02-1_mod_univ

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Prof. AdriProf. Adriáán Fernn FernáándezndezCURSO METODOS CUANTITATIVOS AVANZADOS CURSO METODOS CUANTITATIVOS AVANZADOS --

OpciOpcióón Econometrn Econometrííaa

EdiciEdicióón 2009n 2009

MODELIZACIMODELIZACIÓÓN N UNIVARIANTEUNIVARIANTE

ContenidoContenido

1. Procesos estacionarios1. Procesos estacionarios2. Procesos Autoregresivos (AR)2. Procesos Autoregresivos (AR)3. Procesos de Medias M3. Procesos de Medias Móóviles (MA)viles (MA)4. Procesos ARMA4. Procesos ARMA5. Procesos no estacionarios5. Procesos no estacionarios

2

1. Proceso estoc1. Proceso estocáásticostico

Conjunto de Conjunto de observaciones sobre una variableobservaciones sobre una variable(producci(produccióón de una empresa, de un artn de una empresa, de un artíículo, culo, exportaciones, cotizaciexportaciones, cotizacióón del dn del dóólar, precio de un lar, precio de un producto, tasa de desocupaciproducto, tasa de desocupacióón, precios, cotizacin, precios, cotizacióón de n de una acciuna accióón en la Bolsa, etc.), observada a n en la Bolsa, etc.), observada a intervalos intervalos regulares de tiemporegulares de tiempo (diarios, mensuales, trimestrales, (diarios, mensuales, trimestrales, etc.).etc.).

Proceso estocProceso estocáástico: sucesistico: sucesióón de n de variables aleatoriasvariables aleatoriasque estque estáán ordenadas en el tiempon ordenadas en el tiempo

... , y1, y2, ... , yT

Constituye una sucesiConstituye una sucesióón en la que cada n en la que cada ““observaciobservacióónn””corresponde a una variable aleatoria, y corresponde a una variable aleatoria, y la ordenacila ordenacióónnde la suceside la sucesióón de observaciones es esencial en el n de observaciones es esencial en el ananáálisis.lisis.

1. Proceso estoc1. Proceso estocáásticostico

Vamos a caracterizar un proceso estocVamos a caracterizar un proceso estocáástico stico (aleatorio) por sus (aleatorio) por sus momentosmomentos..

MediaMediaµ(t) = E [ y(t) ]

VarianzaVarianzaσ2(t) = Var [ y(t) ] = E {[ y(t) - µ(t)]2}

AutocovarianzasAutocovarianzasγt,s=cov[y(t),y(s)]=E{[y(t)-µ(t)] [y(s)-µ(s)]}

3

1. Proceso estacionario1. Proceso estacionario

Un proceso estocUn proceso estocáástico se dice stico se dice estacionarioestacionario en en sentido estrictosentido estricto si su PGD (Proceso Generador de Datos) es invariante en el tiemp.

La definiciLa definicióón operativa es n operativa es estacionarioestacionario en sentido en sentido amplioamplio si sus momentos de 1er y 2do orden son invariantes en el tiempo.

Media: Media: E [ y(t) ] = µ ∀tVarianza: Varianza: Var [ y(t) ] = σ2 = γ0 ∀tAutocovarianzasAutocovarianzas: : Cov[y(t),y(t-k)]= γk ∀t(pero no necesariamente debe ser γk1 = γk2 )

200 realizaciones de varias series: 200 realizaciones de varias series: ¿¿estacionarias?estacionarias?

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20

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30

Proceso estacionario Proceso estacionario -- EjemplosEjemplos

15

17

19

21

23

25

10

15

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25

30

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

18/1

0/9

9

18/1

2/9

9

18/0

2/0

0

18/0

4/0

0

18/0

6/0

0

18/0

8/0

0

18/1

0/0

0

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2/0

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18/0

2/0

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1

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2/0

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4/0

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6/0

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8/0

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0/0

2

18/1

2/0

2

18/0

2/0

3

18/0

4/0

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6/0

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0/0

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3

18/0

2/0

4

18/0

4/0

4

Euro/US$ Euro/US$ 19991999--2004 2004 (diaria)(diaria)

Los procesos estacionarios no pueden presentar Los procesos estacionarios no pueden presentar tendenciatendencia..

Tiene que producirse una reversiTiene que producirse una reversióón a la media cuando algn a la media cuando algúún factor (n factor (choquechoque o o shockshock) provoca un desv) provoca un desvíío. o.

La variabilidad (La variabilidad (volatilidadvolatilidad) de la serie tambi) de la serie tambiéén debe ser estable.n debe ser estable.

