02 matematicas - algebra

MATEMÁTICAS

Algebra

Algebra – Indice

1.Polinomios.

1.1. Expresiones algebraicas1.2. Monomios1.3. Operaciones con monomios1.4. Polinomios1.5. Suma de polinomios1.6. Producto de polinomios1.7. Cociente de polinomios1.8. Regla de Ruffini1.9. Identidades notables1.10. Teorema del resto1.11. Teorema del factor1.12. Factorización de un polinomio1.13. Fracciones algebraicas1.14. Reducción de fracciones algebraicas a común denominador1.15. Suma fracciones algebraicas1.16. Producto de fracciones algebraicas1.17. Cociente de fracciones algebraicas1.18. Resumen1.19. Esquema1.20. Ejercicios de polinomios1.21. Ejercicios identidades notables1.22. Ejercicios de factorización1.23. Ejercicios de fracciones algebraicas

2. Ecuaciones de primer grado.

2.1. Ecuaciones2.2. Ecuaciones equivalentes2.3. Resolución de ecuaciones de primer grado2.4. Problemas2.5. Problemas de relojes2.6. Problemas de móviles2.7. Problemas de grifos2.8. Problemas de mezclas2.9. Problemas de aleaciones2.10. Problemas geométricos2.11. Resumen2.12. Ejercicios2.13. Problemas 12.14. Problemas 2

3.Sistemas de ecuaciones.

3.1. Sistemas de ecuaciones3.2. Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones3.3. Método de sustitución3.4. Método de igualación3.5. Método de reducción3.6. Clasificación de sistemas de ecuaciones3.7. Resumen3.8. Ejercicios de sistemas3.9. Problemas de sistemas3.10. Ejercicios de sistemas por sustitución3.11. Ejercicios de sistemas por igualación3.12. Ejercicios de sistemas por reducción

4.Ecuaciones de 2º grado y sistemas de ecuaciones.

Algebra – Indice

4.1. Ecuaciones de 2º grado4.2. Ecuaciones de segundo grado incompletas4.3. Estudio de las soluciones de la ecuación de 2º grado4.4. Propiedades de las soluciones de la ecuación de 2º grado4.5. Factorización de un trinomio de segundo grado4.6. Ecuaciones racionales4.7. Ecuaciones bicuadradas4.8. Ecuaciones irraacionales4.9. Ecuaciones de grado superior a dos4.10. Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas4.11. Sistemas de ecuaciones no lineales4.12. Resumen4.13. Ejercicios de ecuaciones de segundo grado4.14. Ejercicios de ecuaciones de segundo grado incompletas4.15. Ejercicios de ecuaciones bicuadradas4.16. Ejercicios de ecuaciones racionales4.17. Ejercicios de ecuaciones irracionales4.18. Ejercicios de ecuaciones de grado superior a dos4.19. Ejercicios de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Método de Gauss4.20. Ejercicios de sistemas de ecuaciones no lineales4.21. Problemas de ecuaciones de segundo grado

5.Ecuaciones exponenciales y logaritmicas.

5.1. Ecuaciones exponenciales5.2. Sistemas de ecuaciones exponenciales5.3. Logaritmos5.4. Propiedades de los logaritmos5.5. Ecuaciones logaritmicas5.6. Sistemas de ecuaciones logarítmicas5.7. Ejercicios de logaritmos5.8. Ejercicios de ecuaciones y sistemas5.9. Ejercicios de ecuaciones exponenciales5.10. Ejercicios de ecuaciones logarítmicas5.11. Ejercicios de sistemas de ecuaciones exponenciales5.12. Ejercicios de sistemas de ecuaciones logarítmicas

6.Inecuaciones.

6.1. Inecuaciones de primer grado6.2. Inecuaciones equivalentes6.3. Inecuaciones de primer grado6.4. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas6.5. Inecuaciones de 2º grado6.6. Sistemas de inecuaciones con una incógnita6.7. Sistemas de inecuaciones con dos incónitas6.8. Resumen6.9. Ejercicios 16.10. Ejercicios 26.11. Ejercicios de inecuaciones de primer grado6.12. Ejercicios de inecuaciones de segundo grado6.13. Ejercicios de inecuaciones racionales6.14. Ejercicios de sistemas de inecuaciones

Algebra – 1. Polinomios

1. Polinomios.

1.1. Expresiones algebraicas.

Trabajar en álgebra consiste en manejarrelaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras .Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia: L = 2 r, donde r es el radio de la circunferencia.Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.

Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número: 2xEl triple de un número: 3xEl cuádruplo de un número: 4xLa mitad de un número: x/2.Un tercio de un número: x/3.Un cuarto de un número: x/4.Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..Un número al cuadrado: x2

Un número al cubo: x3

Dos números consecutivos: x y x + 1.Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y2x + 3.Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.La suma de dos números es 24: x y 24 − x.La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.El producto de dos números es 24: x y 24/x.El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.

Valor numérico de una expresión algebraica

El valor númerico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.

L(r) = 2 r

r = 5 cm. L (5)= 2 · · 5 = 10 cmS(l) = l2

l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm2

V(a) = a3

a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3

Tipos de expresiones algebraicas

Monomio

Un monomio es una expresión algebraicaformada por un solo término.

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Binomio

Un binomio es una expresión algebraicaformada por dos términos.

Trinomio

Un trinomio es una expresión algebraicaformada por tres términos.

Polinomio

Un polinomio es una expresión algebraicaformada por más de un término.

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1.2. Monomios.

Un monomio es una expresión algebraica en la que

las únicas operaciones que aparecen entre las variables

son el producto y la potencia de exponente natural .

2x2 y3 z

Partes de un monomio

Coeficiente

El coeficiente del monomio es el número que

aparece multiplicando a las variables.

Parte literal

La parte literal está constituida por las letras y sus

exponentes.

Grado

El grado de un monomio es la suma de todos los

exponentes de las letras o variables.

El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6

Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes cuando tienen la

misma parte literal.

2x2 y3 z es semejante a 5x 2 y3 z

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1.3. Operaciones con monomios.

Suma de monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes .

La suma de los monomios es otro monomio que

tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la

suma de los coeficientes.

axn + bxn = (a + b)xn

2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z

Si los monomios no son semejantes se obtiene un

polinomio .

2x2 y3 + 3x2 y3 z

Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es

otro monomio semejante cuyo coeficiente es elproducto

del coeficiente de monomio por el número .

5 · (2x2 y3 z) = 10x2 y3 z

Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otromonomio que

tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y

cuya parte literal se obtiene multiplicando las

potencias que tenga la misma base.

axn · bxm = (a · b)xn + m

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(5x2 y3 z) · (2 y2 z2) = 10 x2 y5 z3

División de monomios

Sólo se pueden dividir monomios con la misma

parte literal y con el grado del dividendo mayor o

igual que el grado de la variable correspondiente del

divisor .

La división de monomios es otro monomio que

tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y

cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias

que tenga la misma base.

axn : bxm = (a : b)xn − m

Si el grado del divisor es mayor , obtenemos una

fracción algebraica .

Potencia de un monomio

Para realizar la potencia de un monomio se eleva,

cada elemento de éste, al exponente de la potencia.

(axn)m = am · xn · m

(2x3)3 = 23 · (x3)3 = 8x9

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(−3x2)3 = (−3)3 · (x2)3 = −27x6

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1.4. Polinomios.

Un polinomio es una expresión algebraica de la

forma:

P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... +

a1x1 + a0

Siendo an, an -1 ... a1 , ao números,

l lamadoscoeficientes .

n un número natural.

x la variable o indeterminada.

an es el coeficiente principal.

ao es el término independiente.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor

exponente al que se encuentra elevada la variablex.

Clasificación de un polinomio según su grado

Primer grado

P(x) = 3x + 2

Segundo grado

P(x) = 2x2 + 3x + 2

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Tercer grado

P(x) = x3 − 2x2+ 3x + 2

Tipos de polinomios

Polinomio nulo

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes

nulos.

Polinomio homogéneo

Es aquel polinomio en el todos sus términos o

monomios son del mismo grado .

P(x) = 2x2 + 3xy

Polinomio heterogéneo

Es aquel polinomio en el que sus términos no son

del miso grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 - 3

Polinomio completo

Es aquel polinomio que tiene todos los términos

desde el término independiente hasta el término de mayor

grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3

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Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomiosque lo

forman están escritos de mayor a menor grado .

P(x) = 2x3 + 5x - 3

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

1Los dos polinomios t ienen el mismo grado .

2Los coeficientes de los términos del mismo grado

son iguales .

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x − 3 + 2x 3

Polinomios semejantes

Dos polinomios son semejantes si verifican quetienen

la misma parte literal.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x3 − 2x − 7

Valor numérico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable

x por un número cualquiera.

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P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1

P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 - 3 = 4

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1.5. Suma de Polinomios.

Para sumar dos polinomios se suman los

coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x 3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x 2+

2x3

1. Ordenamos los polinomios , si no lo están.

Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)

2. Agrupamos los monomios del mismo grado .

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

3. Sumamos los monomios semejantes .

P(x) + Q(x) = 4x3 − 3x2 + 9x − 3

También podemos sumar polinomios escribiendo uno

debajo del otro, de forma que los monomios semejantes

queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 Q(x) = 6x 3 +

8x +3

P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5

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Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar el

opuesto del sustraendo .

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2− 4x

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

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1.6. Multiplicación de Polinomios.

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismodel

polinomio y como coeficientes el producto de los

coeficientes del polinomio por el número .

3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de

los monomios que forman el polinomio .

3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x 5 − 9x4 + 12x3 −

6x2

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x 3 − 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio

por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =

= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

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Se obtiene otro polinomio cuyo grado es lasuma de

los grados de los polinomios que semultiplican .

También podemos multiplicar polinomios de siguiente

modo:

Ejercicio

Efectuar de dos modos distintos lamultiplicación de

los polinomios :

P(x) = 3x4 + 5x3 − 2x + 3 y Q(x) = 2x 2 − x + 3

P(x) · Q(x) = (3x 4 + 5x3 − 2x + 3) · (2x 2− x + 3)

=

= 6x6 − 3x5 + 9x4 + 10x5 − 5x4 + 15x3−

− 4x3 + 2x2 − 6x + 6x2 − 3x + 9 =

= 6x6 + 7x5 + 4x4 + 11x3 + 8x2 − 9x + 9

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1.7. División de Polinomios.

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x 5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x

+ 1

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo . Si el

polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares

que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una

caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre

el primer monomio del divisor.

x5 : x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor

por el resultado anterior y lo restamos del polinomio

dividendo:

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Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo

entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo

multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes.

5x3 : x2 = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 : x2 = 8

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10x − 6 es el resto , porque su grado es menor

que el del divisor y por tanto no se puede continuar

dividiendo.

x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente .

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1.8. Regla de Ruffini.

Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático

italiano, que estableción un método más breve para hacer

la división de polinomios , cuando el divisor es un

binomio de la forma x — a .

Regla de Ruffini

Para explicar los pasos a aplicar en la regla de

Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división:

(x4 − 3x2 + 2 ) : (x − 3)

1Si el polinomio no es completo, lo completamos

añadiendo los términos que faltan con ceros.

2Colocamos los coeficientes del dividendo en una

línea.

3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del

término independendiente del divisor.

4Trazamos una raya y bajamos el primer

coeficiente.

5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo

colocamos debajo del siguiente término.

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6Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8El último número obtenido , 56 , es el resto .

9El cociente es un polinomio de grado inferior

en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son

los que hemos obtenido.

x3 + 3 x2 + 6x +18

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Ejemplo

Dividir por la regla de Ruffini:

(x5 − 32) : (x − 2)

C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16

R = 0

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1.9. Identidades notables.

Binomio al cuadrado

(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b 2

(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 32 = x 2 + 6 x + 9

(2x − 3) 2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2− 12 x

+ 9

Suma por diferencia

(a + b) · (a − b) = a 2 − b2

(2x + 5) · (2x - 5) = (2x) 2 − 52 = 4x2 − 25

Binomio al cubo

(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2± b3

(x + 3)3 = x3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x · 32 + 33 =

= x 3 + 9x2 + 27x + 27

(2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x) 2 ·3 + 3 · 2x · 3 2 − 33

=

= 8x 3 − 36x2 + 54x − 27

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Trinomio al cuadrado

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 ·

a · c + 2 · b · c

(x2 − x + 1)2 =

= (x2)2 + (−x)2 + 12 + 2 · x2 · (−x) + 2 x 2 · 1 +

2 · (−x) · 1=

= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x=

= x4− 2x3 + 3x2 − 2x + 1

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

8x3 + 27 = (2x + 3) (4x 2 − 6x + 9)

Diferencia de cubos

a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

8x3 − 27 = (2x − 3) (4x 2 + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término

común

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

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= x2 + (2 + 3) · x + 2 · 3 =

= x2 + 5x + 6

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1.10. Teorema del resto.

Teorema del resto

El resto de la división de un polinomio P(x),

entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor

numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

Calcular por el teorema del resto el resto de la

división:

P(x) : Q(x)

P(x)= x4 − 3x2 + 2 Q(x) = x − 3

P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 =56

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1.11. Teorema del factor.

Teorema del factor

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio

de la forma (x − a) si y sólo si P(x = a) = 0.

Al valor x = a se le l lama raíz o cero de P(x).

Raíces de un polinomio

Son los valores que anulan el polinomio.

Calcular las raíces del polinomio:

P(x) = x2 − 5x + 6

P(2) = 22 − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0

P(3) = 32 − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0

x = 2 y x = 3 son raíces o ceros del polinomio :

P(x) = x2 − 5x + 6, porque P(2) = 0 y P(3) = 0.

Propiedades de las raíces y factores de un

polinomio

1. Los ceros o raíces enteras de un polinomio

son divisores del término independiente del

polinomio.

2. A cada raíz del tipo x = a le corresponde un

binomio del tipo (x − a).

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3. Podemos expresar un polinomio en factores al

escribirlo como producto de todos los binomios del

tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x =

a, que se obtengan.

x2 − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)

4. La suma de los exponentes de los binomios

ha de ser igual al grado del polinomio.

5. Todo polinomio que no tenga término

independiente admite como raíz x = 0, ó lo que es

lo mismo, admite como factor x.

x2 + x = x · (x + 1)

Raíces: x = 0 y x = − 1

6. Un polinomio se llama irreducible o primo

cuando no puede descomponerse en factores.

P(x) = x2 + x + 1

Hallar las raíces y descomponer en factores el

polinomio:

Q(x) = x2 − x − 6

Los divisores del término independiente son: ±1, ±2,

±3.

Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0

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Q(3) = 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0Las raíces son: x = -2 y x = 3.Q(x) = (x + 2) · (x − 3)

1.12. Factorización de un polinomio.

Métodos para factorizar un polinomio

Sacar factor común

Consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Descomponer en factores sacando factor común y

hallar las raíces

1 x3 + x2 = x2 (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = −1

2 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)

Sólo tiene una raíz X = 0; ya que el polinomio, x 2 +

2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al

estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo,

por tanto es irreducible.

3 x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a)

= (x − a) · (x − b)

La raíces son x = a y x = b.

Igualdad notable

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Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por

diferencia.

