01_th_p6_1_perdidas_carga_ejemplo_compresible

Master Online de Ingeniería de Tuberías Universidad de Zaragoza

Cálculo de pérdidas de carga en una instalación de gas

Autor: Francisco Alcrudo. Universidad de Zaragoza

Índice Objetivo............................................................................................. 2 1 Planteamiento................................................................................ 2 2 Datos de la instalación...................................................................... 3 3 Solución ....................................................................................... 4

3.1 Tramo 1-2: Depósito – Entrada al conducto ....................................... 4 3.2 Tramo 2-3: Flujo en el conducto.................................................... 5

3.2.1 Cálculo del factor de fricción.................................................. 5 3.2.2 Cálculo de la fricción ........................................................... 6 3.2.3 Evolución del flujo en el conducto (tramo 2-3)............................. 7

3.3 Tramo 3-4: Flujo en la boquilla ..................................................... 8 4 Procedimiento de Iteración ................................................................ 9

http://piping.unizar.es 1 Flujo compresible



Objetivo

En este ejercicio se pretende practicar los conceptos básicos discutidos en los temas de Pérdidas de carga correspondientes al flujo de luidos. En él se hace referencia a la aplicación de la ecuación de la energía mecánica y al cálculo de la pérdida de carga en el caso de gases así como manejar los conceptos de condiciones de remanso, número de Mach y gasto másico reducido.

El flujo de gases en instalaciones puede llegar a ser muy complejo y aunque existen programas de cálculo informático para su cálculo no están tan generalizados como para flujo de líquidos.

La solución pasa por un proceso iterativo por lo que se adjunta una hoja Excel (FMF_2P2.xls) que incluye las fórmulas utilizadas y los valores obtenidos.

Recomendación: Es deseable que el alumno intente la solución o al menos esbozar el diagrama de flujo del proceso de solución antes de consultar la solución propuesta aquí.

1 Planteamiento

En el problema anterior (FMF_2P1) cuando el etanol se agota en el depósito presurizado, sólo circula por la instalación el gas de impulsión, es decir Nitrógeno.

En este problema se pretende determinar el gasto másico de Nitrógeno que circulará en esta situación cuando la instalación funciona en las condiciones del problema anterior (es decir cuando las presiones del depósito de alimentación y de la cámara son las calculadas en el problema anterior).

A efectos del cálculo puede despreciarse la diferencia de cotas entre la alimentación y la descarga.

Figura 1: Esquema de la instalación mostrando las secciones en las que ha sido dividida

To1

1

V1 VR

FILTRO

V4 B

Nitrógen

DEPOSITO

CAMARA

V2 V3

E

SECCIONES 2 3 4

po1

o1


2 Datos de la instalación

Fluido: Nitrógeno Constante del gas: R = 296.7 J/Kg·ºK Exponente politrópico: γ = 1,4 Viscosidad dinámica: μ = 1.66·10-5 Pa·s Propiedades en el depósito de alimentación (Propiedades de Remanso):

Temperatura: To1 = 288 ºK

Presión: po1 = pD = 277334 Pa (1,76 bar man)

Densidad ρo1 = 3,245 Kg/m3 vet = μet/ ρet = 1.53·10-6

m2/s

Tubería: Acero DN 28 Longitud L = 20 m Diámetros Exterior, Dext = 28 mm Interior, Dint = 26.4 mm Rugosidad absoluta e = 0.05 mm Sección interior S = 0.000547 m2

Accesorios: Tipo Indicativo Constante de pérdida Toma de entrada E kE = 0.05 4 Codos estándar de 90º C1 – C4 kCi = 0.9 4 Válvulas de bola DN 28 V1 – V4 kVi = 0.1 (abierta) 1 Válvula de retención DN 28 VR kVR = 2.5 1 Filtro de malla F kF = 5 1 Boquilla de salida B kB = 0.5 (referida a la velocidad

en el conducto) Diámetro boquilla DB = 12 mm Cámara de lavado (salida): Presión en la cámara pC = 151300 Pa

(0.5 bar man)



3 Solución

En este ejercicio, por varias razones, no es posible obtener una solución cerrada. Entre ellas figuran: Tener como incógnita el gasto másico, tratarse de flujo compresible gobernado por ecuaciones que no son invertibles directamente y que puede aparecer el fenómeno de bloqueo. Además el flujo tiene características diferentes en las distintas partes de la instalación y la solución debe ser compatible con todas ellas.

