Matemticas DiscretasLgica Matemtica

Ngj/v200812.1 Lgica proposicional

OBJETIVOS

Lgica Matemtica

UnidadTemaSubtemaObjetivos

II Lgica Matemtica

2.1 Lgica Proposicional

2.2 Lgica de Predicados

2.3 Mtodos de Demostracin

El establecimiento de cualquier teora o concepto se hace mediante declaraciones y/o afirmaciones llamadas enunciados o proposiciones que tienen un valor de verdad o falsedad pero no ambos.Conocer y manejar estas proposiciones es el objetivo de este tema. Para ello se definen dos principales conceptos: proposicin y conectivo.Conocer, entender y aplicar los conceptos de: Lenguaje proposicional: Proposicin primitiva Proposicin compuesta Conectivo lgico:o Conjuncin o Disyuncin o Implicacin o Bicondicin o Tautologao Contradiccino Contingenciao Equivalencia lgica

En muchas ocasiones es necesario conocer si dos situaciones son iguales o equivalentes.En matemticas necesitamos saber cuando dos entidades son iguales o esencialmente lo mismo.En la lgica matemtica se conoce como el lgebra de lasproposiciones en donde por medio de equivalencias se establece cuando dos proposiciones son esencialmente la mismaEs objetivo de este tema conocer las leyes de la lgica para poderestablecer equivalencias.Conocer, entender y aprender las siguientes leyes de la lgica: Semntica de lgica proposicional: Ley de la doble negacin Leyes de Morgan Leyes Conmutativas Leyes asociativas Leyes distributivas

Leyes idempotencia Leyes de neutro Leyes de dominacin Leyes inversaLeyes de absorcin

Para analizar la demostracin de teoremas dentro de las matemticas discretas se estudia el concepto de argumento y de cundo un argumento es vlido.Conocer, entender y aprender las reglas de inferencia de: ImplicacinRegla de Separacin: Modus PonensMtodo de negacin: Modus Tollens Ley del silogismo:Implicacin lgica Regla de conjuncin Regla de contradiccin Regla de amplificacinMtodos de demostracinMtodo del absurdo

2 Lgica matemtica

INTRODUCCIN

Lgica es el estudio del razonamiento; se refiere especficamente a si el razonamiento es correcto. La lgica se centra en la relacin entre las afirmaciones y no en el contenido de una afirmacin en particular.Los mtodos lgicos se usan en matemticas para demostrar teoremas y enlas ciencias de la computacin, para probar que los programas ejecutan lo que deben de hacer. [Johnsonbaugh, 1]El lenguaje natural es un instrumento de comunicacin humana, que se caracteriza por su gran flexibilidad y puede estar lleno de redundancias y ambigedades. Estas caractersticas hacen que la lgica formal no est interesada en el lenguaje natural.La lgica pretende ser una ciencia rigurosa y universal que permita realizar clculos exactos. Para ello, la lgica requiere el diseo de un lenguaje artificial que sea formal, donde lo que importe sea la forma o aspecto externo, y no el significado de las frases y donde slo los mensajes que cumplan rigurosamente las normas sintcticas sean aceptados como correctos.La lgica se ocupa bsicamente de declaraciones o enunciados que secaracterizan porque sus afirmaciones tienen un valor de verdad. Esto es, la lgica trata a las proposiciones que se pueden definir como enunciados simples, ya sean falsos o verdaderos, son proposiciones.La lgica formal es una ciencia que estudia el conocimiento que genera unconocimiento y este conocimiento puede producirse de dos formas, por constatacin, de hechos o ideas o por deduccin, a partir de un conocimiento se obtiene otro conocimiento. Esto es, la lgica formal estudia la deduccin o razonamiento como proceso mental capaz de generar nuevos elementos de conocimiento a partir de otros.Finalmente, la lgica formal es una ciencia. Una ciencia formal. Es el estudio del razonamiento formalmente vlido, es la ciencia de la inferencia deductiva. La principal aportacin que la lgica hace a las ciencias est en la ordenacin, estructuracin y anlisis de las verdades conocidas. . [Arenas, 3]

