,~

,

-0

;;

:0

0 -f

tp

r- m

0 S (J')

.::::0

0

0 m

m

Z

,....

-I

m

()

Z

.0

0

_~ ."~e~.~

\

...

~)

CAPITULO

CINEMATICA DEL TORNO. CORREAS

(FormulariO)

Transmisi6n simple. Es la transmisi6n del movimiento entre dos ejes, par media de dos paleas a engranajes. La relaci6n de velocidades de rotadon de las dos poleas (0 engranajes) esta en ra%6n inversa a sus diametros (0 a sus numeros de dientes).

5iendo:

n = rim de la palea a rueda conductora N r1m de la polea a rueda conducida d y O=diametros de las respectivas paleas %1 y %2 = numero de dientes de las respectivas ruedas dentadas (can.

ductora y conducida).

se tiene (fig. I. 1):

n 0 %2 -=-=-=. (1)N d %1

( i = relaci6n de transmisi6n)

Par consiguiente:

n=N. i (2)

Transmisi6n compuesta. Es la transmisi6n

que requiere varios pares de poleas a engra

najes para transmitir el movimiento entre dos

cjes. La relaci6n de transmisi6n entre la pri

mera polea (0 rueda dentada) conductora y

la ultima receptora, es igual a la relaci6n del

producto D1 . D2 .03...... de los dhimetrcs (0

at producto delnumero de dientes %, %4 ..... .

de las ruedas) de las poleas receptoras por el

producto d1. d, . "d3... ... (0 %1". %3 ...... ) de

las poleu 0 ruedas condl:ctoras, es decir

(fig. I. 2): . Fig. I. 2

9

eI moy'.

el numero de vueltas por minuto que dara el eje

(eje principal) i

de las que una

es c:ru%ada, y la otra, abierta.

Las rim del eje prin

120 =300 rim

(7). sera:

_

471,2 + 1200+37,5 =

B, por medio 160 rim;

n 0 1.02.03,.. Z2.Z4 .. ,-----'---- (:) )N c:h.dz.d3.,. 1'1,Z2. Por consiguiente:

n = N.i

Relaci6n entre el desplazamiento angular y el rectilineo. EI movi

miel1to an~,ular uniforme (de rotacion) sa puede trc;nsiormar ell !fluvimiento rcclilineo uniforme. Los dispositivos mas comunes ernpteados para este fin son: la tuerca y husilto, y el pinon y cremallera.

Husillo y tuerca: Si 'Ph es el paso del husillo y n el ndmero de vuelta" del mismo, el desplazamiento rectilineo L es:

L Ph. n (5 )

pudiendo scr n' I!L'nl ro entero 0 110. Este sistema encuentra oplicaci6n en los tambores gracluJdos de los Cilrros del torno.

Pinen y cremallera: Si es P el paso de lil cremullera y z el numero de dientes del pinon que engrana con ella, el desplazamiento L del pinon (0 de la cremallera, si aquel es fijo) sera:

L P. z. n (6)

sienclo n eI numero de vueilas 0 fraccion de vuelta del pinon.

Longit"d de correas: CUillldo se trata de correas abiertas, la longitud que des;;:rollf,1) IC'!: mismas es (fig. I. 3):

i i ( R-rpii I L=r;(R+r)+2E+ (7)Ii iI,

I

II' y para correas cruzadas (fig. I. 4);III E11

~! Fig. I. 3 L=1t{ R+ r) +2E!- (R+r)2 (8), E

Cuando se trata de correa" trapezoidales, se emplean las mismas formulas, con la condidon de adoptar

i' como valor de R y r el radio exterior de la palea clisminuido en til rni!aci de lil i'llura de la correa tr

'Solucion:

. d=128 mm.

rf ';) .1:1 cono de poleas escalonadas de un torno tiene 3 poleas cuyos diametros son: 160, 250 V 340 mm.; el cono de pole"s conductor de este tiene los mismos dhimetros y gira a razeSn de 120 rim. Calcularlas velocidades directas del eje pri~cipal de la m.aquina para las tres posiciones de 1a correa.

Solucion:

Z,::IS 56 rim, 120 rim y 255 rIm A "

/ [

';l-4) E.n la lira de un torno esta colocado un tren de ruedas cuyas earacteristieas y montaje estan representados en la figura I. 6; sabiendo que la velocidad del pinOn A es de 150 rim, ealcular 'Ia veJocidad dell pineSn B.Fig. I. ,

Soluci6n: irz:60

V=10,8 rim ZI~24

r-" ,~) 5) Un torno provisto de cabezaJ de poteas esealonadas, con dhimetr05 de 100, 135 Y 170 mm (fig. I. 7) recibe el movimiento de otro eono de pOleas esealonadas de identicas z,,,36dimensiones que gira a razeSn de 240 rim.

Callcular 'las veJoc:idades direbtas y reducidas Z=72cW eie principa'l del torno. " Fig. r. 7

Solucl6n:

Vel. directas: 141-240-408 r/m

Vet reducidas: 28-48-82 rim

12,, :, ) La transmisi6n de movirriiento al eie principal de un torno se ' 'iza por medio de una transmisieSn de poleas y cono elcalonado, tal Como indica la figura I. 8. Calcular et diametro que se debe colocar en

12

r I

.'1;

'/

la polea B para obtener una velocidad minima en el eie principal de la maquina de ,50 rim (eje motor 3750 rim).

Soluci6n:

B=480m/m

1fi1.-IJP1J/)~8

@/f(7)EnUntornocuyaca_ I d a cinematica elta represen_

ada en la figura I. 9. Calcular: e-----/=.-=J-.80 t\Jo;.~ tren de ruedas AlB a 'c:oloear a la salida del motor para reducir 'las velOCidades en Un 10% de su va'lor;

Fig. r. 8

'b) velOCidades de rotacicSn directas del eje principal de fa maquina;

c} velOCidades de rotaci6n reducidas del eje pri-ncipal de'la maquina.- ~. 1-.IJI- . - .l]J=P~ Soluci6n,

a) A 18 dientel---=B 20 dientesI"....

861, 529, 334 Y 205 "vZ."SG

b} rim.

e) 112; 69,43 y 27r/m. ~iJ

S 100"

Zz"'06 2'3- 1G

Fig. I. 9

13

I 1

:;;\ ,~ t('1" '

aD ".

~) 8) Calc:ular las velocidades de rotacion del ejs principal de un torna

monopolea, representado esquematicamente en la figura I. 10, sabiendo

.:J

60

20

T

1

.~

I)r(1 A

...._.. _

FIe que'ellI'IOtor lIeva una velocidad de 1500 rim.

'. --'/I

,(7 Nt I~. .;..--

250- ~' P/fll CIf'"l'

..."."

.Y IfilfA)

9 y~ l/J111r I42 !-' (~,,) )/G\ fr::; 1..1"/ v

Fig, I. 10 'Y =- Vj Vfj; V} )

Soludon: ,,,. -;: ;, qO Fig. I, 12

348-464-580-720-960-1200 rim ., r:Y/17 'I Solucl6n:

D" '19 1~ '~t' 'I e 0,69-0,60-;-0,52-0,43-0,34-0,26 mm Ivuelta

I' '9) J Estando representadl II cadena cinematica de avances del carro

transi"ersaI de un torno por la figura I..11, calc\dar los avances trans

versales por vue Ita del eie principill de la maquina. 11) Calcular el tren de dos ruedas alb a eolocar en la lira de un

torno (segun figura I. 12 del ejercicio numero 10), para obtener un avance ckII ,arro principal de 1 mm/vuelta dell eje-'principal, con error manor d. 0;01 mm.Se tranfmite vi movimlento por la rued. de 80 dlentes d. la caja d. avances

Soluci6n:

1 ea' J,'a

a 45..~.- - - b 125

~ j'VI 6) , 12) La relacion de transmision que ha, desde el eje principal de un

/q ) d L \, 'I tomo hasta e1 pinon que va mont ado en el husillo del carro transversal 0,78-0,51-0,34 , 0,24 mm/vuelta '" I, ( del miflno es de 1: 100, si en la lira sa colocan dos ruedas jguales. Calcular

.3 I)' "r.,,~ ../.. ....t. II'J. 'Ifr ,.';i;f'JrICJ' ~- ()')I' ... "i --:. -;--, r., If ~ . - el tren de r,uedas que es necesario colocar en dicha lira, para que 81 carro -v I-J .. j'rl transversal lIeve un avance de 0,5 mm por vuelta del' eje principal. (EI.I

. I' IJfJ U . z)... _,' ::: _- ,.y,-11:"

_ ()"l.,,'lI t ... _- p /"/ yy paso del husillo d~ carro transversal es de 4 mm.)...-- .----- -,-, - - ,/1 ~/- l,j ,n ,.." I "~V - , . '11 0 J Est.fndo represent ada la cadena clnematica de los avances del Soluci6n: ~ principal de un torno por la figura I, 12, calcular los avances por,

welta del eje principal. sabiendo que eI paso de la cremallera bajo guia.

\ es'" 6,28 111m. a. b 125 1'20--=-'-x-~ c.d 40 30

1,( , .\ ... ;", ,l"l':.\ILJ 1" I

13) Colocando en la lira de un torno el tren de ruedas ..!..=20, '" b 30

cuendo el eje principal da 180 vueltas, el husillo del carro transversal da dos vueltas. Calcular el numero de vueltas que dara dicho husill~, por 180 weltas del eje principal, si el tren de rUedas de la lira se sustituye

c 25 por el nuevo tren -=-.

d 40

Soluci6n:

La relaci6n de transmisi6n en los engranajes fljos sera:

dedonde:

i=-,60

\ I

25 n=- yueltas

24

rJ,i. 14 ~ EI husillo del contracabezal de un torno (fig. I. 13) tiene 5 mi.Iimetros de paso, y su tambor graduado, 100 divisiones. Calcular:

Fig. r. 13

Soluci6n:

0.:::/00 a ) ~I desplazamiento del contra

punto por division del ~ambor graduado;

b) el ndmero de divisiones a'dar para desplazar e1 contrapunto 7,5 Mm.

Il) Si se da una vuelta completa al tambor, es decir, girando.-'as 100 divisiones, el contrapunto se desplaza 5 mm; por consiguiente, podremos establecer la siguiente regia de tres:

de donde:

100 divisiones -+ 5 mm

1 divisi6n -+ x mm

lX5 x=-=O,05 rwm

100

16

'1 }

"

-,

b) Para hacer un desplazamiento de 7,5 mm, calculernos, en primer lugar. el numero de vueltas enteras. Estas seran: .

7,5 --= 1 vuelta, quedando por desplazar .2,5 mm,

5

que corresponden a un numero de divisiones de:

2.5 =50 divisiones 0,05

por tanto, hay que dar una vuelta compl~ta mas 50 divisiones del tamhor graduado.

15) EI husillo del carro transversal de un torno tiene 4 mm de paso, y.su tambor graduado contiene 40 divisiones. Calcular:

. a) el avance del carro por division deltarnbor graduado;

'b) el numero de divisiones que ha de girar dicho tambor para que un diame1ro de 30 mm disminuya a 27,5 Mm.

Soluci6n:

a) 0,1 Mm.

b) 12,5 divisiones.

. f '-A\ 16) La transmision para dar movimiento a mana al carro principal

detl torno esta representada poria figura I. 14. Ca'icular:

a) el desplazamiento del carro por division del tambor graduado del volante;

b) el desplazamiento del carro cuando :Ia manivela gira media yuesta.

Soluci6n:

a) 0,25 Mm.

b) 13,75 Mm.

Fig. I. 14

c

-.-:

(/)1,.~ 17) EI husillo del carro orientable de un torno tiene 5 mm de (JJso, y su tambor esta dividido en 50 partes. Calcular:

a) el grado de apreciacion por division del tambor gra. duado;

-.~.-.-+- b) la inclinacion que se debe dar a dicho carro, para que por divisiOn del tambor graduado, 'Ia cuchilla pe

Fig. I. 15 netre radialmente en la pieza 0,01 mm.

Solucion:

a) 0,1 mm.

b) Del triangulo ABC de la figura I. 15 se deduce:

~ 0,01 sen d=--=O,l, de donde .q:a=5 45'.

0,1

18) 'EI paso del husillo del carro oriet1ta'D1e de un 'lorno es de 4 mm, y el tambor graduado del mismo tiene 80 divisiones. Ca1cular e:1 angulo que hay que inclinar dicho carro, para que, ai, refrentar una pien, la cuchilla penetre en esta axialmente 0,01 mm por division del tambor graduado.

. Solucion:

.q:a= 78~8'

" I 9) La esfera de un indicador de pro, ~. idad esta dividida en 216 partes (figu

,;D ra I. 16), Y el paso del husillo de roscar del .. ~6~ torno donde esta colocado es de 6 mm.

