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Todo sobre vibraciones forzadas con amortiguadores.TRANSCRIPT
“Vibración excitada armónicamente” Página: 60
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Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas
m
c
K
x
mg
x
cx
K( + x)
F s
enw
t0
VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO
Detalles Pág.
Excitación indirecta.................................................................................................................. 66
Desbalanceamiento rotacional.................................................................................................. 69
Decremento logarítmico........................................................................................................... 71
Aislamiento de las vibraciones................................................................................................. 79
Transmisibilidad....................................................................................................................... 80
Energía disipada por amortiguamiento..................................................................................... 83
Cuando un sistema está sometido a una excitación armónica forzada, su respuesta de vibración
tiene lugar a la misma frecuencia de excitación.
Una fuente común de excitación armónica es el desbalance en máquinas rotatorias, aunque la
excitación armónica es menos probable que la periódica u otros tipos de excitación. Pero se
estudia la excitación armónica para comprender como el sistema responde a tipos más generales
de excitación.
Considerando un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso, excitado por una
fuerza armónica tsenF0
En el nivel de equilibrio estático
mgK (1)
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Aun desplazamiento “x”
tsenFmgxcxKxm 0
tsenFgmxcKxKxm 0
tsenFKxxcxm 0 (2)
Se sabe que la solución de la ecuación (2) consta de dos partes: Una parte complementaria
(Solución homogénea) y una solución particular; es decir:
pc xxx (3)
la solución complementaria o transitoria es la solución de un sistema libre amortiguado y está
dado por una de estas tres, según cual sea el caso
- Caso sobre - amortiguado CCc
tt
c21 BeAex
( 21 , son reales y diferentes)
- Caso amortiguado crítico CCc
t
c eBtAx ( 21 , iguales y reales)
- Caso sub – amortiguado CCc
tsenBtcosAex 00
t
c ( 21 , son complejos)
La solución particular o estacionaria es una solución estacionaria de la misma frecuencia de
excitación.
Existen varias formas de resolución de la ecuación diferencial (2); una de ellas es:
Sea: tcosBtsenAxp (4)
O también: tsenxxp (5)
Donde x Amplitud de oscilación
Fase de desplazamiento con respecto a la fuerza excitatriz.
Derivando dos veces (4)
tsenBtcosAxp (6)
tcosBtsenAx22
p (7)
Reemplazando (4), (6) y (7) en (2)
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tsenFtcosBtsenAKtsenBtcosActcosBtsenAm 0
22
Multiplicando y factorizando senos y cosenos
tsenFtcosKBAcBmtsenKABcAm 0
22
Igualando términos según sean senos o cosenos se tiene:
0
2FKABctm (a)
0KBAcBm2 (b)
Resolviendo el sistema: Despejando A de (b)
c
KBBmA
2 (c)
Reemplazando (c) en (a)
0
222
Fc
KBBmKBc
c
KBBmm
c
0
2222242FcBKKBmBcKBmm
0
222242FccKKm2mB
0
22222FccKKm2mB
1
222
0
0
222
cKm
FcBFccKmB
Reemplazando en (c)
222
0
2
cKm
FmKA
Reemplazando en (4)
tcoscKm
Fctsen
cKm
FmKx
222
0
222
0
2
p
Factorizando:
tcosctsenmK
cKm
Fx
2
222
0
p
(7)
Según (3), la solución es:
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Considerando la ecuación (5) también se puede resolver por el método de la impedancia
mecánica, que es un método sencillo y directo para la vibración del estado estacionario.
tsenxx (5)
tcosxx (8)
tsenxx2 (9)
Recordando que en el movimiento armónico las fases de la velocidad y la aceleración están
delante del desplazamiento en 90 y 180 respectivamente.
