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4 C A P Í T U L O

80

Energía y potencial

En los capítulos 2 y 3 se ha adquirido cierta familiaridad con la ley de Coulomb y suaplicación para encontrar el campo eléctrico que produce algunas distribuciones decarga sencillas, y también con la ley de Gauss y sus aplicaciones en la determinación

del campo eléctrico alrededor de cualquier arreglo simétrico de cargas. La aplicación de laley de Gauss resultó, invariablemente, más sencilla para aquellas distribuciones de carga congran simetría porque la integración no presenta ninguna dificultad si se selecciona en formaadecuada la superficie cerrada.

No obstante, si se hubiese intentado determinar un campo ligeramente más complicado,como el que forman dos cargas puntuales diferentes, separadas por una distancia pequeña,hubiese sido imposible encontrar la superficie gaussiana apropiada y con ello la solución. Laley de Coulomb, por otro lado, es más poderosa y permite solucionar problemas en los quela ley de Gauss es inaplicable. Sin embargo, la aplicación de la ley de Coulomb es laborio-sa, detallada y casi siempre compleja. La razón de que así sea radica en el hecho de que laintensidad de campo eléctrico, un campo vectorial, debe encontrarse en forma directa a par-tir de la distribución de carga. Tres integraciones diferentes se requieren normalmente paracada componente, y encontrar el vector solución en sus tres componentes se suma a la com-plejidad de las integrales.

Sería deseable, sin lugar a dudas, que se pudiese encontrar la función escalar, aún nodefinida, cuya integración fuera sencilla y que por medio de este escalar se pudiera deter-minar el campo eléctrico empleando algún procedimiento directo y sencillo, como la dife-renciación.

Esta función escalar existe y se conoce como el potencial o potencial campo. Se encon-trará que este potencial tiene una interpretación física real y que es más familiar para la ma-yoría de la gente que el campo eléctrico que se puede obtener con él.

Se puede, entonces, tener la esperanza de contar pronto con un tercer método para en-contrar campos eléctricos que consista en una sencilla integración escalar, aunque no siem-pre tan sencilla como podría desearse, seguida de una grata diferenciación.

La dificultad restante de la tarea, correspondiente a la integración, se tratará de allanaren el capítulo 7. ■

www.elsolucionario.netadecuada la superficie cerrada.adecuada la superficie cerradaNo obstante, si se hubiese intentado determinar un campo ligeramente mNo obstante, si se hubiese intentado determinar un campo ligeramente m

www.elsolucionario.net

4 . 1 Energía para mover una carga puntual en un campo eléctrico 81

4.1 Energía para mover una cargapuntual en un campo eléctrico

La intensidad del campo eléctrico se definió como la fuerza por cada unidad de carga quese ejerce sobre una pequeña carga de prueba unitaria colocada en el punto en donde se de-sea encontrar el valor de este campo vectorial. Si se intenta desplazar la carga de prueba encontra del campo eléctrico, se tiene que ejercer una fuerza igual y opuesta a la que ejerce elcampo, lo cual requiere un gasto de energía debido al trabajo que es preciso realizar. Si sedesea que la carga se mueva en la dirección del campo, el gasto de energía se torna negati-vo; no hay que realizar trabajo, el campo lo hace.

Supóngase que se quiere desplazar la carga Q a una distancia dL en un campo eléctri-co E. La fuerza que ejerce sobre Q el campo eléctrico es

(1)

en donde el subíndice señala que esta fuerza se debe al campo. La componente de la fuerza enla dirección dL, la cual se debe vencer, es

FEL = F · aL = QE · aL

en donde aL es un vector unitario en la dirección de dL.La fuerza que debe aplicarse es igual y opuesta a la que ejerce el campo,

Fapl = −QE · aL

y el gasto de energía es el producto entre la fuerza y la distancia. El trabajo diferencial querealiza el agente externo que desplaza a Q es igual a Q = −QE · aL dL = −QE · dL

o (2)

donde se ha sustituido aLdL por la expresión más sencilla, dLEsta cantidad de trabajo diferencial requerido puede ser cero en ciertas condiciones que

se determinan fácilmente mediante (2). Existen las condiciones triviales en las cuales E, Qo dL son cero, y un caso, mucho más importante, en el cual E y dL son perpendiculares en-tre sí. En este último caso la carga se desplaza en una trayectoria cuya dirección siempreforma ángulos rectos con el campo eléctrico. Existe una buena analogía entre el campo eléc-trico y el campo gravitacional, en ambos debe gastarse energía para moverse en contra dela dirección del campo. Deslizar una masa con velocidad constante sobre una superficie irre-gular sin fricción es un proceso en el que no se necesita realizar esfuerzo si la masa se des-plaza a lo largo de un contorno con elevación constante; sin embargo, el movimiento a unamayor o menor elevación sí implica la realización de trabajo positivo o negativo, respecti-vamente.

Regresando al problema de la carga en el campo eléctrico, el trabajo necesario para mo-ver la carga a una distancia finita debe determinarse cuando se integra,

(3)

FE = QE

dW = −QE · dL

W = −Q∫ final

inicialE · dL

Interactivos

www.elsolucionario.netFFaplaplFF = −= −QQEE ·· aaLL


82 CAPÍTULO 4 Energía y potencial

donde la trayectoria debe especificarse antes de evaluar la integral. Además, se supone quela carga está en reposo tanto al partir de la posición inicial como al llegar a la final.

Esta integral definida es fundamental en la teoría de campo, y la sección siguiente sededica a interpretarla y evaluarla.

D4.1 Dado el campo eléctrico E = (8xyzax + 4x2zay − 4x2yaz) V/m, encontrar

la cantidad diferencial de trabajo para mover una carga de 6 nC una distancia de 2μm,

comenzando en P(2, −2, 3) y procediendo en la dirección aL = : a) − ax + ay

+ az; b) ax − ay − az; c) ax + ay.

Respuesta: −149.3 fJ; 149.3 fJ; 0

4.2 La integral de líneaLa expresión de la integral para el trabajo realizado al desplazar una carga puntual Q de unaposición a otra, ecuación 3, es un ejemplo de una integral de línea, la cual, en la notacióndel análisis vectorial, siempre tiene la forma de una integral evaluada a lo largo de una tra-yectoria preestablecida del producto punto entre el campo vectorial y el vector diferencialde longitud dL de la trayectoria. Sin utilizar el análisis vectorial, se tiene que escribir

en donde EL = componente de E en la dirección de dL.Una integral de línea es esencialmente descriptiva y esta característica la comparte con

otras integrales utilizadas en el análisis avanzado, incluyendo la integral de superficie queaparece en la ley de Gauss. Resulta más grato entender su significado que tratar de resolver-la. La integral de línea sugiere escoger una trayectoria, dividirla en un gran número de seg-mentos pequeños, multiplicar las componentes del campo paralelas a cada segmento por lalongitud del segmento y sumar todos los productos restantes. Esto es sólo una sumatoria,claro está, y el valor exacto de la integral se obtendrá cuando el número de los segmentosse vuelva infinito.

Este procedimiento se indica en la figura 4.1, donde la línea curva representa la trayec-toria escogida desde la posición inicial B hasta la posición final A,1 y en donde se ha selec-cionado un campo eléctrico uniforme por simplicidad. La trayectoria se divide en seissegmentos, ΔL1, ΔL2, . . . , ΔL6, y las componentes de E paralelas a cada segmento son EL1,EL2, . . . , EL6. Entonces, el trabajo realizado en el movimiento de una carga Q desde B has-ta A es aproximadamente

o utilizando notación vectorial,

6�7

3�7

2�7

3�7

6�7

2�7

3�7

6�7

1�z2

1 La posición final se ha designado con la letra A para que corresponda con la convención utilizada respecto de ladiferencia de potencial, que se estudia en la sección siguiente.

W = −Q∫ final

inicialEL dL

W = −Q(E1 · �L1 + E2 · �L2 + · · · + E6 · �L6)

W = −Q(EL1�L1 + EL2�L2 + · · · + EL6�L6)

www.elsolucionario.nety p p p p yp p p yde longitudde longitud ddLLddd de la trayectoria. Sin utilizar el análisis vectorial, se tiene qde la trayectoria. Sin utilizar el análisis vectorial, se tiene q

fi lfi l


4 . 2 La integral de línea 83

y como se ha supuesto que el campo es uniforme,

¿Qué significado tiene la suma de los segmentos vectoriales dentro del paréntesis en laexpresión anterior? Los vectores se suman utilizando la ley del paralelogramo y la suma esjustamente el vector LBA, dirigido del punto inicial B al punto final A. Por lo tanto,

(uniforme E) (4)

Si se recuerda la interpretación de la integral de línea como una sumatoria, este resul-tado para el campo eléctrico uniforme se puede obtener rápidamente de la siguiente expre-sión integral:

(5)

que aplicada a un campo uniforme resulta

en donde la última integral se transforma en LBA y

(uniforme E)

A este caso especial con campo eléctrico uniforme se debe que el trabajo necesario pa-ra mover la carga sólo dependa de Q, E y LBA, vector trazado del punto inicial al punto

Figura 4.1 Interpretación gráfica de una integral de línea en un campo uniforme.La integral de línea de E entre los puntos B y A es independiente de la trayectoriaseleccionada, aun en un campo no uniforme. Este resultado no es válido, engeneral, para campos que varían con el tiempo.

Posición final

Posición inicial

,

E1 = E2 = · · · = E6

W = −QE · (�L1 + �L2 + · · · + �L6)

W = −QE · LB A

W = −Q∫ A

BE · dL

W = −QE ·∫ A

BdL

W = −QE · LB A

www.elsolucionario.netupuesto que el campo es uniforme,puesto que el campo es uniformel l i i



final de la trayectoria escogida. No depende de ninguna trayectoria en particular seleccio-nada para trasladar la carga. Si se lleva desde B hasta A a lo largo de una línea recta o decualquier curva, sin importar lo complicado que sea, la respuesta es siempre la misma. Semostrará en la sección 4.5 que un argumento idéntico puede emplearse en un campo (está-tico) E no uniforme.

Considérense los ejemplos siguientes para ilustrar la forma en que se establece la inte-gral de línea (5).

Se proporciona el campo no uniforme

y se pide determinar el trabajo realizado en transportar una carga de 2C de B(1, 0, 1) a A(0.8,0.6, 1) a través del arco más corto del círculo

Solución. Se utiliza W = −Q � AB E · dL, donde E no es necesariamente una constante. Si

se trabaja en coordenadas cartesianas, la diferencial de trayectoria dL es dxax + dyay + dzazy la integral se transforma en

en donde los límites de la integral se escogieron de acuerdo con los valores inicial y final delas variables de integración apropiadas. Utilizando la ecuación de la trayectoria circular (yescogiendo el signo correcto del radical de acuerdo con el cuadrante en el que se esté traba-jando), tenemos

Encontrar de nuevo el trabajo que se requiere para llevar una carga de 2C de B a A en el mis-mo campo, pero en esta ocasión utilizando la trayectoria en línea recta de B a A.

Solución. Primero se determinan las ecuaciones de la línea recta. Cualquier par de las siguien-tes tres ecuaciones para los planos que pasan a través de la línea son suficientes para definirla:

EJEMPLO 4.1

EJEMPLO 4.2

E = yax + xay + 2az

x2 + y2 = 1 z = 1

W = −Q∫ A

BE · dL

= −2∫ A

B(yax + xay + 2az) · (dx ax + dy ay + dz az)

= −2∫ 0.8

1y dx − 2

∫ 0.6

0x dy − 4

∫ 1

1dz

W = −2∫ 0.8

1

√1 − x2 dx − 2

∫ 0.6

0

√1 − y2 dy − 0

= −[x√

1 − x2 + sen−1 x]0.8

1−[

y√

1 − y2 + sen−1 y]0.6

0

= −(0.48 + 0.927 − 0 − 1.571) − (0.48 + 0.644 − 0 − 0)

= −0.96 J

www.elsolucionario.net∫

B

∫

= −= −22∫∫ AA

((yyaaxx ++ xxaay ++ 22azz)) ·· ((dxdx axx ++ dydy aayy ++ dzdz aazz))


4 . 2 La integral de línea 85

De la primera de las ecuaciones anteriores tenemos

y de la segunda

Así que:

Ésta es la misma respuesta que se obtuvo utilizando la trayectoria circular entre los mis-mos puntos y una vez más se demuestra el enunciado (aún no probado) de que el trabajorealizado es independiente de la trayectoria tomada si el campo es electrostático.

Debe notarse que las ecuaciones de la línea recta muestran que dy = −3dx y dx =−3dy. Estas sustituciones pueden realizarse en las dos primeras integrales anteriores, juntocon un cambio en los límites, obteniéndose la solución final evaluando las nuevas integra-les. Este método es normalmente más sencillo cuando el integrando es una función de unasola variable.

Obsérvese que en las expresiones para dL en los tres tipos de sistemas de coordenadasse deben utilizar las diferenciales de longitud obtenidas en el primer capítulo (rectangularen la sección 1.3, cilíndrica en la sección 1.8 y esférica en la sección 1.9):

(6)

(7)

(8)

La relación que guardan las diversas variables en cada expresión las determina la ecuaciónespecífica de la trayectoria.

Como último ejemplo ilustrativo de evaluación de la integral de línea, se considerarán va-rias trayectorias tomadas cerca de una línea de carga infinita. La expresión del campo ya se haobtenido varias veces antes y se sabe que sólo tiene componente en la dirección radial,

y − yB = yA − yB

xA − xB(x − xB)

z − zB = z A − zB

yA − yB(y − yB)

x − xB = xA − xB

z A − zB(z − zB)

y = −3(x − 1)

z = 1

W = −2∫ 0.8

1y dx − 2

∫ 0.6

0x dy − 4

∫ 1

1dz

= 6∫ 0.8

1(x − 1) dx − 2

∫ 0.6

0

(1 − y

3

)dy

= −0.96 J

dL = dx ax + dy ay + dz az (rectangular)

dL = dρ aρ + ρ d φaφ + dz az (cilíndrica)

dL = dr ar + r dθ aθ + r sen θ d φ aφ (esférica)

E = Eρaρ = ρL

2πε0ρaρ

www.elsolucionario.netmisma respuesta que se obtuvo utilizando la trayectoria circular entre los mis-isma respuesta que se obtuvo utilizando la trayectoria circular entre los mis-

0.96 J



Se calculará primero el trabajo realizado al mover una carga positiva Q a lo largo deuna trayectoria circular de radio ρb , centrada en la línea de carga como lo ilustra la figura4.2a. No vale la pena siquiera tomar un lápiz, se ve inmediatamente que el trabajo debe sernulo porque la trayectoria es siempre perpendicular a la dirección de la intensidad de cam-po eléctrico o, dicho de otra forma, la fuerza ejercida en la carga forma siempre un ángulorecto con la dirección en la cual se está moviendo. Sólo como práctica se realizará la inte-gración para obtener la solución.

Se seleccionan las coordenadas cilíndricas para expresar el elemento diferencial dL y la tra-yectoria circular requiere que dρ y dz sean cero, así que dL = ρ1 dφ a

φ. El trabajo es, entonces,

Si ahora la carga se mueve de ρ = a a ρ = b a lo largo de una dirección radial (figura4.2b), resulta dL = dρa

ρy

o

Como b es mayor que a, ln(b/a) es positivo, y se observa que el trabajo realizado es ne-gativo, esto indica que el agente externo que interacciona con la carga recibe energía al nopermitir que se acelere.

Uno de los errores más frecuentes que se comete al evaluar la integral de línea es utili-zar demasiados signos negativos cuando una carga se mueve en la dirección en que decre-cen los valores de alguna de las coordenadas. Esto ya se toma en cuenta completamente enlos límites de la integral y no tiene por qué haber confusión, ni intentar cambiar el signo dedL. Supóngase que se traslada Q desde b hasta a (figura 4.2b). Aún tenemos dL = dρa

ρy

Figura 4.2 a) Una trayectoria circular y b) una trayectoria recta radial a lo largo de lascuales una carga Q es trasladada en el campo creado por una línea de carga infinita.Ningún trabajo se realiza en el primer caso.

Línea infinitade carga

W = −Q∫ final

inicial

ρL

2πε0ρ1aρ · ρ1 dφ aφ

= −Q∫ 2π

0

ρL

2πε0dφ aρ · aφ = 0

W = −Q∫ final

inicial

ρL

2πε0ρaρ · dρ aρ = −Q

∫ b

a

ρL

2πε0

d ρ

ρ

W = − QρL

2πε0ln

b

a

www.elsolucionario.netpo eléctrico o, dicho de otra forma, la fuerza ejercida en la carga forma siede otra forma, la fuerza ejercida en la carga forma sirecto con la dirección en la cual se está moviendo. Sólo como práctica se recto con la dirección en la cual se está moviendo. Sólo como práctica se gración para obtener la solucióngración para obtener la solución


4 . 3 Definición de diferencia de potencial y potencial 87

el cambio en la dirección queda automáticamente incluido con sólo tomar ρ = b como pun-to inicial y ρ = a como punto final,

Este resultado es el negativo de la solución anterior e indudablemente es correcto.

D4.2 Calcular el trabajo realizado para llevar una carga de 4 C de B(1, 0, 0) a A(0, 2, 0)a lo largo de la trayectoria y = 2 − 2x, z = 0 en el campo E =: a) 5ax V/m; b) 5xaxV/m; c) 5xax + 5yay V/m.

Respuesta: 20 J; 10 J; −30 J

D4.3 Se verá después que un campo E variable con el tiempo no es necesariamenteconservativo. [Si no fuera conservativo, el trabajo expresado en la ecuación (3) podríaestar en función de la trayectoria utilizada.] Sea E = yax V/m en cierto instante, calcu-le el trabajo necesario para mover una carga de 3 C desde (1, 3, 5) a (2, 0, 3) a lo lar-go de segmentos rectilíneos que unen los puntos: a) (1, 3, 5) con (2, 3, 5) con (2, 0,5) con (2, 0, 3); b) (1, 3, 5) con (1, 3, 3) con (1, 0, 3) con (2, 0, 3).

Respuesta: −9 J; 0

4.3 Definición de diferenciade potencial y potencial

Ahora todo queda listo para definir un nuevo concepto a partir de la expresión para el tra-bajo que realiza un agente externo al mover una carga Q de un punto a otro en un campoeléctrico E, “Diferencia de potencial y trabajo”.

De la misma manera que se definió a la intensidad de campo eléctrico como la fuerzapor unidad de carga, se define ahora la diferencia de potencial V como el trabajo que se rea-liza (por un agente externo) al mover una unidad de carga positiva de un punto a otro en uncampo eléctrico,

(9)

Se debe llegar a un acuerdo sobre la dirección del movimiento utilizado para que coin-cida con el lenguaje, y esto se logra estableciendo que VAB significa la diferencia de poten-cial entre los puntos A y B y es el trabajo realizado al mover una carga unitaria desde B(mencionada en segundo lugar) hasta A (mencionada en primer lugar). Así, al determinarVAB, B es el punto inicial, y A el punto final. La razón de esta definición peculiar será com-

W = −Q∫ a

b

ρL

2πε0

d ρ

ρ= QρL

2πε0ln

b

a

Ilustraciones

W = −Q∫ final

inicialE · dL

= V = −∫ final

inicialE · dLDiferencia de potencial

www elsolucionario neta: 9 J; 0www elsolucionario net



prendida más adelante, cuando se vea que al punto inicial B se le asocia normalmente unpunto al infinito, mientras que el punto final A representa la posición fija de la carga; por lotanto, el punto A es de naturaleza más significativa.

La diferencia de potencial se mide en joules por coulomb, de lo cual se define el volt,la unidad más comúnmente utilizada y cuya abreviatura es V. Por consiguiente, la diferen-cia de potencial entre los puntos A y B está dada por

(10)

donde VAB es positivo si se realiza trabajo cuando la carga se mueve de B a A.En el ejemplo de la línea de carga de la sección anterior encontramos que el trabajo rea-

lizado al desplazar una carga Q desde ρ = b hasta ρ = a era

Por lo anterior, la diferencia de potencial entre los puntos ρ = a y ρ = b es

(11)

Se puede comprobar la validez de la definición determinando la diferencia de potencialentre los puntos A y B localizados a las distancias rA y rB medidas radialmente desde unacarga puntual Q positiva. Escogiendo el origen en Q,

y

se tiene

(12)

Si rB > rA, la diferencia de potencial VAB es positiva, lo que indica que el agente exter-no gasta energía para llevar una carga positiva de rB a rA. Esto concuerda con la imagen fí-sica que muestra a dos cargas similares repeliéndose mutuamente.

A veces es conveniente hablar del potencial o potencial absoluto de un punto, más quede la diferencia de potencial entre dos puntos. Esto sólo significa medir la diferencia de po-tencial de cada punto con respecto a un punto específico de referencia y que se consideracomo un potencial igual a cero. Debe llegarse a un acuerdo acerca de la referencia cero sise quiere que el potencial tenga un significado claro. Una persona que con una mano tocalas placas deflectoras de un tubo de rayos catódicos, localizados en “un potencial de 50 V”,y que con la otra toca el cátodo estaría probablemente demasiado agitada por el “toque” re-cibido como para darse cuenta de que el cátodo no es la referencia cero, sino que todos lospotenciales del circuito comúnmente se miden con respecto a la caja metálica que rodea altubo. El cátodo podría ser de varios miles de volts más negativo con respecto a tal cubierta.

Quizá el punto de referencia cero más utilizado para las medidas tanto experimentalescomo físicas es la “tierra”, término con el que se denota el potencial de la región superficialde la Tierra misma. Teóricamente, se acostumbra representar esta superficie por medio deun plano infinito con potencial cero, aunque en problemas a gran escala, como los relativosa la propagación de señales a través del océano Atlántico, se requiere que la superficie seaesférica con un potencial cero.

VAB = −∫ A

BE · dL V

W = QρL

2πε0ln

b

a

Vab = W

Q= ρL

2πε0ln

b

a

E = Er ar = Q

4πε0r2ar

dL = dr ar

VAB = −∫ A

BE · dL = −

∫ rA

rB

Q

4πε0r2dr = Q

4πε0

(1

rA− 1

rB

)yy

E = EErr aarr = Q

44πεπε00rr2aarr


4 . 4 El campo de potencial de una carga puntual 89

Otro “punto” de referencia muy utilizado es el infinito. Generalmente aparece en proble-mas teóricos en los que se modelan situaciones físicas en las que la Tierra está relativamentelejos de la región cuyo estudio interesa; ejemplos de este tipo es el campo estático cerca de lapunta del ala de un aeroplano que ha adquirido carga al volar a través de una tormenta o elcampo en el interior de un átomo. En el caso del campo de potencial gravitacional cercano ala superficie de la Tierra, la de referencia cero se toma generalmente al nivel del mar; sin em-bargo, para una misión interplanetaria resulta más conveniente localizarlo en el infinito.

En ciertas ocasiones, cuando existe simetría cilíndrica y el infinito resulta inconvenien-te, puede utilizarse una superficie cilíndrica con radio definido como referencia cero. En uncable coaxial se elige el conductor externo como el potencial de referencia cero. Por otro la-do, existen numerosos problemas especiales en los cuales es necesario seleccionar como su-perficie de potencial cero un hiperboloide de doble hoja o una esfera achatada; sin embargo,este tipo de problemas no debe preocupar por el momento.