.... . Calcular el desplazamiento del carro principal del torno por division de la esfera.

Solucion:fig. I. 16 :r:!l18

L=O,S mm

18

t

i' 20) En .el supuesto de que la esfera del indicador de profundidaclf;i-~I ejercicio anterior tenga un nonius con 10 divisiones, calcular la ap"

ciacion' que 50 puede lograr con dicho aparato.

Solud6n:

g=0,05 mm

19

409 451 4.52 4'3 454

Las denominaciones que ISO de una herramienta si,mple

Cuerpo de la herramienta. Plano base (0 de referenda). Mista principal de corte. Arista secundaria .. Cara de incidencia principal.

incidencia secundaria. de incidencia principal del

incidencia secondaria del

Punta de la herramienta. Cara de corte. Lateral del coerpo.

Las denominaciones de los angulos

82. Angulo de incidencia secundaria del coerpo' (82 Qc 8+2.0).

CAPITULO II

GEOMETRJA DEL FILO DE LAS HERRAMJENTAS DE TORNO

(Formulario)

HERRAMIENTAS SIMPLES

Denominaci6n de los distintos tipos de herramientas de torno. La denominaci6n y referenda de las principales herramientas de torno, segun ISO, tanto de metal duro (fig. J11) como de acero rapido (rig, 11.2) es la siguiente:

301 6 401 Herramienta de cilindrar recta.

302 6 402 Herramienta de cilindrar acodada.

303 6 403 Herrarriienta de refrentar en angulo.

304 6 404 Herramienta de ranurar.

305 Herramienta de refrentar. 306 6 406 Herramienta de refrentar de costado 307 6 407 Herramienta de trO.nzar. 308 6 408 . Herramienta de cilindrar interior. 309 6 409 Herramienta de, refrentar en angulo interior.

, 351 6 451 Herramienta de corte en punta. 352 6 452 Herramienta de ,filetear.353 6 453 Herramienta .de filetear interior. 354 6 454 Herramienta de cajear interior.

j 11

302 303 304 305 306 307 308 309 3" 352 353 354

fit. 111

20

,11.11 IiI 11r+ u U L

I~ 401 402 403 404 406 407 408

Fig. 112

Denominaci6nde aristas y superficies. establece para las distintas aristas y caras son: (fig. 113):

1. 2. 3. 4.

2 5. 6. Car"a de 9. Cara

cuerpo.i'

10. Cara de cuerpo.

11. 12.

I 13.

I

)' J

t)

Angulos establecidos por la ISO. establecidos por la ISO, son (fig. 114):

A.. Angulo de incidencia principal.

A2. Angulo de incidencia principal del cuerpo.

8. Angulo de incidencia secundaria.

.l

Fig. II'

- -

82. Angulo de incide.hcia secundaria del cuerpo (8 2 = 8+2.). C. Angulo de desprendimiento efectivo.

C1. Angulo de desprendimiento de construccion.

D. Angulo de corte (D=9O"-A-C).

E. Angulo negativo de inclinad6n de arista. (E = 4.).

E1. Angulo positivo de inclinaci6n de arista (E1 Q;;: 3. 6 4.).

F. Angulo de la arista principal (F = 40 a SOO). para las herramientas

de cilindrar. G. Angulo de la arista secundaria. H. Angulo en la punta.

~ ..c'0-0 Jc~"~

E. Fig. 114

La siguiente tabla proporciona aigunos valores de los angulos A V C

Material de la herramienta .----~--------.- --.-_.

Material mecanizado Acero riipido Metal duro " ____ _,_,__, __ _ w ______

AO Co AO Co

Ac. al carbono R=50 Kgjmml R=60 .. R=70 " R=80

Fundicion gris, dureza 140 HB Fundicion gris, dureza 180 HB Bronce duro. Lat6n agrio Aluminio. Cobre

. Laton en barra,

6" 25 6 20" 5" 1'2" 6 15 S" 100 6 10" So 100 8 lS0 7 10 64 10" 6" 8" 8 5G 7" 10'

10 300 8 lSo go 200 7 100

22

r\

~

Designaci6n de' unaherramienta de torno. Para denominar correctamente una herramienta de torno, ~s j1ecesario indicar:

-tipo de herramienta (numerO 0 referencia ISO); -sentido de 'corte (ISO adopta 11.1 letra L para corte a izquierda'y

R para corte a d~recha;

'-:dimension del mango (s610 se consigna la altura, en mrr. del Il)is. mo);. .

-forma del mango (indicado por una letra:. q, para mangos de secci6ncuadrada; h, para secciones rectangulares y r, si se trata de man. gos . redondos J;

...-..:caUdad de la herramienta (.aceros rapidos R1, R2, RJ, R4 Y los met~les duros: Pl0' P2o .... , Klo, K2o... 6 M10' M2o, MJo ... );

---4ngulo de de.spnmdimiento: valor numerico del mismo. . Ejemplo. Una herramienta de cilindrar acodada, co!,! corte a 11.1 derecha, provista de plaquita de metal duro de calidad P1o; con mango de sec ci6n cuadrada de 20 mm. de lado y afilada con 12" de angulo de desprendimiento efectivo, se designani por medio de la expresi6n:

q

t I I,,

P10

-~.

r II ,

.___ ._ ..._______L

12 .. I I I I

.______.__..1

. Angulos.auxi'liares deafilado. Resulta interesante determinar el valor' de ciertos angulos que permiten hacer una orientaci6n mas dir.ecta de la herramienta, cuando se procede a afilarla a'mliqCJina. Estos IinflJ4 los son ( fig. 11.5):

Angulo de despre"dimiento frontal. ().) . Determlnado por el plano de la base y la recta que resulta de 11.1 intersecci6n de la cara de corte 'con un plano x-x perpendicular 1.11 plano de la base y paralelo al eje longitu' dinal de 11.1 herramienta. Suvalor se calcula mediante 11.1 expresi6n:

tg ).=tg C . sen F-tg _ cos F (1)

de donde se deduce ).. Ver terminologia de angulo's en las paginas anteriores.

.. 23

302 R 20 A

Forma de la herramienta ..J

Sentido del corte'A' d Altura del Cllerpo --~"--.--"-----___--'-~ -:~~ Seccion del cuerpo.. .~.

''...t: . CaUdad de la herramienta __._____ .____:.___ ..____ .f

Valor del dngulo de' desprendimiento4 r

o

F., IIS

Angulq de desprendimiento lateral. (a.). Hallemos la intersecci6n de la cara de corte con un plano V-V, que sea perpen~ oscular al plano base y al eje longitudinal de la herramienta; eI angulo formado por dicha intersecci6n y el plano de la base, se denomina angulo de desprendimiento Ilaterai. 51.! valor se ca!cula mediante la" expre- " si6n:

tg a.=lg e. cos F+Ig E. sen F ................................... (2)

de dcnde se deduce a.. Ver significado de los angulos C, F Y E en las paginas anteriores.

Tambien resujta interesante e

En el triangulo OGB, rectangulo en G, se tiene:

p'=p cos A ademas

b H, 2 b

tg - (10)2 p' 2. p. cos A

siendo b el ancho de la ranura' de la pieza, de donde se deduce el valor del angulo Ht.

Herramienta con dngulo de desprendimiento c~o. ~n este caso (fig. 11-7) conocidos los radios de la pieza y el ancho de la ranura a mecani

. zar, el .valor del angulo en la secci6n recta de la herramienta esta determinado por la expresi6n:

b .Ht 2

tg- (11 )2 QJ

siendo

QJ=NJ. sen 0=

=(MJ-MN).sen 0 (12)

Y MJ= 'YOJ2-0M2

'MN = ON. cos C

OM = ON.sen C

Nota. EI afilado -del' angulo de desprendimien-: to en una herramienta de

~perfil constante da lugar a un ligero error en las superficies mecaniza:das, error que, si la pieza no es de mucha precisi6n, puede ser tolerado.

Herramientas de perfil constante circulares. Las dimerisiones princtpales a calcular en una herramienta simple de perfil constante circular

:son: la altura de afilado c y el valor 'del angulo H, correspondiente a' la

26

Flg. 11-7

fig. 11-8

secci6n recta de la herramienta. Como en las herramientas prismaticas, hay que distinguir dos casos: que la cara de corte tenga angulo de des-, prendimiento C=O, 0 que sea C~O.

Hasta 10-12Ancho de la ranura 10 mm. mm.

Valor de 2R en mm. 40 50

Primer caso: ~= =0. (fig. 11-8). Se determina el valor de la altura' dellafilade c, pol' medio, de la f6rmula:

J

c=R. sen A (13),

EI valor del radio R de la moleta se puede elegirde acuerdo con la siguiente tabla:

'.

12-14 14-J6 mm. mm.

60 75 I I

EI. valor Clel angulo Hl, se determina con el auxilio de la f6rmula siguiente:

siendo:

H, b tg-=

2 2t

t=R-r

=R- yc2+m2

=R- yc2 +(n_p)2 =R- yc2+CYR2_c2'_p}2

27

{14 ),

( 15)

Segundo caso: e~o: En este caso, (fig. 11-9) se cakula primeramente la distancia p (de igual forma a como se hizo para las herramientas prism,hicas). Oespues, aplicando el teorema del coseno, se c,alcula el valor de r, dado por:

r= yR2+p2_2R. p. cos (A+C)

obteniendo final mente: \

Hl t9

2

b 2 b._;.......

(R-r) 2 (R--:-r)

j

( 16)

" (17) .

de donde se deduce el valor del 'nguloH, en la secci6n recta de la herramientao

Herramientas de perfil constante trabajando por encima del eje de la piaza. Una herramienta afilada con cingulo de des pre ndimiento C=O, colocando su cara de corte por encima, del eie de la pieza' trabajar' con un 'ngulo de des-

Fig. II., prendimiento C~O, - positivo (fig. 11-10).

Los problemas principales a resolver con esta. disposid6n, son:. el c'Jcuio de la altura de colocaci6n h y el angulo del perfil en la secci6n recta de 1. herramienta.

La altura de coloca!=i6n se determina mediante la expresi6n:

h=R. sen e (18) Para calcular el valor del angulo Hl se deterrnina primeramente

el 'ngulo e', siendo: . R

sen C=-. sen C r

28

( 19)-'

pudil;ndo determinar' entonces la long"itudde MN'=p, puesto que:

MN=p=OQ-OS='R. cos C-.:,.r. cos C' (20)

y tambien la long;tud 0 altura p' en la secci6n recta, ya que su val

lingulo

uti.

arista

rec~

las helices interior y ext~rior de una rosca estaran deterll1inados por las siguientes respectlvas f6rmulas:

pt9 ~J (22)

'!; . d J

pt9 ~e (23)

'!; d.

siendo: p el paso de la rosca, d, el diametro .del nucleo y d. el diametro ex .. terior.

Si la cara de corte se dispone normalmente al filete su inclinaci6n con

"elaci6n al eje de la rosca (fig~ 11-12), coincide con el angulo ~ de la he

lice de la rosca dada por:

t9 ~ p

(24)'!;.df'l\

en la que dm es el diametro medio de la rosca. En este caso, el angulo H en la punta de la herramienta, sera menor que el angulo a. de la rosca, pudiendo determinar su valor por medio de la ex" presi6n:

H (1tg2=tg2.eo~ ~ (25)

siendo ~ el cingulo de I~ Mlice de la rosca, men

.' cionado.

PROBLEMAS REl1\TIVOS A LA GEOMETRIA DEL FILO DE LAS HERRA

MIENTAS DE TORNO.

1. \ s..... ....Ib.r a ..aelones de emndrado, ranurado y tron

-Oi"ll\ un. pItA de lCero .1 car'bono cuya reslsteneia es R=60 kg/mml

30

-&

FIg. 11-12

Sabiendo qye se utilizan herramientas de metal duro en caUdad P 30, con mango cuadrado de 20 mm. de lado, indicar:

a) La denominaci6n de las herramientas a emplear.

b) Los angulos de incidencia .y de corte de la cuchilla de cilindrar.

Soluci6n:

a) Herramienta de cilindrar: 301 R - 20 q - P 30 - 12" Herraniienta de ranurar : 304 - 20 q - P 30 _ 12" Herramienta de tronzar : 307 R - 20 q 'P 30 lr

b) La tabla del. formulario prooprciona; para el . 'de incidencia, un valor:

Su~~fid~"l : ,~. 1~r~~4100 . :. . 2-9:~05R~2Oh~~4'10" "'".

