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Capítulo 1

Estática vectorial plana

Figura 1.1: Estructura de sustentación de fachadas en obras de rehabilitación (C/ Isabel la Católica, Valencia).

Figura 1.2: Esquema bidimensional simplificado de la estructura. Se han representado las fuerzas horizontales

ejercidas por la fachada, el peso del bloque de hormigón y barras metálicas, y las fuerzas reacción del suelo

sobre el bloque.

Fuerzas ejercidas porla fachada

Reacción del suelo

Peso

2 Capítulo 1: Estática vectorial plana

1.1.- Introducción

Como ya se ha mencionado en el prólogo, para diseñar los elementos estructurales que se

utilizan en edificación, se sigue un proceso que comienza en este curso con la definición de

conceptos básicos (fuerza, momento de una fuerza, equilibrio, inercia, esfuerzos axiles, cortantes y

de flexión, etc.) y continúa en los cursos siguientes con las asignaturas de Cálculo de Estructuras,

hasta la total definición de los elementos estructurales.

En este capítulo se estudiará el equilibrio de sistemas indeformables de puntos materiales

sometidos a fuerzas, utilizando métodos vectoriales.

1.2.- Conceptos y definiciones básicas

Para analizar de qué forma las acciones exteriores actúan sobre un edificio, cuáles son las

condiciones que ha de cumplir para asegurar su estabilidad y qué características constructivas ha de

poseer para proporcionar cierto grado de confort, es necesario abordar su desarrollo teórico. Para ello

se establece una formalización matemática de los problemas, con objeto de resolverlos por medio de

ecuaciones algebraicas.

1.2.1.- Sistema material

Desde el punto de vista físico, se llama sistema material a todo aquello que se pueda

detectar con un aparato de medida, es decir, tal que el aparato de medida modifique su indicación

si, en igualdad de las demás circunstancias, el sistema material se introduce en su zona de detección.

Con esta definición se establece como sistema material, objeto de la Física, un concepto objetivo que

engloba los conceptos de materia y energía, tanto en reposo como en movimiento (ondas) aunque

basado en los aparatos de detección que se posean en cada momento, con lo que es un concepto

que se va ampliando a medida que se inventan nuevos aparatos de detección.

1.2.2.- Fuerza

Se llama Fuerza a la influencia de un sistema material sobre otro, es decir, la diferencia

para el segundo de que el primero exista o no.

El ser humano posee los sentidos del tacto y del equilibrio que le permiten detectar y medir

aproximadamente las acciones que otros sistemas materiales ejercen sobre él, especialmente cuando

varían, porque las fuerzas que actúan continuamente no se detectan, o al menos, no se es consciente

Capítulo 1: Estática vectorial plana 3

de ellas, (por ejemplo el peso, aproximadamente 70 Kp o la fuerza debida a la presión atmosférica

con la que el aire lo comprime, unos 10.000 Kp/m2.

En las sensaciones que producen las fuerzas se puede distinguir su punto de aplicación,

intensidad, dirección y sentido. En base a esto, para efectuar una formalización matemática de la

Física, parece lógico hacer corresponder a la fuerza un elemento matemático como el vector, que

recoge en su definición estas características.

Figura 1.2.1: Ejemplo de fuerzas.

Otra característica que se verifica experimentalmente es que un objeto no se mueve cuando

sobre él actúan fuerzas en el mismo punto de la misma intensidad, la misma dirección y sentido

contrario, y que la fuerza que hace un cuerpo sobre otro es de la misma intensidad y dirección, y

sentido contrario a las que hace el segundo sobre el primero.

1.2.3.- Clases de fuerzas

En función de su forma de actuar las fuerzas se clasifican en:

• De acción a distancia, como el peso, que es la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra

sobre los cuerpos.


• De contacto, debido a la impenetrabilidad de los cuerpos sólidos, o a la presión de

líquidos y gases.

Estos tipos de fuerzas son los que se van a explicar en este curso, utilizándose en el cálculo

de estructuras. Algunos ejemplos son: fuerzas gravitatorias permanentes y variables sobre los

elementos constructivos, fuerzas debidas de viento sobre fachadas y cubiertas de edificios, fuerzas

distribuidas de acción-reacción entre cimientos y suelos, fuerzas de rozamiento, empujes de líquidos

sobre muros y losas, etc.

Las fuerzas gravitatorias en las cercanías de la Tierra tienen por medida la cantidad de

materia (que es lo que se denomina masa) multiplicada por la aceleración g de la gravedad, dirección

vertical, sentido hacia el centro de la Tierra, y se aplica en el centro de gravedad del sistema material.

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional (SI) es el Newton, que se simboliza mediante

N. Tomando g = 9’81 m/s2 como valor promedio de la aceleración de la gravedad en las cercanías de

la Tierra (en realidad g depende de factores como la latitud, que hace que su valor no sea

exactamente el mismo en todos los puntos de la superficie terrestre), el peso de una masa m = 1 Kg

es P = mg = 9’81 N. En el Sistema Técnico de unidades (MKS), la unidad de medida para la fuerza es

el kilopondio (Kp), también conocido como kilogramo-fuerza, y se asigna un peso de 1 Kp a una masa

de 1 Kg. Así, la equivalencia entre las dos unidades es

1 Kp ↔ 9’81 N . (1.2.1)

En la vida cotidiana es habitual emplear unidades de masa como si fuesen de fuerza. De

hecho, nadie va a una tienda y pide 2 kilopondios de patatas, ni mucho menos sus equivalentes 19.62

Newtons. Esta práctica se ha extendido tradicionalmente en las áreas técnicas, en las que es

relativamente frecuente hablar de fuerzas en Kg o en toneladas (T). Al hacerlo, hay que tener en

cuenta que, en realidad, cuando se habla de una fuerza de 1 Kg o 1 T, lo correcto sería decir 1 Kp o

1.000 Kp, o sus respectivos equivalentes en N.

El segundo tipo de fuerza (fuerza de contacto entre sólidos) está producido por la oposición

de un cuerpo a que otro ocupe su propio espacio, y tiene por medida la intensidad mínima necesaria

para impedirlo, su dirección depende de las características de las superficies en contacto: si éstas

son completamente lisas y los sólidos son indeformables, las fuerzas entre ambos serán

perpendiculares al plano tangente común en ese punto, y en caso contrario puede tener cualquier

dirección (esto se verá con mayor detalle en el apartado 1.7 de este capítulo).


Figura 1.2.2: Ejemplo de tipos de fuerzas. En color gris claro fuerzas a distancia (peso de la calzada y peso de

los vehículos que transitan por el puente) y en color gris oscuro fuerzas de contacto (fuerzas reacción de los

pilares sobre la viga y viceversa).

En las fuerzas utilizadas en el cálculo de estructuras se distingue entre:

• Fuerzas puntuales, que son las que actúan en un punto determinado.

• Fuerzas repartidas, que son las que actúan en una zona extensa.

