SUMA piezaS

eso

bachillerato

MATEMÁTICAS

Contiene las asignaturas:

MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS

MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS APLICADAS

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

1

ESO

bachillerato

PRÓXIMAMENTE PRÓXIMAMENTEPRÓXIMAMENTE

PRÓXIMAMENTEPRÓXIMAMENTE

y construye tu aprendizaje.

SUMA piezaS

Suma Piezas propone un nuevo enfoque competencial, con el máximo rigor curricular y una secuenciación de contenidos coherente y coordinada entre todas las áreas a lo largo de la etapa. Favorece la competencia en comunicación lingüística, primordial para acceder al conocimiento que permite comprender el mundo que nos rodea y desarro-llar habilidades de convivencia.De manera flexible, Suma Piezas brinda la posibilidad de incorporar metodologías ac-tivas, utilizar estrategias cooperativas y de pensamiento, fomentar las habilidades per-sonales y sociales para la gestión de las emociones y el desarrollo del emprendimiento y atender la orientación académica y profesional, apostando por la igualdad y la inclu-sión. Y todo ello, dentro del marco de los Objetivos de Desarrollo Sostenible, que han de ser nuestro horizonte en los próximos años.

Un proyecto sustentado en el aprendizaje competencial y en el desarrollo de compromisos del alumnado

con la realidad de su tiempo

2

2Para atender a la diversidad de motivaciones, intereses, rit-mos y estilos de aprendizaje del alumnado, Suma Piezas propone gran variedad de recursos:

• Recursos teóricos para adaptación curricular (selección de contenidos con formatos y enfoques diversos).

• Fichas de ejercitación.• Fichas de profundización y para el desarrollo de compe-

tencias.• Tareas, talleres y otros recursos que potencian la utiliza-

ción de metodologías activas, participativas e investiga-doras que favorezcan tanto el trabajo individual como el cooperativo y el aprendizaje entre iguales.

Aunque, en última instancia, siempre es el profesorado quien establece los criterios de uso de estos recursos, en función de las particularidades de su aula, Suma Piezas fa-cilita al profesorado una Guía de explotación de recursos para la diversidad y la inclusión, que recoge unas propues-tas básicas que orientan sobre su utilización.

Diversidad e inclusión

Evaluar supone la suma de cinco acciones docentes funda-mentales: observar, reflexionar, decidir y actuar, comunicar y acompañar. Suma Piezas presenta una amplísima gama de materiales que facilitan la sistematización del proceso de evaluación en sus diferentes aspectos:

• Generador digital de pruebas: banco de actividades me-diante el que se pueden diseñar pruebas de evaluación de contenidos.

• Pruebas de evaluación prediseñadas: selección de mode-los de pruebas imprimibles para evaluar contenidos y com-petencias.

• Registros de evaluación prediseñados: tablas prepara-das para facilitar la recogida de calificaciones, que pre-sentan, ya cumplimentados, los criterios trabajados en cada unidad.

• Documentación específica: monografías didácticas sobre temas de actualidad pedagógica, como la evaluación ex-terna, el diseño de rúbricas o el portfolio, que combinan la fundamentación teórica con las orientaciones prácticas.

• Fondo de herramientas de evaluación: recopilación de rú-bricas, dianas y otros recursos para la evaluación, la autoe-valuación y la coevaluación.

• Herramienta digital de entrenamiento de pruebas exter-nas: archivo digital de los distintos tipos de pruebas de evaluación externa realizadas en los últimos años, prepara-do para su consulta e impresión.

Evaluación 5los pilares de nuestro proyecto

Un proyecto diseñado para responder a las necesidades del aula y, si se desea, avanzar en innovación pedagógica.

Estos son los cinco pilares del proyecto:

1

y construye tu aprendizaje.

SUMA piezaS

3

4

5

3Con un formato eminentemente práctico, la programación de Suma Piezas no solo cumple con las exigencias normativas, sino que también permite al profesorado identificar fácilmente la secuenciación de contenidos propuesta y su distribución temporal, además de dónde y cómo se trabajan y de qué modo se evalúan los criterios de evaluación.

