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1
Instituto Nacional de Astrofísica Óptica y Electrónica
METODOS DE MEDICION DE RADIOS DE CURVATURA MAYORES A 1 m, DE
SUPERFICIES OPTICAS CONVEXAS Y CONCAVAS.
(Una aplicación para el espejo secundario del GTM)
Alejandro Cornejo Rodríguez, Fermín Granados Agustín, J. Daniel Sacramento Solano.
REPORTE TECNICO No.233
OCTUBRE 2002
2
METODOS DE MEDICION DE RADIOS DE CURVATURA MAYORES A 1 m, DE SUPERFICIES OPTICAS CONVEXAS Y CONCAVAS.(Una aplicación para el espejo secundario del GTM)
Alejandro Cornejo Rodríguez, Fermín Granados Agustín, J. Daniel Sacramento Solano.
INAOE
1. Objetivo.- Medición de la superficie del Espejo Secundario del GTM, y otras
superficies convexas o cóncavas cuyos radios de curvatura sean mayores a
100 cm.
2. Antecedentes.- Varias propuestas se han hecho para la medición de los parámetros
de diseño de la superficie del secundario del GTM, cuyas características son:
figura convexa hiperbólica );14269.1( −=k radio de curvatura paraxial de
cm5.176 ; diámetro de cm0.260 . Por ejemplo, algunas de las propuestas han
sido: Uso del esferómetro óptico clásico1,2, medición por interferencia con
subaberturas3,4, empleo de aforadores. Pero revisando la literatura, también se
ha encontrado como un problema importante a resolver, la medición de radios
de curvatura de superficies ópticas, con valores que rebasen los 100 cm, e
independientemente si las superficies son cóncavas o convexas.
3. Propuesta.- Tener un método más de medición de radio de curvatura, al cual recurrir,
para que en su momento pueda emplearse, y combinarla con las mediciones
de los diferentes métodos. El informe presente está basado, y ampliado en sus
aplicaciones, en ésta primera parte, en el trabajo de Yang Xiang5, que
denomino sistema de retrocolimación.
3
4. Ideas básicas involucradas: Para comprender más el trabajo de Xiang, se presentan
varios aspectos técnicos, que los autores consideran básicos, para comprender y
después poder aplicar con éxito el método de Xiang. Por ello, en ésta sección se
describen temas como: el esferómetro óptico, la interferometría tipo Fizeau y sus
patrones, y la ecuación paraxial de Newton para lentes delgadas.
4.1. Esferómetro óptico.- Entre los equipos existentes, comerciales o construidos
institucionalmente, para medir radios de curvatura de superficies ópticas reflejantes,
se encuentra el que se conoce como el esferómetro óptico1. El instrumento
básicamente permite determinar las posiciones del vértice )(V , y el centro de
curvatura paraxial ( )cc. de la superficie, y medir por algún método la distancia
entre ambas posiciones. Esta medición de la distancia entre el vértice y el centro de
curvatura se puede realizar con: a) Una escala instalada en un banco óptico, con o
sin Vernier; b) Un micrómetro de interiores, c) Un interferómetro adaptado al banco
óptico, con su respectiva escala de medición.
Por la forma en que se determinan las posiciones de V y el cc. , de la
superficie óptica, cóncava o convexa; se presentan ciertas restricciones para los
valores de los radios de curvatura que se desean medir. En la mayoría de los casos
se pueden medir, sin problema alguno, valores de radios de curvatura entre,
digamos, unos 5 a 50 cm. Para distancias mayores, es necesario hacer algunos
cambios en la óptica que se emplea para localizar, V y el ..cc (Ver, Fig. 1). En esa
misma figura se ilustra como la imagen, 'F , de una fuente puntual F primero se
4
superpone sobre el vértice de la superficie, convexa en este caso; de tal forma que
la imagen se “autorefleja”, y puede observarse en la posición marcada como ''F .