Figura 1.2.3: Ejemplo de cargas repartidas (el peso de la cubierta de chapa y las sobrecargas de uso y de nieve)

y de cargas puntuales (acción de la carga repartida en puntos concretos de la viga de madera).

L

qL

2qL

2qL

L q

2qL

2qL

Peso calzada y vehículos Viga

Pilar Pilar

q

L

q

1 2 3 4 5L q F F F F F

1F5F

2F 3F 4F


En realidad todas las fuerzas reales son repartidas, ya que si una fuerza de un valor

determinado actuara en un punto, de superficie nula, la presión (que se define como fuerza por

unidad de superficie) sería infinita, y ningún material real la podría resistir, sin embargo, cuando las

fuerzas actúan en un área poco extensa, se pueden considerar como puntuales para simplificar los

cálculos.

En el caso de fuerzas ejercidas por sistemas líquidos y gaseosos, al no tener una forma

determinada, éstos se adaptan a la forma del recipiente que los contiene, con la condición de que en

el equilibrio la energía potencial del sistema sea la mínima posible, como se verá más adelante. En

este caso la fuerza que ejercen sobre otro sistema material se estudia a través del concepto de

presión, que da lugar a fuerzas perpendiculares a la superficie sobre la que actúa, cuando el sistema

se encuentra en equilibrio.

Por ejemplo, la representación de la presión del agua sobre un muro en función de la

profundidad permitirá obtener, como se verá más adelante, la intensidad y dirección de la fuerza

sobre dicho muro ejercida por el agua.

Figura 1.2.4: Ejemplo de la variación de la presión en el agua en función de la profundidad.

1.2.4.- Sólido rígido

En el cálculo de elementos estructurales se utilizan cuerpos muy duros, como por ejemplo

pilares, vigas, etc., compuestos de hormigón, acero, madera u otros materiales. Para abordar el

estudio de su equilibrio y estabilidad se los considera indeformables, ya que esta hipótesis hace que

los resultados obtenidos se aproximen suficientemente a la realidad, al ser muy pequeñas las


deformaciones sufridas frente a las dimensiones de los elementos estructurales y frente a las

acciones que actúan sobre ellos.

Se define sistema material indeformable o sólido rígido como aquel sistema tal que la

distancia entre dos cualesquiera de sus puntos se mantiene invariable (Figura 1.2.5).

Figura 1.2.5: Definición de sólido rígido.

1.2.5.- Línea de acción de una fuerza. Fuerzas sobre sólidos rígidos

Cuando los cuerpos sobre los que actúan las fuerzas son sólidos rígidos, como se considera

en el desarrollo de la Estática Vectorial, se puede comprobar que el efecto que provocan sobre estos

sólidos no varía, aunque desplacen estas fuerzas su punto de aplicación a lo largo de la recta que las

contiene. A esta recta se la denomina recta soporte o línea de acción de la fuerza.

Ejemplo 1.2.1: Si se aplica una fuerza F a un bloque en un punto A y a una altura h (Figura 1.2.6

izquierda), y se aumenta la intensidad de F hasta que el bloque comience a volcar alrededor de O, se

comprueba experimentalmente que este valor coincide con el valor de la fuerza que hay que aplicar

en el punto B, a la misma altura h, para conseguir el mismo efecto (Figura 1.2.6 derecha).

Figura 1.2.6: Ejemplo de línea de acción o recta soporte de una fuerza.

En los dos casos el bloque comenzará a volcar al aplicar la misma fuerza F.

F F

h h

A B

A

B

x

y

z

= cteAB

O O


Ejemplo 1.2.2: Considérese un bloque de sección rectangular apoyado en una superficie

horizontal rugosa, y sometido a una fuerza horizontal F de 10 KN (Figura 1.2.7). Sabiendo que el

bloque se encuentra en equilibrio en esa posición, obténgase la fuerza de rozamiento entre bloque y

suelo, en los tres supuestos de aplicación de la fuerza F en los puntos A, B y C.


Si se plantea el equilibrio del cuerpo en los tres supuestos, se obtiene el mismo valor de la

fuerza de rozamiento.

Ejemplo 1.2.3: Considérese un sólido elástico, por ejemplo la goma elástica AC de la Figura 1.2.8:

Figura 1.2.8: Sólido elástico. Fuerza ligada a su punto de aplicación.

El efecto es diferente si la fuerza se aplica en B que si se aplica en C. Al aplicar la fuerza en B

(punto medio de la goma) el tramo AB sufre un alargamiento ∆L proporcional a su coeficiente elástico,

y el tramo BC se mantiene indeformado. Sin embargo, si la fuerza se aplica en C (extremo de la

goma) ésta sufre un alargamiento 2∆L. Es decir, el efecto provocado sobre la goma (sólido elástico)

F

F

A

AB

AB

AC

BC

BC

2∆L

A

A

B

B

B

C

C

∆L

AF

F

F

h FR

h

h FR

FR

B

C


por la fuerza varía en función de dónde esté aplicada ésta. En estos casos (sólidos deformables) las

fuerzas deberán considerarse ligadas a sus puntos de aplicación.

Ejemplo 1.2.4: Fuerza peso de un bloque prismático rectangular. Considérese un cuerpo homogéneo

apoyado en una superficie horizontal, como se muestra en la Figura 1.2.9, y sometido sólo a su

propio peso P.

La fuerza que ejerce el suelo sobre el bloque (normal) será igual y de sentido contrario al

peso del bloque. Este valor es independiente de dónde se considere aplicado el vector peso, sobre

los puntos de la línea vertical que contiene el centro de gravedad del bloque.


Ejemplo 1.2.5 : Fuerza ejercida por un cable

Los cables utilizados en construcción soportan grandes esfuerzos frente al tamaño de su

sección transversal. Los cables se consideran ideales, es decir, homogéneos, flexibles, inextensibles

y de peso y sección despreciables frente a los esfuerzos que soportan.

Considérese una viga horizontal de peso P sujeta a una superficie vertical mediante un apoyo

articulado A y un cable, tal como muestra la Figura 1.2.10. La fuerza (tensión) T que ejerce el cable

es la misma en cualquiera de sus secciones transversales.

Figura 1.2.10: Fuerzas en cables.

F = P

R = -P R = -P R = -P

F = P F = P

P P

T

TA A


La consecuencia principal que se desprende de estos ejemplos es que las fuerzas pueden

tratarse como si fueran vectores deslizantes cuando los cuerpos sobre los que actúan son sólidos

rígidos.

1.2.6.- Momento de una fuerza

La sensación que produce una fuerza de una intensidad determinada es diferente según su

dirección, sentido y punto sobre el que actúa.

Ejemplo 1.2.6: Si se levanta un peso con las manos (Figura 1.2.11), se puede observar que el

esfuerzo que se tiene que realizar es mayor cuanto más separado esté el peso del cuerpo.

Figura 1.2.11: Momento de una fuerza.