Junto con la programación, Suma Piezas facilita un amplio re-pertorio de registros y herramientas de evaluación que ayu-darán al profesorado a establecer procedimientos y criterios de calificación en consonancia con las orientaciones metodo-lógicas dispuestas, su propuesta de evaluación de los proce-sos de enseñanza aprendizaje y su propia práctica docente.

Programación

Suma Piezas dispone de un amplio, variado y práctico conjun-to de herramientas y recursos digitales diseñados para enri-quecer, adaptar y facilitar el trabajo en el aula.

Para cada curso y asignatura, ofrece:

• Libro digital: Todos los libros Suma Piezas disponen de una versión digital. Podrá descargar el libro completo o por uni-dades, con todos sus recursos o en su versión ligera (sin los recursos digitales más pesados), lo que posibilita su uso en condiciones offline y online.

• Espacio web: un área personal en www.anayaeducacion.es, con acceso exclusivo para los usuarios de nuestros libros de texto, en el que podrá:

- Acceder a la programación, a la propuesta didáctica y a la documentación del proyecto.

- Encontrar alternativas para el tratamiento de la diversidad y la inclusión.

- Utilizar las herramientas y los instrumentos digitales dise-ñados para facilitar la evaluación.

- Descubrir la gran variedad de propuestas del banco de recursos.

Suma Piezas incorpora una propuesta flexible de integración de metodologías activas a través de sus claves didácticas:

Compromiso ODS. Establece los Objetivos de Desarro-llo Sostenible como marco para articular aprendizajes que preparen al alumnado hacia una ciudadanía comprometida.

Plan Lingüístico. Garantiza el desarrollo de habilidades comunicativas y destrezas para describir, exponer, dar ins-trucciones, opinar, defender o rebatir ideas…

Desarrollo del pensamiento. Propone estrategias para estimular la reflexión, el «saber pensar» y el desarrollo de hábitos de pensamiento crítico y creativo.

Aprendizaje cooperativo. Ofrece técnicas para desarro-llar las competencias que nos permiten trabajar juntos y de manera eficiente en una sociedad diversa.

Educación emocional. Ofrece herramientas de gestión emocional para afrontar los retos de esta etapa educativa de gran complejidad vital.

Cultura emprendedora. Promueve el pensamiento emprendedor en sus tres dimensiones: personal, so-cial y productiva.

TIC. Integra el uso de las TIC en el propio proceso de aprendizaje de una manera responsable, inteligente y ética.

Orientación académica y profesional. Ayuda al alum-nado a conocerse, a entender el entorno y a tomar decisiones que le permitan entrar en el mercado la-boral y prosperar en él.

Evaluación. Incorpora estrategias que permiten al alumnado participar en la evaluación de su apren-dizaje, analizando «qué ha aprendido» y «cómo ha aprendido».

claves del proyecto

PROYECTO digital

ODS

MATEMÁTICAS

4

eso

EL libro del alumnadoLos libros presentan los contenidos y las actividades ajustados al desarrollo curricular de nuestra comunidad. Bajo una metodología competencial, permiten respon-der de una manera creativa e innovadora a nuestro com-promiso con los Objetivos de Desarrollo Sostenible y posibilitan el crecimiento de las habilidades y las aptitu-des que exige nuestra sociedad, cada vez más diversa.

La web del profesorado es una herramienta que facilita y enriquece la labor docente. Con ella, podrá adaptar los contenidos a las necesi-dades de los estudiantes a través de recursos adicionales o reforzar aspectos didácticos que considere relevantes:

• Programación, propuesta didáctica y documentación del proyecto.• Diversidad e inclusión, para atender a la diversidad de motivaciones,

intereses, ritmos y estilos de aprendizaje del alumnado. Ofrece:

- Recursos teóricos para la adaptación curricular.- Fichas de ejercitación.- Fichas de profundización y para el desarrollo de competencias.- Tareas, talleres y otros recursos.

• La evaluación, pilar fundamental del proyecto, presenta:

- Generador digital de pruebas de evaluación por contenidos.