4

2. Procesos AR2. Procesos AR-- Momentos y Momentos y correlogramacorrelograma

En el caso de un modelo AR(1):En el caso de un modelo AR(1):

yytt = C + = C + φφ11 yytt--11 + a+ att con acon att ~ N(0,~ N(0,σσ22))

El modelo es estacionario si El modelo es estacionario si φφ11 < 1< 1

21

2

0

1

1)(

1)(

φσγ

φµ

−==

−==

t

t

yV

CyE

2. Procesos AR2. Procesos AR-- Momentos y Momentos y correlogramacorrelograma

10

110111),( φ

γγργφγ ==⇒==−tt yyCOV

La autocovarianza y La autocovarianza y coefcoef. de correlaci. de correlacióón de 1er. orden:n de 1er. orden:

kkk

kkktt yyCOV 1

001),( φ

γγργφγ ==⇒==−

Correlograma parcial (Correlograma parcial (pacpac)). En un modelo AR(1), la . En un modelo AR(1), la covarianza de orden 2 covarianza de orden 2 [[COV(yCOV(ytt,y,ytt--22) ) ]] es distinta de es distinta de cero. cero. ¿¿Por quPor quéé??

yytt--22 estestáá relacionado con yrelacionado con ytt--1 1 y y éésta, a su vez, con ysta, a su vez, con ytt. El . El correlograma parcial correlograma parcial ““eliminaelimina”” el efecto indirecto.el efecto indirecto.

5

►► En el trabajo con una serie no conocemos el proceso que la En el trabajo con una serie no conocemos el proceso que la genergeneróó. De ah. De ahíí, tendremos que inferir el tipo de proceso a partir , tendremos que inferir el tipo de proceso a partir del estudio de la serie y, en especial, de su correlograma.del estudio de la serie y, en especial, de su correlograma.

►► Es decir, es importante conocer los Es decir, es importante conocer los correlogramascorrelogramas teteóóricos para ricos para luego comparar el de la serie objetivo con luego comparar el de la serie objetivo con ééstos.stos.

►► CorrelogramasCorrelogramas parecidos pueden provenir de distintos modelos. parecidos pueden provenir de distintos modelos. Este es el correspondiente a una serie AR(2):Este es el correspondiente a una serie AR(2):

yytt = 0,5* y= 0,5* ytt--11 + 0,3*y+ 0,3*ytt--22 + a+ att

Procesos ARProcesos AR-- Momentos y Momentos y correlogramacorrelograma

==============================================================Included observations: 200============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== .|****** | .|****** | 1 0.738 0.738 110.63 0.000 .|***** | .|*** | 2 0.701 0.342 210.78 0.000 .|**** | *|. | 3 0.536-0.141 269.72 0.000 .|*** | *|. | 4 0.446-0.061 310.70 0.000 .|*** | .|. | 5 0.349 0.005 335.91 0.000 .|** | .|. | 6 0.289 0.028 353.27 0.000 .|** | .|. | 7 0.238 0.021 365.14 0.000 .|** | .|. | 8 0.213 0.036 374.69 0.000 .|* | .|. | 9 0.180-0.007 381.56 0.000 .|* | .|. | 10 0.172 0.023 387.82 0.000 .|* | .|. | 11 0.147-0.005 392.42 0.000 .|* | .|. | 12 0.142 0.017 396.78 0.000==============================================================

El modelo AR(p) es: El modelo AR(p) es:

yytt = C + = C + φφ11 yytt--11+ + φφ22 yytt--22 + ... + + ... + φφpp yytt--pp + a+ attUtilizando el operador de retardo L (por el inglUtilizando el operador de retardo L (por el ingléés s laglag) ) queda:queda:

yytt= C+= C+φφ11 LyLytt + + φφ22 LL22yytt + ... + + ... + φφpp LLppyytt+ a+ at t => (1=> (1-- φφ11 LL-- φφ22 LL22 -- ... ... -- φφpp LLpp) y) yt t = C + a= C + at t

La expresiLa expresióón entre parn entre parééntesis puede asimilarse a un ntesis puede asimilarse a un polinomio: polinomio: ΦΦ(L) y(L) yt t = C + a= C + at t La condiciLa condicióón para que el proceso sea estacionario es que n para que el proceso sea estacionario es que el polinomio el polinomio ΦΦ(L(L) tenga sus ra) tenga sus raííces ces ““fuera del cfuera del cíírculo rculo unidadunidad””..

Es decir, que sus raEs decir, que sus raííces sean, en mces sean, en móódulo, superiores a 1.dulo, superiores a 1.

Procesos ARProcesos AR-- EstacionariedadEstacionariedad

6

El caso de un AR(1): (1El caso de un AR(1): (1-- φφ11 L) yL) yt t =C+a=C+at t La raLa raííz es 1/ z es 1/ φφ11. . 1/ 1/ φφ11>1 => >1 => φφ11< 1 < 1

El caso de un El caso de un AR(pAR(p): ): F(LF(L) yt = C + at ) yt = C + at

TendrTendráá ““pp”” raraííces (en general complejas).ces (en general complejas).

Cada raCada raííz z ““rr”” admite 5 posibilidades:admite 5 posibilidades:

1/r 1/r > 1 Crecimiento explosivo.> 1 Crecimiento explosivo.1/r = 1 No estacionario. Caminata al azar.1/r = 1 No estacionario. Caminata al azar.1/1/rr<< 1 Estacionario.1 Estacionario.1/r = 1/r = --1 No estacionario. Alterna signos.1 No estacionario. Alterna signos.1/r < 1/r < --1 Crece alternando signos.1 Crece alternando signos.


En En úúltima instancia, los casos que nos interesarltima instancia, los casos que nos interesaráádistinguir son los de distinguir son los de

1/r = 1 (=>r=1, ra1/r = 1 (=>r=1, raííz unitaria) con z unitaria) con 1/r1/r<< 1.1.