:. 3-5: 401R-20h-R410" ~ L .,. 4 : 403R-20h-R41:00

,. 6: 451-20h-R~l-10" 7~8: 406R'2Oh-R4~10"

b) Angulo A= S

,. 0=75"

It E= l"

',. F=4S"

" 3) Para mecanizar un cajeado interior de 40 mm. de dhimetro en una pieza de bronce, se utiliza la herramienta: 4S4-16r-R3-5". Calcular la longitud que ha de tener la cara de incidencia principal de la herramienta, para que no (dalone (Fig. 11-14).

Resoluci6n. Siendo L la longitud de la. cuerda que coincide con la ~ara de incidenciade .1 a, 'he'rramienta,"e~ 'la' pr~ctica,.s~ admite que dicha' cara no talonacuando' su longitud 'no .es ~uperior al 80 por 100 de L, es decir, cuando: .

1=0,80 L

teni.endo en cuenta que para el bronce Ie corresponde un angulo de incid~nCi~ A=8 (ver tabla de formulario), se tiene:

L ... "2=20x sen 8"=20XO,13917=2,78, de

donde:

L=5,Smm

por consiguiente:

1=O,8XL=O,8X5,5=4,4 mm.

Fig. '1-14

4) n 'una herramtenta de clesbalte recta con angulo F =400 Y C = 121l s\endo la arllta principal de eorte normal. (parai.la a1 p1ano de la ba$8), caleular:

32

a) el angu'lo de despren!'limlento frontal:

b) el angulo de desprendimiento lateral.

Resoluci6n. Aplicando las f6rmulas (5) y (6) se tiene:

a) Angulo de desprendimiento frontal o.,j:

tg A=tg C. sen F=tg 12" sen 400=0,21256 X 0,64279=0,13663 . =0,13663

de donde:

A=~ 47'

b) Angulo de desprendimiento lateral (et):

tg et=tg C. cos F=tg 12". cos 40o=O,21256XO,76604=0,15283

de donde:

et=8 41'

5) En una herramienta de desbaste acodada con angul0 F =450 Y C= 15, siendo 'Ia arista principal -de corte norma'I, calcU'lar:"

a) el angul0 de desprendimiento fronta'l;

b) til angulo de desprendimiento lateral.

Soluci6n:

a) angulo de desprendimiento frontal: A= lOCI 44'

b)' angulo de desprendimiento lateral: et=lO" 44'

6) "En una herramienta de desbaste recta afilada con un angulo de desprendimientoC=lS, un angu'lo de inclinaci6n de E=4(l y un angu'lo de la arista principal F = 5oo, se desea conocer:

a) el lingulo de desprendimiento frontal:

b) el lingulo de desprendimiento lateral;'

33

http:parai.la

c) el angulo de direcci6n:

a) el angulo de desprendimiento de maxima pendiente.

Re:.olvcion:

d) E:I angvlO de desprendlm!emo frontal }. (fjg. 11-15) se determina por medlO de la e"presion (1) 0 sea:

rg). tg C . sen F - tg E . cos F = tg 15 . sen 50+ tg 4 . cos 500 =0,26795 X 0,76604-0063 XO,64279=0.15Q83

de donde

'\=90 5'

rJ.,~ b} EI cingulo de despreroaj.

miento lateral IJ. (fig. 11-15), ;e determina aplicando la formula (2). obteniendo:

Fig IIIS

rg IJ. = tg C . cos F+ tg E . sen F=tg 15. cos SOG + tg 4 . sen 50') ~ = 0,26795 X 0,64279 +0,06993 X 0,76604 = 0,22579

de donde se deduce

a.= 12 43'

c) Aplicando fa (4b) determinaremos el cingula de direccio"" 1=' (t'q 11-16), resultando:

tg E tg 4 0,06993 tg (F-F'}==-'-=--=-_...-=O,26 102

tg C tg 15 0.26795

de donde se deduce (F-F')=14" 38'. Y por 10 tanto

F'=F-14 38'=50-14 38'=35Q 32' que es ef clngulo buscaclo.

.. d) La expresi6n (3b) facilita el calculo def cingulo de desprend;",ie"to de maxima pendiente b. 0 sea:

tg C tg 15 0,26795 tg b= ---.:::;:--....-- .... =-:._............ -= 0.27615

cost F-F' ) cos 1438' 0,97030

34

de donde se deduce:

b= 15 26'

7) ejercicio num.

con un angulo de inclinaci6n positivo,

es decir: El =4, calcular:

/'_'_'

/' a)

frontal;./. b)

lateral;

c) el angulo de direcci6n;

de maxima pendiente.

Fig. 1116 .

Solucion:

a)

b) EI valor de 4E :.e determina una vez d=cIucido tg E en fa formula (6), resultando

b) La ranura tallada es unil semielipse de .'>,02 mm. de profundidad (somieje mayor) por iO mm. de anchura (ele' mf'nor).

13. Se disp

-

a ) La altura de

afi"lado c d. la cara de cort., para que la herramienta traba;e con 6 de bgulo de incidencia y

a) La altura c de afilado sera (fig. 11-22):

c=R : sen (A+C)=25xsen (10+ 15)=25 x 0,42262= 10,56 mm.

b) Para determinar el angulo en la secclon recta de la herramienta, $:aicularemos primeramente el valor p= NJ, de la siguiente forma:

OM=UN. sen C=33xsen 15"=33XO,25882= 8,54 mm

MN=ON . cos C=33 xcos i5"=33XO,96593=31,86 mm

MJ= V~J;--OM2= '1432-8,542 =42,15 mm. resultando finalmente:

NJ=p=MJ-MN=42,15-31,86= 10,29 mm.

pudiendo calcular ahora el radio menor de la herramienta mediante la formula (16),0 sea:

r = F~~R. p . cos (A+C) =

= "1252+ lO,292:"'2X25X 10,29xcos 25"=16,26 mm.

Ademas se tiene:

m=R-r=25-16,26=8,74 mm

n= 10. tg 1?,=10XO,30573=3,0573 mm.

y par 10 tanto:

H, n 3,0573-04445tg- -- - ,2 m 8,57

de donde se deduce:

~Hl=38 34'

'. 19) Resolver el problema numero 16, en .1 supuesto de que se desee que I. herramienta tra'baje con 12" de lingulo de desprendimiento frontal.

42.

Soludon:

a} C=6,18 mm.

b) Hl=67" 42'

20) Se desea tortar tubos de laton .de dimensiones 20 X 24 mm. de dicimetro, utilizando una herramienta de tronzar de perfil constante. Cal cular:

a) La altura h de colocacion de la herramienta para que trabaje con un angulo de desprendimiento minimo de 8" (fig. 11-23)....,

Fig. 1123

b) EI cingulo d'!! incidencia aparente A, para quela herramienta intcie el trabajo con 6" de anQu'lo de incidenci-a efectivo.

Resolucion:

a) La altura h sera:

h=R. sen 8"= 12XO,20791 =2,30 mil!.

b) El valor del r:ingulo de incidencia aparente A, que sera el angulo de p05icionamiento de la herramienta, tiene un valor:

~, _/*:t~\?/~:-:,: -~.

,~

-..

21 ) Una herramienta de perfil constante prismatica. afilada con cara

de corte normal, se coloca 5 mm. por encima del eje de la pieza, con objeto de mecanizar ranuras de 8 mm. de profundidad sobre unapieza de 100 mm. de diametro. Calcular:

a) EI angulo de desprendimiento con el que inicia el trabajo dicha herramienta.

b) EI angulo de desprendimiento con el que finaliza el trabajo;

c) EI angulo de incidencia efectivo, con el que inicia el trabajo, sabiendo que el angulo de corte es 80".

d) EI angulo de incidencia efectivo con el que finalizala ranura.

Soluci6n:

a)

Resoluci6n: y siendo 00 igual a la suma de la mitad del diametro nominal de la rosca mas la altura correspondiente al truncarniento de !a cresta, sera:

Los radios exterior e interior correspopdientes al perfil te6rico del triangulo generador de la rosca son: - 36 1

nO=2+aXO,866 p= 18+0A3= 18,43 mm.

de donde: R=no= 18,43 mm.

r=bp= 14,97 = 15 mm. nb 3,46

sen W=-. sen C=--XO,17365=0,0326 .;.. no 18,43

siendo entonces: W= 1" 52'

Y por 10 tanto:

----------de donde se deduce que.

P t !!__ 2 29 - --- 2 nb - 3,48 =0.5747

de donde resultara finalmente'

-

t:ll:" con s ig1.l:en te, loS angulos 0 y C sera" p

h=-. sen {31= 10XO,994=9,94 mm. 0='8Cr.-(~S.+-4)==-180"_(85 27 of 41=90" 33 2

p0'-=sca, rnedido con relacion a un plano "ormal al eie H b-h 9,96-9,94 = 0,001, proporcionandotg-=-de la mlsrrn:, siendo: 2 2h 20

las tablas de Hneas trigonometricas, un valor de

b) EI valor del angulo .del perfil de la herramienta.

Soluci6n:

a) 1=7,006 mm.

a) La altura pieza;

b) EI rramienta;

c)

-~-:~-_. .

de' colocacion de la cara de corte sobre el eje de la

valor del angulo formado por las aristas cortantes de la he

EI angulo en la seccion recta de la herramienta, sabiendo que su

b) H = 29" st'I;\ angulo de corte es de 56

Resoluci6n:

,.

Fig. 1130

29) Se desea constrlJir un tornillo sinHn de una entrada que tiene: 60 mm. de diametro exterior, modulo 3 y angulo de presion 20". Calcular:

a) Las dimensiones de la herramienta (ancho en la punta y angulo del perfil), en el supuesto de que la cara de c;orte sea paralela al plano de 'Ia 'base:

b) Id. id., en el supuesto de que la cara de corte se disponga normal mente "I filete del sinfin.

'Soluci6n:

a) EI tornillo sinfin se puede considerar como una rosca trapezoidal con angulo de 40n, correspondiend6 la secci6n normal al filete, al perfil de una cremallera deigual m6dulo. De ello resulta:

De ello resulta:

1=2,19 mm.

Como el truncamlemo en el ton do de la "'osca S. I. es ep e l ieptido ael 1

ancho, igual a -p, trazanoo po'" i'l una o

/. 1 I \. Vo V. v ..

'it ..t...~.)a

Velocidad de mrn~mo desgaste para los distiritos tipos de cuchillas. lo!; valore~ propordonados por la tabla anterior s610 son validos para c::uchillas de desbastar, con 450 de angulo de la arista principal. Para otros tipos de.

~

,";c,,,,:,. :,.. ,P~OBlEMAS SOBRE" VEt,QClOADES DE CORTE, ~ ':.. t) .:_~'.; .... ~.-!:.)i .

. VI

.tV Sa desea cilindrar una piua de ~cero, que .tiene 100 mm de-di4~......pIeaPdo "na velocidad, de corte de 30 m/min. Calcular: ,"'{. .

a) las revoluciones p~r -min~toque' deb8 dar 1a pieza para que sea ~ n'iKill'lizada can 'Ia veJocidad 'de corte jodieada;

.b) 1a velocidad de corte con "a que se estan tr"'ajando, si ta "10'cidad de rotacion empieada es de 120 r Imin. .... :

Resol uci6n:

'. a) La velocidadde rotaai6n es;'

1000Vc ,Vc ' '30 n 318--=31a-.:-::-=95 r/min.1t.d 'd, "100

b) La velocidad de corte es:

d.1t.N d.N .,100 X 120=37,7 m/min.Vc = 1000 318 ',= 318

" 2) Sa esta efectuando eI torneado de una pi.... d. acero suave, eN

50 mm de diametr:o. E1 trabaJo sa rea1iza con MrI'Itn\itnfa de acero ra. pido a 500 r Imin. Catcu1ar ra veIIocidad de corte a que .. esta tra_jaodoe indicar si esta es correcta.

So1uci~n:

Vc =78,5 'm/min.

Velocidad incorrecta.

(Revalida de OficiaHa' Industrial, junio de- 1963)

'~llU......1 lom..do refnnl.do d. un. pi..., de Iundld6n, .. cJesea./que fa vetocidad de corte oscile entre 30 y 20 m/min; sabiendo que1. pieza tiene un diametro de 400 mm, calcular:

) velOcldad de rotaci6n con la que lIay queiniciar el refrenlado, en e1 supuesto que este Ie ejacule de exterior 'hacia cl cen'ro d. f.FHexai .

69

-'" b) diametro, en el refrenlado, para e1 cual hay que cambiar I. ~'o-

cidad de rotaci6n por primera veti .' ~.

c) velocfdad de rotaci6n que debe lIevar la pieza al iniciar la 2.- fa ..

de refrwntado. '.

Soluci6n: .

