02_ejercicios_conicas

7/30/2019 02_Ejercicios_Conicas

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Cnicas 1

U.N.Sa. Facultad de IngenieraVersin: Abril 2.011

lgebra Lineal y Geometra Analtica

Aux. Doc.: Cabezas, Fernando Francisco

EJERCICIOS RESUELTOS y PROPUESTOS

CNICAS

Aclaracin:

En la presente se propone un mtodo de resolucin de cada ejercicio, pudiendo elalumno encontrar otras maneras de solucionar los problemas.

Demostracin de propiedades geomtricas mediante Geometra Analtica.

Consideraciones generales

Con los resultados obtenidos en la teora de rectas en 2R y cnicas, es posible demostrarmuchas propiedades de las cnicas mediante los mtodos de la Geometra Analtica.

En la relacin con la demostracin analtica de una propiedad, son necesarias ciertasprecauciones. Como en la demostracin se emplea un sistema de referencia (ejes coordenadosortogonales), es til construir la figura de manera que se facilite la demostracin. Una figura(tringulo, paralelogramo, etc.) debe colocarse siempre en la posicin ms simple, es decir, en una

posicin tal que las coordenadas de los puntos de la figura simplifiquen lo ms posible los clculosalgebraicos. Por afn de simplificacin no se debe caer, sin embargo, en el extremo opuesto y situarla figura de tal manera que la propiedad quede restringida a un caso particular.

En cuanto a las demostraciones referidas a las cnicas, es preferible utilizar las ecuacionescannicas de estas, ya que stas son las ecuaciones ms simples que representan la curva. Si setiene, por ejemplo, una parbola rotada como la que se muestra en la figura (a), mediante uncambio de coordenadas apropiado (rotacin y traslacin de ejes), puede escribirse la ecuacincannica que la representa en los nuevos ejes, tal como se muestra en la figura (b)

Figura 1: Sistemas de referencia de una cnica.

Tambin es muy til el usar letras y no nmeros para las coordenadas de los puntos.

Como primer paso en la demostracin analtica de una propiedad, se debe dibujar unsistema de ejes coordenados y, despus, colocar la figura en una de las posiciones ms simples. Acontinuacin todos los puntos comprendidos por la propiedad deben designarse por coordenadasapropiadas marcadas sobre la figura. El procedimiento a seguir despus de esto depende de lapropiedad o propiedades particulares que van a demostrarse y se comprender mejor por medio deejemplos.

xO

O'

2 2: 0ax bxy cy dx ey f + + + + + =P

y'

2: 4y px =P x'y

a) Parbola rotada respecto a los ejes x, y b) Parbola con ecuacin cannica respecto

a los ejes x', y'


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Cnicas 2

Ejemplo 1:

Sean M y N los extremos de un dimetro de una circunferencia, y P un punto cualquiera dedicha circunferencia. Pruebe analticamente que PM y PN son perpendiculares.

Solucin:

Para facilitar los clculos, podemos colocar a la circunferencia con centro en el origen y aldimetro de referencia sobre el eje x, es decir, utilizaremos la ecuacin cannica de una

circunferencia.

Figura 2: ngulo inscripto en una circunferencia.

De esta manera, dada la circunferencia de ecuacin 2 2 2x y r+ = y los puntos ( ), 0M r y

( ), 0N r extremos de un dimetro. Tomando un punto ( ),P x y perteneciente a la circunferencia,probaremos que las pendientes PM y PN son perpendiculares.

En efecto,

( )( ) ( )

2 2 2

22 2

0 01PM PN

y y y y y m m

r x r x r x r x y r x

= = = = =

+

Dado que ( ),P x y C, satisface su ecuacin 2 2 2 2 2 2x y r r x y + = = .

Por lo tanto PM y PN son perpendiculares.

Esta propiedad de la circunferencia puede demostrarse mediante Algebra VectorialSinttica como veremos mas adelante.


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Cnicas 3

Ejemplo 2:

Demuestre que en una hiprbola, el producto de las distancias de uno cualquiera de suspuntos a las asntotas es una constante independiente del punto.

Solucin:

Utilizaremos para la demostracin la hiprbola horizontal de ecuacin cannica:2 2

2 2 2 2 2 2

2 2: 1

x y

b x a y a ba b = =H

cuyas sus asntotas son:

a1: 0b

y x bx ay a

= = ; y a2: 0b

y x bx ay a

= + =

Si ( )0 0,P x y es cualquier punto de la hiprbola, entonces el producto de sus distancias a las

asntotas es

( ) ( )( )( ) 2 2 2 20 00 0 0 00 0 0 0

1 2 2 2 2 22 2 2 2, ,

b x a y bx ay bx ay bx ay bx ay d P a d P a

b a a bb a b a

+ + = = =

+ ++ +

Como ( )0 0,P x y pertenece a la hiprbola, satisface su ecuacin, y entonces2 2 2 2 2 2

0 0b x a y a b = . De esta manera,

( ) ( )2 2 2 2

1 2 2 2 2 2, ,

a b a bd P a d P a

a b a b = =

+ +

Y se observa que este producto es independiente del punto elegido.

Ejemplo 3:

Demuestre que en una hiprbola, la curva se aproxima indefinidamente a sus asntotas.