Este efecto se representa en las imágenes como un arco, y significa la “tendencia” del peso

de la caja a girar los brazos en sentido horario, en este caso.

Ejemplo 1.2.7: BALANZA. En el caso de una balanza, si se coloca en la parte izquierda un peso

determinado P1 a distancia L1, se comprueba que para equilibrarla en la parte derecha se debe

colocar un peso P2 a una distancia L2 de forma que P1.L1 = P2.L2 = constante.


L/2 L

P1

P2

L1 L2


Ejemplo 1.2.8: PUERTA. Considérese ahora una puerta de una hoja abatible como las utilizadas

habitualmente en edificación. Si la puerta se encuentra abierta, y para cerrarla hay que aplicar una

fuerza F perpendicular al plano de la misma, sobre la manivela, obsérvese que el efecto es el mismo

si se aplica F empujando sobre la puerta, que si se aplica F estirando de la puerta. Esto hace que la

fuerza F se comporte como un vector deslizante.

FF

Figura 1.2.13: Línea de acción y momento de una fuerza.

Si la manivela se encuentra a una distancia L del eje de la puerta (donde están colocadas las

bisagras) el “efecto” para cerrar la puerta se obtiene del producto de F.L. Si ahora la fuerza para

cerrar la puerta se aplica a una distancia 0’5L del eje de la puerta, se comprueba experimentalmente

que la fuerza necesaria es 2F, es decir, se mantiene constante el producto F.L.

L2

L 2FF


Por tanto, parece lógico establecer una variable que represente este efecto constatado en los

ejemplos anteriores, y que se podría denominar de “tendencia al giro”. A esta variable se la

denominará de aquí en adelante momento de una fuerza.


Considérese una fuerza �

F contenida en el plano z = 0, cuya línea de acción pasa por el

punto P(xP, yP). Se define el momento de �

F respecto a un punto cualquiera A(x, y) de dicho plano

como el producto vectorial

= ∧��

( ) ,AM F AP F (1.2.2)

donde ��

AP es el vector obtenido al unir A con P (Figura 1.2.15).

Figura 1.2.15: Momento de una fuerza en un punto A.

Si en lugar de utilizar el punto P de la línea de acción de la fuerza �

F , se utiliza otro punto Q

cualquiera de su línea de acción (Figura 1.2.16), el momento con respecto al punto A se expresaría

de la forma

= ∧ = + ∧ = ∧ + ∧ = ∧��

( ) ( ) ,AM F AQ F AP PQ F AP F PQ F AP F (1.2.3)

Figura 1.2.16: El momento de una fuerza �

F respecto a un punto A no depende del punto de la línea de acción

de la fuerza elegido para calcularlo

x

y

z

A

P �

F

� �

( )AM F

��

AP

x

y

z

A

P�

F

� �

( )AM F

��

AP

Q

��

AQ

��

PQ

d

α β

α

β

=

=

��

��

sen

sen

AQ d

AP d


por ser paralelos los vectores ��

PQ y �

F . Esto pone de manifiesto que el momento de una fuerza en

un punto A no depende del punto elegido de la línea de acción de la fuerza. Por tanto, el

momento de una fuerza �

( , )F P con respecto a un punto A es un vector ligado al punto, de dirección

perpendicular a los vectores ��

AP y �

F , sentido el del producto vectorial, y módulo, el producto de los

módulos de los vectores por el seno del ángulo que forman. Es decir, si se analiza la expresión del

módulo del momento resulta

β= =��

( ) sen ,AM F F AP F d (1.2.4)

siendo d la distancia del punto A a la línea de acción de la fuerza, y que demuestra que el módulo del

momento sólo depende del módulo de la fuerza y de la distancia del punto a su línea de acción, algo

lógico al no depender el momento del punto elegido de la línea de acción de la fuerza.

Escribiendo ��

AP y �

F por sus componentes, al estar contenidos en el plano xy, la expresión

del momento será de la forma

∧

� � �

��

( ) 0 ( ( ) ( )) ,0

A P A P A y P A x P Ax y

i j kM F = AP F = x - x y - y = F x - x - F y - y k

F F (1.2.5)

es decir, el momento es un vector perpendicular al plano xy. Si el punto respecto del cual se

obtiene el momento pertenece al plano que contiene las fuerzas, dicho momento siempre será

perpendicular al plano, y siempre tendrá la dirección del eje z, pudiendo ser horario ( −�

k ) o antihorario

(�

k ).

Ejemplo 1.2.9: Considérese la situación mostrada en la Figura 1.2.17, una balanza que puede girar

alrededor de O, donde se conocen P1 = 10 N, L1 = 2 m y L2 = 4 m. Obténgase:

1.- El momento del vector �

1P en el origen (punto O de apoyo de la balanza) considerando que �

1P

está aplicada en G.


1P en el origen considerando que �

1P está aplicada en el punto A(-L1, 0).

3.- El momento de �

2P en el punto O.

4.- El valor de �

2P que equilibra la tendencia al giro provocada por �

1P .

RESOLUCIÓN:


1P en O viene dado por la expresión


= ∧��

1 1( ) ,OM P OG P (1.2.6)

siendo O(0,0), G(-2, yG), y �

1P (0, -10). Por tanto,

= ∧ = − =−

� � ��

��

1 1( ) 2 0 20 Nm .0 10 0

O G

i j kM P OG P y k (1.2.7)

Figura 1.2.17


1P en O considerando que �

1P está aplicada en el punto A(-2, 0) es

= ∧ = − =−

� � ��

��

1 1( ) 2 0 0 20 Nm ,0 10 0

O

i j kM P OA P k

(1.2.8)

como ya se sabía, el momento de la fuerza no depende del punto de su línea de acción que se elija,

es decir, puede ser A, G, o cualquier otro de la recta x = -2.

El momento de �

1P en O también se puede obtener directamente como un vector de módulo

igual al producto del módulo de �

1P por la distancia del punto a su línea de acción, y sentido

antihorario, es decir,

= ⋅ = → =� � � � � �

1 1 1( ) 10 2 20 Nm , ( ) 20 Nm ,O OM P = P d M P k (1.2.9)


2P en el punto O queda de la forma

x

P1

L1

P2

L2

y

OG A

B


= ∧ = = −−

� �

� � ��

��

O 2 2 22

( ) 4 0 4 ,0 0

P P B

i j kM OB y P k

P (1.2.10)

o bien,

= ⋅ → = −� � � � � �

2 2 2 2 2( ) 4 , sentido horario ( ) 4 .O OM P = P d P M P P k (1.2.11)

Ambos momentos tienen que ser iguales en módulo, y de sentidos opuestos, luego,

⋅ = → =2 24 20 5 N .P P (1.2.12)

1.3.- Sistemas planos de fuerzas

En el cálculo de estructuras se utilizan habitualmente sistemas de fuerzas que tienen infinitos

puntos de aplicación (peso de forjados, peso de pavimentos, sobrecargas de nieve, reacciones de

suelos sobre cimientos, etc.) y que se denominan sistemas continuos de fuerzas. En otras ocasiones

aparecen cargas concentradas sobre distintos puntos de la estructura (pilar apoyado en viga, zuncho

apoyado en pilar o apoyado en viga, etc.), a las que se denomina cargas puntuales y que constituyen

un sistema discreto de fuerzas. En ambos casos, lo usual es que estos sistemas de fuerzas

(continuos o finitos) se calculen como sistemas planos.