- Pruebas y registros de evaluación prediseñados.

- Documentación específica.

- Fondo de herramientas de evaluación.

- Herramienta digital de entrenamiento de pruebas externas.

• Banco de recursos, con una gran variedad de recursos digitales ta-les como:

- Actividades GeoGebra.

- Videotutoriales.

- Autoevaluaciones.

- Glosarios.

- Recursos teóricos.

- Aprende jugando.

- Refuerza la resolución de problemas.

La web www.anayaeducacion.es

EL PROYECTO DIGITAL para el profesorado

5

LA PropueSta didácticAUna propuesta didáctica para cada libro del alumna-do con las soluciones de las actividades, orientaciones metodológicas, sugerencias para aplicar las claves del proyecto, etc.

Los libros de todos los cursos disponen de una ver-sión digital. Podrá descargar el libro completo o por unidades, con todos sus recursos o en su ver-sión ligera (sin los recursos digitales más pesados), lo que posibilita su uso en condiciones offline y on-line. Los recursos de cada unidad se agrupan por tipologías y permiten un acceso directo al banco de recursos de la web y a la propuesta didáctica.

el libro digital

Banco de recursos en www.anayaeducacion.es con:• Recursos relacionados con las claves del proyecto.

• Recursos destacados de la materia.• Recursos para cada unidad.Libro digitalUna versión digital del libro de texto que podrán descargar completo o por unidades; con todos sus recursos o una descarga ligera (sin los recursos digitales más pesados).

¿y para el alumnado?

9

1los números naturales

9 8

Todas las civilizaciones se han servido de un sistema de numeración para representar cantidades. Desde la prehistoria hasta nuestros días, los pueblos egipcio, babilonio, griego, romano, chino, indio, árabe, maya… maneja-ron sistemas de numeración muy diversos, que pasaron de unos pueblos a otros y evolucionaron a lo largo del tiempo. Inicialmente, los números se utilizaban para contar cantidades naturales (rebaños, frutos, monedas…), y los sistemas de numeración eran muy ru-dimentarios: se hacían muescas en un cayado, se dibujaban dedos y ma-nos... Sin embargo, el progreso de las civilizaciones condujo a la introduc-ción de símbolos y normas que los hicieron más complejos y prácticos.

Los sistemas de numeración son útiles para escribir números y, así, recor-darlos y transmitirlos. Pero deben servir, también, para operar con ellos. Piensa en el sistema de numeración romano (que ya conoces) e imagina cómo se las apañarían para efectuar sumas. Por ejemplo:

MCCCXLVI + DCCCXXXIV¿Complicado? Pues imagina lo difícil que tendría que ser multiplicar. Los antiguos matemáticos hindúes, en el siglo vi, dieron un gran paso adelante con la invención del sistema de numeración decimal posicional.

Desde la India se propagó hacia el Mediterráneo a través del pueblo árabe, y llegó a Europa en los siglos ix y x.Las ventajas de este sistema permitieron el desarrollo de nuevas estrategias de cálculo, precursoras de las que utilizamos actualmente.

Con los números y sus operaciones, calculamos y obtenemos datos nuevos útiles para manejarnos en situaciones cotidianas. Para ello, es necesario inter-pretar y resolver su expresión escrita. Prácticalo en la siguiente propuesta.

Distintas formas de expresar los números

Observa tres formas diferentes de representar el mismo número:

1 ¿De qué número se trata? ¿Cómo representarías, en cada caso, el número siguiente?

2 ¿Cuál o cuáles se basan en el sistema de numeración decimal?

3 ¿De qué otra forma representarías ese número?

Otras formas de multiplicar

Observa cómo multiplicaba la población hindú en el pasado 346 × 57.• Se parte de una tabla, como ves en el ejemplo, colo-

cando en los bordes las cifras de los factores.• Se completan las casillas con los productos cru-

zados de los dígitos colocados en los bordes. Por ejemplo, en la casilla coloreada:

4 × 7 = 28• Se suman los resultados en vertical. En cada co-

lumna solo cabe un dígito.

