02. inecuaciones lin cua v 050314 (1)

Araujo Cajamarca, Raul Eloy

ASIGNATURA

Grafica de sistema de inecuaciones

Semanas : 1

INVESTIGACIN OPERATIVA I

2 Araujo Cajamarca, Raul Eloy

Grafica de sistema de inecuaciones Inecuaciones.

Desigualdad: se llama desigualdad a toda relacin entre expresiones numricas o

algebraicas unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad , , , .

Inecuaciones de primer grado con dos variables: son aquellas en las que las variables que intervienen estn elevadas a un exponente igual a la unidad.

Expresin general: son de la forma ax by c y todas sus equivalentes ax by c , o ax by c , etc.

Representan zonas del plano, o dividen al plano en zonas. Mtodo de resolucin: se trata en el fondo de ecuaciones de rectas que debemos

resolver y luego analizar las zonas del plano en que se cumple la desigualdad inicial.

Para las inecuaciones de la forma ax by c , pasamos primero a la ecuacin lineal y mx b , despejando de modo adecuado. sta no es ms que la ecua-

cin de una recta en el plano, la cual divide al mismo en dos semiplanos. Uno de esos semiplanos contiene los puntos tales que y mx b y el otro los pun-

tos tales que y mx b . Se trata pues de determinar qu puntos son los que

cumplen la desigualdad o inecuacin previa. Para ello: Dibujamos la recta, una vez dibujada tomamos un punto x del eje de abs-

cisas cualquiera y trazamos la perpendicular por el mismo. El punto en que sta corta a la recta es tal que y mx b , prolongando la perpendicular

encontraremos los puntos tales que y mx b , y por debajo estarn los

que cumplen que y mx b .

Ejemplo_1: sea la inecuacin 2x y 4 . Pasamos a la ecuacin de la

recta y 2x 4 , la cual dibujamos dando valores a x e y.

x y0 42 0

con estos dos puntos es suficiente, ya que por dos

puntos pasa una y solo una recta. Trazamos una recta vertical por un punto cualquiera del eje de

abscisas. El punto en que sta corta a la recta la ordenada y cumple la ecuacin de la misma, es decir y = r, un punto por encima es mayor y uno por debajo es menor. Como nuestra inecuacin, despejada la y, es y 2x 4 , los puntos que la

cumplen son los del semiplano sombreado. La recta no est incluida por ser la desigualdad estricta.


Ejemplo_2: 2x y 4 , es similar al anterior, solo cambia el sentido

de la desigualdad y el hecho de que ahora no es estricta. Pasamos a la ecuacin y 2x 4 , igual que antes. Damos valores a x e y para

dibujarla:

x y0 42 0

la dibujamos y procedemos como antes. Ahora la recta

est incluida en la solucin.

Para las inecuaciones de la forma 2dy ax bx c 0 , pasamos primero a la

ecuacin 2y Ax Bx C , despejando de modo adecuado. sta no es ms

que la ecuacin de una parbola en el plano, la cual divide al mismo en dos semiplanos. Uno de esos semiplanos contiene los puntos tales que

y > r

y < r

y = r

y = r

y > r

y < r


2y Ax Bx C y el otro los puntos tales que 2y Ax Bx C . Se trata

pues de determinar qu puntos son los que cumplen la desigualdad o inecua-cin previa. Para ello: Dibujamos la parbola, una vez dibujada tomamos un punto x del eje de

abscisas cualquiera y trazamos la perpendicular por el mismo. El punto en

que sta corta a la parbola es tal que 2y Ax Bx C , prolongando la

perpendicular encontraremos los puntos tales que 2y Ax Bx C , y

por debajo estarn los que cumplen que 2y Ax Bx C .

Ejemplo_1: sea la inecuacin 2x y 1 . Pasamos a la ecuacin, des-

pejando siempre la y, 2y x 1 la cual dibujamos dando valores a x e

y, o bien aplicando las tcnicas vistas para dibujar parbolas, es decir: Buscar el vrtice y los puntos de corte con el eje de abscisas y

con el eje de ordenadas, los cuales son:

Vrtice, v v

b 0x 0 y 1

2a 2 1

Puntos de corte con el 2OX x 1 0 x 1

Punto de corte con el OY y c y 1

Trazamos una recta vertical por un punto cualquiera del eje de abscisas. El punto en que sta corta a la parbola la ordenada y cumple la ecuacin de la misma, es decir y = p, un punto por encima es mayor y uno por debajo es menor. Como nuestra

inecuacin, despejada la y, es 2y x 1 , los puntos que la

cumplen son los del semiplano sombreado. La parbola no est incluida por ser la desigualdad estricta.