Cuando esto último ocurre, entonces se ha localizado la posición del vértice, y se
registra dicha posición de alguna forma. A continuación, la superficie o el sistema se
desplazan para localizar el centro de curvatura ).( cc , de tal forma que para la
posición 2, significa la coincidencia de 'F con el ..cc ; nuevamente se produce una
autoreflexión, que produce la observación de 'F en ''F . Determinándose la
posición, en esta forma, del ..cc ; con ello se procede a medir la distancia entre V y
el ..cc Cuando la superficie es cóncava, se sigue un procedimiento similar;
garantizando la autoreflexión de los rayos al encontrar las posiciones de V y el ..cc
Las mayores restricciones para realizar estas mediciones, ocurren para las
superficies convexas, porque dependiendo de las características de la superficie a
medir , se requiere de un equipo formador de la imagen de F , es decir, 'F ; tal
que no se vea obstruido en su posición, por la misma superficie que se va a medir.
Es decir, su distancia de trabajo para producir 'F debe ser larga o corta, lo que
implica tener dos sistemas. Si la superficie tiene radios de curvatura mayores a los
mc50 , el sistema óptico para producir la imagen de la fuente F , se vuelve
problemático.
5
Lo descrito en el párrafo anterior, se puede resumir en términos de la medición de
21PPr = , que implica conocer las posiciones del ..cc y el V .
4.2. Interferometría.- Si se desea tener mayor precisión en fijar las posiciones de V y
..cc , el sistema de iluminación de la Fig. 1 se puede substituir por un arreglo
interferométrico6. En este caso, en lugar de observar la imagen 'F , de la fuente, el
filamento, o algún tipo de retícula; se observa el patrón de interferencia producido
por el haz reflejado en la superficie bajo medición, y el haz proveniente de la
superficie de referencia del interferómetro6 . Este último interferómetro puede ser,
por ejemplo, del tipo Fizeau o Twymann-Green6. Con el arreglo empleando un
interferómetro, se puede garantizar una mejor precisión en la determinación de las
6
posiciones para V y ..cc Este es uno de los aspectos más importantes, en la
propuesta hecha por Xiang.
4.3. Ecuación de Newton para lentes delgadas7:- Como se verá en la siguiente sección,
en la aplicación del método de Xiang, se emplea la ecuación de Newton para lentes
delgadas, expresada como
;' 2Lfxx = (1)
donde x es la distancia entre el objeto y el punto focal anterior de la lente, 'x es la
distancia entre la imagen y el punto focal posterior de la lente, y Lf es la distancia
focal de la lente.
Como se muestra en la Fig. 2. La diferencia esencial entre la ecuación de
Newton, y la ecuación más convencional para lentes delgadas, expresada en
términos de las distancias del objeto y su imagen a la lente, l y 'l , respectivamente;
es que en el caso de la ecuación de Newton, las distancias del objeto e imagen se
miden a partir de los puntos focales anterior ( )F y posterior ( )'F , ver Fig. 2.
5. Método de Xiang Yang5.
5.1. Concepto básico: El punto de partida para el método llamado de retrocolimación
por Xiang, es la medición que se hace de las posiciones del vértice ( )V y centro de
curvatura ( )..cc , por medio del cambio de posición de una lente, 'L , (Fig. 4). La
7
lente L, que recibe un haz colimado, ver Fig. 3, posiciona el punto focal, 'F , sobre
el vértice de la superficie bajo medición. Posteriormente, sobre el centro de
curvatura 'O se superpone 'F , Fig.4, con un cambio de posición del punto
0FF = de la Fig.3, hacia el punto O , de la Fig. 4, al desplazar la lente 'L (Fig. 4).
Este último desplazamiento permite conocer, experimentalmente, el valor de la
distancia x mostrado en la misma Fig. 4. Como el valor que se quiere conocer es el
de r , que corresponda a la distancia 'x , entonces a partir de la ecuación 1 se
obtiene,
xfrx L2
curvaturaderadio' === . (2)
8
Resumiendo, se tiene que con los arreglos de las Figs. 2, 3 y 4; además de emplear
la ecuación de Newton, para encontrar el valor del radio de curvatura, r ; él método
aquí analizado permite medir r para superficies cóncavas con el punto O a la
derecha de F ; y para superficies convexas con el punto O a la izquierda de F ,
en referencia a la Fig. 4. La designación del método como de retrocolimación, es
porque los haces reflejados para las posiciones ( )'FV y ( )'.. Occ producen siempre
que el haz incidente inicial está bien colimado, regrese por la misma trayectoria y en
ese mismo estado de colimación. En lo que sigue, se describe el método
experimental basado en la interferometría, para garantizar que en efecto el haz que
retorna permanece colimado.