4 Efectúa, siguiendo este método, las siguientes multiplicaciones: a) 208 × 34 b) 453 × 26

1

1252

12

2

12

0 43 0

2

9 61

34

6 57

1 9 7 2 2

2 8

Operaciones combinadas

5 Para participar en las escuelas deportivas municipales has de abonar 20 € de matrícula y 15 € al mes.¿Qué crees que se calcula con cada una de estas expresiones?

(20 + 15) · 3 20 + 15 · 3 15 · 3a) El pago del segundo trimestre.b) El pago del primer trimestre.c) El pago del primer mes para tres hermanas o hermanos.

11

1Unidad

Los números naturales (1, 2, 3, …) surgieron de la necesidad de contar, y su repre-sentación evolucionó adaptándose a cada momento cultural e histórico.Las personas en la prehistoria ya utilizaban algunas técnicas para contar: compa-raban con los dedos, hacían muescas en un cayado, ensartaban cuentas en una cuerda, etc.A medida que la sociedad evolucionaba se hizo necesario manejar cantidades grandes y representarlas de una forma práctica. Así, aparecieron en distintas cul-turas los sistemas de numeración.

Los símbolos utilizados para representar los conteos, junto con sus normas de uso, forman un sistema de numeración.

ãEl sistema de numeración egipcioLos antiguos egipcios utilizaban los símbolos siguientes:

1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000

palo asa cuerda flor dedo rana hombre

La norma para escribir un número era sencilla: se iban añadiendo (sumando) los símbolos necesarios hasta completar la cantidad deseada. A los sistemas de numeración, como el egipcio, en que se van añadiendo símbo-los y sumando su valor, los llamamos sistemas aditivos.

ãEl sistema de numeración mayaEl pueblo maya, en la actual Guatemala y el sur de México, antes de la llegada de Colón al continente americano, usaba solo tres símbolos para escribir los nú-meros:

En los números menores de 20, como puedes ver a la izquierda, el sistema era aditivo. Hasta aquí, el primer nivel. Para escribir números mayores, se superpo-nían otros niveles, con los mismos símbolos, pero multiplicando su valor por 20 al subir cada escalón.

Segundo nivel (× 20) 8

Primer nivel (× 1) 8

Como ves, un símbolo tiene diferente valor según el nivel en que se encuentre, característica de los sistemas de numeración posicionales. Es decir, el sistema maya era en parte aditivo y en parte posicional.

ãEl sistema de numeración decimalEl sistema de numeración que utilizamos actualmente es el decimal. Consta de diez símbolos o cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y se rige por estas normas:• Se definen órdenes de unidades: unidades, decenas, centenas…• Diez unidades de un orden hacen una unidad del orden inmediato superior.• El valor de una cifra depende del lugar que ocupe (sistema de tipo posicional).Veamos un ejemplo:

La cifra 4 tiene diferente valor según el orden de unidades que ocupa.

1 SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Este hombre primitivo ha escrito el número 47. ¿Sabrías decir el valor de cada símbolo?

Aquí aparece escrito el número 1 333 331.

RecuerdaUn número se puede descomponer se-gún sus órdenes de unidades y según el valor de posición de cada cifra:

27 473

2 DM → 20 000 7 UM → 7 000 4 C → 400 7 D → + 70 3 U → 3 27 473

10

UMM CM DM UM C D U

4 7 8 4 3 0 4

↓4 000 000 U

↓4 000 U

↓4 U

20 21 27 36 40 100 13720 21 27 36 40 100 137

(0) (1) (5)(0) (1) (5)(0) (1) (5)(0) (1) (5)(0) (1) (5)

cxlixPara practicar

1 Escribe en el sistema de numeración egipcio los nú-meros 19, 65, 34 120 y 2 523 083.

2 En un sistema aditivo se utilizan estos símbolos:

1 5 10 100

Escribe, basándote en él, los números 7, 12, 84 y 126.

