LABORATORIO Nº 1 MEDICIÓ N E INCERTIDUMBRE

I. OBJETIVOS

- Aprender el uso de los instrumentos de medición. - Identificar los tipos de errores que se presentan en un proceso de medición. - Expresar correctamente el valor de una medición directa o indirecta de una magnitud especifica.

II. FUNDAMENTO TEORICO

El objetivo de una medición es determinar el valor de la magnitud específica a medir, denominada mensurando. Durante la realización de una medición intervienen una serie de factores que determinan su resultado:

- El objeto de la medición; - El procedimiento de la medición; - Los instrumentos de medición; - El ambiente de medición; - El observador; - El método de cálculo.

Cuando hacemos referencia a una medición bajo las mismas condiciones ( condiciones de repetibilidad), significa que ninguno de los factores que intervienen en la medición cambia, es decir: - El mismo mensurando; - El mismo observador; - El mismo instrumento de medición utilizando las mismas condiciones; - El mismo lugar; - La repetición dela medición en un corto intervalo de tiempo.

Cuando las mediciones se repiten bajo distintas condiciones, se habla entonces de su reproducibilidad. Las distintas condiciones pueden incluir: - El principio de medición o método de medición; - El observador; - El instrumento de medición; - La ubicación; - Las condiciones de uso; - El patrón de referencia; - La ubicación; - Las condiciones de uso; - El tiempo.

Para que una expresión de reproducibilidad sea válida es necesario especificar las condiciones que varían. La reproducibilidad puede ser expresada cuantitativamente en términos de las características de dispersión de los resultados. Para caracterizar cualitativamente la calidad de una medición se utiliza el término exactitud. La exactitud de la medición es la cualidad que refleja el grado de concordancia entre el resultado de la medición y un valor verdadero del mensurando.

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Para caracterizar el grado de concordancia entre resultados de ensayos independientes, obtenidos bajo condiciones estipuladas se usa el término precisión. La precisión está relacionada con la repetibilidad y la reproducibilidad. Las medidas de precisión son estimadas bajo condiciones de repetibilidad y reproducibilidad, aunque frecuentemente, la precisión es tomada como una simple medida de repetibilidad. INSTRUMENTO DE MEDICIÓN Se denomina instrumento o aparato de medida a todo dispositivo destinado a realizar una medición, sólo o con dispositivos suplementarios. INCERTIDUMBRE DE LA MEDICIÓN La incertidumbre de la medición es una forma de expresar el hecho de que para un mensurando y su resultado de medición dados no hay un solo valor sino un número infinito de valores dispersos alrededor del resultado, que son consistentes con todas las observaciones datos y conocimientos que se tengan del mundo físico, y que con distintos grados de credibilidad pueden ser atribuidos al mensurando. FUENTES DE INCERTIDUMBRE La incertidumbre de una medida puede originarse de muchas fuentes posibles, entre ellas: a) Definición incompleta del mensurando; b) Conocimiento inadecuado de los efectos ambientales sobre las mediciones, o mediciones

imperfectas de dichas condiciones ambientales; c) Errores de apreciación del operador en la lectura de instrumentos analógicos; d) Resolución finita del instrumento o umbral de discriminación finito; e) Valores inexactos de patrones de medición y materiales de referencia; f) Valores inexactos de constantes y otros parámetros obtenidos de fuentes externas y usados en los

algoritmos de reducción de datos; g) Aproximaciones y suposiciones incorporadas en los métodos y procedimientos de medición; h) Variaciones en observaciones repetidas del mensurando bajo condiciones aparentemente iguales.

El resultado de una medición no está completo sino posee una declaración de la incertidumbre de la medición con un nivel de confianza determinado. En la presente experiencia se establece las reglas para la evaluación y expresión de la incertidumbre de la medición, las cuales pueden seguirse a diferentes niveles de exactitud y en muchos campos de las mediciones, desde la metrología científica hasta la metrología industrial.

Siempre que se realiza una medición inevitablemente se cometen errores debido a muchas causas, algunas pueden ser controladas y otras son incontrolable o inclusive desconocidas. Por lo tanto, para realizar mediciones con calidad y obtener resultados confiables es necesario que la persona que realiza la medición tenga el conocimiento, la técnica y la disciplina necesarios.

Cuando se expresa el resultado de la medición, además del valor estimado del mensurando, es necesario evaluar y expresar la incertidumbre de la medición como valoración de la calidad del resultado de la medición. La incertidumbre de la medición es considerada como una figura de mérito, es decir, un índice de calidad de la medición que proporciona una base para la comparación de los resultados de las mediciones, dando una medida de la confiabilidad en los resultados.