Solucin:

Utilizaremos para la demostracin la hiprbola horizontal de ecuacin cannica:2 2

2 2 2 2 2 2

2 2: 1x y

b x a y a ba b

= =H

Las rectas:b

y xa

= ;b

y xa

=

son las asntotas de esta hiprbola. Probaremos que la diferencia entre la ordenada de las rectas

R

by x

a= y de la hiprbola 2 2H

by x a

a= tiende a cero cuando x crece indefinidamente, en

efecto:

( ) ( )( )( )

( )( )

( )

2 2 2 22 2 2

2 2

2 2 2 2

2 20 cuando

R H

x x a x x a x x ab b by y x x a

a a ax x a x x a

abx

x x a

+ = = = =+ +

= +


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Cnicas 4

Figura 3: Izquierda: grafica Ejemplo 2 Derecha: grafica Ejemplo 3.

Ejemplo 4:

Defina Lado Recto de una hiprbola y deduzca una frmula para su clculo.Solucin:

Se denomina lado recto (LR) de una hiprbola a la cuerda que pasa por el foco F1 ( F2)perpendicular al eje focal.

Figura 4: Lado recto de una hiprbola.

Considerando la hiprbola horizontal, cuya ecuacin cannica es:2 2

2 2: 1

x y

a b =H bien 2 2 2 2 2 2: b x a y a b =H

Para encontrar la longitud del lado recto que es la cuerda que pasa por el foco y esperpendicular al eje focal, hacemos x c= en la ecuacin cannica, que es la abscisa de uno de losfocos, y obtenemos:

2b

a

2b

a

F1F2

2 2

2 2: 1

x y

a b =H

A

B


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Cnicas 5

2 2

2 21

c y

a b = bien 2 2 2 2 2 2b c a y a b =

Por Pitgoras sabemos que 2 2 2c a b= + reemplazando el valor de 2c , obtenemos:

( )2 2 2 2 2 2 2b a b a y a b+ =

Simplificando y despejando 2y :

( )2 2 2 2 2 2 22 2 2 2

a y b a b a b

a y a b

= +

= 4 2 2b a b+ 4

2

2

by

a=

de donde2b

ya

= , este valor es la distancia entre el punto F1 y A, bien entre F1 y B, es decir la

mitad de la longitud del Lado Recto, por lo tanto2

2Rb

La

= .

Ejercicios Propuestos

Ejercicio N1:

Decida, justificando, si en una circunferencia, el ngulo perifrico subtendidopor cualquier dimetro es un ngulo recto. (ver figura)

Ejercicio N2:

Define y deduce la frmula del Lado Recto de una elipse en funcin de sus semiejes.

Ejercicio N3:

Qu mide la excentricidad en una elipse? Cunto mide la excentricidad de la

circunferencia? Por qu?

Recta tangente. Regla del Desdoblamiento.

Ejemplo 5:

A partir de la ecuacin (y y0)(y1 + y0) = 4p (x x0) que es la cuerda que une los puntosP1(x1, y1) y P0(x0, y0) de la parbola y

2 = 4px, deduzca la ecuacin de la recta tangente a la parbolaen P0.

Solucin:

En primer lugar verificaremos que ( )( ) ( )0 1 0 04y y y y p x x + = es la cuerda que une los

puntos ( )1 1 1,P x y y ( )0 0 0,P x y de la parbola2 4y px= para ilustrar el mtodo.

Como( )

( )

21 1 1 1 1

20 0 0 0 0

, 4

, 4

P x y y px

P x y y px

=

=

P

Prestando m. a m.: ( )2 21 0 1 04y y p x x = (1)

Luego, la recta secante por ( )1 1 1,P x y y ( )0 0 0,P x y es:0 1 0

0 1 0

y y y y

x x x x

=

(2)

Entonces podemos deducir de (1) que:2 21 0

1 04

y yx x

p

= reemplazando en (2):


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Cnicas 6

( )( )0 1 0 1 0 1 0

2 20 1 0 1 0 1 0 1 0

4 4y y y y y y y y

p px x x x y y y y y y

= = =

+

( )( ) ( )0 1 0 0 1 0 00 1 0

4 4y y y y

p y y y y p x xx x y y

= + =

+

Ahora, como en la recta tangente 1 0P P (P1 tiende a P0), se tendr que:

1 0 1 0

1 0 1 0

x x x xy y y y

= =

, luego

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

20 0 0

20 0 0

4

2 4

2

2 2

2 2

y y y y p x x

y y y p x x

y y y p x x

y y y px px

y y px y px

+ =

=

=

=

= +

Como 20 04 0y px = , sumando y restando 02px en el segundo miembro:

( )

20 0 0 0

0 0

2 4 2

2

y y px y px px

y y p x x

= + +

= +

Lo que equivale a los que se obtiene por Regla del Desdoblamiento:

00 4

2

x xy y p

+ =

Ejemplo 6:

Dada la parbola y2 = 4p x determine los valores de la pendiente para los cuales la rectay = m x + p/m es tangente a la parbola. Cuntas soluciones hay?

Solucin:

Sea 2: 4y px=P y la recta : pm

y mx= +r , realizando la interseccin:

2 4:

p

m

y px

y mx

=

= +r P

Por mtodo de sustitucin se obtiene2

22 2

2

22 2

2

22 2

2

4

2 4

2 4 0

2 0

pmx px

m

p pm x mx px

m m

pm x px px m

pm x px

m

+ =

+ + =

+ + =

+ =

Resolviendo la ecuacin cuadrtica enx,

22 2

2

2 2

2 4 4

2

pp p m

pmxm m

= = ; 0m


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Cnicas 7

Observamos que el discriminante es:

22 2 2 2 2

24 4 4 4 4 0

pb ac p m p p

m = = = = , es decir, es nulo para cualquier valor de

m, por lo tanto, se concluye que la recta r es tangente para cualquier valor de m no nulo y se tieneninfinitas soluciones para el valor de m.