Ejemplo 1.3.1: Fuerza reacción que ejerce una superficie horizontal sobre un prisma rectangular

apoyado en ella (en edificación podría asimilarse a una zapata bajo pilar centrado). El primer caso

muestra un sistema de fuerzas con simetría vertical, que provoca una reacción del suelo también

simétrica (Figura 1.3.1). El segundo caso muestra la acción, además, de un par de fuerzas de

momento M que provoca una variación de la presión sobre el suelo, y por tanto de la reacción del

suelo sobre el prisma (Figura 1.3.2).

F

L

q

F=L·q

Reacción del suelosobre la zapata

Zapata bajo pilar centrado

Acción de la zapata sobre el suelo

Figura 1.3.1: El sistema de fuerzas con simetría vertical que actúa sobre la zapata provoca una reacción del

suelo sobre la zapata también simétrica.


FM

Zapata sobrepilar centrado

q

Par de fuerzas=ML·q=F

Acción zapata sobre suelo= =Par de fuerzas+M+F L·q Reacción del suelo

L

ML

MLF

F

Figura 1.3.2: Al actuar sobre el sólido un par de fuerzas de momento M se provoca una variación de la presión

sobre el suelo, y por tanto, de la reacción del suelo sobre la base del sólido.

Aplicando la teoría de sistemas planos de fuerzas, se obtiene el valor y punto de aplicación de

la reacción resultante del suelo sobre el prisma, que es un sistema continuo de fuerzas deslizantes

paralelas.

Ejemplo 1.3.2: Viga horizontal biapoyada sometida a fuerzas puntuales. En este ejemplo es necesario

obtener las fuerzas que ejerce la viga de la Figura 1.3.3 sobre sus puntos de apoyo (como se verá

más adelante denominados enlaces), y que están originadas por las fuerzas puntuales aplicadas

sobre la propia viga. Al igual que el ejemplo anterior es necesario sustituir las fuerzas que actúan

sobre la viga (a) por su fuerza resultante (c), a su vez, sustituir esta fuerza resultante por su acción

sobre los enlaces (b). Las fuerzas que ejercen los enlaces son las opuestas (c).

Acción viga / articulación =Acción viga / apoyo =

Reacción articulación / vigaReacción apoyo / viga

a b c

1F3F

2F

1 2 3ar apA A F F F

arA

apA

1 2 3R F F F

Figura 1.3.3: Operaciones con sistemas de fuerzas

Ejemplo 1.3.3: Viga empotrada y en voladizo sometida a fuerzas puntuales. Al igual que el caso

anterior, es necesario obtener las acciones que ejerce la viga sobre el enlace (empotramiento), y que

están originadas por las fuerzas puntuales aplicadas sobre la propia viga. Y al igual que el ejemplo

�

1F �

2F �

3F

�

: arA�

: apA

+ = + +� � � � �

1 2 3ar apA A F F F

= + +� � � �

1 2 3R F F F


anterior es necesario sustituir las fuerzas sobre la viga por su fuerza resultante, y a su vez, sustituir

esta fuerza resultante por su acción sobre el enlace (fuerza y momento).

Reacciones pared/viga1F

2F

/ 1 2v pF F F

/ /v p v pF M

/v pM

/v pR F

Figura 1.3.4: Operaciones con sistemas de fuerzas

1.3.1.- Definición de sistema de fuerzas

Se denomina así a todo conjunto finito o continuo de fuerzas. En caso de un número finito de

fuerzas, el sistema se representa por �

{ , }i iF P . Si es un sistema continuo su representación será de la

forma �

{ , }dF P en una zona determinada del plano z = 0.

Ejemplo de sistema finito de fuerzas: Fuerzas puntuales sobre un prisma apoyado en un

plano inclinado (diagrama de sólido libre en Figura 1.3.5b).

Figura 1.3.5: Sistema finito de fuerzas

Ejemplo de sistemas continuos de fuerzas: carga gravitatoria repartida y carga de viento

sobre pórtico.

F

FR N

P F P

(a) (b)

�

1F�

2F

= +� � �

/ 1 2v pF F F

= +� � �

/ 1 2v pM F F� �

/ /yv p v pF M

=� �

/v pR F

−�

1F

−�

2F

−�

/v pM


Carga gravitatoria

Carga de viento

Figura 1.3.6: Sistemas continuos de fuerzas

1.3.2.- Resultante de un sistema plano de fuerzas

Se define la resultante de un sistema de n fuerzas, como la suma vectorial de las fuerzas que

componen el sistema

== = +∑

� � � �

1,

ni x y

iR F R i R j (1.3.1)

vector que no depende de los puntos del espacio donde están aplicadas las fuerzas, por lo tanto, se

trata de un vector libre.

Gráficamente se obtendría eligiendo una escala para los módulos de las fuerzas, se trazaría

una paralela a la primera fuerza, a escala; por el extremo de ésta, paralela a la fuerza siguiente, y así

sucesivamente hasta dibujar todas las fuerzas. La resultante se obtiene uniendo con una recta el

origen de la primera fuerza con el extremo de la última.

En el caso de un sistema continuo de fuerzas será

= ∫� �

.S

R dF (1.3.2)

1.3.3.- Momento resultante de un sistema plano de fuerzas

Se define el momento resultante de un sistema de n fuerzas contenidas en un plano, con

respecto a un punto A del plano, como el vector ligado �

AM suma de los n momentos de cada una de

las fuerzas con respecto a dicho punto


= == ∧ = − − =∑ ∑

� � �

��

1 10 .0

n nA i i Pi A Pi A A

i i xi yi

i j kM AP F x x y y M k

F F (1.3.3)

Gráficamente se obtendría eligiendo una escala para los módulos de las fuerzas, y otra

escala para longitudes. Para cada una de las fuerzas se realizaría el producto de su módulo por la

distancia de su línea de acción al punto, eligiendo el signo negativo para los momentos horarios, y el

signo positivo para los momentos antihorarios. El momento resultante es la suma de estos productos

con el sentido indicado por su signo.

En el caso de un sistema continuo de fuerzas será

= ∧ = − − − ∫ ∫ ∫

��

( ) ( ) .A y A x AM AP dF dF x x dF y y k (1.3.4)

1.3.4.- Torsor de un sistema plano de fuerzas

Se define el torsor se un sistema de fuerzas, AΤ , como el par formado por la resultante y el

momento resultante del sistema en un punto A.