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

Descomponer en factores y hallar las raíces

1 x2 − 4 = (x + 2) · (x − 2)

Las raíces son x = −2 y x = 2

2 x4 − 16 = (x2 + 4) · (x2 − 4) = (x + 2) ·

(x − 2) · (x2 + 4)

Las raíces son x = − 2 y x = 2

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un

binomio al cuadrado.

a2 ± 2 a b + b2 = (a ± b)2

Descomponer en factores los trinomio cuadrados

perfectos y hallar sus raíces

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La raíz es x = −3, y se dice que es unaraíz

doble .

La raíz es x = 2.

Trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de

segundo grado P(x) = ax 2 + bx + c , se iguala a cero

y se resuelve la ecuación de 2º grado . Si las

soluciones a la ecuación son x 1 y x2 , el polinomio

descompuesto será:

ax2 + bx + c = a · (x − x 1) · (x − x2)

Descomponer en factores los trinomios de segundo

grado y hallar sus raíces

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Las raíces son x = 3 y x = 2.

Las raíces son x = 3 y x = − 2.

Descomponer en factores los trinomios de cuarto

grado de exponentes pares y hallar sus raíces

x4 − 10x2 + 9

x2 = t

x4 − 10x2 + 9 = 0

t2 − 10t + 9 = 0

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x4 − 10x2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) ·

(x − 3)

x4 − 2x2 − 3

x2 = t

t2 − 2t − 3 = 0

x4 − 2x2 + 3 = (x2 + 1) · (x + ) · (x − )

Factorización de un polinomio de grado

superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de

Ruffini para encontrar las raíces enteras.

Descomposición de un polinomio de grado superior a

dos y cálculo de sus raíces

P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6

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1Tomamos los divisores del término

independiente: ±1, ±2, ±3.

2Aplicando el teorema del resto sabremos para que

valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 1 4 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8

− 1 + 6 = 0

3Dividimos por Ruffini .

4Por ser la división exacta , D = d · c .

(x − 1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al

segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor

podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1) 3 + 3 · (− 1) 2 − 5 · (− 1) − 6 =

−2 + 3 + 5 − 6 = 0

35 / 385


(x −1) · (x +1) · (2x 2 +x −6)

Otra raíz es x = −1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la

ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo,

aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos

encontrar raíces enteras .

El 1 lo descartamos y seguimos probando por −1.

P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2) 2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 =

0

(x − 1) · (x + 1) · (x + 2) · (2x − 3 )

Sacamos factor común 2 en último binomio y

encontramos una raíz racional.

2x − 3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

36 / 385


P(x) = 2x 4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x

+1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x =

3/2

Todas las raíces son racionales

Puede suceder que el polinomio no tenga raíces

enteras y sólo tenga raíces racionales.

En este caso tomamos los divisores del término

independiente dividido entre los divisores del término con

mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla

de Ruffini.

P(x) = 12x3 + 8x2 − 3x− 2

Probamos por: .

37 / 385


Sacamos factor común 12 en el tercer factor.

1.13. Fracciones algebráicas.

Una fracción algebraica es el cociente de dos

polinomios y se representa por:

P(x) es el numerador y Q(x) el denominador.

Fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones algebraicas

son equivalentes , y lo representamos por:

38 / 385


si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).

son equivalentes porque:

(x+2) · (x− 2) = x2 − 4

Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el

numerador y el denominador de dicha fracciónpor un

mismo polinomio distinto de cero, la fracción

algebraica resultante es equivalente a la dada.

Simplificación de fracciones algebraicas

Para simplificar una fracción algebraica se divide

el numerador y el denominador de la fracción por un

polinomio que sea factor común de ambos.

Amplificación de fracciones algebraicas

Para amplificar una fracción algebraica semultiplica

el numerador y el denominador de la fracción por un

polinomio .

39 / 385


40 / 385


1.14. Reducción de fracciones algebráicas a común denominador.

Dadas dos fracciones algebraicas , reducirlas a

común denominador es encontrar dos fracciones

algebraicas equivalentes con el mismo denominador.

Reducir a común denominador las fracciones:

1. Descomponemos los denominadores en factores

para hallarles el mínimo común múltiplo, que será el

común denominador.

x2 − 1 = (x + 1) · (x − 1)

x2 + 3x + 2 = (x +1 ) · (x + 2)

m.c.m. (x2 − 1, x2 + 3x + 2) = (x + 1) · (x − 1) ·

(x + 2)

2. Dividimos el común denominador entre los

denominadores de las fracciones dadas y el resultado

lo multiplicamos por el numerador correspondiente.

41 / 385


1.15. Suma y resta de fracciones algebráicas

La suma de fracciones algebraicas con el mismo

denominador es otra fracción algebraica con el mismo

denominador y cuyo numerador es la suma de los

numeradores.

Sumar las fracciones algebraicas:

Fracciones algebraicas con distinto denominador

En primer lugar se ponen las fracciones

algebraicas a común denominador, posteriormente se

suman los numeradores.

Sumar las fracciones algebraicas:

42 / 385


43 / 385


1.16. Producto de fracciones algebráicas

El producto de dos fracciones algebraicas es otra

fracción algebraica donde el numerador es el

producto de los numeradores y el denominador es el

producto de los denominadores.

Multiplicar las fracciones algebraicas:

44 / 385


1.17. Cociente de fracciones algebráicas

El cociente de dos fracciones algebraicas es otra

fracción algebraica con numerador el producto del

numerador de la primera por el denominador de la

segunda, y con denominador el producto del

denominador de la primera por el numerador de la

segunda.

Dividir las fracciones algebraicas:

45 / 385


1.18. Resumen

Expresiones algebraicas

Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones

numéricas en las que una o más cantidades

sondesconocidas . Estas cantidades se l laman

variables ,incógnitas o indeterminadas y se representan

porletras .

Una expresión algebraica es una combinación de

letras y números ligada por los signos de las

operaciones: adición, sustracción, multiplicación,

división y potenciación.

Valor numérico

El un valor numérico de una expresión algebraica es

el número que se obtiene al sustituir las letras de la

misma por números determinados y efectuar las

operaciones indicadas en la expresión.

Monomios

Un monomio es una expresión algebraica en la que

las únicas operaciones que aparecen entre las variables

son el producto y la potencia de exponente natural .

El coeficiente del monomio es el número que

aparece multiplicando a las variables.

La parte literal está constituida por las letras y sus

exponentes.

46 / 385


El grado de un monomio es la suma de todos los

exponentes de las letras o variables.

Dos monomios son semejantes cuando tienen la

misma parte literal.

Operaciones con monomios

Suma de Monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes .

La suma de los monomios es otro monomio que

tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la

suma de los coeficientes.

Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es

otromonomio semejante cuyo coeficiente es el producto

del coeficiente de monomio por el número .

Producto de monomios

El producto de monomios es otro monomio que tiene

por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya

parte literal se obtiene multiplicando las potencias

que tenga la misma base.

Cociente de monomios

El cociente de monomios es otro monomio que tiene

por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya

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parte literal se obtiene dividiendo las potencias que

tenga la misma base.

Polinomios

Un POLINOMIO es una expresión algebraica de la

forma:

P(x) = an x n + an - 1 x n - 1 + an - 2 x n - 2 + ... +

a1 x 1 + a 0

Siendo an, an - 1 ... a1 , ao números,

l lamadoscoeficientes .

n un número natural.

x la variable o indeterminada.

ao es el término independiente.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor

exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Polinomio completo

Es aquel que tiene todos los términos desde el

término independiente hasta el término de mayor grado

Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo

forman están escritos de mayor a menor grado.

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Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado .

Los coeficientes de los términos del mismo grado

son iguales .

Valor numérico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable

x por un número cualquiera.

Operaciones con polinomios

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los

coeficientes de los términos del mismo grado.

La diferencia consiste en sumar el opuesto del

sustraendo .

Multiplicación de polinomios

Producto de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del

polinomio y como coeficientes el producto de los

coeficientes del polinomio por el número .

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Producto de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de

los monomios que forman el polinomio .

Producto de polinomios

1 Se multiplica cada monomio del primer

polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

2 Se suman los monomios del mismo grado.

División de polinomios

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo . Si el

polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares

que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una

caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre

el primer monomio del divisor.

Multiplicamos cada término del polinomio divisor

por el resultado anterior y lo restamos del polinomio

dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo

entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo

multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

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Repetimos el proceso anterior hasta que elgrado del

resto sea menor que el grado del divisor , y por tanto

no se puede continuar dividiendo.

Para comprobar si la operación es correcta,

util izaríamos la prueba de la división:

D = d · c + r

Regla de Ruffini

Si el divisor es un binomio de la forma x — a ,

entonces util izamos un método más breve para hacer

ladivisión , l lamado REGLA DE RUFFINI .

(x4 −3x2 +2 ) : (x −3 )

1. Si el polinomio no es completo, lo

completamos añadiendo los términos que faltan con

ceros.

2. Colocamos los coeficientes del dividendo en

una línea.

3. Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del

término independiente del divisor.

4. Trazamos una raya y bajamos el primer

coeficiente.

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5. Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y

lo colocamos debajo del siguiente término.

6. Sumamos los dos coeficientes.

7. Repetimos los pasos 5y 6las veces que fuera

necesarias.

8. El último número obtenido es el resto .

9. El cociente es un polinomio de grado inferior

en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son

los que hemos obtenido.

Identidades notables

Binomio al cuadrado

(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b 2

Suma por diferencia

(a + b) · (a − b) = a 2 − b2

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Binomio al cubo

(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3

Factorización de un polinomio

Teorema del resto

El resto de la división de un polinomio P(x),

entre un polinomio de la forma x - a es el valor

numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

Teorema del factor

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio

de la forma x - a si y sólo si P(x = a) = 0.

Al valor x = a se le l lama RAÍZ o CERO de P(x).

Observaciones

1. Los ceros o raíces son divisores del término

independiente del polinomio.

2. A cada raíz del tipo x = a le corresponde un

binomio del tipo (x −a).

3. Podemos expresar un polinomio en factores al

escribirlo como producto de todos los binomios del

tipo x — a, que se correspondan a las raíces x = a

que se obtengan.

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4. La suma de los exponentes de los binomios

ha de ser igual al grado del polinomio.

5. Todo polinomio que no tenga término

independiente admite como raíz x = 0, ó lo que es

lo mismo, admite como factor x.

6. Un polinomio se llama irreducible o primo

cuando no puede descomponerse en factores.

Métodos para factorizar un polinomio

Sacar factor común

Consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Igualdades notables

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por

diferencia.

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un

binomio al cuadrado.

a2 ± 2 a b + b2 = (a ± b)2

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Trinomio de segundo grado

a x2 + bx +c = a · (x -x 1 ) · (x -x2 )

Polinomio de grado superior a dos.

Utilizamos el teorema del resto y la regla de

Ruffini.

1. Tomamos los divisores del término

independiente: ±1, ±2, ±3.

2. Aplicando el teorema del resto sabremos para

que valores la división es exacta.

3. Dividimos por Ruffini .

4. Por ser la división exacta , D = d · c

5. Continuamos realizando las mismas operaciones al

segundo factor, y los nuevos que obtengamos, hasta que

sea de grado uno o no se pueda descomponer en factores

reales.

Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente de dos

polinomios y se representa por:

P(x) es el numerador y Q(x) el denominador.

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Fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones algebraicas

son equivalentes , y lo representamos por:

si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).

Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el

numerador y el denominador de dicha fracciónpor un

mismo polinomio distinto de cero, la fracción

algebraica resultante es equivalente a la dada.

Simplificación de fracciones algebraicas

Para simplificar una fracción algebraica se divide el

numerador y el denominador de la fracción por un

polinomio que sea factor común de ambos.

Reducción de fracciones algebraicas a común

denominador

Dadas dos fracciones algebraicas, reducirlas a común

denominador es encontrar dos fracciones algebraicas

equivalentes con el mismo denominador.

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1. Descomponemos los denominadores en factores

para hallarles el mínimo común múltiplo, que será el

común denominador.

2. Dividimos el común denominador entre los

denominadores de las fracciones dadas y el resultado

lo multiplicamos por el numerador correspondiente.

Operaciones con fracciones algebraicas

Suma y diferencia de fracciones algebraicas

Fracciones algebraicas con igual denominador

La suma de fracciones algebraicas con el mismo

denominador es otra fracción algebraica con el mismo

denominador y cuyo numerador es la suma de los

numeradores.

Fracciones algebraicas con distinto denominador

En primer lugar se ponen las fracciones

algebraica a común denominador, posteriormente se

suman los numeradores.

Producto de fracciones algebraicas

El producto de dos fracciones algebraicas es otra

fracción algebraica donde el numerador es el

producto de los numeradores y el denominador es el

producto de los denominadores.

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Cociente de fracciones algebraicas

El cociente de dos fracciones algebraicas es otra

fracción algebraica con numerador el producto del

numerador de la primera por el denominador de la

segunda, y con denominador el producto del

denominador de la primera por el numerador de la

segunda.

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1.19. Esquema.

59 / 385


1.20. Ejercicios de Polinomios.

Ejercicios y problemas de polinomios

1 Di si las siguientes expresiones algebraicas son

polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su

grado y término independiente.

1x4 − 3x5 + 2x2 + 5

2 + 7X2 + 2

31 − x4

4

5x3 + x5 + x2

6x − 2x− 3 + 8

7

2Escribe:

1Un polinomio ordenado sin término independiente.

2Un polinomio no ordenado y completo.

3Un polinomio completo sin término independiente.

4Un polinomio de grado 4, completo y con

coeficientes impares.

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3Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = 1/2x2 + 4

T(x) = 3/2x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1P(x) + Q (x) =

2P(x) − U (x) =

3P(x) + R (x) =

42P(x) − R (x) =

5S(x) + T(x) + U(x) =

6S(x) − T(x) + U(x) =

4Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1

Q(x) = x3 − 6x2 + 4

R(x) = 2x4 − 2x − 2

61 / 385


Calcular:

P(x) + Q(x) − R(x) =

P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

Q(x) + R(x) − P(x)=

5Multiplicar:

1(x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3) =

2 (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2) =

3 (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5x3 − 6x2 + 4x − 3) =

6Dividir:

1(x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) : (x2 + 3x − 2)

2(x 6 + 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)

3 P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 −

2x + 1

7Divide por Ruffini:

1 (x3 + 2x + 70) : (x + 4)

2(x5 − 32) : (x − 2)

3 (x4 − 3x2 + 2 ) : (x −3)

8Halla el resto de las siguientes divisiones:

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1(x5 − 2x2 − 3) : (x −1)

2(2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x + 10) : (x + 2)

3 ( x4 − 3x2 + 2) : (x − 3)

9 Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1(x3 − 5x −1) : (x − 3)

2(x6 − 1) : (x + 1)

3(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (x − 1)

4(x1 0 − 1024) : (x + 2)

10Comprueba que los siguientes polinomios tienen

como factores los que se indican:

1(x3 − 5x −1) tiene por factor (x − 3)

2(x6 − 1) tiene por factor (x + 1)

3(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1 )

4(x1 0 − 1024) tiene por factor (x + 2)

11Hallar a y b para que el polinomio x 5 − ax + b

sea divisible por x2 − 4.

12Determina los coeficientes de a y b para que el

polinomio x 3 + ax2 + bx + 5 sea divisible por x 2 + x +

1.

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13 Encontrar el valor de k para que al dividir 2x 2 −

kx + 2 por (x − 2) dé de resto 4.

14 Determinar el valor de m para que 3x 2 + mx +

4 admita x = 1 como una de sus raíces.

15 Hallar un polinomio de cuarto grado que sea

divisible por x2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.