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PROCEDIMIENTOS DE MEDICIÓN Todo proceso de medición generalmente requiere el uso de un instrumento como medio físico para determinar la magnitud de una variable. Para ser válido un dispositivo de medición debe compararse contra un patrón, norma o estándar de aceptación general. El trabajo de medición emplea una serie de términos, los cuales se definen aquí:

En la medición directa o absoluta el valor de la medición de una magnitud se indica inmediatamente en el instrumento de medición. La magnitud se compara con la escala patrón del instrumento. El principio de medición se llama también por esta razón “medición de comparación”. Por ejemplo, se puede medir longitud de un objeto comparando la magnitud con una regla graduada, pie de rey, tornillo micrométrico, etc. La medición indirecta o relativa, es la que se obtiene relacionando dos o más mediciones directas mediante una fórmula matemática. Por ejemplo: el área de un rectángulo conociendo el largo y el ancho.

En mecánica estamos interesados fundamentalmente, en medir magnitudes de longitud, masa y tiempo. Sin embargo, no es posible determinar el valor exacto o verdadero de una magnitud. Todas las medidas están afectadas en algún grado por un error o incertidumbre experimental debido a las limitaciones del instrumento de medida y a la agudeza de nuestros sentidos que deben registrar la información.

ERROR O INCERTIDUMBRE DE LECTURA ( L )

A este valor se le llama también sensibilidad del instrumento Esta relacionado con la lectura de los instrumentos de medición y es igual a la mitad de la mínima división de la escala.

(1)

Por ejemplo, para una regla graduada en milímetros, su incertidumbre de lectura será . INCERTIDUMBRE DEBIDO A FLUCTUACIONES

Cuando se realizan varias mediciones directas de una misma magnitud , y los resultados están alrededor de algún valor central, se adopta como mejor estimación del valor verdadero al valor medio que viene dado por la siguiente expresión:

∑

(2)

La incertidumbre asociada generalmente con los errores accidentales o al azar y utilizada para calcular el error absoluto del valor medio de una magnitud después de mediciones se llama incertidumbre estándar de la media, y se define por

√ (3)

Donde √∑

es la desviación estándar de la muestra que mide el grado de dispersión

de una serie de datos respecto del valor medio y es el residuo o desviaciones entre el

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valor medio y la -ésima medición. También es común utilizar la siguiente expresión para incertidumbre estándar de la media:

√∑

(4)

Frecuentemente, cuando es grande ( ), la distribución de las observaciones es aproximadamente simétrica, en estas condiciones se puede sostener que el de las observaciones estarán comprendidos dentro del intervalo . Hasta ahora se han estudiado dos tipos de incertidumbres, uno relacionado con la lectura del instrumento y el otro con las fluctuaciones en la medición, entonces la incertidumbre total se calcula sumando en cuadratura:

(

)

(

)

(

)

O también:

√

(5)

El valor medio se aproximará tanto más al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor sea el número de mediciones, ya que los errores aleatorios de cada medida se va compensando unos con otros. Sin embargo, en la práctica no debe pasarse de un cierto número de medidas. En general, es suficiente con 10, e incluso podría bastar con 4 ó 5. Cuando la sensibilidad del método o de los aparatos utilizados es pequeña comparada con la magnitud de los errores aleatorios, puede ocurrir que la repetición de la medida nos lleve siempre al mismo resultado; en este caso, está claro que el valor medio coincidirá con el valor medido en una sola medida, y no se obtiene nada nuevo en la repetición de la medida y del cálculo del valor medio, por lo que solamente será necesario en este caso hacer una sola medida. REGLAS PARA EXPRESAR UNA MEDICIÓN Y SU INCERTIDUMBRE

1. Toda medición deberá expresarse en función del resultado experimental o medida hecha en el

laboratorio acompañada de la incertidumbre de la medida, y a continuación las unidades empleadas.

Por ejemplo, al medir una cierta distancia hemos obtenido . De este modo entendemos que la medida de dicha magnitud está en alguna parte entre y . En realidad, la expresión anterior no significa que se está seguro de que el valor verdadero es té entre los límites indicados, sino que hay cierta probabilidad de que esté allí.

2. Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa. Únicamente, en casos

excepcionales, se pueden dar en la segunda cifra el 5 ó 0.

Por ejemplo, si se mide la longitud de un objeto y se dice que el extremo se aproxima a , entonces su longitud exacta estará comprendido entre y , la forma correcta de expresar esta medición será ¿Por qué?