Es decir, nos interesa determinar si la serie presenta Es decir, nos interesa determinar si la serie presenta una una raraííz unitariaz unitaria. Para ello disponemos de las . Para ello disponemos de las siguientes herramientas:siguientes herramientas:

�� AnAnáálisis grlisis grááfico y correlograma (detectando por el fico y correlograma (detectando por el comportamiento de una serie con racomportamiento de una serie con raííz unitaria).z unitaria).

�� Test de raTest de raííz unitaria (z unitaria (DickeyDickey--FullerFuller).).

Las series financieras tienden a presentar Las series financieras tienden a presentar comportamientos de caminatas al azar (comportamientos de caminatas al azar (randomrandomwalkwalk): ): yytt = = yytt--11 +a+att


7

33. Procesos de Medias M. Procesos de Medias Móóviles (MA)viles (MA)

►► Algunas series presentan reacciones a Algunas series presentan reacciones a shocksshocks, pero r, pero ráápidamente se pidamente se produce el retorno al equilibrio. Este tipo de procesos no son bproduce el retorno al equilibrio. Este tipo de procesos no son bien ien descriptos por modelos AR. Para ello estdescriptos por modelos AR. Para ello estáán los modelos de Medias n los modelos de Medias MMóóviles (viles (MovingMoving AveragesAverages, MA, en ingl, MA, en ingléés).s).

►► Ejemplo: el precio de un bien agrEjemplo: el precio de un bien agríícola, que reacciona a cola, que reacciona a shocksshocks o o choques (como sequchoques (como sequíías) aunque reajusta en uno o dos peras) aunque reajusta en uno o dos perííodos.odos.

►► En general, un modelo En general, un modelo MA(qMA(q) puede ser escrito como:) puede ser escrito como:

yytt = C + a= C + at t + + θθ11 aatt--11 + + θθ22 aatt--22 + ... + + ... + θθqq aatt--qqdonde adonde att es un ruido blanco: aes un ruido blanco: att ~ N(0,~ N(0,σσ22))

33. Procesos de Medias M. Procesos de Medias Móóviles (MA)viles (MA)

►► En la ausencia de nuevos choques, el proceso MA En la ausencia de nuevos choques, el proceso MA retorna a su equilibrio en un nretorna a su equilibrio en un núúmero finito de permero finito de perííodos odos (de acuerdo al orden (de acuerdo al orden ““qq”” del proceso), usualmente un del proceso), usualmente un nnúúmero pequemero pequeñño.o.

►► El proceso AR retorna al equilibrio con movimientos El proceso AR retorna al equilibrio con movimientos decrecientes pero, estrictamente, nunca lo alcanza. Se decrecientes pero, estrictamente, nunca lo alcanza. Se dice que los modelos AR tienen memoria dice que los modelos AR tienen memoria ““infinitainfinita””..

►► El caso mEl caso máás sencillo es un MA(1): ys sencillo es un MA(1): ytt = C + a= C + at t + + θθ11 aatt--11El modelo es siempre estacionario.El modelo es siempre estacionario.

1 0),(

),(

)1()(

)(

2111

2210

>∀====

+==

==

−

−

kyyCOV

yyCOV

yV

CyE

kktt

tt

t

t

γσθγ

σθγ

µ

8

En el caso del modelo general MA(q): En el caso del modelo general MA(q):

yytt = C + a= C + at t + + θθ11 aatt--11+ + θθ22 aatt--22+ ... + + ... + θθqq aatt--qq

>=≤≠

===

===

−

qk

qk

yV

yyCOV

yVCyE

k

t

kttk

tt

0

0

)(),(

)( )(

0

0

γγρ

γµ

El correlograma tendrEl correlograma tendráá ““qq”” valores distintos de cero valores distintos de cero (significativos), y el resto no significativos.(significativos), y el resto no significativos.

Con Con ““qq”” finito el modelo MA es siempre estacionario.finito el modelo MA es siempre estacionario.

Procesos de Medias MProcesos de Medias Móóviles (MA)viles (MA)

Consideremos el caso de un MA(1) sin constante: Consideremos el caso de un MA(1) sin constante:

yytt = a= at t –– θθ11 aatt--11yytt--11 = a= att--1 1 –– θθ11 aatt--22 => a=> att--11 = y= ytt--1 1 ++ θθ11 aatt--22

Sustituyendo en la primera ecuaciSustituyendo en la primera ecuacióón:n:

yytt = a= at t –– θθ1 1 (y(ytt--1 1 ++ θθ11 aatt--22)= a)= at t –– θθ1 1 yytt--11 –– θθ2211 aatt--22

Sustituyendo recursivamente:Sustituyendo recursivamente:

yytt = a= at t –– θθ11 yytt--1 1 –– θθ2211 yytt--2 2 –– θθ33

11 yytt--3 3 –– ... ...

El proceso MA se convierte en un proceso AR(El proceso MA se convierte en un proceso AR(∞∞).).

Procesos MA Procesos MA -- InvertibilidadInvertibilidad

9

La condiciLa condicióón para que un proceso MA(1) n para que un proceso MA(1) sea invertible es que sea invertible es que ||θθ11|<1.|<1.