En resumen, si el potencial en el punto A es VA y en B es VB, entonces

(13)

en la cual necesariamente VA y VB deben medirse con respecto al mismo punto de potencialde referencia cero.

D4.4 Un campo eléctrico se expresa en coordenadas cartesianas como E = 6x2ax+ 6yay + 4az V/m. Encontrar: a) VMN si los puntos M y N están definidos comoM(2, 6, −1) y N(−3, −3, 2); b) VM si V = 0 en Q(4, −2, −35); c) VN si V = 2 enP(1, 2, −4).

Respuesta: −139.0 V; −120.0 V; 19.0 V

4.4 El campo de potencial de una carga puntual

En la sección anterior se encontró la expresión (12) para la diferencia de potencial existen-te entre dos puntos localizados en r = rA y r = rB en el campo de una carga punto Q loca-lizada en el origen,

(14)

Se supuso entonces que los dos puntos pertenecían a la misma línea radial o que teníanlas mismas coordenadas θ y φ, permitiendo así establecer un camino simple sobre dicha ra-dial para llevar la carga positiva. Debemos preguntarnos ahora si en los diferentes valoresde θ y φ para las posiciones inicial y final afectarán la respuesta, y también si podemosescoger trayectorias más complicadas entre los dos puntos sin que existan cambios en losresultados. Se resolverán ambas preguntas simultáneamente escogiendo dos puntos cuales-quiera A y B (figura 4.3), localizados a distancias radiales rA y rB, y cualquier valor para lasotras coordenadas.

La diferencial dL de longitud de la trayectoria tiene componentes r, θ y φ, en tanto queel campo eléctrico sólo tiene en la dirección radial. Utilizando el producto punto resulta

VAB = VA − VB

VAB = −∫ rA

rB

Er dr = −∫ rA

rB

Q

4πε0r2dr = Q

4πε0

(1

rA− 1

rB

)

VAB = Q

4πε0

(1

rA− 1

rB

)= VA − VB

twww.elsolucionario.net).

139 0 V 120 0 V; 19 0 V



Se obtiene la misma respuesta, con lo que se demuestra que la diferencia de potencialentre dos puntos, en el campo que produce una carga punto, depende solamente de la dis-tancia de cada punto a la carga y no de la trayectoria en particular utilizada para mover lacarga unitaria de un punto a otro.

¿Cómo se podría definir convenientemente un potencial con referencia cero? La posi-bilidad más sencilla es hacer que V = 0 en el infinito. Si alejamos el punto r = rB hasta elinfinito, el potencial rA se convierte en

o, como no existe razón para identificar a este punto con el subíndice A,

(15)

Esta expresión define el potencial en cualquier punto ubicado a una distancia r de unacarga punto Q situada en el origen, tomando como referencia cero al potencial en un puntocuya distancia a la carga sea infinito. Considerando la interpretación física, puede decirseque Q/4πε0r joules de trabajo se necesitan para transportar una carga de 1 C desde el infi-nito a cualquier punto que se encuentre a r metros de la carga Q.

Un método para expresar convenientemente el potencial sin tener que definir una refe-rencia cero consiste en identificar otra vez rA como r y haciendo Q/4πε0rB una constante.Entonces se tiene que

(16)

y C1 se puede escoger de tal forma que V = 0 para cualquier valor de r. También es posibleseleccionar la referencia cero de una manera indirecta eligiendo V como V0 para r = r0.

Se debe observar que la diferencia de potencial entre dos puntos no es una función de C1.La ecuación (15) o la (16) representan el campo de potencial de una carga puntual. El

potencial es un campo escalar y no involucra ningún vector unitario.Ahora puede definirse la superficie equipotencial como la superficie que componen to-

dos aquellos puntos cuyo potencial tiene el mismo valor. No es necesario realizar ningún

Figura 4.3 Una trayectoria cualquiera entre los puntos B y A del campode una carga puntual Q localizada en el origen. La diferencia de potencialVAB es independiente de la trayectoria seleccionada.

sen

Trayectoria

VA = Q

4πε0rA

V = Q

4πε0r

V = Q

4πε0r+ C1

www.elsolucionario.netVVAAVV == QQona44πεπ 00rrAA


4 . 5 El campo de potencial de un sistema de cargas: propiedad conservativa 91

trabajo para mover una carga sobre una superficie equipotencial, ya que por definición nohay diferencia de potencial entre cualquier par de puntos situados en la superficie.

Las superficies equipotenciales en el campo de potencial de una carga puntual son es-feras centradas en la carga puntual.

Si se inspecciona la forma del potencial campo de una carga punto se observa que esun campo que varía inversamente con la distancia, mientras que la intensidad del campoeléctrico lo hace inversamente al cuadrado de la distancia. Un resultado similar ocurre conel campo de fuerza gravitacional de una masa puntual (fuerza que varía inversamente con ladistancia). La fuerza gravitacional que ejerce la Tierra sobre un objeto a un millón de km deella es cuatro veces mayor a la ejercida sobre el mismo objeto a una distancia de dos millo-nes de km. Sin embargo, la energía cinética que adquiere un cuerpo que cae libremente em-pezando desde el “final” del Universo, con velocidad inicial cero, es solamente dos vecesmayor cuando llega a un millón de km de distancia que cuando se llega a dos millones dekm de la Tierra.

D4.5 Una carga puntual de 15 nC se encuentra en el espacio libre situada en el ori-gen. Calcular V1 si el punto P1 se encuentra en P1(−2, 3, −1) y: a) V = 0 en (6, 5, 4);b) V = 0 en el infinito; c) V = 5V en (2, 0, 4).

Respuesta: 20.67 V; 36.0 V; 10.89 V

4.5 El campo de potencial de un sistema de cargas: propiedad conservativa

El potencial en un punto se definió como el trabajo realizado al llevar hasta él una unidadde carga positiva desde el punto de referencia cero. Existen indicios de que este trabajo, ypor ende el potencial, es independiente de la trayectoria tomada. Si no ocurriera así, el po-tencial no sería un concepto tan útil.

Ahora se demostrará esta afirmación. Para lograrlo se comenzará con el campo de po-tencial de una carga puntual, para el cual ya se ha demostrado, en la sección anterior, la in-dependencia del trabajo con respecto a la trayectoria, tomando en cuenta que el campo eslineal con respecto a la carga, y que, por lo tanto, la superposición es aplicable. En conse-cuencia, se concluirá que el potencial de un sistema de cargas tendrá un valor en cualquierpunto que es independiente de la trayectoria empleada para llevar la carga de prueba hastaese punto.

Por lo tanto, el campo de potencial de una carga punto, Q1, localizada en r1, involucrasólo la distancia |r − r1| desde Q1 hasta el punto r donde se requiere establecer el valor delpotencial. Si se elige el punto de referencia de potencial cero en el infinito, se tiene

El potencial debido a dos cargas, Q1 en r1 y Q2 en r2, será función solamente de |r − r1| y|r − r2|, las| distancias de Q1 y Q2, respectivamente, al punto en el cual se desea cono-cer el campo

Ilustraciones

V (r) = Q1

4πε0|r − r1|

V (r) = Q1

4πε0|r − r1| + Q2

4πε0|r − r2|

www.elsolucionario.netampo de potencial de un sistemaencial de un sistemargas: propiedad conservativaargas: propiedad conservativa



Si se continúa añadiendo cargas, se encuentra que el potencial debido a n cargas puntuales es

o

(17)

Si ahora se considera que cada carga puntual puede representarse por un pequeño elementode una distribución de carga volumétrica continua ρ

νΔν, entonces se tiene

En el límite, cuando el número de elementos tiende a infinito, se obtiene la expresiónintegral

(18)

Se ha avanzado una buena distancia desde que se comenzó con el campo de potencialcreado por una sola carga puntual y sería conveniente hacer un alto y examinar (18) para re-frescar la memoria sobre el significado de cada término. El potencial V(r) está determinadorespecto de una referencia cero en el infinito y es la medida exacta del trabajo realizado altraer una unidad de carga desde el infinito hasta el punto r en donde se requiere conocer elvalor del potencial. La densidad de carga volumétrica ρy(r�) y el elemento diferencial de vo-lumen dν� se combinan para representar una cantidad diferencial de carga ρ

ν(r�)dν� locali-

zada en r�. La distancia |r − r�| es la distancia entre la fuente puntual de carga y el lugar enel que se desea medir el potencial. La integral es una integral múltiple (de volumen).

Si se trata de una distribución lineal o superficial de carga, la integración se realiza a lolargo de la línea o sobre la superficie involucrada:

(19)

(20)

La expresión más general para el potencial se obtiene combinando (17), (18), (19) y (20).Estas expresiones integrales del potencial, en términos de la distribución de carga, se

pueden comparar con expresiones similares para la intensidad de campo eléctrico, tal comola (18) de la sección 2.3:

De nuevo se observa que el potencial cambia inversamente con la distancia, y que la in-tensidad del campo eléctrico lo hace inversamente al cuadrado de la distancia. Y que esteúltimo es, por supuesto, un campo vectorial.

La forma en que se utiliza una de estas integrales para el potencial se ilustra determi-nando el campo V en el eje z debido a una distribución con densidad de carga lineal ρL, en

V (r) = Q1

4πε0|r − r1| + Q2

4πε0|r − r2| + · · · + Qn

4πε0|r − rn|

V (r) = ρν(r1)�ν1

4πε0|r − r1| + ρν(r2)�ν2

4πε0|r − r2| + · · · + ρν(rn)�νn

4πε0|r − rn|

V (r) =∫

vol

ρν(r′) dv ′

4πε0|r − r′|

V (r) =∫

ρL (r′) d L ′

4πε0|r − r′|

V (r) =∫

S

ρS(r′) d S′

4πε0|r − r′|

E(r) =∫

vol

ρν(r′) dv ′

4πε0|r − r′|2r − r′

|r − r′|

V (r) =n∑

m=1

Qm

4πε0|r − rm |

www.elsolucionario.netrespecto de una referencia cero en el infinito y es la medida exacta del trabrespecto de una referencia cero en el infinito y es la medida exacta del trabtraer una unidad de carga desde el infinito hasta el punto traer una unidad de carga desde el infinito hasta el punt rr en donde se reqen donde se req


4 . 5 El campo de potencial de un sistema de cargas: propiedad conservativa 93

forma de anillo con radio ρ = a, y contenido en el plano z = 0, como lo muestra la figura 4.4.

Si se trabaja con (19), se tiene que dL� = adφ�, r = zaz, r�= aaρ, |r − r�| = �a2� +� z�2�, y

En resumen, con la referencia cero en el infinito se tiene lo siguiente:

1. El potencial debido a una carga puntual es el trabajo requerido para trasladar una uni-dad de carga positiva desde el infinito hasta el punto en el cual se desea conocer el po-tencial. Además, el trabajo es independiente de la trayectoria seleccionada.

2. El campo de potencial debido a cierto número de cargas puntuales es la suma de loscampos de potencial individuales que cada una de ellas produce.

3. El potencial en un punto debido a cierto número de cargas puntuales o a una distribu-ción de carga continua puede encontrarse desplazando una unidad de carga desde el in-finito hasta el punto en cuestión a lo largo de cualquier trayectoria que se escoja.

En otras palabras, la expresión del potencial (con la referencia cero en el infinito),

o la diferencia de potencial,

no dependen de la trayectoria escogida para evaluar la integral de línea, cualquiera que seala fuente productora del campo E.

Figura 4.4 El campo de potencial de un anillo que tieneuna densidad de carga lineal uniforme se obtiene fácilmentede V = ∫

ρL(r�)dL�/(4π�0|r � r�|).

V =∫ 2π

0

ρLa dφ′

4πε0

√a2 + z2

= ρLa

2ε0

√a2 + z2

VA = −∫ A

∞E · dL

VAB = VA − VB = −∫ A

BE · dL

www.elsolucionario.netρ y p g

n (19), se tiene quen (19), se tiene qu dLdL�� == adadφφd ��, rr == zaazz, , rr��== aaaaρρ, ||r r −− rr��| == ��aa� 2�� ++�� z�� 22�� , y, y



Este resultado se establece frecuentemente de una manera más concisa tomando encuenta que no se realiza trabajo cuando una carga se lleva por cualquier trayectoria cerra-da, es decir,

(21)

Se traza un pequeño círculo sobre el signo de la integral para indicar que la trayectoriaes cerrada. Este símbolo también apareció en la expresión de la ley de Gauss, en donde seutilizó una superficie cerrada para la integración.

La ecuación (21) es verdadera para campos estáticos, pero como se verá en el capítulo10, Faraday demostró que resulta incompleta cuando está presente un campo magnético quevaría con el tiempo. Una de las mayores contribuciones de Maxwell a la teoría electromag-nética fue demostrar que un campo eléctrico que varía con el tiempo produce un campomagnético, por lo que debe esperarse que la ecuación (21) resulte incorrecta cuando E o Hvaríen con el tiempo.

Fijando la atención únicamente en el caso de un campo estático E que no cambia conel tiempo, se considerará el circuito de cd de la figura 4.5. Se han marcado dos puntos, Ay B, y la ecuación (21) afirma que no se realiza trabajo para mover una unidad de cargadesde A hasta B pasando por R2 y R3, y luego de regreso hasta A pasando por R1, o dichode otra manera, la suma de las diferencias de potencial a lo largo de cualquier trayectoriacerrada es cero.

La ecuación (21) resulta ser, por lo tanto, una expresión más general que la ley circui-tal de Kirchhoff para voltajes. Es más general en cuanto a que se puede aplicar a cualquierregión donde exista un campo eléctrico y no se restringe a un campo convencional compues-to de alambres, resistencias y baterías. La ecuación (21) debe corregirse antes de que se pue-da utilizar para campos que varíen con el tiempo. Se tendrá el cuidado de hacerlo en loscapítulos 10 y 13, en donde se estará en posibilidad de establecer la forma general de la leyde voltajes de Kirchhoff para corrientes y voltajes que varíen con el tiempo.

Cualquier campo de fuerza que satisface una ecuación de la forma de (21), es decir, endonde una integral de línea cerrada dentro del campo es cero, se le llama campo conserva-tivo. El nombre se origina en el hecho de que no es necesario realizar trabajo (la energía seconserva) a lo largo de una trayectoria cerrada. El campo gravitacional es conservativo, por-que cualquier energía invertida en mover (elevar) un objeto en contra de él se recupera com-

Figura 4.5 Un problema sencillo con un circuito cd quedebe resolverse considerando E · dL = 0 como la ley circuital de Kirchhoff para voltajes.

∮

∮E · dL = 0

www.elsolucionario.netLa ecuación (21) resulta ser, por lo tanto, una expresión más general qLa ecuación (21) resulta ser, por lo tanto, una expresión más general qtal de Kirchhoff para voltajes. Es más general en cuanto a que se puede aptal de Kirchhoff para voltajes. Es más general en cuanto a que se puede ap


4 . 6 Gradiente de potencial 95

pletamente cuando el objeto regresa (baja) a su posición inicial. Un campo gravitacional noconservativo podría solucionar nuestros problemas de energía para siempre.

Dado un campo no conservativo, es posible que la integral de línea sea cero para algu-nas trayectorias cerradas. Por ejemplo, considérese el campo de fuerza F = sen π ρ a

φ. A lo

largo de una trayectoria circular de radio ρ = ρ1, se tiene dL = ρ dφ aφ

, y

La integral es cero si ρ1 = 1, 2, 3, . . . , etc., pero no para todos los valores de ρ1; es de-cir, para la mayoría de las trayectorias cerradas. El campo dado es, por tanto, no conserva-tivo. En un campo conservativo la integral de línea a lo largo de cualquier trayectoriacerrada se debe anular.

D4.6 Suponiendo que la referencia cero se halla en el infinito, encuentre el poten-cial en (0, 0, 2) que causa la siguiente configuración de carga en el espacio libre:a) 12 nC/m en la línea ρ = 2.5 m, z = 0; b) una carga puntual de 18 nC en (1, 2, −1); c)12 nC/m en la línea y = 2.5, z = 0.

Respuesta: 529 V; 43.2 V; 67.4 V

4.6 Gradiente de potencialSe tienen ahora dos métodos para determinar el potencial, uno se calcula directamente de laintensidad de campo eléctrico por medio de una integral de línea, y el otro a partir de la dis-tribución de carga, evaluando una integral de volumen. Ninguno de ambos métodos es útil pa-ra la determinación de los campos en la mayoría de los problemas prácticos, porque, como severá después, la intensidad de campo eléctrico y la distribución de carga son, por lo general,desconocidos. La información preliminar con la que se cuenta consiste principalmente de ladescripción de las superficies equipotenciales, como decir que se tienen dos placas paralelasconductoras de sección circular a potenciales de 100 V y −100 V. En un caso así, es posibleque se quiera encontrar la capacitancia entre los dos conductores o la distribución de carga yde corriente sobre los mismos, puesto que esto permite calcular pérdidas.

Estas cantidades se obtienen fácilmente, si se sabe cómo, del campo de potencial, porlo que la meta principal será encontrar un método sencillo para determinar la intensidad decampo eléctrico a partir del potencial.

Se tiene ya la relación general entre estas cantidades por medio de la integral de línea,

(22)

sin embargo, ésta es mucho más fácil de utilizar en la dirección contraria, es decir, dado E,encontrar V.

Sin embargo, (22) se puede aplicar a un pequeño elemento de longitud ΔL a lo largodel cual E es básicamente constante, y producir un incremento ΔV en la diferencia de po-tencial dado por

(23)

Interactivos

∮F · dL =

∫ 2π

0sen πρ1aφ · ρ1dφ aφ =

∫ 2π

0ρ1 sen πρ1 d φ

= 2πρ1 sen πρ1

V = −∫

E · dL

�V =̇ −E · �L

www.elsolucionario.netiente de potencialiente de potencialdos métodos para determinar el potencial uno se calcula directamente de lados métodos para determinar el potencial uno se calcula directamente de la



En primer lugar, se tratará de ver si es posible determinar con esta ecuación alguna nue-va información acerca de la relación de V con E. Considérese una región cualquiera del es-pacio, como la que muestra la figura 4.6, en la cual tanto E como V cambian continuamentede un punto a otro. La ecuación (23) sugiere que se escoja un incremento vectorial de lon-gitud ΔL = ΔL aL para multiplicar su magnitud por la componente de E en la dirección deaL (una interpretación del producto punto) y así obtener la pequeña diferencia de potencialentre los puntos de los extremos final e inicial de ΔL.

Si se escoge la letra θ para designar el ángulo entre ΔL y E, se obtiene

Se desea ahora tomar el límite para considerar la derivada dV/dL. Para esto, es necesa-rio mostrar que V puede interpretarse como una función V(x, y, z). Hasta el momento, V noes más que el resultado de la integral de línea (22). Si se supone un punto inicial específicoo punto de referencia de potencial cero y se le asignan al punto final las coordenadas (x, y, z),se sabe que el resultado de la integración tendrá que ser una función que depende solamentedel punto final (x, y, z) dado que E es un campo conservativo. Por lo tanto, V es una funciónunivalente V(x, y, z). Se puede proceder a tomar el límite y entonces obtener

¿Qué dirección debe tener ΔL para obtener un valor máximo de ΔV? Recuérdese que Etiene un valor definido en el punto en el cual se está trabajando e independiente de la direc-ción de ΔL. La magnitud ΔL también es constante y nuestra variable es aL, el vector unita-rio que muestra la dirección de ΔL. Es evidente que el incremento máximo positivo delpotencial, ΔVmáx, ocurre cuando cos θ es −1, o sea, cuando ΔL apunta en la dirección opues-ta al campo E. Con esta condición se tiene

Figura 4.6 Un vector incremento de longitud ΔL semuestra formando un ángulo θ respecto al campo E,indicado por las líneas de flujo. No se muestra la fuente queproduce el campo.

�V =̇ −E�L cos θ

dV

d L= −E cos θ

dV

d L

∣∣∣∣máx

= E

www.elsolucionario.netaaLL (una interpretación del producto punto) y así obtener la pequeña diferen(una interpretación del producto punto) y así obtener la pequeña diferenentre los puntos de los extremos final e inicial deentre los puntos de los extremos final e inicial de ΔΔLL..



Este pequeño ejercicio sirvió para mostrar dos características de la relación entre E y Vpara cualquier punto:

1. La magnitud de la intensidad del campo eléctrico está dada por el máximo valor de larazón de cambio del potencial con respecto a la distancia.

2. Este valor máximo se obtiene cuando la dirección del incremento de distancia es opues-ta a E, o dicho con otras palabras, la dirección E es opuesta a la dirección en la cual elpotencial aumenta más rápidamente.

Ahora se ilustrarán estas relaciones en términos del potencial. Supóngase que la figura 4.7muestra la información obtenida en relación con algún campo de potencial. Dicha informa-ción la muestran las superficies equipotenciales (indicadas por medio de curvas en el dibujobidimensional). Lo que se desea es determinar la intensidad de campo eléctrico en el punto P.Trazando en varias direcciones un pequeño incremento de distancia ΔL con origen en P, sebusca la dirección en la cual el potencial cambia (aumenta) con mayor rapidez. De acuerdocon el dibujo, esta dirección se dirige hacia la izquierda y ligeramente hacia arriba. Tomandoen cuenta la segunda característica, la intensidad de campo eléctrico está en la direcciónopuesta, es decir, hasta la derecha y ligeramente hacia abajo en P. La magnitud se obtiene di-vidiendo el tamaño del incremento de potencial entre el pequeño elemento de longitud.

Parece razonable suponer que la dirección en la cual el potencial se incrementa más rá-pidamente es aquella perpendicular a las equipotenciales (en el sentido en el que el poten-cial aumenta), lo cual resulta correcto, ya que si ΔL está dirigido a lo largo de unaequipotencial ΔV = 0, por la misma definición de superficie equipotencial. Pero entonces

y puesto que ni E ni ΔL son cero, E debe ser perpendicular a ΔL, o sea, perpendicular a lasequipotenciales.

Puesto que es más probable que la información sobre el potencial de campo se deter-mine en primera instancia, se describirá matemáticamente la dirección de ΔL que conduce

Figura 4.7 Un campo de potencial se muestra mediante sussuperficies equipotenciales. En cualquier punto, el campo E esnormal a la superficie equipotencial que pasa a través de esepunto y se dirige hacia las superficies más negativas.

�V = −E · �L = 0

www.elsolucionario.netambio del potencial con respecto a la distancia.n respecto a la distan

máximo se obtiene cuando la dirección del incremento de distancia es opues-máximo se obtiene cuando la dirección del incremento de distancia es opues-h l b l di ióh l b l di ió EE l di ió l l ll di ió l l



a un aumento máximo en el potencial, en términos del campo de potencial y no de la inten-sidad de campo eléctrico. Se empezará llamando aN al vector unitario normal a la superficieequipotencial y dirigido hacia los valores más altos del potencial. De esta manera, la inten-sidad de campo eléctrico puede expresarse en términos del potencial como

(24)

en donde se muestra que la magnitud de E está dada por la máxima variación espacial de Vy que la dirección de E es normal a la superficie equipotencial (en el sentido en que dismi-nuye el potencial).