2.1 Lgica proposicional2.1.1 Lenguaje formal de la lgica proposicional(sintaxis)El lenguaje formal de la lgica proposicional est formado por dos elementos: proposiciones y conectivos.Proposiciones Proposicin o enunciado: oracin declarativa que es verdadera o falsa pero no ambas [Grimaldi, 51] Proposiciones, frases declarativas simples: son la mnima unidad del lenguaje con contenido de informacin sobre la que es posible enunciarse con unverdadero o con un falso como valor de verdad. [Arenas, 5]Las proposiciones se representan con letras minsculas a partir de la p : p, q, r, s, t, u, vLas proposiciones pueden ser de tres tipos: Proposiciones de accin con sujeto no determinado:o Hace caloro Es jueves Proposiciones de atribucin de propiedades a sujetos determinados:o Alberto estudia ingeniera o Beatriz vive en Cuernavaca o Carlos naci en Mxico Proposiciones de relacin:o Alberto es primo de Beatrizo Cuernavaca es la capital del estado de Moreloso Para ir a Monterrey por carretera se pasa por los estados deDistrito Federal, Quertaro, Estado de Mxico, Guanajuato, SanLuis Potos y Coahuila.No son proposiciones aquellas declaraciones de tipo interrogativo e imperativo:o Habla usted ingls?o Cierra la ventana Por favor, apaga la luz

Pueden serFALSAS:F o 0VERDADERAS:V o 1Las proposiciones son oraciones declarativas

Valor de verdad

Proposicin primitiva: no se puede descomponer [Grimaldi, 52].

Conectivos: son los elementos del lenguaje que permiten construir frases nuevas a partir de las existentes obteniendo nuevos significados. [Arenas, 5]

Conectivos

conectivoSmbolo lgicoExpresin en lenguaje naturalEjemplos

Negacin pNo pNo ocurre que p No es cierto que p Es falso que pHoy no hace calor No llegar tarde Eso no es verdad

Conjuncin(y)p qp y qp aunque qp pero qp sin embargo q p no obstante q p a pesar de qVamos al cine y a cenar tambinLuis trabaja aunque estudia de nocheLlegu a tiempo no obstante haber salido tarde

Disyuncin(0)p qp o q o ambosO bien p o bien q Al menos p o q Como mnimo p o qO vamos al cine o vamos a cenarO me saco un 7 o me saco un 8

Condicional implicacinp qsi p entonces qslo si q entonces p p es suficiente para q q es necesaria para p No p a menos que qSi saco 8 entonces mi promedio aprobatorio Si saco 8 en el parcial tendr el promedio aprobadoPara tener el promedioaprobado debe de sacar 8

Bicondicional doble implicacinp qp si y solo si qp necesario y suficiente para qVoy de vacaciones si y solo si apruebo todas mis materias

Proposicin compuesta: combinacin de proposiciones por medio de conectivos lgicos [Kolmar, 47].

Equivalencia entre conectivos13:1. Implicacin disyuncin:

p q

es equivalente a p q . Ejemplo: sillueve entonces me mojo, es equivalente a decir, o no llueve o me mojo.2. Implicacin conjuncin:

p q

es equivalente a ( p q ). Ejemplo: sillueve entonces me mojo, es equivalente a decir, no ocurre que llueva y no me moje.3. Disyuncin conjuncin: p q

es equivalente a ( p q).4. Bicondicional implicacin:

p q

es equivalente a ( p q ) (q p)

SintaxisDefinicin formal del lenguaje proposicional

La definicin formal de un lenguaje requiere la especificacin de su alfabeto y de sus reglas de sintaxis14.1. Alfabeto: los smbolos que se utilizan sona. Smbolos de proposiciones:

p, q, r, s, t, u, vb. Smbolos de conectivos: , , , , c. Smbolos de parntesis: { [ ( ) ] }2. Reglas de sintaxis:1 Las frmulas bien construidas (fbc) del lenguaje proposicional se definen de la siguiente manera:a. Las letras

p, q, r, s, t, u, v son fbcb. Si p y q son fbc tambin lo son p y qc. Slo son fbc las que se obtienen de las definiciones anteriores(a y b)2 Para la correcta relacin entre proposiciones y conectivos las fbc:a. No deben aparecer dos conectivos adyacentes, excepto en la negacin.b. Es preciso definir la relacin conectivo-proposicin cuando hay ms de un conectivo en la frmula: Un conectivo pertenece a la proposicin inmediata o al conjunto de proposiciones encerradas en un parntesis, corchete o llaves. Para evitar exceso de parntesis, se define una jerarqua de prioridades entre conectivos:o Nivel 1 : negacino Nivel 2: conjuncin y disyuncino Nivel 3: implicacin y bicondicional

13 En el tema demostracin de equivalencias se demostrar las siguientes equivalencias14 Sintaxis son las reglas que define cualquier lenguaje.