Sistemas de inecuaciones

mixtas con dos variables: son sistemas formados por una inecuacin de primer grado y dos variables con otra de primer grado, tambin con dos variables. O bien ambas de segundo grado. O bien una de cada.

y > p

y = p

y < p


Sistemas de dos ecuaciones y dos variables de primer grado: son de la forma

1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

, o cualquiera de sus variaciones.

Mtodo de resolucin: dibujamos ambas rectas por separado. Buscamos los semiplanos que cada recta produce en el plano, y por ltimo buscamos las zonas de interseccin de ambos, o los puntos del plano que cumplen ambas desigualdades simultneamente.

Ejemplo_1: x y 5

2x y 2

Sistemas de dos ecuaciones y dos variables, una de primer grado y la otra de

segundo: son de la forma 1 1 1

2

1 2 2 2

a x b y c

d y a x b x c 0

, o cualquiera de sus

variaciones. Mtodo de resolucin: dibujamos la recta y la parbola en el mismo plano

y buscamos la zona del plano comn a ambas desigualdades.

Ejemplo_2: 2x y 4

y 2x

, la solucin en la grfica_2.

Sistemas de dos ecuaciones y dos variables, ambas de segundo grado: son de

la forma

2

1 1 1 1

2

2 2 2 2

d y a x b x c 0

d y a x b x c 0


Solucin

Est incluida

No est incluida

Grsfica_1


Mtodo de resolucin: dibujamos ambas parbolas y buscamos la zona del plano que cumple ambas desigualdades.

Ejemplo_3: 2

2

x y 4

y x 4

, la solucin en la grfica_3.

Sistemas de ms de dos ecuaciones y dos variables de primer grado: son de la

forma

1 1 1

2 2 2

3 3 3

n n n

a x b y c

a x b y c

a x b y c

a x b y c


Solucin

Grfica_2

No estn incluidos

los cierres

Grfica_3

Solucin

No estn incluidos

los cierres


Mtodo de resolucin: el mismo seguido hasta ahora, la dificultad estar solo en el nmero de ecuaciones que intervengan y en el orden y claridad que sigamos para ir dibujando las distintas regiones pertenecientes a cada inecuacin por separado, para de este modo poder ver con claridad cul es la regin comn a todas ellas, conocida sta como regin factible.

Ejemplo_1:

4x y 20

y 8

x 2y 12

Ejemplo_2:

4x 3y 12

x 2y 6

x y 5

x 0

y 0


Actividades parte 01

P1.- Hallar la regin de factibilidad de las siguientes inecuaciones con dos incgnitas:

a) 2 5x y

b) 2 3 1

2 3

y x

c) 3 2 5 0x y

d) 3 2 2x y

e) 2 3 0x y

f) 2x y

P2.- Determinar la regin de factibilidad de los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incgnitas y los vrtices en cada caso.

a) 3

3 3 9

x y

x y

b)

3 8

2 4

x y y

y x

c)

2 0

1

x y

x y

d)

3 2 0

2 3 0

4 12 0

x y

x y

x y

e) 0

2 2 0

x y

x y

x y

f)

8

4 20

2 12

y

x y

x y

g)

4 3 12

2 6

5

0

0

x y

x y

x y

x

y

h)

0

0

2 3 12

4 9 30

x

y

x y

x y

i) 1 x 2 3x

3 x 2 5x

j)

x 1 x 3x

3 2

4x 2 x 1x

4 3

k)

x 0

y 0

y x

x 2y 12

l)

x 0

y 0

y 2 x

y x 1

m)

x 3y 2 0

2x y 3 0

x 4y 12 0

n)

x y

x y 0

2x y 2 0

o)