= =

=

≡

∑ ∑

∑

�

�

1 1

1

,

.

n nxi yi

i iA

nAAi

i

F FR

TM

M

(1.3.5)

1.3.5.- Equivalencia de un sistema plano de fuerzas

Se dice que dos sistemas de fuerzas son equivalentes cuando tienen el mismo torsor en un

punto. Al tener el mismo torsor en un punto, lo tienen en todos los puntos del espacio. En efecto, si se

denomina a los sistemas S1 y S2, por ser sistemas equivalentes,

= ≡ ⇔ =

� � � �

� � � �

1 2 1 21 2

1 2 1 2( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )A AA A A A

R R R RT T

M M M M. (1.3.6)

Si se obtiene el momento resultante en otro punto B del sistema S1,

= = = == ∧ = + ∧ = ∧ + ∧∑ ∑ ∑ ∑

��

1 1 1 1( ) ,

n n n nB i i ii i i i

i i i iM BP F BA AP F BA F AP F (1.3.7)


= + ∧��

,B AM M BA R (1.3.8)

= + ∧ =��

1 1 1 2( ) ( ) ( ) ,B A BM M EA R M (1.3.9)

lo que pone de manifiesto que si dos sistemas son equivalentes en un punto, son equivalentes en

todos los puntos del espacio.

La utilización de sistemas equivalentes de fuerzas resulta muy práctica en el cálculo del

equilibrio de sólidos rígidos, al poder sustituir cualquier sistema de fuerzas por otro sistema

equivalente mucho más sencillo, formado por una fuerza o formado por dos fuerzas. A esta

sustitución se la denomina reducción de un sistema de fuerzas.

1.3.6.- Reducción de un sistema plano de fuerzas

Se define la reducción de un sistema de fuerzas como la obtención de otro sistema

equivalente formado por una o dos fuerzas. Para analizar los posibles casos se estudia la nulidad del

producto escalar ��

iAM R . El producto escalar de la resultante por el momento resultante será nulo por

alguno de los siguientes casos:

a) ⊥ ≠ ≠��

, 0 , 0A AM R M R . En este caso, un sistema equivalente es el formado por un

solo vector, la fuerza resultante �

R como vector deslizante sobre una recta

denominada eje central (Figura 1.3.7). Esta recta se obtiene tomando momentos con

respecto al punto A y planteando la equivalencia de sistemas, supuesta la fuerza

resultante sobre una recta que contiene un punto desconocido E:

= ∧ = ∧∑��

.iA iM AP F AE R

(1.3.10)

Figura 1.3.7

E

�

R

��

AE

x O

y

A

Pi �

iF

��

iAP

x O

y

A

eje central


b) = ≠��

0 , 0AM R . En este caso, un sistema equivalente es el formado por un solo

vector, la fuerza resultante como vector deslizante sobre el eje central y que contiene

el punto A. En la Figura 1.3.8 se muestra un ejemplo de este tipo de sistemas

(sistema de fuerzas concurrentes). El momento resultante del sistema en cualquier

punto Q se obtiene como el momento de la resultante:

= ∧ = ∧∑��

.iQ iM QP F QA R

(1.3.11)

Figura 1.3.8

c) ≠ =��

0 , 0AM R . En este caso, el momento resultante es constante en todos los

puntos del espacio (Figura 1.3.9), ya que si B es un punto arbitrario del plano, de la

ecuación (1.3.8) se deduce

= + ∧ =��

.B A AM M BA R M (1.3.12)

Figura 1.3.9

El sistema equivalente más simplificado está formado por dos fuerzas iguales en

módulo y dirección (Figura 1.3.10a), de sentidos opuestos, y separadas sus líneas de

acción una cierta distancia d. A este sistema se le denomina par de fuerzas, y verifica

x O

y

A

=� �

0RB

�

iF

x O

y

A

Pi

��

iAP

= ≡� � �

A BM M M

≠� �

0AM

A

Pi �

iF��

iAP

x O

y eje central

Q

��

iQP

A

x O

y

Q

�

R

��

QA


= + − =� � � �

( ) 0 ,R F F

(1.3.13)

= ∧ + ∧ − = − ∧ = ∧��

1 2 1 2 2 1( ) ( ) ,AM AP F AP F AP AP F P P F (1.3.14)

α= =��

2 1 sen .AM F P P F d (1.3.15)

(a) (b)

Figura 1.3.10

Los pares de fuerzas aparecerán con frecuencia a lo largo del curso. Para indicar su

presencia se suele emplear el símbolo que señala el sentido de giro que provocaría.

Así, el la Figura 1.3.10b se señala un par de fuerzas que daría lugar a un giro

antihorario. El momento de este par es independiente del punto del plano escogido, y

es un vector perpendicular al plano de la figura que, en este caso, saldría del mismo.

Si las fuerzas llevasen sentidos contrarios, darían lugar a un giro antihorario, y a un

vector momento que entraría en el plano del dibujo.

d) = =��

0 0AM R . A este sistema se le denomina sistema nulo (Figura 1.3.11). El

sistema equivalente más simplificado será el formado por dos fuerzas iguales en

módulo y dirección, de sentidos opuestos, sobre la misma línea de acción.

Figura 1.3.11

−�

F

x O

y

A �

F

B −�

F

x O

y

A ��

1AP �

Fd

P1 P2 ��

2AP

��

2 1P P

α

α

d

= ≡� � �

A BM M M

�

M

x O

y

A

=� �

0R B

�

iF

x O

y

A

Pi ��

iAP=

� �

0AM

=� �

0BM

−�

F

�

F


Ejemplo 1.3.4: Sobre la viga de la Figura 1.3.12 actúa el sistema S de fuerzas formado por las dos

fuerzas puntuales mostradas y el par de fuerzas de momento indicado. Redúzcase el sistema a una

sola fuerza �

F .

Figura 1.3.12

La expresión vectorial de las fuerzas y momentos es

= − = = − ⋅� � � � � �

1 2 32000 N , 1000 N , 4000 N m .F j F i M k

(1.3.16)

El sistema equivalente al inicial es la resultante del propio sistema pasando por un punto P.

La resultante vale

= = + = −� � � � � �

1 2( ) (1000 2000 ) N ,F R S F F i j

(1.3.17)

donde se ha tenido en cuenta que la suma de fuerzas de un par es un vector nulo.