16 Calcular el valor de a para que el polinomio x 3

− ax + 8 tenga la raíz x = −2, y calcular las otras

raíces.

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1

1 Di si las siguientes expresiones algebraicas son

polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su

grado y término independiente.

1x4 − 3x5 + 2x2 + 5

Grado: 5, término independiente: 5.

2 + 7X2 + 2

No es un polinomio, porque la parte

l iteral del primer monomio está dentro de una

raíz.

31 − x4


4

No es un polinomio, porque el exponente

del primer monomio no es un número natural.

5x3 + x5 + x2


6x − 2 x− 3 + 8

No es un polinomio, porque el exponente

del 2º monomio no es un número natural.

65 / 385


7

Grado: 3, término independiente: −7/2.

66 / 385


2

Escribe:

1Un polinomio ordenado sin término independiente.

3x4 − 2x

2Un polinomio no ordenado y completo.

3x − x2 + 5 − 2x3

3Un polinomio completo sin término independiente.

Imposible

4Un polinomio de grado 4, completo y con

coeficientes impares.

x4 − x3 − x2 + 3x + 5

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3

Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = 1/2x2 + 4

T(x) = 3/2x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1P(x) + Q (x) =

= (4x2 − 1) + (x3 − 3x2 + 6x − 2) =

= x3 − 3x2 + 4x2 + 6x − 2 − 1 =

= x3 + x2 + 6x − 3

2P(x) − U (x) =

= (4x2 − 1) − (x2 + 2) =

= 4x2 − 1 − x2 − 2 =

= 3x2 − 3

3P(x) + R (x) =

68 / 385


= (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) =

= 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 =

= 10x2 + x

42P(x) − R (x) =

= 2 · (4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) =

= 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 =

= 2x2 − x − 3

5S(x) + T(x) + U(x) =

= (1/2 x2 + 4 ) + (3/2 x2 + 5 ) + (x2 + 2) =

= 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5 + 2 =

= 3x2 + 11

6S(x) − T(x) + U(x) =

= (1/2 x2 + 4) − (3/2 x2 + 5) + (x2 + 2) =

= 1/2 x2 + 4 − 3/2 x2 − 5 + x2 + 2 =

= 1

69 / 385


4

Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1

Q(x) = x3 − 6x2 + 4

R(x) = 2x4 − 2 x − 2

Calcular:

P(x) + Q(x) − R(x) =

= (x4 − 2x2 − 6x − 1) + (x 3 − 6x2 + 4) − ( 2x 4 −

2 x − 2) =

= x4 − 2x2 − 6x − 1 + x 3 − 6x2 + 4 − 2x4 + 2x

+ 2 =

= x4 − 2x4 + x3 − 2x2 − 6x2 − 6x + 2x − 1 + 4

+ 2 =

= −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5

P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

= (x4 − 2x2 − 6x − 1) + 2 · (x3 − 6x2 + 4) −

(2x4 − 2x − 2) =

= x4 − 2x2 − 6x − 1 + 2x 3 − 12x2 + 8 − 2x 4 +

2x + 2 =

70 / 385


= x4 − 2x4 + 2x3 − 2x2 − 12x2 − 6x + 2x − 1 +

8 + 2 =

= −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9

Q(x) + R(x) − P(x)=

= (x3 − 6x2 + 4) + (2x 4 − 2x − 2) − (x 4 − 2x2 −

6x − 1) =

= x3 − 6x2 + 4 + 2x 4 −2x − 2 − x 4 + 2x2 + 6x +

1=

= 2x4 − x4 + x3 − 6x2 + 2x2 −2x + 6x + 4 − 2 +

1=

= x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3

71 / 385


5

Multiplicar:

1(x4 − 2x2 + 2) · (x2 − 2x + 3) =

= x 6 − 2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x3 − 6x2 + 2x2 − 4x +

6=

= x 6 − 2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 − 6x2 − 4x

+ 6 =

= x 6 −2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6

2 (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x + 2) =

= 6x5 + 12x4 − 3x3 + 6x2 − 10x4 − 20x3 + 5x2 −

10x =

= 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x3 − 20x3 + 6x2 + 5x2 −

10x =

= 6x5 + 2x4 − 23x3 + 11x2 − 10x

3 (2x2 − 5x + 6) · (3x 4 − 5 x3 − 6 x2 + 4x − 3)

=

= 6x6 − 10x5 − 12x4 + 8x3 − 6x2 −

− 15x5 + 25x4 + 30x3 − 20x2 + 15x +

+18x4 − 30x3 − 36x2 + 24x − 18 =

= 6x6 − 10x5 − 15x5 − 12x4 + 25x4 + 18x4 +

72 / 385


+8x3 − 30x3 + 30x3 − 6x2− 20x2 − 36x2 + 15x +

24x − 18 =

= 6x6 − 25x5 + 31x4 + 8x3 − 62x2 + 39x − 18

73 / 385


6

Dividir:

1(x4 − 2x3 − 11x2 + 30x − 20) : (x2 + 3x − 2)

2(x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)

3 P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 −

2x + 1

74 / 385


75 / 385


7

Divide por Ruffini:

1 (x3 + 2x +70) : (x + 4)

2(x5 − 32) : (x − 2)

C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 R = 0

3 (x4 −3x2 +2 ) : (x −3)

C(x) = x3 + 3x2 + 6x +18 R = 56

76 / 385


8

Halla el resto de las siguientes divisiones:

1(x5 − 2x2 − 3) : (x −1)

R(1) = 15 − 2 · 12 − 3 = −4

2(2x4 − 2x3 + 3x2 + 5x +10) : (x + 2)

R(−2) = 2 · (−2) 4 − 2 · (−2) 3 + 3 · (−2) 2 + 5 ·

(−2) +10 =

= 32 + 16 + 12 − 10 + 10 = 60

3 (x4 − 3x2 +2) : ( x − 3)

P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

77 / 385


9

Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1(x3 − 5x −1) : (x − 3)

P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

No es exacta.

2(x6 − 1) : (x + 1)

P(−1)= (−1)6 − 1 = 0

Exacta

3(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) : (x − 1)

P(1) = 1 4 − 2 · 1 3 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 +1 +1

− 1 = 0

Exacta

4(x1 0 − 1024) : (x + 2)

P(−2) = (−2)1 0 − 1024 = 1024 − 1024 = 0

Exacta

78 / 385


10

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como

factores los que se indican:

1(x3 − 5x −1) tiene por factor (x − 3)

(x3 − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si

P(x = 3) = 0.

P(3) = 33 − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

(x − 3) no es un factor.

2(x6 − 1) tiene por factor (x + 1)

(x6 − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x =

− 1) = 0.

P(−1) = (−1)6 − 1 = 0

(x + 1) es un factor.

3(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) tiene por factor (x − 1)

(x4 − 2x3 + x2 + x − 1) es divisible por (x − 1) si

y sólo si P(x = 1) = 0.

P(1) = 1 4 − 2 · 1 3 + 1 2 + 1 − 1 = 1 − 2 +1 +1

− 1 = 0

(x − 1) es un factor.

4(x1 0 − 1024) tiene por factor (x + 2)

79 / 385


(x1 0 − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x

= −2) = 0.

P(−2) = (−2)1 0 − 1024 = 1024 − 1024 = 0

(x + 2) es un factor.

80 / 385


11

Hallar a y b para que el polinomio x 5 − ax + b sea

divisible por x2 − 4.

x2 − 4 = (x +2) · (x − 2)

P(−2) = (−2)5 − a · (−2) + b = 0

−32 +2a +b = 0 2a +b = 32

P(2) = 25 − a · 2 + b = 0

32 − 2a +b = 0 − 2a +b = −32

81 / 385


12

Determina los coeficientes de a y b para que el

polinomio x 3 + ax2 + bx +5 sea divisible por x 2 + x +

1.

b − a = 0 −a + 6 = 0

a = 6 b = 6

82 / 385


13

Encontrar el valor de k para que al dividir 2x 2 − kx

+2 por (x − 2) dé de resto 4.

P(2) = 2 · 22 − k · 2 +2 = 4

10 − 2k = 4 − 2k = − 6 k = 3

83 / 385


14

Determinar el valor de m para que 3x 2 + mx + 4

admita x = 1 como una de sus raíces.

P(1) = 3 · 12 + m · 1 + 4 = 0

3 + m + 4 = 0 m = − 7

84 / 385


15

Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible

por x2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.

(x − 3) · (x − 5) · (x 2 − 4) =

(x2 −8 x + 15) · (x2 − 4) =

= x4 − 4x2 − 8x3 +32x + 15x2 − 60 =

= x4 − 8x3 + 11x2 +32x − 60

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16

Calcular el valor de a para que el polinomio x 3 − ax

+ 8 tenga la raíz x = − 2, y calcular las otras raíces.

P(−2) = (−2)3 − a · (−2) +8 = 0 −8 + 2a

+8 = 0 a= 0

(x + 2) · (x2 − 2x + 4)

x2 − 2x + 4 = 0

No tiene más raíces reales.

86 / 385


1.21. Ejercicios de Identidades notables.

Ejercicios de identidades notables

1 Develop the square binomials.

1(x + 5)2 =

2(2x − 5)2 =

3(3x − 2)2 =

4

2Develop the cube binomials.

1 (2x − 3)3 =

2(x + 2)3 =

3(3x − 2)3 =

4(2x + 5)3 =

3Develop.

1(3x − 2) · (3x + 2) =

2(x + 5) · (x − 5) =

3(3x − 2) · (3x + 2) =

4(3x − 5) · (3x − 5) =

87 / 385


4Develop expressions.

1(x2 − x + 1)2 =

2 8x3 + 27 =

38x3 − 27 =

4(x + 2) (x + 3) =

88 / 385


1

Develop the square binomials

1(x + 5)2 =

= x2 + 2 · x · 5 + 52 =

= x 2 + 10 x + 25

2(2x − 5)2 =

= (2x)2 − 2 · 2x ·5 + 52 =

= 4x2 − 20 x + 25

2(2x − 5)2 =

= (2x)2 − 2 · 2x ·5 + 52 =

= 4x2 − 20 x + 25

4

89 / 385


2

Develop the cube binomials.

1 (2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 −

33=

= 8x 3 − 36 x2 + 54 x − 27

2(x + 2)3 = x3 + 3 · x2 ·2 + 3 · x· 22 + 23 =

= x3 + 6x2 + 12x + 8

3(3x − 2)3 = (3x)3 − 3 · (3x)2 ·2 + 3 · 3x · 2 2 −

23 =

= 27x 3 − 54x2 + 36x − 8

4(2x + 5)3 = (2x)3 + 3 ·(2x)2 · 5 + 3 · 2x · 5 2 +

53 =

= 8x3 + 60 x2 + 150x + 125

90 / 385


3

Develop.

1(3x − 2) · (3x + 2) =

= (3x)2 − 22 =

= 9x2 − 4

2(x + 5) · (x − 5) =

= x2 − 25

3(3x − 2) · (3x + 2) =

= (3x)2 − 22 =

= 9x4 − 4

4(3x − 5) · (3x − 5) =

= (3x) 2 − 52 =

= 9x 2 − 25

91 / 385


4

Develop expressions.

1(x2 − x + 1)2 =

(x2 − x + 1)2 =

= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x 2 · 1 +

2 · (−x) · 1=

= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x=

= x4− 2x3 + 3x2 − 2x + 1

2 8x3 + 27 =

(2x + 3) (4x2 − 6x + 9)

38x3 − 27 =

(2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

4(x + 2) (x + 3) =

= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x2 + 5x + 6

92 / 385


1.22. Ejercicios de factorización.

Factorizar y calcular las raíces de los

polinomios

1. x3 + x2

2. 2x4 + 4x2

3. x2 − 4

4. x4 − 16

5. 9 + 6x + x2

6.

7. x4 − 10x2 + 9

8. x4 − 2x2 − 3

9. 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6

10. 2x3 − 7x2 + 8x − 3

11. x3 − x2 − 4

12. x3 + 3x2 − 4 x − 12

13. 6x3 + 7x2 − 9x + 2

14. Factorizar los polinomios:

1. 9x4 − 4x2 =

93 / 385


2. x5 + 20x3 + 100x =

3. 3x5 − 18x3 + 27x =

4. 2x3 − 50x =

5. 2x5 − 32x =

6. 2x2 + x − 28 =

15. Descomponer en factores los polinomios

1.

2. xy − 2x − 3y + 6 =

3. 25x2 − 1=

4. 36x6 − 49 =

5. x2 − 2x + 1 =

6. x2 − 6x + 9 =

7. x2 − 20x + 100 =

8. x2 + 10x +25 =

9. x2 + 14x + 49 =

10. x3 − 4x2 + 4x =

11. 3x7 − 27x =

94 / 385


12. x2 − 11x + 30

13. 3x2 + 10x + 3

14. 2x2 − x − 1

1

x3 + x2

x3 + x2 = x2 (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = − 1

2

2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)

2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)

Sólo tiene una raíz X = 0 ; ya que el polinomio, x 2

+ 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al

estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo,

por tanto es irreducible.

3

x2 − 4

x2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

95 / 385


4

x4 − 16

x4 − 16 = (x2 + 4) · (x2 − 4) = (X + 2) · (X − 2)

· (x2 + 4)

Las raíces son X = −2 y X = 2

5

9 + 6x + x2

La raíz es x = −3 .

6

Las raíces son x = 3 y x = −2 .

96 / 385


7

x4 − 10x2 + 9

x2 = t

x4 − 10x2 + 9 = 0

t2 − 10t + 9 = 0

x4 − 10x2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x

− 3)

97 / 385


8

x4 − 2x2 − 3

x2 = t

t2 − 2t − 3 = 0

x4 − 2x2 + 3 = (x2 + 1) · (x + ) · (x − )

98 / 385


9

2x4 + x3 − 8x2 − x + 6

1Tomamos los divisores del término independiente: ±1,

±2, ±3.

2Aplicando el teorema del resto sabremos para que

valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 1 4 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8

− 1 + 6 = 0

3Dividimos por Ruffini.

4Por ser la división exacta, D = d · c

(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al

segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor

podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0

99 / 385


P(−1) = 2 · (− 1) 3 + 3 ·(− 1) 2 − 5 · (− 1) − 6=

−2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (2x 2 +x −6)

Otra raíz es x = -1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la

ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo,

aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos

encontrar raíces enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.

P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2) 2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 =

0

(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )

Sacamos factor común 2 en último binomio.

2x −3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

100 / 385


2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

101 / 385


10

2x3 − 7x2 + 8x − 3

P(1) = 2 · 1 3 − 7 · 1 2 + 8 · 1 − 3 = 0

(x −1) · (2x 2 − 5x + 3)

P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0

(x −1) 2 · (2x −3) = 2 (x − 3/2) · (x −1) 2

Las raíces son: x = 3/2 y x = 1

102 / 385


11

x3 − x2 − 4

{±1, ±2, ±4 }

P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0

P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0

(x − 2) · (x2 + x + 2 )

x2 + x + 2 = 0

(x − 2) · (x2 + x + 2 )

Raíz: x = 2.

103 / 385


12

x3 + 3x2 − 4x − 12

{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }

P(1) = 13 + 3 · 12 − 4 · 1 − 12 ≠ 0

P(−1) = (−1)3 + 3 · (−1)2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0

P(2) = 2 3 + 3 · 2 2 − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 −

12 = 0

(x − 2) · (x2 + 5x + 6)

x2 + 5x + 6 = 0

(x − 2) · (x + 2) · (x +3)

Las raíces son : x = 2, x = − 2, x = − 3.