En general, para un proceso En general, para un proceso MA(qMA(q): ):

yytt = C + a= C + at t + + θθ11 aatt--11+ + θθ22 aatt--22+ ... + + ... + θθqq aatt--q q

yytt = C + = C + ΘΘ(L)a(L)att

se requiere que las rase requiere que las raííces del polinomio de ces del polinomio de medias mmedias móóviles [viles [ΘΘ(L(L)] caigan fuera del )] caigan fuera del ccíírculo unidad.rculo unidad.


Procesos MA Procesos MA -- InvertibilidadInvertibilidadLa condiciLa condicióón de invertibilidad es una condicin de invertibilidad es una condicióón deseable en n deseable en los modelos de MA. Considlos modelos de MA. Considéérense dos modelos MA(1): rense dos modelos MA(1):

yytt = a= at t + 0,5* a+ 0,5* att--11 xxtt = a= at t + 2 * a+ 2 * att--11El coeficiente del modelo en El coeficiente del modelo en yy es el inverso al de es el inverso al de xx. El . El coeficiente de coeficiente de acac de orden 1 (de orden 1 (ρρ11) es:) es:

)1()1( 21

122

1

21

0

11 θ

θσθ

σθγγρ

+=

+==

En ambos modelos En ambos modelos ρρ11= 0,4 aunque el modelo en = 0,4 aunque el modelo en yy es es invertible.invertible.

En forma simEn forma siméétrica, tambitrica, tambiéén es posible ren es posible re--escribir un escribir un modelo AR como un modelo de MA, a condicimodelo AR como un modelo de MA, a condicióón de que n de que sea estacionario.sea estacionario.

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El modelo AR(1): yEl modelo AR(1): ytt = 0,8 * y= 0,8 * ytt--1 1 + a+ att

puede transformarse en el modelo MA(puede transformarse en el modelo MA(∞∞): ):

yytt = a= at t +0,8*a+0,8*att--1 1 +0,8+0,822*a*att--2 2 +0,8+0,833*a*att--3 3 + ...+ ...

En este caso el modelo MA(En este caso el modelo MA(∞∞) es estacionario (porque es ) es estacionario (porque es equivalente al AR(1) inicial).equivalente al AR(1) inicial).

El hecho de que un AR(1) se transforme en un MA(El hecho de que un AR(1) se transforme en un MA(∞∞) (o viceversa) ) (o viceversa) no significa que esta propiedad no sea operativa (o no permita lno significa que esta propiedad no sea operativa (o no permita la a identificaciidentificacióón de los modelos). A partir de determinado orden, los n de los modelos). A partir de determinado orden, los coeficientes no son significativos.coeficientes no son significativos.

AsAsíí, para el modelo , para el modelo yt = 0,8 * ytyt = 0,8 * yt--1 + at1 + at el coeficiente de orden 7 el coeficiente de orden 7 en un MA(en un MA(∞∞) es 0,21 que probablemente no resulte significativo.) es 0,21 que probablemente no resulte significativo.

∑∞+

=−=⇒

0

8,0j

jtj

t ay

4. Procesos ARMA4. Procesos ARMA

►► Este es el caso general para procesos estacionarios. Este es el caso general para procesos estacionarios. Corresponde a un modelo donde se observan efectos Corresponde a un modelo donde se observan efectos de corto alcance (tde corto alcance (téérminos MA) y efectos de inercia o rminos MA) y efectos de inercia o autoregresivos (AR).autoregresivos (AR).

►► Como combinan elementos de ambos tipos de Como combinan elementos de ambos tipos de modelos, son los mmodelos, son los máás difs difííciles de identificar.ciles de identificar.

►► Un modelo Un modelo ARMA(p,qARMA(p,q) tendr) tendráá la forma:la forma:

yytt = C + = C + φφ11 yytt--11 + + φφ22 yytt--22 + ... + + ... + φφpp yytt--pp + + a+ + at t + + θθ11aatt--11 + + θθ22 aatt--22 + ... + + ... + θθqq aatt--qq

donde adonde att es un ruido blanco: aes un ruido blanco: att ~ N(0,~ N(0,σσ22))

►► En notaciEn notacióón polinomial: n polinomial: ΦΦ(L(L) y) ytt = C + = C + ΘΘ(L(L) a) att

11

4. Procesos ARMA4. Procesos ARMA

►► Un modelo Un modelo ARMA(p,qARMA(p,q) ser) seráá estacionarioestacionario en en la medida que la parte AR lo sea (las rala medida que la parte AR lo sea (las raííces ces del polinomio del polinomio ΦΦ caen fuera del ccaen fuera del cíírculo rculo unidad).unidad).

►► SerSeráá invertibleinvertible en la medida que el proceso en la medida que el proceso de MA lo sea (de MA lo sea (íídem para las radem para las raííces de ces de ΘΘ).).

►► Los modelos ARMA estacionarios e invertibles Los modelos ARMA estacionarios e invertibles pueden escribirse tanto como AR puros o pueden escribirse tanto como AR puros o como MA puros (eventualmente de orden como MA puros (eventualmente de orden infinito). Pero son minfinito). Pero son máás s parsimoniososparsimoniosos(tienen menos coeficientes).(tienen menos coeficientes).