2 x 2

y 4

x y 1 0

p)

x 3y 2 0

2x y 3 0

x 2y 4 0

q)

x 2y 3 0

x 2y 3 0

3x y 3 0

r)

x 2y 7 0

2x 3y 0

2x y 4 0


De dnde se generan las inecuaciones:

Ejemplo 01: Una compaa de sillas produce dos modelos de sillas. El modelo Secuoya toma 3 horas de trabajo para ensamblarlo y hora de trabajo para pintarlo. El modelo Saratoga toma 2 horas de trabajo para ensamblarlo y 1 hora de trabajo para pintarlo. El nmero mximo de horas de trabajo disponibles para ensamblar sillas es de 240 por da, y el nmero mximo de horas de trabajo disponibles para pintar sillas es de 80 diarias. Escriba un sistema de desigualdades lineales para describir la situacin. Sea x el nmero de modelos Secuoya producidos en un da y y el nmero de modelos Saratoga producidos

en un da. Determine la regin descrita por este sistema de desigualdades lineales. Solucin: Vamos a planificar la produccin de sillas por da, de ambos modelos Las variables de decisin son: x : Numero de sillas modelo Secuoya a producir por da y : Numero de sillas modelo Saratoga a producir por da

Producto Recursos(Horas) Sillas modelo: Ensamblado Pintado

Secuoya 3 0.5

Saratoga 2 1

Disponibilidad 240 80

El modelo matemtico: 3 2 240x y 1R

0.5 80x y . 2R

0x 0y


La solucin:

20 40 60 80 100 120 140 160 180

20

40

60

80

100

120

140

160

(0;120)

(160;0)(80;0)

(0;80)

x

y

R1

R2


Grafiquemos 1R

x y0 120

80 0 Entonces los puntos en el plano cartesiano por donde pasan las rectas son:

0;120 y 80;0 Grafiquemos 2R

x y0 80

160 0 Entonces los puntos en el plano cartesiano por donde pasan las rectas son:

0;80 y 160;0


Actividades parte 02

Representar la regin factible que determina cada sistema de inecuaciones

y hallar de forma razonada los vrtices de la regin factible. 1. Se dispone de 120 refrescos de cola con cafena y de 180 refrescos de cola sin

cafena. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafena y tres sin cafena, y los de tipo B contienen dos con cafena y cuatro sin cafena. Plantea el conjunto de restricciones de este enunciado y calcular de forma razona la regin factible y los vrtices de esta para repartir los refrescos en los dos tipos de paquetes.

2. Problema 3. El INSERSO debe organizar un viaje para 800 personas con cierta empresa que dispone de 16 autobuses de 40 plazas cada uno y 20 autobuses de 50 plazas cada uno. Plantea el conjunto de restricciones de este enunciado y halla la regin factible y los vrtices de esta, para averiguar el nmero adecuado de autobuses de cada tipo sabiendo que la empresa solo dispone de 18 conductores.

3. Una industria fabrica bolgrafos y plumas estilogrficas. Las mquinas limitan la produccin de manera que cada da no se pueden producir ms de 200 bolgrafos ni ms de 150 plumas estilogrficas, y el total de la produccin no puede superar las 250 unidades. La industria vende siempre toda la produccin. Plantea el conjunto de restricciones de este enunciado y calcular de forma razona la regin factible y los vrtices de esta para saber el posible nmero de bolgrafos y plumas que deben de fabricarse diariamente.

4. Una fbrica produce lmparas y f o c o s halgenos. La capacidad mxima diaria de fabricacin es de 1000, entre lmparas normales y focos halgenos, si bien, no se pueden fabricar ms de 800 lmparas normales ni ms de 600 focos halgenos. Se sabe que la fbrica ven d e toda la produccin. Plantea el conjunto de restricciones de este enunciado y calcular de forma razona la regin factible y los vrtices de esta para saber el posible nmero de lmparas y focos halgenos que deben de fabricarse diariamente.

5. Una empresa dispone de un mximo de 16.000 unidades de un producto que puede vender en unidades sueltas o en lotes de cuatro unidades. Para empaquetar un lote de cuatro unidades se necesita el triple de material que para empaquetar una unidad suelta. Si se dispone de material para empaquetar 15.000 unidades sueltas. Plantea el conjunto de restricciones de este enunciado y calcular de forma razona la regin factible y los vrtices de esta para averiguar las posibles formas en las que deben repartirse el producto en lotes de 1 unidad y lotes de 4 unidades.