5.2. Implementación experimental
5.2.1. Teoría. A continuación se describirán los aspectos teóricos y experimentales de la
propuesta de Xiang.
Para emplear la ecuación de Newton, para calcular r a partir de conocer Lf , y
haber medido experimentalmente x ; la concepción del esferómetro óptico clásico
tiene que ser modificado para emplear una lente adicional, con la cual se pueda
conocer la posición de ..cc Pero además, como solía hacerse en el pasado
también, las dos posiciones de interés, como son las de V y ..cc , ellas se
encontrarán empleando interferogramas para localizar tanto el centro de curvatura
como el vértice, y así tener medidas, precisas, de dichas posiciones
( )'(),(' FVccO . Una ventaja adicional muy importante al insertar la lente adicional
y desplazarla, es que se pueden medir radios de curvatura largos.
9
5.2.2. Arreglo Experimental.
Los divisores de haz, 1DH y 2DH , de la Fig. 3, tienen las funciones siguientes.
=1DH Desvía el plano de observación de los interferogramas al plano localizado en
'A .
=2DH Transmite los frentes de onda, y “produce” el frente de onda de referencia,
para producir los interferogramas que permitan medir las posiciones del vértice
y centro de curvatura de la superficie bajo medición.
10
5.2.3. Procedimiento.
a) Se coloca la lente L , con su punto focal 'F , coincidiendo sobre el vértice, V , de la
superficie S . Observando el interferograma obtenido con el reflejo en V , y la onda
de referencia, de 2DH ; se produce un proceso de autocolimación (ver Fig. 3), y por
tanto un interferograma en 'A . Consecuentemente se conocen las posiciones de
V , y de la lente L .
b) Para determinar el ..cc , se realizan los siguientes pasos, con referencia a la Fig. 4.
Para determinar el punto focal anterior de L , o sea 0F , y a partir de esa posición
poder medir la distancia x de la ecuación de Newton. Entonces se introduce, en el
arreglo, la lente 'L y el espejo E , y se ajustan las posiciones de los focos LF y 0F ,
de la lente 'L ; cuando ésta última posición se logra, se obtiene nuevamente una
posición de autocolimación, al reflejarse el haz en el espejo E , produciéndose así
un interferograma en 'A . Con esto se logra determinar el punto focal anterior LF , y
el punto focal 0F de 'L , que será el punto de referencia para medir la distancia ,x
de la fórmula 2.
c) Para poder encontrar el valor de r , basado en la medida de la distancia x ; se
procede de la manera siguiente: se retira el espejo E del arreglo, y se ajusta la lente
'L con su punto focal (objeto) ahora en O . Se obtendrá un haz de luz autocolimado
para el arreglo de las dos lentes y la superficie que se está midiendo, cuando se
logra la coincidencia de 'O , imagen de O , con el ..cc (ver Fig. 4). Nuevamente un
interferograma es observado en 'A , se ajusta con el número mínimo de franjas para
garantizar una retrocolimación correcta. El desplazamiento de la lente 'L , con
11
respecto a su posición definida en el inciso b), permite conocer la distancia x , y de
esta forma se puede calcular el radio de curvatura, r , de la superficie, empleando la
fórmula de Newton, ecuación 1, para lentes delgadas.
6. Cálculos para el espejo secundario del GTM.- A continuación se llevarán a cabo
algunos cálculos, a tercer orden, para conocer cual sería el arreglo experimental que
se debería diseñar para el espejo secundario del GTM, con especial énfasis en la
sección de las lentes L y 'L , y en sus respectivas distancias focales, que sean las
más adecuadas, y mostradas en la Fig.4. Entre otros datos, la distancia D , de la Fig.