Como dV/dL|máx ocurre cuando ΔL está en la dirección de aN, se puede poner de mani-fiesto este hecho por medio del cambio de notación

y escribir que

(25)

Las ecuaciones (24) y (25) resultan adecuadas para proporcionar una interpretación fí-sica del proceso y así encontrar la intensidad de campo eléctrico a partir del potencial. Am-bas describen un procedimiento general y no es conveniente utilizarlas directamente paraobtener información cuantitativa. Este procedimiento que lleva de V a E no se aplica única-mente para este par de cantidades eléctricas; también aparece relacionado con un escalar yun campo vectorial en hidráulica, termodinámica y magnetismo y, de hecho, se presenta encasi todos los temas en los que se aplica el análisis vectorial.

La operación sobre V mediante la cual se obtiene −E se conoce con el nombre de gra-diente; la definición del gradiente de un campo escalar T está dada por

(26)

en donde aN es un vector unitario normal a las superficies equipotenciales, y cuyo sentidoes aquel en el que se aumentan los valores de T.

Si se utiliza esta nueva terminología, la relación entre V y E se puede expresar como

(27)

Puesto que ya se ha demostrado que V es sólo función de x, y y z, se puede tomar su di-ferencia total

Pero como también se cumple

E = −dV

d L

∣∣∣∣máx

aN

dV

d L

∣∣∣∣máx

= dV

d N

E = − dV

d NaN

Gradiente de T = grad T = dT

d NaN

E = −grad V

dV = ∂V

∂xdx + ∂V

∂ydy + ∂V

∂zdz

dV = −E · dL = −Ex dx − Ey dy − Ez dz

www.elsolucionario.netsica del proceso y así encontrar la intensidad de campo eléctrico a partir desica del proceso y así encontrar la intensidad de campo eléctrico a partir debas describen un procedimiento general y no es conveniente utilizarlas dibas describen un procedimiento general y no es conveniente utilizarlas di



Y dado que ambas expresiones son verdaderas para cualquier dx, dy y dz, entonces

Estos resultados se pueden expresar de manera vectorial como

(28)

y comparando (27) y (28) se obtiene una expresión que puede utilizarse para evaluar el gra-diente en coordenadas cartesianas,

(29)

El gradiente de un escalar es un vector. Desde hace mucho tiempo los exámenes esco-lares muestran que los vectores unitarios que se añaden de manera incorrecta a la expresiónde la divergencia son los que se omiten incorrectamente en el gradiente. Una vez que se cap-ta que el gradiente, dado por (26), debe interpretarse físicamente como la máxima razón es-pacial de cambio de una cantidad escalar y proporcionando la dirección en la que estemáximo ocurre, la naturaleza vectorial del gradiente se vuelve evidente.

El operador vectorial

puede utilizarse formalmente como un operador sobre un escalar, T, ∇T, produciendo

de donde se observa que

Esto permite usar una expresión muy compacta para relacionar E y V,

(30)

El gradiente se puede expresar en términos de derivadas parciales en otros sistemas decoordenadas aplicando la definición (26). Estas expresiones se derivan en el Apéndice A yse muestran a continuación por comodidad para cuando se necesiten en problemas que ten-gan simetría esférica o cilíndrica. También aparecen en las páginas finales del libro.

Interactivos

Ex = −∂V

∂x

Ey = −∂V

∂y

Ez = −∂V

∂z

E = −(

∂V

∂xax + ∂V

∂yay + ∂V

∂zaz

)

grad V = ∂V

∂xax + ∂V

∂yay + ∂V

∂zaz

∇ = ∂

∂xax + ∂

∂yay + ∂

∂zaz

∇T = ∂T

∂xax + ∂T

∂yay + ∂T

∂zaz

∇T = grad T

E = −∇V

www.elsolucionario.nete de un escalar es un vector. Desde hace mucho tiempo los exámenes esco-e de un escalar es un vector. Desde hace mucho tiempo los exámenes esco-que los vectores unitarios que se añaden de manera incorrecta a la expresiónque los vectores unitarios que se añaden de manera incorrecta a la expresión



(31)

(32)

(33)

Obsérvese que el denominador de cada término tiene la forma de una de las componentesde dL en el sistema de coordenadas respectivas, excepto que una diferencial parcial reem-plaza a la diferencial ordinaria; por ejemplo, r sen θ dφ se convierte en r sen θ ∂φ.

Se ilustrará ahora el concepto de gradiente con un ejemplo.

Dado el campo de potencial V = 2x2y − 5z y el punto P(−4, 3, 6), se desea encontrar algu-nos valores numéricos en el punto P: el potencial V, la intensidad de campo eléctrico E, ladirección de E, la densidad de flujo eléctrico D y la densidad volumétrica de carga ρ

ν.

Solución. El potencial en P(−4, 5, 6) es

Enseguida se puede utilizar la operación gradiente para obtener la intensidad de campoeléctrico,

El valor de E en el punto P es

y

La dirección de E en P la da el vector unitario

Si se supone que estos campos se encuentran en el espacio libre, entonces

Por último, se puede utilizar la relación de la divergencia para encontrar la densidad de car-ga volumétrica que produce el campo de potencial dado,

En P, ρν= −106.2 pC/m3.

EJEMPLO 4.3

∇V = ∂V

∂xax + ∂V

∂yay + ∂V

∂zaz (rectangular)

∇V = ∂V

∂ρaρ + 1

ρ

∂V

∂φaφ + ∂V

∂zaz (cilíndrico)

∇V = ∂V

∂rar + 1

r

∂V

∂θaθ + 1

r sen θ

∂V

∂φ aφ (esférico)

VP = 2(−4)2(3) − 5(6) = 66 V

E = −∇V = −4xyax − 2x2ay + 5az V/m

EP = 48ax − 32ay + 5az V/m

|EP | =√

482 + (−32)2 + 52 = 57.9 V/m

aE,P = (48ax − 32ay + 5az)/57.9

= 0.829ax − 0.553ay + 0.086az

D = ε0E = −35.4xy ax − 17.71x2 ay + 44.3 az pC/m3

ρν = ∇ · D = −35.4y pC/m3

www.elsolucionario.netnos valores numéricos en el puntoos en el pun P: el potencialp V, la intensidad de campntensidad de campVdirección de dirección de EE, la densidad de flujo eléctrico a densidad de flujo eléctrico DD y la densidad volumétrica y la densidad volumétrica


4 . 7 El dipolo 101

D.4.7 La figura 4.8 muestra una porción de un potencial bidimensional (Ez = 0).Las líneas de la cuadrícula tienen una separación de 1 mm en el campo real. Deter-mine de una manera aproximada los valores para E en coordenadas cartesianas en:a) a; b) b; c) c.

Respuesta: −1075ay V/m; −600ax − 700ay V/m; −500ax − 650ay V/m

D.4.8 Dado un campo de potencial en coordenadas cilíndricas,

un punto P en ρ = 3 m, φ = 60°, z = 2 m, encontrar los valores de P para: a) V; b)E; c) E; d) dV/dN; e) aN; f ) ρ

νen el espacio libre.

Respuesta: 30.0 V; −10.00aρ

+ 17.3aφ

+ 24.0az V/m; 31.2 V/m; 31.2 V/m; 0.32aρ

−0.55a

φ− 0.77az; −234 pC/m3

4.7 El dipoloEl campo producido por un dipolo, que se estudiará en esta sección, es de gran importanciapuesto que proporciona las bases para entender el comportamiento de materiales dieléctricosen campos eléctricos, lo cual veremos en partes del siguiente capítulo, así como la justifi-cación para utilizar el método de imágenes descrito en la sección 5.5 del siguiente capítu-lo. Más aún, este análisis servirá para ejemplificar la importancia del concepto de potencialpresentado en este capítulo.

Un dipolo eléctrico, o simplemente dipolo, es el nombre dado a dos cargas puntualesde igual magnitud y signo contrario, separadas por una distancia pequeña comparada con la

V = 100

z2 + 1ρ cosφV,

Figura 4.8 Véase el problema D4.7.

twww.elsolucionario.netfigura 4.8 muestra una porción de un potencial bidimensional Ez = 0).de la cuadrícula tienen una separación de 1 mm en el campo real. Deter-



distancia al punto P en el cual se desea conocer los campos eléctrico y potencial. La fi-gura 4.9a muestra un dipolo. La distancia al punto P la describen las coordenadas esféri-cas r, θ y φ = 90°, en virtud de la simetría axial con respecto a z. Las cargas puntuales

positiva y negativa tienen una separación d y coordenadas cartesianas (0, 0, d) y (0, 0,

− d), respectivamente.

Con esto termina la geometría. ¿Con qué se debe continuar? ¿Se debe calcular la inten-sidad total del campo eléctrico sumando los ya conocidos campos de cada carga? ¿Será másfácil calcular primero el campo de potencial? De todas maneras, aun antes de resolver elproblema, ya se sabe que si se encuentra uno, se puede conocer otro.

Si se elige encontrar E primero, se tendrá que seguir la pista a dos componentes encoordenadas esféricas (por la simetría E

φes cero), y la única manera de encontrar V a par-

tir de E es por medio de una integral de línea. Este último paso incluye el establecimientode una referencia cero apropiada para el potencial, ya que la integral de línea solamente pro-porciona la diferencia de potencial entre los puntos inicial y final de la trayectoria.

1�2

1�2

Figura 4.9 a) La geometría del problema del dipolo eléctrico.El momento dipolar p = Qd está en la dirección de az. b) Paraun punto lejano P, R1 es esencialmente paralelo a R2, por loque R2 − R1 = d cos θ.

Distancia al punto P

wwww.elsolucionario.netuoolo ucuuciolluc onc oionnnaa


4 . 7 El dipolo 103

Por otro lado, la determinación de V primero representa un problema mucho más sen-cillo. Esto se debe a que se puede encontrar el potencial en función de la posición simple-mente sumando los potenciales escalares de las dos cargas. La magnitud y dirección delvector E dependiente de la posición se obtienen con relativa facilidad calculando el gradien-te negativo de V.

Seleccionando este método más simple, sean las distancias de Q y −Q a P es R1 y R2,respectivamente. El potencial total se puede escribir como

Obsérvese que el plano z = 0, a la mitad del camino entre las dos cargas puntuales, es el lu-gar geométrico de los puntos para los cuales R1 = R2, y, por lo tanto, es un plano con po-tencial cero, al igual que cualquier punto en el infinito.

Para un punto muy lejano con respecto a las cargas R1 = R2, y el producto R1R2 en el de-nominador se puede reemplazar por r2. Sin embargo, esta aproximación no debe realizarse enel numerador, ya que se obtendría la solución trivial en la que el potencial se aproxima a ceroal alejarnos del dipolo. Sin retirarse mucho del dipolo, en la figura 4.9b se observa que pa-ra R2 − R1 puede encontrarse una aproximación fácilmente, si R1 y R2 se suponen paralelos,

El resultado final es, entonces,

(34)

Se observa, como ya se dijo, que el plano z = 0 (θ = 90°) está a un potencial cero.Si se utiliza la ecuación del gradiente en coordenadas esféricas,

se obtiene

(35)

o

(36)

Éstas son las expresiones buscadas para el punto distante del dipolo y obtenidas conmuy poco esfuerzo. Cualquier estudiante que quiera invertir varias horas de trabajo puedeintentar resolver el problema en la dirección contraria. El autor considera que el proceso esdemasiado largo y tedioso para incluirlo, aun con fines didácticos.

Para graficar el campo de potencial se puede escoger un dipolo de forma queQd/(4πe0) = 1, y entonces cos θ = Vr2. Las líneas más gruesas en la figura 4.10 indican

V = Q

4πε0

(1

R1− 1

R2

)= Q

4πε0

R2 − R1

R1R2

R2 − R1 =̇ d cos θ

E = −∇V = −(

∂V

∂rar + 1

r

∂V

∂θaθ + 1

r sen θ

∂V

∂φaφ

)

E = −(

− Qd cos θ

2πε0r3 ar −

Qd sen θ

4πε0r3aθ

)

E = Qd

4πε0r3 (2 cos θ ar + sen θ aθ )

V = Qd cos θ

4πε0r2www.elsolucionario.net(34)(34)eelsoluccV = Qd cosolu4πε0r2



las equipotenciales para las cuales V = 0, +0.2, +0.4, +0.6, +0.8 y +1, como está indicado.El eje del dipolo es vertical con la carga positiva en la parte superior. Las líneas de flujo delcampo eléctrico se obtienen aplicando los métodos de la sección 2.6 en coordenadas esféricas,

o

de la cual se obtiene

Las líneas de flujo (más delgadas) mostradas en la figura 4.10 son para C1 = 1, 1.5, 2 y 2.5.

Figura 4.10 Campo electrostático de un dipolo puntual con su momento en la direcciónaz. Seis superficies equipotenciales están marcadas con los valores relativos de V.

Eθ

Er= r dθ

dr= sen θ

2 cos θ

dr

r= 2 cot θ dθ

r = C1 sen2 θ

www.elsolucionario.netoolucionario


4 . 7 El dipolo 105

El campo de potencial del dipolo, ecuación (34), se puede simplificar utilizando el con-cepto del momento dipolar. Primero se identifica el segmento vectorial dirigido de −Q a+Q con la letra d, luego se define el momento bipolar como Qd y se le asigna el símbolop. De manera que,

(37)

Las unidades de p son C · m.Como d · ar = d cos θ, se tiene entonces

(38)

Este resultado puede generalizarse como

(39)

donde r determina la localización del campo en el punto P, y r� el centro del dipolo. Laecuación (39) es independiente de cualquier sistema de coordenadas.

El momento dipolar p aparecerá de nuevo cuando se analicen los materiales dieléctri-cos. Dado que resulta de la multiplicación de la carga por su separación, ni el momento di-polar ni el potencial cambiarán cuando Q se incremente y d se disminuya, si se tienecuidado de que su producto permanezca constante. El caso límite que produce un dipolopuntual se logra cuando d tiende a cero y Q a infinito de tal manera que el producto p semantenga finito.

Poniendo atención a los campos resultantes, es interesante notar que el campo de po-tencial disminuye con el inverso del cuadrado de la distancia, mientras que la intensidad decampo eléctrico lo hace con el inverso del cubo de la distancia al dipolo. Cada campo dis-minuye más rápido que el campo correspondiente para una carga puntual, pero esto no esmás que lo que se esperaría de dos cargas opuestas, que a gran distancia se ven tan juntasque necesariamente se comportan como una carga puntual de 0 C.

Arreglos simétricos con gran número de cargas puntuales producen campos que dismi-nuyen con el inverso de r elevado a un exponente cada vez mayor. Se les llama multipolosa estas distribuciones de carga y se utilizan en series infinitas para lograr aproximaciones dedistribuciones de carga más complicadas.

D4.9 Un dipolo eléctrico ubicado en el origen en el espacio libre tiene un momentop = 3ax − 2ay + az nC · m. a) Encontrar V en PA(2, 3, 4). b) Encontrar V en r = 2.5,θ = 30°, φ = 40°.

Respuesta: 0.23 V; 1.97 V

D4.10 Un dipolo tiene un momento p = 6az nC · m y está localizado en el origen enel espacio libre. a) Encontrar V en P(r = 4, θ = 20°, φ = 0°). b) Encontrar E en P.

Respuesta: 3.17 V; 1.58ar + 0.29aθ

V/m

p = Qd

V = p · ar

4πε0r2

V = 1

4πε0|r − r′|2 p · r − r′

|r − r′|

www.elsolucionario.netencial cambiarán cuandoencial cambiarán cuando QQ se incremente yse incremente y dd se disminuya, si se tienese disminuya, si se tienesu producto permanezca constante. El caso límite que produce un su producto permanezca constante. El caso límite que produce un dipolodipolo



4.8 Densidad de energía en el campo electrostático

Se ha presentado el concepto de potencial considerando el trabajo realizado o la energía uti-lizada al transportar una carga puntual a través de un campo eléctrico. Ahora es el momen-to de atar los cabos que quedaron sueltos en el estudio indicando los flujos de energía encada paso.

Trasladar una carga positiva desde el infinito a través del campo de otra carga positivarequiere trabajo; es decir, el trabajo que realiza el agente externo que mueve la carga. Su-póngase que el agente externo lleva la carga hasta un punto cercano a la carga fija y la man-tiene ahí. La energía debe conservarse, y la energía utilizada en llevar dicha carga a esaposición se ha convertido en energía potencial. Si el agente externo libera la carga, ésta seacelerará alejándose de la carga fija, adquiriendo energía cinética y la capacidad de realizartrabajo.

Encontrar la energía potencial presente en un sistema de cargas requiere hallar el traba-jo que realizó el agente externo al acomodar las cargas.

Se puede comenzar visualizando un universo vacío. Trasladar una carga Q1 desde el in-finito a cualquier posición no requiere trabajo, ya que no hay ningún campo presente.2 Pa-ra colocar otra carga Q2 en algún punto del campo de Q1 es necesaria cierta cantidad detrabajo dada por el producto de la carga Q2 por el potencial debido a la carga Q1. Si se re-presenta este potencial como V2,1, en donde el primer subíndice indica la carga colocada, yel segundo, la fuente, esto es, V2,1 es el potencial al colocar Q2 en el campo de Q1, entonces

Trabajo total de posicionamiento

De manera similar, se puede expresar el trabajo necesario para colocar cada carga adi-cional en el campo de las ya presentes:



y así sucesivamente. El trabajo total se obtiene sumando cada contribución:

Trabajo total de posicionamiento = energía potencial del campo

(40)

Si se observa la forma de los términos representativos en la ecuación anterior,

donde R13 y R31 representan la distancia escalar entre Q1 y Q3, se observa que en el lado iz-quierdo también podría haberse escrito Q1 V1,3. Si cada término de la energía total se reem-plaza con su equivalente, se tiene

(41)

2 Sin embargo, alguien en un taller en el infinito ha tenido que realizar una cantidad infinita de trabajo para crearla carga puntual. ¿Cuánta energía es necesaria para unir dos medias cargas que formen una unidad de carga?

Q2 = Q2V2,1

Q3 = Q3V3,1 + Q3V3,2

Q4 = Q4V4,1 + Q4V4,2 + Q4V4,3

= WE = Q2V2,1 + Q3V3,1 + Q3V3,2 + Q4V4,1

+Q4V4,2 + Q4V4,3 + · · ·

Q3V3,1 = Q3Q1

4πε0R13= Q1

Q3

4πε0R31

WE = Q1V1,2 + Q1V1,3 + Q2V2,3 + Q1V1,4 + Q2V2,4 + Q3V3,4 + · · ·

www.elsolucionario.netTrabajo total de posicionamientoTrabajo total de posicionamiento QQ22 == QQ22VV22V ,11


4 . 8 Densidad de energía en el campo electrostático 107

Sumando ambas expresiones de la energía (40) y (41) es posible simplificar un poco elresultado:

Cada suma de potenciales en los paréntesis es el potencial resultante debido a todas las car-gas, con excepción de aquella ubicada en el punto donde existe este potencial resultante. Enotras palabras,

es el potencial en la posición de Q1 debido a la presencia de Q2, Q3, . . . Entonces se tiene

(42)

Obtener la expresión de la energía almacenada en una región en donde existe una dis-tribución de carga continua requiere reemplazar cada carga por ρ

νdν y la suma se convierte

en una integral,

(43)

Las ecuaciones (42) y (43) permiten encontrar la energía potencial total presente en unsistema de cargas puntuales o distribuidas uniformemente en un volumen. Estas expresionessemejantes se pueden encontrar con facilidad para densidades de cargas lineales y superfi-ciales. En general se prefiere utilizar (43) como representativa de todos los tipos de cargaque pueden encontrarse. Esto puede hacerse siempre que se consideren las cargas puntua-les, las densidades de carga lineales o superficiales como pequeñas regiones con una densi-dad de carga volumétrica continua. Este procedimiento se ilustrará mediante un ejemplo.

Antes de intentar cualquier aplicación de este resultado, deben considerarse unos cuan-tos renglones de análisis vectorial más complicados para obtener una expresión equivalen-te a (43) escrita en términos de E y D.

Para empezar, la expresión (43) se hará un poco más larga. En la primera ecuación deMaxwell se sustituye ρ

νpor su equivalente ∇ · D y se utiliza la siguiente identidad vecto-

rial, que resulta cierta para cualquier función escalar de V y la función vectorial D,

(44)

Esta identidad se puede demostrar desarrollándola en coordenadas cartesianas. Entonces setiene, sucesivamente,

2WE = Q1(V1,2 + V1,3 + V1,4 + · · ·)+ Q2(V2,1 + V2,3 + V2,4 + · · ·)+ Q3(V3,1 + V3,2 + V3,4 + · · ·)+ · · ·

V1,2 + V1,3 + V1,4 + · · · = V1

WE = 12 (Q1V1 + Q2V2 + Q3V3 + · · ·) = 1

2

m=N∑m=1

Qm Vm

WE = 12

∫vol

ρνV dv

∇ · (V D) ≡ V (∇ · D) + D · (∇V )

WE = 12

∫vol

ρνV dv = 12

∫vol

(∇ · D)V dv

= 12

∫vol

[∇ · (V D) − D · (∇V )] dv

www.elsolucionario.net(43)(43)WWEEWW == 11s22

∫∫olol

∫∫∫ρρννV dvV dv



Por medio del teorema de la divergencia visto en el capítulo anterior, la primera inte-gral de volumen de la última ecuación puede cambiarse a una integral sobre una superficiecerrada que envuelve el volumen considerado. Este volumen, presentado por primera vez en(43), debe contener cada una de las cargas y no deben existir cargas fuera de él. Si es nece-sario puede considerarse que la extensión del volumen es infinita. Se tiene entonces

La integral de superficie es igual a cero, puesto que, sobre la superficie cerrada que ro-dea al universo, V se aproxima a cero cuando menos como 1/r (las cargas parecen una car-ga puntual desde muy lejos), y D se aproxima a cero cuando menos como 1/r2. Por lo tanto,el integrando se aproxima a cero al menos tan rápido como 1/r3, mientras que el elementodiferencial de superficie se parece más a una porción de esfera y crece sólo con r2. En el lí-mite r → ∞, el integrando y la integral son cero. Por último, sustituyendo E = −∇V en laintegral de volumen restante, se tiene la respuesta,

(45)

Al utilizar esta última expresión, se calculará la energía almacenada en el campo elec-trostático de una sección de un cable coaxial, o el capacitor, de longitud L. Con base en lasección 3.3 se tiene que

De aquí que

en donde ρS es la densidad superficial de carga en el conductor interno, de radio a. Por lo tanto,

Este mismo resultado se puede obtener de (43). Si se le asigna al conductor externo co-mo una referencia de potencial cero, el potencial del cilindro interno es, entonces,

La densidad superficial de carga ρS en ρ = a puede considerarse como una densidad de

carga volumétrica ρν= ρS / t, que se extiende desde ρ = a − t hasta ρ = a + t, donde

t << a. Por lo tanto, el integrando en (43) es cero en cualquier región entre los cilindros(donde la densidad de carga volumétrica es cero), así como sobre el cilindro exterior (donde

1�2

1�2

WE = 12

∮S(V D) · dS − 1

2

∫vol

D · (∇V ) dv

WE = 12

∫vol

D · E dv = 12

∫vol

ε0 E2 dv

Dρ = aρS

ρ

E = aρS

ε0ρaρ

WE = 12

∫ L

0

∫ 2π

0

∫ b

aε0

a2ρ2S

ε20ρ

2ρ dρ dφ dz = π L a2ρ2

S

ε0ln

b

a

Va = −∫ a

bEρ dρ = −

∫ a

b

aρS

ε0ρdρ = aρS

ε0ln

b

a

www.elsolucionario.nettrostático de una sección de un cable coaxial, o el capacitor, de longitudtrostático de una sección de un cable coaxial, o el capacitor, de longitud LLsección 3.3 se tiene quesección 3.3 se tiene que


4 . 8 Densidad de energía en el campo electrostático 109

el potencial es cero). La integración se efectúa solamente dentro de la delgada capa cilíndri-ca localizada en ρ = a,

de la cual una vez más se obtiene

Esta expresión se puede transformar en una forma mejor conocida, si se toma en cuen-ta que la carga total del conductor interno es Q = 2πaLρS. La combinación de ésta con ladiferencia de potencial Va entre los cilindros conduce al resultado más familiar

que se conoce como la energía almacenada en un capacitor.La pregunta de dónde se almacena la energía en un campo eléctrico aún no ha sido con-

testada. La energía potencial nunca podrá estar restringida a los términos de una localiza-ción física. Alguien levanta un lápiz, y éste adquiere energía potencial. ¿Dónde se almacenala energía?, ¿en las moléculas del lápiz?, ¿entre el campo gravitacional entre el lápiz y laTierra?, ¿o en algún oscuro y desconocido lugar? La energía en un capacitor, ¿se almacenaen las cargas mismas?, ¿en el campo?, ¿o dónde? Nunca nadie ha ofrecido una prueba quesustente su opinión particular y el asunto mejor se deja a los filósofos.