104 / 385


13

6x3 + 7x2 − 9x + 2

{±1, ±2}

P(1) = 6 · 13 + 7 · 12 − 9 · 1 + 2 ≠ 0

P(−1) = 6 · (−1)3 + 7 · (−1)2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0

P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0

P(−2) = 6 · (−2) 3 + 7 · (−2) 2 − 9 · (−2) + 2 = −

48 + 28 + 18 + 2 = 0

(x+2) · (6x2 − 5x + 1)

6x2 − 5x + 1 = 0

6 · (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3)

Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3

105 / 385


14

19x4 − 4x2 =

x2 · (9x2 − 4) =

x2 · (3x + 2) · (3x − 2)

2x5 + 20x3 + 100x =

x · (x4 + 20x2 + 100) =

x · (x2 + 10)2

33x5 − 18x3 + 27x =

3x · (x4 − 6x2 + 9) =

= 3x · (x2 − 3)2

42x3 − 50x =

=2x · (x2 − 25) =

2x · (x + 5) · (x - 5)

52x5 − 32x =

= 2x · (x4 − 16 ) =

2x · (x2 + 4) · (x2 − 4) =

= 2x · (x2 + 4) ·(x +2) · (x − 2)

62x2 + x − 28

106 / 385


2x2 + x − 28 = 0

2x2 + x − 28 = 2 (x + 4) · (x − 7/2)

107 / 385


15

1

2xy − 2x − 3y + 6 =

= x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =

= (x − 3) · (y − 2)

325x2 − 1=

= (5x +1) ·(5x − 1)

436x6 − 49 =

= (6x3 + 7) · (6x3 − 7)

5x2 − 2x + 1 =

= (x − 1)2

6x2 − 6x + 9 =

= (x − 3)2

7x2 − 20x + 100 =

= (x − 10)2

8x2 + 10x + 25 =

108 / 385


= (x + 5)2

9x2 + 14x + 49 =

= (x + 7)2

10x3 − 4x2 + 4x =

= x · (x2 − 4x +4) =

= x · (x − 2)2

113x7 − 27x =

= 3x · (x6 − 9) =

= 3x · (x3 + 3) · (x3 − 3)

12x2 − 11x + 30

x2 − 11x + 30 = 0

x2 − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)

133x2 + 10x + 3

3x2 + 10x + 3 = 0

109 / 385


3x2 + 10x + 3 = 3 (x − 3) · (x − 1/3)

142x2 − x − 1

2x2 − x −1 = 0

2x2 − x − 1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2)

110 / 385


1.23. Ejercicios de fracciones algebráicas.

Ejercicios de fracciones algebraicas

1. Simplificar las fracciones algebraicas :

1.

2.

3.

4.

5.

2. Suma las fracciones algebraicas :

3. Resta las fracciones algebraicas :

4. Multiplica las fracciones algebraicas :

1.

111 / 385


2.

5. Divide las fracciones algebraicas :

1.

2.

6. Opera :

7. Efectúa:

8. Realiza :

112 / 385


1

Simplificar las fracciones algebraicas :

1

2

3

113 / 385


4

5

114 / 385


2

Suma las fracciones algebraicas :

115 / 385


3

Resta las fracciones algebraicas :

116 / 385


4

Multiplica las fracciones algebraicas :

1

2

117 / 385


5

Divide las fracciones algebraicas:

1

2

118 / 385


6

Opera :

119 / 385


7

Efectúa :

8

Realiza :

120 / 385


121 / 385


122 / 385

Algebra – 2.- Ecuaciones de primer grado

2. Ecuaciones de primer grado

2.1. Ecuaciones2.2. Ecuaciones equivalentes2.3. Resolución de ecuaciones de primer grado2.4. Problemas2.5. Problemas de relojes2.6. Problemas de móviles2.7. Problemas de grifos2.8. Problemas de mezclas2.9. Problemas de aleaciones2.10. Problemas geométricos2.11. Resumen2.12. Ejercicios2.13. Problemas 12.14. Problemas 2

2.1. Ecuaciones.

Igualdad

Una igualdad se compone de dos expresiones unidas

por el signo igual.

2x + 3 = 5x − 2

Una igualdad puede ser:

Falsa:

2x + 1 = 2 · (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2

1≠2.

Cierta

2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2

= 2

123 / 385


Identidad

Una identidad es una igualdad que es cierta

para cualquier valor de las letras.

2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2

= 2

Ecuación

Una ecuación es una igualdad que se cumple

para algunos valores de las letras.

x + 1 = 2 x = 1

Los miembros de una ecuación son cada una de las

expresiones que aparecen a ambos lados del signo

igual.

Los términos son los sumandos que forman los

miembros.

Las incógnitas son las letras que aparecen en la

ecuación.

124 / 385


Las soluciones son los valores que deben tomar

las letras para que la igualdad sea cierta.

2x − 3 = 3x + 2 x = −5

2 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2

− 10 −3 = −15 + 2 −13 = −13

El grado de una ecuación es el mayor de los

grados de los monomios que forman sus miembros.

Tipos de ecuaciones según su grado

5x + 3 = 2x +1 Ecuación de

primer grado.

5x + 3 = 2x2 + x Ecuación de

segundo grado.

5x3 + 3 = 2x +x 2 Ecuación de

tercer grado .

5x3 + 3 = 2x4 +1 Ecuación de

cuarto grado.

2.2. Ecuaciones equivalentes.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la

misma solución.

2x − 3 = 3x + 2 x = −5

x + 3 = −2 x = −5

125 / 385


Criterios de equivalencia de ecuaciones

1. Si a los dos miembros de una ecuación se

les suma o se les resta una misma cantidad, la

ecuación es equivalente a la dada.

x + 3 = −2

x + 3 − 3 = −2 − 3

x = −5

2. Si a los dos miembros de una ecuación se

les multiplica o se les divide una misma cantidad, la


5x + 10 = 15

(5x + 10) : 5 = 15 : 5

x + 2 = 3

x + 2 −2= 3 −2

x = 1

126 / 385


2.3. Resolución de ecuaciones de primer grado

En general para resolver una ecuación de primer

grado debemos seguir los siguientes pasos :

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x en un miembro y

los términos independientes en el otro.

4º Reducir los términos semejantes.

5º Despejar la incógnita.

Despejamos la incógnita:

Agrupamos los términos semejantes y los

independientes, y sumamos:

127 / 385


Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:


Quitamos denominadores, para ello en primer lugar

hallamos el mínimo común múltiplo.

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los

términos semejantes:


128 / 385


Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los


Quitamos corchete:


Quitamos denominadores:


Agrupamos términos:

129 / 385


Sumamos:

Dividimos los dos miembros por: −9

130 / 385


2.4. Problemas

Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2.

Un tercio de un número: x/3.

Un cuarto de un número: x/4.

Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x,

4x,..

Un número al cuadrado: x2

Un número al cubo: x3

Dos números consecutivos : x y x + 1.

Dos números consecutivos pares : 2x y 2x + 2.

Dos números consecutivos impares : 2x + 1 y 2x +

3.

Descomponer 24 en dos partes : x y 24 − x.

La suma de dos números es 24: x y 24 − x.

131 / 385


La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.

El producto de dos números es 24: x y 24/x.

El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.

132 / 385


2.5. Problemas de relojes

El ángulo o arco descrito que recorre el

minutero es siempre 12 veces mayor que el arco que

describe la aguja horaria.

Un reloj marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre las

3 y las 4 se superpondrán las agujas?

x es el arco que describe la aguja horaria.

(15 + x) es el arco que describe el minutero.

15 + x = 12x

x = 15/11 min

Las agujas se superpondrán a la 3 h 16 min 21 s

Un reloj marca las 2 en punto. ¿A qué hora formarán

sus agujas por primera vez un ángulo recto?

133 / 385


Las agujas del reloj forman un ángulo recto a las 2

h 25 min y un poco más, que l lamaremos x.


25 + x, es el arco que describe el minutero.

25 + x = 12x

x = 25/11 min

Las agujas del reloj conformarán un ángulo de 90° a

las 2h 27 min 16 s.

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2.6. Problemas de móviles

Para plantear problemas sobre móviles que l levan

velocidad constante se util izan las fórmulas del movimiento

rectil íneo uniforme:

espacio = velocidad × tiempo

1er caso

Los móviles van en sentido contrario.

eAC + eCB = eAB

Dos ciudades A y B distan 300 km entre sí. A las 9

de la mañana parte de la ciudad A un coche hacia la

ciudad B con una velocidad de 90 km/h, y de la ciudad B

parte otro hacia la ciudad A con una velocidad de 60

km/h. Se pide:

1 El tiempo que tardarán en encontrarse.

90t + 60t = 300 150t = 300 t = 2

horas

2 La hora del encuentro.

Se encontraran a las 11 de la mañana .

135 / 385


3 La distancia recorrida por cada uno.

e A B = 90 · 2 = 180 km

e B C = 60 · 2 = 120 km

2o caso

Los móviles van en el mismo sentido.

eAC − eBC = e AB


de la mañana sale de un coche de cada ciudad y los dos

coches van en el mismo sentido. El que sale de A circula

a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide:


90t − 60t = 180 30t = 180 t = 6

horas


Se encontraran a las 3 de la tarde .


e A B = 90 · 6 = 540 km

136 / 385


e B C = 60 · 6 = 360 km

3er caso

Los móviles parten del mismo punto y con el

mismo sentido.

e 1 = e 2

Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90

km/h. Tres horas más tarde sale de la misma ciudad otro

coche en persecución del primero con una velocidad de

120 km/h. Se pide:

1 El tiempo que tardará en alcanzarlo.

90t = 120 · (t − 3)

90t = 120t − 360 −30t = −360 t =

12 horas

2 La distancia a la que se produce el encuentro.

e 1 = 90 · 12 = 1080 km

137 / 385


2.7. Problemas de grifos

En una hora el primer grifo l lena 1/t1 del depósito.

En una hora el segundo grifo l lena 1/t2 del depósito.

Si existe un desagüe

En una hora el desagüe vacia 1/t3 del depósito.

En una hora los dos grifos juntos habrán l lenado:

Sin desagüe

Con desagüe

Un grifo tarda en l lenar un depósito tres horas y otro

grifo tarda en l lenarlo cuatro horas. ¿Cuánto tiempo

tardarán en l lenar los dos grifos juntos el depósito?

En una hora el primer grifo l lena 1/3 del depósito.

En una hora el segundo grifo l lena 1/4 del depósito.


138 / 385


7x = 12 x = 12/7 horas

139 / 385


2.8. Problemas de mezclas

C1 1ª cantidad. C1 = x

C2 2ª cantidad. C2 = Cm - x

Cm Cantidad de la mezclaCm = C1 + C2

P1 Precio de la 1ª cantidad

P2 Precio de la 2ª cantidad

Pm Precio de la mezcla

C1 · P1 + C2 · P2 = Cm · Pm

También podemos poner los datos en una tabla

Cantidad Precio Coste

1ª

sustanciaC1 P1 C1 · P1

2ª

sustanciaC2 P2 C2 · P2

Mezcla C1 + C2 PC1 · P1+ C2 ·

P2

C1 · P1 + C2 · P2 = (C1 + C2) · Pm

140 / 385


Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a

40 € el kg y la segunda a 60 € el kg.

¿Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de

café para obtener 60 kilos de mezcla a 50 € el kg?

1ª clase 2ª clase Total

Nº de kg x 60 − x 60

Valor 40 · x 60 · (60 − x) 60 · 50

40x + 60 · (60 − x) = 60 · 50

40x + 3600 − 60x = 3000; − 60x + 40x = 3000

− 3600; 20x = 600

x = 30; 60 − 30 = 30

Tenemos que mezclar 30 kg de la 1ª clase y

otros 30 de la 2ª clase .

141 / 385


2.9. Problemas de aleaciones

La ley de la aleación es la relación entre el

peso del metal fino , es decir, más valioso, y el peso

total .

Se resuelven del mismo modo que los problemas de

mezclas, teniendo en cuenta que la ley de la aleación

equivale al precio de la mezcla .

C1 · L1 + C2 · L2 = (C1 + C2) · La

Se tienen dos l ingotes de plata, uno de ley 0.750 y

otro de ley 0.950. ¿Qué peso hay que tomar de cada

lingote para obtener 1800 g de plata de ley 0.900?

1ª ley 2ª ley Total

Nº de g x 1800 − x 1800

Plata 0.750 · x 0.950 · (1800−x) 0.900 · 1800

0.750 · x + 0.950 · (1 800−x) = 0.9 · 1800

0.750 x + 1 710 − 0.950x = 1 620

0.750x − 0.950x = 1 620 − 1 710

−0.2x = − 90 x = 450

1ª ley 450 g

2ª ley 1350 g

142 / 385


2.10. Problemas geométricos

Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo

sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40°

más que B.

C x

B x + 40

A x + 40 + 40 = x+ 80

x + x + 40 + x+ 80 = 180; x + x + x

= 180 − 40 − 80;

3x = 60; x = 20

C = 20º B = 20º + 40º = 60º

A = 60º + 40º = 100º

143 / 385


2.11.Resumen

Igualdad

Una igualdad se compone de dos expresiones unidas

por el signo igual.

Identidad

Una identidad es una igualdad que es cierta

para cualquier valor de las letras.

Ecuación

Una ecuación es una igualdad que se cumple

para algunos valores de las letras.

Los miembros de una ecuación son cada una de las

expresiones que aparecen a ambos lados del signo

igual.

Los términos son los sumandos que forman los

miembros.

Las incógnitas son las letras que aparecen en la

ecuación.

144 / 385


Las soluciones son los valores que deben tomar

las letras para que la igualdad sea cierta.

El grado de una ecuación es el mayor de los

grados de los monomios que forman sus miembros.

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la

misma solución.

Si a los dos miembros de una ecuación se les

suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación

es equivalente a la dada.

Si a los dos miembros de una ecuación se les

multiplica o se les divide una misma cantidad, la


Resolución de ecuaciones de primer grado

En general para resolver una ecuación debemos seguir

los siguientes pasos :



3º Agrupar los términos en x en un miembro y


4º Reducir los términos semejantes.

145 / 385


5º Despejar la incógnita.

Aplicaciones

Problemas sobre móviles

1er caso

Los móviles van en sentido contrario.

e AB + e BC = e AB

2o caso

Los móviles van en el mismo sentido.

e AC − e BC = e AB

3er caso

Los móviles parten del mismo punto y con el

mismo sentido.

e 1 = e 2

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Problemas sobre grifos

Problemas sobre mezclas

Problemas sobre relojes

El ángulo o arco descrito que recorre el

minutero es siempre 12 veces mayor que el arco que

describe la aguja horaria.

Problemas geométricos

Ecuaciones de 2º grado

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de

la forma:

ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.

Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por

(−1).

Resolución de ecuaciones de segundo grado

incompletas

ax2 = 0

La solución es x = 0.

147 / 385


ax2 + bx = 0

Extraemos factor común x.

Igualamos cada factor a 0 y resolvemos las

ecuaciones de 1e r grado.

x = 0.

ax2 + c = 0

Despejamos:

ax2 +bx +c = 0

b2 − 4ac se l lama DISCRIMINANTE de la ecuación y

permite averiguar en cada ecuación el número de

soluciones. Podemos distinguir tres casos:

148 / 385


b2 − 4ac > 0

La ecuación tiene dos soluciones, que son

números reales distintos.

b2 − 4ac = 0

La ecuación tiene una solución doble.

b2 − 4ac < 0

La ecuación no tiene soluciones reales.