, a) N=~ r. p. m

b) d 1=265mm

c) N1 =36 r. p. m.

fi::0 R..oI_.I mismo problema anlerio., pero teniendo que ulUIu.

las ~OCidades de rotaci6n de que dispone 1a m'quina, 'que scm: 15, 22,

34, 50, 75, 115, 170, 260, 400, 750, .1100, 1700 r. p. Itt.; de'bien~ pro

;\ 't -, curar no sobrepasar los 1rmites Indicados' para 1... velocidad de corte.

Soluci6n:

! j

a) N=22 r. 'p. m. : 1 -b) d1 =289 mm

c) Nl=34 r. p. m.

5) Construir un abaco en abanico., corre:spondientea las siguien.

les,velocidades de rotaci6n del ej. principat de un forno: 55,,72, 84, 109,

128, 1~, 195,253,330,432, 504,654, 768,996, 1170 Y 1518 rim, para

diametros comprendi~os entre 20 a 200 mm~

~"

Resoluci6n:

,t ",

Trazados los ejes coordenados OX y OY (frgura III. 2), se seiialan,

sobre los mismos, diametros' y velocidades de corte, respectivamente, y

se determinan dos puntos de cada recta, correspondientes a las distintas

velocidades de rotaci6n. Uno de dichos puntos puede ser el centro 0;:.

: -,,/f~ oiro se determina con auxilio de la f6rmula V = d.'It. N, dando vacI'rt- 1000 lores a d y N, se calcula Vc; despues por el punto correspondlente al

.valor de Vc setraza una horizontal y por el punto que determina el dhS.

,metro d se traza una vertical; la intersecci6n de ambasrectas es el

~segundo puntp buscado, que, unido ~on el centro, proporcionara fa recta

61

r j

http:refnnl.do

is $~ 71 , 125 ,/~O I ~ 1~5 I XI' ,:: Io J)icimt;!rro de /a piezQ ANTI. l;i9 III. 2

correspondiente a las revo!\.Jciones N adoptadas en la fOrmula. Se procede de igual manera para el resto de las velocidades de rotaci6n.

6 )En el mismo torno del ejercicio fanterior, se desea cilindrar una ,/' pieza de 150 rom de dhlmetro hasta dejarla a un dh\metro de 90 mm;

sa'biendo que la profundidad depasada es de 3 mm (al radio) y que 'Ia velocidao. de corte no debe sobrepasar 'los 35 m/min. ni sel' inferior a 25 m/min., calcular, utili:L'ando el abaco construido en el anterior ejercicio:

la velocidad de rotacion practica, con la que se inicia el trabajo; a} pa(a que diametro hay que cambiar de velocidad de ro'taci6n;b) la velocidad de rc;tac:ion que se emplearia en 'las sucesivas pasac} das, empezando 'por la primera, para hacerla l1'KICanizacion.

Soluci6n:

a) N=72 r/,m.

b) d=110 mm. ...... " c) Las siete primeras pasadas se dan con 72 rIm, ylas 'tres ultimas,

con 84 rIm.

6'1

,.,..... ),.f (7) Se desea cilindrar una pieza, de acero, que tiene 60 mm de' di' metro. Para ello .5e utiliza un :potente torno, cuya gama de velocidades de rotacion es 80, IDS, 138, 180, 235, 310, 4pO, 520, 680 Y 900 rim; asimismo, ,se 'dispone de cuchillas deacero rapido superior, metal duro y cen.mica de corte. Sabiendo que, para el tra'bajo en

~esoluci6n:

,Ji;~J 'h -',. ,,La tabla de velocidades de minimo desgaste (ver formulario) propor

ciooa para los factores de corte ba5~ (80=0,5 mm y po=5 mm) una velocidad de mfnimo desgaste en seco de Vo= 18 m/min.

a) A los nuevos factores de corte (a=O,5 yp=4 mm) les corresponde una velocidad de minimo desgaste en seco dada por la formula siguiente:

3 2a02 po 0,5 .5 = 18 Xl,1 ::::;20 m/min.

a2 p V'o=Vo

OS' .4

b) Utilizando ri~ ordinario, esta velocidad puede ser aumentada en un 25%; por tantQ:

'1 ,Vo:z=20+-.20=20+5=25 m/min.

4

c) t.a velocidad econ6mica pnictica (en seco) es:

V.=V/o+~V0=20+6,7=26,7 m/min.3

d) La velocidad econ6mica pra.ctica, trabajando con riego, sera:

V., =V.+~V.=26,7+~. 26,7=33,4 m/min.4 4

e) La velocidad limite para las condiciones de corte indicadas y trabajando en seco es: .

VI=~V/o=~X20=33,3 'm/min.3 :3

f) La velocidad limi,te, trabajando con riego. es:

5 VI1=-X25=41,6 m/mn, 3

r::10J. S. de...a dlindrar, en desoalte, una, t,.arra de acero dv;o al'carboni-de conltruccl6n, cuya nllSlitenela es R = 80 Kg/ mm2, con una cuchi-' 11. de acwo r'P'doluperlor que lleva un avance de O,Smm/vueita par 5 mm de profvndldad de panda. Determinar:

, a ) velocldad de m'nimo desgalte, trabajando en secOi b) veIocldad econ6mica, trabaj.ncIo en MeO; c) 'velocldad econ6mica pdctica, trabajllndo con riege.

64

>

Soluci6n:

a) V 14 m/min.

b) V.= 18,7 'm/min.

c) V'.=23,4 m/min.

--"t\

;k 11) Se duea cilindrar una pieza de acero al carbono, que ti_ne una resis~cia R=60 I(g/mm2, uOlizando una cuchilla de acero rapido superior.La operaci6n se realiza con un avance 'de 0,7 mm/vue1ta y una profundidad de pasada de 6 mm., emple&ndo liquido ..efrigeran'te a presion,a 'base de aeeitede corte. Calcular '101 velocidad economica pl'ac'tica que :Ie corresponde.

Soluci6n:

V.=33 m/mn

*12), 'En el mismo ejercicio anterior, ,cual sera 'Ia v~locidad de corte economica practica, en el supuesto de que el avan'ce sea de 0,3 'm'm/vuelta, y '101 'profundidad de paso de 3 mm?

Soluci6n:

V.=44 m/mn

, 13) ,Cu;i1 sera 1a velocidad de corte economlca p'rlictica aprc>piada para'tronzar una pieza de acero al car-bono cuya resistencia es 'R=50 kilogramoslmm2, sa'biendo que la cuchilla de acero rapido- superior tiene ,un anch'o de 6 mm y fleva un' avance de 0,3 mm por vuelta, tra'bajando ,'en sec.o?

Soluci6n:

V.=17,2 m/mn

14) Durante la mecani:l.'acion de una, pieza de fundicion gris (dureza 140 HB), se va a utilizar un avance de 0,25 mm/vuelta y una profundidad de pasada de 1 mm. Sabiendo que la herramienta empleada es de acero rapido ordinario, calcular 101 velocidad econ6mica practica correspondiente.

65

http:perior.La

Soluci6n:

Ve=60 m/min.

(Ver nola de formulario referente a la ley del rendimiento constante de las herramienlas.)

15) 'En la mecanizaclon de una pieza de acerD al carbonD CDn R= =60 Kg/mm2 de resistencia, se va a trabajar CDn una velDctdad de corte de 25 m/min, sin riegD Y CDn una una prDfundidad de pasada de 4 milimetrO's. Calcular el avance qua dE:be utiiizarse para que 'Ia velDcidad de

.CDr'te empleadaresulte ser la economica practica, utilizandD_ARS.,

Solucion:

a 0,7 mm/vuelta

16} CDnstruir un graficD que prDporciDne direct"amente :Ia velocidad de cDrte ecDnomica practica, para trabajDs de cilindradD en seeD, -de acerD suave que tiene R = 60 KgI mm2 de resistencia, sabiendD que .'Ia hernmienta utilizada es de acerD rapidD Drdi:nariD Y en el supuestD de que se adDpte una relacion entre ell avance Y 'Ia prDfundidad de pasada de a 1 -:;-10

Solucion:

T

. 4011 .~ ';l ~ .JO

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I I I --l 1_ Lt I I I I I I

0.806as tJ.7a.3 ~ ." 83 ~ s 6

66

." -'\ F . 17 - Calcular el numerD de 'piezas, de acerD CDn R=60 Kg/m'm2 'de

".T is ncia, que se pueden cmn~rar sDbre un tDrnD que 'tiene 'las 'hlismas ~ve ocidades derDtaci6n que eil ejerciciD 5) del presente capi,tu'lp, sa'bien~ do. que 'Ia 'IDngitud a mecanizar es de 200 m'm; el diametrD de 1.. barra, 60 mm, utilizandD una 'herramienta deacerD rapidD superiDr CDn un avance de.0,6 mm/vuelta y U'na prDfundidad de pasada de 6 mm y efec.' tuandD 'lubricaci6n CDn aceite de cDrte a presi6n, y determinar:

.. ) las rim. a emplear; utilizandDla velDcidad ecDnDmia-practica; b) litl numerD de pin'8s que se mecanizan entre dDS amadO's CDns.

cutiVDS dela herramienta.

Resolucion:

La tabla de velocidades de minimo desgaste que flgura en el formulario proporciona:

Vo =22 m/min. Irabajando en seco

Q o= 15,5 dm3 de viruta,

siendo el trabajo con riego, la correspondiente velocidad de minimo desgast~ sera:

Vor=l,5X22=33 m/min.,

manteniendose constante el caudal Q .

La velocidad de minimo desgaste para a 0,6 mm y p=6 mm es:

V'or=Vor a2 p

siendo p= lOa, se puede hacer:

3 2 O,5 X5 _ 33y1,25 = 33 =~~28 m/min.V'or=33 a2 lOa - a 10.. 2a 1,2

La velocidad economica practica sera:

VIl=--~-V'or=~X28~37 m/,min.3 3

a) EI numero de revoluciones por minuto sera, entonces:

N 318Vc

=31837

=196 r/min., adoptando 195 r/min.d 60

67

que es la' velocidad mas proxima de que dispone la maquin!a., :... ~.

-ib): Can esta velocidad,el caudal econ6mico Q o sera (ver formulario):

1 15,5 ' Q.=-Qo=--=7,75 dm3

2 2

y. como el volumen de viruta arrancoda por pieza es

3,14 (0,62..-0,482 )V==2X ' --02 dm3

4 "

el numero de piezas construidas entre dos afilados de la herramientasera:

7,75 n =--== 38 piezas

0,2

~

8} Se desea mec:anizar, en una sola 'pasada de cilindrado, pie:tas de undi 6n gris (dureza 140 HB) utilizando el mismotorno del ejer

c ~ ' anterior; 'Ia 'Iongitudde b pieza es de 300 'mm, y sus diametros inicial y final, de 100 y 90 mm respectivamente; se utilixa una relaci6n a/p= 118. Sabiendo quela herramienta es de acero rapido superior, calcular:

a} 'la velocidad econ6mica 'practica a utilizar;

b) el numero de :piezas mec:anizadas entre dos amados consecutivos.

Soluci6n:

a ~ V.=42 m/mir..

b' La velocidad de rotaci6n es de 133 rim y se adopta 128 rim, correspondh,s'ndole, entonces, V.=40 m/min. Esta velocidad es, con telaci6n a la de mlnimo desgaste (Vo=31 m/min.). quo co. rresponde a la secci6n de viruta que se mecaniza, de:

40:31 = 1,28 veces mayor;

por consiguiente, el caudal aproximado que Ie cor responde es:

Q..=0,7, 00=0,7X 13,5==9,45 dm3;

lSiendo, final mente, el numero de piezas:

n=21 piezas

68

(,9 J Se mecanira un cuerpo de 380 mm de longitud por 45 de diam~ en una pieza de acero suave, que tiene R =40 Kg por mm2 de resistencia, con una herramienta de acero nipido ordinario. Las caract .. risticas de corte son: a=O,5 mm/vuelta y p=~.mm. Sabiendo que la operaci6n se reaHza con riego ordinario y que Iii maquina dispone de 80, 150, 230, 33Q, 500 y 750 rim, ca.lcu'lar el numero de piez'as mec:a.. niz,adas entre dos afilados consecutivos de la herramienta,trabalando con 'Ia velocidad economia-practica. , Soludan:

Utilizando N=330 rim, sera Q.=0,3 Q01 de donde: n=26 piezas

Utilizando N=230 rIm, sera 0.=00=21 dml , de donde: n=89 piezas

La prQducci6n e'~on6mica sera, para una velocidad de rotaci6n de N=304 rim (del" que no dispone la maquina), Para ella sera:

N=45 pieras

f

69

i

CAPITULO IV

FUERZAS DE CORTE Y POTENCIA DE CORTE EN EL TORNEADO

(Formulario)

Fuerxas de corte en el torneado. Durante el cilindrado de una pieza, se originan las siguientes fuerzas (fig. IV. 1):

Fl, lIamada reacdon al corte, y que se opone a la fuerza principal de corte F';

F2,o reaccion a la penetraci6n, oponicndose a la fuerza de penetracion F";

F3, lIamada reaccion al avance, y que es (le sentido contrario a la

siendo R la resistencia a la traccion (Kg/111m') del mat~rial Inecanizadot Para un ccllculo mils exacto, se utiliza la formula siguiente, debida a Kronemberg:

K _ Kl.- -~/s

(4')

en la que 5 es !a secclon de viruta, y K, Y m, coeflcient~s dado_s por la siguiente tabla, valida para cuchillas afiladas con ongulos normalizados, para los materiales que en ella se indican:

Aceros de resistencia Fundici6n con (Kg/mm2) dureza Brinne'ft

Material ................ 40 50 60 70 80 100 140 180

Valor de K, ............ 200 225 278 317 367 72 87 100

Valor aprox. de m ... L 8 6 --....--....... -~ ..... -.~ ....-.-..---.-

Potencia de corte en el torneado. La potencia util 0 potencia de corte absorbida en el torneado, se calcula mediante la formula:

F' . Vc Pc = 60X75

Kss.Vc 60X75

5)

en la cual V c es la velocidad de corte, manteniendo el mismo significado el resto de los terminos.

