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SEMANA 06: CIRCUNFERENCIA

ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA: 1. Canónica x² + y² = r², su centro es C (0, 0) 2. Ordinaria (x – h)² + (y-k)² = r², su centro es C (h, k) 3. General x² + y² + Dx +Ey + F= 0 Su centro es C = (-

�� , �

��).

Su radio es r= ��√� �� � 4

PARA QUE UNA EXPRESIÓN DEL TIPO x² + y² + Dx +Ey + F= 0 SEA UNA CIRCUNFERENCIA

DEBE CUMPLIR QUE: A. Los coeficientes de x2 e y2 sean iguales a la unidad.

Si tuvieran ambos un mismo coeficiente distinto de 1, podríamos dividir por él todos los términos de la ecuación.

B. No tenga término en xy.

C. (���² �

���

�� � � 0

Problema 01: Indica si la ecuación: 4x2 + 4y2 - 4x - 8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia A. Como los coeficientes de x2 e y2 son distintos a la

unidad, dividimos por 4: B. No tiene término en xy.

C. Es una circunferencia, cumple las tres condiciones. Problema 02: Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4

(x - 2)² + (y - 6)² = 4²

x² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4² x² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16

x² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0 x² + y² - 4x - 12y + 24 = 0 D = -4 , E = -12 , F = +24

Problema 04: Encuentra el centro y el radio de la circunferencia representada por la ecuación 06521622 =++−+ yxyx

PROBLEMAS PROPUESTOS 1) Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (2;6) y

con radio r = 4. Dibuje la curva. 2) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen

y con radio r = 3. 3) Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro

C(2;6) y radio r = 4 4) Hallar la ecuación general de la circunferencia de radio 4 y

centro (3;2). 5) Hallar el radio y el centro de la circunferencia.

06518622 =++++ yxyx 6) Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la

ecuación 4x² + 4y² + 4x+ 4y – 2 = 0 7) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por

los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3). 8) Indicar si la ecuación: 4x2 + 4y2 - 4x - 8y - 11 = 0,

corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.

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CIRCUNFERENCIA

♦ Es el conjunto de puntos (x;y) en 2R , tales que su distancia a un punto fijo llamado centro es siempre igual a una constante llamada radio.

♦ Es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo del mismo plano.

Se le conoce a la ecuación de una circunferencia de radio “r”, 0 ⟩r y

centro );(0 khP :

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C(h;k) y el radio "r" de la misma, podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x". (x – h)² + (y-k)² = r²

Problema 01: Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(2;6) y con radio r = 4 (x - 2)² + (y - 6)² = 4² ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUNFERENCIA Sean ahora las coordenadas del centro de la circunferencia C(0;0) y el radio "r", podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".

x² + y² = r²

Problema 02: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y con radio r = 3

x ² + y ² = 3² ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuación ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así: x² + y² + Dx +Ey + F= 0

Problema 03: Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4

(x - 2)² + (y - 6)² = 4² x² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²

x² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16 x² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0

x² + y² - 4x - 12y + 24 = 0 D = -4 , E = -12 , F = 24

Verificamos: El centro es: C = (-�� , �

��) � C = (���

� , ����� )

C = (2, 6) El radio es r= ��√� �� � 4

r= �����4�� ��12�� � 4�24� r= ��

�16 144 � 96 = ��√64 = �� �8� = 4 �r= 4

Problema 04: Hallar la ecuación general de la circunferencia de radio 4 y centro (3;2).

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Solución: 222 )()( rkyhx =−+− 222 4)2()3( =−+− yx

164496 22 =+−++− yyxx

0169446 22 =−++−+− yyxx

034622 =−−−+ yxyx Problema 05: Hallar el radio y el centro de la circunferencia.

06518622 =++++ yxyx Solución: ♦ Agrupamos términos y pasamos el término independiente al otro

lado. ♦ Completamos trinomios y lo que sumemos (para completar), lo

sumamos también del otro lado. ♦ Se pasa a la forma:

222 )()( rkyhx =−+−

81965)8118()96( 22 ++−=+++++ yyxx

25)9()3( 22 =+++ yx Entonces: Centro : C(-3;-9), Radio : r=5 Problema 06: Encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación 4x² + 4y² + 4x+ 4y – 2 = 0

PROBLEMA 07. Hallar la ecuación de la circunferencia que

pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3). Si sustituimos x e y en la

ecuación por las coordenadas de los puntos se obtiene el sistema:

PROBLEMA 08. Indicar si la ecuación: 4x2 + 4y2 - 4x - 8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo, calcular el centro y el radio.

A. Como los coeficientes de x2 e y2 son distintos a la unidad, dividimos por 4:

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B. No tiene término en xy.

C. Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.

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