La suma de las soluciones de una ecuación de

segundo grado es igual a:

El producto de las soluciones de una ecuación de

segundo grado es igual a:

Si conocemos las raíces de una ecuación,

podemos escribir ésta como:

Siendo S = x1 + x2 y P = x1 · x2

149 / 385


2.12. Ejercicios

Resolver las ecuaciones de primer grado

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

150 / 385


14

15

151 / 385


1


2

Agrupamos los términos semejantes y los

independientes, y sumamos:

3


Agrupamos términos y sumamos:


152 / 385


4

Quitamos denominadores, para ello en primer lugar

hallamos el mínimo común múltiplo.

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los



5

Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los


153 / 385


6

7

8

154 / 385


9

10

11

155 / 385


12

13

Quitamos corchete:

156 / 385



Quitamos denominadores:


Agrupamos términos:

Sumamos:

Dividimos los dos miembros por: −9

14

157 / 385


15

158 / 385


2.13. Problemas 1

Problemas de ecuaciones de primer grado

1 Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de

cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que

la edad del hijo?

2Si al doble de un número se le resta su mitad

resulta 54. ¿Cuál es el número?

3 La base de un rectángulo es doble que su altura.

¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?

4En una reunión hay doble número de mujeres que

de hombres y triple número de niños que de hombres y

mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si

la reunión la componen 96 personas?

5 Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite.

Reponemos 38 l y el bidón ha quedado l leno hasta sus

3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.

6 Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35

cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

7Luís hizo un viaje en el coche, en el cual consumió

20 l de gasolina. El trayecto lo hizo en dos etapas: en la

primera, consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito

y en la segunda etapa, la mitad de la gasolina que le

queda. Se pide:

1.Litros de gasolina que tenía en el depósito.

159 / 385


2. Litros consumidos en cada etapa.

8En una l ibrería, Ana compra un l ibro con la tercera

parte de su dinero y un cómic con las dos terceras partes

de lo que le quedaba. Al salir de la l ibrería tenía 12 €.

¿Cuánto dinero tenía Ana?

9 La dos cifras de un número son consecutivas. La

mayor es la de las decenas y la menor la de las

unidades. El número es igual a seis veces la suma de las

cifras. ¿Cuál es el número?

10Las tres cuartas partes de la edad del padre de

Juan excede en 15 años a la edad de éste. Hace cuatro

años la edad de la padre era doble de la edad del hijo.

Hallar las edades de ambos.

11Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un

trabajo 14 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en hacerlo por

separado si uno es el doble de rápido que el otro?

12Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo

sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40°

más que B .

160 / 385


2.14. Problemas 2

Problemas de relojes, móviles, grifos y

mezclas

1Un reloj marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre

las 3 y las 4 se superpondrán las agujas?

2Un reloj marca las 2 en punto. ¿A qué hora

formarán sus agujas por primera vez un ángulo recto?

3Dos ciudades A y B distan 300 km entre sí. A las

9 de la mañana parte de la ciudad A un coche hacia la



km/h. Se pide:




4Dos ciudades A y B distan 180 km entre sí. A las

9 de la mañana sale de un coche de cada ciudad y los

dos coches van en el mismo sentido. El que sale de A

circula a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se

pide:




161 / 385


5Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90



120 km/h. Se pide:



6 Un camión sale de una ciudad a una velocidad de

40 km/h. Una hora más tarde sale de la misma ciudad y

en la misma dirección y sentido un coche a 60 km/h. Se

pide:

1. Tiempo que tardará en alcanzarle.

2. Distancia al punto de encuentro.

7Dos ciclistas salen en sentido contrario a las 9 de

la mañana de los pueblos A y B situados a 130 kilómetros

de distancia. El ciclista que sale de A pedalea a una

velocidad constante de 30 km/h, y el ciclista que sale de

B, a 20 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán y a

qué hora?

8Un grifo tarda en l lenar un depósito tres horas y

otro grifo tarda en l lenarlo cuatro horas. ¿Cuánto tiempo


9Un comerciante tiene dos clases de café, la primera

a 40 € el kg y la segunda a 60 € el kg.



162 / 385


10Se tienen dos l ingotes de plata, uno de ley 0.750

y otro de ley 0.950. ¿Qué peso hay que tomar de cada


11Un l ingote de oro de ley 0.950 pesa 6 300 g.

¿Qué cantidad de cobre puro se habrá de añadir para

rebajar su ley a 0.900?

163 / 385


2.15.Problemas resueltos

1

Un reloj marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre las

3 y las 4 se superpondrán las agujas?


(15 + x) es el arco que describe el minutero.

15 + x = 12x

x = 15/11 min

Las agujas se superpondrán a la 3 h 16 min 21 s

2

Un reloj marca las 2 en punto. ¿A qué hora formarán

sus agujas por primera vez un ángulo recto?

164 / 385


Las agujas del reloj forman un ángulo recto a las 2

h 25 min y un poco más, que l lamaremos x.


25 + x, es el arco que describe el minutero.

25 + x = 12x

x = 25/11 min

Las agujas del reloj conformarán un ángulo de 90° a

las 2h 27 min 16 s.

3


de la mañana parte de la ciudad A un coche hacia la



km/h. Se pide:


165 / 385


90t + 60t = 300 150t = 300 t = 2

horas


Se encontraran a las 11 de la mañana .


e A B = 90 · 2 = 180 km

e B C = 60 · 2 = 120 km

4


de la mañana sale de un coche de cada ciudad y los dos

coches van en el mismo sentido. El que sale de A circula

a 90 km/h, y el que sale de B va a 60 km/h. Se pide:


90t − 60t = 180 30t = 180 t = 6

horas


Se encontraran a las 3 de la tarde .


e A B = 90 · 6 = 540 km

166 / 385


e B C = 60 · 6 = 360 km

5

Un coche sale de la ciudad A a la velocidad de 90



120 km/h. Se pide:


90t = 120 · (t − 3)

90t = 120t − 360 −30t = −360 t =

12 horas


e 1 = 90 · 12 = 1080 km

6

Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 40

km/h. Una hora más tarde sale de la misma ciudad y en

la misma dirección y sentido un coche a 60 km/h. Se

pide:

1. Tiempo que tardará en alcanzarle.

e1 = e2

40t = 60 (t − 1)

167 / 385


40t = 60t − 60 40t − 60t =− 60 −20t

= −60

t = 3h

Como el coche sale una hora más tarde, el tiempo

que tardará en alcanzarlo será de 2 horas .

2. Distancia al punto de encuentro.

e1 = 40 · 3 = 120 km .

7

Dos ciclistas salen en sentido contrario a las 9 de la

mañana de los pueblos A y B situados a 130 kilómetros

de distancia. El ciclista que sale de A pedalea a una

velocidad constante de 30 km/h, y el ciclista que sale de

B, a 20 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán y a

qué hora?

30t + 20t = 130 50t = 130

t = 130/50 = 2 h 36 min

Se encuentran a las 11h 36 min

e A C = 30 · 130/50 = 78 km

8

168 / 385


Un grifo tarda en l lenar un depósito tres horas y otro

grifo tarda en l lenarlo cuatro horas. ¿Cuánto tiempo


En una hora el primer grifo l lena 1/3 del depósito.

En una hora el segundo grifo l lena 1/4 del depósito.


7x = 12 x = 12/7 horas

9

Un comerciante tiene dos clases de café, la primera a

40 € el kg y la segunda a 60 € el kg.



1ª clase 2ª clase Total

Nº de kg x 60 − x 60

Valor 40 · x 60 · (60 − x) 60 · 50

40x + 60 · (60 − x) = 60 · 50

169 / 385


40x + 3600 − 60x = 3000; − 60x + 40x = 3000

− 3600; 20x = 600

x = 30; 60 − 30 = 30

Tenemos que mezclar 30 kg de la 1ª clase y

otros 30 de la 2ª clase .

10

Se tienen dos l ingotes de plata, uno de ley 0.750 y

otro de ley 0.950. ¿Qué peso hay que tomar de cada


1ª ley 2ª ley Total

Nº de g x 1800 − x 1800

Plata 0.750 · x 0.950 · (1800−x) 0.900 · 1800

0.750 · x + 0.950 · (1 800−x) = 0.9 · 1800

0.750 x + 1 710 − 0.950x = 1 620

0.750x − 0.950x = 1 620 − 1 710

−0.2x = − 90 x = 450

1ª ley 450 g

2ª ley 1350 g

170 / 385


11

Un l ingote de oro de ley 0.950 pesa 6 300 g. ¿Qué

cantidad de cobre puro se habrá de añadir para rebajar

su ley a 0.900?

Oro Cobre Total

Nº de g 6 300 x 6 300 + x

Oro puro 0.950 · 6 300 0.900 · (6 300 + x)

0.900 · (6 300 + x) = 0.950 · 6 300

5 670 + 0.900x = 5 985

0.900x = 315 x = 315/0.900 = 350

Cobre 350 g

171 / 385

Algebra – 3.- Sistemas de Ecuaciones

3. Sistemas de ecuaciones.

3.1. Sistemas de ecuaciones3.2. Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones3.3. Método de sustitución3.4. Método de igualación3.5. Método de reducción3.6. Clasificación de sistemas de ecuaciones3.7. Resumen3.8. Ejercicios de sistemas3.9. Problemas de sistemas3.10. Ejercicios de sistemas por sustitución3.11. Ejercicios de sistemas por igualación3.12. Ejercicios de sistemas por reducción

3.1. Sistemas de ecuaciones

Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema,

cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su

solución común.

La solución de un sistema es un par de números x 1 ,

y1 , tales que reemplazando x por x 1 e y por y1 , se

satisfacen a la vez ambas ecuaciones.

x = 2, y = 3

172 / 385


3.2. Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

1º Si a ambos miembros de una ecuación de un

sistema se les suma o se les resta una misma

expresión , elsistema resultante es equivalente .

x = 2, y = 3

2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros

de las ecuaciones de un sistema por un número distinto

de cero , el sistema resultante es equivalente .

x = 2, y = 3

3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un

sistema otra ecuación del mismo sistema , el

sistemaresultante es equivalente al dado.

x = 2, y = 3

4º Si en un sistema se sustituye una ecuación

por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones

del sistema previamente multiplicadas o divididas por

números no nulos, resulta otro sistema equivalente al

primero.

173 / 385


5º Si en un sistema se cambia el orden de las

ecuaciones o el orden de las incógnitas , resulta otro

sistema equivalente .

174 / 385


3.3. Método de sustitución

Resolución de sistemas de ecuaciones por el

método de sustitución

1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la

otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola

incógnita.

3 Se resuelve la ecuación.

4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la

que aparecía la incógnita despejada.

5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución

del sistema.

1 Despejamos una de las incógnitas en una de las

dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el

coeficiente más bajo.

2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por

el valor anterior:

175 / 385


3 Resolvemos la ecuación obtenida:

4 Sustituimos el valor obtenido en la variable

despejada.

5 Solución

176 / 385


3.4. Método de sustitución


método de igualación

1 Se despeja la misma incógnita en ambas

ecuaciones.

2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos

una ecuación con una incógnita.


4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las

dos expresiones en las que aparecía despejada la otra

incógnita.


del sistema.

1 Despejamos , por ejemplo, la incógnita x de la

primera y segunda ecuación:

2 Igualamos ambas expresiones:

177 / 385


3 Resolvemos la ecuación:

4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos

expresiones en las que tenemos despejada la x :

5 Solución :

178 / 385


3.5. Método de reducción


método de reducción

1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por

los números que convenga.

2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3 Se resuelve la ecuación resultante.

4 El valor obtenido se sustituye en una de las

ecuaciones iniciales y se resuelve.


del sistema.

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no

tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a

optar por suprimir la x, para que veamos mejor el

proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

179 / 385


Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación

inicial.

Solución:

180 / 385


3.6. Clasificacion de Sistemas de Ecuaciones

Sistema compatible determinado

Tiene una sola solución.

x = 2, y = 3

Gráficamente la solución es el punto de corte de

las dos rectas.

Sistema compatible indeterminado

El sistema tiene infinitas soluciones.

181 / 385


Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes. Cualquier punto de la recta es solución .

Sistema incompatibleNo tiene solución

Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas.

182 / 385


3.7. Resumen

Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un

sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es

encontrar su solución común.

La solución de un sistema es un par de números

x1 , y1 , tales que reemplazando x por x 1 e y por y 1,

se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.

Sistemas equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes

cuando tienen la misma solución.

Criterios de equivalencia

1º Si a ambos miembros de una ecuación de un

sistema se les suma o se les resta una misma

expresión , elsistema resultante es equivalente .

2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros

de las ecuaciones de un sistema por un número distinto

de cero , el sistema resultante es equivalente .

3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un

sistema otra ecuación del mismo sistema , el

sistemaresultante es equivalente al dado.

4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación

por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones

183 / 385


del sistema previamente multiplicadas o divididas por

números no nulos, resulta otro sistema equivalente al

primero.

5º Si en un sistema se cambia el orden de las

ecuaciones o el orden de las incógnitas , resulta otro

sistema equivalente .

Resolución de sistemas de ecuaciones

Método de sustitución

1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la

otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola

incógnita.


4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la

que aparecía la incógnita despejada.


del sistema.

Método de igualación

1 Se despeja la misma incógnita en ambas

ecuaciones.

2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos

una ecuación con una incógnita.


184 / 385


4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las

dos expresiones en las que aparecía despejada la otra

incógnita.


del sistema.

Método de reducción

1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por

los números que convenga.

2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3 Se resuelve la ecuación resultante.

4 El valor obtenido se sustituye en una de las

ecuaciones iniciales y se resuelve.


del sistema.

Tipos de sistemas

Sistema compatible determinado

Tiene una sola solución.

Gráficamente la solución es el punto de corte de

las dos rectas.

Sistema compatible indeterminado

El sistema tiene infinitas soluciones.

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Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes.

Cualquier punto de la recta es solución .

Sistema incompatible

No tiene solución

Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas.

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3.8. Ejercicios de sistemas

Ejercicios de sistemas de ecuaciones

1 Resuelve por sustitución, igualación, reducción y

gráficamente el sistema:

2 Resuelve el sistema:

3 Halla las soluciones del sistema:

4Resueve:

5Resuelve por sustitución, igualación, reducción y

gráficamente el sistema:


187 / 385


7 Halla las soluciones del sistema:

1

Por sustitución:

Por igualación:

188 / 385


Por reducción:

Gráficamente:

2

189 / 385


3

4

190 / 385


5

Por sustitución:

Por igualación:

191 / 385


Por reducción:

Gráficamente:

192 / 385


6

7

193 / 385


194 / 385


3.9. Problemas resueltos de ecuaciones

Problemas de sistemas de ecuaciones1 Juan compró un ordenador y un televisor por 2000 €

y los vendió por 2260 €.¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la

venta del ordenador ganó el 10% y en la venta del televisor ganó el 15%?

2¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura?

3Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

4Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y Pedro contesta: "si tú me das seis euros tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

5En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa?

6La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta al invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es ese número?