4, reviste capital importancia para diseñar un sistema compacto para poder aplicar el
método de medición propuesto por Xiang, y en función de los parámetros de diseño
del espejo secundario del GTM.
12
a) Medición del radio paraxial del GTM, con cmr 5.176≈ , cm260diámetro ≅ , y
constante de conicidad )14269.1( −=k .
A partir de la fórmula paraxial para lentes delgadas9, y tomando como referencia la
Fig. 4, se puede escribir
LL ffrfll111
'11
−+
=−= . (3)
donde =l distancia objeto lente, ='l distancia imagen lente, y Lf distancia focal de
la lente, y r es el radio de curvatura a medir.
Suponiendo diferentes valores para las distancias focales de las lentes L y 'L ,
que se consideran tienen el mismo valor, y empleando la ec. 3, se obtuvieron los
resultados de la siguiente tabla 1.
Tabla 1.
Valores para las distancias focales de las lentes del esferómetro óptico
modificado, que pueden emplearse para el espejo secundario del GTM
( 5.176=r ; diámetro=250 cm)
Lf l x D~
100 156.25 56.5 350
50 64.10 14.10 165 Unidad: cm
40 49.02 9.02 130
30 35.09 5.09 96
13
25 28.57 3.57 80
20 22.27 2.27 65
De la tabla anterior, es evidente que para valores grandes de Lf , la distancia D
también es grande, lo mismo que el desplazamiento x de la lente 'L de la Fig. 4.
Una propuesta sería considerar valores de Lf menores a 30 cm, que garantizarían
un arreglo dimensional compacto, con valores de D menores a 100 cm. Es decir,
tener un sistema como el de la Fig. 4, con una longitud, D , comprendida entre 96 y
65 cm (Ver Tabla 1 con flechas indicadoras).
b) Medición de los radios de curvatura zonales.
Si del resultado del inciso a), y de la tabla 1, consideramos 30=Lf cm, como punto
de partida para conocer los valores de x , que permitan, a su vez, conocer tanto el
radio paraxial, como los valores de los radios de curvatura zonales del espejo
secundario, recordando que la superficie del espejo secundario del GTM es
hiperbólica. En la tabla 2 se muestran los resultados obtenidos para la distancia x ,
que se desplazaría la lente 'L , para cuatro zonas del espejo convexo del secundario
del GTM, con sus respectivos valores de S, distancia al eje óptico, que corresponden
a los valores de radios de curvatura zonales Zr .
14
Tabla 2.
)(cmS )(cmrZ x(cm)
25 182.95 4.92
50 201.64 4.50
75 234.69 3.88
100 282.15 3.23
Como se desprende de la tabla 2, el intervalo para las distancias x por medir no
rebasan los cm5 ; que implica poder usar un micrómetro para tales mediciones.
Garantizando, por otra parte, que las lentes L y 'L sean de suficiente calidad para el
experimento planteado.
7. Método Interferómetrico de Newton.
Una propuesta adicional a la descrita en los incisos anteriores, pero
considerando el método interferométrico de Newton; es medir, zonalmente, los radios
de curvatura del secundario del GTM, usando placas patrón con los radios de
curvatura correspondientes a cada zona; y, obviamente, usar los famosos “anillos” de
Newton para los diferentes radios de curvatura zonales, Zr de la superficie. Es decir,
15
los patrones de interferencia del interferómetro de Newton permitirán medir los radios
de curvatura para cada zona del secundario del GTM.
La propuesta, en este caso, es construir, por ejemplo, al menos 25 placas patrón,
con diámetros de 2.5 cm., cada uno. Y medir los radios de curvatura de cada placa
patrón, que tienen valores mayores a 100 cm, con el método aquí revisado y
propuesto por Xiang.
CONCLUSIONES.