Potencia motor. Sienclo p el rendimiento de la maquina, la potencia consumida por el motor es:

Ks . $. Vc

p 60 ~< 7S X p ,6)

Caudal Q de viruta. Es el volumen de viruta arrancado en un torno, en la uniclad de tiempo (minuto, hora). Su valor es:

o tambien: Q=s. Vc (cm3/min.)

Q=s. Vc. 60 (cm3/hora)

71

(7)

(9)

fuerza de avance F'" F'

Fuerxa fuerza cuenta

Fig. IV. 1""'\Q/

La relaci6n entre las fuerzas Fl, F:z y FJ depende de la forma del filo de la cucnilla. Para cucnillas de desbaste rectas, con clngulo de la arista principal de 45, se tiene, aproxi,madamente:

Fl:F2 :F3=5:2:1 ( 1 )

principal de corte. La F' es la (mica tenida en para calcular la potencia

del corte. Se denomina fuerza principal de corte. Las fuerzas F" y

Fill afectan unicamente a la pieza y herramientas en cuanto que pueden deformar a estas, por flexion. .

EI valor de la fuerza principal de cor'te es:

Ie, F'=Ks. S (2)

lL siendo s la seccion de viruta (en mm2 ) y Ks la fuerza especifica de arrani~~ ~miento (Kg/mm2 ), es decir, la fuerza ejercida sobre cada mm2 de la"

seccion de viruta, por la cuchilla.

Como valor aproximado de K. se puede hacer

K., = (3 a 5) R (3)

70

Caudal especifico Qs de viruta. Es el volumen de viruta arrancado por Imidad de tiempo. y unidad de potencia. Se suelen adoptar las siguientes uJ);dades; para.el vo.lumE;n, em3; para potencia, CV 0 KW; por consiguienIe... el caudal .especffico de viruta estara expresado por em3/min./CV. ;Su valor es:

Q (9)Qs= Pm

de dO,nde se puede deducir: Q=Q... Pm (10)

y Q

(11 )IPm = Q ' s

Representaeiones gnificas. Para evitar los" caleulos numenc(as, resulta pnictico y facilita grandemente la busqueda de los..'fe

I

a) Pc =3,75 CV

b) 'Pm =5 CV

y. /' /'

}3) 'EI motor de un torno paralelo tiene 6 CV de potencia. Meeani

zando aeero dulce de 50 Kg/mm2 de resistencia, con una velocidad de

corte de 30 in/min., permite lIe'(ar una seeci6n de viruta de 4 mm2

. Ca'ieular:

a) la pateneia de corte;

b) e'l rend;mien.o de la maquina.

Soluci6n:

a) Pc =5,15 CV

b) r::::::0,83

(Revalida de Maestria Industrial, junio 1962.)

-" 4) ,i Un torno, euyo motor tiene 3 CV de potencia, reaUza el eilindrado

de una piexa de aeero suave, de resisteneia R=60 Kg/mm:!, con una sec

cl6n de viruta de 1,5 mm2. Sabiendo que el rendimiento dela maquina

es de 0,7., ea'ieular:

a) fa maxima Vf.:\ocidad de 'Corte compatil)le ,con lapotencia del 'motor;

b) indiear el aeero de herramientas mas adecuado para realizar la operaei6n.

Soluci6n:

a) V=24 m/min.

b) La herramienta' ideal para realizar el traba jo, en ias condiciones

.~jadas, es la de ,aeero rapido ordinario.

r--.

i 5 ~ Construir un grafieo de la variaei6n de las fuerzas especifieas de, arrancamiento, para la meeanizaci6n de aeero du1ee, con R =40 Kg/mm:!, y para HCciones de viruta eomprendidas entre 0,5 y 5 mm:!,

74

Solucion (fig. IV. 3):

225

~ 20() ,~

~ U 11$ C),... .......

~~ 150 ti" c:.~r- '25 e ~ IOf) I(

~ . 'J

\ i f'

0.5 J 2 ~

'"""l'- "'- -t-- -I

..c .5 Sec-cIon oIt.! y/i-uk

Fig. IV. :3

mm2

6) :Determinar, grafieamente, la eurva que representa las veees que esta ecntenida enla fuerza especifieade arranea'miento la resistencia de un aeero de R=40 Kg/mm2, para las distintas secciones de viruta e~m'Prendidas entre 0,5 y 5 mm2

Soludan (fig. IV. 4 J:

G

s ~Iq:

~~ '" (j

b ~.3 q,;

~

: \

\ 7) \ Un torno que tiene 3 CV ~e potencia del motor y un rendimiento de 0,75, meeaniza una pien de aeero suave de R=50 Kg/m.m:! de reslstencia, eOll una velocidad de corte de 30 mfmin. Caleular:

75

" 1 .........i"'-.

:--().5 J ~ .3 4 ' $

Seccio/) de v ri-v/'o /.1NJ? 2 Fig. IV. 4

- -

.) la s~cc:ion de viruta maxima, compatible con la potencia del torno;

b) e1 nance y profundidad de pasada a emplear en el supuesto que entre ambos se emplee la relacion a/p= 1/10.

Solucion:

a) s= 1,59 mm2

b) a= 0,4 mm, yp=4 mm

r;)) Construir un grafico que facilite directamente la velocidad de corte m4xiriia admis;~le, compatible con la potencia del motor del torno que -tierae 5 CV, siendo el rendimiento de 'Ia maquina p=0,7. En el supuesto que se mecanice acero con R =60 Kg/'mm2 de resistencia y se utilice corte normal, con una relacion entre el avance y la ?rofundidad de pasada de -alp=1/10.

Soluci6n (fig. IV. 5): ----, 40

.~

i-30

120 t ~/O \i ~o ~

,

1 I ! 1\ ! I I I ! 1\' I i i

I" ! +

I

l'. " r-.....

I

,

a mtIIP2 aJ o..If. as , I I

IP ArtII1 2 3 4' .5 , I

Is1/1111' a"" 0.9' /.6 2.5 - - -

Flf. IV. 5

j'.... ....... ..........

I

0.6 0.7 I

6 7

.3.6 4.9

t"

0.8

~.'I 6.'"

f) En un torno que tiene un rendimiento de 0,8, se desea mecanixar ,una pieta de acero que tiene TOO mm de diametro y una resistencia 8=40.Kg/mm'. Sabiendo que la profundidad de pasada a. emplear sera

76

'

I~

I'

I

I

I

1 I I'

.. , ~

de 5 20 mjmin"

mm por 0,5 mm calcular:

de avance, y que 1a velocidad de corte es de

a) la cantidad de viruta arrancac;la por hora (cm3 ) i

b) la cantidad de viruta arrancada por minuto 'potencia motor (cauda'i especHico de viruta).

y .,or unidad de

Resolucion:

a) La cantidad de viruta horaria es:

Q=60.s. Vc:=60X2,5X20= 3.000 cm3/hora

b) Para calcCJlar el caudal especifico de viruta, se calcula, primeramente, la potencia motor absorbida, que en nuestro caso sera:

Ks.s.Vc: 178X2,5X20 2,5 CV

Pm =60X75Xp 60X75XO,8 Se determina a continuacion el caudal por minuto:

Q=s. Vc =2,5X20=50 cm3jmin.

siendo entonces el caudal espedfico:

Qs=~=~=20 cm3/,min.jCVPm 2,5

rj , 10) -Calcular la potenda motor absorbida por un torno que meca

nixa fundicion gris, con dureza A= 150 HB,. emp1eando un avance de 0,6 mm, 'profundidad de pasadade 4 mm' y una velocidad de corte de 25 m/min.; sabiendo que el caudal especrfico para el materilil mecanizardo es de 40 crn3/min./CV.

Soluci6n:

'Pm =l,5 CV

;~, Calcular el avance aproximado que debe lIevar el carro de un torno que tiene 2 CV de potencia 'motor, durante la mecanizaci6n de una piexa de acero suave/ en el supuesto de que la velocidad de corte empleada sea de 35 m/min., la relacion alp = 1/10 y que e1 caudal espedraco para e1 material mecanizado sea de 14 cm3/min.jCV.

77

Soluci6n:

a=0,28 mm/vuelta

i2) Superponiendo los graficos obtenidos en los problemas numeros 16 y 8 de'los capitulos III y IV,res.pectivamente, se o.btiene un grafl

--...'-'

Torneado conico (fig. V. 3.>

EI tiempo de corte para la ejecuci6n de un cono se calcula mediante la siguientl:1 f6rmula:

te: \1+'b+:h+ ... +1n (4)

o tambien

te

siendo ,n

a. N

p (1+2+3+ ...... +n) (5) a,N.senCl'

el numero de pasadas.

Cuando 101 angulo del cono sea in!erior a loo, la f6rmula (5) se puede rustituir por la siguiente:

2.p. (1+2+3+ ...... + n ) .te: (6)c.H.a

siendo p la profundidad de pasada al radio y c la conicidad del cono.

Roscado (fig. V. 4)

I. 1.11: Para el roscado se esti

rna, en principio, un valor de la entrada c=3p (p'-:' =paso 0 avance de la rosca); por consiguiente, el'-t._.-m'--" 11e1p tiempo de corte es:

1+3p (7)te np.N

Ag. V. 4

n es el numero de pasadas que hay que dar para ejecutar la rosca; ,su valor medio es, para las roscas triangulares, de:

n=3,5.p (8)

20

PROBLEMAS SOBRE TIEMPOS DE 'MECANIZADO EN EL .TORNEAoo

1:

11) .: 'En un torno cuya gama de velocidades de rotacion es; 80, 105, 1:r0.;t80, 235, 31a, 400, 520, 680 Y 900 rim., se desea cilindrar una pieza de 100 mm X 200 mm de longitud (figura V. 5), para dejarla a 88 milimetros de diametro. La velocidad de corte empleada es de 40 m/min.; el avance, 0,3 mmpor vuelta, y la profundidad de pasada, de 3 mm. Calcular:

a) Citl avance por minuto de la 'herramienta;

'b) el tiempo de maquina empleaJo en la operaci6n.

20t1

il Cb" q) ~ ~

Fig. V. 5

Re.soluci6n:

a) Se calcula, primeramente, la velocidad de rotaci6n que corresponde a Ie velbcidad de corte impuesta en el enunciado, obteniendo:

Vc 40 ' .N=318-=318--= 127 rim tn.,

D 100

adoptando las revoluciones prckticas de 130 r/min.

Entonces, el ",vance po.r minuto de la herramienta sera:

am=a. N=0,3X 130=39 mm/min.

b) La longitud de entrada de la cuchilla es:

c=p. tag F='3 . tag 45=3 mm - ' En consecuencia, el recorrido L de la cuchilla es:

L=200+c=200+3=203 mm

EI numero de pasadas n que se requieren para pejar la pieza a medida son: .

D-d 10D-88 n

2p 2X3

Por consiguiente, el tiempo empleado en

L 203 t=n .--=2X--=10,4 mlnutos

am 39

81

12' -=2 6

la mecanizaci6n es:

.

/\~--

fJ

Soluci6n:

I

a) n= 10 pasadas

b) 1. pasada, con 109 r/min. 2~ 3.- Y 4.- pa!\ada, con 128 r/min,

5,8 y 6.- panda, con 166 r/min. 7." y' 8.- pasada, con 195 r/min. 9." pasada, con 253 rimin.

