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REDES ESPACIALES Y SISTEMAS CRISTALINOS

Redes Espaciales

La estructura física de los materiales tiene una gran importancia,

principalmente en cuánto a la disposición de los átomos, iones o

moléculas que constituyen el sólido y de las fuerzas de enlace entre ellos.

Si los átomos o iones están ordenados según una disposición que se

repite en las tres dimensiones, forman un sólido que posee estructura

cristalina. Ejemplos son los metales, las aleaciones y ciertas cerámicas.

La disposición atómica en los sólidos cristalinos, se puede representar

considerando a los átomos como los puntos de intersección con una red

de líneas en tres dimensiones. Esta red se denomina red espacial.

Cada punto de la red espacial tiene idéntico entorno. Una red espacial se

puede describir especif icando la disposición de los átomos en una celda

unitaria, que se repita según las tres direcciones de un sistema de

coordenadas.

El tamaño y forma de la celda unitaria, puede describirse mediante tres

vectores a, b y c , con un vértice común en la celda unidad. Las longitudes

de los ejes a, b y c y sus ángulos , y son las constantes reticulares

de la celda unidad.

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Sistemas Cristalinos

Se pueden construir celdas unitarias de distinto tipo, pero las

cristalográf icas han demostrado que sólo son necesarios siete sistemas

cristalinos para describir todas las redes posibles.

Bravais, (cristalógrafo francés) mostró que catorce celdas unitarias,

describían todas las redes posibles.

Posiciones atómicas en celdas unitarias cúbicas

Para localizar las posiciones atómicas en las celdil las unitarias cúbicas,

vamos a usar un sistema x, y, z . En cristalografía, el eje positivo x es

normalmente la dirección hacia fuera del papel, el eje positivo y es la

dirección hacia la derecha del papel, y el eje positivo z es la dirección

hacia arriba, de acuerdo a la f igura que esta a continuación del

texto(a).Las direcciones negativas son las opuestas a las descriptas más

arriba.

Las posiciones atómicas se localizan usando distancias unitarias a lo largo

de los ejes x, y, z como se indica en la misma f igura (b). Por ejemplo, la

posición en coordenadas para los átomos en la celdi l la unidad BCC se

muestra en la f igura (b). Las posiciones atómicas para los ocho átomos

situados en los vértices de la celdi l la unidad BCC son:

(0, 0, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)

(1, 1, 1) (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 1)

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El átomo central de la celdil la unidad BCC tiene de coordenadas (½,½,½).

Por simplicidad, a veces se especif ican sólo dos posiciones atómicas de la

celdil la unidad BCC como son (0,0,0) y (½,½,½). Las posiciones atómicas

restantes de la celdil la unidad BCC se consideran sobreentendidas.

Análogamente, se pueden localizar las posiciones atómicas de la celdil la

unidad FCC.

POSICIONES DE PLANOS CRISTALOGRÁFICOS EN CELDILLAS UNIDAD CÚBICAS

Índices de Miller

El conjunto de átomos, iones o moléculas que conf iguran la red cristalina,

pueden considerarse como ubicados en planos que los contienen. Ahora

bien, esos planos no están necesariamente ubicados en posiciones

horizontales o verticales, sino que pueden describirse multitud de planos

orientados en distintas direcciones, y de hecho conteniendo un número

variable de átomos. Se dice entonces que hay planos con alta población o

escasa población. Es evidente que los planos de escasa población, son de

menor importancia física, debido a que los escasos átomos agregan pocas

fuerzas de atracción al plano y no afectan signif icativamente al sistema.

En tanto que en planos de alta población, todas las fuerzas interatómicas

que actúan, hacen importante al mismo cuando el cristal es sometido a

cualquier factor fís ico o químico.

De todo esto surge la importancia de poder conocer la orientación

cristalográf ica de uno o varios de estos planos. Para ello se emplea el

método desarrollado por Miller (cristalógrafo inglés) conocido actualmente

como índices de Mil ler.