.La suma vectorial es:
0
2FxcxmKx la magnitud será:
2
0
22222FxcxmK
222
0
cmK
Fx
(10)
La fase se obtiene del gráfico:
2mK
carctag
xmK
xctag
(11)
Dividiendo entre K el numerador y denominador de (10) y (11) se obtiene:
tcosctsenmKcKm
FtsenBtcosAex
2
222
0
00
t
Kxx
mw x
cwx
wt
x
o
Fo
2
o(K - mw)x
cwx
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222
0
K
c
K
m1
K
F
x
K
m1
K
c
arctag2
Considerando las expresiones:
m
K Frecuencia natural de oscilación no amortiguado
m2Cc Amortiguamiento crítico
cC
c Factor de amortiguamiento
22
Km2
KC
C
c
K
c2c
c
Reemplazando en estas últimas ecuaciones
22
2
20
21
1
F
xK
2
1
2
arctag
Estas ecuaciones indican que la amplitud adimensional 0F
xKy la fase son funciones solamente
0
1.0
1.0
2.0
3.0
2.0 3.0 4.0 5.0
-1.0 0.5
0.375
0.25
0.10
0.050.00
0 1 2 3 4 5
90°
180°
Razón de frecuencias w/w
Ang
ulo
de fa
se
Razón de frecuencias w/w
0.375
0.15
0.05
0F
xK
cC
C
1
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de la razón de frecuencias
y el factor de amortiguación , que gráficamente se representan
como:
Estas curvas muestran que el factor de amortiguación tiene gran influencia sobre la amplitud y el
ángulo de fase en la región de frecuencia próxima a resonancia.
Un entendimiento adicional sobre el comportamiento del sistema puede obtenerse estudiando el
diagrama de fuerzas para
, pequeño, igual a uno y grande.
Para valores pequeños, las fuerzas de inercia y las de amortiguamiento son pequeñas, lo que
implica un (ángulo de fase) pequeño. Por tanto la magnitud de la fuerza global es igual a la
fuerza del resorte.
Para 1
el ángulo de fase es 90, note que la fuerza de inercia es mayor y es equilibrada por
la fuerza del resorte, mientras que la fuerza aplicada supera a la fuerza de amortiguación.
Para 1
, se aproxima a 180 y la fuerza aplicada se emplea casi enteramente en vencer la
gran fuerza de inercia.
cwx
Kxx
Fo
o
mw x2
cwx
Kx
mw x2
o o = 90°
mw x2
cwx
KxFo xo
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Por tanto : La solución a la ecuación diferencial (1) puede escribirse como:
Hasta aquí se ve que la fuerza externa actúa directamente sobre la masa vibratoria; pero puede
ocurrir también que esta fuerza actúe de forma indirecta.
Excitación indirecta.
Si la fuerza excitadora se origina en un elemento intermedio
Como tcosUy
Considerando un sistema inercial se tiene:
xyKxycxKxcxm 2211
xKyKxcycxKxcxm 222211
yKycxKKxccxm 22
K
21
c
21
yKycKxxcxm 22
Pero tcosUy
Derivando tsenUy
tcosUKtsenUcKxxcxm 22
tsenUctcosUKKxxcxm 22
tcosPKxxcxm
Donde: 2
2
2
2 cKUP
mx
K1
K2 c2
c1
yy (t) = Ucoswt
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2
2
K
carctag
a) Cuando no hay elementos intermedios conectados al sistema vibratorio y el movimiento
armónico de la fuente de excitación se transmite directamente al punto base del resorte y
amortiguador. Es el caso de los instrumentos sísmicos.
La ecuación diferencial del movimiento, se obtiene considerando un sistema inercial, por tanto la
deformación del resorte es:
xmyxKyxc (a)
sea
yzxyxz (b)
yxz
Derivando dos veces:
yzx (c)
Reemplazando en (a)
yzmKzzc
ymKzzczm
Pero tsenAy tsenAy2
tsenAmKzzczm2
tsenAmKzzczm
Note que la ecuación siempre es la misma y lo único que cambia es la amplitud de excitación.
c(x - y)
m
K
x
y
y = Asenwt
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Ejm. El pistón mostrado en la Fig. oscila con un movimiento armónico tcosAx dentro de un
cilindro de masa “m” el cual es soportado por un resorte de cte. “K”. Si entre el pistón y la pared
del cilindro hay amortiguamiento viscoso “c”; encuentre la amplitud del movimiento del cilindro
y su diferencia de fase con el pistón.