Ejemplo 7:

Demostrar que la cuerda que une los puntos de contacto de las tangentes a la elipse2 2 2 2 2 2b x a y a b+ = trazadas desde un punto de la directriz pasa por el foco correspondiente.

Solucin:

Sea ( )0 0 0,P x y el punto desde el que se trazan las tangentes a la elipse y ( )1 1 1,P x y y

( )2 2 2,P x y los correspondientes puntos de contacto. Las ecuaciones de las tangentes en 1P y 2P son2 2 2 2 2 2

1 1 2 2b x x a y y b x x a y y a b+ = + = . Como ambas pasan por 0P , se verifican2 2 2 2

1 0 1 0b x x a y y a b+ = y2 2 2 2

2 0 2 0b x x a y y a b+ = . La recta2 2 2 2

0 0b x x a y y a b+ = , que pasa por 1P y 2P , es la cuerda de contacto.

Sea ( )2 ,acP k un punto de la directriz del lado derecho. La ecuacin de la cuerda de contacto que

pasa por P tiene de ecuacin2 2

2 2 2b ac x a ky a b+ = y, como se puede comprobar, pasa por el foco

correspondiente ( ), 0F c .

Ejemplo 8:

Demostrar que las tangentes a la elipse en los extremos de un dimetro son paralelas.

Solucin:

Sea la elipse horizontal de ecuacin cannica:2 2

2 2: 1x y

a b+ =E o bien 2 2 2 2 2 2b x a y a b+ =

de centro en el origen ( )0, 0C , semieje mayor a sobre eje xy semieje menor b sobre eje y.

Como esta ecuacin solo contiene potencias pares de x e y, la curva es simtrica conrespecto a los ejes de coordenadasxe y, y con respecto al origen.

Figura 5: Tangentes paralelas en una elipse.


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Cnicas 8

Una cuerda que pasa por C, tal como P1P2 , se llama un dimetro. Si ( )1 1 1,P x y E es un

extremo del dimetro, al ser la elipse simtrica con respecto al centro, el otro extremo es

( )2 1 1,P x y E .

La tangente a la elipse 2 2 2 2 2 2b x a y a b+ = en cualquier punto ( )1 1 1,P x y de la curva tiene por

ecuacin: 2 2 2 21 1b x x a y y a b+ = (Ver Regla del Desdoblamiento), entonces

( ) 1 2 2 2 21 1 1 1 1, :PP x y rtg b x x a y y a b + =E

( ) ( ) ( )2

2

2 2 2 22 1 1 1 1

2 2 2 21 1

, :

:

P

P

P x y rtg b x x a y y a b

rtg b x x a y y a b

+ =

+ =

E

Y como los coeficientes de xe yde las rectas son proporcionales (condicin de paralelismode rectas en forma implcita), las rectas son paralelas:

1 2P Prtg rtg .

Ejercicios Propuestos

Ejercicio N4:

Si desde un punto cualquiera de la directriz se trazan las tangentes a la parbola, probar de

manera analtica, que dichas tangentes son perpendiculares y que la cuerda de contacto pasa por elfoco.

Solucin: Guese por el siguiente grafico.

Figura 6: Propiedad de la parbola.

Ejercicio N5:

Los extremos del lado recto de una parbola cualquiera se unen con el punto deinterseccin del eje con la directriz. Demuestre que estas rectas son perpendiculares entre si.


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Cnicas 9

Ejercicio N6:

Demuestre que, para la parbola, la recta tangente en el vrtice es perpendicular al eje de lacurva.

Ejercicio N7:

Demuestre que el punto de contacto de una tangente a una hiprbola es el punto medio del

segmento de tangente comprendido entre las asntotas.Solucin: Guese por el siguiente grafico.

Figura 7: Propiedad de la hiprbola.

Ejercicio N8:

Defina recta tangente a una circunferencia en uno de sus puntos y deduzca luego en detallela llamada Regla del Desdoblamiento.

Ejercicio N9:

Dada la cnica ax2 + by2 + cy = d y uno de sus puntos P0(x0, y0) defina recta tangente a lacnica en P0, y deduzca la llamada Regla del Desdoblamiento. (no es suficiente mencionar tal regla)

Ejercicio N10:

Defina recta tangente a una cnica en uno de sus puntos y deduzca la llamada Regla delDesdoblamiento para la cnica y2 = axy + bx + c.


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Cnicas 10

Ejercicios Resueltos y Propuestos

Circunferencia

Ejercicio N11:

Determine el circuncentro y la ecuacin de la circunferencia circunscripta al tringulo de

vrtices A(2, 1), B(3, 4) y C(6, 1).

Ejercicio N12:

a) Halla la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 1); (3, 3) y (6, 2).

b) Encuentra la recta normal a la circunferencia en el punto (3, 7).

Ejercicio N13:

Decida si los puntos A(5, 7), B(6, 2), C(2, 4) y D(10, 2) son concclicos (es decir,pertenecen a una misma circunferencia). Justifique su respuesta.

Ejercicio N14:

Dos vrtices de un tringulo son A(7, 5) y B(1, 3) y su ortocentro es el punto H(1, 4).

Determine la ecuacin de la circunferencia circunscripta al tringulo.Ejercicio N15:

Determine el incentro del tringulo A(4, 3) , B(4, 1) y C(7, 5).

Ejercicio N16:

Encuentre el radio de la circunferencia inscripta en el tringulo de vrtices A(0, 0) , B(10, 0)y C(0, 10).

Ejercicio N17:

Determine la ecuacin de la circunferencia tangente a la recta 3y = 2x 8 y que pasa por los

puntos A(9, 12) y B(7, 2).Ejercicio N18:

Halle la ecuacin de la circunferencia que pasa por (2, 1) y que es tangente a las rectas:x 2y = 3, 2x + y = 5, cuntas soluciones hay?