3 Traduce al sistema decimal estos números del sistema maya.

4 Añade cuatro elementos por la derecha y otros cuatro por la izquierda a esta serie de números del sistema maya.

5 Completa en tu cuaderno.a) 500 D = … C = … UM b) 3 000 C = … UM = … DMc) 6 UM = … C = … D d) 8 CM = … DM = … D

6 ¿Verdadero o falso? a) Si cambias de lugar las cifras, cambia el valor del

número. b) Si añades un cero a la derecha de un número, su

valor se multiplica por 10. c) Si añades un cero a la izquierda de un número, el

valor se divide entre 10. d) Medio millar equivale a 5 decenas. e) Mil millares hacen un millón.

7 Un número tiene cinco cifras que suman 5. Si intercambias las unidades con las unidades de millar, aumenta en 999. ¿Qué número es?

0 1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19

Para fijar ideas

1 Situándote en el sistema de numeración decimal:a) ¿Cuántas decenas hacen 3 millares?b) ¿Cuántas centenas hacen una decena de millar?c) ¿Cuántas centenas hay en 5 unidades de millón?

Ayuda

CM DM UM C D U

1 0 0 1 UM = 100 D× 10× 10

EL libro del alumnado

6

MATEMÁTICAS Bachillerato

Los libros presentan los contenidos y las actividades ajus-tados al desarrollo curricular de nuestra comunidad, abun-dantes propuestas para desarrollar estrategias de pensa-miento y un aprendizaje competencial dentro de nuestro compromiso con los Objetivos de Desarrollo Sostenible, por lo que posibilitan el crecimiento de las habilidades y las aptitudes que exige nuestra sociedad, cada vez más diversa.

EL PROYECTO DIGITAL para el profesoradoLa web www.anayaeducacion.es

La web del profesorado es una herramienta que facilita y enriquece la labor docente. Con ella, podrá adaptar los contenidos a las necesidades de los estudiantes a través de recursos adicionales o reforzar aspectos didácticos que considere relevantes.

• Programación, propuesta didáctica y documentación del proyecto.• La evaluación, pilar fundamental del proyecto, presenta:

- Generador digital de pruebas.- Pruebas y registros de evaluación prediseñados.- Documentación específica.- Fondo de herramientas de evaluación.

• Banco de recursos, con videotutoriales, actividades con GeoGebra, biografías, hojas de cálculo, documentación complementaria, autoe-valuaciones…

7

Banco de recursos en www.anayaeducacion.es con:• Recursos relacionados con las claves del proyecto.

• Recursos destacados de la materia.• Recursos para cada unidad.Libro digitalUna versión digital del libro de texto que po-drán descargar completo o por unidades; con todos sus recursos o una descarga lige-ra (sin los recursos digitales más pesados).

¿y para el alumnado?

5756

2

56

sucesiones

57

Una hermosa curva

La curva de la derecha está construida con ocho arcos de cir-cunferencia. Los siete primeros son de un cuarto de circunfe-rencia. El octavo, es solo un trocito.a) Lozaliza los centros y averigua los radios de los ocho arcos

dibujados. ¿Ves la relación de los radios con la sucesión de Fibonacci?

b) Reproduce la curva en tu cuaderno completando el octavo tramo y añadiendo el noveno. ¿Qué radio tiene este último?

c) Como ves, esta curva se podría ir ampliando indefinidamente. Di cuáles serían los radios de los siguientes cinco tramos (10.º, 11.º, …).