La teoría electromagnética, sin mucha dificultad, posibilita aceptar que la energía de uncampo eléctrico o de una distribución de carga se almacena en el campo mismo; si se toma(45), una expresión rigurosamente exacta y correcta,

y se escribe en forma diferencial

o

(46)

se obtiene la cantidad que tiene las dimensiones de una densidad de energía, joulespor metro cúbico. Además, si se integra esta densidad de energía sobre todo el volumen quecontiene al campo, el resultado es, sin lugar a dudas, la energía total presente, pero en el ca-so diferencial no existe ninguna justificación para decidir si es mejor escoger D · E dν co-mo la energía almacenada en cada elemento diferencial de volumen dν, o tomando en

cuenta (43), es decir, que la energía almacenada es ρν

V dν. Sin embargo, la interpretación

fundamentada por (46) es conveniente y seguirá siendo utilizada mientras no se pruebe quesea incorrecta.

12

12 D · E,

WE = 12

∫vol

ρν V dV = 12

∫ L

0

∫ 2π

0

∫ a+t/2

a−t/2

ρS

ta

ρS

ε0ln

b

aρ dρ dφ dz

WE = a2ρ2S ln(b/a)

ε0πL

WE = 12 QVa

WE = 12

∫vol

D · E dv

dWE = 12 D · E dv

dWE

dv= 1

2 D · E

www.elsolucionario.netismas?, ¿en el campo?, ¿o dónde? Nunca nadie ha ofrecido una prueba que¿o dónde? Nunca nadie ha ofrecido una prueba quenión particular y el asunto mejor se deja a los filósofos.nión particular y el asunto mejor se deja a los filósofos.ectromagnética sin mucha dificultad posibilita aceptar que la energía de unectromagnética sin mucha dificultad posibilita aceptar que la energía de un



D4.11 Encontrar la energía almacenada en el espacio libre en la región 2 mm < r <

3 mm, 0 < θ < 90°, 0 < φ < 90°, dado el campo de potencial V =: a) V;

b) V.

Respuesta: 46.4 μJ; 36.7 J

Lecturas complementarias1. Attwood, S. S., Electric and Magnetic Fields, 3a. ed., Nueva York, John Wiley & Sons, 1949. Con-

tiene un gran número de mapas de campos bien dibujados para varias distribuciones de carga, in-cluyendo el campo del dipolo. No utiliza análisis vectorial.

2. Skilling, H. H. (Revise las lecturas complementarias del capítulo 3.) El gradiente se describe enlas páginas 19-21.

3. Thomas, G. B., Jr. y R. L. Finney. (Revise las lecturas complementarias del capítulo 1.) La deri-vada direccional y el gradiente se presentan en las páginas 823-830.

Problemas4.1 El valor de E en P(ρ = 2, φ = 40°, z = 3) está dado por E = 100a

ρ− 200a

φ+ 300az

V/m. Determinar el trabajo incremental requerido para mover una carga de 20 μCuna distancia de 6 μm: a) en la dirección de a

ρ; b) en la dirección de a

φ; c) en la di-

rección de az; d) en la dirección de E; e) en la dirección de G = 2ax − 3ay + 4az.

4.2 Un campo eléctrico está dado por E = −10ey (sen 2zax + x sen 2zay + 2x cos 2zaz)V/m. a) Encontrar E en P(5, 0, π /12). b) ¿Cuánto trabajo se realiza en mover una car-ga de 2 nC a una distancia incremental de 1 mm desde P en la dirección de ax? c) ¿deay? d) ¿de az? e) ¿de (ax + ay + az)?

4.3 Si E = 120aρ

V/m, encontrar la cantidad de trabajo incremental realizado para mo-ver una carga de 50 μC una distancia de 2 mm de: a) P(1, 2, 3) hacia Q(2, 1, 4);b) Q(2, 1, 4) hacia P(1, 2, 3).

4.4 Se ha visto que la energía necesaria para llevar una carga de 4 μC desde el origen(x, 0, 0) a lo largo del eje x es directamente proporcional al cuadrado de la longitud dela trayectoria. Si Ex = 7 V/m en (1, 0, 0), determine Ex sobre el eje x como función de x.

4.5 Calcular el valor de para G = 2yax con A(1, −1, 2) y P(2, 1, 2) utilizandola trayectoria: a) segmentos de línea rectos entre los puntos A(1, −1, 2) a B(1, 1, 2)a P(2, 1, 2); b) segmentos de línea rectos entre los puntos A(1, −1, 2) a C(2, −1, 2) aP(2, 1, 2).

4.6 Determinar el trabajo realizado en llevar una carga de 2 − μC de (2, 1, −1) a (8, 2, −1)en el campo E = yax + xay a lo largo de a) la parábola x = 2y2, b) la hipérbolex = 8/(7 − 3y); c) la línea recta x = 6y − 4.

4.7 Sea G = 3xy2ax + 2zay. Dado un punto inicial P(2, 1, 1) y un punto final Q(4, 3, 1),encontrar G · dL utilizando la trayectoria: a) línea recta: y = x − 1, z = 1; b) pa-

rábola: 6y = x2 + 2, z = 1.

∫A

∫ PA G · dL

300 cos θ��

r2

200�

r

Exámenes www.elsolucionario.net4.1 El valor de E enen P(ρ 2,2 φ 40 ,, z 3) está dado por o E 100a

ρ

V/m. Determinar el trabajo incremental requerido para mover una V/m. Determinar el trabajo incremental requerido para mover una una distancia de 6una distancia de 6 μμm:m: aa) en la dirección de) en la dirección de aa ;; b) en la dirección d) en la dirección d


Problemas 111

4.8 Dado E = −xax + yay, encontrar el trabajo necesario para mover una carga unitariapositiva en un arco circular centrado en el origen desde x = a hasta x = y = a /�2�.

4.9 Una densidad volumétrica de superficie uniforme de 20 nC/m2 se encuentra en la su-perficie de la esfera de radio r = 0.6 cm en el espacio libre. a) Encontrar el potencialabsoluto en P(r = 1 cm, θ = 25°, φ = 50°). b) Encontrar VAB dados los puntosA(r = 2 cm, θ = 30°, φ = 60°) y B(r = 3 cm, θ = 45°, φ = 90°).

4.10 Exprese el campo de potencial de una carga lineal infinita a) con la referencia ceroen ρ = ρ0; b) con V = V0 en ρ = ρ0. c) ¿Puede localizarse la referencia cero en el in-finito? ¿Por qué?

4.11 Una densidad de carga de superficie uniforme de 5 nC/m2 está presente en el planoz = 0, otra densidad de carga de superficie uniforme de 8 nC/m2 está presente en x = 0,z = 4, y una carga puntual de 2 μC en P(2, 0, 0). Si V = 0 en M(0, 0, 5), encontrar Ven N(1, 2, 3).

4.12 E = 2r/(r2 + a2)2ar V/m, en coordenadas esféricas. Encontrar el potencial en cual-quier punto utilizando la referencia a) V = 0 en el infinito; b) V = 0 en r = 0; c) V= 100 V en r = a.

4.13 Tres cargas puntuales idénticas de 4 pC cada una se localizan en las esquinas de untriángulo equilátero de 0.5 mm de lado en el espacio libre. ¿Cuánto trabajo debe rea-lizarse para mover una carga a un punto equidistante de los otros dos sobre la líneaque los une?

4.14 Dado un campo electrostático E = (y + 1)ax + (x − 1)ay + 2az, encontrar la di-ferencia de potencial entre los puntos a) (2, −2, −1) y (0, 0, 0); b) (3, 2, −1) y(−2, −3, 4).

4.15 Dos líneas de carga uniformes de 8 nC/m, cada una se localizan en x = 1, z = 2, yen x = −1, y = 2 en el espacio libre. Si el potencial en el origen en 100 V, encontrarV en P(4, 1, 3).

4.16 El potencial en cualquier punto del espacio está dado por la expresión V = (k/ρ2) cos(bφ) V/m, donde k y b son constantes. a) ¿Dónde se encuentra la referencia de poten-cial cero? b) Encontrar la intensidad del campo eléctrico vectorial en cualquier pun-to (ρ, φ, z).

4.17 Dos densidades de carga de superficie uniformes de 6 y 2 nC/m2 están presentes enρ = 2 y 6 cm, respectivamente, en el espacio libre. Suponer que V = 0 en ρ = 4 cmy calcular V en: a) ρ = 5 cm; b) ρ = 7 cm.

4.18 Encontrar el potencial en el origen que produce la línea de carga ρL = kx/(x2 + a2)que se extiende a lo largo del eje x desde x = a hasta +∞, donde a > 0. Suponer queel punto de referencia cero está en el infinito.

4.19 Una superficie anular de 1 cm < ρ < 3 cm, z = 0, tiene una densidad de carga desuperficie no uniforme ρs = 5ρ nC/m2. Encontrar V en P(0, 0, 2 cm) si V = 0 enel infinito.

4.20 Una carga puntual Q se localiza en el origen. Expresar el potencial en coordenadascartesianas y cilíndricas y utilizar la operación gradiente en esos sistemas de coorde-nadas para encontrar la intensidad de campo eléctrico. Puede verificarse el resultadoconvirtiéndolos a coordenadas esféricas.

campo electrostáticocampo electrostático EE == ((yy ++ 1)1 aaxx ++ (xx − 1))aayy ++ 22aazz, encontrar la di-, encontrar la di-de potencial entre los puntosde potencial entre los puntos aa) (2, ) (2, −−2,2, −−1) y (0, 0, 0); 1) y (0, 0, 0); bb) (3, 2, ) (3, 2 −−1) y1) y



4.21 Sea V = 2xy2z3 + 3 ln(x2 + 2y2 + 3z2) V en el espacio libre. Evaluar cada una de lascantidades siguientes en P(3, 2, −1): a) V; b) |V|; c) E; d) |E|; e) aN; f ) D.

4.22 Un determinado campo de potencial está dado por V = V0(r/a) sen θ en coordenadasesféricas. Encontrar la carga total contenida dentro de la región r < a.

4.23 Se sabe que un potencial está dado por V = 80ρ0.6 V. Suponiendo condiciones en elespacio libre, encontrar: a) E; b) la densidad de carga volumétrica en ρ = 0.5 m;c) la carga total dentro de la superficie cerrada ρ = 0.6, 0 < z < 1.

4.24 La superficie que define la ecuación x3 + y2 + z = 1 000, donde x, y y z son positi-vas, es una superficie equipotencial en la que el potencial es de 200 V. Si |E| = 50V/m en el punto P(7, 25, 32) sobre la superficie, encontrar E en ese punto.

4.25 Dentro del cilindro ρ = 2, 0 < z < 1, el potencial está dado por V = 100 + 50ρ + 150ρ

sen φ V. a) Encontrar V, E, D y ρν

en P(1, 60°, 0.5) en el espacio libre. b) ¿Cuántacarga se encuentra dentro del cilindro?

4.26 Supóngase que se tiene un plano conductor imperfecto de forma cuadrada muy del-gado de 2 m de lado, ubicado en el plano z = 0 con una esquina en el origen de talforma que se localice totalmente dentro del primer cuadrante. El potencial en cual-quier punto de la placa está dado por V = −e−x sen y. a) Un electrón ingresa a la pla-ca por el punto x = 0, y = π /3 con una velocidad inicial de cero; ¿en qué direcciónes su movimiento inicial? b) Debido a colisiones con partículas en la placa el elec-trón alcanza una velocidad relativamente baja y poca aceleración (el trabajo que elcampo realiza en ella se convierte en su mayor parte en calor). Por lo tanto, el elec-trón se mueve aproximadamente en línea recta. ¿En qué parte el electrón abandonala placa y en qué dirección se está moviendo?

4.27 Dos cargas puntuales de 1 nC en (0, 0, 0.1) y −1 nC en (0, 0, −0.1) se encuentran enel espacio libre. a) Calcular V en P(0.3, 0, 0.4), b) Calcular |E| en P. c) Supóngaseque las dos cargas forman un dipolo en el origen, calcular V en P.

4.28 Utilizar la intensidad de campo eléctrico del dipolo de la [sección 4.7, ecuación (36)]para encontrar la diferencia de potencial entre puntos θa y θb, cada uno de ellos te-niendo las mismas coordenadas r y φ. ¿En qué condiciones la respuesta cumple conla ecuación (34) para el potencial en θa?

4.29 Un dipolo tiene un momento p = 3ax − 5ay + 10az nC · m y se localiza en Q(1, 2, −4)en el espacio libre. Encontrar V en P(2, 3, 4).

4.30 Un dipolo para el que p = 10ε0az C · m se ubica en el origen. ¿Cuál es la ecuaciónde la superficie en la que Ez = 0 pero E � 0?

4.31 Un campo de potencial en el espacio libre se expresa como V = 20/(xyz) V. a) En-contrar la energía total almacenada dentro del cubo 1 < x, y, z < 2. b) ¿Cuál es el va-lor que se obtendría suponiendo una densidad de energía uniforme igual a la que hayen el centro del cubo?

4.32 a) Utilizando la ecuación (36), encontrar la energía almacenada en el campo dipolaren la región r > a. b) ¿Por qué no es posible que a se aproxime a cero como límite?

4.33 Una esfera de cobre de radio igual a 4 cm contiene una carga total distribuida unifor-memente de 5 μC en el espacio libre. a) Utilice la ley de Gauss para encontrar D fue-ra de la esfera. b) Calcular la energía total almacenada en el campo electrostático.c) Utilizar WE = Q2/(2C) para calcular la capacitancia de la esfera aislada.

campo realiza en ella se convierte en su mayor parte en calor). Por ampo realiza en ella se convierte en su mayor parte en calor). Por trón se mueve aproximadamente en línea recta. ¿En qué parte el eletrón se mueve aproximadamente en línea recta. ¿En qué parte el el


Problemas 113

4.34 Una esfera de radio a contiene una densidad uniforme de carga volumétrica deρ0 C/m3. Encontrar la energía total almacenada aplicando a) la ecuación (43); b) laecuación (45).

4.35 Cuatro cargas puntuales de 0.8 nC se ubican en el espacio libre en las esquinas de uncuadrado de 4 cm de lado. a) Encontrar la energía potencial total almacenada. b) Unaquinta carga de 0.8 nC está en el centro del cuadrado. Encontrar de nuevo la energíatotal almacenada.



6 C A P Í T U L O

136

Dieléctricos y capacitancia

Una vez que se han investigado las propiedades de los conductores en el capítulo 5,se enfocará la atención en el estudio de los materiales aisladores o dieléctricos. Es-tos materiales difieren de los conductores en que, idealmente, no existen cargas li-

bres que puedan transportarse a través de ellos para producir una corriente eléctrica. Enlugar de ello, toda la carga está confinada formando moléculas o enrejados por las fuerzasde Coulomb. La aplicación de un campo eléctrico tiene el efecto de desplazar las cargas li-geramente, lo cual genera la formación de conjuntos de dipolos eléctricos. La medida en queesto ocurre se mide por medio de la permitividad relativa o constante dieléctrica. La polari-zación del medio modifica el campo eléctrico, cuya magnitud y dirección puede variar delos valores que tendría en dieléctricos diferentes o en el espacio libre. Se estudiarán las con-diciones de frontera de los campos en las interfases entre los dieléctricos para poder evaluarestas diferencias.

El principio de desplazamiento de carga constituye un mecanismo de almacenamientode energía muy útil en la construcción de capacitores. Además, la respuesta de los materia-les dieléctricos a los campos que varían en el tiempo, en particular a las ondas electromag-néticas, es extremadamente importante en la comprensión de muchos fenómenos físicos yen el desarrollo de dispositivos de gran utilidad, como se podrá observar en capítulos pos-teriores. También se observará que la mayoría de los materiales posee propiedades tanto die-léctricas como conductoras; esto es, un material que se considere dieléctrico puede ser unpoco conductor y un material que básicamente sea conductor puede polarizarse ligeramen-te. Estas desviaciones de los casos ideales llevan a un comportamiento muy interesante, enparticular en cuanto a los efectos de la propagación de ondas, como se podrá ver después.

Una vez estudiados los materiales dieléctricos se analizarán los capacitores, particular-mente respecto a la capacitancia que se puede obtener a partir de una combinación determi-nada de conductores y dieléctricos. El objetivo es presentar los métodos con que se calculala capacitancia para diferentes casos básicos, incluyendo las geometrías de las líneas detransmisión, y para poder emitir juicios sobre cómo puede modificarse la capacitancia porcambios en los materiales o en sus configuraciones. Se estudian tanto métodos gráficos como

www.elsolucionario.netbres que puedan transportarse a través de ellos para producir una corriennsportarse a través de ellos para producir una corrielugar de ello, toda la carga está confinada formando moléculas o enrejadolugar de ello, toda la carga está confinada formando moléculas o enrejadode Coulomb La aplicación de un campo eléctrico tiene el efecto de desplade Coulomb La aplicación de un campo eléctrico tiene el efecto de despla


6.1 Naturaleza de los materiales dieléctricos 137

analíticos para determinar la capacitancia. En el capítulo 7 se aplican procedimientos ana-líticos y métodos numéricos adicionales para el cálculo de la capacitancia. ■

6.1 Naturaleza de los materialesdieléctricos

Aunque se han mencionado los materiales aislantes o dieléctricos, no se tienen relacionescuantitativas para ellos. Sin embargo, pronto se verá que un dieléctrico en un campo eléc-trico puede considerarse como un arreglo de dipolos eléctricos microscópicos compuestospor cargas positivas y negativas cuyos centros no coinciden perfectamente.

No se trata de cargas libres y no contribuyen al proceso de conducción. Más aún, semantienen en su lugar por las fuerzas atómicas y moleculares, y sólo pueden cambiar su po-sición ligeramente en respuesta a campos eléctricos externos. Se denominan cargas ligadas,en contraste a las cargas libres que determinan la conductividad. Las cargas ligadas puedentratarse como cualquier otra fuente de campo electrostático. Si no se desea, no es necesariointroducir la constante dieléctrica como un nuevo parámetro o tratar con permitividades di-ferentes de la permitividad del espacio libre; sin embargo, la alternativa sería considerar acada carga dentro de un pedazo de material dieléctrico. Esto sería pagar un precio muy altopor utilizar todas las ecuaciones anteriores de una manera inalterable; por lo tanto, se dedi-cará cierto tiempo teorizando acerca de los dieléctricos de un modo cuantitativo, introdu-ciendo la polarización P, la permitividad ε, y la permitividad relativa εr; y desarrollandoalgunas relaciones cuantitativas que involucren estas nuevas cantidades.

La característica común de todos los dieléctricos, ya sean sólidos, líquidos o gases, ten-gan o no estructura cristalina, es su capacidad para almacenar energía. Este almacenamien-to ocurre al cambiar las posiciones relativas de las cargas positivas y negativas ligadas en elinterior en contra de las fuerzas moleculares y atómicas.

Este desplazamiento en contra de la fuerza de restitución es similar a levantar un pesoo estirar un resorte, ya que representan energía potencial. La fuente de esta energía es elcampo externo, el desplazamiento de estas cargas puede producir una corriente transitoria através de la batería que produce el campo.

El mecanismo real por el cual la carga se desplaza es diferente entre varios materialesdieléctricos. Algunas moléculas, llamadas moléculas polares, tienen un desplazamiento per-manente entre el centro de “gravedad” de la carga positiva y negativa, y cada par de cargasactúa como un dipolo. Normalmente los dipolos están orientados en forma aleatoria en elinterior del material, y la acción del campo eléctrico externo sobre estas moléculas las ali-nea, hasta cierto punto, en la misma dirección. Un campo lo suficientemente intenso puedeincluso producir desplazamientos adicionales entre las cargas positivas y negativas.

Una molécula no polar no tiene este tipo de arreglo sino hasta que se aplica un campo.Las cargas positivas y negativas se desplazan en direcciones opuestas en contra de su atrac-ción mutua y producen un dipolo que se alinea con el campo eléctrico.

Interactivos

www.elsolucionario.netnes cuantitativas que involucren estas nuevas cantidades.volucren estas nuevaística común de todos los dieléctricos, ya sean sólidos, líquidos o gases, ten-ística común de todos los dieléctricos, ya sean sólidos, líquidos o gases, ten-tura cristalina es su capacidad para almacenar energía Este almacenamienura cristalina es su capacidad para almacenar energía Este almacenamien


138 CAPÍTULO 6 Dieléctricos y capacitancia

Ambos tipos de dipolos pueden describirse por su momento bipolar p, analizado en lasección 4.7, ecuación (37),

(1)

en donde Q es la carga positiva de las dos cargas ligadas que forman el dipolo y d es el vec-tor que va de la carga negativa a la positiva. Se puede notar que las unidades de p son cou-lombs-metros.

Si hay n dipolos por unidad de volumen y se trabaja con un volumen Δν, entonces hayn Δν dipolos, y el momento bipolar total se obtiene por medio de una suma vectorial,

Si los dipolos están alineados en la misma dirección, ptotal puede tener un valor significati-vo. Sin embargo, una orientación aleatoria producirá un ptotal esencialmente cero.

Se define ahora la polarización P como el momento dipolar por cada unidad devolumen,

(2)

con unidades de coulomb por metro cuadrado. Se manejará P como un campo continuo común,aun cuando es obvio que está indefinido en puntos interiores de un átomo o una molécula. Sinembargo, se puede pensar que su valor en cualquier punto es el valor promedio tomado de unamuestra de volumen Δν lo suficientemente grande para contener muchas moléculas (n Δν ennúmero), pero suficientemente pequeño como para utilizar el concepto de diferencial.