Sistema equivalente
xmKxyxc
ycKxxcxm
Pero tcosAy tsenAy
tsencAKxxcxm (1)
La solución particular tiene la forma:
tcosGtsenGx 21
tsenGtcosGx 21
tcosGtsenGx2
2
2
1
Reemplazando en (1)
tsencAtcosKGtsenKGtsencGtcoscGtcosmGtsenmG 2121
2
2
2
1
Factorizando senos y cosenos
tsencAtcosGcGmKtsenGcGmK 12
2
21
2
Igualando términos
cAGcGmK 21
2
0GmKGc 2
2
1
y = Acoswt
mc
K
m
Kx
cy
y = Acoswt
m
c(x - y)
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wt
wt
o
x
G2
G1
x
Resolviendo este sistema, se halla las constantes 1G y 2G
Sea: 2mKa
cb
Reemplazando a y b en el sistema
bAbGaG 21
0aGbG 21
222
2
1221
cmK
AcmKG
ba
abAG
222
2
222
2
2
cmK
AcG
ba
AbG
La amplitud
222
22
222
2
2
2
2
1
ba
Ab
ba
abAxGGx
2222
2
222
222
ba
bA
ba
Abx
ba
bAbax
La fase: a
barctag
ba
abAba
Ab
arctagG
Garctag
22
22
2
1
2
Desbalanceamiento rotacional.
El desbalance en máquinas rotatorias es una causa de excitación vibratoria.
222cmK
Acx
2mK
carctag
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wt
K/2
Fm
e
M
c K/2
esenwt
Existe desbalanceamiento rotacional en una máquina, si en centro de gravedad de la parte
rotatoria no coincide con el eje de rotación.
Considerando que el sistema está restringido a moverse en dirección vertical.
El desbalance está representado por una masa excéntrica “m” con excentricidad “e” que rota con
velocidad .
La fuerza centrífuga debido al desbalanceamiento en la parte rotatoria de la máquina es:
2
N emmaF
La proyección vertical de F es:
tsenmeF2
V
Por tanto la ecuación diferencial del movimiento es:
tsenmeKxxcxM2 (1)
Esta ecuación es idéntica al caso de la oscilación forzada con amortiguación; siendo
meF0
tsen
cmK
mex
222
2
p
tsen
21
K
me
x22
2
2
2
p
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Decremento logarítmico.
Un modo conveniente de determinar la cantidad de amortiguamiento presente en un sistema,
consiste en medir la rata de caída de las oscilaciones libres.
Se sabe que a mayor amortiguamiento, mayor rata de caída.
Considerando una vibración amortiguada (Sub – amortiguada) expresada por la ecuación
tsenBtcosAetx 00
t
El decremento logarítmico, se define como el logaritmo natural de la razón de dos amplitudes
sucesivas cualesquiera.
1010
t
00
t
2
1
tsenBtcosAe
tsenBtcosAeln
x
xln
1
1
Como el seno y el coseno son funciones periódicas, pueden simplificarse los factores y queda:
elnee
eln
e
eln
1
1
1
1
t
t
t
t
Como : 2
1
2
x
t
X1
X2
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221
2
1
2
Cuando 1112
Valor aproximado
El gráfico muestra los valores exactos y aproximados de como función de
Al determinar experimentalmente; se debe notar que cualquier pequeño error al medir dos
amplitudes sucesivas dará resultados erróneos, ya que generalmente estas amplitudes son muy
próximas una de otra.
Para evitar esta dificultad, se mide dos amplitudes separadas “n” ciclos. Sea 0x la primera
amplitud medida y nx la amplitud después de “n” ciclos transcurridos.