El procedimiento para determinar los Índices de Miller es el siguiente:

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1. Se elige un plano que no pase por el origen en (0, 0, 0)

2. Se determinan las intersecciones del plano con los tres ejes

cristalográf icas x, y, z para un cubo unidad. Estas intersecciones pueden

ser fracciones.

3. Se obtienen los recíprocos de estas intersecciones.

4. Se eliminan las fracciones y se determina el conjunto más pequeño de

números enteros que estén entre sí en la misma relación que las

intersecciones. Estos números enteros son los índices de Miller de un

plano cristalográf ico y se encierran entre paréntesis sin usar comas. Se

util iza la notación (hkl) para indicar índices de Miller en un sentido

general, donde h, k y l, son los índices de Miller de un plano de un cristal

cúbico para los ejes x, y, z, respectivamente

Un ejemplo permitirá aclarar las cosas. Supongamos que sometemos una

barra metálica a un esfuerzo de tracción y que disponemos de un medio

ideal imaginario, que permite visualizar el proceso.

En tanto éste (el proceso de tracción) avanza se puede observar que la

deformación del cristal, no se lleva a cabo en forma uniforme, sino que

tiene lugar a través de ciertos planos paralelos a aquellos de alta

densidad de átomos. Este mecanismo se conoce como deslizamiento y

pone de relieve, reiteramos, la importancia de conocer la población de

ciertos planos.

1 2, ,1

3 3

3 3 1, ,

1 2 1

3 3 1, , .2

1 2 1

632

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La ubicación de estos planos y su población se lleva a cabo determinando

los índices de Miller correspondientes. Más adelante se volverá sobre este

tema.

POLIMORFISMO O ALOTROPÍA

Muchos elementos y compuestos existen con más de una estructura

cristalina, según sean las condiciones de temperatura y presión. A este

fenómeno se lo llama polimorf ismo o alotropía. Ejemplo:

ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS CRISTALINAS

El conocimiento actual de las estructuras cristal inas se ha obtenido

principalmente a partir de técnicas de difracción de rayos x, usando rayos

x de longitudes determinadas. Éstos al incidir sobre sólidos cristalinos

interf ieren, y por medios fotográf icos, pueden determinarse parámetros

estructurales. La producción de rayos x se verá en forma general, al

estudiar ensayos no destructivos. Pero para el caso que nos ocupa, el

generador se modif ica de forma de obtener rayos x de longitud de onda

compatibles con las distancias interplanares. Esto se debe entender como

que la longitud de onda de Rx, y la distancia interplanar deben ser

sensiblemente iguales.

Difracción: Cuando un haz de luz, de propagación rectil ínea en un medio

homogéneo, atraviesa una abertura de ancho próximo a la longitud de

onda del haz, éste se desvía un cierto ángulo.

Por el principio de Huygens, el haz de luz, que ahora lo vamos a

considerar como un frente de ondas, si pasa a través de varias aberturas,

talladas en un material plano, similares a la anterior, cada abertura se

transforma en emisor de un nuevo frente de ondas. Estos nuevos frentes

de onda interactúan entre sí (interf ieren) y dan como resultado zonas de

luz y de sombra. Hecho que puede visualizarse con facil idad, haciendo

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incidir la luz que emiten las ranuras sobre una pantalla blanca o mejor

una película fotográf ica. La placa, provista de aberturas bien def inidas, se

conoce como red de difracción.

El físico alemán von Lane, fue quien conf irmó, experimentalmente, los

diagramas de difracción e interferencia. W.H. Bragg y su hijo, estimaron,

en base a lo precedente, que un cristal podría actuar como red de

difracción tridimensional.

En rigor, el método que desarrollaron los Bragg, considera a los planos

cristalinos como una red de reflexión, pero los resultados son igualmente

válidos. Esto condujo a la importante ley de Bragg. Para ello consideró a

un cristal como una red de reflexión para rayos x de longitud de onda

uniforme.

Cada átomo puede producir la dispersión de los Rx, en una extensión que

depende del número de electrones y cada plano de átomos en un cristal.

Consideremos un mínimo de planos reticulares, idénticos, cuyas secciones

están representadas por las líneas AA, BB, CC, etc.