Para hallar el punto P(xP, 0) de la viga en el que debe actuar esta fuerza, se iguala su

momento en el punto O con el momento total del sistema en ese punto

= → ∧ = ∧ + ∧ +��

1 2 3( ) ( ) .O OM F M S OP F OA F OB F M

(1.3.18)

Teniendo en cuenta que

= = =��

, 3 m, 3 m ,POP x i OA i OB i

(1.3.19)

se cumple

F1 = 2000 N

M3 = 4000 N.m

O A B

3 m 2 m3 m 2 m

C

F2 = 1000 N

x

y


∧ = = − ⋅−

� � �

��

0 0 2000 N m ,1000 2000 0

P P

i j kOP F x x k

(1.3.20)

∧ = = − ⋅−

� � �

��

1 3 0 0 6000 N m ,0 2000 0

i j kOA F k

(1.3.21)

∧ = = ⋅

� � �

��

2 6 0 0 0 N m .1000 0 0

i j kOB F k

(1.3.22)

Por tanto, la ecuación (1.3.15) resulta

− = − → =� �

2000 10000 5 m .P Px k k x

(1.3.23)

En la Figura 1.3.13 se muestra el sistema equivalente formado por una sóla fuerza.

Figura 1.3.13

O

5 m

x

y

= = −� � � �

( ) (1000 2000 ) NF R S i j

eje central

P


1.4.- Cargas repartidas. Aplicación de la norma “NBE-AE-88 Acciones en

Edificación”

A continuación se muestran los datos de pesos y acciones más usuales utilizados en los

cálculos de estructuras, y que son de obligado cumplimiento en la redacción de proyectos de

edificación.

TABLA 2.4 NBE-AE/88 Peso de fábricas y macizos

TABLA 2.5 NBE-AE/88 Peso de elementos constructivos

Elemento Peso Kp/m3 Elemento Peso

Kp/m2

A. Sillería De basalto De granito De caliza compacta o mármol De arenisca De arenisca porosa o caliza porosa B. Mampostería con mortero De arenisca De basalto De caliza compacta De granito C. Fábrica de ladrillo Cerámico macizo Cerámico perforado Cerámico hueco D. Fábrica de bloques Bloque hueco de mortero (pesado) Bloque hueco de mortero (ligero) Bloque hueco de yeso E. Hormigones Armado En masa De cascote de ladrillo De escoria

3.000 2.800 2.800 2.600 2.400

2.400 2.700 2.600 2.600

1.800 1.500 1.200

1.600 1.300 1.000

2.500 2.300 1.900 1.600

A. Tabiques (sin revestir) Tabique de ladrillo hueco (4’5 cm) Tabicón de ladrillo hueco (9 cm) Tabicón de ladrillo hueco (12 cm) B. Revestimientos Enfoscado o revoco de cemento Guarnecido de yeso C. Pavimentos Baldosa hidráulica o cerámica: - grueso total, incluso relleno: 3 cm - grueso total, incluso relleno: 5 cm - grueso total, incluso relleno: 7 cm Parquet sobre tarima de 2 cm y rastrel Terrazo sobre mortero (5 cm de espesor total) D. Forjados de cubierta Tablero de rasilla (1 hoja) Tablero de rasilla (2 hojas) E. Materiales de cobertura Teja curva ligera (1’6 Kg por pieza) Teja curva corriente (2 Kg por pieza) Teja plana ligera (2’4 Kg por pieza) Teja plana corriente (3 Kg por pieza)

60 100 140

20 12

50 80 110 40

80

40 100

40 50 30 40


TABLA 2.5 NBE-AE/88 Peso de elementos constructivos

F. Pisos Dimensiones Peso Kp/m2

Bloque d (cm) Viguetas de hormigón y bloques huecos

Cerámico De mortero

16 20 24

16 20 24

100 130 160

120 150 180

Canto d (cm) Losa de hormigón armado

8 10 12 15 20

190 240 290 360 480

Bloque d (cm)

Losa aligerada de hormigón armado

Cerámico: t = 3 cm Cerámico: t = 5 cm De mortero: t = 3 cm De mortero: t = 5 cm

15 20 25

15 20 25

15 20 25

15 20 25

200 230 260

240 270 300

220 250 280

260 290 320


TABLA 3.1 NBE-AE/88

Sobrecargas de uso

TABLA 4.1 NBE-AE/88

Sobrecarga de nieve sobre superficie

horizontal Uso del elemento Sobrecarga

Kp/m2 Altitud topográfica h

m Sobrecarga de nieve

Kp/m2 0 a 200 201 a 400 401 a 600 601 a 800 801 a 1.000 1.001 a 1.200 > 1.200

40 50 60 80 100 120

h/100

TABLA 5.1 NBE-AE/88 Presión dinámica del viento

Altura de coronación del edificio sobre el terreno en

m, cuando la situación topográfica es

Velocidad del viento

v

Presión dinámica

w

Normal Expuesta m/s km/h Kp/m2

A. Azoteas Accesibles sólo para conservación Accesibles sólo privadamente Accesibles al público B. Viviendas Habitaciones de viviendas Escaleras y accesos públicos Balcones volados C. Hoteles, hospitales, cárceles… Zonas de dormitorio Zonas públicas, escaleras, accesos Locales de reunión y de espectáculo Balcones volados D. Oficinas y comercios Locales privados Oficinas públicas, tiendas

Galerías comerciales, escaleras y accesos Locales de almacén Balcones volados

E. Edificios docentes Aulas, despachos y comedores Escaleras y accesos Balcones volados F. Iglesias, edificios de reunión y

de espectáculos Locales con asientos fijos Locales sin asientos, tribunas,

escaleras Balcones volados G. Calzadas y garajes Sólo automóviles de turismo Camiones

100 150

según uso

200 300

art. 3.5

200 300 500

art. 3.5

200 300 400

según uso

art. 3.5

300 400

art. 3.5

300 500

art. 3.5

400 1.000

de 0a 10 de 11 a 30 de 31 a 100

> 100 -

- -

de 0 a 30 de 31 a 100

> 100

28 34 40 45 49

102 125 144 161 176

50 75 100 125 150


1.5.- Sistemas de fuerzas originados por las cargas repartidas descritas en la

norma NBE-AE-88

Los sistemas de fuerzas, discretos o continuos, que actúan en los elementos estructurales, se

obtienen a partir de los datos contenidos en las tablas de la norma NBE-AE-88, vistas en el apartado

anterior, con el procedimiento que muestran los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1.5.1: Considérese una estructura formada por dos muros de carga sobre los que

apoyan dos vigas paralelas, que sustentan a su vez una planta de piso (Figura 1.5.1).

Viga de hormigón armado

Viguetas de hormigón armado y bloques huecos Pavimento de baldosa hidráulica

Guarnecido de yeso

6 m

5 m

Figura 1.5.1

Considérese también, que la planta de piso es de un edificio docente y está compuesta por

los siguientes elementos constructivos (tablas apartado anterior):

Viguetas de hormigón y bloques huecos de mortero, de 24 cm de canto 180 Kp/m2

Pavimento de baldosa hidráulica de 7 cm de grueso total 110 Kp/m2

Guarnecido de yeso en la cara inferior del forjado de 2 cm de espesor 24 Kp/m2

Sobrecarga de uso en edificio docente 300 Kp/m2

Peso total del forjado 614 Kp/m2

Muro de carga Muro de carga


El forjado apoya sobre las dos vigas como muestra la Figura 1.5.1. Si la separación entre los

ejes de las mismas es de 6 m, cada una de ellas soportará 3 m de forjado, y por tanto, la carga por

metro lineal de viga será

614 Kp/m2 × 3m = 1.842 Kp/m ,

que equivale a un sistema continuo de fuerzas paralelas, constante, tal y como se muestra en la

Figura 1.5.2.