Como n
1n
1n
2n
2
1
1
0
x
xln
x
xln...
x
xln
x
xln
n
1n
1n
2n
2
1
1
0
x
x
x
x...
x
x
x
xe
La razón: nn
n
1n
3
2
2
1
1
0
n
0 eex
x...
x
x
x
x
x
x
x
x
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
2
4
6
8
10
12
Factor de amortiguamiento
Decr
emen
to lo
garít
mico
1
2 2
cC
C
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n
0
x
xlnelnn
Ejm. Los datos siguientes están dados para un sistema vibratorio con amortiguamiento viscoso,
donde m = 10 lb., K = 30 lb/plg y c = 0.12 (lb/plg)seg. Determine el decremento logarítmico y la
razón de dos amplitudes sucesivas cualesquiera.
Se sabe que 2
1
2
seg
rad94.33seglg/p384
lb10
lgp/lb30
m
K 2
0698.0seglg/p384seg/rad94.33lb102
lgp/seglb12.0
m2
c 2
20698.01
0698.02
44.0
1
0
1
0
1
0 ex
xe
x
x
x
xln
1. Encuentre los cuatro primeros términos de la representación en series de Fourier de la onda
cuadrada o función quebrada.
n
0
x
xln
n
1
44.0
55.1x
x
1
0
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Se sabe que:
1n
0n0n0 tnsenbtncosaa2
1tf
Donde T
20
T = Periodo
Según el gráfico tf 1 t0
1 2t
Según las fórmulas:
dttfT
2a 2
T
2
T0
(1)
dttmcostfT
2a 0
2
T
2
Tn
(2)
dttnsentfT
2b 0
2
T
2
Tn
(3)
Cálculo de 0a
0201
tt1
dt2
2dt
2
2a
2
0
2
00
Cálculo de nb
0
2
0
00
0
0
00n dttncosn
1tncos
n
11dttnsen
2
2dttnsen
2
2b
x
1
-1
2 3 4 5 t
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Como T
20
; 12T 0
ncosn2cos0ncosncosn
11bn
Si n = impar
n
41111
n
1bn
Si n = par
01111n
1bn
Cálculo de na
2
0
00
0
00
2
00n tnsenn
1tnsen
n
11dttncosdttncos
2
2a
0nsenn2sen0sennsenn
1an
Para todo n par o impar
Por tanto:
0tnsenn
40
2
1tf 0
7
1n
Para los cuatro primeros términos; es decir: n = 1, 3, 5, 7
...t7sen7
4t5sen
5
4t3sen
3
4tsen
4tf
...t7sen
7
1t5sen
5
1t3sen
3
1tsen
4tf
0
“Vibración excitada armónicamente” Página: 76
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2. Encuentre los cuatro primeros términos de la representación en series de Fourier de la onda
triangular.
tf
1t
2
Para t0
t
23
Para 2t
Como T
20
; 12T 0
Cálculo de 0a
dtt2
32
2dt1t
2
2
2
2a
2
00
222
2
2
0
2
0 34
60011
t1
t3tt11
a
022001
a0
Cálculo de na
dtntcost2
32
2dtntcos1t
2
2
2a
2
0n
0 0
2 2
n dtntcost2
dtntcos3dtntcosdtntcost21
a
(1) (2) (3) (4)
Integrando por partes
(1) = (4)
-1
x
1
2 3 t
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sea dtdutu
ntsenn
1vdtntcosdv
dtntsenn
1ntsen
n
tudv
ntcosn
1ntsen
n
tI
2
Desarrollando
2
2
2
00
2n ntcosn
1ntsen
n
t2ntsen
n
13ntsen
n
1ntcos
n
1ntsen
n
t21a
(1) 1ncosn
2
n
1ncos
n
120cos
n
10sen
n
02ncos
n
10sen
n
222222
(2) 00senn
1nsen
n
1
(3) 0nsenn
1n2sen
n
13
(4)
ncos
n
1n2cos
n
12ncos
n
1nsen
nn2cos
n
1n2sen
n
222222
Por tanto:
ncosn
2n2cos
n
21ncos
n
21a
222n
Si n es par
01n
21
n
211
n
21a
222n
Si n es impar
2nn
8a
Cálculo de nb
0
2
n ntsent2
3ntsen1t2
2
2b
“Vibración excitada armónicamente” Página: 78
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0 0
2 2
n dtntsent2
dtntsen3dtntsendtntsent21
b
De tabla: ntcosn
tntsen
n
1dtntsent
2
2
2
2
00
2n ntcosn
tntsen
n
12ntcos
n
13ntcos
n
1ntcos
n
tntsen
n
121b
(1) (2) (3) (4)
(1)
ncos
n
2ncos
n
20cos
n
00sen
n
1ncos
nnsen
n
1222
(2) ncos1n