Ejercicio N19:

Hallar la ecuacin de la circunferencia con centro en x + 2y = 0 y tangente a las rectas

3x 4y 10 = 0 y 3x 4y + 30 = 0. Cuntas soluciones hay?

Ejercicio N20:

Halle la ecuacin de la circunferencia de radio 3 5 que pasa por el punto P(1, 4) y que estangente a la recta 2x y + 6 = 0.

Ejercicio N21:

Las tangentes a la circunferencia x2 + y2 2x 8y 8 = 0 en los puntos P(2, 8), Q(5, 7) y

R(1, 1) forman un tringulo. Decida, justificando, si tal tringulo es rectngulo o no.


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Cnicas 11

Ejercicio N22:

a) Dada la cnica Q: 16x2 + 16y2 + 48x 8y 27 = 0 halle, aclarando su idea, las rectas

tangentes a Qperpendiculares a la recta r: 3x 4y + 5 = 0.

b) Decida, justificando, sr es tangente, secante o exterior a Q.

Ejercicio N23:

Decida, justificando, si la recta 2x 3y 3 = 0 es o no tangente a la cnica:x2 + y2 + 4x 4y 5 = 0.

Ejercicio N24:

Decide si las circunferencias dadas son tangentes.

x2 + y2 6x + 2y + 6 = 0 ; x2 + y2 2x + 2y = 14

Ejercicio N25:

Hallar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos de interseccin de las circunferencias:

x2 + y2 + 3x y = 0 ; 3x2 + 3y2 + 2x + y = 0

Ejercicio N26:

Halle la ecuacin de una circunferencia que pasa por el vrtice y los puntos extremos del

lado recto de la parbola x2 y = 0.

Parbola

Ejercicio N27:

Determine las coordenadas del foco de una parbola de vrtice V(6, 9) y directriz deecuacin 2x 3y + 13 = 0.

Solucin:

De acuerdo a los datos con lo que contamos, la resolucin de este ejercicio podemos

realizarla ayudndonos con la figura siguiente:

Dado que el eje de simetra esperpendicular a la directriz y pasa por el vrtice:

( )6, 9:

3 2x y k

+ =

Veje

( ) ( )3 6 2 9 0 k+ = = : 3 2 0x y+ =eje

Adems, como el vrtice es el puntomedio de los puntos Py F, obtenemos el punto Pintersectando el eje con la directriz:

: 3 2 0:: 2 3 13

x yx y

+ = =

ejePdirectriz

( )2, 3P

Y, de ( )12= +V P F , el foco es:

( ) ( ) ( )2 2 6, 9 2, 3 14, 21= = = F V P ( )14, 21F

eje s

F

directriz

V

P

p

p

Figura 8: Parbola rotada.

eje t


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Cnicas 12

Ejercicio N28:

Dada una parbola de foco F(h, k) y directriz ax + by + c = 0 demuestre que en la ecuacinde la curva los trminos cuadrticos forman un cuadrado perfecto.

Solucin:

De acuerdo a la definicin de parbola se tiene que:

( ) ( ), , dd X F d X r =

Luego,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 2

2 2

22

2 2

2 2

2 2 22 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

ax by cx h y k

a b

ax by cx h y k

a b

a b x h y k ax by c

a b x hx h y ky k a x b y c abxy acx bcy

a b x a b y a b hx ky h k a x b y c abxy acx b

+ + + =

+

+ + + = +

+ + = + +

+ + + + = + + + + +

+ + + + + + + = + + + + +cy

Trabajando con los trminos cuadrticos,

( ) ( )

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

2

a b x a b y a x b y abxy

b x a y abxy

bx ay

+ + + =

+ =

=

Por lo tanto, los trminos cuadrticos de una parbola forman un cuadrado perfecto.

Ejercicio N29:

Identifique a la cnica de ecuacin: 13(x2 + y2) = (2x + 3y 6)2 determinando las direccionesde sus ejes y su excentricidad.

Solucin:

La ecuacin dada puede trabajarse algebraicamente de la siguiente manera:

( ) ( )

( )

( ) ( )( )( ) ( )

22 2

2

2 2

22

2 2

13 2 3 6

2 3 6

13

2 3 60 0

13

, , d

x y x y

x yx y

x yx y

d X F d X r

+ = +

+ + =

+ + =

=

Es decir, la cnica es una parbola de excentricidad 1=e , foco ( )0, 0F y recta directriz: 2 3 6 0x y+ =

dr .

Las direcciones de los ejes la obtenemos haciendo uso de la Figura 8. De esta forma, el eje s(eje de simetra) lo determinamos como una recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco,as:

( )( ) ( )

0, 0: 3 0 2 0 0 : 3 2 0

3 2k x y

x y k

= = =

=

Feje s eje s


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Cnicas 13

Como el vrtice el punto medio de los puntos Py F, obtenemos el punto Pintersectando eleje s con la directriz:

( )12 1813 13: 3 2 0

: ,: 2 3 6

x y

x y

=

+ =

eje sP P

directriz

As, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 18 6 9 6 92 2 13 13 13 13 13 13, 0, 0 , , = + = + = V P F V

Finalmente, el eje t se determina como una recta paralela a la directriz que pasa por elvrtice, as:

( )( ) ( )

6 9

6 913 13

13 13

,: 2 3 3 : 2 3 3 0

2 3k x y

x y k

+ = = + =

+ =

Veje t eje t

Ejercicio N30:

Desde el punto P(3, 7) se trazan tangentes a la parbola y2 = 8x siendo T1 y T2 los puntos decontacto. Verifique en forma analtica lo siguiente:

i) Si M es el punto medio de T1 y T2, entonces la recta PM es paralela al eje de la curva.

ii) Si R y S son los puntos medios de PT1 y PT2, entonces la recta RS es tangente a la parbola

en el punto medio de RS.En base a lo anterior, cmo podra construirse una parbola conocidas dos tangentes y sus

puntos de contacto?