La tarea inmediata es mostrar que una densidad de carga volumétrica ligada actúa co-mo la densidad de carga libre volumétrica en cuanto a la producción de un campo eléctricoexterno; finalmente se obtendrá un resultado similar al de la ley de Gauss.

Para ser específicos, supóngase que se tiene un dieléctrico que contiene moléculas nopolares. Ninguna molécula tiene un momento dipolar y P = 0 dentro del material. En algúnlugar en el interior del dieléctrico se toma un incremento de superficie ΔS, como lo mues-tra la figura 6.1a, y se aplica un campo eléctrico E. El campo eléctrico produce un momen-to dipolar p = Qd en cada molécula, de tal forma que p y d forman un ángulo θ con ΔS,como lo indica la figura 6.1b.

Ahora inspecciónese el movimiento de las cargas ligadas a través de ΔS. Cada una de lascargas asociadas con la creación de un dipolo debe haberse movido una distancia de d cos θen la dirección perpendicular a ΔS. Así, cualquier carga positiva que inicialmente se en-cuentre debajo de la superficie ΔS y dentro de una distancia de d cos θ debe haber cruza-do la superficie desplazándose hacia arriba. También cualquier carga negativa, inicialmenteencima de la superficie y dentro de distancia ( d cos θ) de ΔS debe haber cruzado la super-ficie desplazándose hacia abajo. Entonces, como existen n moléculas/m3, la carga total quecruza hacia arriba es nQd cos θ ΔS, o

p = Qd

ptotal =n �ν∑i=1

pi

P = lím�ν→0

1

�ν

n �ν∑i=1

pi

�Qb = nQd · �S

1�2

1�2

1�2

www.elsolucionario.netcon unidades de coulomb por metro cuadrado. Se manejará con unidades de coulomb por metro cuadrado. Se manejar PP como un campo como un campo



en donde el subíndice de Qb recuerda que se está trabajando con cargas ligadas y no libres.En términos de la polarización, se tiene

Si se interpreta ΔS como un elemento de una superficie cerrada dentro de un material die-léctrico, entonces la dirección de ΔS es hacia fuera y el incremento neto de la carga ligadadentro de la superficie cerrada se obtiene por medio de la integral

(3)

Esta última relación tiene cierto parecido con la ley de Gauss, y podemos ahora generalizarla definición de densidad de flujo eléctrico de forma tal que se aplique a medios diferentesal espacio libre. Primero se escribe la ley de Gauss en términos de ε0E y la carga total QTencerrada por la superficie, tanto ligada como libre:

(4)

donde

Figura 6.1 a) Se muestra un elemento de superficie ΔS en el interior deun dieléctrico en el cual está presente un campo eléctrico E. b) Lasmoléculas no polares forman momentos dipolares p y polarización P.Existe una transferencia neta de cargas ligadas a través de ΔS.

Materialdieléctrico

�Qb = P · �S

Qb = −∮

SP · dS

QT =∮

Sε0E · dS

QT = Qb + Q

netwww.elsolucionario.ulas no polares forman momentos dipolares p y polarización P.una transferencia neta de cargas ligadas a través de ΔS.



y Q es la carga total libre encerrada por la superficie S. Obsérvese que la carga libre apare-ce sin subíndice, ya que es el tipo más importante de carga y aparecerá en las ecuaciones deMaxwell.

Al combinar estas tres últimas ecuaciones se obtiene una expresión para la carga libreencerrada,

(5)

Ahora se puede definir D en términos más generales que los utilizados en el capítulo 3.

(6)

Es así como aparece incluido un término adicional en la expresión de D cuando un materialpolarizable está presente. Así,

(7)

donde Q es la carga libre encerrada.Por medio de las diferentes densidades de carga volumétricas se puede escribir,

Con la ayuda del teorema de la divergencia se pueden transformar las ecuaciones (3), (4) y(7) en sus relaciones equivalentes divergentes,

(8)

Debe subrayarse que sólo las ecuaciones (7) y (8), que se utilizarán en lo sucesivo, sonlas que involucran a la carga libre.

Darles una utilidad real a estos nuevos conceptos requiere conocer la relación que exis-te entre la intensidad de campo eléctrico E y la polarización P. Por supuesto, esta relaciónserá una función del tipo de material, por lo que se limitará la exposición a aquellos mate-riales isotrópicos para los cuales E y P se relacionan linealmente. En un material isotrópi-co los vectores E y P siempre son paralelos, sin importar la orientación del campo. A pesarde que la mayoría de los dieléctricos utilizados en la ingeniería son lineales e isotrópicos paraintensidades de campo que van desde moderadas hasta altas, los monocristales pueden seranisotrópicos. La naturaleza periódica de los materiales cristalinos provoca que los momentos

Q = QT − Qb =∮

S(ε0E + P) · dS

D = ε0E + P

Q =∮

SD · dS

Qb =∫

ν

ρb dv

Q =∫

ν

ρν dv

QT =∫

ν

ρT dv

∇ · P = −ρb

∇ · ε0E = ρT

∇ · D = ρν

www.elsolucionario.netQbb =∫∫

νν

∫∫∫ρb dv

∫∫



dipolares se alineen con mayor facilidad a lo largo de los ejes del cristal, y no necesariamen-te en la dirección del campo aplicado.

En materiales ferroeléctricos la relación entre P y E no es solamente no lineal, sino quetambién presenta efectos de histéresis, esto es, la polarización producida por una intensidadde campo eléctrico depende de la historia pasada de la muestra. Ejemplos importantes deeste tipo de dieléctrico son el titanato de bario, el cual con frecuencia se utiliza en capaci-tores cerámicos, y la sal de Rochelle.

La relación lineal entre P y E es

(9)

donde χe (ji) es una cantidad adimensional llamada susceptibilidad eléctrica del material.Se aplica esta relación en (6) y se obtiene

La expresión dentro del paréntesis se define ahora como

(10)

Ésta es otra cantidad adimensional y es conocida como la permitividad relativa o constan-te dieléctrica del material. Así,

(11)

en donde

(12)

y ε es la permitividad. Las constantes dieléctricas para algunos materiales representativosaparecen en el apéndice C.

Los materiales dieléctricos anisotrópicos no pueden describirse en términos sencillos co-mo sólo los parámetros de susceptibilidad y permitividad. En su lugar, se encuentra quecada componente de D puede ser una función de cada una de las componentes de E, entoncesD = εE se convierte en una ecuación matricial en donde D y E son en cada una matricescolumna de 3 × 1 y ε es una matriz cuadrada de 3 × 3. Al desarrollar la ecuación matricialse obtiene

Obsérvese que los elementos de la matriz dependen de la selección de los ejes coordenados enel material anisotrópico. Ciertas direcciones elegidas para los ejes simplifican las matrices.1

P = χeε0E

D = ε0E + χeε0E = (χe + 1)ε0E

εr = χe + 1

D = ε0εr E = εE

ε = ε0εr

Dx = εxx Ex + εxy Ey + εxz Ez

Dy = εyx Ex + εyy Ey + εyz Ez

Dz = εzx Ex + εzy Ey + εzz Ez

1 Un estudio más completo de esta matriz puede encontrarse en la referencia Ramo, Whinnery y Van Duzer cita-da al final del capítulo.

www.elsolucionario.net(11)(11)DD == εε00εεrr EE == εεEE



D y E (y P) ya no son paralelos y aunque la ecuación D = ε0E + P sigue siendo váli-da para materiales anisotrópicos, se puede continuar usando D = εE solamente si se inter-preta como una ecuación matricial. Se considerarán sólo materiales isotrópicos lineales y sedejará el caso más general para textos más avanzados.

En resumen, se tiene ahora la relación entre D y E, la cual depende del material dieléc-trico presente,

(11)

donde

(12)

Esta densidad de flujo eléctrico aún está relacionada con la carga libre por medio de cual-quiera de las formas de la ley de Gauss, puntual o integral,

(8)

(7)

El uso de la permitividad relativa, como lo indica (12), vuelve innecesarias las conside-raciones de la polarización, los momentos dipolares y la carga ligada. Sin embargo, ya noes aplicable la permitividad relativa en forma de un sencillo escalar cuando se debe tomaren cuenta un material anisotrópico o no lineal.

Se ilustrarán estos nuevos conceptos con un ejemplo numérico.

Una placa de teflón se encuentra en la región 0 ≤ x ≤ a, y espacio libre donde x < 0 y x > a.Fuera de la placa se encuentra un campo uniforme Eext = E0ax V/m. Se desea encontrar va-lores de D, E y P en cualquier lugar.

Solución. La constante dieléctrica del teflón es 2.1 y, por lo tanto, la susceptibilidad eléc-trica es de 1.1.

Fuera de la placa se tiene Dext = ε0E0ax. Asimismo, puesto que no existe material die-léctrico ahí, Pext = 0. Ahora bien, ninguna de las cuatro o cinco ecuaciones permiten rela-cionar entre sí los diferentes campos dentro del material. Por lo tanto,

Tan pronto como se establezca un valor para cualquiera de estos tres campos dentro deldieléctrico, los otros dos se pueden encontrar inmediatamente. La dificultad estriba al atra-vesar la frontera desde los campos externos conocidos hasta los campos desconocidos den-tro del dieléctrico. Para realizar esto se necesitan condiciones de frontera y éste será el temade la apasionante sección que procede a ésta. Hasta entonces se terminará este ejemplo.

EJEMPLO 6.1

D = εE

ε = ε0εr

∇ · D = ρν

∮S

D · dS = Q

Din = 2.1ε0Ein (0 ≤ x ≤ a)

Pin = 1.1ε0Ein (0 ≤ x ≤ a)

El uso de la permitividad relativa, como lo indica (12), vuelve innecesaEl uso de la permitividad relativa, como lo indica (12), vuelve innecesaraciones de la polarización, los momentos dipolares y la carga ligada. Sinraciones de la polarización, los momentos dipolares y la carga ligada. Sin


Problemas 167

particularmente útil en el capítulo 14, cuando se determinen expresiones para los paráme-tros de las líneas de transmisión. Sin embargo, debe observarse que la fórmula (45) puedeaplicarse sin problemas sólo en medios lineales, homogéneos e isotrópicos. Específicamen-te, la permitividad y la conductividad no pueden depender en la magnitud del campo, ubi-cación en el medio o de la orientación del campo.

Lecturas complementarias1. Fano, R. M., L. J. Chu y R. B. Adler, Electromagnetic Fields, Energy and Forces, Nueva York,

John Wiley & Sons,1960. En la primera parte del capítulo 5 se analiza la polarización en dieléc-tricos. Este libro para el grado de licenciatura supone que se ha llevado un curso de física en elec-tricidad y magnetismo y está, por lo tanto, a un nivel un poco más avanzado. Se recomienda leerla introducción que comienza en la p. 1.

2. Fink, D. G. y H. W. Beaty, Standard Handbook for Electrical Engineers, 12a. ed., Nueva York,McGraw-Hill, 1987.

3. Matsch, L. W. Capacitors, Magnetic Circuits and Transformers, Englewood Cliffs, N.J., Prenti-ce-Hall, 1964. En el capítulo 2 se estudian muchos aspectos prácticos acerca de los capacitores.

4. Ramo, S., J. R. Whinnery y T. Van Duzer, Fields and Waves in Communications Electronics, 3a.ed., Nueva York, John Wiley & Sons, 1994. En esencia, este libro es la quinta edición de los tex-tos de 1944 y 1953 de los autores. Aunque están dirigidos básicamente a los estudiantes que co-mienzan estudios superiores, también pueden leerlos cualquier persona familiarizada con losconceptos básicos de electromagnetismo. Los materiales dieléctricos anisotrópicos se estudian enlas pp. 699-712. El mapeo cuadrado curvilíneo se describe en las pp. 50-52.

Problemas6.1 El hidrógeno atómico tiene 5.5 × 1025 átomos/m3 a cierta presión y temperatura.

Cuando se aplica un campo eléctrico de 4 kV/m, cada dipolo formado por un elec-trón y el núcleo positivo tiene una longitud efectiva de 7.1 × 10−19 m. a) Encontrar P.b) Encontrar εr.

6.2 Encontrar la constante dieléctrica de un material cuya densidad de flujo eléctrico escuatro veces mayor que su polarización.

6.3 Un conductor de cable coaxial tiene radios a = 0.8 mm y b = 3 mm y un poliestire-no dieléctrico cuyo valor εr = 2.56. Si P = (2/ρ)a

ρnC/m2 en el dieléctrico, encon-

trar: a) D y E en función de ρ; b) Vab y χe. c) Si hay 4 × 1019 moléculas por metrocúbico en el dieléctrico, encontrar p(ρ).

6.4 Considerar un material compuesto elaborado con dos especies que tienen densidadesde N1 y N2 moléculas/m3, respectivamente. Los dos materiales están mezclados demanera uniforme formando una densidad total de N = N1 + N2. La presencia de uncampo eléctrico E induce los momentos dipolares moleculares p1 y p2 dentro de lasespecies individuales, mezcladas o no. Demostrar que la constante dieléctrica del ma-terial compuesto está dada por εr = f εr 1 + (1 − f ) εr 2, donde f es la fracción dedipolos de especie 1 y donde εr1 y εr 2 son las constantes dieléctricas que las especiesno mezcladas tendrían si cada una tuviera una densidad N.

Exámenes

www.elsolucionario.netsicos de electromagnetismo. Los materiales dieléctricos anisotrópicos se estudian ensicos de electromagnetismo. Los materiales dieléctricos anisotrópicos se estudian en12. El mapeo cuadrado curvilíneo se describe en las pp. 50-52.12. El mapeo cuadrado curvilíneo se describe en las pp. 50-52.



6.5 La superficie x = 0 separa dos dieléctricos perfectos. Para x > 0, sea εr = εr1 = 3,mientras que εr 2 = 5 donde x < 0. Si E1 = 80ax − 60ay − 30az V/m, encontrar:a) EN1; b) ET1; c) E1; d) el ángulo θ1 entre E1 y la normal a la superficie; e) DN 2;f ) DT 2, g) D2; h) P2; i) el ángulo θ2 entre E2 y una normal a la superficie.

6.6 El campo de potencial en una placa de material dieléctrico para el que εr = 1.6 estádado por V = −5 000x. a) Encontrar D, E y P en el material. b) Evaluar ρ, ρb y ρt enel material.

6.7 Dos dieléctricos perfectos tienen permitividades relativas εr1 = 2 y εr2 = 8. La inter-fase planar entre ellos es la superficie x − y + 2z = 5. El origen se encuentra en laregión 1: Si E1 = 100ax + 200ay − 50az V/m, encontrar E2.

6.8 La región 1 (x ≥ 0) es un dieléctrico con εr1 = 2, mientras que la región 2 (x < 0) tie-ne un valor de εr 2 = 5. Sea E1 = 20ax − 10ay + 50az V/m. a) Encontrar D2. b) En-contrar la densidad de energía en ambas regiones.

6.9 Dos cuñas de dieléctricos perfectos εr1 = 2 para 0 < φ < π /2 y εr 2 = 5 para π /2 <φ < 2π están encerradas por las superficies cilíndricas ρ = 4 cm y ρ = 9 cm. Si E1= (2 000/ρ)a

ρV/m, encontrar: a) E2; b) la energía electrostática total almacenada en

un metro de longitud de cada región.

6.10 Sea S = 100 mm2, d = 3 mm y εr = 12 para un capacitor de placas paralelas. a) Calcu-lar la capacitancia. b) Después de conectar una batería de 6 V en el capacitor, calcularE, D, Q y la energía electrostática total almacenada. c) Con la fuente aún conectadase remueve cuidadosamente el dieléctrico situado entre las placas. Una vez sin el die-léctrico, recalcular E, D, Q y la energía electrostática total almacenada. d) Si la car-ga y la energía encontrada en el inciso c) son menores a los valores encontrados enb) (los cuales ya se debieron haber encontrado), ¿qué le pasó a la carga y a la ener-gía perdidos?

6.11 Los capacitores tienden a ser más caros a medida que su capacitancia y voltaje má-ximo Vmáx se incrementan. El voltaje Vmáx está limitado por la intensidad del campoal cual el dieléctrico rompe, EBD. ¿Cuál de estos dieléctricos proporciona el produc-to CVmáx más grande para áreas de placa iguales?: a) aire: εr = 1, EBD = 3 MV/m;b) titanato de bario: εr = 1 200, EBD = 3 MV/m; c) dióxido de silicio; εr = 3.78,EBD = 16 MV/m; d) polietileno: εr = 2.26, EBD = 4.7 MV/m?

6.12 Un capacitor de placas paralelas lleno de aire con separación entre placas d y área deplaca A está conectado a una batería que suministra un voltaje V0 entre las placas. De-jando la batería conectada, las placas se alejan a una distancia de 10d. Determinar porqué factor cambian cada una de las cantidades siguientes: a) V0; b) C; c) E; d) D;e) Q; f ) ρS; g) WE.

6.13 Un capacitor de placas paralelas está lleno de un dieléctrico no uniforme caracterizadopor εr = 2 + 2 × 106x 2, donde x es la distancia entre placas en metros. Si S = 0.02 m2

y d = 1 mm, encontrar C.

6.14 Repetir el problema 6.12 suponiendo que la batería se encuentra desconectada antesde que aumente la separación entre placas.

6.15 Sea εr1 = 2.5 para 0 < y < 1 mm, εr2 = 4 para 1 < y < 3 mm y εr3 para 3 < y < 5 mm(región 3). Están presentes superficies conductoras en y = 0 y y = 5 mm. Calcular lacapacitancia por metro cuadrado de área si: a) la región 3 es aire; b) εr3 = εr1; c) εr3= εr2; d) la región 3 es plata.

www.elsolucionario.netpp

léctrico, recalcular léctrico, recalcular EE, DD,, QQ y la energía electrostática total almacenay la energía electrostática total almacenaga y la energía encontrada en el incisoga y la energía encontrada en el inciso c)c son menores a los valoreson menores a los valores


Problemas 169

6.16 Un capacitor de placas paralelas está elaborado utilizando dos placas circulares de ra-dio a, con la placa del fondo en el plano xy, centrada en el origen. La placa superiorestá ubicada en z = d, con su centro en el eje z. El potencial de la placa superior esV0; la placa inferior está aterrizada. La región entre las placas está llena de dieléctri-co con una permitividad que depende del radio. La permitividad está dada por ε(ρ)= ε0(1 + ρ/a). Encontrar: a) E; b) D; c) Q; d) C.

6.17 Dos cilindros coaxiales conductores de radios 2 cm y 4 cm tienen una longitud de 1 m.La región entre los cilindros tiene una capa de material dieléctrico con ρ = c a ρ = dcon εr = 4. Encontrar la capacitancia si: a) c = 2 cm, d = 3 cm; b) d = 4 cm y el vo-lumen del dieléctrico es el mismo que el del inciso a).

6.18 a) Si se pudiera especificar un material para utilizarse como dieléctrico en un capa-citor coaxial para el cual la permitividad varíe continuamente con el radio, ¿qué va-riación con ρ se deberá utilizar con el fin de mantener un valor uniforme de laintensidad de campo eléctrico? b) En las condiciones del inciso a), ¿cómo aparecenlos radios interno y externo en la expresión de capacitancia por unidad de distancia?

6.19 Dos cascarones esféricos conductores tienen un radio a = 3 cm y b = 6 cm. El inte-rior es un dieléctrico perfecto cuyo εr = 8. a) Encontrar C. b) Una porción del die-léctrico se quita por lo que εr = 1.0, 0 < φ < π /2 y εr = 8, π /2 < φ < 2π. De nuevo,encontrar C.

6.20 Mostrar que la capacitancia por unidad de longitud de un cilindro de radio a es iguala cero.

6.21 Con referencia a la figura 6.9, sea b = 6 m, h = 15 m y el potencial del conductor250 V. Tomar el valor de ε = ε0. Encontrar los valores de K1, ρL, a y C.

6.22 Dos conductores de cobre del número 16 (1.29 mm de diámetro) están paralelos conuna separación d entre ejes. Determinar d de tal forma que la capacitancia entre losalambres en el aire sea de 30 pF/m.

6.23 Un conductor de 2 cm de diámetro está suspendido en el aire con su eje a 5 cm de unplano conductor. Sea el potencial del cilindro 100 V y el del plano 0 V. Encontrar ladensidad de carga de superficie en a) el cilindro en el punto más cercano al plano;b) el plano en el punto más cercano al cilindro.

6.24 Para la configuración de los conductores del problema 6.23, determinar la capacitan-cia por unidad de volumen.

6.25 Construir un mapa de cuadrados curvilíneos para un capacitor coaxial de 3 cm deradio interno y 8 cm de radio externo. Estas dimensiones son adecuadas para eldibujo. a) Utilice su dibujo para calcular la capacitancia por metro de longitud, su-poniendo que εr = 1. b) Calcular un valor exacto para la capacitancia por unidad delongitud.

6.26 Construir un mapa de cuadrados curvilíneos para el campo de potencial alrededor dedos cilindros circulares paralelos, cada uno de 2.5 cm de radio, con una separaciónentre sus centros de 13 cm. Estas dimensiones son adecuadas para realizar el dibujosi se considera la simetría. Como comprobación, calcular la capacitancia por metrode longitud por medio del dibujo y de la fórmula exacta. Suponer εr = 1.

6.27 Construir un mapa de cuadrados curvilíneos para el campo de potencial que existeentre dos cilindros circulares paralelos, uno de 4 cm de radio dentro de otro de 8 cm

www.elsolucionario.netrencia a la figura 6.9, sea rencia a la figura 6.9, sea bb == 6 m, 6 m hh == 15 m y el potencial del conductor15 m y el potencial del conductoromar el valor demar el valor de εε == εε0. Encontrar los valores de. Encontrar los valores de KK11, ρρLL,, aa yy CC..



de radio. Ambos ejes están separados 2.5 cm. Estas dimensiones son adecuadas paradibujar. Como comprobación de la exactitud, calcular la capacitancia por metro delongitud por medio del dibujo y de la fórmula exacta.

donde a y b son los radios del conductor y D es la separación entre los ejes.

6.28 Un cilindro conductor sólido de 4 cm de radio está centrado dentro de un cilindroconductor rectangular de 12 cm por 20 cm de sección transversal. a) Haga un dibujode tamaño real de un cuadrante de esta configuración y construya un mapa de cua-drados curvilíneos para su interior. b) Suponer ε = ε0 y estimar C por unidad delongitud.

6.29 El conductor interno de la línea de transmisión que muestra la figura 6.14 tiene unasección transversal cuadrada 2a × 2a, mientras que el externo es de 4a × 5a. Losejes están desplazados como se muestra. a) Construir un dibujo de buen tamaño deesta línea de transmisión, digamos con a = 2.5 cm, y después preparar una gráficadel campo electrostático entre los conductores. b) Utilizar el mapa para calcular la

C = 2πε

cosh−1 [(a2 + b2 − D2)/(2ab)]

Figura 6.14 Véase problema 6.29.

ttolucionario.nettwwww.eeelsoe o


Problemas 171

capacitancia por metro de longitud si ε = 1.6ε0. c) ¿Cómo cambiaría el resultado delinciso a) si a = 0.6 cm?