10. pasada, con 330 r Imin.

e) t=9,6 minutos

~. 1) !En d mismo torno del ,problema numero 6, se desea mecanizar una rosea triangular M-20 por 1,5 'mm paso por 300 mrn de 'Iongitud. Sa'bien::lo que la velocidad de corte a emplear es de 14 'm/min. y que el nuniero de pasadas necesarias para ejecutar la rosea es de 7, calcu1ar e1 tiempo~e maquina necesario para suejecuci6n.

Soluei6i-ii,

t;;:::7,3 min.

8) En el -mismo torno del pro"lema numero 6, se desea mecanizar un agujero de diametro 40 por 100 mm de 'Iongilud, en una pieza de fundidon; para ello 'Se taladra previamente con una oroca de 9 mm, y a continuacion, con otra de 36 mm de diametro, utUizando avances de 0,1 Y 0,3 mm,respectiva'mentej fina'imente, se efectua un mecanizado con' cuchitla de interiores, '

(.

o d R-r 2"-"2 Para conicidades menores del 36% (2a=2024' ), S8 pUeden utilizar D--d =tga (5)L I,; las siguientes f6rmulas aproximadas, que propordonan directamente e'2L

valor del angulo:

"'('

...!

" ~

~

Fig. VI. 3

... '"

Tomeado c6nico por giro dltl carro orientable. Se calcula el angulo del cono por medio de :as formulas (7), (8) 0 (10), y se gira el carro orientable el mgulo de orientacion, de acuerdo con la posicion que ocupe eI cooo sobre la maquina.

Tomeado conlCO por desplazamiento transversat del contracabeza1. Este procedirr,;ento solo es aplicable a los conos exteriores cOn poca conicidad. EI deSjllazamiento del contracabezal se calcula por medio de la fOrmula:

C=L. t9 a (14)

siendo L la I'Ongitud de la pieza entre puntos. Si se quiere una mayor exactitud, se pueden utilizar las siguientes fOrmulas:

C= ( L-4d') . t9 a

C D-d (L-4d')21

(15 )

(16)

siendo d' el ciametro nominal de la broca de los centros de la pieza, y I, la longituc del cono propiamente dicho.

VerificaciOn de conos exteriores por el metodo de los cilindros. Una ~. medidas 1:$ cotas x "( x' sobre cilindros, el valor de la conicidad y del angulo del CCt10 S~ celC"..'lara por las expresiones (fig. VI. 4):

88

... ,..

~ ~:

~ t ..... ""

~

""" :t;

"..,. .... ~. ,;.

'.

Conicidad:

c= x'-x

.( 17)"H

Angulo del cono:

/I t9 a x'-x 2'H(_18)

de. dQride se deduce a.

Fig. VI: 4

Control de un cono entre puntos. Se utiliza para ello un reloi comparador queapoya sobre el carro princ.ipal del torno y que palpa .sobre la generatriz horizontal del cono. Conocidas las lecturas m y n del comparador, para las posiciones A y 8, respectivamente (fig. VI. 5), Y que corresponden a un desplazamiento L del carro principal del torno, el valor del angulo del cono y de laconicidad seran:.

.-.--,~

8 fig. VI. 5

Fig. VI. 6

conicidad c 2(m-n) (19) . L

angulo t9 a m-n L

de donde se deduce

, \ CALCULO DE LAS DIMENSIONES DE LOS CONOS 3) Vna broca tiene el mangoc6nico, con un cono Mors. nurnero 5

'; (c=5,26%) y eI diametro mayor .44,7 mm. Calcular eldiametro m. , nor, si la longitud del cono es de 155 mm. . . 1) Un cono tiene el diametro mayor de 45 mmi el diametro menor, Solud6n:

de 26 mm, y su longitud es de 38 mm. Calcular: d=36,547 mm

a) la conic:idad por unidad, es decir, en forma decimal; } (Examen Revalida Ofkialfa Industrial, setbre. 1963)

b) la conic:idadpor c:iento;

c) lei conicidad en forma frac:c:ionaria; --'"

d) la inclinac:ion.

~Resoluci6n:

.a) EI valor de la conicidad es:

D-d 45-26 19=05c= L 38 38 '

b) c O,5X 100=50%

c) c D-d

L .. 1 L

1 -=38 2

D-d 19

d) inclinaci6n i= 0,5 _ 1 I2 - . 4

2) EI cono de los puntos de un torno tie;" una conic:idad de 1,15,47 mm 'por unidad de longitud. Calcular:

a) 'Ia conic:idad por dento;

ib) .Ia coniddad expresada en forma fracc:ionaria;

c) la longitud del cono, en el supuesto de que labase mayor 'tenga 30 mm de diametro.

Soluci6n:

1a) c::::: 115,47% b) c c) L=26 mm

0,866

90

-L.4) Sabiendo que la conic:idad de un cono es c::::: % y que el diametro , mayor tiene 42 mm, calcular:

a ) ell diametro menor, en eI s"Puesto ~ que la longitud de1 cono sea de 30 mm; .

b) la longitud que debe tener ell cono para que ell diametro menor sea cero.

Resoluci6n:

a) Aplicando la f6rmula (3) (ver formulario), se tiene:

d=D-c . L=42-% .30=32 mm

b) Aplicando la f6rmula (4), obtendremos:

D-{) 42-0L= D-d 42X3=126 mm c c 1 3

5 ) La conic:idad de un cono es c = :2; el diametro mayor es de

50 mm, y su longitud, de 22 mm. Calcular:

a ) el va'ior cW diametto menor;

b) la longitud que debe tener e1 cono para que tit diAmetro menor sea 'Ia mltad que" mayor.

Solud6n:

a) d=45 mm

b) L=110 mm

91

') EI diametro manor de un cono es igual que su tongitud.. que vale 40 mm. Siendo su coniciclad c= '14, 'calcular:

a) el diametro mayor;

b) la inclinaci6n.

Soluci6n:

a) 0=50 mm

b) i=%=0,125

1) Las dtmensiones de .un cono son: diametro mayor 0=24 mm; dhimetro menor d= 10 mm, y 10ngitU'd L=56 mm. Calcular:

a) el angulo del conOi

b) el angulo en el vertice del cono;

c) el 8ngUilo del cono, en eI supuesto de que 58 calcula58 por medio de 1a formuta aproximada que excluye el emp1eo.de tabia$ tri gonometricas; .

d) .1 error an e1 angUlo det cono, o'btenido per e1 procedimiento .. parrafo c).

Resoluci6n:

a) Aplicando la f6rmula (7), obtendremos:

tg a

dedonde:

D--d 2L

24-10

2X56

Soluciolil:

Para resolver este pr:Jblema, hay que observar queel eje conico, para que ajuste corrcctamen:; en el agujero. ha de tener la misma coniddad que este; FOr consiguic'ite, se calcLiara la cota A, ya que 5e conoce el dj~metro mayor 0=42 mm, el m"nor d=40 mm (que coincide con el dlametro mayor del c.Juiero conico) y la conicidad.

x=135 mm

12) En un eje d::: ':;i) mm de diametro por 100 mm delongitud se mecanizan .oos conos, unO !lOr cada extremo, con las medidas siguien'tes: angulo ee los conos, 25'; longitud, 30 mm. Socra ambos conos ajustan dos casquiltos, uno po.- cada lado {fig. VI. 8). Calcular:

A Fi;.. VI. 8

a} 101 separaci6n A que habra entre casquillos, cuando estan acoplaclaslas tres piuas del conjunto, en el supuesto de que el diametro mayor de los mismos sea de 38 mm;

b} eI dhimetro mayor 0 que han de tener los casquillos, para que ill separaci6n entre estos (una vez efectuado su acoplamiento)

sea de 45 mm.

Solud6n:

a) 44,3 mm

b) 37,67

13) Se dispone de cuatro conos, dos interiores y dos exteriores, acOptMlos entre si, como indica 'Ia figura VI. 9; todos tienen 'Iamisma conidUd c=1/5 yla misma longitud l=40 mm, siendo los diametros manerel de los conos interieres de 40 Y 6 mm, respectivamente, Y los .imetros menores de los conos exteriores, de 42 Y 10 mm, respectiva

mente. ulcular:

94

a) cota x que sobresale el eje c6nico 1 de' casquillo c6nico 3, una vez acop1ado el conjunto;

b) cbta x' a mecUr sobre las piezas 1 y 2.

Soluci6n:

a) x=10mm x b) x'=60 mm

)('

Fig. VI. 9

COMPROBACION DE CONOS SOBRE TORNO. REGLAJES PREYIOS

g"

) 14) Un cono, que segun plano tiene 'ias siguientes medjdas: 0=32 miHmetros, d=24 mm y L=40 mm, se va 'a mecanizar POI' inelinaci6n del carro orienta'ble. Calcular:

a) 811 giro que se ha de dar it ila p'lataforma giratoria de dicho carro, 'en e1 supuesto de que la mecanizaciem se realice segun figuras

VI. 10, VI. 11 Y VI. 12;

b) en el supuesto de que la citada plataforma este provista de un nonius dobl. (en ambos sentidos de la linea cero) dividido en 10 partes, indicar cual sera la divisi6n del non ius que ha de coincidir con la divisi6n de la plataforma 'base.

Resoluci6n:

a) Para determinar el giro del carro orientable, hay que conocer, en primer lugar, el angulo del cono; su valor se determina de la siguiente forma:

I)..-d 32-24 8 0 1 tg il 2L 2X40 80 '

de donde:

EI angulo a girar el carro orientab!e'sera:

Caso 1~0 (fig. VI. 10):

b) En el caso de que 13 lectura final fuese 2,3, el valor del angulo girado en el carro orientable sera:

sen a= 2,3 =0,092, de donde 4a=5017' 25

esto indica que con la actual posicion del carro orientable construirfamos un cono con un error, por defecto, de:

e=543'-5 17'=-=0026'

) O

;. , 17) Se desea construir, sobre un torno paralelo; un cono cuyo angulo es de 10"; una vez girado el carro orientable con los grados citados, se controla su posicion, auxilicindose -de un mandril cillndrico, de igual forma como se hizo en el problema anterior, con la excepcion de que no se utllizo reJoj compariildor y en su lugar se apoyo contra el mandril la 'punta de la cuchilla montada sobre 101 torreta portaherramientas; en el supuesto de que, en estn condiciones, se desplace el carro orientable 50 mm, c:alcular:

a) el desplazamiento del carro transversal para que la punta de h, cue hill .. yuelva a tocar en la pieza;

b) el cingulo que se construiria, si el desplu'amiento del carro transversal fuese de 8,71mm;

-c ) c:uanto habria que incrementar el giro del carro orientable, para dbtener el cingulo correcto en lapieza.

Soluci6n:

a) 8,68 mm

b) 102'

c) -2'

18) Durante el proceso de ejecucion de un cono Morse, -numero 2, con agujero roscado, se procede a la verificacion del mismo mediante reloj comparador (fig. VI. 15). Calcular:

a) el valor de 'Ia c:onicidad y el cingulo del cono que se quiere construir;

b)

c)

la diferencia de lecturas que debe sena-Iar el reloj comparador, para un d~plazamiento de 50 mm del carr') principal;

e1 error angular del cono construido, si las lecturas del comparador, para el desplazamiento senalado, son de M' 3,28 mm y M=4,61 mm.

9a

Resoluci6n:

al Las dimensiones del cono Morse numero 2 son (ver formulario):

0=='17,780 mm

d= 14,533 mm

siendo la conicidad: L,:::;:64,OOO mm

D-d c 17,780-14,533 (;4 0,04995 == 1/20,020

EI angulo del cono se calculara de la siguiente forma:

tg a

-.-L-.

Fig, VI. 15

rresponde a

c 0,04995 2 0,024975, de donde

Fig. VI. 16

,.20) Ou.ranle 01 aCiYbadodRh"~anizaci6h de un cono Morse numercl A, ,c;ctn .Iengiieta de .a"astre, se proeede a su verificaci6n utilizando ,in cal~. cb. agujero c6nicoj sabiendo que, cuando eI cono esta tenni

. nado; til cil!li'bre debe' qV de1 cono (figura VI. 16), ca'iculor: .

a) la profundidad de pasa:da til radio que habra que dar para dejar ell cono a medida, en ell supuesto de que la . actual cota a sea de 8,72 mm;b,

b) en este ultimo easo (que a:::::: 8,72 mm), i cual_sera i el diemetro mayor del cono?