Solucin:

Por Regla del Desdoblamiento, dado que el punto ( )3, 7P es exterior a la parbola

2: 8y x=P , se obtiene la recta polar: 00 0: 8 4 42

x xy y x x

+ = = +

pP

r

0 0: 4 4 0 4 7 12 0x y y x x y + = + =pPr

Los puntos 1T y 2T se determinan intersectando la recta polar y la parbola:

2: 8

: 4 7 12 0

y x

x y

=

+ = pPr

P ( )11 2 , 2T ; ( )2 18, 12T

i) Se tiene que: ( ) ( )1 371 22 4 , 7= + =M T T

Recta por P y M:

Dado que tanto Pcomo M tienen la misma ordenada, la recta que pasa por dichos puntoses:

: 7y=PM

r

y el eje de la parbola tiene ecuacin: : 0y=eje

Por lo tanto : 7 : 0y y= =PMr eje

ii) Determinando los puntos medios de PT1 y PT2:

( ) ( )

( ) ( )

1 7 912 4 2

1 21 1922 2 2

,

,

= + =

= + =

R P T

S P T

Tomando el punto medio de R y S:

( ) ( )1 492 8 , 7= + =RST R S


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Cnicas 14

Verificamos si RS

T P debe satisfacer su ecuacin

( )2 498

7 8

49 49

=

=

Por lo tanto RS

T P y si aplicamos la Regla del Desdoblamiento en este punto se obtiene

una recta tangente.-

Representacin grafica

Describiremos el procedimiento para construir una parbola dadas dos tangentes PT1 y PT2,y sus puntos de contacto T1 y T2.

Procedimiento:

Se dividen los segmentos PT1 y PT2 en igual nmero de partes iguales, 5, por ejemplo;numerados los puntos de divisin en el sentido que va desde el punto de contacto a la interseccinP de las tangentes en uno de los segmentos y en el sentido que va desde P al punto de contacto enel otro segmento, se trazan rectas por los puntos marcados con el mismo numero, 11, 22, 33, , yse obtienen as otras tantas tangentes a la parbola. El punto de contacto de cada una ser el puntomedio de la porcin de tangente comprendida entre las tangentes vecinas; as, el punto medio M

de AB es el punto de contacto de la tangente 33.

P M

B

T2

T1

A


15/25

Cnicas 15

Ejercicio N31:

Una parbola tiene por foco a F(1, 5) y vrtice V(2, 2). Determine la ecuacin de la directriz ysu lado recto.

Ejercicio N32:

Una parbola tiene por directriz a la recta x + 2y 5 = 0 y por vrtice V(3, 2). Determine su

lado recto y las coordenadas del foco.Ejercicio N33:

Halle el vrtice de la parbola de foco F(4, 3) y directriz x + y 3 = 0.

Ejercicio N34:

Halle el vrtice de la parbola de foco F(3, 4) y directriz x y 3 = 0.

Ejercicio N35:

Dada la parbola de vrtice V(3, 2) y foco F(3, 6) determinar su Lado Recto y las ecuacionesde las rectas tangentes en los extremos del lado recto.

Ejercicio N36:

Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la cnica x2 + 6x + 8y + 17 = 0 en los extremosdel lado recto. Qu ngulo forman esas rectas?

Ejercicio N37:

Demuestre, justificando, que la cnica (2 x y)2 = x + y 3 es una parbola y que la rectax + y 3 = 0 es tangente a la misma. Asimismo, determine las coordenadas del punto de contacto.Sugerencia: recuerde la definicin de recta tangente.

Ejercicio N38:

Decida, justificando, si las parbolas x2 + 4y = 4 , x2 + 2y = 2x se tocan en un nico punto. Encaso afirmativo halle la ecuacin de la recta tangente comn.

Solucin:

Resolviendo la interseccin de las parbolas:2

1

22

: 4 4

: 2 2

x y

x y x

+ =

+ =

P

P

2

2

4 4

2 2

2 4 2

x y

x y x

y x

+ =

+ =

=

Luego: 2y x= , reemplazando en 1P :( )

( )

2

2

2

2

4 2 4

8 4 4

4 4 0

2 0 2

x x

x x

x x

x x

+ =

+ =

+ =

= =

Entonces: 0y=

El punto de interseccin de las parbolas es nico y es ( )2, 0P


16/25

Cnicas 16

La recta tangente comn es obtenida por regla del desdoblamiento, por ejemplo en 1P :

( )0 0 0 01

: 4 4 : 2 2 4 02

tg tgx x y y x x y y+ + = + + =r r

: 2 2 4 0 : 2 0tgP tgPx y x y+ = + =r r

La cual coincide con la recta obtenida mediante desdoblamiento en 2P :

( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 01 1: 2 2 : 1 02 2

tg tgx x y y x x x x y y x+ + = + + + =r r

( ): 2 1 0 2 0 : 2 0tgP tgPx y x y + + = + =r r

Ejercicio N39:

Determine la recta tangente a la cnica x2 + 2y = 0 que pasa por el punto Q(2, 2), cuntassoluciones hay?

Ejercicio N40:

Determine la recta tangente a la cnica x

2

= 4y que pasa por el punto P(

2,

1). Cuntassoluciones hay?