7Por la compra de dos electrodomésticos hemos pagado 3500 €. Si en el primero nos hubieran hecho un descuento del 10% y en el segundo un descuento del 8% hubiéramos pagado 3170 €. ¿Cuál es el precio de cada artículo?

8Encuentra un número de dos cifras sabiendo que su cifra de la decena suma 5 con la cifra de su unidad y que si se invierte el orden de sus cifras se obtiene un número que es igual al primero menos 27.

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1 Juan compró un ordenador y un televisor por 2000 €

y los vendió por 2260 €.¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la

venta del ordenador ganó el 10% y en la venta del televisor ganó el 15%?

x precio del ordenador.

y precio del televisor.

precio de venta del ordenador.

precio de venta del televisor.

800 € precio del ordenador.

1200 € precio del televisor.

2¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su

perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de su altura?

x base del rectángulo.

y altura del rectángulo.

2x + 2y perímetro.

6 cm base del rectángulo.

2 cm altura del rectángulo.

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3Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58

cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

x número de pavos.

y número de cerdos.

32 número de pavos.

26 número de cerdos.

4Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el

doble del que tienes tú", y Pedro contesta: "si tú me das seis euros tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

x dinero de Antonio.

y dinero de Pedro.

24 dinero de Antonio.

12 dinero de Pedro.

5En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el

16% de los hombres y el 20% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa?

x número de hombres.

y número de mujeres.

hombres con gafas.

mujeres con gafas.

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25 número de hombres.

35 número de mujeres.

6La cifra de las decenas de un número de dos cifras

es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta al invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es ese número?

x cifra de las unidades

y cifra de las decenas

10y + x número

10x + y número invertidoy = 2x(10y + x) − 27 = 10x + y10 · 2x + x − 27 = 10x + 2x20x + x − 12x = 27 x = 3 y = 6

Nùmero 63

7Por la compra de dos electrodomésticos hemos pagado

3500 €. Si en el primero nos hubieran hecho un descuento del 10% y en el segundo un descuento del 8% hubiéramos pagado 3170 €. ¿Cuál es el precio de cada artículo?

x precio del 1º.

y precio del 2º.

descuento en el 1º.

descuento en el 2º.

2500 € precio del 1º.

1000 € precio del 2º.

8Encuentra un número de dos cifras sabiendo que su

cifra de la decena suma 5 con la cifra de su unidad y que si se invierte el orden de sus cifras se obtiene un número que es igual al primero menos 27.

x cifra de las unidades

y cifra de las decenas

10y + x número

10x + y número invertido

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Nùmero 41

199 / 385


3.10. Ejercicios de ecuaciones por sustitución

1

2

3

4

5

6

1

200 / 385


2

3

4

201 / 385


5

6

202 / 385


203 / 385


3.11.Ejercicios de ecuaciones por igualación

Resolver los sistemas de ecuaciones por

igualación

1

2

3

4

5

6

204 / 385


1

2

205 / 385


3

4

206 / 385


5

207 / 385


6

208 / 385


3.12.Ejercicios de ecuaciones por reducción

Resolver los sistemas de ecuaciones por

reducción

1

2

3

4

5

6

7

209 / 385


1

2

3

210 / 385


4

5

6

211 / 385


7

8

212 / 385


213 / 385

Algebra – 4.- Ecuaciones de segundo grado y Sistemas de Ecuaciones

4. Sistemas de ecuaciones.

4.1. Ecuaciones de segundo grado4.2. Ecuaciones de segundo grado incompletas4.3. Estudio de las soluciones de la ecuacion de segundo grado4.4. Propiedades de las soluciones de la ecuacion de segundo grado4.5. Factorización de un trinomio de segundo grado4.6. Ecuaciones racionales4.7. Ecuaciones bicuadradas4.8. Ecuaciones irracionales4.9. Ecuaciones de grado superior a dos4.10. Sistemas de Ecuaciones con tres incógnitas4.11. Sistemas de Ecuaciones no lineales4.12. Resumen4.13. Ejercicios de ecuaciones de segundo grado 4.14. Ejercicios de ecuaciones de segundo grado incompletas 4.15. Ejercicios de ecuaciones bicuadradas 4.16. Ejercicios de ecuaciones racionales 4.17. Ejercicios de ecuaciones irracionales 4.18. Ejercicios de ecuaciones de grado superior a dos 4.19. Ejercicios de sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Método de

Gauss4.20. Ejercicios de sistemas de ecuaciones no lineales 4.21. Problemas de ecuaciones de segundo grado

214 / 385

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/2_e.html

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/p_e.html

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/n_e.html

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/g_e.html

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/g_e.html

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/s_e.html

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/i_e.html

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/r_e.html

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/b_e.html

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/2_e1.html


4.1. Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0.

Resolución de ecuaciones de segundo gradoPara resolver ecuaciones de segundo grado util izamos la siguiente

fórmula:

Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

4.2. Ecuaciones de segundo grado incompletas

Se dice que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coeficientes: b o c, o ambos, son iguales a cero.

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletasax2 = 0

La solución es x = 0.

ax2 + bx = 0Extraemos factor común x:

Igualamos a cero el 1 er factor.

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Una solución siempre es x = 0.La otra solución la obtenemos al resolver la ecuación de

primer grado resultante de igualar a cero el 2º factor.

ax2 + c = 0Despejamos:

4.3. Estudio de las soluciones de la ecuación de segundo grado

ax2 + bx +c = 0

b2 − 4ac se l lama discriminante de la ecuación y permite

averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir

tres casos:

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b2 − 4ac > 0

La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales

distintos.

b2 − 4ac = 0

La ecuación tiene una solución doble.

b2 − 4ac < 0

La ecuación no tiene soluciones reales.

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4.4. Propiedades de las soluciones de la ecuación de 2º grado

La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

Ecuación de 2º grado a partir de sus solucionesSi conocemos las raíces de una ecuación, podemos

escribir ésta como:

Siendo:S = x1 + x2

P = x1 · x2

Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean: 3 y −2.

S = 3 − 2 = 1P = 3 · (−2) = −6x2 − x − 6 = 0

4.5. Factorización de un trinomio de segundo gradoa x2 + bx + c = 0a · (x − x1) · (x − x2) = 0

Este trinomio no se puede factorizar.

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4.6. Ecuaciones racionales

Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen fracciones polinómicas.

Resolución de ecuaciones racionalesPara resolver ecuaciones racionales se multiplican

ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Debemos comprobar las soluciones , para rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la ecuación original.

Comprobamos la solución:

La ecuación no tiene solución porque para x = 1 se anulan los denominadores.

La solución es:

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4.7. Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar:

ax4 + bx2 + c = 0Resolución de ecuaciones bicuadradas

Para resolver ecuaciones bicuadradas , efectuamos el cambio x2 = t, x4 = t2; con lo que se genera una ecuación de segundo grado con la incógnita t:

at2 + bt + c = 0Por cada valor positivo de t habrá dos valores de

x:

El mismo procedimiento podemos utilizar para resolver las ecuaciones del tipo:

ax6 + bx3 + c = 0ax8 + bx4 + c = 0ax10 + bx5 + c = 0

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4.8. Ecuaciones irracionales

Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.

Resolución de ecuaciones irracionales1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros,

pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales.

2º Se elevan al cuadrado los dos miembros.3º Se resuelve la ecuación obtenida.4º Se comprueba si las soluciones obtenidas

verifican la ecuación inicial . Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.

5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos.

1º Aislamos el radical:

2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:

3ºResolvemos la ecuación:

4ºComprobamos:

La ecuación tiene por solución x = 2.


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4.9. Ecuaciones de grado superior a dos

Es una ecuación de cualquier grado escrita de la forma P(x) = 0, el polinomio P(x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado , entonces basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes.

2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0Utilizamos el teorema del resto y la regla de

Ruffini.P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6Tomamos los divisores del término independiente:

±1, ±2, ±3.Aplicando el teorema del resto sabremos para que

valores la división es exacta.P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 −

1 + 6 = 0Dividimos por Ruffini.

Por ser la división exacta , D = d · c(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6) = 0Una raíz es x = 1 .Continuamos realizando las mismas operaciones al

segundo factor.Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría

estar elevado al cuadrado.P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5x − 6≠ 0P(− 1) = 2 · (− 1)3 + 3 · (− 1)2 − 5 · (− 1) − 6=

−2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (2x2 +x −6) = 0Otra raíz es x = -1 .Los otros factores lo podemos encontrar aplicando la

ecuación de 2º grado.

Las soluciones son: x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

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http://www.vitutor.com/ab/p/a_12.html#deu

http://www.vitutor.com/ab/p/a_12.html#deu


4.10. Sistemas de Ecuaciones con tres incógnitas

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente .

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1 , en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación , para eliminar el término en x de la 2ª ecuación . Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'2 = E2 − 3E1

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'3 = E3 − 5E1

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

E''3 = E'3 − 2E'2

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado .

6º Encontrar las soluciones.z = 1− y + 4 ·1 = −2 y = 6x + 6 −1 = 1 x = −4

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http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/esc.html


4.11.Sistemas de Ecuaciones no linealesUn sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos

una de sus ecuaciones no es de primer grado .

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución , para ello seguiremos los siguientes pasos:

1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado .

y = 7 − x2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en

la otra ecuación.x2 + (7 − x)2 = 253º Se resuelve la ecuación resultante.x2 + 49 − 14x + x2 = 252x2 − 14x + 24 = 0x2 − 7x + 12 = 0

4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación , se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.

x = 3 y = 7 − 3 y = 4x = 4 y = 7 − 4 y = 3

4.12. Resumen

Ecuaciones de 2º gradoUna ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:

ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

Si es a<0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas

ax2 = 0La solución es x = 0.

ax2 + bx = 0Extraemos factor común x.Igualamos cada factor a 0 y resolvemos las ecuaciones de 1 er

grado.x = 0.

ax2 + c = 0Despejamos:

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Estudio de las solucionesax2 +bx +c = 0

b2 − 4ac se llama DISCRIMINANTE de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:

b2 − 4ac > 0La ecuación tiene dos soluciones, que son números

reales distintos.b2 − 4ac = 0

La ecuación tiene una solución doble.b2 − 4ac < 0

La ecuación no tiene soluciones reales.Propiedades de las soluciones

La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

Ecuación de 2º grado a partir de sus solucionesSi conocemos las raíces de una ecuación, podemos

escribir ésta como:

Siendo S = x1 + x2 y P = x1 · x2

Factorización de un trinomio de segundo gradoa x2 + bx +c = 0a · (x -x1 ) · (x -x2 ) = 0

Ecuaciones racionalesLa ecuaciones racionales son ecuaciones en las que

aparecen fracciones polinómicas.Para resolverlas se multiplican ambos miembros de

la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Debemos comprobar las soluciones , para rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la ecuación original.

Ecuaciones bicuadradasSon ecuaciones de cuarto grado sin términos de

grado impar:ax4 + bx2 + c = 0

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Para resolverlas, efectuamos el cambio x2 = t, x4 = t2; con lo que genera una ecuación de segundo grado con la incógnita t:

at2 + bt + c = 0Por cada valor positivo de t habrá dos valores de

x:

Ecuaciones irracionalesLas ecuaciones irracionales son aquellas que tienen

la incógnita bajo el signo radical.Resolución:

1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales.

2º Se elevan al cuadrado los dos miembros.3º Se resuelve la ecuación obtenida.4º Se comprueba si las soluciones obtenidas

verifican la ecuación inicial . Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.

5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos.

Ecuaciones de grado superior a dosEs una ecuación de cualquier grado escrita de la

forma P(x) = 0, el polinomio P(x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado , entonces basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes.

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

Sistemas de ecuacionesSistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

Método de GaussEste método consiste en utilizar el método de

reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente .

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el coeficiente en x más bajo .

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación , para eliminar el término en x de la 2ª ecuación . Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'2 = E2 − 3E1

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

E'3 = E3 − 5E1

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

E''3 = E'3 − 2E'2

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado .6º Encontrar las soluciones.

Sistemas de ecuaciones no linealesUn sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos

una de sus ecuaciones no es de primer grado .La resolución de estos sistemas se suele hacer por el

método de sustitución , para ello seguiremos los siguientes pasos:

226 / 385



1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado .

2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

3º Se resuelve la ecuación resultante.4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye

en la otra ecuación , se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita.

227 / 385


4.13.Ejercicios de ecuaciones de segundo grado

Resolver las ecuaciones de segundo grado

1

2

3

4

5

6

7

8x2 + (7 − x)2 = 25

97x2 + 21x − 28 = 0

10−x2 + 4x − 7 = 0

11

126x2 −5x +1 = 0

13

14

15

16

228 / 385


1

2

3

4

5

229 / 385


6

7

8

x2 + (7 − x)2 = 25

x2 + 49 − 14x + x2 = 25

2x2 − 14x + 24 = 0

x2 − 7x + 12 = 0

9

7x2 + 21x − 28 = 0

230 / 385


x2 +3x − 4 = 0

10−x2 + 4x − 7 = 0

x2 − 4x + 7 = 0

11

12

6x2 −5x +1 = 0

231 / 385


13

14

15

16

232 / 385


233 / 385


4.14. Ejercicios de ecuaciones de segundo grado incompletas

Resolver las ecuaciones de 2º grado incompletas

1

2

3

4

5

6 12x2 − 3x = 0

7

8

9

234 / 385


1

2

3

4

235 / 385


5

612x2 − 3x = 0

4x2 − x = 0

x · (4x −1) = 0

x = 0

4x − 1 = 0 x = 1/4

7

8

236 / 385


9

237 / 385


4.15. Ejercicios de ecuaciones bicuadradas

Resolver las ecuaciones bicuadradas1x4 − 10x2 + 9 = 0

2

3x4 − 61x2 + 900 = 0

4x4 − 25x2 + 144 = 0

5x4 − 16x2 − 225 = 0

6

1

x4 − 10x2 + 9 = 0

x4 − 10x2 + 9

x2 = t

x4 − 10x2 + 9 = 0

t2 − 10t + 9 = 0

2

238 / 385


3

x4 − 61x2 + 900 = 0

4

x4 − 25x2 + 144 = 0

239 / 385


5

x4 − 16x2 − 225 = 0

240 / 385


6

241 / 385


4.16. Ejercicios de ecuaciones bicuadradas

Resolver las ecuaciones bicuadradas

1 x4 − 10x2 + 9 = 0

2

3 x4 − 61x2 + 900 = 0

4 x4 − 25x2 + 144 = 0

5 x4 − 16x2 − 225 = 0

6

1

x4 − 10x2 + 9 = 0

x4 − 10x2 + 9

x2 = t

x4 − 10x2 + 9 = 0

t2 − 10t + 9 = 0

2

242 / 385


3

x4 − 61x2 + 900 = 0

243 / 385


4

x4 − 25x2 + 144 = 0

5

x4 − 16x2 − 225 = 0

6

244 / 385


245 / 385


4.17.Ejercicios de ecuaciones racionales

Resolver las ecuaciones racionales

1

2

3

4 Halla un número entero sabiendo que la suma con

su inverso es .

5 Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos

horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B.

¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?

6 Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un

depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20

minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por

separado?

246 / 385


1

Comprobamos la solución:

La ecuación no tiene solución porque para x = 1 se

anulan los denominadores.

2

La solución es:

247 / 385


3

4

Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso

es .

248 / 385


5

Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo

hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda

a cada uno separadamente?

Tiempo de A x

Tiempo de B x+ 3

A

B

A y B

Tiempo de A 3 horas

Tiempo de B 6 horas

6

249 / 385


Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito

y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos.

¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?

Tiempo del 1º x

Tiempo de 2º x − 2

1º

2º

Entre los dos

Tiempo del 1º 4 horas

Tiempo de 2º 2 horas

no es una solución, porque el tiempo empleado por el

segundo caño sería negativo.

250 / 385


4.18.Ejercicios de ecuaciones irracionales

Resolver las ecuaciones irracionales

1

2

3

4

5

1

2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:

3ºResolvemos la ecuación:

4ºComprobamos:


2

251 / 385


3

4

252 / 385



5

253 / 385


4.19. Ejercicios de ecuaciones de grado superior a dos

Resolver las ecuaciones de grado superior a dos

12x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0

2

3 2x3 − 7x2 + 8x − 3 = 0

4x3 − x2 − 4 = 0

56x3 + 7x2 − 9x + 2 = 0

6x3 + 3x2 − 4x − 12 = 0

12x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0

P(1) = 2 · 1 4 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 +

6 = 0

(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6) = 0

P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5x − 6≠ 0

P(− 1) = 2 · (− 1) 3 + 3 · (− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 +

3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (2x 2 +x −6) = 0

254 / 385


Las soluciones son: x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

2

3

2x3 − 7x2 + 8x − 3 = 0

P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0

(x −1 ) · (2x2 − 5x + 3 ) = 0

P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0

255 / 385


(x −1 )2 · (2x −3 ) = 0

Las raíces son: x = 3/2 y x = 1

4

x3 − x2 − 4 = 0

{±1, ±2, ±4 }

P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0

P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0

(x − 2) · (x2+ x + 2 ) = 0

x2+ x + 2 = 0

(x − 2) · (x2+ x + 2 ) = 0

Raíz: x = 2.

5

6x3 + 7x2 − 9x + 2 = 0

256 / 385


{±1, ±2}

P(1) = 6 · 13 + 7 · 12 − 9 · 1 + 2 ≠ 0

P(−1) = 6 · (−1)3 + 7 · (−1)2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0

P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0

P(−2) = 6 · (−2) 3 + 7 · (−2)2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28

+ 18 + 2 = 0

(x+2) · (6x2 −5x +1) = 0

6x2 −5x +1 = 0

6 (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3) = 0

Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3

6

x3 + 3x2 − 4x − 12 = 0

{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }

P(1) = 13 + 3 · 12 − 4 · 1 − 12 ≠ 0

P(−1) = (−1)3 + 3 · (−1)2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0

257 / 385


P(2) = 23 + 3 · 22 − 4 · 2 − 12 =

= 8 + 12 − 8 − 12 = 0

(x − 2) · (x2 − 5x +6) = 0

x2 − 5x +6 = 0

(x − 2) ·(x + 2) ·(x +3) = 0

Las soluciones son : x = 2, x = − 2, x = − 3.

4.20. Ejercicios de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas. Método de Gauss.

Ejercicios y problemas de sistemas de tres ecuaciones con

tres incógnitas. Método de Gauss

1

2

3

258 / 385


4Un cliente de un supermercado ha pagado un total de

156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de

aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo

que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1

kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de

leche.

5Un videoclub está especializado en películas de tres

tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que:

El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del

oeste representan el 30% del total de las películas.

El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste

más del 60% de las de terror al representan la mitad del

total de las películas.

Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.

Halla el número de películas de cada tipo.

6Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con

centro en cada vértice se dibujan tres de conferencias,

tangente entre sí dos a dos. Calcular las longitudes de los

radios de las circunferencias.

259 / 385


1

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el

coeficiente en x más bajo .

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación , para

eliminar el término en x de la 2ª ecuación . Después ponemos

como segunda ecuación el resultado de la operación:

E'2 = E2 − 3E1

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación ,

para eliminar el término en x.

E'3 = E3 − 5E1

260 / 385


4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª , trasformadas, para

hacer reducción y eliminar el término en y.

E''3 = E'3 − 2E'2

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado .

6º Encontrar las soluciones.

z = 1

− y + 4 ·1 = −2 y = 6

x + 6 −1 = 1 x = −4

2

261 / 385



3

262 / 385


4

Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 €

por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de

oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 l de

aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón

cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

263 / 385


leche x

jamón y

aceite z

leche 1 €

jamón 16 €

aceite 3 €

5

Un videoclub está especializado en películas de tres tipos:

infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que:

El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del

oeste representan el 30% del total de las películas.

El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del

60% de las de terror al representan la mitad del total de las

películas.

Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.

Halla el número de películas de cada tipo.

264 / 385


infantiles x

oeste y

terror z

Sustituimos el valor de y en las dos ecuaciones iniciales y

multiplicamos la última obtenida por 3.

infantiles 500 películas

oeste 600 películas

terror 900 películas

6

Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro

en cada vértice se dibujan tres de conferencias, tangente entre sí

dos a dos. Calcular las longitudes de los radios de las

circunferencias.

265 / 385


266 / 385


4.21. Ejercicios de sistemas de ecuaciones no lineales

Ejercicios y problemas de sistemas no lineales

1

2

3

4

5

6El producto de dos números es 4, y la suma de sus

cuadrados 17. ¿Cuáles son esos números?

7Halla una fracción equivalente a cuyos términos elevados

al cuadrado sumen 1184

8 El producto de dos números es 4, y la suma de sus


1

y = 7 − x

x2 + (7 − x)2 = 25

267 / 385


x2 + 49 − 14x + x2 = 25

2x2 − 14x + 24 = 0

x2 − 7x + 12 = 0

x = 3 y = 7 − 3 y = 4

x = 4 y = 7 − 4 y = 3

2

3

268 / 385


4

5

269 / 385


6

El producto de dos números es 4, y la suma de sus


270 / 385


7

Halla una fracción equivalente a cuyos términos elevados al

cuadrado sumen 1184.

8

El producto de dos números es 4, y la suma de sus


271 / 385


272 / 385


4.22. Ejercicios de ecuaciones de segundo grado

Problemas de ecuaciones de segundo grado

1 Escribir una ecuación de segundo grado cuyas soluciones

son: 3 y −2.

2 Factorizar:

3 Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación

x2 − kx + 36 = 0 sean iguales.

4 La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla

dichos números.

5 Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del

cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de

Pedro.

6 Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han

utilizado 110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

7 Los tres lados de un triángulo rectángulo son

proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada

lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

8 Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de

ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la

anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

9 Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal

mide 75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos

lados miden 36 m y 48 m respectivamente.

273 / 385


10 Halla un número entero sabiendo que la suma con su

inverso es .

11 Dos números naturales se diferencian en dos unidades y

la suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?

12 Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas,

A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas

tarda a cada uno separadamente?

13 Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas

en centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores

de dichos lados.

14 Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con

ella se construye una caja de 840 cm 3cortando un cuadrado de 6

cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las

dimensiones de la caja.

15 Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un

depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20

minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?

274 / 385


1Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son:

3 y −2.

S= 3 − 2 = 1

P = 3 · 2 = 6

x2 − x + 6 = 0

2

Factorizar:

3

Determinar k de modo que las dos raíces de la ecuación x 2 −

kx + 36 = 0 sean iguales.

b2 − 4ac = 0

k2 − 4 · 36 = 0 k2 = 144

4

275 / 385


La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla

dichos números.

x2 − Sx + P = 0

5

Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del

cuadrado de la edad que tenía hace 13 años. Calcula la edad de

Pedro.

Edad actual x

Edad hace 13 años x − 13

Edad dentro de 11 años x + 11

Edad actual 21

6

Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado

110 m de cerca. Calcula las dimensiones de la finca.

276 / 385


Semiperímetro 55

Base x

Altura 55 − x

x · (55 − x) = 750

x2 − 55x + 750 = 0

x = 25 x = 30

Las dimensiones de la finca son 30 m y 25 m .

7

Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a

los números 3, 4 y 5. Halla la longitud de cada lado sabiendo que

el área del triángulo es 24 m².

1er lado (base) 3x

277 / 385


2º lado (altura) 4x

3er lado 5x

1er lado 6 m

2º lado 8 m

3er lado 10 m

8

Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho

está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de

dicho camino si se sabe que su área es 540 m².

(50 + 2x) · (34 + 2x) − 50 · 34 = 540

4x2 + 168x − 540 = 0 x 2 + 42x − 135 = 0

x = 3 y x = −45

La anchura del camino es 3 m .

9

278 / 385


Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide

75 m, sabiendo que es semejante a otro rectángulo cuyos lados

miden 36 m y 48 m respectivamente.

Base 48x : 12 = 4x

Altura 36x : 12 = 3x

(4x)2 + (3x)2 = 752

25x2 = 5625

x2 = 225 x = 15

Base 4 · 15 = 60 m

Altura 3 · 15 = 45 m

10

Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso

es .

279 / 385


11

Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la

suma de sus cuadrados es 580. ¿Cuáles son esos números?

1er número x

2º número x + 2

1er número 16

2º número 18

12

Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo

hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda

a cada uno separadamente?

Tiempo de A x

Tiempo de B x+ 3

280 / 385


A

B

A y B

Tiempo de A 3 horas

Tiempo de B 6 horas

13

Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medidas en

centímetros tres números pares consecutivos. Halla los valores de

dichos lados.

281 / 385


1ercateto 2x

2º cateto 2x + 2

Hipotenusa 2x + 4

(2x)2 + (2x + 2)2 = (2x + 4)2

4x2 + 4x2 + 8x + 4 = 4x2 + 16x + 16

4x2 − 8x − 12 = 0 x 2 − 2x − 3 = 0

x = 3 y x= −1

1ercateto 6 cm

2º cateto 8 cm

Hipotenusa 10 cm

14

Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella

se construye una caja de 840 cm 3 cortando un cuadrado de 6 cm

de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las

dimensiones de la caja.

6 (x − 12) · (x + 4 −12) = 840 (x − 12) · (x −8)

= 140

x2 − 20x − 44 = 0 x = 22 y x= −2

282 / 385


Las dimensiones son: 26 cm y 22 cm.

15

Un caño tarda dos horas más que otro en llenar un depósito

y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos.

¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?

Tiempo del 1º x

Tiempo de 2º x − 2

1º

2º

Entre los dos

Tiempo del 1º 4 horas

Tiempo de 2º 2 horas

no es una solución, porque el tiempo empleado por el

segundo caño sería negativo.

283 / 385

Algebra – 5.- Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

5. Ecuaciones exponenciales y logaritmicas.

5.1. Ecuaciones exponenciales5.2. Sistemas de ecuaciones exponenciales5.3. Logaritmos5.4. Propiedades de los logaritmos5.5. Ecuaciones logaritmicas5.6. Sistemas de ecuaciones logarítmicas5.7. Ejercicios de logaritmos5.8. Ejercicios de ecuaciones y sistemas5.9. Ejercicios de ecuaciones exponenciales5.10. Ejercicios de ecuaciones logarítmicas5.11. Ejercicios de sistemas de ecuaciones exponenciales5.12. Ejercicios de sistemas de ecuaciones logarítmicas

5.1. Ecuaciones exponenciales

Ecuación exponencialUna ecuación exponencial es aquella ecuación en la

que la incógnita aparece en el exponente.Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener

en cuenta:

1

23 Las propiedades de las potencias .a0 = 1 ·a1 = a

am · a n = am+n

am : a n = am - n

(am)n = am · n

an · b n = (a · b) n

an : b n = (a : b) n

Resolver las ecuaciones exponenciales:

284 / 385


Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman logaritmos cuya base es la base de la potencia.

285 / 385


5.2. Sistema de ecuaciones exponenciales

Un sistema de ecuaciones exponenciales es aquel sistema en los que las incógnitas aparecen en los exponentes.

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales

1. Igualar los esponentes si los dos miembros tienen potencias con la misma base.

Resolver el sistema de ecuaciones exponenciales:

2. Realizar un cambio de variable .Resolver el sistema de ecuaciones exponenciales:

286 / 385


5.3. Logaritmos

Definición de logaritmoEl logaritmo de un número, en una base dada, es el

exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

Siendo a la base, x el número e y el logarítmo.

Calcular por la definición de logaritmo el valor de y

Logaritmos decimalesLos logaritmos decimales son los que tienen base 10. Se

representan por log (x).Logaritmos neperianos o logaritmos naturalesLos logaritmos naturales o logaritmos neperianos son los

que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).

287 / 385


5.4. Propiedades de los Logaritmos

Definición de logaritmo

De la definición de logaritmo podemos deducir:No existe el logaritmo de un número con base negativa.

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

Propiedades de los logaritmos1El logaritmo de un producto es igual a la suma de los

logaritmos de los factores.

2 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

3El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

4El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

5Cambio de base:

5.5. Propiedades de los Logaritmos

288 / 385


Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

Para resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:

1 Las propiedades de los logaritmos.

2

3 4 Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar

que no tenemos logaritmos nulos o negativos.

Resolver las ecuaciones logarítmicas

1

2

3

4

289 / 385


290 / 385


5.6. Sistemas de ecuaciones logarítimicas

Para resolver sistemas de ecuaciones logarítmicas actuaremos de modo similar a como lo hicimos con lasecuaciones logarítmicas.

Resolver el sistema ecuaciones logarítmicas:

Algunos sistemas se pueden resolver directamente por el método de reducción.

Resolver el sistema ecuaciones logarítmicas:

291 / 385


5.7. Ejercicios de logaritmos

Ejercicios de logaritmos

1Calcular por la definición de logaritmo el valor de y.

1

2

3

4

5

2Calcula el valor de x aplicando la definición de logarítmo .

1

2

3

4

5

6

7

292 / 385


3Conociendo que log 2 = 0.3010, calcula los

siguientes logaritmos decimales.

1

2

3

4

4Calcular los logaritmos de de las expresiones que se

indican:

1

2

3

5Calcula mediante logaritmos el valor de x.

1

2

3

293 / 385


5.8. Ejercicios de ecuaciones y sistemas

Ejercicios de ecuaciones exponenciales y logarítmicas

1 Resolver las ecuaciones exponenciales:

1

2

3

4

5

6

7

2 Efectuar las ecuaciones exponenciales:

1

2

3

4

5

3 Resolver los sistemas de ecuaciones exponenciales:

294 / 385


1

2

3

4 Resolver las ecuaciones logarítmicas:

1

2

3

4

5

6

5 Resolver los sistemas de ecuaciones logarítmicas:

1

2

295 / 385


3

4

296 / 385


1

Resolver las ecuaciones exponenciales :

1

2

3

4

5

297 / 385


6

7

298 / 385


2

Efectuar las ecuaciones exponenciales

1

2

3

4

299 / 385


5

300 / 385


3

Resolver los sistemas ecuaciones exponenciales:

1

2

3

301 / 385


4

Resolver las ecuaciones logarítmicas:

1

2

3

302 / 385


4

5

6

303 / 385


304 / 385


5

Resolver los sistemas de ecuaciones logarítmicas:

1

2

305 / 385


3

4

306 / 385


5.9. Ejercicios de ecuaciones exponenciales

Resolver las ecuaciones exponenciales

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

307 / 385


17

18

19

1

2

3

4

308 / 385


5

6

7

8

309 / 385


9

10

11

310 / 385


12

12

311 / 385


14

15

16

312 / 385


17

18

19

313 / 385


314 / 385


5.10.Ejercicios de ecuaciones exponenciales

Resolver las ecuaciones logarítmicas

1

2

3

4

5

6

7

8

9

315 / 385


10

1

2

3

316 / 385


4

5

317 / 385


6

7

318 / 385


8

9

319 / 385


10

320 / 385



1

2

3

4

5

1

2

321 / 385


3

4

322 / 385


5

323 / 385


324 / 385



Resolver los sistemas de ecuaciones logarítmicas

1

2

3

4

5

6

1

325 / 385


2

326 / 385


3

4

327 / 385


5

6

328 / 385


329 / 385

Algebra – 6.- Inecuaciones

6. Ecuaciones exponenciales y logaritmicas.

6.1. Inecuaciones de primer grado6.2. Inecuaciones equivalentes6.3. Inecuaciones de primer grado6.4. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas6.5. Inecuaciones de 2º grado6.6. Sistemas de inecuaciones con una incógnita6.7. Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas6.8. Resumen6.9. Ejercicios 1 - Inecuaciones6.10. Ejercicios 2 - Inecuaciones6.11. Ejercicios de Inecuaciones de primer grado6.12. Ejercicios de Inecuaciones de segundo grado

330 / 385


6.1. Inecuaciones de primer grado

Resolución de inecuaciones de primer grado

Consideremos la inecuación:

La resolveremos aplicando los siguientes pasos:

1º Quitar corchetes.