Resuelve

La sucesión de Fibonacci en la bolsaLa presencia de la sucesión de Fibonacci en multitud de ob-jetos naturales (piñas, girasoles, espirales de las galaxias…) es conocida y admirada desde hace mucho tiempo. Sin embargo, vamos a señalar aquí la sorprendente relación de esta sucesión con la evolución de la bolsa.Ya sabemos que el cociente de dos términos avanzados conse-cutivos de la sucesión es (el número ϕ tiene la peculiaridad de que Calculamos ahora Pues bien, estos tres números 0,618; 0,382 y 0,236, juegan un importante papel en las variaciones de los valores bursátiles. Veamos cómo:En las fluctuaciones de los valores de un cierto producto de la bolsa suele haber un máximo, difícil de superar, al que se llama resistencia M, y un mínimo del cual es difícil bajar, al se llama soporte, m (son valores psicológicos: los vendedores “no están dispuestos” a ceder su producto por menos de m; y los compradores “cesan en su oferta” si el precio supera a M). Los precios, pues, oscilan entre m y M. Pero las fluctuaciones dentro de estos valores no se producen de cualquier manera. Observa las líneas que marcan los niveles 23,6 %; 38,2 % y 61,8 % del tramo M – m. Estas líneas son los llamados niveles de Fibonacci. Cuando el precio llega a uno de ellos «parece como si dudara» si seguir subiendo o retroceder a partir de ahí. Por supuesto que los niveles de resistencia y soporte cambian con el tiempo. Pero tras cada cambio se produce una estabiliza-ción y en el nuevo tramo M – m aparecen los correspondientes niveles de Fibonacci.

La sucesión de FibonacciEl siguiente problema, propuesto por el matemático italiano del siglo xiii Leonardo de Pisa (más conocido como Fibonacci -hijo de Bonaccio-) en su obra Liber Abaci, ha tenido una gran influencia en el estudio de las matemámáticas:¿Cuántas parejas de conejos se producirán en un año empezando por una pareja única, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo mes? El número de parejas, mes a mes, es:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …Esta es la llamada sucesión de Fibonacci, en la que cada término se obtiene sumando los dos anteriores.

La sucesión de Fibonacci y el número áureoSi dividimos cada dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci obtenemos:

; ; , ; ; , ;aa

aa

aa

aa

11 1

12 2

23 1 5

58 1 6… …

1

2

2

3

3

4

5

6= = = = = = = =

La sucesión de cocientes se aproxima cada vez más al número áureo:

ϕ = 2

5 1+ = 1,61803398…

De hecho, para n > 11, aan

n

1+ = 1,6180…, es decir, el cociente tiene cuatro cifras

decimales coincidentes con las de ϕ.

Progresiones aritméticas y geométricasEn los textos babilonios y egipcios de hace 4000 años ya aparecen algunos ejemplos de aplicación de sucesiones a la resolución de problemas, pero el pri-mero que las estudió de una manera rigurosa fue el matemático griego Eucli-des en el siglo iii a.C. En el libro ix de su obra Elementos define las progresio-nes geométricas y obtiene una expresión para hallar la suma de sus términos. En el siglo i, el matemático griego Nicómaco de Gerasa recopiló en su obra Introducción a la Aritmética lo que hasta entonces se sabía de arit-mética. En esta obra, la primera en la que se trató la aritmética de forma separada a la geometría, dedicó una parte importante al estudio de las progresiones aritméticas. Hay que esperar hasta el siglo xiii para que aparezca la sucesión más cono-cida de la historia, la de Fibonacci.

Leonardo de Pisa, Fibonacci (ca.1170-ca.1250).

6362

Unidad 2

■ Sucesión de Fibonacci

Como ya se ha dicho en las páginas introductorias, se llama así a la sucesión1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …

en la que, después de los dos primeros, cada término se forma sumando los dos an-teriores. Allí se relacionaba esta sucesión con el número de descendientes, generación a generación, de una pareja de conejos. Ese fue el artificio del que se valió su autor, Fibonacci, para presentar su sucesión. Sin embargo, es cierto que esta sucesión está presente en la naturaleza, muy especialmente en el reino vegetal: la distribución de las hojas alrededor del tallo, los pétalos en las flores o las semillas en numerosos frutos, se rigen por los términos de esta sucesión.Es especialmente llamativa la siguiente propiedad: las semillas de algunas flores o fru-tos ocupan las casillas determinadas por el cruce de dos familias de espirales.