6.30 Para el capacitor coaxial del problema 6.18, suponer que el dieléctrico tiene una fu-ga y permite que la corriente fluya entre los conductores interno y externo, mientrasque el campo eléctrico aún es uniforme con el radio. a) ¿Qué forma funcional debeasumir la conductividad del dieléctrico? b) ¿Cuál es la forma básica funcional de laresistencia por unidad de distancia R? c) ¿Qué parámetros permanecen en el produc-to RC, donde la forma de C, capacitancia por unidad de distancia, se determina en elproblema 6.18?

6.31 Una línea de transmisión de dos hilos está formada de dos cilindros conductores per-fectamente paralelos, con un radio de 0.2 mm, separados por una distancia de 2 mmde centro a centro. El medio que está a los alrededores de los hilos tiene un valor deεr = 3 y σ = 1.5 mS/m. Una batería de 100 V está conectada entre los hilos. Calcu-lar: a) la magnitud de la carga por metro de longitud en cada hilo; b) la corriente dela batería.



CAPACITORES

ESQUEMA DEL CAPÍTULO

12–1 El capacitor básico

12–2 Tipos de capacitores

12–3 Capacitores en serie

12–4 Capacitores en paralelo

12–5 Capacitores en circuitos de CD

12–6 Capacitores en circuitos de CA

12–7 Aplicaciones de los capacitores

12–8 Circuitos de capacitor conmutados

Una aplicación de circuito

OBJETIVOS DEL CAPÍTULO

◆ Describir la construcción y las característicasbásicas de un capacitor

◆ Estudiar los diversos tipos de capacitores◆ Analizar capacitores en serie◆ Analizar capacitores en paralelo◆ Analizar circuitos de cd con capacitores

conmutados◆ Analizar circuitos de ca capacitivos◆ Examinar algunas aplicaciones de los capacitores◆ Estudiar la operación de circuitos conmutados por

un capacitor

TÉRMINOS CLAVE

DESCRIPCIÓN PREVIA DE UNAAPLICACIÓN DE CIRCUITO

En la aplicación de circuito se verá cómo utilizar uncapacitor para acoplar voltajes de señales hacia ydesde un amplificador. También se localizarán fallasen el amplificador por medio de formas de ondavistas en un osciloscopio.

VISITE EL SITIO WEB RELACIONADO

Auxiliares de estudio para este capítulo estándisponibles enhttp://www.pearsoneducacion.net/floyd

INTRODUCCIÓN

En capítulos previos, el resistor fue el únicocomponente pasivo estudiado. Los capacitores einductores son otros tipos de componentes eléctricospasivos básicos. En el capítulo 13 se estudiarán losinductores.

En este capítulo, usted aprenderá acerca delcapacitor y sus características. Se analiza laconstrucción física, las propiedades eléctricas, y losefectos de conectar capacitores en serie y en paralelo.Cómo funciona un capacitor en circuitos de ca y de cdes una parte importante de esta sección, y constituyela base para el estudio de circuitos reactivos enfunción tanto de respuesta a la frecuencia como derespuesta al tiempo.

El capacitor es un dispositivo eléctrico que puedeguardar carga eléctrica, con lo cual crea un campoeléctrico que, a su vez, guarda energía. La medida dela capacidad de almacenamiento de energía de uncapacitor es su capacitancia. Cuando se aplica unaseñal sinusoidal a un capacitor, éste reacciona decierta manera y produce oposición a la corriente, lacual depende de la frecuencia y la señal aplicada. Estaoposición a la corriente se llama reactancia capacitiva.

◆ Capacitor ◆ Constante de tiempo

RC

◆ Dieléctrico

◆ Farad (F)

◆ Ley de Coulomb

◆ Potencia instantánea

◆ Potencia reactiva◆ Potencia real (activa o

verdadera)◆ Reactancia capacitiva ◆ VAR (volt-ampere

reactivo) ◆ Voltaje de oscilación

(o de rizo)

12

EL CAPACITOR BÁSICO ◆ 467

Construcción básica

En su más simple forma, un capacitor es un dispositivo eléctrico que guarda energía eléctrica yse construye con dos placas conductoras paralelas separadas por un material aislante llamadodieléctrico. Los conectores están unidos a las placas paralelas. En la figura 12-1(a) se muestraun capacitor básico, y la parte (b) ilustra el símbolo esquemático.

12–1 EL CAPACITOR BÁSICO

Un capacitor es un componente eléctrico pasivo que guarda energía eléctrica y tiene lapropiedad de capacitancia.

Después de completar esta sección, usted debe ser capaz de:

◆ Describir la construcción básica y las características de un capacitor

◆ Explicar cómo guarda energía un capacitor

◆ Definir el término capacitancia y formular su unidad

◆ Expresar la ley de Coulomb

◆ Explicar cómo guarda energía un capacitor

◆ Analizar el voltaje nominal y el coeficiente de temperatura

◆ Explicar la dispersión capacitiva

◆ Explicar cómo afectan las características físicas a la capacitancia

(a) Construcción

C

Contactos

Dieléctrico

Placas conductoras

(b) Símbolo

� FIGURA 12–1

El capacitor básico.

Cómo guarda carga un capacitor

En estado neutro, las dos placas de un capacitor tienen el mismo número de electrones libres, comose indica en la figura 12-2(a). Cuando el capacitor se conecta a una fuente de voltaje medianteuna resistencia, según muestra la parte (b), se liberan electrones (carga negativa) de la placa A,los cuales se depositan en la placa B en un número igual que el liberado. A medida que la placaA pierde electrones y la placa B los gana, la placa A se vuelve positiva con respecto a la placa B.Durante este proceso de carga, los electrones fluyen sólo a través de los contactos. Por el dieléc-trico del capacitor no fluyen electrones porque es un aislante. El movimiento de electrones cesacuando el voltaje presente en el capacitor es igual al voltaje de fuente, como se indica en la figu-ra 12-2(c). Si el capacitor se desconecta de la fuente, retiene la carga almacenada durante un lar-go periodo (el cual depende del tipo de capacitor) y aún tiene voltaje de un lado a otro de él, comoilustra la figura 12-2(d). Un capacitor cargado es capaz de actuar como batería temporal.

Los capacitoresson capaces deguardar cargaeléctricadurante muchotiempo

después de que se corta lacorriente en un circuito.Tenga cuidado cuando toqueo maneje capacitores dentroo fuera de un circuito. ¡Sitoca los conductores, puedeestar propenso a recibir unchoque eléctrico conforme elcapacitor se descarga através de usted! En general,es buena práctica descargarun capacitor mediante unherramienta de puesta encortocircuito con mangoaislado de alguna clase antesde manejar el capacitor.

NOTA DE SEGURIDAD

468 ◆ CAPACITORES

Capacitancia

La cantidad de carga que un capacitor puede almacenar por unidad de voltaje entre sus placas essu capacitancia, designada mediante C. Es decir, la capacitancia es una medida de la capacidadde un capacitor de guardar carga. Mientras más carga por unidad de voltaje puede guardar un ca-pacitor, más grande es su capacidad, como lo expresa la fórmula siguiente:

donde C es capacitancia, Q es carga, y V es voltaje. Al reordenar los términos en la ecuación 12-1, se obtienen dos fórmulas.

La unidad de capacitancia El farad (F) es la unidad básica de capacitancia. Recuerde que elcoulomb (C) es la unidad de carga eléctrica.

Un farad es la cantidad de capacitancia cuando se guarda un coulomb (C) de carga conun volt entre las placas.

La mayoría de los capacitores que se utilizan en trabajos de electrónica tienen valores de ca-pacitancia especificados en microfarads (mF) y picofarads (pF). Un microfarad es un millonési-

V =Q

C

Q = CV

C =Q

VEcuación 12–1

+ –

+ –

VS

(b)(a) Capacitor neutro (descargado) (la misma carga en ambas placas).

Dieléctrico

Placas

Contactos

Electrones

BA BA

(c)

VS

BA

VS

(d)

BA

VS

Flujo de electrones de la placa A a la placa B conforme elcapacitor se carga al conectarse a una fuente de voltaje.

Después de que el capacitor se carga a VS, no fluyen electrones mientras está conectado a la fuente de voltaje.

Idealmente, el capacitor retiene carga cuando se desconecta de la fuente de voltaje.

� FIGURA 12–2

Ilustración de un capacitor que guarda carga.

Ecuación 12–2

Ecuación 12–3


mo de farad (1 mF = 1 � 10�6F), y un picofarad es un trillonésimo de farad (1 pF = 1 � 10�12F).En la tabla 12-1 se dan conversiones de farads, microfarads y picofarads.

PARA CONVERTIR DE A RECORRA EL PUNTO DECIMAL

Farads Microfarads

Farads Picofarads

Microfarads Farads

Microfarads Picofarads

Picofarads Farads

Picofarads Microfarads 6 a la izquierda (* 10-6)

12 lugares a la derecha (* 10-12)

6 lugares a la derecha (* 106)

6 lugares a la izquierda (* 10-6)



� TABLA 12–1

(a) Cierto capacitor guarda 50 microcoulombs (50 mC) con 10 V entre sus placas. ¿Cuál essu capacitancia en unidades de microfarads?

(b) Un capacitor de 2.2 mF tiene 100 V entre sus placas. ¿Cuánta carga guarda?

(c) Determine el voltaje entre las placas de un capacitor de 1000 pF que guarda 20 microfa-rads (20 mC) de carga.

Solución (a)

(b)

(c)

Problema relacionado* Determine V si C = 1000 pF y Q = 100 mC.

*Las respuestas se encuentran al final del capítulo.

V =Q

C=

20 mC

1000 pF= 20 kV

Q = CV = (2.2 mF)(100 V) = 220 MC

C =Q

V=

50 mC

10 V= 5 MF

EJEMPLO 12–1

Convierta los siguientes valores en microfarads:

(a) 0.00001 F (b) 0.0047 F (c) 1000 pF (d) 220 pF

Solución (a) (b)

(c) (d)

Problema relacionado Convierta 47,000 pF en microfarads.

220 pF * 10-6 mF/pF = 0.00022 MF1000 pF * 10-6 mF/pF = 0.001 MF

0.0047 F * 106 mF/F = 4700 MF0.00001 F * 106 mF/F = 10 MF

EJEMPLO 12–2

Convierta los siguientes valores en picofarads:

(a) (b) (c) (d)

Solución (a)

(b)

(c)

(d)

Problema relacionado Convierta 100 mF en picofarads.

0.0047 mF * 106 pF/mF = 4700 pF

0.01 mF * 106 pF/mF = 10,000 pF

0.000022 F * 1012 pF/F = 22 : 106 pF

0.1 * 10-8 F * 1012 pF/F = 1000 pF

0.0047 mF0.01 mF0.000022 F0.1 * 10-8 F

EJEMPLO 12–3

470 ◆ CAPACITORES

Cómo guarda energía un capacitor

Un capacitor guarda energía en la forma de un campo eléctrico establecido por las cargas opues-tas almacenadas en las placas. El campo eléctrico está representado por líneas de fuerza entre lascargas positiva y negativa y se concentra en el dieléctrico, como indica la figura 12-3.

Líneas de fuerza� FIGURA 12–3

En un capacitor, el campoeléctrico guarda energía.

La ley de Coulomb expresa que

Existe una fuerza (F) entre dos cargas de fuente puntuales (Q1, Q2) que es directamenteproporcional al producto de las dos cargas e inversamente proporcional al cuadrado dela distancia (d) entre las cargas.

La figura 12-4(a) ilustra una línea de fuerza entre una carga positiva y una carga negativa. Lafigura 12-4(b) muestra que muchas cargas opuestas distribuidas en las placas de un capacitorcrean líneas de fuerza, las cuales forman un campo eléctrico que guarda energía en el dieléctrico.Aunque las cargas distribuidas ya no actúan como cargas de fuente puntuales y no obedecen conexactitud la ley de Coulomb, la fuerza sigue dependiendo de la cantidad de carga y de la distan-cia entre las placas.

Líneas de fuerza

d

d

Q1 Q2F

(a) (b)

� FIGURA 12–4

Las cargas opuestas crean líneas de fuerza.

Mientras más grandes son las fuerzas entre las cargas distribuidas en las placas de un capaci-tor, más energía se guarda. Así, la cantidad de energía guardada es directamente proporcional ala capacitancia porque mientras más carga se almacene, más grande es la fuerza.

Asimismo, con arreglo a la ecuación 12-2, la cantidad de carga guardada está directamente re-lacionada con el voltaje y con la capacitancia. Por consiguiente, la cantidad de energía almacena-da también depende del cuadrado del voltaje presente entre las placas del capacitor. La fórmulapara la energía guardada por un capacitor es

Cuando la capacitancia (C) está en farads y el voltaje (V) en volts, la energía (W) está en joules.

W =1

2CV 2Ecuación 12–4


Voltaje nominal

Todo capacitor tiene un límite en la cantidad de voltaje que puede soportar entre sus placas. Elvoltaje nominal especifica el voltaje de cd máximo que puede ser aplicado sin riesgo de dañar eldispositivo. Si se excede este voltaje máximo, comúnmente llamado voltaje de ruptura o voltajede trabajo, el capacitor puede dañarse permanentemente.

En una aplicación de circuito, se debe considerar tanto la capacitancia como el voltaje nomi-nal antes de utilizar un capacitor. La selección de un valor de capacitancia se basa en requeri-mientos de circuito particulares. El voltaje nominal siempre deberá ser más alto que el voltajemáximo esperado en una aplicación en particular.

Resistencia dieléctrica La resistencia dieléctrica del material dieléctrico utilizado determi-na el voltaje de ruptura de un capacitor. La resistencia dieléctrica se expresa en V/mil (1 mil �0.001 pulg � 2.54 � 10�5 m). La tabla 12-2 incluye valores típicos para varios materiales. Losvalores exactos varían según la composición específica del material.

MATERIAL RESISTENCIA DIELÉCTRICA (V/MIL)

Aire 80

Aceite 375

Cerámica 1000

Papel (parafinado) 1200

Teflón 1500

Mica 1500

Vidrio 2000

®

� TABLA 12–2

Algunos materiales comunesdieléctricos y sus resistenciasdieléctricas.

La resistencia dieléctrica de un capacitor se explica mejor con un ejemplo. Suponga que cier-to capacitor tiene una separación entre sus placas de 1 mil y que el material dieléctrico es cerá-mica. Este capacitor en particular es capaz de soportar un voltaje máximo de 1000 V porque suresistencia dieléctrica es de 1000 V/mil. Si se excede el voltaje máximo, el dieléctrico puederomperse y conducir corriente, lo cual dañará el capacitor. Asimismo, si el capacitor de cerámicatiene una separación entre sus placas de 2 mils, su voltaje de ruptura es de 2000 V.

Coeficiente de temperatura

El coeficiente de temperatura indica la cantidad y dirección de un cambio de valor de capaci-tancia debido a la temperatura. Un coeficiente de temperatura positivo significa que la capacitanciase incrementa con una elevación de la temperatura o disminuye con un descenso de ésta. Un coe-ficiente negativo significa que la capacitancia disminuye con una elevación de la temperatura ose incrementa con un descenso de la temperatura.

Los coeficientes de temperatura se especifican generalmente en partes por millón por gradosCelsius (ppm/°C). Por ejemplo, un coeficiente de temperatura negativo de 150 ppm/°C para uncapacitor de 1 mF significa que, por cada elevación de un grado en la temperatura, la capacitan-cia disminuye en 150 pF (en un microfarad hay un millón de picofarads).

Fuga

Ningún material aislante es perfecto. El dieléctrico de cualquier capacitor conduce una muy pe-queña cantidad de corriente. Por tanto, la carga en un capacitor finalmente se fugará. Algunos ti-pos de capacitores, tales como los grandes electrolíticos, sufren fugas más intensas que otros. Enla figura 12-5 se muestra un circuito equivalente de un capacitor no ideal. El resistor en paraleloRfuga representa la resistencia extremadamente alta (de varios cientos de ohms o más) del mate-rial dieléctrico a través del cual existe una corriente de fuga.

R fugaC

� FIGURA 12–5

Circuito equivalente a uncapacitor no ideal.

472 ◆ CAPACITORES

Características físicas de un capacitor

Los siguientes parámetros son importantes para establecer la capacitancia y el voltaje nominal deun capacitor, el área de placas, la separación de las placas, y la constante dieléctrica.

Área de placas La capacitancia es directamente proporcional al tamaño físico de las placascomo lo determina su área. Un área de placas más grande produce más capacitancia, y un áreapequeña produce menos capacitancia. La figura 12-6(a) muestra que el área de placa de un capa-citor de placas paralelas es el área de una de las placas. Si una placa se desplaza en paralelo conrespecto a la otra, como indica la figura 12-6(b), el área traslapada determina el área de placasefectiva. Esta variación del área de placas efectiva es la base de cierto tipo de capacitor variable.

Área de placas completa: más capacitancia

AA

Área de placas reducida: menos capacitancia

(b)(a)

� FIGURA 12–6

La capacitancia esdirectamente proporcional alárea de placas (A).

Separación entre placas La capacitancia es inversamente proporcional a la distancia que hayaentre las placas. La separación entre placas se designa mediante d, según muestra la figura 12-7.Una mayor separación de las placas produce una capacitancia más pequeña, como ilustra la figu-ra. Como se vio previamente, el voltaje de ruptura es directamente proporcional a la separaciónde las placas. Mientras más separadas estén, más grande es el voltaje de ruptura.

(a) (b)

dd

Placas más cercanas una de otra: mayor capacitancia

Placas más alejadas entre sí:menor capacitancia

� FIGURA 12–7

La capacitancia esinversamente proporcional ala distancia que hay entre lasplacas.

Constante dieléctrica Como se sabe, el material aislante localizado entre las placas de un ca-pacitor se llama dieléctrico. Los materiales dieléctricos tienden a reducir el voltaje entre placaspara una carga dada, y por tanto, incrementan la capacitancia. Si el voltaje es fijo, se puede guardarmás carga por la presencia de un dieléctrico de la que se puede guardar sin un dieléctrico. La me-dida de la capacidad de un material para establecer un campo eléctrico se llama constante die-léctrica o permitividad relativa, y se simboliza mediante er (e es la letra griega epsilon).

La capacitancia es directamente proporcional a la constante dieléctrica. La constante dieléc-trica del aire (vacío) se define como 1 y la del aire se aproxima mucho a 1. Estos valores se utili-zan como referencia, y todos los demás materiales tienen valores de er especificados con respecto


al valor del vacío o del aire. Por ejemplo, un material con er � 8 puede producir una capacitan-cia ocho veces más grande que la del aire con todos los demás valores iguales.

La tabla 12-3 incluye varios materiales dieléctricos comunes y una constante dieléctrica típi-ca para cada uno. Los valores pueden variar porque dependen de la composición específica delmaterial.

Ecuación 12–5

Ecuación 12–6

MATERIAL VALOR r TÍPICO

Aire (vacío) 1.0

Teflón 2.0

Papel (parafinado) 2.5

Aceite 4.0

Mica 5.0

Vidrio 7.5

Cerámica 1200

®

e

� TABLA 12–3

Algunos materiales dieléctricos comunes y sus constantesdieléctricas.

La constante dieléctrica (permitividad relativa) no tiene unidades porque es una medida rela-tiva. Es una relación de la permitividad absoluta de un material, e, a la permitividad absoluta delaire (vacío), e0, como lo expresa la siguiente fórmula:

El valor de e0 es 8.85 � 10�12 F/m (farads por metro).

Fórmula Se ha visto que la capacitancia está relacionada directamente con el área de las pla-cas, A, y la constante dieléctrica, er, e inversamente relacionada con la separación de las placas,d. Una fórmula exacta para calcular la capacitancia en función de estas cantidades es

donde A está en metros cuadrados (m2), d en metros (m), y C en farads (F). Recuerde que la per-mitividad absoluta del aire (vacio), e0, es de 8.85 � 10�12 F/m, y que la permitividad de un die-léctrico (e), derivada con la ecuación 12-5, es

e = er(8.85 * 10-12 F/m)

C =Aer(8.85 * 10-12 F/m)

d

er =e

e0

Determine la capacitancia de un capacitor de placas paralelas cuya área mide 0.01 m2 y la se-paración entre placas es de 1 mil (2.54 � 10�5 m). El dieléctrico es mica, cuya constante die-léctrica es de 5.0.

Solución Use la ecuación 12-6.

Problema relacionado Determine C donde A � 0.005 m2, d � 3 mil (7.62 � 10-5 m), y el dieléctrico es cerámica.

C =Aer(8.85 * 10-12 F/m)

d=

(0.01 m2)(5.0)(8.85 * 10-12 F/m)

2.54 * 10- 5 m= 0.017 MF

EJEMPLO 12–4

474 ◆ CAPACITORES

1. Definir el término capacitancia.

2. (a) ¿Cuántos microfarads hay en un farad?

(b) ¿Cuántos picofarads hay en un farad?

(c) ¿Cuántos picofarads hay en un microfarad?

3. Convierta 0.0015 mF en picofarads. En farads.

4. ¿Cuánta energía en joules guarda un capacitor de 0.01 mF con 15 V entre sus placas?

5. (a) Cuando el área de placas de un capacitor se incrementa, ¿la capacitancia aumenta odisminuye?

(b) Cuando la distancia entre las placas se incrementa, ¿la capacitancia aumenta o dismi-nuye?

6. La separación de las placas de un capacitor de cerámica es de 2 mils. ¿Cuál es el voltaje deruptura típico?

7. El coeficiente de temperatura positivo de un capacitor de 2 mF a 25°C es de 50 ppm/°C.¿Cuál es el valor de capacitancia cuando la temperatura se incrementa a 125°C?

REPASO DE LASECCIÓN 12-1Las respuestas seencuentran al finaldel capítulo.

12–2 TIPOS DE CAPACITORES

Los capacitores se clasifican normalmente de acuerdo con el tipo de material dieléctrico y siestán o no polarizados. Los tipos más comunes de materiales dieléctricos son mica, cerámica,película plástica, y electrolíticos (óxido de aluminio y óxido de tantalio).


◆ Analizar diversos tipos de capacitores

◆ Describir las características de los capacitores de mica, cerámica, película plástica, yelectrolíticos

◆ Describir tipos de capacitores variables

◆ Identificar la rotulación de un capacitor

◆ Analizar la medición de capacitancia

Capacitores fijos

Capacitores de mica Dos tipos de capacitores de mica son los de laminillas y hojas de micaplateada. La construcción básica del tipo apilado se muestra en la figura 12-8. Consta de capas

(a) Disposición en capas apiladas (b) Capas comprimidas entre sí y encapsuladas

MicaLaminilla metálica

Laminilla metálicaMica

Foil

Laminilla metálicaMica

Laminilla metálica

� FIGURA 12–8

Construcción de un capacitorde mica típico con conductorradial.