Figura 1.5.2

Ejemplo 1.5.2: Considérese ahora la misma tipología de forjado del ejemplo anterior, pero sustentado

en dos vigas que no son paralelas entre sí. El forjado, a su vez, sustenta por su punto medio un muro

de fábrica de ladrillo cerámico perforado de 12 cm de espesor y 3 m de altura, tal como muestran las

Figuras 1.5.3.

Muro de fábrica deladrillo cerámico perforado

Viga de hormigón armado

Viguetas de hormigónarmado y bloques huecos Pavimento de

baldosa hidráulica

Guarnecido de yeso

4 m

2 m3 m

6 m

Figura 1.5.3

El peso del muro se transmite a cada viga como una carga puntual de valor (tabla 2.4 NBE-AE-88):

1.500 Kp/m3 × 3m × 0’12m × 2m = 1.080 Kp .

Si el peso de la viga se considera despreciable frente a los pesos que soporta, el esquema de

cargas corresponde a un sistema continuo de fuerzas paralelas que varía linealmente, y a una fuerza

vertical, como muestra la Figura 1.5.4.

A B

5 m

q = 1.842 Kp/m

x

y

Muro de carga Muro de carga


Figura 1.5.4

1.6.- Estática de sistemas de puntos materiales

Para estudiar el efecto que provocan las fuerzas sobre sistemas materiales continuos, éstos

se descomponen en infinitos puntos materiales. Se estudia el equilibrio del punto material, y por

extensión el equilibrio de sistemas materiales continuos.

1.6.1.- Estática del punto material

En este apartado se estudian las relaciones que deben existir entre las fuerzas que actúan

sobre un punto material para que esté en equilibrio.

Definición de punto material: Es la materia contenida en un volumen infinitésimo (diferencial).

dV

Figura 1.6.1: Punto material.

A B

5 m

qB = 1.842 Kp/m

qA = 614 Kp/m

qA qB

x

y

P = 1.080 Kp


Aunque no se encuentran puntos materiales en la realidad (porque al ser infinitésimos no se

pueden detectar), en muchos problemas en los que los sólidos rígidos son pequeños respecto a las

dimensiones de otros elementos, se realiza la simplificación de considerarlos puntos materiales.

Ejemplo: El pasador A con el que se articulan varias barras delgadas entre sí en una

estructura articulada, se considera un punto material.

A

Figura 1.6.2: Punto material.

También se realizan hipótesis simplificativas sobre las barras, por ejemplo considerándolas

con sección transversal infinitésima (líneas) y sin peso.

Ecuaciones de equilibrio del punto material en el plano:

Por definición, un punto material está en equilibrio cuando su aceleración es nula. Si la

aceleración es nula, y la fuerza es proporcional a ella, la suma vectorial de las fuerzas que actúan

sobre el punto material debe ser nula, obteniendo:

=∑� �

0 .F (1.6.1)

Utilizando coordenadas cartesianas, esta ecuación vectorial se descompone en sistemas

planos, en las ecuaciones escalares:

=∑ 0 ,xF (1.6.2)

=∑ 0 .yF (1.6.3)

1.6.2.- Estática de sistemas materiales

Un sistema material está en equilibrio cuando la aceleración de todos y cada uno de sus

puntos es nula, es decir, cuando todos y cada uno de sus puntos están en reposo, si lo estaban

inicialmente.


Fuerza interior a un sistema material, es la que ejerce un punto material del sistema sobre

otro punto del sistema. Fuerza exterior a un sistema material es la que ejercen puntos materiales

que no pertenecen al sistema sobre un punto del sistema.

Ejemplo de fuerzas interiores y fuerzas exteriores: En el ejemplo de fuerzas visto en la página

5 de este capítulo, las cargas gravitatorias y sobrecargas de uso son fuerzas exteriores, las

reacciones (fuerzas en gris oscuro) son fuerzas interiores al sistema viga-pilares, mientras que si se

considera sólo la viga, entonces estas reacciones son fuerzas exteriores ya que las ejercen puntos

que no pertenecen al sistema sobre puntos del sistema.

Figura 1.6.3: Ejemplo de fuerzas interiores y fuerzas exteriores.

Teorema fundamental de la estática: Para que un sistema material esté en equilibrio es

condición necesaria que las fuerzas exteriores que actúan sobre él formen un sistema nulo.

Demostración: Si el sistema material está en equilibrio, la aceleración de uno cualquiera de

sus puntos Pi es nula, y también es nula la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre él (sistema

Si).

Si se reúnen todos estos sistemas Si, se obtiene el sistema S de todas las fuerzas que actúan

sobre todos los puntos del sistema, que será nulo, ya que se obtiene por la unión de sistemas nulos.

Por otra parte, el sistema de fuerzas interiores es nulo, ya que está formado por parejas de

vectores del mismo módulo, la misma recta de acción y sentido contrario, al considerar todas las

parejas de puntos del sistema material.

Como es nulo el sistema de todas las fuerzas que actúan sobre el sistema material, y es nulo

el sistema de fuerzas interiores, también deberá ser nulo el sistema de fuerzas exteriores, que es su

complementario, con lo que está demostrado el teorema.


es decir:

+= ⇒ = ⇒ ∪ =∑� �

( ) 0 00 , (sistema nulo) ,i

i i Ext Int iP

F S S S S

(1.6.4)

⇒ ∪ =( ) ( ) 0 ,F Ext F IntS S S

(1.6.5)

como se cumple

=( ) 0 ,F IntS S

(1.6.6)

resulta que

=( ) 0 ,F ExtS S

(1.6.7)

de donde resultan las ecuaciones vectoriales:

=∑��

0 ,ExtF (1.6.8)

=∑��

( ) 0 .ExtAM F (1.6.9)

Ecuaciones de la estática plana: Si las fuerzas que actúan sobre el sistema están contenidas en el

plano z = 0, del teorema anterior se obtienen tres ecuaciones algebraicas que son:

=∑ ( ) 0 ,x ExtF (1.6.10)

=∑ ( ) 0 ,y ExtF (1.6.11)

=∑�

( ) 0 .A ExtM F (1.6.12)

donde A es un punto cualquiera del plano.

1.7.- Enlaces entre sólidos rígidos planos

El contacto de un sólido rígido con otros puede restringir sus posibilidades de movimiento al

establecer condiciones entre los parámetros que determinan su posición. Por ejemplo, en la Figura

1.7.1 se muestra una estructura de barras apoyada a la izquierda en una barra y articulada a la

derecha en un prisma rectangular. La barra, a su vez, está empotrada en una superficie vertical. El


prisma impide el movimiento vertical y horizontal de la estructura y la barra le impide el movimiento

vertical. El empotramiento le impide a la barra cualquier tipo de movimiento.