6. Una compaa fabrica y vende modelos de lmparas A y B. Para su fabricacin se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo A y de 3 0


minutos para el modelo B; y un trabajo de mquina de 20 minutos para el modelo A y de 10 minutos para el modelo B. Se dispone para el trabajo manual de 6000 minutos al mes y para el de mquina de 4800 minutos al mes. Plantea el conjunto de restricciones de este enunciado y calcular de forma razona la regin factible y los vrtices de esta para saber el posible nmero de lmparas A y B que deben de fabricarse diariamente.

7. Debo tomar al menos 60mg de vitamina A y al menos 90mg de vitamina B diariamente. En la farmacia puedo adquirir dos pastillas de marcas diferentes X e Y. Cada pastilla de la marca X contiene 10mg de vitamina A y 15mg de vitamina B, y cada pastilla de la marca Y contiene 10mg de cada vitamina. Adems no es conveniente t o ma r ms de 8 pastillas diarias. Plantea el conjunto de restricciones de este enunciado y calcular de forma razona la regin factible y los vrtices de esta para saber el posible nmero de pastillas de marca X e Y que debe de tomar diariamente.

8. Un tren de mercancas puede arrastrar, como mximo, 27 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mnimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad que dedica a los coches. Plantea el conjunto de restricciones de este enunciado y calcular de forma razona la regin factible y los vrtices de esta que indique las distintas formas de realizar el transporte segn el nmero de vagones dedicados a coches y a motocicletas

9. Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer prstamos de riesgo alto y medio. Sabiendo que se debe dedicar al menos 4 millones de euros a prstamos de riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razn de 4 a 5, determinar el conjunto de restricciones de este enunciado y calcular de forma razona la regin factible y los vrtices de esta que nos indique las posibles formas de dedicar el dinero a prstamos de riesgo y alto y de riesgo medio.

10. En un almacn de productos deportivos cuentan con 200 balones y 300 camisetas. Tras un estudio de mercado deciden poner las existencias a la venta en dos tipos de lotes. El nmero total de lotes no debe de superar los 110 y, en particular, el nmero mximo de lotes del primer tipo no debe superar los 60.

a) Representa las distintas formas de elaborar los lotes b) Indica si cada una de las siguientes posibilidades verifican las condiciones:

o 40 del primer tipo y 80 del segundo. o 40 del primer tipo y 70 del segundo. o 70 del primer tipo y ninguno del segundo


11. El tratamiento de una enfermedad requiere la administracin de dos sustancias curativas, Ceprin y Dosina. Cada semana es preciso consumir por lo menos 30 mg de Ceprin y 42 mg de Dosina. Estas sustancias estn incluidas en dos tipos de medicamentos diferentes, A y B de la forma siguiente:

En un comprimido A hay 3mg de Ceprin y 5 mg de Dosina.

En un comprimido B hay 1mg de Ceprin y 1 mg de Dosina.

a) Representa grficamente las posibles formas en que deben administrarse

al paciente las dosis necesarias. b) Indica si las condiciones se verifican al tomar:

a. 1 comprimido de A cada da de la semana

b. 1 comprimido de B de lunes a viernes

c. 2 comprimidos de B los sbados y domingos

12. Una empresa produce dos tipos de artculos: mvil y Tablet, que tienen que pasar por la seccin de acabado, A y por la de control, B. En la seccin A se pueden acabar 3 mviles por cada Tablet, estando su capacidad mxima de produccin en 270; pero en la seccin B no se pueden comprobar ms de 140 artculos. Representa grficamente las posibles formas en que deben producirse los mviles y los tablets.

13. Un operario de una empresa de cartonajes dispone de 224m de cartn para

hacer dos tipos de cajas, una de ellas necesita 20.08m d e cartn (modelo A) y

la otra precisa de 20.03m (modelo B). El obrero trabaja a destajo y tarda en hacer las cajas de tipo A, 10 minutos y las de tipo B, 15 minutos. Si su jornada laboral es de 8 horas, representa grficamente las posibles formas en que debe de realizar el operario las cajas de tipo A y B.

02. inecuaciones lin cua v 050314 (1)

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