TIPOS DE CAPACITORES ◆ 475

alternas de laminillas metálicas y delgadas hojas de mica. Las laminillas metálicas forman la placa,con las laminillas alternas conectadas entre sí para incrementar el área de placas. Se utilizan máscapas para incrementar el área de placas, y por tanto, se incrementa la capacitancia. El apilamientode hojas de mica/laminillas se encapsula en un material aislante, como Bakelite®, según mues-tra la figura 12-8(b). Un capacitor de mica plateada se forma de modo similar apilando hojas demica con material de electrodo de plata depositado en ellas.

Los capacitores de mica están disponibles con valores de capacitancia que van desde 1 pF hasta0.1 mF y voltajes nominales desde 100 V de cd hasta 2500 V de cd. Los coeficientes de tempera-tura comunes oscilan entre –20 ppm/°C hasta 100 ppm/°C. La mica tiene una constante dieléctri-ca típica de 5.

Capacitores de cerámica Los dieléctricos de cerámica proporcionan constantes dieléctricasmuy altas (1200 es un valor típico). Por consiguiente, se pueden alcanzar valores de capacitanciacomparativamente altos en un tamaño físico pequeño. Los capacitores de cerámica están dispo-nibles comúnmente en forma de disco, como se muestra en la figura 12-9, en una configuraciónmulticapas con conductor radial, figura 12-10, o en forma de “chip” de cerámica sin conducto-res, figura 12-11, para montaje en superficie sobre tarjetas de circuito impreso.

Soldadura

Conector soldado al electrodo de plata

Dieléctrico de cerámica

Recubrimiento fenólico

Electrodos de plata depositadossobre y debajo del disco de cerámica(a) (b)

Conector

SoldaduraDieléctrico de cerámica

Electrodo

Soldadura

Caja moldeada

(b)(a)

� FIGURA 12–9

Capacitor de disco de cerámica y su construcción básica.

� FIGURA 12–10

(a) Capacitores de cerámica típicos. (b) Vista de la construcción.

476 ◆ CAPACITORES

Los capacitores de cerámica por lo general están disponibles con valores de capacitancia quevan desde 1 pF hasta 2.2 mF con voltaje nominal de hasta 6 kV. Un coeficiente de temperatura tí-pico para capacitores de cerámica es de 200,000 ppm/°C. Un tipo especial de cerámica en formade disco tiene un coeficiente de temperatura de cero.

Capacitores de película plástica Los materiales dieléctricos comunes utilizados en capacito-res de película plástica incluyen policarbonato, propileno, poliéster, poliestireno, polipropileno,y mylar. Algunos de estos tipos tienen valores de capacitancia de hasta 100 mF, pero la mayoríason de menos de 1 mF.

La figura 12-12 muestra una construcción básica común utilizada en muchos capacitores de pe-lícula plástica. Una delgada tira de dieléctrico de película plástica se intercala entre dos delgadastiras metálicas que actúan como placas. Un conductor se conecta a la placa interna y el otro a laexterna como se indica. Las tiras se enrollan luego en una configuración espiral y encapsulan elempaque moldeado. Por tanto, un área de placas grande puede ser empaquetada en un tamaño fí-sico relativamente pequeño, con lo cual se consiguen grandes valores de capacitancia. Otro méto-do utiliza metal depositado directamente sobre la película dieléctrica para formar las placas.

Cobre (capa barrera)

Electrodo

Dieléctrico de cerámica

Soldadura

� FIGURA 12–11

Vista de la construcción de un capacitor de “chip” de cerámica típico utilizado para montaje superficial entarjetas de circuito impreso.

Conector conectadoa laminilla interna

Conector unido a la laminilla externa

Laminilla interna

Laminilla externa

Película de plástico

� FIGURA 12–12

Construcción básica de capacitores tubulares con dieléctrico de película plástica y conector axial.

La figura 12-13(a) muestra capacitores de película plástica típicos. La figura 12-13(b) ilustrauna vista de la construcción de un tipo de capacitor de película plástica.


Capacitores electrolíticos Los capacitores electrolíticos se polarizan de modo que una placasea positiva y la otra negativa. Estos capacitores se utilizan para valores de capacitancia que vandesde 1 mF hasta más de 200,000 mF, pero sus voltajes de ruptura son relativamente bajos (350 Ves un máximo característico) y sus cantidades de fuga son altas. En este texto, se considera quelos capacitores con valores de 1 mF o más grandes están polarizados.

Los capacitores electrolíticos ofrecen valores de capacitancia mucho más altos que los de mi-ca o cerámica, pero sus voltajes nominales son generalmente más bajos. Los electrolíticos de alu-minio son, probablemente, el tipo más utilizado. En tanto que otros capacitores utilizan dosplacas similares, el capacitor electrolítico consta de una placa de hoja de aluminio y de otra placaelaborada a partir de un electrolito conductor aplicado a determinado material, tal como películaplástica. Estas dos “placas” están separadas por una capa de óxido de aluminio depositada sobrela superficie de la placa de aluminio. La figura 12-14(a) ilustra la construcción básica de un ca-pacitor electrolítico de aluminio típico con conductores axiales. En la figura 12-14(b) se mues-tran otros capacitores electrolíticos con conductores radiales; la parte (c) ilustra el símbolo paraun capacitor electrolítico.

La configuración de los electrolíticos de tantalio puede ser o tubular, parecida a la de la figu-ra 12-14, o en forma de “gota”, como se muestra en la figura 12-15. En la configuración de gota, laplaca positiva es en realidad un gránulo de polvo de tantalio en lugar de una laminilla. El pentó-xido de tantalio forma el dieléctrico, y el bióxido de manganeso constituye la placa negativa.

Debido al proceso utilizado para fabricar el dieléctrico de óxido aislante, la placa metálica (dealuminio o tantalio) debe ser conectada de modo que siempre sea positiva con respecto a la pla-ca de electrolito, y, por tanto, todos los capacitores electrolíticos se polarizan. La placa metálica(conductor positivo) generalmente se encuentra señalada con un signo más o con alguna otramarca evidente y siempre se conecta en un circuito de cd donde el voltaje a través del capacitorno cambia de polaridad pese a la presencia de cualquier corriente alterna. En general, el resulta-do de invertir la polaridad del voltaje es la destrucción completa del capacitor.

El problema de absorción dieléctrica ocurre en capacitores electrolíticos cuando no se descar-gan por completo durante su uso y conservan una carga residual. Aproximadamente el 25% delos capacitores defectuosos exhiben esta condición.

Capacitores variables

En un circuito se utilizan capacitores variables cuando existe la necesidad de ajustar el valor decapacitancia o manual o automáticamente. Estos capacitores, en general, son de menos de 300 pF,

Conector soldado al extremo de la sección

Electrodos de laminilla metálica de alta pureza

Dieléctrico de película plástica

Envoltura externa de película de poliéster

Sección de capacitor (tiras alternas de película dieléctrica y electrodos enrollados en forma cilíndrica)

El extremo recubierto de soldadura asegura que todas las vueltas del electrodo estén contactadas positivamente

(b)(a)

� FIGURA 12–13

(a) Capacitores típicos. (b) Vista de la construcción de un capacitor de película plástica.

Seaextremada-mentecuidadoso concapacitoreselectrolíticos

porque sí tiene que ver laforma en que se conecta uncapacitor electrolítico.Siempre observe la polari-dad apropiada. Si un capa-citor polarizado se conectaa la inversa, puede explotary provocar lesiones.

NOTA DE SEGURIDAD

478 ◆ CAPACITORES

Caja tubular de latón recubierto con soldadura

Terminación de extremo metálico rociado

Tapa aislante de plástico

Sello entre vidrio y metal

Terminal de conexión

Dieléctrico de óxido

Placa de aluminio

Película

Placa electrolito

(a) Vista de la construcción de un capacitor electrolítico con conector axial (c) Símbolo para un capacitor electrolítico. La placa recta es positiva y la curvada es negativa, como se indica

(b) Capacitores electrolíticos con conductor axial típicos

++++++

VTT VTT

++++++

� FIGURA 12–14

Ejemplos de capacitores electrolíticos.

Gránulo de tantalio sinterizado (ánodo)

Grafito

Cátodo soldado al área plateada de la sección del capacitor

Bióxido de manganeso(electrolito sólido)

Pentóxido de tantalio

Recubrimiento epóxico

Soldadura

Conductor de tantalio soldado al gránulo de tantalio

Conductor de níquel (negativo)

Conector de níquel (positivo)

� FIGURA 12–15

Vista de la construcción de un capacitor electrolítico de tantalio en forma de “gota” típico.

pero están disponibles con valores más grandes para aplicaciones especializadas. El símbolo es-quemático para un capacitor variable se muestra en la figura 12-16.

Los capacitores ajustables que normalmente tienen ajustes tipo tornillo ranurado y se utilizanen un circuito para realizar ajustes muy finos se llaman reguladores (trimmers). La cerámica omica es un dieléctrico común en estos tipos de capacitores, y la capacitancia casi siempre se cam-bia ajustando la separación de las placas. En general, los capacitores reguladores tienen valoresde menos de 100 pF. La figura 12-17 muestra algunos dispositivos típicos.

� FIGURA 12–16

Símbolo esquemático para uncapacitor variable.


El varactor es un dispositivo semiconductor que exhibe una característica de capacitancia quepuede ser variada al cambiar el voltaje entre sus terminales. Este dispositivo, por lo general, seestudia con detalle en un curso de dispositivos electrónicos.

Rotulación de capacitoresLos valores de capacitor se indican en el cuerpo del capacitor por medio de rotulación tipográfi-ca o con códigos de colores. Los rótulos tipográficos constan de letras y números que indican di-versos parámetros, tales como capacitancia, voltaje nominal y tolerancia.

Algunos capacitores no portan ninguna designación de unidad de capacitancia. En estos casos,las unidades están implícitas en el valor indicado y se reconocen gracias a la experiencia. Porejemplo, un capacitor de cerámica marcado con .001 o .01 tiene unidades de microfarads porquevalores en picofarads así de pequeños no están disponibles. Otro ejemplo: un capacitor de cerá-mica cuya designación sea de 50 o 330 tendrá unidades de picofarads porque unidades en micro-farads así de grandes normalmente no están disponibles en este tipo de dispositivo. En algunoscasos se utiliza designación de tres dígitos. Las primeras dos unidades son los primeros dos dígi-tos del valor de capacitancia. El tercer dígito es el número de ceros después del segundo dígito.Por ejemplo 103 significa, 10,000 pF. En algunos casos, las unidades se marcan como pF o mF;en ocasiones la unidad microfarad se rotula como MF o MFD.

Un voltaje nominal aparece en algunos tipos de capacitores con WV o WVDC y se omite enotros. Cuando se omite, el voltaje nominal se determina a partir de la información proporciona-da por el fabricante. La tolerancia del capacitor, por lo general, se marca como un porcentaje, di-gamos �10%. El coeficiente de temperatura se indica como partes por millón. Este tipo de rótulose compone de una P o una N seguidas por un número. Por ejemplo, N750 significa un coeficientede temperatura negativo de 750 ppm/°C, y P30 significa un coeficiente de temperatura positivode 30 ppm/°C. Una designación NP0 significa que los coeficientes positivo y negativo son de ce-ro; por tanto, la capacitancia no cambia con la temperatura. Ciertos tipos de capacitores portancódigos de color. Consulte el apéndice C para enterarse acerca de designaciones adicionales decapacitor e información sobre códigos de color.

Medición de capacitanciaSe puede utilizar un medidor LCR como el mostrado en la figura 12-18 para verificar el valor de uncapacitor. Asimismo, muchos multímetros digitales cuentan con la función de medición de capaci-tancia. La mayoría de los capacitores cambia de valor con el tiempo, algunos más que otros. Los ca-pacitores de cerámica, por ejemplo, a menudo exhiben un cambio de valor del 10 al 15% durante elprimer año. Los capacitores electrolíticos son particularmente propensos a cambiar de valor a causadel secado de la solución electrolítica. En otros casos, los capacitores pueden estar rotulados inco-rrectamente o se puede haber instalado el valor equivocado en el circuito. Aun cuando un cambio devalor representa menos del 25% de los capacitores defectuosos, una verificación del valor puede eli-minar de inmediato este riesgo como causa del problema cuando se localizan fallas en un circuito.

Por lo general es posible medir valores desde 200 pF hasta 20 mF utilizando un medidor LCR,simplemente se conecta el capacitor, se ajusta el interruptor, y se lee el valor en la pantalla. Algunosmedidores LCR también permiten revisar capacitores en busca de fugas de corriente. Para revisaren cuanto a fugas, se debe aplicar un voltaje suficiente entre las terminales del capacitor para simu-lar condiciones de operación. Esto es realizado automáticamente por el instrumento de prueba.Casi el 40% de todos los capacitores defectuosos exhiben fugas de corriente excesivas, y los elec-trolíticos son particularmente susceptibles a este problema.

� FIGURA 12–17

Ejemplos de capacitoresreguladores.

� FIGURA 12–18

Medidor LCR típico. (Cortesíade B�K Precision).

480 ◆ CAPACITORES

Capacitancia total

Cuando se conectan capacitores en serie, la capacitancia total es menor que el valor de la capaci-tancia más pequeña porque la separación efectiva entre las placas se incrementa. El cálculo de ca-pacitancia total en serie es análogo al de resistencia total de resistores dispuestos en paralelo(Capítulo 6).

1. Nombre una forma de clasificar capacitores.

2. ¿Cuál es la diferencia entre un capacitor fijo y uno variable?

3. ¿Qué tipo de capacitor se polariza?

4. ¿Qué precauciones se deben tomar al instalar un capacitor polarizado en un circuito?

REPASO DE LASECCIÓN 12-2

12–3 CAPACITORES EN SERIE

La capacitancia total de una conexión en serie de capacitores es menor que la capacitancia in-dividual de cualquiera de los capacitores. Los capacitores dispuestos en serie dividen el volta-je que hay entre las terminales de cada uno ellos en proporción a su capacitancia.


◆ Analizar capacitores en serie

◆ Determinar la capacitancia total

◆ Determinar voltajes en capacitores

Ecuación 12–7

C1

VS

I

C2 C3 Cn

I

I I

I

(a) La corriente de carga es la misma para cada capacitor, I � Q/t

(b) Todos los capacitores guardan la misma cantidad de carga y V � Q/C

VS = VT

C2 C3 CnC1

V1 V2 V3 Vn

� FIGURA 12–19

Circuito capacitivo dispuesto en serie.

Consideremos el circuito generalizado de la figura 12-19(a), el cual tiene n capacitores en se-rie con una fuente de voltaje y un interruptor. Cuando el interruptor se cierra, los capacitores secargan a medida que se establece la corriente a través del circuito. Dado que tenemos un circuitoen serie, la corriente debe ser la misma en todos los puntos, como se ilustra. Como la corriente esla velocidad de flujo de la carga, la cantidad de carga guardada por cada capacitor es igual a lacarga total, expresada como

A continuación, de acuerdo con la ley del voltaje de Kirchhoff, la suma de los voltajes entrelas terminales de los capacitores cargados debe ser igual al voltaje total, VT, según muestra la fi-gura 12-19(b). Esto se expresa en forma de ecuación como

VT = V1 + V2 + V3 + Á + Vn

QT = Q1 = Q2 = Q3 = Á = Qn

CAPACITORES EN SERIE ◆ 481

Según la ecuación 12-3, V � Q/C. Cuando esta relación se sustituye en cada término de laecuación de voltaje, aparece el siguiente resultado:

Como las cargas presentes en todos los capacitores son iguales, los términos Q se factorizan ycancelan, y el resultado es

Al tomar el recíproco de ambos miembros de la ecuación 12-8 se obtiene la siguiente fórmula ge-neral para la capacitancia total en serie:

Recuerde,

La capacitancia total en serie siempre es menor que la capacitancia más pequeña.

Dos capacitores en serie Cuando sólo dos capacitores están en serie, se utiliza una forma es-pecial de la ecuación 12-8.

Al tomar el recíproco de los términos izquierdo y derecho se obtiene la fórmula para la capaci-tancia total de dos capacitores en serie.

Capacitores de igual valor dispuestos en serie Este caso especial es otro en el cual se pue-de desarrollar una fórmula a partir de la ecuación 12-8. Cuando todos los valores de capacitor sonlos mismos e iguales a C, la fórmula es

Al sumar todos los términos del lado derecho se obtiene

donde n es el número de capacitores de igual valor. Tomando el recíproco de ambos lados se obtiene

El valor de la capacitancia de capacitores iguales dividido entre el número de capacitores igualesdispuestos en serie proporciona la capacitancia total.

CT =Cn

1

CT

=n

C

1

CT

=1

C+

1

C+

1

C+ Á +

1

C

CT =C1C2

C1 + C2

1

CT

=1

C1

+1

C2

=C1 + C2

C1C2

CT =1

1

C1

+1

C2

+1

C3

+ Á + 1

Cn

1

CT

=1

C1

+1

C2

+1

C3

+ Á +1

Cn

QT

CT

=Q1

C1

+Q2

C2

+Q3

C3

+ Á + Qn

Cn

Ecuación 12–8

Ecuación 12–9

Ecuación 12–10

Ecuación 12–11

Determine la capacitancia total entre los puntos A y B de la figura 12-20. EJEMPLO 12–5

B

10 F 4.7 F 8.2 F

C1 C2 C3A

μ μ μ

� FIGURA 12–20

482 ◆ CAPACITORES

Solución Use la ecuación 12-9.

Problema relacionado Si se conecta un capacitor de 4.7 mF en serie con los tres capacitores existentes en la figura 12-20,¿cuál es la CT?

CT =1

1

C1

+1

C2

+1

C3

=1

1

10 mF+

1

4.7 mF+

1

8.2 mF

= 2.30 MF

Determine la capacitancia total, CT, en la figura 12-21. EJEMPLO 12–6

C1 C2

VS

100 pF 330 pF

� FIGURA 12–21

Solución Con la ecuación 12-10,

También se puede utilizar la ecuación 12-9.

Problema relacionado Determine CT si C1 � 470 pF y C2 � 680 pF en la figura 12-21.

CT =1

1

100 pF+

1

330 pF

= 76.7 pF

CT =C1C2

C1 + C2

=(100 pF)(330 pF)

430 pF= 76.7 pF

Determine CT para los capacitores dispuestos en serie de la figura 12-22. EJEMPLO 12–7

0.022 F

0.022 F

0.022 F

0.022 F

VS

C1

C4

C2

C3

m

m

m

m

� FIGURA 12–22

Solución Como C1 � C2 � C3 � C4 � C, use la ecuación 12-11,

Problema relacionado Determine CT si los valores de capacitor de la figura 12-22 se duplican.

CT =Cn

=0.022 mF

4= 0.0055 MF

CAPACITORES EN SERIE ◆ 483

Voltajes en capacitores

Una conexión en serie de capacitores cargados actúa como divisor de voltaje. El voltaje entre lasterminales de cada capacitor en serie es inversamente proporcional a su valor de capacitancia, co-mo se demuestra mediante la fórmula V � Q/C. Es posible determinar el voltaje entre las termi-nales de cualquier capacitor individual en serie con la siguiente fórmula:

donde Cx es cualquier capacitor en serie (tal como C1, C2 o C3), Vx es el voltaje entre las termi-nales de Cx, y VT es el voltaje total entre los capacitores. La derivación es como sigue: ya que lacarga en cualquier capacitor en serie es la misma que la carga total (Qx�QT), y como Qx� VxCxy QT� VTCT, entonces

Al despejar Vx se obtiene

En una conexión en serie, el capacitor de valor más grande tendrá el voltaje más pequeñoentre sus terminales. El capacitor de valor más pequeño tendrá el voltaje más grande en-tre sus terminales.

Vx =CTVT

Cx

VxCx = VTCT

Vx = aCT

Cx

bVT Ecuación 12–12

Determine el voltaje entre cada capacitor en la figura 12-23.EJEMPLO 12–8

0.1 F 0.47 F 0.22 F

C1 C2 C3

VS25 V

m m m

� FIGURA 12–23

Solución Encuentre la capacitancia total.

De acuerdo con la figura 12-24, VS � VT � 25 V. Por consiguiente, utilice la ecuación 12-12para calcular el voltaje entre cada capacitor.

Problema relacionado Se conecta otro capacitor de 0.47 mF en serie con el capacitor existente en la figura 12-23. De-termine el voltaje entre las terminales del nuevo capacitor, suponiendo que todos los capaci-tores están descargados inicialmente.

V3 = aCT

C3

bVT = a0.06 mF

0.22 mFb25 V = 6.82 V

V2 = aCT

C2

bVT = a0.06 mF

0.47 mFb25 V = 3.19 V

V1 = aCT

C1

bVT = a0.06 mF

0.1 mFb25 V = 15.0 V

CT = 0.06 mF

1

CT

=1

C1

+1

C2

+1

C3

=1

0.1 mF+

1

0.47 mF+

1

0.22 mF

484 ◆ CAPACITORES

1. ¿Es la capacitancia de una conexión en serie menor o mayor que el valor del capacitor máspequeño?

2. Los siguientes capacitores están en serie: 100 pF, 220 pF y 560 pF. ¿Cuál es la capacitanciatotal?

3. Un capacitor de 0.01 mF y otro de 0.015 mF están en serie. Determine la capacitancia total.

4. Cinco capacitores de 100 pF están conectados en serie. ¿Cuál es la CT?

5. Determine el voltaje entre las terminales de C1 en la figura 12-24.


100 V

C133 pF

C2100 pF

� FIGURA 12–24

12–4 CAPACITORES EN PARALELO

Las capacitancias se suman cuando los capacitores están conectados en paralelo.


◆ Analizar capacitores en paralelo

◆ Determinar la capacitancia total

Cuando se conectan capacitores en paralelo, la capacitancia total es la suma de las capacitan-cias individuales porque el área de las placas se incrementa. El cálculo de la capacitancia total enparalelo es análogo al de la resistencia total en serie (Capítulo 5).

Consideremos lo que sucede cuando se cierra el interruptor de la figura 12-25. La corriente decarga total que viene de la fuente se divide en la unión de las ramas en paralelo. Existe una corrien-te de carga diferente a través de cada rama, de modo que cada capacitor puede guardar distintacarga. Según la ley de la corriente de Kirchhoff, la suma de todas las corrientes de carga es iguala la corriente total. Por consiguiente, la suma de las cargas guardadas en los capacitores es igual ala carga total. Además, los voltajes entre todas las ramas en paralelo son iguales. Se utilizan es-tas observaciones para desarrollar, como vemos a continuación, una fórmula con qué calcular lacapacitancia total en paralelo en el caso general de n capacitores dispuestos en paralelo.

QT = Q1 + Q2 + Q3 + Á + QnEcuación 12–13

VS C1

ITI1

C2

I2

C3

I3 In

Cn

� FIGURA 12–25

Capacitores dispuestos en paralelo.

CAPACITORES EN PARALELO ◆ 485

De acuerdo con la ecuación 12-2, Q� CV. Cuando se sustituye esta relación en cada término dela ecuación 12-13, se obtiene el siguiente resultado:

Como los voltajes se factorizan y cancelan para obtener

La ecuación 12-14 es la fórmula general para determinar la capacitancia total en paralelo, donden es el número de capacitores. Recuerde,

La capacitancia total en paralelo es la suma de todos los capacitores dispuestos en paralelo.