Ejercicio N41:

Determine, justificando, el punto de la parbola y2 = x ms prximo a la recta x + y = 3.Cul es el punto de la recta ms prximo a la parbola?

Elipse

Ejercicio N42:

Dada la cnica 9x2 + 4y2 18x + 6y 11 = 0. Identifquela, grafquela y halle las coordenadasdel foco, lado recto y excentricidad.

Ejercicio N43:

Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la cnica: 4x2 + y2 = 4 paralelas a la rectay = 3x.

Ejercicio N44:

La recta x y 5 = 0 es tangente a una elipse cuyos focos estn en (3, 0), determine laecuacin de dicha elipse.

Ejercicio N45:

Dado el segmento de extremos A(3, 6) y B(0, 8), determine las coordenadas del punto C

sobre la elipse 4x

2

+ 9y

2

= 72 de modo que el tringulo de vrtices A, B y C tenga rea mxima ycalcule dicha rea mxima.

Solucin: Guese por el siguiente grafico.


17/25

Cnicas 17

Sea la elipse de ecuacin 2 24 9 72x y+ = , entonces su ecuacin normal es

2 2

118 8

x y+ =

Con esta ltima expresin podremos realizar la grafica de la elipse.

Por regla del desdoblamiento en ( )0 0,C x y E se obtienen la familia de rectas tangentes a

la misma:

0

00 0

0 0

4 72: 4 9 72

9 9tgP

xx x y y y x

y y+ = = +r

La condicin para encontrar el tringulo de rea mxima es que la recta tangente seaparalela al la recta que contiene a los puntos A y B, dado que la base del tringuloABCes constante

Pendiente de la recta porAB:8 6 2

0 3 3ABm

= =

Entonces: 20 0 030

42

3 9

xy x

y = =

En la ecuacin de la elipse:

( )222

0 03

20

0 020

0 0

4 9 72

8 72

3 29

3 2

x x

x

x yx

x y

+ =

=

= = =

= =

De esta manera los posibles puntos son:( )

( )1

2

3, 2

3, 2

C

C

De los cuales, el punto mas alejado es ( )1 3, 2C .


18/25

Cnicas 18

rea del tringulo:

1

3 6 11 1

0 8 1 36 182 2

3 2 1

rea A BC

= = =

1 18 .rea A BC u de rea

=

Hiprbola

Ejercicio N46:

Determine las ecuaciones de las asntotas y la excentricidad de la cnica:

9x2 16y2 +18x + 96y + 4 = 0

Solucin:

Completando cuadrados:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

139 139

9 16

9 16 18 96 4 0

9 18 16 96 4

9 2 16 6 4

9 2 1 16 6 9 4 9 144

9 1 16 3 139

1 31

x y x y

x x y y

x x y y

x x y y

x y

x y

+ + + =

+ + =

+ + + =

+ + + = +

+ =

+ + =

De donde: 14

139a = y 13

139b = , por lo tanto 52 212

139c a b= + = .

Asntotas de la hiprbola:

Utilizando la ecuacin normal de la hiprbola podemos determinar las ecuaciones de las

asntotas de la siguiente manera:( ) ( )

2 2

139 139

9 16

1 3: 1

x y+ + =H

( ) ( )2 2

1, 2 139 139

9 16

1 3: 0

x y+ + =a

Trabajando algebraicamente con las ecuaciones:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

2 2

139 139

9 16

2 2

2 2

1 30

9 1 16 30

139 139

3 1 4 3 0

4 3 3 1 4 3 3 1 0

4 12 3 3 4 12 3 3 0

3 4 15 3 4 9 0

x y

x y

x y

y x y x

y x y x

x y x y

+ + =

+ + =

+ + =

+ + + =

+ + =

+ + =

De esta manera, las ecuaciones implcitas de las asntotas son: 1

2

: 3 4 15 0

: 3 4 9 0

x y

x y

+ =

+ =

a

a.


19/25

Cnicas 19

Excentricidad de la hiprbola:

La excentricidad se calcula como:c

ea

= , por lo tanto 53

e = .

Ejercicio N47:

Determine la excentricidad, lado recto y las ecuaciones de las directrices de la cnica:

9x

2

16y

2

+ 90x + 32y + 210 = 0Solucin:

Completando cuadrados:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1 1

9 16

9 16 90 32 210 0

9 90 16 32 210

9 10 16 2 210

9 10 25 16 2 1 210 225 16

9 5 16 1 1

5 11

x y x y

x x y y

x x y y

x x y y

x y

x y

+ + + =

+ + =

+ + + =

+ + + = +

+ =

+ + =

De donde: 14

a = y 13

b = , por lo tanto 52 212

c a b= + =

Centro de la hiprbola: ( )5, 1 5, 1h k C= =

Excentricidad de la hiprbola:

La excentricidad se calcula como:c

ea

= , por lo tanto 53

e = .

Lado recto de la hiprbola:

Esta longitud se calcula como:2

2LRb

La

= , de esta manera 8

9LRL = .

Directrices de la hiprbola:

Al ser una hiprbola vertical, las ecuaciones de las directrices responden a la expresin:2

1, 2 :a a

y k ke c

= = d

Reemplazando los valores correspondientes:

2311 2034

1,2 5 20 173 2 20

:: 1 1

:

yy

y

== =

=

dd

d

Ejercicio N48:

Determine la excentricidad y el lado recto de la cnica:

16x2 9y2 32x 90y 210 = 0

Ejercicio N49:

Halle las ecuaciones de las asntotas, la excentricidad y el lado recto de la cnica:

9x2 4 y2 + 36x 24y + 36 = 0


20/25

Cnicas 20

Ejercicio N50:

Dada la cnica de ecuacin 4x2 y2 + 8x 4y + 16 = 0. Grafquela y encuentre las ecuacionesde sus asntotas.