1. Es factible usar el método revisado, directamente sobre la superficie. Para ello se
podría construir un sistema “doblado” y aún más compacto del que corresponde a
un cmf L 30= . Las lentes del arreglo experimental y demás componentes podrían
tener diámetros de 2.5 cm a 3 cm. o menores si así se desea.
2. El mismo sistema de medición de Xiang, se puede emplear para construir las placas
de prueba patrón, para observar y medir los anillos de Newton; considerando los
radios de curvatura zonales Zr de la superficie del secundario del GTM. Cuyos
valores en términos de radios de curvatura, van desde .86176 hasta 79363 cm. .
3. Como ejercicio, entrenamiento, y “entretenimiento”, se pueden empezar a hacer
algunas de las placas patrón, para el punto 7 de éste reporte.
4. En el apéndice I de éste informe, está un análisis detallado de la precisión y errores
intrínsecos en el método de retrocolimación de Xiang.
16
8. APENDICE
Análisis de precisión para el método de Yang Xiang.
Es importante hacer un análisis de la precisión que se puede alcanzar con el método
“Focus retrocollimated interferometry for long radius of curvature measurements” de
Yang, este análisis permitirá determinar las fuentes de error del método y conocer la
incertidumbre relativa del radio de curvatura medido, en función de los diferentes
parámetros que se miden.
Partiendo de la ecuación (2) para calcular el error del radio de curvatura en función de
la distancia focal de la lente, la posición del objeto y el error de foco debido a un
posicionamiento incorrecto de la imagen puntual de la lente L sobre el vértice de la
superficie S, se tiene el siguiente resultado
llrx
xrf
frr LL
δδδδ∂∂+
∂∂+
∂∂= , (4)
donde
. y 22
2
xf
xr
xf
fr LL
L
−=∂∂=
∂∂ (5)
Para calcular el ultimo termino de la ecuación (4), se usa la ecuación (3) expresada
como
.',11'1
L
L
l
L
L fllfl
lffl
lfl +=∴
+=+= (6)
Pero de la ecuación (2) se tiene
17
,,'L
LLL fl
lffrfrl+
=+⇒+= (7)
por lo tanto
.12
L
L
L
LL
LLl
L
L
flf
flff
fllff
fllfr
+−=
+−=
−
+=−
+= (8)
Para conocer el efecto de un error en la posición l, de la lente con distancia focal fL, se
calcula
( ).2
2
L
L
flf
lr
+=
∂∂ (9)
Sustituyendo las ecuaciones (5) y (9) en (4), se tiene
( ).2
2
2
2
2
lflfx
xff
xfr
L
LLL
L δδδδ+
++= (10)
De esta forma el error relativo se expresa de la siguiente forma
( ),2
2
2
2
2
lflrfx
rxff
rxf
rr
L
LLL
L δδδδ+
++= (11)
esta expresión se simplifica usando la ecuación (2)
rt
xx
ff
rtx
xf
fxf
xf
fx
rr
L
LL
LL
L
L
∆++=
∆+
+
=
δδδδδ 222
2
22 . (12)
18
donde se a definido ( )22
L
L
flft+
=∆ , este término se puede estimar si se calcula la
aberración de error de foco para la lente simple usada en el arreglo. Para una lente
simple9 se tiene que
tN21W 2∆Θ−=∆ , (13)
el ángulo Θ se puede obtener como
r
D
Tan 2=Θ , (14)
considerando que Θ≅ΘTan y sustituyendo la ecuación (14) en la ecuación (13) se
obtiene lo siguiente
.812
21 2
2
trDNt
r
D
NW ∆
−=∆
−=∆ (15)
Despejando a t∆ se obtiene
WDf
N18t
2
∆
−=∆ (16)
donde W∆ es el error de foco de la lente, estimada por medio de un interferómetro, N
es el índice de refracción del medio en que esta sumergida la lente, f/D es la abertura
relativa de la lente L.