P

F

A B E

yA yB

xB EM

yE barraP

/est barraF

Figura 1.7.1: Ejemplo de fuerzas de enlace.

Después de lo comentado en este ejemplo se hace necesario establecer la siguiente

definición de enlace:

Enlace de un sólido rígido es una condición entre los parámetros que determinan su posición.

El enlace impide movimientos del sólido rígido que serían posibles en caso de no existir, y lo hace

generando fuerzas que impiden esos movimientos, y que se llaman reacciones de enlace.

Los enlaces más usuales utilizados en el cálculo de estructuras son:

Apoyo simple:

Permite el deslizamiento sin rozamiento sobre la superficie de contacto, y da lugar a una

reacción perpendicular a la superficie (reacción normal), o al plano tangente en el punto de apoyo. En

la Figura 1.7.2. se muestran diferentes formas de simbolizar este enlace.

Figura 1.7.2

normal

apoyos sin rozamiento

apoyos deslizantes sobre rodillos

N

N N N


Existen situaciones, como la mostrada en la Figura 1.7.3, en las que puede resultar conflictivo

asignar una dirección a la reacción normal. Mientras que en el apoyo A no hay duda (la reacción

normal es perpendicular a la superficie de contacto), en el B no es posible aplicar esa regla. Para

solventar este problema, se tiene en cuenta cómo sería un hipotético movimiento compatible con los

enlaces y se asigna como dirección a la normal la perpendicular a ese movimiento.

Figura 1.7.3

Apoyo sobre superficie con rozamiento:

Además de la reacción normal, aparece una fuerza tangencial consecuencia de las

rugosidades de los cuerpos en contacto (Figura 1.7.4). Debido a la importancia de la fuerza de

rozamiento su estudio será abordado en un apartado independiente.

Figura 1.7.4

Articulación:

Obliga a un punto de un sólido a coincidir con un punto determinado de otro sólido, pero

permite el giro (sin rozamiento) respecto a esos puntos. Este tipo de enlace coarta por tanto dos

grados de libertad, y esto se traduce en la aparición de una fuerza de enlace con dirección

posible movimiento

posible movimiento

A

B

NA

NB

normal

fuerza de rozamiento

N

FR


desconocida, o lo que es equivalente, dos componentes desconocidas de una fuerza. En la Figuras

1.7.5-6 se muestran enlaces de este tipo

Figura 1.7.5: apoyos articulados

Figura 1.7.6: articulación

Una propiedad interesante de las articulaciones permite simplificar los cálculos en algunos

problemas.

Ejemplo 1.7.1: Calcúlense las reacciones en las articulaciones A y C de la estructura que se muestra

en la Figura 1.7.7.

Figura 1.7.7

11 Kp.m

5 Kp

A

B

C

3 m

4 m

4 m

3 m

α

α

componentes horizontal y vertical de fuerza desconocida

Ax

Ay

Ax

Ay

A A

A

Ax

Ay

Ax

Ay


En la Figura 1.7.8 se muestra el diagrama de sólido libre de la estructura completa. Se ha

sustutuido la fuerza de 5 Kp aplicada en B por sus componentes horizontal y vertical.

Figura 1.7.8

Las condiciones de equilibrio (1.6.10-12) conducen a

= → + − = → − = −∑ 0 4 0 4 ,x x x x xF A C A C (1.7.1)

= → − − = → − =∑ 0 3 0 3 ,y y y y yF A C A C (1.7.2)

= → − − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = → − =∑ 0 11 4 3 3 4 7 7 0 5 .A x y x yM C C C C (1.7.3)

Como las ecuaciones de equilibrio de la estática plana son tres (dos para fuerzas y una para

momentos), no es posible resolver todavía las cuatro incógnitas constituidas por las dos componentes

de fuerza que aporta cada una de las articulaciones A y C. Para solventar este problema, puede

desmontarse la estructura, dibujando en el extremo B de cada barra las fuerzas de enlace de la

articulación. Como es lógico, si sobre una de las barras se dibuja una componente de la fuerza de

enlace con un sentido, sobre la otra deberá dibujarse la misma componente, pero con sentido

contrario. Así, se llegaría a una situación como la mostrada en la Figura 1.7.9.

Ahora, podrían plantearse tres ecuaciones de equilibrio para cada barra, lo que totalizaría un

total de seis ecuaciones, que permitirían resolver las seis incógnitas de la Figura 1.7.9. Sin embargo,

como no se piden los valores de las fuerzas en C, basta con tomar momentos de las fuerzas que

actúan sobre una de las barras (por ejemplo la barra AB) con respecto a C. Con esto, se obtiene una

11 Kp.m4 Kp

A

B

C

3 m

4 m

4 m

3 m

α

α

Ax

Ay

Cy

Cx

3 Kp


cuarta ecuación que complementa a las ecuaciones (1.7.1-3) y que no involucra ninguna nueva

incógnita

= → − + ⋅ − ⋅ = → − =∑ (barra ) 0 11 3 4 0 3 4 11.B x y x yM AB A A A A (1.7.4)

Figura 1.7.9

Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1.7.1-4) se obtiene

= − = − = − =19 Kp , 17 Kp , 15 Kp , 20 Kp ,x y x yA A C C (1.7.5)

donde los signos negativos indican que las fuerzas calculadas llevan en realidad sentido contrario al

supuesto.

Empotramiento:

Este tipo de enlace impide cualquier movimiento (traslación o giro) del cuerpo empotrado. La

fuerza de enlace está compuesta por dos componentes de una fuerza (que aparecen porque el

cuerpo no puede trasladarse) y por un par de fuerzas (que surge debido a que el cuerpo no puede

girar). En la Figura 1.7.10 se muestran dos formas de simbolizar este enlace

Figura 1.7.10

11 Kp.m

A

4 m

3 m

Ax

Ay

By

Bx

4 Kp

B

C

3 m

4 m

Cy

Cx

3 Kp

By

Bx

B

E

E

Ex

Ey

ME Ex

Ey

ME


En la Tabla 1.7.1 se resumen algunos de estos enlaces.

Tabla 1.7.1: Tipos de enlaces y fuerzas de enlace

Apoyos sin rozamiento

Rodillos

Cable Biela Muelle

Deslizaderas lisas

Apoyos articulados

Articulación

Apoyo con rozamiento

Empotramiento

N Fuerza con dirección conocida

Fuerza con dirección conocida

F

Fuerza con dirección conocida

F

ME

Ex

Ey

1 in

cógn

ita

1 in

cógn

ita

1 in

cógn

ita

R

Fuerza con dirección desconocida

Dos fuerzas con dirección conocida

FR

N 2 in

cógn

itas

3 in

cógn

itas

Dos componentes de una fuerza y un par de fuerzas

01estatica

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