4º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y


5º Efectuar las operaciones

331 / 385


6º Como el coeficiente de la x es negativo multipl icamos

por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

7º Despejamos la incógnita.

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero

ésta también podemos expresarla:

De forma gráfica:

Como un intervalo:

[3, +∞)

332 / 385


6.2. Inecuaciones equivalentes

Criterios de equivalencia de inecuaciones

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma

o se les resta un mismo número , la inecuación resultante es

equivalente a la dada.

3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x < 1

Si a los dos miembros de una inecuación se les

multiplica o divide por un mismo número positivo , la

inecuación resultante es equivalente a la dada.

2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3

Si a los dos miembros de una inecuación se les

multiplica o divide por un mismo número negativo , la

inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la

dada.

−x < 5 (−x) · (−1) > 5 · (−1) x > −5

333 / 385


6.3. Inecuaciones de primer grado




1º Quitar corchetes.



4º Agrupar los términos en x a un lado de la

desigualdad y los términos independientes en el otro.


334 / 385


6º Como el coeficiente de la x es negativo

multiplicamos por −1, por lo que cambiará el

sentido de la desigualdad.


Obtenemos la solución como una

desigualdad, pero ésta también podemos

expresarla:

De forma gráfica:

Como un intervalo:

[3, +∞)

335 / 385


6.4. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Su solución es uno de los semiplanos que resulta de

representar la ecuación resultante , que se obtiene al

transformar la desigualdad en una igualdad.

2x + y ≤ 3

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo

que obtenemos dos puntos.

x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)

x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una

recta.

336 / 385


4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0),

los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es

el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución

será el otro semiplano.

2x + y ≤ 3

2 · 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí

337 / 385


2x + y > 3

2 · 0 + 0 > 3 0 > 3 No

En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la

recta no pertenecen a la solución.

338 / 385


6.5. Inecuaciones de 2º grado


x2 − 6x + 8 > 0


1º Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y

obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

x2 − 6x + 8 = 0

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos

un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada

intervalo:

P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

339 / 385


3º La solución está compuesta por los intervalos (o el

intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

S = (-∞, 2) (4, ∞)

x2 + 2x +1 ≥ 0

x2 + 2x +1 = 0

(x + 1)2 ≥ 0

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo

la solución es

Solución

x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0

x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0

x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1

x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 = 0

340 / 385


Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio

cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la

solución es .

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

Solución

x2 + x +1 ≥ 0

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 ≤ 0

x2 + x +1 < 0

Inecuaciones racionales

Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo

similar a las de segundo grado , pero hay que tener presente

que el denominador no puede ser cero .

1º Hallamos las raíces del numerador y del

denominador.

341 / 385


x − 2 = 0 x = 2

x − 4 = 0 x = 4

2º Representamos estos valores en la recta real,

teniendo en cuenta que las raíces del denominador,

independientemente del signo de la desigualdad, tienen

que ser abiertas.

3ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el

signo en cada intervalo:


intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción

polinómica .

S = (-∞, 2] (4, ∞)

342 / 385


Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común

denominador.

Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

−x + 7 = 0 x = 7

x − 2 = 0 x = 2

Evaluamos el signo:

S = (-∞, 2) (7, ∞)

343 / 385


6.6. Sistemas de Inecuaciones con una incógnita

Resolución de sistemas de inecuaciones con una

incógnita

Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el

conjunto solución del sistema la intersección de los conjuntos

soluciones de ambas inecuaciones.

[−1, 3]

344 / 385


(3, ∞)

No tiene solución.

345 / 385


6.7. Sistemas de Inecuaciones con dos incógnitas

La solución a este sistema es la intersección de las

regiones que corresponden a la solución de cada inecuación.

1º Representamos la región solución de la primera

inecuación.

Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

Damos a una de las dos variables dos valores, con lo


x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)

x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)

Al representar y unir estos puntosobtenemos una recta.

346 / 385


Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos

en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano

donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro

semiplano.

2x + y ≤ 3

2 · 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí

347 / 385


2º Representamos la región solución de la segunda

inecuación.

x + y = 1

x = 0; 0 + y = 1; y = 1; (0, 1)

x = 1; 1 + y = 1; y = 0; (1, 0)

;

x + y ≥ 1

0 + 0 ≥ 1 No

348 / 385


3º La solución es la intersección de las regiones

soluciones.

349 / 385


350 / 385


6.8. Resumen

Una inecuación es una desigualdad algebraicaen la que sus

dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

< menor que 2x − 1 < 7

≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7

> mayor que 2x − 1 > 7

≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7

Inecuaciones equivalentes

Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se

les resta un mismo número, la inecuación resultante es

equivalente a la dada.

Si a los dos miembros de una inecuación se les multipl ica

o divide por un mismo número positivo , la inecuación resultante

es equivalente a la dada.

Si a los dos miembros de una inecuación se les multipl ica

o divide por un mismo número negativo , la inecuación

resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.




3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y


351 / 385



5º Como el coeficiente de la x es negativo multipl icamos

por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.


Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta

también podemos expresarla:

De forma gráfica

Como un intervalo

Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita

Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el

conjunto solución del sistema la intersección de los conjuntos

soluciones de ambas inecuaciones.

Inecuaciones de segundo grado

1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y

obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.

2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos

un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada

intervalo:


intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.

352 / 385


Si el discriminante es igual a cero:

Solución

x2 + 2x +1 ≥ 0 (x + 1)2 ≥ 0

x2 + 2x +1 > 0 (x + 1)2 > 0

x2 + 2x +1 ≤ 0 (x + 1)2 ≤ 0 x = − 1

x2 + 2x +1 < 0 (x + 1)2 < 0

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio

cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la

solución es .

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.

Solución

x2 + x +1 ≥ 0

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 ≤ 0

x2 + x +1 < 0

353 / 385


Inecuaciones racionales

Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado,

pero hay que tener presente que el denominador no puede ser

cero.

1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo

en cuenta que las raíces del denominador, independientemente

del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3ºTomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el

signo en cada intervalo:

4ºLa solución está compuesta por los intervalos (o el

intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción

polinómica.

Sistemas de inecuaciones

Inecuaciones lineales con dos incógnitas

Su solución es uno de los semiplanos que resulta de

representar la ecuación resultante , que se obtiene al

transformar la desigualdad en una igualdad.

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo


3º Al representar y unir estos puntosobtenemos una recta.

354 / 385


4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0),

los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es

el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución

será el otro semiplano.

Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

La solución a este sistema es la intersección de las

regiones que corresponden a la solución de cada inecuación.

1º Representamos la región solución de la primera

inecuación.

2º Representamos la región solución de la segunda

inecuación.

3º La solución es la intersección de las regiones

soluciones.

355 / 385


6.9. Ejercicios 1 - Inecuaciones

Inecuaciones. Ejercicios

1 Resolver las siguientes inecuaciones

1

2

3


3 Resolver las inecuaciones:

1 7x2 + 21x − 28 < 0

2 −x2 + 4x − 7 < 0

3

4 Resuelve:

1

2x4 − 25x2 + 144 < 0

3x4 − 16x2 − 225 ≥ 0

356 / 385


5 Resolver las inecuaciones:

1

2

1

Resolver las siguientes inecuaciones

1

(1, ∞)

2

357 / 385


3

2

Resuelve el sistema:

358 / 385


(x +1) · 10 + x ≤ 6 (2x + 1)

10x + 10 + x ≤ 12 x + 6

10 x + x - 12x ≤ 6 - 10

−x ≤ − 4 x ≥ 4

[4, 7)

3

Resolver las inecuaciones:

1 7x2 + 21x − 28 < 0

x2 +3x − 4 < 0

x2 +3x − 4 = 0

359 / 385


P(−6) = (−6)2 +3 · (−6)− 4 > 0

P(0) = 02 +3 · 0 − 4 < 0

P(3) = 32 +3 · 3 − 4 > 0

(−4, 1)

2 −x2 + 4x − 7 < 0

x2 − 4x + 7 = 0

P(0) = −02 + 4 ·0 − 7 < 0

S =

3

360 / 385


P(−3) = 4 · (−3)2 − 16 > 0

P(0) = 4 · 0 2 − 16 < 0

P(3) = 4 · 3 2 − 16 > 0

(-∞ , −2 ] [2, +∞)

4

Resuelve:

1

Como el primer factor es siempre positivo, sólo

tendremos que estudiar el signo del 2º factor.

P(−17) = (−17) 2 + 12 · 17 − 64 > 0

P(0) = 02 + 12 · 0 − 64 < 0

361 / 385


P(5) = 5 2 + 12 · 5 − 64 > 0

(-∞, −16] [4, ∞)

2x4 − 25x2 + 144 < 0

x4 − 25x2 + 144 = 0

(−4, −3) (−3, 3 ) (3, 4) .

3x4 − 16x2 − 225 ≥ 0

362 / 385


x4 − 16x2 − 225 = 0

(x2 - 25) · (x2 + 9) ≥ 0

El segundo factor siempre es positivo y distinto de

cero, sólo tenemos que estudiar el signo del 1 erfactor.

(x2 − 25) ≥ 0

(-∞, −5] [5, +∞)

5

Resolver las inecuaciones:

1

363 / 385


El binomio elevado al cuadrado es siempre positivo,

pero al tener delante el signo menos. resultará que el

demnominador será siempre negativo.

Multiplicando por −1:

(−-∞ , −1] (1, +∞)

2

364 / 385


[−2 , −1] (1, 2)

365 / 385


6.10. Ejercicios 2 - Inecuaciones

Ejercicios de inecuaciones

1 Resolver la inecuación:

2Resuelve:

4x2 − 4x + 1 ≤ 0

3 Resuelve:

4Halla los valores de k para los que las raíces de la

ecuación x2 − 6x + k = 0 sean las dos reales y distintas.

6 Resolver los sistemas:

1

2

3

366 / 385


1

Resolver la inecuación:

2

Resuelve:

4x2 − 4x + 1 ≤ 0

4x2 − 4x + 1 = 0

367 / 385


3

Resuelve:

El numerador siempre es positivo.

El denominador no se puede anular.

Por lo que la inecuación original será equivalente a:

x2 − 4 > 0

(−-∞ , −2) (2, +∞)

368 / 385


4

Halla los valores de k para los que las raíces de la


(−6)2 − 4k > 0

36 − 4k > 0 − 4k > − 36 k < 9

(−∞, 9)

5

Resolver los sistemas:

1

x = 4

y = 2

369 / 385


2

x + y = 0 (0, 0) (1, -1)

2 + 2 ≥ 0

2x − y = 0 (0, 0) (1, 2)

2 ·2 − 2 ≥ 0

370 / 385


3

x + y = 0 (0, 0) (1, -1)

2 + 2 ≥ 0

2x − y = 0 (0, 0) (1, 2)

2 ·2 − 2 ≥ 0

2 ≤ 6

371 / 385


372 / 385


6.11. Ejercicios de Inecuaciones de primer grado

Resolver las inecuaciones de primer grado

1

2

3

4

5

6 Halla los valores de k para los que las raíces de la


1

(1, ∞)

373 / 385


2

3

374 / 385


4

5

375 / 385


[3, +∞)

6

Halla los valores de k para los que las raíces de la


(−6)2 − 4k > 0

36 − 4k > 0 − 4k > − 36 k < 9

(−∞, 9)

7

376 / 385


2x + y ≤ 3

2x + y = 3

x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)

x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)

2 · 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí

377 / 385


8

2x + y > 3

2 · 0 + 0 > 3 0 > 3 No

En este caso los puntos de la recta no pertenecen a la

solución.

378 / 385


6.12. Ejercicios de Inecuaciones de segundo grado

Resolver las inecuaciones de segundo grado

1 x2 − 6x + 8 > 0

2 x2 + 2x +1 ≥ 0

3 x2 + x +1 > 0

4 7x2 + 21x − 28 < 0

5 −x2 + 4x − 7 < 0

6

7 4x2 − 4x + 1 ≤ 0

8

9 x4 − 25x2 − 144 < 0

10 x4 − 16x2 − 225 ≥ 0

1

x2 − 6x + 8 > 0

x2 − 6x + 8 = 0

379 / 385


P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0

S = (-∞, 2) (4, ∞)

2

x2 + 2x +1 = 0

(x + 1)2 ≥ 0

Todo número elevado al cuadrado es mayor o igual que

cero.

S =

3

x2 + x +1 > 0

380 / 385


x2 + x +1 = 0

P(0) = 0 + 0 + 1 > 0

El signo obtenido coincide con el de la

desigualdad, la solución es .

4

7x2 + 21x − 28 < 0

x2 +3x − 4 < 0

x2 +3x − 4 = 0

P(−6) = (−6)2 +3 · (−6)− 4 > 0

P(0) = 02 +3 · 0 − 4 < 0

P(3) = 32 +3 · 3 − 4 > 0

(−4, 1)

5

381 / 385


−x2 + 4x − 7 < 0

x2 − 4x + 7 = 0

P(0) = −02 + 4 ·0 − 7 < 0

S =

6

P(−3) = 4 · (−3)2 − 16 > 0

P(0) = 4 · 0 2 − 16 < 0

P(3) = 4 · 3 2 − 16 > 0

(-∞ , −2] [2, +∞)

7

382 / 385


4x2 − 4x + 1 ≤ 0

4x2 − 4x + 1 = 0

8

Como el primer factor es siempre positivo, sólo

tendremos que estudiar el signo del 2º factor.

P(−17) = (−17) 2 + 12 · 17 − 64 > 0

P(0) = 02 + 12 · 0 − 64 < 0

P(5) = 5 2 + 12 · 5 − 64 > 0

383 / 385


(-∞, −16] [4, ∞)

9

x4 − 25x2 − 144 < 0

x4 − 25x2 − 144 = 0

(−4, −3) (−3, 3 ) (3, 4) .

10

x4 − 16x2 − 225 ≥ 0

384 / 385


x4 − 16x2 − 225 = 0

(x2 - 25) · (x2 + 9) ≥ 0

El segundo factor siempre es positivo y distinto de

cero, sólo tenemos que estudiar el signo del 1 er factor.

(x2 − 25) ≥ 0

(-∞, −5] [5, +∞)

385 / 385

02 matematicas - algebra

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