Procesos ARMAProcesos ARMA

El modelo ARMA(1,1) es el mEl modelo ARMA(1,1) es el máás sencillo:s sencillo:

yytt = C + = C + φφyytt--11 + a+ at t + + θθaatt--11donde adonde att es un ruido blanco: aes un ruido blanco: att ~ N(0,~ N(0,σσ22).).

Para la deducciPara la deduccióón de la varianza y n de la varianza y autocovarianzasautocovarianzassupondremos C=0.supondremos C=0.

2

22

0

22220

2

112

12

221

220

11112

12

221

2211

2

11

1

)21(

2

)(2)(

)()()(

222

)(

φσφθθγ

φθσσθσγφ

φθθ

φγ

θφθφθ

φθφ

θφ

−++=⇒

+++=

=++

++==⇒

⇒++++

++=++=

++=

−−−

−

−−−−−

−−−

−−

ttt

ttt

ttttttt

tttttt

tttt

ayEaE

aEyEyE

aaayaya

ayaayy

aayy ( )[ ]

0

11

22

22

1

20

1112

1

11111

etc. 1

)21(

)()()(

)(

γγρ

θσφ

σθφθφγ

θσφγ

θφθφγ

=

+−++=⇒

⇒+=

=++=

=++==

−−−−

−−−−

ttttt

tttttt

yaEyaEyE

yaayEyyE

12

Para el modelo ARMA(p,q) tendremos:

El correlograma (ac) se comporta como un AR(p) para k > q

>≤

=− qk

qk

kk para

para ... ,,,

1

321

φρρρρ

ρ


CorrelogramaCorrelograma de un proceso ARMA(1,1): de un proceso ARMA(1,1): yytt = 0,5 y= 0,5 ytt--11 + a+ att + 0,8 a+ 0,8 att--11


==============================================================Included observations: 200============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== .|****** | .|****** | 1 0.793 0.793 127.63 0.000 .|*** | ****|. | 2 0.454-0.470 169.74 0.000 .|** | .|* | 3 0.209 0.180 178.70 0.000 .|. | *|. | 4 0.049-0.166 179.19 0.000 .|. | .|* | 5-0.034 0.094 179.42 0.000 *|. | *|. | 6-0.065-0.082 180.29 0.000 *|. | .|. | 7-0.063 0.060 181.13 0.000 .|. | .|. | 8-0.047-0.044 181.59 0.000 .|. | .|. | 9-0.028 0.034 181.75 0.000==============================================================

El pac nos da información “confusa”: tendemos a pensar que se trata de un AR(2).

13

5. 5. ProcProc. No Estacionarios . No Estacionarios -- IntroducciIntroduccióónn

Las series econLas series econóómicas (y empresariales) micas (y empresariales) tienen en general un comportamiento no tienen en general un comportamiento no estacionario. Las series con las siguientes estacionario. Las series con las siguientes caractercaracteríísticas no son estacionarias:sticas no son estacionarias:

►► Series con tendencia.Series con tendencia.

►► Si la serie presenta movimientos lentos Si la serie presenta movimientos lentos con cambios de nivel en el tiempo.con cambios de nivel en el tiempo.

►► Si la volatilidad (la varianza) es Si la volatilidad (la varianza) es variable, lo que es comvariable, lo que es comúún en series n en series financieras.financieras.

No Estacionarios No Estacionarios -- IntroducciIntroduccióón (2)n (2)

El punto es que sEl punto es que sóólo tiene sentido estimar lo tiene sentido estimar modelos que sean estacionarios.modelos que sean estacionarios.

¿¿CCóómo se resuelve esta mo se resuelve esta ““paradojaparadoja””??

En general serEn general seráá posible posible ““transformartransformar”” las las series no estacionarias en series series no estacionarias en series estacionarias.estacionarias.

Los resultados de la estimaciLos resultados de la estimacióón de la n de la transformacitransformacióón estacionaria sern estacionaria seráán n aplicables (en lo pertinente) a la serie aplicables (en lo pertinente) a la serie original.original.

14


AsAsíí, el IPC es una serie no estacionaria , el IPC es una serie no estacionaria (presenta tendencia: salvo algunas (presenta tendencia: salvo algunas excepciones, crece aexcepciones, crece añño a ao a añño).o).

Pero su diferencia (la inflaciPero su diferencia (la inflacióón) puede n) puede considerarse estacionaria.considerarse estacionaria.

Lo mismo sucede con el PIB, las ventas Lo mismo sucede con el PIB, las ventas de una empresa (a precios corrientes, a de una empresa (a precios corrientes, a precios constantes, ...), la precios constantes, ...), la liborlibor, el tipo de , el tipo de cambio, etc.cambio, etc.


Una forma de aproximarnos a la descripciUna forma de aproximarnos a la descripcióón de n de una serie con tendencia es incluyendo en el una serie con tendencia es incluyendo en el modelo esa tendencia modelo esa tendencia determindeterminíísticastica,,representada por un crecimiento constante en el representada por un crecimiento constante en el tiempo, una funcitiempo, una funcióón lineal del tiempo.n lineal del tiempo.