Pues bien, el número de espirales en un sentido y en el otro son dos términos conse-cutivos de la sucesión de Fibonacci. En la fotografía del girasol se ven 21 espirales en un sentido y 34 en el otro. En la piña del margen, 8 y 13. Pero hay otros frutos con 34 y 55, con 55 y 89, e incluso con 89 y 144.El término general de la sucesión de Fibonacci es muy complicado:

fn = [ ( ]f f)51

25 1

51

21 5

51 1– – – –

n nn n+ =e eo o

Como vemos en su expresión, esta sucesión está muy relacionada con el número

áureo ϕ = 2

5 1+ . En los próximos apartados veremos esa relación.

■ Idea intuitiva de límite de una sucesión

Vamos a representar un par de sucesiones para estudiar su comportamiento: • Si en la expresión an =

nn3

5+

sustituimos n por 1, 2, 3, …, 10, …, obtenemos:

a1 = 45 = 1,25; a2 =

510 = 2; a3 = 15

6 = 2,5; …; a10 = 50

13 = 3,8; …

Estos resultados se pueden representar sobre unos ejes del siguiente modo:valores de an

valores de n

Observamos que los elementos de la sucesión se acercan cada vez más a 5. Eso lo expresamos así:

lím an = lím n

n3

5+

= 5

Calcula a100, a1 000, a10 000, … y comprueba que «cada vez están más próximos a 5».

• Procedemos de forma análoga con la sucesión bn = n52

– 4n:valores de bn

valores de n

Aunque los términos de la sucesión empiezan decreciendo, a partir de uno de ellos empiezan a crecer y se hacen muy grandes, cada vez más. Esto lo expresamos así:

lím bn = lím n n5

4–2e o = +∞

Calcula b100, b1 000, b10 000, … y comprueba que «sus valores crecen cada vez más».

Para hallar el límite de una sucesión, estudiamos su comportamiento para térmi-nos muy avanzados, es decir, cuando n toma valores cada vez mayores.

9 Calcula el 6.º término de la sucesión de Fibonacci, f6 = 8, aplicando la fórmula.

10 Observa que como f ||1 1– < , para valores «algo grandes» de n, el número f( )1– n es «pequeño». Por tanto, podemos hallar los términos avanzados de la sucesión de Fi-bonacci, de forma aproximada, prescindiendo del sustraendo:

fn = 51 [ϕn – (1 – ϕ)n] ≈

51 ϕn

Por ejemplo, para calcular f13 = 233 procederíamos así:

f13 ≈ 51 ϕ13. Hazlo y comprueba que el error cometido

es menor que 0,001. Calcula de este modo f20.

11 La sucesión de Lucas también tiene relación con el mundo vegetal. Se define así:

l1 = 1, l2 = 3, ln = ln – 2 + ln – 1

Como ves, es muy parecida a la de Fibonacci.

a) Halla sus 11 primeros términos.b) l1 + l2 + … + ln = ln + 2 – 3. Compruébalo para n = 6.c) Esta sucesión se relaciona con la de Fibonacci así:

fn = l l5

n n1 1– + +

Compruébalo hallando los 10 primeros términos de la sucesión de Fibonacci a partir de la de Lucas.

Piensa y practica

2algunas sucesiones especialmente interesantes

3límite de una sucesión

1 Representa en tu cuaderno los 15 primeros términos de la sucesión an =

nn

2101

4–+ y asigna un valor a su límite.

2 Representa los 10 primeros de an = n42

– 2n + 3 y asigna un valor a su límite.

3 Representa los primeros términos de cn = (–1)n · n y des-cribe su comportamiento.

¿Podríamos afirmar que lím cn = l o que lím cn = +∞?

¿O acaso que lím cn = – ∞?

Piensa y practica

Notación

La expresión lím an se puede escribir de esta manera:

alimn

n" 3+

Indicando que la variable n «tiende a infinito», es decir, toma valores «tan gran-des» como se quiera. Pero esta condición podemos darla por supuesta y omitir la expresión n → +∞.

Ley de recurrencia

a1 = 1, a2 = 1, an = an – 2 + an – 1

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to keep learning

Building

Blocks

mathematics

88

www.anayaeducacion.es 8 4 2 1 7 2 8 5 1 8 7 5 2 9227

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y construye tu aprendiza

je.

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Más información en sumapiezas.anayaeducacion.es

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