1
n
1ncos
n
10cos
n
1ncos
n
1
(3) n2cosncosn
3ncos
n
1n2cos
n
13
(4)
ncosn2cos2n
2ncos
nnsen
n
1n2cos
n
2n2sen
n
1
n
222
Por tanto:
ncosn2cos2
n
2n2cosncos
n
3ncos1
n
1ncos
n
21bn
Si n es par
0n
2
n
21112
n
211
n
311
n
11
n
21bn
Si n es impar
0n
6
n
6
n
2
n
21112
n
211
n
311
n
11
n
21bn
Por tanto:
0ntcosn
80
2
1tf
7
1n2
p/n = 1,3,5,7
t7cos
49
1t5cos
25
1t3cos
9
1tcos
8tf
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Aislamiento de las vibraciones.
A menudo se presentan dificultades durante la instalación de máquinas, ya que fuerzas de inercia
no compensadas producen vibraciones en las máquinas y éstas pasan a través del bastidor de la
máquina a la fundación, de donde se transmiten a otras máquinas.
La manera más simple de evitar estas vibraciones es suprimirlas en su origen, asegurando un
equilibrado correcto, sin embargo, es difícilmente practicable, por tanto la única alternativa es
aislar el equipo montándolas sobre resortes y amortiguadores.
El aislamiento puede llevarse a cabo de dos maneras:
a) Impidiendo que la vibración pase de su fuente a la fundación de la máquina; este tipo se
denomina “Aislamiento Activo”.
b) Impidiendo que la vibración transmitida a través del suelo pase al bastidor de la máquina y se
le llama “Aislamiento Pasivo”.
El aislamiento activo y pasivo difieren el uno del otro, solamente en cuanto que el primero
supone una acción directa de la fuerza perturbadora sobre la masa (Fig. a); mientras que el
segundo es el punto base del resorte – amortiguador, lo que es excitado por la fuerza perturbadora
(Fig. b).
K
P
m
c
P
m
K
(a) (b)
“Vibración excitada armónicamente” Página: 80
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Transmisibilidad.
Con el propósito de reducir tanto como sea posible la cantidad de fuerza transmitida a los
cimientos debido a la vibración de la maquinaria; las máquinas generalmente están aisladas de los
cimientos, montándolas sobre resortes y amortiguadores.
La “transmisibilidad” se define como la razón entre la fuerza transmitida a la fuerza impresa.
Cada una de estas razones es conocida como trasmisibilidad de fuerza o de desplazamiento. Las
curvas muestran que la transmisibilidad es menor que la unidad sólo para 2
, estableciendo
por lo tanto el hecho de que el aislamiento vibratorio es posible únicamente cuando 2
, un
resorte no amortiguado es superior a un resorte amortiguado, para efectos de reducir la
transmisibilidad.
22
2
2
2
0
21
21
F
FTR t
0
Demostración.
Como resultado la fuerza transmitida a los cimientos es la suma de las fuerzas del resorte y del
amortiguador; es decir:
xcKxFt (1)
Bajo las condiciones estudiadas anteriormente (Vibración en estado estacionario px )
La solución está dada por:
tsen
21
K
F
x
A
22
2
2
0
p
“Vibración excitada armónicamente” Página: 81
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22
2
2
0 21
AKF
tsenAxp tcosAxp (2)
(2) en (1)
tcosActsenKAFt (3)
Pero la fuerza en el resorte es máxima cuando la velocidad es cero ( es decir, x es máximo) y la
amortiguación es máxima cuando la velocidad es máxima y el desplazamiento es cero.