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3. La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y su incertidumbre, expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas). Por ejemplo, si se mide la longitud de un objeto y se dice que el extremo se aproxima a , entonces el longitud exacta estará comprendido entre y , entonces la medición se expresaría como sin embargo esto no es correcto ¿Por qué? Para que nuestra medición sea correcta habrá que redondear la incertidumbre de lectura y expresar . ¿Cuál es el valor de su incertidumbre de lectura?

PROPAGACIÓN DE LOS ERRORES

Si la magnitud viene determinada por la medida de varias magnitudes ligadas por la

función , el error de la magnitud en general viene dado por la siguiente expresión:

√(

)

(

)

(

)

(6)

Casos más frecuentes:

√ (7)

√ (8)

√(

)

(

)

(9)

√(

)

(

)

(10)

√ (

)

(

)

(11)

MEDICIÓN DE LA LONGITUD CON CALIBRADOR VERNIER O PIE DE REY El pie de rey se caracteriza por una corredera o nonius que se desplaza a lo largo de una guía provista de una escala graduada. Este instrumento se utiliza para medir exteriores, interiores y profundidades. La subdivisión de la escala de la guía es de 1 mm. El nonius hace posible la lectura directa de submúltiplos de milímetro. Existen nonius de precisión de 1/10 mm, 1/20 mm y 1/50 mm, el nombre tiene su origen en el portugués Pedro Nuñez (o Nonius 1492 – 1577). Para obtener la lectura de la medida usando el pie de rey, se hace uso de la siguiente formula:

(12)

En donde: : Es la distancia a medir con el vernier.

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: El número de milímetros enteros se lee a la izquierda del cero del nonius, sobre la escala principal.

: El número de subdivisiones en la escala del nonius contadas a la derecha del cero de l nonius hasta la subdivisión que coincida con una de la escala principal.

: Número de divisiones en el nonius.

Por ejemplo. En la figura, el número de milímetros enteros se lee a la izquierda del cero del Nonius, sobre la escala principales 127mm.La subdivisión a la derecha del cero del Nonius que coincide con una de la escala principal es 6. En número de divisiones en el Nonius es 10, por lo tanto, la escala del Nonius indica las décimas de milímetros, por lo tanto usando la fórmula ( ) se tiene:

CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Una indicación de lo preciso de las mediciones se obtiene a partir de la cantidad de cifras significativas con los cuales se expresan los resultados. Estas cifras proporcionan información real re lativa a la magnitud y precisión de las mediciones de una cantidad. El aumento de cantidad de cifras significativas incrementa la precisión de una medición. Por ejemplo, si se especifica que una masa sea realmente , esta debe estar más cerca de que de o . Si el valor de la masa se describe como significa que está más cerca de que de o de . En hay dos cifras significativas y tres en . La última con más cifras significativas, expresa una medición de mayor precisión que la primera. En física solo de vez en cuando se conocen con exactitud los números. Aun cuando un número sea exacto, por lo general no es necesario escribirlo con muchas cifras decimales. En los cálculos tampoco se desea perder información ni desperdiciar los esfuerzos al retener una precisión falsa y engañosa en los resultados. Por eso necesitamos de un conjunto de reglas para decidir cuánta precisión se debe usar al hacer los cálculos. Una cantidad física medida sólo se conoce dentro de determinado intervalo de incertidumbre experimental.

Por ejemplo, supongamos que una longitud está entre los valore s , y , entonces la forma correcta de expresar esta longitud es . Donde

es la incertidumbre en la medición.

Figura N° 1 Medición con el vernier

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REGLA 1. A menos que se cite explícitamente la incertidumbre en un número, se supondrá que es la mitad de la unidad del último lugar decimal que tiene el número.

Por ejemplo, la longitud tiene una exactitud de 5 cifras significativas y una precisión

de . La exactitud de un número es la cantidad de cifras significativas que tiene. La precisión es la incertidumbre en el número. REGLA 2. La cantidad de cifras significativas en un producto o cociente es igual a la cantidad más pequeña de cifras significativas en cualquiera de los números que se multiplican o dividen.

Por ejemplo, queremos calcular el área de un paralelepípedo cuyos lados son y . El área es el producto de estas dos cantidades, entonces . REGLA 3. La precisión de una suma o resta es igual a la del número menos preciso de los que se suman o restan. Por ejemplo, sumemos dos cantidades y el resultado es ya que uno de los tiempos es exacto únicamente para tres cifras significativas.

