ ax2

+ bx +

c

dx

"e resuel&e mediante las fórmulas:

∫ u2 − a2 = 2a u + a +

1 Ln

u

− a

du



INTEGRACION DE E!RE"IONE" DE #A $OR%A:

∫

∫

= arc sen +

C

a

a2 − u2

du

du u

+ u ) + C = Ln(u + aa2 + u 2

22

∫ ax2 + bx +

c

dx

"e resuel&e mediante las fórmulas:

∫ u2 − a2 ) +

C

= Ln(u

+u2

− a2

du



EEM)*OS

∫

∫

2 )

∫

∫

dx x + 1

x

− 1

−

1

( 2 x + 3 )dx

− x 2 −

1

− 6 x +25

xdx

x 2

x 4

x 2

d x

4

)

3

)

1

)

Determine:



Reordenando la expresión anterior se

tiene la fórmula de integración por partes

Es ecir:

∫ f ( x) g ′( x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ f

′( x) g ( x)dx

"ean u # f $%& ' v # g $%& entonces du # f ($%&d%' dv # g($%&d%, así, segn la regla desustitución, la fórmula de integración por partes se

transforma en)



E,ercicio: Determine "as siguientesintegra"es

∫ x x +

5dx∫ xcos( x)dx

∫ xe2 x

dx

∫ ln( x)dx

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