* factor integrante. esp. maestrante. daniel saenz c. 2

*FACTOR INTEGRANTE

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C. 2

*La ecuación diferencial no es

exacta

0),(),( dyyxNdxyxM

x

N

y

M


*Ecuación diferencial exacta

*Existe una función llamada factor integrante, que al multiplicarla por la

ecuación diferencial dada se obtiene una ecuación diferencial exacta

0),(),(),(),( dyyxNyxudxyxMyxu


*Aplicamos las siguientes condiciones

*Aplicando la condición de exactitud

)),(),((),(),( yxNyxux

yxMyxuy

xxyy uNNuuMMu

MuNuNMu yxxy

*Derivando como un producto


*1) Si la función depende únicamente de la variable x, se tiene que la derivada parcial con respecto a y es igual a cero, es decir si 𝑈 (𝑥 )𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠𝑈 𝑦=0

Con lo que

NuNMu xxy Separando variables e Integrando

dx

N

NM xy

eu


*2) Si la función depende únicamente de la variable y , entonces su derivada con respecto a la variable x, es igual a cero,

con lo que se tiene

MuNMu yxy

Separando variables e Integrando

dy

M

MN yx

eu

𝑈 (𝑦 )𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠𝑈 𝑥=0


*3) Si no es posible encontrar una expresión que dependa únicamente de las variable x , ni únicamente de la variable y;

el factor integrante se toma en la forma

* .

𝑥𝑝 𝑦𝑞𝑀 (𝑥 , 𝑦 )𝑑𝑥+𝑥𝑝 𝑦𝑞𝑁 (𝑥 , 𝑦 )𝑑𝑦=0


*Ejemplo resolver la siguiente ecuación diferencial

(𝑥 𝑦2− 𝑦 3 )𝑑𝑥+(1−𝑥 𝑦2 )𝑑𝑦=0

De la ecuación se tiene que

Primero calculamos


Calculamos

Calculamos

Vemos que no es posible encontrar una función que dependa únicamente de la variable x


*Buscamos el factor integrante

𝑁 𝑥−𝑀 𝑦

𝑀𝑑𝑦=− 2𝑑𝑦𝑦 =−2𝐿𝑛𝑦=𝐿𝑛 𝑦−2

𝑢=𝑒 𝑁𝑥−𝑀 𝑦

𝑀𝑑𝑦

=𝑒𝐿𝑛𝑦− 2=𝑦− 2=1

𝑦2

*Multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante

1

𝑦2(𝑥 𝑦2− 𝑦3 )𝑑𝑥+

1

𝑦 2(1−𝑥 𝑦 2 )𝑑𝑦=0


la cual es exacta y tiene como solución


Resolver la ecuación diferencial

𝑀=2 𝑦2+4 𝑥2 𝑦 ;𝑁=4 𝑥𝑦+3 𝑥3

𝑀 𝑦=4 𝑦+4 𝑥2 ;𝑁 𝑥=4 𝑦+9 𝑥2

Calculamos

Calculamos


𝑁 𝑥−𝑀 𝑦

𝑀= 5 𝑥2

2 𝑦2−4 𝑥2 𝑦

𝑒𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑒𝑠𝑑𝑒𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑢 (𝑥 , 𝑦 )=𝑥𝑝 𝑦𝑞

𝑀=2 𝑥𝑝 𝑦𝑞+2+4 𝑥𝑝+2 𝑦𝑞+1𝑁=4 𝑥𝑝+1𝑦 𝑞+1+3 𝑥𝑝+3 𝑦𝑞


𝟐(𝒒+𝟐)𝒙𝒑 𝒚𝒒+𝟏+4 (𝑞+1)𝑥𝑝+2 𝑦𝑞=𝟒 (𝒑+𝟏)𝒙𝒑 𝒚𝒒+𝟏+3(𝑝+3)𝑥𝑝+ 2𝑦 𝑞

𝑝=1 ,𝑞=2 , 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒𝑈 (𝑥 , 𝑦 )=𝑥 𝑦2

(2 𝑥1𝑦 2+2+4 𝑥1+2 𝑦2+1)𝑑𝑥+(4 𝑥1+1 𝑦2+1+3𝑥1+3 𝑦2 )𝑑𝑦=0


(2 𝑥𝑦4+4 𝑥3 𝑦3 )𝑑𝑥+(4 𝑥2 𝑦3+3 𝑥4 𝑦2 )𝑑𝑦=0

𝑥2𝑦 4+𝑥4 𝑦 3=𝐶


Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales encontrando un factor integrante adecuado para cada una de ellas


*Estoy seguro que este material fue de su agrado y te permitió aclarar las dudas sobre la determinación del factor integrante

* factor integrante. esp. maestrante. daniel saenz c. 2

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