Consideremos los rayos X incidentes 1 y 2 conforme se indica en la f igura,

para que estos rayos estén en fase la distancia extra de recorrido del rayo

2, que es igual a MP + PN, tiene que ser igual a un número entero de

longitudes de onda . Así,

n = MP + PN

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Donde n = 1, 2, 3,... y se llama orden de difracción. Puesto que MP y PN

son ambos iguales a dhkl sen, donde dhkl es el espaciamiento o distancia

interplanar de los planos del cristal de índices (hkl), la condición para

interferencia constructiva (por ejemplo, la producción de un pico de

difracción de radiación intensa) tiene que ser:

n = 2 dhkl sen

Esta ecuación, conocida como ley de Bragg, establece la relación entre las

posiciones angulares de los haces difractados, la longitud de onda de la

radiación de rayos X incidente y las distancias interplanares de los planos

cristalinos. En la mayor parte de los casos se uti l iza el primer orden de

difracción donde n = 1 y en este caso la ley de Bragg toma la forma

= 2dhkl sen

IMPERFECCIONES CRISTALINAS

Los cristales no poseen estructuras perfectas, sino que aparecen con

frecuencia defectos o imperfecciones que afectan sensiblemente sus

propiedades físicas y mecánicas.

Las imperfecciones más comunes son:

I.- Defectos puntuales de dimensión cero.

II.- Defectos de línea o de una dimensión, llamadas dislocaciones.

III.- Defectos de dos dimensiones, que incluyen superf icies externas y

límites de grano.

IV.- Defectos macroscópicos, poros, f isuras e inclusiones extrañas .

Defectos puntuales: Es un hueco creado en la red cristalina, por

pérdida de un átomo que se encontraba en ese lugar, dejando un lugar

vacante.

Vacancia

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Pueden producirse durante la solidif icación como resultado de

perturbaciones locales. Vacantes adicionales en metales, pueden

producirse por deformación plástica, por enfriamiento rápido, o por

bombardeo con neutrones.

En los cristales iónicos tipo ClNa, pueden producirse casos más

complejos.

1) Cuando en un cristal iónico faltan dos iones cargados con signo

opuesto, se produce una vacante conocida como ¨ defecto Schottky ¨.

Cuando en un cristal iónico, un catión se desplaza a un hueco intersticial

en el cristal, la vacante catiónica que se crea se llama ¨ defecto de

Frenkel ¨.

La presencia de estos defectos en un cristal iónico, aumenta su

conductibi l idad eléctrica.

2) Los defectos de línea o dislocaciones en sólidos cristalinos, son

defectos que dan lugar a una distorsión de la red en torno a una línea.

Las dislocaciones se producen durante el proceso de solidif icación de los

sólidos cristalinos. También pueden formarse por deformación plástica o

por condensación de vacantes.

Hay dos tipos de dislocaciones, de cuña y helicoidal. Puede haber una

tercera, mezcla de las dos anteriores.

Las dislocaciones de cuña se crean por inserción de un semiplano

adicional de átomos en un cristal.

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La distancia de desplazamiento de átomos cercanos a una dislocación se

llama vector de Burgers.

La dislocación helicoidal puede formarse en un cristal perfecto por la

acción de esfuerzos de corte.

En cualquiera de los casos las dislocaciones son defectos de desequil ibrio

y almacenan energía en la zona cercana distorsionada. Su presencia

permite interpretar, el comportamiento anormal de muchos materiales.

Las dislocaciones se pueden observar con ayuda de un microscopio

electrónico de transmisión (TEM).

En la f igura se observa la representación esquemática de la disposición

del sistema de lentes en un microscopio electrónico de transmisión. Todas

las lentes están colocadas en una columna a la que se le hace vacío

durante la operación. El camino del haz de electrones desde la fuente de

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electrones hasta el f inal de la imagen transmitida proyectada esta

indicada con flechas. La muestra debe ser suf icientemente delgada para

que el haz de electrones sea transmitido a través de ella y esta colocada

entre el condensador y el objetivo.