Los ceros no se escriben si están a la derecha del punto decimal, a menos que sean significativos. Por ejemplo, la velocidad de la luz es , por lo tanto , es correcta con tres cifras significativas. Los ceros en una cantidad como no son significativos. El número correspondiente

con tres cifras significativas es . Las cifras significativas son una forma taquigráfica de reemplazar una definición más larga y más específica de la exactitud. REDONDEO DE UNA CANTIDAD Al redondear una respuesta a la cantidad correcta de cifras significativas, se redondea hacia arriba si la primera cifra no significativa es mayor o igual a 5, y se redondea hacia abajo si es menor. Los errores de redondeo se acumulan con más lentitud si se mantienen más cifras decimales hasta finalizar los cálculos.

III. EQUIPOS Y MATERIALES

Balanza Probeta graduada Regla graduada en mm Objetos de forma regular e irregular Calibrador vernier o pie de rey Cilindro de metal o madera Cronómetro Lámina de vidrio Calculadora científica

IV. PROCEDIMIENTO.

1. Verificar que los equipos y materiales estén en buenas condiciones. 2. Calibre la balanza.

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3. Proceda a tomar los datos según se indica en la tabla en la Hoja de Trabajo.

V. DATOS EXPERIMENTALES Y ANALISIS DE DATOS.

1. Use los instrumentos de medición y realice las mediciones directas de cada uno de los objetos que

se indican. 2. Realice las mediciones indirectas que se solicitan. 3. Exprese correctamente las mediciones para cada caso. 4. Anotar los resultados en la tabla de la hoja adjunta.

VI. CUESTIONARIO

1. ¿Qué es el error de paralaje? 2. Defínase: a) error instrumental; b) error límite; c) error de calibración; d) error ambiental; e) error

aleatorio f) error probable. 3. Durante la realización de una medición ¿Qué factores determinan su resultado? 4. ¿A qué se denomina incertidumbre absoluta, relativa y porcentual? 5. ¿A que se denomina notación científica? ¿Cuáles son sus reglas? 6. Establézcase el número de cifras significativas en cada uno de los siguientes casos: a) 542; b) 0,65;

c) 0,00005; d) 40 x 106; e) 20 000. 7. El voltaje de un resistor es de 220 V con una incertidumbre probable de 2%, y la resistencia es de

180 con un error probable de 1,5%. Calcúlese a) La potencia disipada en el resistor; b) el porcentaje de incertidumbre en la respuesta. Recuerde: Potencia = voltaje x corriente.

VII. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES VIII. APÉNDICE

A. PROCEDIMIENTO PARA USAR LA FUNCION ESTADÍSTICA DESVIACIÓN ESTADÍSTICA (SD) (Scientific Calculator CASIO fx-82TL S-V.P.A.M.)

1. Para ingresar a la función SD oprima:

2. Para borrar datos de la memoria oprima 3. Para ingresar datos: Se ingresan uno a uno.

Por ejemplo, ingresar 3, 5 y 9 se pulsarán las teclas

4. Para calcular: (Media aritmética )

(Desviación estándar de muestra n-1) (Número de datos n )

(Suma de valores x)

(Suma de cuadrados de valores x2)

MODE 2

SHIFT Scl =

3 DT 5 DT 9 DT

SHIFT =

SHIFT xn-1 =

RCL C

RCL B

RCL A

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IX. BIBLIOGRAFÍA Libros D.C. Baird, Experimentación. Una introducción a la teoría de mediciones y al diseño de experimentos . Editorial Prentice Hall.

Tipler. Física. Editorial Reverté (1994). Capítulo 1. (Unidades y medidas)

Burbano S., Burbano E., Gracia C. Física General. Editorial Mira (1993).Cap.1 y 2.

Serway. Física. Editorial McGraw-Hill (1992) Capítulo 1. (Magnitudes y unidades)

También puede revisar las siguientes direcciones electrónicas:

Una introducción a la teoría de mediciones y al diseño de experimentos, Cap. 3, D.C. Baird.

Errores en las medidas, Física con ordenador, Ángel Franco García.

Mediciones e Incertezas, Facultad de Ingeniería – UBA.

Guía para estimar la incertidumbre de la medición, A. Schmidt – J. Lazos, Centro Nacional de Metrología.

Incertidumbre de la medición: Teoría y práctica, Sigfredo Sáez Ruiz - Luis Front Ávila.

Introducción al estudio de las mediciones

Incertidumbre en las mediciones, Edwin Guillen, INDECOPI

Calculadora Científica CASIO

Guía de Usuario y Apéndice