Se les puede especificar de la forma siguiente:Se les puede especificar de la forma siguiente:

yyt t = = αα ++ββ t +t +uutt con con uutt ~ ~ ARMA(p,qARMA(p,q))

Se dice Se dice determindeterminíísticastica para distinguirla de la para distinguirla de la tendencia de una caminata al azar con deriva. tendencia de una caminata al azar con deriva.

15


A estos procesos se les conoce como A estos procesos se les conoce como procesos en procesos en tendencia estacionariostendencia estacionarios (TS, (TS, trendtrend stationarystationary). Son no estacionarios, ). Son no estacionarios, aunque no presentan raaunque no presentan raííces unitarias. ces unitarias.

La transformaciLa transformacióón apropiada es restar a la n apropiada es restar a la serie original la (estimaciserie original la (estimacióón de la) tendencia n de la) tendencia determindeterminíísticastica. .

Si se genera una serie Si se genera una serie zztt como: como: zztt = = yytt––αα––ββ ttla serie la serie zztt serseráá estacionaria: estacionaria: zztt = = uutt


Las series que es necesario diferenciar para Las series que es necesario diferenciar para convertirlas en estacionarias se les convertirlas en estacionarias se les denomina (a sus procesos) denomina (a sus procesos) diferencia diferencia estacionario estacionario oo estacionario en estacionario en diferenciadiferencia (DS, (DS, differencedifference stationarystationary) y se ) y se les puede especificar de la forma siguiente:les puede especificar de la forma siguiente:

yyt t = C + y= C + ytt--11 + + uutt con con uutt ~ ~ ARMA(p,qARMA(p,q))

Las series estacionarias en diferencias Las series estacionarias en diferencias presentan una (o mpresentan una (o máás) ras) raííces unitarias.ces unitarias.

16


Para una serie con tendencia, las Para una serie con tendencia, las consecuencias sobre su comportamiento consecuencias sobre su comportamiento son muy distintas segson muy distintas segúún sea TS o DS.n sea TS o DS.

En las series TS el comportamiento en el En las series TS el comportamiento en el tiempo es rtiempo es ríígido: no pueden apartarse gido: no pueden apartarse sustancialmente de la tendencia sustancialmente de la tendencia determindeterminíísticastica. .

Mientras que las series DS pueden cambiar Mientras que las series DS pueden cambiar de nivel ante choques que reciban.de nivel ante choques que reciban.

A continuaciA continuacióón se presenta el grn se presenta el grááfico de dos fico de dos series generadas como procesos TS y DS.series generadas como procesos TS y DS.


-10

0

10

20

30

40

50

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

TS DS

Ambas fueron generadas a partir de un proceso AR(2) estacionario.

17

Otro ejemplo: Serie TS con un Otro ejemplo: Serie TS con un outlieroutlier en en la observacila observacióón 100.n 100.


0

10

20

30

40

50

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Serie DS con el mismo Serie DS con el mismo outlieroutlier en la en la observaciobservacióón 100.n 100.


0

20

40

60

80

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

18


Los macroeconomistas estLos macroeconomistas estáán muy interesados en n muy interesados en conocer si una recesiconocer si una recesióón econn econóómica tiene mica tiene consecuencias permanentes sobre el nivel futuro del consecuencias permanentes sobre el nivel futuro del PIB, o por el contrario representa caPIB, o por el contrario representa caíídas temporales das temporales que eventualmente serque eventualmente seráán compensadas durante la n compensadas durante la recuperacirecuperacióón.n.

El origen de esta discusiEl origen de esta discusióón se encuentra en el n se encuentra en el artartíículo de Nelson y culo de Nelson y PlosserPlosser (1982), en el cual estos (1982), en el cual estos autores argumentan que muchas series econautores argumentan que muchas series econóómicas micas son mejor caracterizadas por rason mejor caracterizadas por raííces unitarias que ces unitarias que por una tendencia por una tendencia determindeterminíísticastica..

Caminata al azarCaminata al azar

Un proceso del tipo: Un proceso del tipo: yyt t = = yytt--11 + a+ attse denomina caminata al azar (se denomina caminata al azar (randomrandomwalkwalk).).

Un proceso del tipo: Un proceso del tipo: yyt t = = µµ + y+ ytt--11 + a+ attse denomina caminata al azar con deriva se denomina caminata al azar con deriva ((randomrandom walkwalk withwith driftdrift).).

En ambos casos la serie presenta una raEn ambos casos la serie presenta una raííz z unitaria y, por lo tanto, es no estacionaria. unitaria y, por lo tanto, es no estacionaria. Sin embargo, el comportamiento en el Sin embargo, el comportamiento en el tiempo es muy diferente.tiempo es muy diferente.

19


Una caminata al azar sin deriva se Una caminata al azar sin deriva se transforma en un ruido blanco (y, por lo transforma en un ruido blanco (y, por lo tanto, tiene esperanza nula) cuando se tanto, tiene esperanza nula) cuando se diferencia: diferencia:

∆∆yytt = y= ytt ––yytt--11 = a= attUna caminata al azar con deriva tiene Una caminata al azar con deriva tiene media no nula cuando se diferencia:media no nula cuando se diferencia:

∆∆yytt = y= ytt ––yytt--11 = = µµ + a+ attLa La ““tasatasa”” promediopromedio de crecimiento es de crecimiento es nula en el primer caso, mientas que en el nula en el primer caso, mientas que en el segundo es no nula (usualmente positiva).segundo es no nula (usualmente positiva).