Salud6n:

a) p=O,088'mm

b) 0.=31,72 mm

F

) ~ ~. 21 ) En unapieza de 80 mm de diametropor 500 de longitud, se desea mecanizar, en su extremo, un co no euyo angu:lo es de 8, y su diametro menor, de 70 mm. Calcular:

a) el desplazamiento

transversal del

contracabezal pa

ra ejecutar dicho

cono entre pun

tos (fig. V: 17);

b) el angulo que se

construiria en la Fig. VI. 17

citada pieza, si se

diese un desp-Iazamiento transversal de 50 mm;

c) el desplazamiento transversa1 del contraeabezal, si se tuiiese en euenta la influencia de 'Ia penetracion de 'los puntos en 'los ce~tros c!':lla 'pie1'a, suponiendo que e1 diametro 'nominal de la broea'de los centros es de 3 mm;

d) el 'ngulo maximo que se podria construir, en esta pieza, por desplazamiento del contracabezal, en al supuesto de que el maximo desplal'alniento transversal de'l contracabezal sea de 40 mm.

100

- ._- "

Resalucion:

a) EI desplazamienta del cantracabezal se calculara por media dela" formula (14):

x=L. sen a=500Xsen 8=69,5 mm

b) Sienda x=50 mm, se pod ria escribir:

sen a=~=~=O,lL 500

de dande:

-

a) la diferencia de hicturas que debe sefi"lar el comparador, para que la posici6n de1 contracabezal sea correcta;

b.) el lingulo que se construir,a, silas lecturas

. del comparador fuesen M'=2,42 mm y M=5,26 milimetros, y, en este caso,

M Fig- VI. 18

~ 'or) c) el va'ior del desplazamiento de correccion que se ha de dar al con tracabezal, para construir el angulo deseado.

Soluci6n:

a) Una vez calculado el angulo del cono, se determina el valor de la diferencia de lecturas, auxiliandose del triangulo ABC, obteniendo una diferencia de lecturas de:

M-M' = 2,99 mm

b) Del mismo triangulo ABC se deduce el valor del angulo que, en realidad, se construiria, siendo este:

,----~, -,,-'"-'--'--'---- ~.,~::::::;

c)

a) la cora x a medir sobre cilindros, apoyados sobre el marmol de control (fig. VI. 24) j

b) la cota x' a medir sobre cilindros, apoyados so'bre ca'las;

c) eI angulo del cono, si las cotas medidas so'bre cilindros son x= =55,18 mm y x'=62,82 mmj

d) en eI supuestc c), det&rminar 1 diametro menor y mayor del cono.

Resoluci&!:

Primerar:ente se cc:ula el valor de: cingulo del cono, siendo este:

a D-

31 ) En el mismo problema anterior (numero 30) se desea cOllocer

el valor de los dhllY1etros mayor y menor, en el supuesto de q"e las lec

turas hechas sobre cilindros calibrados sean de x=58,3 mm y x'=62,85.

Soluci6n:

d=37,556 mm

D=44,092 mm

/.fJ~ 1-- 32) Se desea verificar un agujero conico, para 10 cual se mide la posicion de dos 'bolas (con relacion a una de las caras de la piKa) cuyos diametros son 12 y 18 mm, respe:::tcivamente (fig. VI.' 26). Calcular: r~

t \

\ I I

\~

,Ii\

siendo /)

. D'=2X8,9875= 17,977 mm

Conociendo el diametro 0' y el valor de la cota H, se puede calcular el diametro mayor O. Para determinar H, es preciso conocer

n=9.sen 2 53'=9 X 0,0503=

=0,4527 mm.

siendo entonces:

H = n +r + 11 ,32 = =0,452+9+ 11,32=

=20.772 mm

pudiendo dedJcir el valor del diametro mayor mediante la f6rmula:

0=0' +2. H .I."g a= 17,977+2X 20,772 X tg 20 53'= 17,977+2,082=

=20,05 mm.

- 33) Se desea verificar un agujero c6nico, utilixando dosbolas calibradas de 10 y 15 mm; introducidas estas en el agujero, las cotas medidas sobrebolas, con relaci6n ala cara fronta'l de lapiexa, son: 50,5 mm y 4,3 mm, respectivamente (fig. VI. 28). Calcular:

a) el angulo del conOi

las cotas que deben mec;lirse sobre bolas, si el dhrmetro mayor del cono es de 15,4 mm y e1 angulo de 2 30'.

Soluci6n:

a )

0) ".

*"34) 'Ell un agujero COniCO que tiene 100 mm de longitud y 80 de cingulo de cono, se introduce una bola de 20 mm de diametro, y 58 mide ~re ..a IIlna cota, con relaciOn a 'Ia cara Irontal de la pieu, de 40 mm. (.cidcular: , .1

a) ell ditiometro mayor del conoi

ib) d diametro menor del cono.

Solucl6n:

a) 'D=34,25I),1m b) d=6',14mm.

....'il

110

:.

CAPITULO VII

CALCULO DE LAS DIMENSIONES DE LAS ROSCA$ ,. ROSCAS TR IANGULARES

Rosca metrica, con perfil Sistema Internacional (S. I.). EI triangul,? generador es equiliHero, truncadopor dos paralelas a la base a V. de la altura, a partir de la cresta y de la base. Por consiguiente, .la altura del filete comprendido entre el truncado de la base y de la cresta es de 3/4 H (sienClo'H la altura te6rica del triangulo generador).

EI juego en la cresta y fondo de la rosca, entre tornillo y tuerca, no debe sobrepasar la 16.a parte de la altur,_ del triangulo generador, y es. ~ste el valor que, generalmente, se adopta en los fileteados realizadoi a torno. Por consiguiente, se tiene (fig: VII 1):

~ I I ""I -I ""I

p=paso

H=O,866. p (1)

f'=.!.H (a)4

.' :'"f= 13 H (3),16

Ir=-H (4)

16

111

t t EI juego en el fondo es de 1~ H, Y la mitad de este valor, para el

Rosca metrica con perfil Sistema Internacional modificado (I. S. A.). t juego en ia cresta del tornillo. Por tanto, podremos escribir:Este perm diilere del anterior (S. I.) porque aumenta el diametro interior

p=pasot de la tuerca, debido a que el trune"ado en fa base es de ..!. H, en lugart

t 16 H=O,866.p (9)

de ..!:!. (fig. VII. 2); esto permite un radio mayor en el fondo de fa rosca t 8 f=E H (tornillo) ( 10)del tornillo. 24t It Para los juegos en cresta y fondo, adoptaremos el rriismo. criterio que f = ; H (tuerca) (10 bis)t se siguio en la rosca

S, I. En consecuencia,t "obtendremos: f'-~H ( 11 )-8

It

p=paso 1r=-H (12)It H=O,866. P (5) 6

t ...., T--u7'~"~~'''fA'//S&S~~~~ .... /. 3 Rosca Whitworth. EI triangulo generador de este perfil es isosceles,f=-H (6)4 con un cingulo en la cresta de 550 (fig. VII 4). Tanto la cresta como el

ROSCAS TRAPEZOIDALES

Rosca trapezoidal Metrica. EI filete es engendrado por un trapecio 1171 is, isosceles con

2

. Siendo cl vulor de los juegos a y b en la cresta y fondo, respectiva. lmente, asi como el radio r, los proporcionados por la siguiente tabla:

Tornillo sinfin. EI tornillo sinHn puede ser considerado como una rosca de perfil trapecial. Su perfil y dimensiones se determina 0 calcula

Paso en mm 3

-4 S 6

-8 10 12 16 20

-0,50

-1,50

I I

Valor de a y r

0,2 0,25

-0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50

-1,50Valor de b

J

0,3 0,50 0,50 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75

de acuerdo con las bases que rigen el c,Hculo..de engranajes. Por consi~uiente, sus dimensiones estan expresadas en funci6n del modulo m y del diametro primitivo d p

1"~-

Forma y dimensiones de un tornillo sinHn. EI perfil normal que corres' ponde a la seccion AB (fig. VI L 7) de un tornillo sinHn coincide con el de una cremallera de dientes rectos que tenga el mismo modulo' que el tornillo sinHn. La linea primitiva m--n en la cremallera. tiene su corres pondencia en la que determina el diametro primitiyo del sinHn; por tanto, podremos establecer las siguientes relaciones (fig. VI L 8):

CI.. - P"

Fig. VII. 5

" Rosea trapezoidal ACME. EI filete es engendrado por un trapecio isos

celes, con angulo de flancos de 29. EI diametro nominal (diametro exte

rior del tornillo) se c:

~ EJERCICIOS DE CALCULO DE DIMENSIONES DE ROSCAS~

~

~ 1) Se desea eonstruir una rosea Sistema Internacional M-36 por~

4 mm de paso. Calevlar: I a) profundidad de la rosea; A

I b) diam. del nucleo del tornil1oi

c) diam. del nueleo de la tuercai

d) diam. exterior de la tuereai

c) dhimetro medio te6rieo del tornillo y tucrca;

f) radio ~n los fondos del tor~ nillo y tuerca.

a) La profu ndidacl de I a rose a es t fig. V II. 9):

a P 1,732 entradas) (25) AC = H = BC . cotg -=-. eotg 300 . P=O,866 P

2 2 2

de donde: (26) \ H H 13 13

f=H-(-+-)=-H=-.0,866 P=O,704 P=O,704X4=2,816 mm : ancho normal en 81 fon 8 16 16 16 do dd hueco ......... 11=0,733 m (27)

b) EI diametro del n!icleo del tornillo sera: ancho normal en la cresta del mete ... h=O,842 m (28) dn =d-2f=d-2xO,704 P=d-l,408 'P 36-1,408X4=30,368 mm

ancho axial en el fondo O,733.m e) Para ealeular el diametro del n0c!co de la tucrca, interesa calcular d.l fllete .......... .. 1'1 (29) primero In profundidad de apoyo f', siendo esta:cos b

encho axl.1 en 1. cret- , H 1 3 30,842. m f H-2-=H--.H=-H=--XO,866 P=O,65 P=O,65x4=2,6 mm t. de1 filete ........ . 1'2 (30) 8 4 4 4

cos bpaso de la hence (a .,tener en cuenta para de donde se deduce que: 1t.m.n roscar en el torno) 'Ph='Pxn= (31) Dn =d-2f'=d-2XO,65 P=d-l,3 P=36-1,3X4=30,8 mm,cos b 'ngulo de flancos en ax 'tg 20 c1) EI valor pra'ctieo del diametro exterior de la tuerca es: la sKci6n axial ..... . t9-=---- (32)

2 cos b H 1 1

D=d+2-=d+-H=d+-XO,866 P=d+O,108 P= NOTA: Cuando el sinHn es de una entrada 0 de dos, pero con un paso 16 8 8

muy pequeno, se puede prescindir de dividir por cos b en aquellas f6rmu

=36+0,108X4=36,432 mmlas que intervenga..

117 116

It

II It

angul0 del ftlete ..... .

, paso axial ..............

..... ~

sen b pn.n

1t. dp

Px P'n

cos b

(n=-n.O m

dp

']t'.m eos b

c p

(Fig. VII. 9) o!;D.1 llt

Resoluci6n:

e): EI diametro medio te6rico es igual para la tuerca que para el tornillo, y su valor es:

Dm=dm=d--f'=d--O,65 P::.:36--0,65X4=33,4 mm

f) EI valor del radio en el fondo es:

H O,866P

r 0,054 P=O,054X4=O,216 mm

. 16 16

2) Se desea construir una roseametrica de perfil triangular, Sistema . Internacional M16 por 2 man de paso. Ca'ieular:

a) profundidad de -Ia rosea;

b) diametro del nudeo del tornillo;

c) diametro del nuellM) de la tuerea;

d) diiimetro exterior de la tuerea;

e) dhrmetro -medio te6rieo del tornillo y tuerea;

f) radio en el fondo de la rosea.

Soluci6n:

a) f=l,408 mmi b) dn =13,l84 mm; c) Dn=13,4 mm;

d) '0=16,216 mm; e) dm =Om=14,7 mmi f) r=O,l08 mm

3) Un tornillo tiene rosea Imetriea con perfil triangufar ISA, de M36 ,por 4 mm de paso (figura VII. 2). Calleular:

.) profundidad de la rosea;

b) diametro del nudeo del tornillo;

c) diametro del nudeo de la tuerea;

d) diametro exterior te6rieo de 1. tuerea;

e) diametro medio te6rieo del tornillo y tuerea;

f) radio en el fondo de la rosea;

Soluci6n:

a) f=2,6 mm b) dn =30,8 mm c) Dn =31,238 mm

d) D=36,43 mm e) dn =Dn =33,40 mm f) r=O,44 mm

118

,!.~, ~.

.,'

~.

,:t

.* .'.'

4) Un tornillo tiene rOsea ISA de M16 (paso 2 mm). Calcular:

a )aftura del flfete (profundidad de rosea);

b} diirnetro del nueleo del tornnlo;

e ) dimetro 'lTl8Ciio.