Ante esta situación se buscará la solución por tramos de forma iterativa mediante el método de prueba y error. La hoja Excel adjunta a este problema (FMF_2P2.xls) muestra el procedimiento iterativo utilizado. Las variables en color rojo son las que se han ido modificando durante el proceso de prueba y error hasta alcanzar los valores de la solución.

La instalación se divide en 4 secciones que según se indica en la Figura 1 y la Tabla 1 son las siguientes:

Tabla 1: Secciones y tramos en los que se ha dividido la instalación

Sección Depósito de Alimentación

Entrada al conducto

Fin del conducto Entrada Boquilla

Salida de la boquilla

Número 1 2 3 4 Tramo 1-2 2-3 3-4 Tipo de Flujo

Compresible Isentrópico

Isotermo con Fricción

Compresible Isentrópico

3.1 Tramo 1-2: Depósito – Entrada al conducto

Este tramo es una idealización para describir el paso del gas desde el depósito hasta la entrada de la tubería. En realidad el flujo tiene lugar en el interior del tanque de alimentación, en el que el gas se acelera paulatinamente conforme las líneas de corriente se acercan a la embocadura del conducto.

En este tramo se puede asumir que el flujo es isentrópico por lo que se utilizarán las fórmulas correspondientes que relacionan las propiedades de remanso con las estáticas en función del número de Mach de la corriente (a la entrada del tubo).

Para proceder hay que suponer (recuérdese que el procedimiento es iterativo mediante prueba y error) un número de Mach a la entrada del tubo, M2 y calcular allí las condiciones de temperatura, T2, presión p2, y densidad, ρ2, a partir de las de remanso en el tanque, To1, po1, ρo1. Como recordatorio se listan a continuación las fórmulas utilizadas en este tramo y los valores correspondientes:

Para la temperatura: Para la presión: Para la densidad:

22

2

1

2

1γM

-

T

To 1 1

22

2

1

2

1γ

γγ

1 M-

p

po 1

1

22

2

1

2

1γ

γ1 M

-o

Las propiedades de remanso en el depósito valen:

To1=288 ºK po1=277334 Pa ρo1=3,246 kg/m3



La solución obtenida corresponde a un valor de M2 de M2=0.0917, lo que proporciona los siguientes valores para las variables termodinámicas estáticas:

T2=287.5 ºK p2=275708 Pa ρ2=3,232 kg/m3

Como se ve el flujo no se acelera fuertemente por lo que en esta etapa se podría haber prescindido de las fórmulas de flujo compresible. No obstante esto lo hemos sabido después de resolver todo el problema.

3.2 Tramo 2-3: Flujo en el conducto

Puesto que la temperatura en el depósito (288ºK) es próxima a la temperatura ambiente se puede suponer en principio flujo isotermo. Esto tendrá que ser corroborado a posteriori verificando que el número de Mach en el conducto no es muy elevado o lo que es lo mismo, que la temperatura estática no se aleja mucho de la de remanso. Caso de que fuera así podría ser aconsejable resolver el problema en régimen adiabático para ver las diferencias con el caso isotermo sabiendo que la situación real estará entre las dos apuntadas. Suponer flujo isotermo simplifica algo los cálculos respecto al caso adiabático.

3.2.1 Cálculo del factor de fricción A efectos de calcular el factor de fricción es necesario conocer el número de Reynolds, y para ello, la velocidad en el conducto. Si el flujo es isotermo se recordará que el número de Reynolds es constante en el tubo por lo que basta calcular la velocidad del gas en un punto. En este caso es más cómodo hacerlo a la entrada, v2:

v2 = M2·√(γ·R·T2) = 31.7 m/s

el número de Reynolds:

163000Re 2222

22

2 vvv

DD

que indica flujo turbulento. El factor de fricción se puede obtener del diagrama de Moody o de la fórmula de Colebrook. En este caso es más práctico utilizar la fórmula de Colebrook ya que se adapta mejor a un procedimiento iterativo. En cualquier caso es necesario calcular la rugosidad relativa de la pared de la tubería, e/D:

Rugosidad relativa del conducto: e/D = 1.9·10-3

La fórmula de Colebrook requiere un procedimiento iterativo análogo al utilizado en el problema anterior. Se arranca con el valor de f correspondiente a turbulencia completa (tubería rugosa sin dependencia del número de Reynolds) y se itera. El valor inicial de f en la iteración, f(0 es el siguiente:

0231.07.3

/log2

10(

De

f



Conocido un valor inicial el esquema iterativo sería el siguiente:

ne

n fR

De

f (1(

51.2

7.3

/log2

1

Tras realizar unas tres iteraciones (ver hoja Excel adjunta) se alcanza convergencia a un valor del factor de fricción de:

f = 0.0242

Nota:

Debe tenerse en cuenta que si se supone flujo adiabático el número de Reynolds no se mantiene constante en el conducto. A efectos de calcular el factor de fricción promedio a lo largo del tubo, una aproximación práctica es tomar el valor promedio del número de Reynolds a la entrada y a la salida (es lo que se ha programado en la hoja Excel aunque al realizar el cálculo como isotermo no tiene trascendencia).

3.2.2 Cálculo de la fricción Las fórmulas que proporcionan la evolución de las variables a lo largo del conducto (tanto en flujo isotermo como adiabático) requieren el cálculo de la fricción adimensional, f·L/D.

En caso de que existan elementos pasivos en la conducción lo técnicamente correcto en flujo compresible es aplicar la curva característica del elemento que proporciona el diferencial de presión en función del gasto másico reducido.

No obstante esta información no suele estar disponible en la mayoría de los casos y el efecto de los elementos pasivos se puede tener en cuenta asignando una fricción adimensional equivalente al valor de sus respectivas constantes de pérdidas en flujo incompresible, ki, que suelen ser mucho más fáciles de obtener.

Esta aproximación puede utilizarse siempre que ninguno de los elementos de lugar a bloqueo. La condición de bloqueo puede venir indicada por el fabricante como gasto másico máximo en función de la presión de alimentación.

En caso de que esta información tampoco esté disponible se debe asegurar, al menos, que el cálculo mediante la constante de pérdidas no da lugar a bloqueo por fricción.

En este ejercicio calcularemos primero la fricción adimensional asociada a la tubería y le añadiremos la correspondiente a los elementos pasivos.

Fricción adimensional en la tubería:

33.180.0264

200.0242

D

Lf

Fricción adimensional equivalente asociada a los elementos pasivos:

55.1144 11 FVRCVEeq kkkkk

D

Lf



Por tanto la fricción adimensional total atribuible a la instalación ante el paso del fluido será la suma de ambas:

885.2944 11 FVRCVEeqtotal kkkkk

D

Lf

D

Lf

D

Lf

El valor obtenido como f·Ltotal/D es el que se utilizará en las fórmulas correspondientes para calcular la evolución de las variables del flujo.

3.2.3 Evolución del flujo en el conducto (tramo 2-3) Aquí se hará uso de las fórmulas para flujo isotermo explicada en las notas de teoría (sección 7). En este problema no se conoce la presión al final del conducto ya que éste termina en una boquilla y sólo se sabe que tras la boquilla la presión es la de la cámara, pC=151300 Pa. No obstante la presión a la entrada de la boquilla (al final del conducto, sección 3) depende fuertemente del gasto másico que la atraviesa y del número de Mach, que es una de las incógnitas.

Este hecho impide utilizar la fórmula que para flujo isotermo da directamente el gasto másico en función de la diferencia de presión entre entrada y salida y la fricción adimensional.

Por tanto utilizaremos la fórmula que da el número de Mach a la salida del conducto, M3 en función de la fricción adimensional y el Mach a la entrada, M2:

885.29ln2

γ

/1

2

322

232

M

M

M

MM

D

Lf Ttotal

El superíndice T en la Ltotal se refiere a que estamos trabajando en flujo isotermo.

Entrando en la fórmula con M2=0.0917 se obtiene a la salida del conducto M3=0.1144. Como se ve el número de Mach está lejos de alcanzar 1 en el conducto lo que hace poco probable que cualquiera de los elementos pudiera alcanzar la condición de bloqueo.