Euro/US$ Euro/US$ -- logaritmo de valores diarios.logaritmo de valores diarios.


-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

200 400 600 800 1000

20

Euro/US$ Euro/US$ -- ∆∆ log de valores diarios.log de valores diarios.


-0.06

-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

200 400 600 800 1000

Correlograma Correlograma log(Euro)log(Euro)


==============================================================Included observations: 1062============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== .|******** .|******** 1 0.997 0.997 1057.8 0.000 .|******** .| | 2 0.993 0.009 2109.6 0.000 .|******** .| | 3 0.990-0.006 3155.3 0.000 .|******** .| | 4 0.987-0.003 4194.9 0.000 .|******** .| | 5 0.983 0.019 5228.7 0.000 .|******** .| | 6 0.980 0.004 6256.9 0.000 .|******** .| | 7 0.977-0.031 7278.9 0.000 .|*******| .| | 8 0.973-0.011 8294.8 0.000 .|*******| .| | 9 0.970 0.020 9304.8 0.000 .|*******| .| | 10 0.967 0.011 10309. 0.000 .|*******| .| | 11 0.964-0.003 11308. 0.000 .|*******| .| | 12 0.961 0.002 12300. 0.000 .|*******| *| | 13 0.957-0.060 13287. 0.000 .|*******| .| | 14 0.953 0.011 14267. 0.000 .|*******| .| | 15 0.950-0.016 15241. 0.000 .|*******| .| | 16 0.946 0.010 16208. 0.000 .|*******| .| | 17 0.943 0.008 17170. 0.000 .|*******| .| | 18 0.939-0.052 18124. 0.000==============================================================

CorrelCorrel. . ∆∆ log(euro)log(euro)

dlog(eurodlog(euro) en la ) en la notacinotacióón de n de EViewsEViews

==============================================================Included observations: 1061============================================================== Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob============================================================== .| | .| | 1-0.035-0.035 1.2685 0.260 .| | .| | 2-0.018-0.019 1.6084 0.447 .| | .| | 3 0.028 0.027 2.4629 0.482 .| | .| | 4-0.013-0.011 2.6369 0.620 .| | .| | 5-0.004-0.004 2.6554 0.753 .| | .| | 6 0.050 0.049 5.3270 0.503 .| | .| | 7 0.001 0.005 5.3294 0.620 .| | .| | 8-0.040-0.038 7.0189 0.535 .| | .| | 9-0.031-0.036 8.0266 0.531 .| | .| | 10 0.005 0.003 8.0557 0.623 .| | .| | 11-0.002 0.000 8.0589 0.708 .| | .| | 12 0.052 0.051 10.949 0.533 .| | .| | 13-0.023-0.021 11.528 0.567 .| | .| | 14 0.046 0.050 13.789 0.466 .| | .| | 15 0.007 0.010 13.845 0.537 .| | .| | 16-0.009-0.006 13.927 0.604 .| | .| | 17 0.066 0.061 18.571 0.354 .| | .| | 18 0.020 0.019 19.001 0.392==============================================================

21


Los tipos de cambios (entre paLos tipos de cambios (entre paííses ses desarrollados) y en general las variables desarrollados) y en general las variables financieras son ejemplos de caminatas al financieras son ejemplos de caminatas al azar. En el caso de los tipos de cambio, azar. En el caso de los tipos de cambio, sin derivasin deriva..►► ¿¿Puede esperarse una tendencia en su Puede esperarse una tendencia en su comportamiento?comportamiento?

►► El hecho de que su variaciEl hecho de que su variacióón diaria n diaria ((∆∆loglog) sea un ruido blanco, ) sea un ruido blanco, ¿¿ccóómo se mo se interpreta?interpreta?

►► ¿¿QuQuéé consecuencias tiene esto sobre la consecuencias tiene esto sobre la predicciprediccióón de la variable?n de la variable?


En cambio, para otras variables financieras, como los En cambio, para otras variables financieras, como los ííndices de bolsa (ndices de bolsa (DowDow--Jones, Jones, S&PS&P 500, 500, etc.) debemos esperar un comportamiento de tipo de caminata al aetc.) debemos esperar un comportamiento de tipo de caminata al azar zar con derivacon deriva. . ►► ¿¿Por quPor quéé??

►► ¿¿CCóómo sermo seráá el comportamiento en el corto plazo y en el largo plazo?el comportamiento en el corto plazo y en el largo plazo?

►► ¿¿CuCuáál serl seráá el comportamiento del riesgo pael comportamiento del riesgo paíís uruguayo (por ejemplo, medido por el UBI)?s uruguayo (por ejemplo, medido por el UBI)?

Riesgo paRiesgo paíís Uruguay s Uruguay -- logaritmo de UBI.logaritmo de UBI.