Ejercicio N51:

Determine la excentricidad, la grafica, y ecuaciones de las asntotas de la cnica:

3x2

4y2

+ 6x 32y 60 = 0.

Ejercicio N52:

Determine los focos, excentricidad, lado recto y directrices de la cnica:

2x2 y2 20x 4y + 50 = 0.

Ejercicio N53:

Determine el lado recto y la excentricidad de la cnica:

25x2 9y2 + 50x 36y + 214 = 0.

Ejercicio N54:

Grafica, excentricidad y lado recto de la cnica:

36x2 16y2 36x 48y + 117 = 0.

Ejercicio N55:

Dada la cnica de ecuacin 100x2 16y2 + 100x 16y + 421 = 0, determine las ecuacionesde sus asntotas, su excentricidad y uno de sus focos.

Ejercicio N56:

Determine las distancias desde unos de los focos a las asntotas, para la hiprbola deecuacin:

3x2 4y2 + 3x + 16y 18 = 0.

Ejercicio N57:

a) Dada la cnica x2 = y2 + 2x demuestre que el producto de las distancias de uno cualquierade sus puntos a las asntotas es una constante y determine el valor de dicha constante. (Considerela curva dada!)

b) Calcule la excentricidad de la cnica anterior.

Ejercicio N58:

Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hiprbola 6x2 4y2 + 1 = 0 que sea paralela a larecta 3x 10y 9 = 0.

Ejercicio N59:

Dos tangentes a la cnica 3x2 2y2 + 6 = 0 se cortan en el punto M(1, 0) Cules son lospuntos de tangencia?

Ejercicio N60:

Dos tangentes a la cnica 2x2 3y2 6 = 0 se cortan en A(0, 1) Cules son los puntos detangencia?.


21/25

Cnicas 21

Ecuacin General de Segundo Grado. Cnicas degeneradas.

Ejercicio N61:

Completando cuadrados, demuestre que los polinomios siguientes son reducibles:

i)P(x, y) = x2 2xy 3y2 + 2x 2y + 1 ,

ii)Q(x, y) = x2 3xy + 2y2 + x y .

Solucin:i) Si completamos cuadrados en primer lugar con respecto dexy luego de y, tenemos:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

construimos el trinomio cuadra

agrupamos todos

do perfecto resp

los trmino, 2 3 2 2 1

2 2 3 2 1

2 1 3 2 1

1 1 3

s que depend

. de

en d

1

1

2

e

P x y x xy y x y

x xy x y y

x x y y y

x y y y

x

y y

x

= + + =

= + + =

= + + + + =

= + + +

+

+

( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

2 2 2

2 2 2

2 2

2 22 2

operando

completamos cuadrados respecto de

diferencia de

1

1 2 1 3 2 1

1 2 1 3 2 1

1 4

1 2

1

cua

2 1 2

1 3 1

drados:

y

y

x y y y y y

x y y y y

a

y

x y y

x y y

x y y x y y

b a

x y

b a b

x y

+ =

= + + + =

= + + + =

= + == + =

= + + + =

= +

= +

+ +

( ) ( )( )2 2, 2 3 2 2 1 1 3 1P x y x xy y x y x y x y = + + = + + + con lo que se tiene que el

polinomio ( ),P x y se redujo al producto de dos factores lineales.

ii) Si completamos cuadrados en primer lugar con respecto dexy luego de y, tenemos:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 23 1 3 1

2 2

2 2

2 2

3 12 2

2 2

2 23 1 3 1

2 2

2

2

2

2

agrupamos todos los trminos que dependen de

construimos el tri

, 3 2

3 2 nomio cuadrado perfecto resp.

2 2

e

2

d

Q x y x xy x

x

y x y

x xy x y y

x x

x

yy y y

y y

y

= + + =

= + + =

= + + + + =

= + +

+

+

+

+

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2

23 1 9 3 12 2

2 2 4 2 4

23 1 9 3 12 2

2 2 4 2 4

23 1 1 1 12

2 2 4 2 4

23 1 1 12

2 2 4 4

23 1 1 12

2 2 4 4

2 23 1 1

2 2 4

operando


2

2

2

2 1 1

1

1

y y

x y y y y y

x y y y y y

x y y y

x y y y

x y y y

x y y

y

=

= + + + =

= + + + =

= + + =

= + =

= + + =

= +

( ) ( )

1

4

2 23 1 1 1 1

2 2 4 4 41x y y

=

= + + =


22/25

Cnicas 22

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )( )( )

2 23 1 1

2 2 4

2 23 1 1 1

2 2 2 2

3 1 1 1 3 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

diferencia de cuadrado

1

2 1

s:

x y y

x y y

x y y x y y

x y x

a b a b a b

y

= + =

= + =

= + +

= +

+ + =

= +

( ) ( )( )2 2

, 3 2 2 1Q x y x xy y x y x y x y = + + = + con lo que se tiene que el polinomio( ),Q x y se redujo al producto de dos factores lineales.

Ejercicio N62:

Grafique la cnica de ecuacin: 4x2 + 4xy + y2 16x 8y + 16 = 0. (sea creativo!)

Solucin:

Mtodo I

Si completamos cuadrados con respecto dex, tenemos:

( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

4 4 16 8 16 0

4 4 16 8 16 0

4 2 2 8 8 16 0

2 2 2 4 8 16 0

2 2 2 4 4 4 8 16 0

2 4 8 16 8 16 0

2 4 0

x xy y x y

x xy x y y

x xy x y y

x x y y y

x x y y y y y

x y y y y y

x y

+ + + =

+ + + =

+ + + =

+ + + =

+ + + + =

+ + + + =

+ =

Observacin importante: En este ejercicio no fue necesario, luego de completar cuadradosrespecto dex, hacerlo respecto de y.