Para calcular la presión correspondiente se hace uso de la fórmula para flujo isotermo:

3

2

2

3

M

M

p

p

lo que da para la presión al final del tubo p3=221077 Pa.

Puesto que el flujo es isotermo la temperatura a la salida es la misma que a la entrada, T3=T2 y la densidad se obtiene de la ecuación de los gases perfectos:

3

2

33 Kg/m59,2

TR

P

La velocidad es:

v3 = M3·√(γ·R·T2) = 39.52 m/s



El cálculo arroja un valor del gasto másico en el conducto de:

Kg/s056,03333 Sm v

Las propiedades de remanso para el gas a la salida del conducto, To3, p03, ρo3, se calculan a partir de las propiedades estáticas y el número de Mach, M3, mediante las fórmulas de las propiedades de remanso conocidas. Se obtiene (ver hoja Excel adjunta):

To3=288.27 ºK po3=223108 Pa ρo3=2,608 kg/m3

Con esto datos se entra en el cálculo de la boquilla que es el último tramo.

3.3 Tramo 3-4: Flujo en la boquilla

En la boquilla se puede suponer aproximadamente que el flujo es isentrópico a pesar de que lleva asociada una constante de pérdidas kB=0.5 que despreciaremos ya que el cálculo combinado de la fricción y el cambio de sección es demasiado complicado para tratarlo aquí. En cualquier caso el efecto de la fricción en la boquilla será muy pequeño comparado con el de la fricción en el resto de la instalación ya que 0.5 es mucho menor que la fricción adimensional calculada para el resto que arrojó un valor de 29.88.

S3 S4

Boquilla

El gasto másico reducido a la entrada de la boquilla, m3* vale:

1343.0*3

333

o

o

p

RT

S

mm

que es el correspondiente al número de Mach M3=0.1144, de acuerdo con la fórmula mostrada en teoría (Sección 5.3):

1343.0

2

1γγ*

2

1

233

3

3

3

33

γ-1

γ

1 M-

Mp

RT

S

mm

o

o

El gasto másico reducido a la salida de la boquilla se calcula por medio de la relación de secciones (o de diámetros) ya que el gasto másico real es constante:

Kg/s056,043 mm



65.0**4

33

3

3

4

44

S

Sm

p

RT

S

mm

o

o

al que le corresponde un número de Mach, M4 obtenido invirtiendo iterativamente la fórmula:

γ-1γ

12

1

2444 2

1γγ*

M

-Mm

lo que da como resultado: M4 = 0.766

Una vez conocido M4 se puede calcular la presión a la salida de la boquilla, p4, que debe coincidir con la de la cámara, pC. Para ello se utiliza la fórmula de la presión de remanso:

124

4

4

2

1γ

γγ

1 M-

p

po

habida cuenta de que po4=po3. Se obtiene para p4:

p4 = 151304 Pa = pC

Esto concluye la solución del problema.

El gasto másico de Nitrógeno que circulará por la instalación es de 0.056 kg/s

4 Procedimiento de Iteración

Como se ha comentado al inicio de la solución, debe iterarse en el número de Mach a la entrada, M2 para obtener el gasto másico en la instalación. Los valores numéricos mostrados en el ejercicio corresponden a la solución que cumple con las condiciones de flujo isentrópico a la entrada, flujo isotermo con fricción en el conducto y flujo isentrópico con cambio de sección en la boquilla de salida de manera que la presión a la salida de la misma iguale a la de la cámara de descarga. Para ello, para cada valor de M2, es necesario resolver iterativamente la ecuación de flujo isotermo en el tramo 2-3 para obtener M3 y además resolver iterativamente la ecuación del gasto másico reducido para el flujo isentrópico en el tramo 3-4 (boquilla) para obtener M4 y de él p4. Si p4 es distinta de pC debe probarse con otro valor de M2 y repetir el proceso hasta lograr p4=pC. La hoja de cálculo anexa FMF_2P2.xls contiene el procedimiento y es modificable por el usuario para poder practicar el proceso.


01_th_p6_1_perdidas_carga_ejemplo_compresible

Documents