Para mr 1≥ el error relativo es
19
r
WDf
Nrt
∆
=∆
218(17)
La contribución de este término al error total se estimara usando algunos ejemplos en
los cuales los parámetros involucrados cambiaran de valor. Se realizaran 3 ejemplos
aplicando la ecuación (17). Los valores correspondientes son
� N = 1
� f = 150 mm
� D = 37 mm
� r = 1000 mm y 3809 mm
Debemos suponer una calidad óptica de la lente que garantiza que los resultados no se
vea afectados de esta forma se propone que ∆W tenga los siguientes valores,
� ∆W = λ, λ/2, λ/10
con λ=0.63 µm. Sustituyendo estos valores en la ecuación (17) se obtienen los
resultados mostrados en la siguiente tabla
∆Wrr∆ (µm)/ R = 1000 mm ∆W
rr∆ (µm)/ R = 3809 mm
λ 8.3×10-5 λ 2.2×10-5
λ/2 4.1×10-5 λ/2 1.1×10-5
λ/10 8.3×10-6 λ/10 2.2×10-6
Todos los resultados anteriores muestra que
65 1010283 −−≈≈∆
LL
rmm
rr µµ .
20
por lo cual si se tiene una lente con una calidad λ/10, la contribución de rr∆ al error
total se puede despreciar y, en consecuencia la ecuación (12) se reduce a
xx
ff
rr
L
L δδδ += 2 . (18)
De la ecuación (18) el error cuadrático es
21
22
4
+
=
xx
ff
rr
L
L δδδ (19)
Para analizar esta ultima expresión de rrδ , se muestran algunas curvas de error para
diferentes valores de r y fL, bajo el supuesto que 0=Lfδ y son mostradas en las graficas
(4), (5), (6) y (7).
En las gráficas de las figuras 4 y 5, se tienen los siguientes valores f = 300 mm, δ x =
0.02 mm y r toma valores de 1m hasta 9 m. Para las graficas 6 y 7, los valores son f =
150 mm, δ x = 0.02 mm y r toma los mismos valores anteriores.
En la Figura 8, 9, 10 y 11, se muestran las gráficas correspondientes a las
características del espejo secundario del GTM. La única diferencia de estas gráficas y
las de las figuras 4, 5,6 y 7 son los radios de curvatura involucrados, ahora estos toman
valores de 1700 a 3809 mm.
21
f=300 mm, x=0,02 mm
00.00020.00040.00060.00080.0010.00120.00140.00160.00180.002
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Radio de curvatura(mm)
Error relativo(%)
Figura 4.
f=300 mm, x=0,01 mm
00.00020.00040.00060.00080.0010.00120.00140.00160.00180.002
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Radio de curvatura(mm)
Error relativo(%)
Figura 5
22
f=150 mm, x=0,02 mm
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Radio de curvatura (mm)
Error relativ
o(%)
Figura 6.
f=150 mm, x=0,01 mm
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0.0025
0.003
0.0035
0.004
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
Radio de curvatura (mm)
Error relativ
o(%)
Figura 7.
23
En la Figura 8, 9, 10 y 11, se muestran las gráficas correspondientes a las
características del espejo secundario del GTM. La única diferencia de estas gráficas y
las de las figuras 4, 5,6 y 7 son los radios de curvatura involucrados, ahora estos toman
valores de 1700 a 3809 mm.
f=300 mm, x=0,02 mm
0.0003
0.0004
0.0005
0.0006
0.0007
0.0008
0.0009
1700 2200 2700 3200 3700
Radio de curvatura(mm)
Error relativo(%)
Figura 8.
24
f=300 mm, x=0,01 mm
0.00015
0.0002
0.00025
0.0003
0.00035
0.0004
0.00045
1700 2200 2700 3200 3700
Radio de curvatura(mm)
Error relativo(%)
Figura 9.
f=150 mm, x=0,02 mm
0.0015
0.002
0.0025
0.003
0.0035
0.004
1700 2200 2700 3200 3700
Radio de curvatura(mm)
Error relativo(%)
Figura 10.
25
f=150 mm, x=0,01 mm
0.0007
0.0009
0.0011
0.0013
0.0015
0.0017
0.0019
1700 2200 2700 3200 3700
Radio de curvatura(mm)
Error relativo(%)
Figura 11.
26
Referencias.
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