Soluci6n:

a) f=l,3 mm b) dn =13,4 mm c) dm =14,7 mm (Revalida de Oficialla, junio 1962)

5) Sa desea c:onstruir la rosea metriea de perfil triangufar ISO: M-48 por 4 mm de paso. CMcular:

) la profundidad de rosea;

b) dimetro del nuc'leo del tornillo;

c) diemetro del nuc::leo de la tuerea;

d) diiimetro medio;

e) radio en .1 fondo de la rosea;

Soluci6n:

a) f=2,454"mm b) d n =43,093 mm c) On=43,67 mm

d) dm=O =45,402 mm e) r=O,576 mm

6) En una rosea Whitworth, dE: W ~~ Y que tiene 10 h", calc"'.r:II

a) profundidad dela rose.;

b) diametro te6rieo delnuc'leo del tornillo y tuereai

c) diametro te6rieo lmedio deltornil'lo y tuerca;

d) radio en flos fondos de la rose.

Soluci6n:

a) f=1,62 mm b) dn~On=15,799 mm

c) dm=Om= 17,425 mm d) r=0,35 mm

7) Se quiere eonstruir una rosea trapezoidal metriea, de dhimetro 50 por 8 mm de paso. Cale..,lar:

119

,.. ) profundldad de la rosea; .t~

Ir_b' .d.metro del nlieleo del tornilloi Soiuci6n:"'~~' c) . dl'metro del nueleo de 'Ia tuereai '. ':'.'

". a) h=:6,48 mmd) diametro exterior de la tuereai , . f'~' I'" b) en=4,71 mmf; 'c) 1'1=2,2 mme) diametro medio de la rosea. ~:';' d) b'=2,53 mm

e)

Fig. VIII. 1

CAPITULO VIII

TOLERANCIAS Y MEDIC10N DE ROSCAS

(Formul~rio )

Fund.memos. La tolerancia fundamental establecida por la G. P. E. (y por el sistema ISA) se refiere al diametro medio del acoplamiento rpscado, teniendo igual toleranda la tuerca que al tornillo, y ambas parten del

perfil te6rico de fa rosea (figura VIII. r), 10 que equivale a un ajuste H/h, en el sistema general de toleraAdas ISA. Si se desea un acoplamiento con juego 0 aprieto, sa adopta el criterio del agujero unico, 8S dedr, se desplaza la. tolerancia en el tornillo.

Uni_d de toleranda. La unidad de toleranda para roscas, estableeida por Is G. P. E., es:

i=67V;; (micras) (1) Siendo p el paso de la rosca.

Calidad~s establecidas. Los grados estllbleddos de 18 calidad de la rosca 30n tres:

Calidad precisa, cuya toleranda es t = i; eorrespondiente a un grado de aeabado obtenido por meeanizacion cuidadosa.

Calidad media, euya tolerancia es t= 1,5 i, obtenida por mecanizadon levantando viruta.

CaUdad ordinaria, que Ie corresponde una toleraneia t = 2,5 i; la rosca es obtenida por laminaeion (tornilleria negra),

En la tolerancia asi calculada, va inc1uida la tolerancia propia de la fabricadon, la tolerancia debida al error angular del perfil y la tolerancia por error en el paso.

Mediei6n del dia.metro medio de las roseas. Los procedimientos de

122

.

taller empleados para medir el diametro medio de una rosca son:

I'Yledicion con micrometro de palpadores en V (figuras VIII. 2 Y VIII. 3);

.medicion con mierometro de palpadores de varitlas (fig, VIII. 4).

Fig. VIII. 2 Fig. VIII. 3 Fig. VIII. 4

Cota a medir con fil micr6metro de palpadores en V. Esta Clase de micr6metros proporciona la l~ctura del valor real del diametro medio directamente; estando determinado el valor te6rico del mismo por medio de las f6rmulas:

dm =d--O,65.p (para las roscas metricas de perfil t:-iangular) (2)

dm =d--O,64.p (para la rosea Whitworth) (3)

Medici6n por medio de varmas ea'librada~. Este metodo proporcioha una mayor precisi6n en la medicion. Para lIevarlo a cabo, es necesario utilizar varillas cuya diametro sea proporcional al paso de Ie rosca.

Dh,metro de varillas. EI diamatro de varillas (figs. VIII. 5 Y VIII. 6) se caleula por medio de la,siguienta formula:

p (4) .de ='2""705 '

123

Fig. VIII. 5

fig. VIII. 6

de ,Ia misma.en la que p es el paso de la rosca, y .q:., et semiangulo Para las roscas triangulares con 2-4:tt=600, se tiene:

(5 )de =0,577 .p , .p

y para las roscas Whitworth (2-4:.=550 ), es:

de =0,564 . P // to b :: rfd'UA,(6)

Cota C amedir sobre varillas (flgura VIII. 7). EI valor de la cota te6rica a medir sobre varillas, para las roscas que no requieren extremada precision (roscas patron), se calcula por medio de la f9rmula:

tf

1 PC=dm +dc (1+ )--.cot9 . (7) sen a 2

Fig. VIII. 7 de donde se deduce el valor del diametro medio, en funcion de la cota C medida, es decir:

(8) sen a

Et metodo y formulas son aplicables, tanto a las rescas de perfil trlungular como a las de pe'rfH trapezoidal.

124

PROBLEMAS SOBRE TOLERANCIAS Y MEDICION DE ROSCAS

#1J" t 1 ) Se desea mcdir el diametro medio de una rosca de perfil triangular M36 por 4 mm de paso, elaborada en calidad media,' utilizando un micrometro con palpadores en V. Calcular:

a} la tolerancia de la rosca al diametro medio;

b} la cota te6rica a senalar por el micrometro;

c} entre que Iimites debe estar comprendida la 'Iectura del micr6metro.

Resolucion:

a) Lo uriidad de tolerancia para el paso de 4 mm, segvn formula (' ) del formulario, es:

i=67 yp=67 'v'4=67 X 2.= 134 (micras)

, slendo la tolerancia al diametro medio para la calldad senalada: t= ',5i= l,5X 134=200 (micras)

b) La cota te6rica de! diametro medio es (formul,a 2):

dm =d-O,65. p= 36--0,65 X4=33,4 mm

, c) Los volores extremos que puede senalar el micrometro son:

t

Tornillo: Lm

I Soluci6n: Soluci6ri: a) t=94 micras a) ds = +0,012 mm (para el tornillo) b) d =14,7 mm d l =.-:....o,l04 mm (para el tornillo)

m c) Lmb=14,7 Mm. Lmln=14,6 mm di=O (~ara ,Ia tu~rca)

ds =+ 116 micras (para la tuerca) 3) -en lamedicion de una rosea tri:mgular metrica fina de M20 pOT b) Lmax=22,062 Mim; Lmn=21,946 mm

1 mm de paso, el micrometro de palpadores en V senalo unalectura ~

19,29 Mm. Indiear 5i la rosea esta dentro detolerancia 0 no, en el

supue5'to de que 1amecanizacion sa rea lice en caUdad precisa. f. :,; *' 6) 58 desea medi,. por ~I procedimiento de 1as varillaslt fa rosea de

peril 1riangU'lar M-72 por 6 mm de paso, mecani%ada en ca1idad preclsa Soiuci6n: Ca'fcUlar:

Esta dentro de tolerancia a) e1 dhimetro ideall de varilla a emp1ear, en el supuesto que .1 di'metro de estas aumente de 0,5 en 0,5 mtn;

p':} 4) EI ajuste entre un tornillo y una tuerca, con rosca de perfil trian b) 'Ia cota te6rica a medi~ soIbre varnlas;

gular M-24 por 3mm de paso, tiene que garantizar un juegominimo de c) 'Ia cota maxima y minima que es posible rnedir sobr. varillas.0,08 mm. Salbiendo q.ue la mecanizacion sa hace en caUdad fina, calcular:

a) 'Ias diferencias de referenda correspondientes al dii\metro medio Resoluci6n: del tornillo y de la tuercai

a) Por tratarse de una rosca metrica, el diametro de vari1la se deterla Iechlta '!'axima y minima que P~ sana'iar un micrometro deb) mina directamente por medio de la f6rmula (5), siendo:pa'lpadores en V,. al efeduar lamedicion de a'm~bos elementos. dc =0,577 . p=0,571X6=3,462 mm, adoptando 3,5 mrn

Soluci6n: b) Para determinar la cota C a medir sobre varillas, se calcula pri

a) tornillo: d i=-196micras meramente el valor del diametro medio dm y a continuaci6n se aplica la f6rmula {7} del formulario, obteniendo: d. =~O micras

dm=d--O,65.p=72-0,65X6=72-3,9=68,1 mmtuerca: dj=O

d.=+"6 micras por tanto:

1 6b) Lmh:=21,97 mmi Lm1n =21,854 mm para el tornillo C=68,l +3,5{1 +()o) --2 cotg 3()o=68,1 +3X3,5-1,73205X3= . sen 3 Lmb =22,l66 mmi Lmln=22,05 'mm para la tuerca =73,404 mm.

\ , c} Siendo la to!erancia al diametro medio:J Y 5) EI ajuste .entNun tornillo.y una tuerca, con rosea de ,perfil trlan~ uJoj) giJlar .M~ por 3 mm .. paso, tiene que g,ara!'tizar un aprieto maximo t=i=67yp=67y6::=160 mieras,

de 0,012 mmi Slabiendo que la mecanizac10n se hace en caUdad precisa, calcUlar: los valores maximo y mlnimo a medir sobre varillas 'seran:

a) lac ~en.ias de ....f...enda correspondientes a'i diametro medio Lmb = 73,404 mm

del Itornnlo ~ .,. tuerC8i

Lmfn =73,404-:-O,160=73,244 mm 1} I. lectUl"ll ""ma y mfnima que puede seiialar. un micrometro

de peltpado.... en Vi para e1 ternitlo.

127

126

I

,, ~I '\-:'} 7) Sedesea medir, apUcando el procedimiento de 'las varillas, una '~ rosc. de perfil triangular W-2" (4% hilos por pulgada). Cakular:

a) dbimetro de variJIa ideal a emplear, sabiendoque se dispone de las siguientes varillas: 1,1, 1,35, 1,65, 2,05, 2,55, 3,2, 4, 5,05 Y 6,35 mmi ..

b) la cot a teeriea a medir sobre varitlas;

Soluci6n:

a) dc:=3,2 mm

b) C=51,293 mm

f I't.)f 8) La cota C me:lida sabre varillas de 2,5 mm de diametro, que ape, yan en los flancos de una rosca de perfil triangular M-36 por 4 mm de

paso, es de 37,40 min. Sabiendo que la rosea esta ejecutada en calidad precisa, calcular:

a) el di

CAPITULO IX

CALCULO DE RUEDAS A COLOCAR EN LA LI RA DEL TORNO

PARA ROSCAR

(Formulario)

'Roscado en tornol que carecen de caja de roscados. Para calcular las ruedas que se han de colocar en la lira, en este caso, se seguin} la

To siguiente regia: La relaci6n entre las ruedas o --r-- conductoras y 'las receptoras ha de ser igual

a la relaci6n entre el paso a construir Pc YbB el paso :Ph del 'husillo 0 eje de Tosc:ar, 0 sea -- .~ (fig_ IX. 1):

Pc a b (ruedas conductoras)--rt ci-c

--;:;;;-:= c d (ruedas receptoras)

Fig. IX.

Orden a cSeguir para calcular el tren de ruedas:

a) Establecida la relad6n ~, se transforma en otra de terminos Ph

enteros;

b) Se reduce la fracci6n asi obtenida, a su mas simple, expresi6n, es decir, numerador y denominador han de ser primos entre sf;

c) Se multiplica el numerador y denominador de esta ultima frac ci6n irreducible, por un numero apropiado, de tal forma que los produc. tos obtenidos coincidan con ruedas intercambiables de que disponga la maquina;

d) Se comprueba que el tren de ruedas asi determinado no ofrecera dificultad material para realizar su montaje en la lira de la maquina; al efecto, se tienen que cumplir las deslgualdades siguientes;

c

1.0 2. 3. 4. 5.Orden de c0ciente~ ........................

Cocientes ................. ~.* !.................... 1 31 ~ ~ 14 1'767 60 3'Dividendos Y divisores .........

II.; 1 67 4 3Restos ..............................

0 l 1 ..ci 10/ 19 67 Reduddas ..........................................~ T 8 9' 17 60T 0

1.- 2.- 3.- 4.- 5.-Orden de las reducidas .. ...... .. 1

valor 25,4 de la pulgada 0 del ;~umero 3,1416 pueden ser sustltuldos estos valores por