2.1.2 Semntica de lgica proposicionalUn sistema de frmulas y razonamientos vlidos se construye a partir del significado (verdadero o falso) de las proposiciones compuestas, esto es, a partir de la forma de dar un valor al contenido de la informacin de cada proposicin. Se llama semntico15 al mtodo de demostracin de los valores del significado de una proposicin compuesta.La forma en cada conectivo genera los valores de una proposicin compuesta es por medio de una tabla de verdad en donde se definen todas las combinaciones posibles de los valores que pueden tener el conjunto de proposiciones simples que hacen una proposicin compuesta.Clculo proposicionalTablas de verdad de conectivos

15 Semntica define el significado de los signos de un lenguaje.

p p0110En resumen:

pqp qp qp qp qp q

0000011

0101110

1001100

1111011

Tautologa, contradiccin y contingencia

TAUTOLOGA

T0 : Cuando una proposicin compuesta es verdaderapara todos los valores de verdad. CONTRADICCIN

Fo : Cuando una proposicin compuesta es falsa paratodos los valores de verdad. CONTINGENCIA: Proposicin que puede ser falsa o verdadera dependiendo de los valores de verdad.Ejemplos:

p (p q)pqp qp (p q)0001011110111111

Tautologa

p ( p q)pq p p qp ( p q)00100011101000011000

Contradiccin

p ( p q )pq q( p q )p ( p q )00100010001011111001

Contingencia

Equivalencias lgicas

Proposicin equivalente: Cuando todos los valores son siempre verdadero o falso.

Ejemplo:

p q

p q

pq pp q p q

00110101110011011101

equivalentes

p q

( p q )

( q p )

pqp qq p(p q) (q p )p q

001101011101101110011001

equivalentes

Dos proposiciones S1 y S2 son lgicamente equivalentes (se escribe S1 S2 )cuando la proposicin S1 es verdadera (respectivamente falsa) si y solo si la proposicin S2 es verdadera (respectivamente falsa).

Leyes de la lgica

1 ( p) pLey de la doble negacin

2 ( p q ) p q ( p q ) p qLeyes de Morgan

3p q q pp q q pLeyes conmutativas

4p ( q r ) ( p q ) rp ( q r ) ( p q ) rLeyes asociativas

5p ( q r ) ( p q ) ( p r )p ( q r ) ( p q ) ( p r )Leyes distributivas

6p p pp p pLeyes dem potentes

7p F0 pp T0 pLeyes de neutro

8p T0 T0p F0 F0Leyes de dominacin

9p p T0p p F0Leyes inversa

10p ( p q ) pp ( p q ) pLeyes de absorcin

11p q p q

12p q ( p q ) ( q p )

Reglas de sustitucin1) Si P (una proposicin compuesta) es una tautologa y p (una proposicin primitiva) aparece en P. Si p se reemplaza por otra proposicin q y resulta P1 entonces P1 tambin es una tautologa.Ejemplo:P: p q

p

q es una tautologaReemplazar p por r sP1 : [

(r s )

q]

[ (r s )

q]

tambin es una tautologa

2) Sea P una proposicin compuesta donde p es una proposicin arbitraria que aparece en P, y sea q una proposicin tal que q p. Si se reemplaza p por q resulta la proposicin P1 . Entonces P1 P.Ejemplo:P: ( p

F0 )

F0Si p se reemplaza por (q r ) sP1: [

[ (q r ) s]

F0 ]

F0

Aplicacin:

[ (r s ) [si p r sy q t u

(r s ) ( t u )

] ] ( t u )[ p (p q)

] q

pqp qp (p q)[ p (p q ) ] q

00110101110100011111

NAND ()

Otras equivalencias(p q )

( p q )se lee como: p nand q.

Tabla de verdad

NANDpqp qp q

001010000111

NOR ()

(p q )

( p q )se lee como: p nor q.

Tabla de verdad

pqp qp q

0001

0110

1010

1110