4

5

6

7

8

200 400 600 800 1000

LOG(UBI)

∆∆ log (UBI)log (UBI)

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

200 400 600 800 1000

DLOG(UBI)

22


Una caminata al azar sin deriva: Una caminata al azar sin deriva: yyt t = = yytt--11 + a+ att con acon att ~ N(0,~ N(0,σσ22)) tiene:tiene:

►► E(E(yytt) = ) = µµ►► VV((yytt) = t ) = t σσ22

Un proceso del tipo: Un proceso del tipo: yyt t = = µµ + y+ ytt--11 + a+ atttiene:tiene:

►► E(E(yytt) = t ) = t µµ►► VV((yytt) = t ) = t σσ22

TransformaciTransformacióón estacionarian estacionaria

Las series que presentan raLas series que presentan raííces unitarias ces unitarias se denominan se denominan integradasintegradas..Si una serie tiene una raSi una serie tiene una raííz unitaria, se z unitaria, se nota como: nota como: yytt ~ I(1)~ I(1)

Si tuviera dos raSi tuviera dos raííces unitarias: ces unitarias: yytt ~ I(2)~ I(2)

Para las series que Para las series que ““deambulandeambulan”” (como (como las caminatas sin deriva) o que presentan las caminatas sin deriva) o que presentan tendencia, normalmente es suficiente con tendencia, normalmente es suficiente con diferenciarlas (y, en general, una vez) diferenciarlas (y, en general, una vez) para transformarlas en estacionarias.para transformarlas en estacionarias.

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TransformaciTransformacióón estacionaria (2)n estacionaria (2)

A una serie integrada de orden A una serie integrada de orden ““mm””[y[ytt ~ I(m)]~ I(m)] deberdeberáá diferenciarse diferenciarse ““mm”” veces veces para transformarla en estacionaria.para transformarla en estacionaria.

AsAsíí, si una serie , si una serie yytt presenta el siguiente presenta el siguiente proceso: proceso: yyt t = = yytt--11 + + zztt donde donde zztt = = φφzztt--11 + a+ att, , con con aatt ruido blanco, entonces es ruido blanco, entonces es necesario diferenciar necesario diferenciar yytt y modelizar su y modelizar su primera diferencia:primera diferencia:

zztt = = ∆∆ yytt sigue un proceso AR(1).sigue un proceso AR(1).

TransformaciTransformacióón estacionaria (3)n estacionaria (3)

¿¿CuCuáántas veces diferenciar una serie?ntas veces diferenciar una serie?

En la realidad no conocemos el proceso En la realidad no conocemos el proceso que dio origen a la serie. Por lo tanto, no que dio origen a la serie. Por lo tanto, no conocemos el orden de diferenciaciconocemos el orden de diferenciacióón de n de un serie.un serie.

Podemos guiarnos por el correlograma Podemos guiarnos por el correlograma (diferenciar hasta que el correlograma se (diferenciar hasta que el correlograma se comporte como un proceso estacionario) comporte como un proceso estacionario) y por el hecho de que una serie sobrey por el hecho de que una serie sobre--diferenciada tiene mayor varianza (desvdiferenciada tiene mayor varianza (desvíío o estestáándar).ndar).

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Modelos ARIMA (1)Modelos ARIMA (1)

Una serie, luego de diferenciada Una serie, luego de diferenciada ““dd””veces, sigue un proceso ARMA(p,q). La veces, sigue un proceso ARMA(p,q). La serie original sigue un proceso serie original sigue un proceso ARIMA(p,d,q).ARIMA(p,d,q).

En el modelo de la inflaciEn el modelo de la inflacióón anual se n anual se obtiene un mejor ajuste con un modelo obtiene un mejor ajuste con un modelo ARMA(1,2) : ARMA(1,2) :

(1(1-- 0,42*L) ( 0,42*L) ( InflaInflatt -- 0,303) = 0,303) =

= (1+ 0,63*L + 0,49*L= (1+ 0,63*L + 0,49*L22) ) aatt

Ello significa que el IPC (su logaritmo) Ello significa que el IPC (su logaritmo) sigue un proceso ARIMA(1,1,2).sigue un proceso ARIMA(1,1,2).


Una serie sigue un proceso ARIMA(p,d,q):Una serie sigue un proceso ARIMA(p,d,q):

(1(1-- φφ11LL--φφ22LL22--......--φφppLLpp) (1) (1--L)L)dd(y(ytt -- µµ) = ) =

= (1+= (1+θθ11L + L + θθ22LL22+...+ +...+ θθqqLLqq) ) aattUtilizando los polinomios respectivos:Utilizando los polinomios respectivos:

Φ(Φ(L)(1L)(1--L)L)dd(y(ytt -- µµ) = ) = Θ(Θ(L)L)aatt

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La grLa grááfica de la serie temporal da una fica de la serie temporal da una idea de si es estacionaria. Si existe algidea de si es estacionaria. Si existe algúún n valor en torno al cual la serie va valor en torno al cual la serie va oscilando, pero sin alejarse en forma oscilando, pero sin alejarse en forma permanente de dicho valor, entonces se permanente de dicho valor, entonces se puede considerar que la serie es puede considerar que la serie es

estacionaria en mediaestacionaria en media..Si no es asSi no es asíí se debe diferenciar para se debe diferenciar para convertirla en estacionaria. Se puede convertirla en estacionaria. Se puede diferenciar 1,2, ... ,d veces, las diferenciar 1,2, ... ,d veces, las necesarias.necesarias.

02-1_mod_univ

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