( ) ( )( )22 24 4 16 8 16 2 4 2 4 2 4 0x xy y x y x y x y x y+ + + = + = + + =

De esta manera, la ecuacin se redujo al producto de dos factores lineales iguales, es decir,a un par de rectas coincidentes.

Anlogamente, si completamos cuadrados con respecto de y, tenemos:

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2 22 2

2 2 2

2

4 4 16 8 16 0

4 8 4 16 16 0

2 2 4 4 16 16 0

2 2 4 4 16 16 0

2 2 4 2 4 2 4 4 16 16 0

2 4 4 16 16 4 16 16 0

2 4 0

x xy y x y

y xy y x x

y xy y x x

y y x x x

y y x x x x x

y x x x x x

y x

+ + + =

+ + + =

+ + + =

+ + + =

+ + + + =

+ + + + =

+ =

Aclaracin: este procedimiento es aplicable cuando la cnica es degenerada. Recordemos

que los casos degenerados se presentan cuando el invariante cbico () de una ecuacin general desegundo grado en dos variables es nulo.


23/25

Cnicas 23

Mtodo II

Dada la ecuacin2 24 4 16 8 16 0x xy y x y+ + + =

Observamos que los trminos de segundo grado de la ecuacin 2 24 4x xy y+ + , forman un

trinomio cuadrado perfecto, es decir, ( ) ( )2 22 24 4 2 2x xy y x y x y+ + = + = + , y que los trminos

lineales pueden factorizarse de la siguiente manera: ( )16 8 8 2x y x y = + , por la cual, la ecuacinpuede escribirse:

( ) ( )2

2 8 2 16 0x y x y+ + + =

Realizando un cambio de variable: 2u x y= + se tiene

( )

2

2

8 16 0

4 0

u u

u

+ =

=

Retornando a la variable original

( )2

2 4 0x y+ =

As:

( )22 24 4 16 8 16 2 4 0x xy y x y x y+ + + = + =

Aclaracin: este ltimo mtodo es utilizado cuando la cnica degenerada es tipo parablica,en cuyo caso esta se degenera en un par de rectas paralelas o bien coincidentes.

Representacin grafica

Ejercicio N63:

a) Mostrar que la cnica 4x2 + 4xy + y2 25 = 0 se reduce a un par de rectas paralelas,determinando sus ecuaciones.

b) Halle las ecuaciones de las circunferencias tangentes a las rectas anteriores y que pasanpor el origen cuntas soluciones hay?


24/25

Cnicas 24

Ejercicio N64:

Grfica de la cnica:

2x2 + 3xy + y2 2x y = 0

Solucin:

=

3

2

3

2

2

1

1

40= < tipo hiprbola;

3

2

1322

1

2

2 1

1 0

1 0

= =

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

3 12 22 23 1

2 2

23 1 9 3 1

3 1

2 2 2 2

2 2

2 2 4 2 4

agrupamos todos los trminos que dependen de

construimos el trinomio cuadrado perfecto resp.

2 3 2 0

3 2 2 0

2 2 2

de

0

2

2

x xy y x y

y xy y x x

y y x x x

y

x x

y

y

x x x x x

+ + =

+

+

+ =

+ + =

+ + +

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

23 1 9 3 12 2

2 2 4 2 4

23 1 1 1 12

2 2 4 2 4

23 1 1 2

2 2 4

2

2 2

23 1 1

2 2 4

2 23 1 1 1

2 2 2 2

3 1

2

operando


diferencia de cuadrados:

0

2 2 0

0

2 1 0

1 0

0

y x x x x x

y x x x

y x x x

y x x

y x x

y

x

b a b

x

a b a

=

+ + + =

+ =

+ + + =

+ + =

+ + =

+

+

=

( )( )

( )( )

1 1 3 1 1 1

2 2 2 2 2 2 20

2 1 0 0 0

x y x x

y x y x a b a b

+ + + =

+ + = ==

Par de rectas: 1

2

: 2 0

: 1 0

y x

y x

+ =

+ =

r

r

hiprbola degenerada (par de rectas secantes)

completamos cuadrados


25/25

Ejercicio N65:

Grafiqu la cnica de ecuacin: 3x2 4xy + y2 + 4y 12 = 0.

Ejercicio N66:

Determine las ecuaciones del par de rectas dadas por la ecuacin (y verifique):

4 x2 + 20 xy + 21 y2 4 x 14y = 0

Cules son las coordenadas del punto en comn a las dos rectas?

Ecuacin General de Segundo Grado. Cnicas rotadas.

Ejercicio N67: (Parbola rotada)

Identifique y grafique la cnica de ecuacin: 9x2 + 24xy + 16y2 + 80x 60y = 0.

Ejercicio N68: (Elipse rotada)

Grafica, excentricidad y lado recto de la cnica:

5x2 8xy + 5y2 = 9

Ejercicio N69: (Hiprbola rotada)

Grafica la cnica: 3xy + 6y 4x 12 = 0, por qu se dice equiltera?

Ejercicio N70: (Hiprbola rotada)

a) Aplicando la definicin de recta tangente, deduzca la Regla de desdoblamiento para lahiprbola de ecuacin: xy = k.

b) Halle la ecuacin de la recta tangente a xy = 6 en (2, 3) con graficas de la curva y sutangente.

Cabezas, Fernando Francisco

Consultas:[email protected]

02_ejercicios_conicas

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