Como entre la fuerza del resorte y la fuerza de amortiguación forman 90, la fuerza resultante es:
22
t cKAF (4)
La fuerza impresa está dada por:
2
1
K
cAKFt
m
K Frecuencia natural
mcc 2 Amortiguamiento crítico
cc
c Factor o razón de amortiguamiento
2
222
K
m
K
c
c
c
K
c c
c
2
21
AKFt
22
2
2
2
0
21
21
F
FTR t
Cuando el amortiguamiento es despreciable, la ecuación de transmisibilidad se reduce a:
“Vibración excitada armónicamente” Página: 82
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1
12
TR
Ejm. Un motor pesa 200 lb. y está girando a una velocidad de 1800 rpm., si la transmisibilidad
de la fuerza entre el motor y el piso es 0.1 o 10 %.¿Cuál será la constante elástica de la armadura
del motor?
lgp
seg.lb52.0m
seg
lgp384
1.lb200m
2
2
seg
rad5.188
seg60
min1
min
rev18002f2
Suponiendo que tiene muy poca amortiguación: 0
Reemplazando en:
22
2
2
2
0
t
21
21
F
F.R.T
1
1.R.T
2
2
Note el cambio de orden en el denominador
101
1
11.0
2
2
2
2
11m
K
1111
222
2
2
11
seg
15.188
lgp
seglb52.0
11
mK
22
2
“Vibración excitada armónicamente” Página: 83
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Energía disipada por amortiguamiento.
El amortiguamiento está presente en todos los sistemas oscilatorios. Su efecto es retirar energía
del sistema, que se disipa en forma de calor o de radiación. La pérdida de energía se traduce en
decrementos de la amplitud de la vibración libre. En el estado estacionario de las vibraciones
forzadas, la pérdida de energía es compensada por la energía suministrada por la excitación.
Un sistema vibratorio puede encontrar muchos tipos de fuerzas de amortiguación, desde la
fricción interna molecular hasta la fricción de deslizamiento y la resistencia de un fluido.
La disipación de energía es determinada usualmente bajo condiciones de oscilaciones cíclicas.
Dependiendo del tipo de amortiguamiento presente, la relación fuerza desplazamiento, cuando se
la grafica puede variar grandemente. En todos los casos, la curva fuerza desplazamiento encerrará
un área, llamada “Bucla de histéresis” que es proporcional a la energía disipada por ciclo. La
energía perdida por ciclo, debido a la fuerza de amortiguación “ dF ” se calcula de la ecuación
general.
dxFW dd (1)
En general, “ dW ” dependerá de muchos factores, tales como temperatura, frecuencia o amplitud.
Se considerará en este caso la más simple disipación de energía, el de un sistema resorte-masa
con amortiguación viscosa.
xcFd
tAsenx
tAx cos
Reemplazando en (1)
dtxcdxxcWd 2
2/2
0
222 cos AcdttAcWd
(2)
lgp
lb7.1679K
“Vibración excitada armónicamente” Página: 84
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De interés particular es la energía disipada en vibración forzada a resonancia. Sustituyendo:
Kmcm
K 2 en (2)
22 KAWd (3)
La energía disipada por ciclo de la fuerza de amortiguación puede representarse como sigue.
Escribiendo la velocidad en la forma:
tsenAtAx 21cos
22 xAx
Por tanto: 22 xAcxcFd (4)
Reordenando la ecuación se tiene:
1
22
A
x
Ac
Fd
(5)
Esta ecuación se conoce como la de una elipse con “ dF ” y “x” representada a lo largo de los ejes
vertical y horizontal. La energía disipada por ciclo está dada por el área encerrada por la elipse.
Fd
x
x