Para el caso especial en que todos los capacitores tienen el mismo valor, C, dicho valor se mul-tiplica por el número (n) de capacitores en paralelo.

CT = nC

CT = C1 + C2 + C3 + Á + Cn

VT = V1 = V2 = V3 = Á = Vn,

CTVT = C1V1 + C2V2 + C3V3 + Á + CnVn

Ecuación 12–14

Ecuación 12–15

¿Cuál es la capacitancia total en la figura 12-26? ¿Cuál es el voltaje entre cada capacitor?EJEMPLO 12–9

C2220 pF

C1330 pF

VS5 V

� FIGURA 12–26

Solución La capacitancia total es

El voltaje presente entre las terminales de cada capacitor dispuesto en paralelo es igual al vol-taje de fuente.

Problema relacionado ¿Cuál es la CT si se conecta un capacitor de 100 pF en paralelo con C2 en la figura 12-26?

VS = V1 = V2 = 5 V

CT = C1 + C2 = 330 pF + 220 pF = 550 pF

Determine CT en la figura 12-27. EJEMPLO 12–10

C10.01 F

C20.01 F

C30.01 F

C40.01 F

C50.01 F

C60.01 F

VSm m m m m m

� FIGURA 12–27

486 ◆ CAPACITORES

Carga de un capacitor

Un capacitor se carga cuando se conecta a una fuente de voltaje de cd, como indica la figura 12-28.El capacitor de la parte (a) de la figura está descargado; es decir, la placa A y la placa B tienenigual cantidad de electrones libres. Cuando se cierra el interruptor, como ilustra la parte (b), lafuente mueve electrones desde la placa A a través del circuito hasta la placa B como lo indican las

Solución Hay seis capacitores de igual valor en paralelo, por lo que n� 6.

Problema relacionado Si se conectan tres capacitores más de 0.01 mF en paralelo en la figura 12-27, ¿cuál es la ca-pacitancia total?

CT = nC = (6)(0.01 mF) = 0.06 MF

1. ¿Cómo se determina la capacitancia total en paralelo?

2. En cierta aplicación, se requieren 0.05 mF. Los únicos valores disponibles son de 0.01 mF,los cuales están disponibles en grandes cantidades. ¿Cómo se obtiene la capacitancia totalrequerida?

3. Los siguientes capacitores están en paralelo: 10 pF, 56 pF, 33 pF y 68 pF. ¿Cuál es la CT?


12–5 CAPACITORES EN CIRCUITOS DE CDUn capacitor se carga cuando se conecta a una fuente de voltaje de cd. La acumulación de car-ga entre las placas ocurre de una manera predecible ya que depende de la capacitancia y la re-sistencia presentes en un circuito.


◆ Analizar circuitos capacitivos de cd conmutados

◆ Describir la carga y descarga de un capacitor

◆ Definir el término constante de tiempo RC

◆ Relacionar la constante de tiempo con la carga y descarga de un capacitor

◆ Escribir ecuaciones para las curvas de carga y descarga

◆ Explicar por qué un capacitor bloquea la corriente directa

VS

A B

(a) Descargado

VS

A BMenos electrones vuelven a la placa A más positiva

Más electrones vuelven a la placa B más negativa

(b) Carga (las flechas indican el flujo de electrones)

A B

(c) Totalmente cargado, I � 0

VSVS VS

(d) Retiene carga

A B

VS

� FIGURA 12–28

Carga de un capacitor.

CAPACITORES EN CIRCUITOS DE CD ◆ 487

flechas. Conforme la placa A pierde electrones y la placa B los gana, la placa A se vuelve positivacon respecto a la placa B. A medida que este proceso de carga continúa, el voltaje entre las placasse acumula con rapidez hasta que es igual al voltaje aplicado, VS, pero de polaridad opuesta, co-mo se muestra en la parte (c). Cuando el capacitor está totalmente cargado, no hay corriente.

Un capacitor bloquea la corriente directa constante.

Cuando el capacitor cargado se desconecta de la fuente, según muestra la figura 12-28(d), per-manece cargado durante largos lapsos de tiempo, de acuerdo con su resistencia a las fugas, y pue-de provocar choques eléctricos severos. En un capacitor electrolítico, generalmente la carga sefuga más rápido que en otros tipos de capacitor.

Descarga de un capacitor

Cuando se conecta un conductor eléctrico entre las terminales de un capacitor cargado, como semuestra en la figura 12-29, el capacitor se descargará. En este caso particular, se conecta una tra-yectoria de resistencia muy baja (el conductor eléctrico) entre las terminales del capacitor con uninterruptor. Antes de que se cierre el interruptor, el capacitor se carga a 50 V, como indica la parte (a).Cuando se cierra el interruptor, según muestra la parte (b), el exceso de electrones en la placa B sedesplaza a través del circuito hacia la placa A (indicado por las flechas); a consecuencia del movi-miento de electrones por la baja resistencia del conductor eléctrico, la energía almacenada por elcapacitor se disipa en el conductor eléctrico. La carga se neutraliza cuando la cantidad de electro-nes libres de nuevo es igual en ambas placas. En ese momento, el voltaje entre las terminales delcapacitor es de cero y el capacitor se descarga por completo, como se muestra en la parte (c).

� FIGURA 12–29

Descarga de un capacitorcargado.

Corriente y voltaje durante la carga y descarga

En las figuras 12-28 y 12-29, advierta que la dirección del flujo de electrones durante la descargase opone a la dirección presente durante la carga. Es importante entender que, idealmente, no haycorriente a través del dieléctrico del capacitor durante la carga o descarga porque el dieléctricoes un material aislante. Hay corriente de una placa a la otra sólo a través del circuito externo.

La figura 12-30(a) muestra un capacitor conectado en serie con un resistor y un interruptor auna fuente de voltaje de cd. Inicialmente, el interruptor está abierto y el capacitor está descarga-do con cero volts entre sus placas. En el instante en que se cierra el interruptor, la corriente saltaa su valor máximo y el capacitor comienza a cargarse. La corriente es máxima inicialmente por-que el capacitor tiene cero volts entre sus terminales y, por consiguiente, actúa efectivamente co-mo un cortocircuito; por tanto, la corriente queda limitada sólo por la resistencia. Conforme pasael tiempo y el capacitor se carga, la corriente disminuye y el voltaje entre las terminales del ca-pacitor (VC) se incrementa. En el resistor el voltaje es proporcional a la corriente durante este pe-riodo de carga.

Después de cierto intervalo de tiempo, el capacitor se carga por completo. En ese momento lacorriente es de cero y el voltaje en el capacitor es igual a la fuente de voltaje de cd, como se mues-tra en la figura 12-30(b). Si el interruptor se abriera ahora, el capacitor retendría su carga com-pleta (omitiendo cualquier fuga).

En la figura 12-30(c), la fuente de voltaje se quitó. Cuando el interruptor se cierra, el capacitorcomienza a descargarse. Al principio la corriente salta a un máximo, pero en dirección opuesta a

A B

(b) Descarga (las flechas indican el flujo de electrones)

A B

(c) Descargado

0 V

(a) Retiene carga

A B

50 V

488 ◆ CAPACITORES

la que tenía durante el proceso de carga. Conforme pasa el tiempo, la corriente y el voltaje dismi-nuyen en el capacitor. En el resistor el voltaje siempre es proporcional a la corriente. Cuando elcapacitor se descarga por completo, la corriente y el voltaje en el capacitor son cero.

Recuerde las siguientes reglas sobre capacitores en circuitos de cd:

1. Un capacitor aparece como una abertura ante un voltaje constante.

2. Un capacitor aparece como un corto ante un cambio instantáneo de voltaje.

A continuación, examinaremos con todo detalle cómo cambian con el tiempo el voltaje y lacorriente en un circuito capacitivo.

La constante de tiempo RC

En una situación práctica, no puede haber capacitancia sin algo de resistencia en un circuito. Pue-de ser simplemente la pequeña resistencia de un conductor eléctrico, una resistencia de fuenteThevenin, o un resistor físico. Debido a esto, las características de carga y descarga de un capa-citor siempre deben ser consideradas junto con la resistencia asociada. La resistencia introduce elelemento de tiempo en la carga y descarga de un capacitor.

Cuando un capacitor se carga o descarga a través de una resistencia, se requiere cierto tiempopara que se cargue o descargue por completo. El voltaje presente entre las terminales del capaci-tor no puede cambiar de manera instantánea porque se requiere un tiempo finito para mover lacarga de un punto a otro. La constante de tiempo de un circuito RC en serie determina la veloci-dad a la cual el capacitor se carga o descarga.

La constante de tiempo RC es un intervalo fijo que es igual al producto de la resistenciapor la capacitancia presentes en un circuito RC en serie.

–+I

– +

I–+

VC–+–+ –+

R

La corriente salta a un máximo en el instante en que se cierra el interruptor; luego disminuye

El voltaje disminuye conforme se descarga el capacitor

(c) Descarga: el voltaje presente en el capacitor, el voltaje en el resistor, y la corriente disminuyen desde sus valores iniciales máximos. Observe que la corriente de descarga se opone a la de carga

R

0 A VS

0 V

VS

(b) Totalmente cargado: el voltaje presente en el capacitor esigual al voltaje de fuente. La corriente es de cero

R

VS

(a) Carga: el voltaje presente en el capacitor se incrementa conforme la corriente y el voltaje en el resistor disminuyen

La corriente salta a un máximo en el instante en que se cierra el interruptor; luego disminuye

El voltaje es cero en el instante en que se cierra el interruptor; luego se incrementa

Corriente de carga

C C VC

Corriente de descarga

VC

I VC

� FIGURA 12–30

Corriente y voltaje en un capacitor de carga y descarga.


La constante de tiempo se expresa en segundos cuando la resistencia está en ohms y la capa-citancia en farads. Está simbolizada por t y la fórmula es

Recuerde que I� Q/t. La corriente depende de la cantidad de carga movida en un tiempo dado.Cuando se incrementa la resistencia, la corriente de carga se reduce, y por tanto, el tiempo de cargadel capacitor aumenta. Cuando se incrementa la capacitancia, la cantidad de carga aumenta; portanto, para la misma cantidad de corriente, se requiere más tiempo para cargar el capacitor.

t = RC Ecuación 12–16

Un circuito RC en serie tiene resistencia de 1.0 MÆ y capacitancia de 4.7 mF. ¿Cuál es la cons-tante de tiempo?

Solución

Problema relacionado Un circuito RC en serie tiene un resistor de 270 kÆ y un capacitor de 3300 pF. ¿Cuál es laconstante de tiempo?

t = RC = (1.0 * 106 Æ)(4.7 * 10-6 F) = 4.7 s

EJEMPLO 12–11

Cuando un capacitor se carga o descarga entre dos niveles de voltaje, la carga en el capacitorcambia en aproximadamente un 63% de la diferencia que haya en los niveles en una constante detiempo. Un capacitor descargado se carga al 63% de su voltaje totalmente cargado en una constantede tiempo. Cuando un capacitor se descarga, su voltaje cae a aproximadamente un 100% � 63%� 37% de su valor inicial en una constante de tiempo, lo cual es un cambio del 63 por ciento.

Curvas de carga y descarga

Un capacitor se carga y descarga siguiendo una curva no lineal, como ilustra la figura 12-31. Enestas gráficas, el porcentaje aproximado de carga completa se muestra en cada intervalo de cons-tante de tiempo. Este tipo de curva sigue una fórmula matemática precisa llamada curva exponen-cial. La curva de carga es una exponencial creciente, y la curva de descarga es una exponencialmenguante. Se requieren cinco constantes de tiempo para cambiar el voltaje en un 99% (conside-rado el 100%). El intervalo de cinco constantes de tiempo se acepta generalmente como el tiempopara cargar o descargar por completo un capacitor, y se llama tiempo transitorio.

Vi (voltaje inicial)

0 1� 2� 3� 4� 5�t

VF (voltaje final)

0 1� 2� 3� 4� 5�t

(a) Curva de carga con porcentajes del voltaje final (b) Curva de descarga con porcentajes del voltaje inicial

63%

86%95% 98% 99%

100%

37%

14%5% 1%2%

vCvC

� FIGURA 12–31

Curvas de voltaje exponenciales correspondientes a la carga y descarga de un circuito RC.

Ecuación 12–17

Ecuación 12–18

Fórmula general Las expresiones generales para curvas exponenciales crecientes o menguan-tes se dan en las siguientes ecuaciones tanto para voltaje como para corriente instantáneos.

i = IF + (Ii - IF)e-t/t

v = VF + (Vi - VF)e-t/t

490 ◆ CAPACITORES

donde VF e IF son los valores finales de voltaje y corriente, y Vi e Ii son los valores iniciales devoltaje y corriente. Las letras cursivas minúsculas v e i son los valores instantáneos de voltaje ycorriente en el capacitor en el tiempo t, y e es la base de los logaritmos naturales. En la calcula-dora, la tecla ex facilita el trabajo con este término exponencial.

Carga desde cero La fórmula para el caso especial en que una curva de voltaje exponencialcreciente comienza en cero (Vi� 0), como se muestra en la figura 12-31(a), se proporciona en laecuación 12-19. Se desarrolla como sigue, comenzando con la fórmula general, ecuación 12-17.

Al factorizar VF, se obtiene

Con la ecuación 12-19, se calcula el valor del voltaje de carga de un capacitor en cualquier ins-tante si inicialmente está descargado. Se puede calcular una corriente creciente sustituyendo vpor i y VF por IF en la ecuación 12-19.

v = VF (1 - e-t/RC)

v = VF + (Vi - VF)e-t/t = VF + (0 - VF)e-t/RC = VF - VF e-t/RC

En la figura 12-32, determine el voltaje en el capacitor 50 ms después de que se cierra el inte-rruptor si el capacitor inicialmente está descargado. Trace la curva de carga.

EJEMPLO 12–12

Ecuación 12–19

50 V C0.01 F

R

8.2 k�

m

� FIGURA 12–32

Solución La constante de tiempo es RC� (8.2 kÆ)(0.01 mF) � 82 ms. El voltaje con el cual el capacitorse cargará por completo es de 50 V (éste es VF). El voltaje inicial es cero. Advierta que 50 mses menor que una constante de tiempo; así que el capacitor se cargará menos que un 63% delvoltaje total en tal tiempo.

La curva de carga para el capacitor se muestra en la figura 12-33.

= (50 V)(1 - e-0.61) = (50 V)(1 - 0.543) = 22.8 V

vC = VF(1 - e-t/RC) = (50 V)(1 - e-50ms/82ms)

v (V)

22.8

0

50

050 410

5�

t ( s)μ

� FIGURA 12–33

Es posible determinar una función exponencial con la calculadora utilizando la tecla ex eingresando el valor del exponente de e.


Descarga a cero La fórmula para el caso especial en que una curva de voltaje exponencial de-creciente finaliza en cero (VF � 0), como se muestra en la figura 12-31(b), se deriva a partir dela fórmula general como sigue:

La cual se reduce a

donde Vi es el voltaje al principio de la descarga. Se puede utilizar esta fórmula para calcular elvoltaje de descarga en cualquier instante, como ilustra el ejemplo 12-13.

v = Vie-t/RC

v = VF + (Vi - VF)e-t/t = 0 + (Vi - 0)e-t/RC

Ecuación 12–20

Determine el voltaje presente en el capacitor de la figura 12-34 en un punto en el tiempo 6 msdespués de que se cierra el interruptor. Trace la curva de descarga.

EJEMPLO 12–13

R10 k�

C2.2 F10 V

m

Problema relacionado En la figura 12-32, determine el voltaje presente en el capacitor 15 ms después del cierre delinterruptor.

Use el archivo Multisim E12-12 para verificar los resultados calculados en este ejemplo y pa-ra confirmar su cálculo en el problema relacionado.

� FIGURA 12–34

Solución La constante de tiempo de descarga es RC � (10 kÆ)(2.2 mF) � 22 ms. El voltaje inicial enel capacitor es de 10 V. Advierta que 6 ms es menor que una constante de tiempo, de modoque el capacitor se descargará menos del 63%. Por consiguiente, tendrá un voltaje mayor queel 37% del voltaje inicial a los 6 ms.

La curva de descarga para el capacitor se muestra en la figura 12-35.

vC = Vie-t/RC = (10 V)e-6ms/22ms = (10 V)e-0.27 = (10 V)(0.761) = 7.61 V

10

7.61

v (V)

5�

t (ms)11060

� FIGURA 12–35

Problema relacionado En la figura 12-34, cambie R a 2.2 kÆ y determine el voltaje presente en el capacitor 1 ms des-pués de que se cierra el interruptor.

492 ◆ CAPACITORES

Método gráfico que utiliza curvas exponenciales universales Las curvas universales queaparecen en la figura 12-36 proporcionan una solución gráfica de la carga y descarga de un capa-citor. El ejemplo 12-14 ilustra este método gráfico.

1.0

0 1�t

2� 3� 4� 5�

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

v o i

1– e – t /�

e – t /�

0.9

� FIGURA 12–36

Curvas exponenciales universales normalizadas.

¿Cuánto tiempo le llevará al capacitor inicialmente descargado que se muestra en la figura 12-37para cargarse a 75 V? ¿Cuál es el voltaje en el capacitor 2 ms después de que se cierra el inte-rruptor? Use las curvas exponenciales universales normalizadas que aparecen en la figura 12-36para determinar las respuestas.

EJEMPLO 12–14

C0.01 F

R100 k�

100 V

m

� FIGURA 12–37

Solución El voltaje de carga total es de 100 V, el cual está al nivel del 100% (1.0) en la escala verticalnormalizada de la gráfica. El valor de 75 V es el 75% del valor máximo, o de 0.75 en la gráfi-ca. Se puede ver que este valor ocurre en 1.4 constantes de tiempo. En este circuito, una cons-tante de tiempo es RC � (100 kÆ)(0.01 mF) � 1 ms. Por consiguiente, el voltaje en elcapacitor llega a 75 V a los 1.4 ms después de que se cierra el interruptor.

En la curva exponencial universal, se advierte que el capacitor está a aproximadamente 86 V(0.86 en el eje vertical) en 2 ms, lo que equivale a dos constantes de tiempo. Estas solucionesgráficas se muestran en la figura 12-38.


Tabla de porcentajes de constantes de tiempo En cada intervalo de constante de tiempo,los porcentajes de plena carga o descarga se calculan con las fórmulas exponenciales, o puedenser tomados de las curvas universales exponenciales. Los resultados se resumen en las tablas 12-4y 12-5.

Problema relacionado Con las curvas universales normalizadas, determine cuánto le llevará al capacitor de la figura12-37 cargarse hasta 50 V. ¿Cuál es el voltaje en el capacitor 3 ms después de que se cierra elinterruptor?

Use el archivo E12-14 para verificar los resultados calculados en este ejemplo y para confir-mar su cálculo en el problema relacionado. Use una onda cuadrada para reemplazar la fuentede voltaje de cd y el interruptor.

0 1�t

2� 3� 4� 5�

v

1.4 ms

86 V 1– e – t /�

�e – t /

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

75 V

� FIGURA 12–38

� TABLA 12–4

Porcentaje de carga final después de cada intervalo deconstante de tiempo de carga.

NÚMERO DE PORCENTAJECONSTANTES DE APROXIMADO DE

TIEMPO CARGA FINAL

1 63

2 86

3 95

4 98

5 99 (considerado el 100%)

� TABLA 12–5

Porcentaje de carga inicial después de cada intervalo deconstante de tiempo de descarga.

NÚMERO DE PORCENTAJECONSTANTES DE APROXIMADO DE

TIEMPO CARGA INICIAL

1 37

2 14

3 5

4 2

5 1 (considerado el 0)

Determinación del tiempo

De vez en cuando, es necesario determinar cuánto le llevará a un capacitor cargarse o descargar-se a un voltaje específico. Las ecuaciones 12-17 y 12-19 se pueden resolver para t si se especifi-

494 ◆ CAPACITORES

ca v. El logaritmo natural (abreviado ln) de e�t/RC es el exponente. Por consiguiente, tomando ellogaritmo natural de ambos miembros de la ecuación se resuelve para el tiempo. Este procedi-miento se realiza como sigue en el caso de la fórmula exponencial decreciente cuando VF � 0(Ecuación 12-20).

Se puede utilizar el mismo procedimiento para la fórmula exponencial creciente expresadapor la ecuación 12-19 como sigue:

t = -RC lna1 -v

VF

b

lna1 -v

VF

b =- t

RC

lna1 -v

VF

b = ln e-t/RC

1 -v

VF

= e-t/RC

v

VF

= 1 - e-t/RC

v = VF (1 - e-t/RC)

t = -RC lna v

Vi

b

lna v

Vi

b =- t

RC

lna v

Vi

b = ln e-t/RC

v

Vi

= e-t/RC

v = Vie-t/RC

Ecuación 12–21

Ecuación 12–22

En la figura 12-39, ¿cuánto le llevará al capacitor descargarse a 25 V cuando el interruptor secierra?

EJEMPLO 12–15

100 VR2.2 k�

C1 Fm

� FIGURA 12–39

Solución Use la ecuación 12-21 para determinar el tiempo de descarga.

Puede calcularse el ln(0.25) con la calculadora utilizando la tecla LN.

Problema relacionado ¿Cuánto le llevará al capacitor de la figura 12-39 descargarse hasta 50 V?

= - (2.2 ms)ln(0.25) = - (2.2 ms)(-1.39) = 3.05 ms

t = -RC lna v

Vi

b = - (2.2 kÆ)(1 mF)lna 25 V

100 Vb


Respuesta RC a una onda cuadrada

Analicemos un caso común para ilustrar que la exponencial creciente y la decreciente ocurrencuando un circuito RC es excitado con una onda cuadrada que tiene un periodo largo en compa-ración con la constante de tiempo. La onda cuadrada produce una acción de encendido y apaga-do pero, a diferencia de un interruptor único, crea una trayectoria de descarga de retorno a travésdel generador cuando la onda se reduce otra vez a cero.

Cuando la onda cuadrada se eleva, el voltaje entre las terminales del capacitor se eleva expo-nencialmente hacia el valor máximo de la onda cuadrada en un lapso de tiempo que depende dela constante de tiempo. Cuando la onda cuadrada regresa al nivel de cero, el voltaje en el capacitordisminuye exponencialmente, de nuevo dependiendo de la constante de tiempo. La resistenciaThevenin del generador es una parte de la constante de tiempo RC; sin embargo, se puede omitirsi es pequeña en comparación con R. El ejemplo 12-16 muestra las formas de onda para el casoen que el periodo es largo comparado con la constante de tiempo; se abordarán otros casos contodo detalle en el capítulo 20.

En la figura 12-40, calcule el voltaje entre las terminales del capacitor cada 0.1 ms durante unperiodo completo de la entrada. Trace entonces la forma de onda del capacitor. Suponga quela resistencia Thevenin del generador es insignificante.

EJEMPLO 12–16

R

15 k�Vs

2.5 Vp1.0 kHz

0

2.5

0.5 1.00

C0.0056 Fμ

t (ms)

Vs (V)

� FIGURA 12–40

Solución

El periodo de la onda cuadrada es de 1 ms, el cual es aproximadamente de 12t. Esto significaque transcurrirán 6t después de cada cambio del pulso, ello permite que el capacitor se carguey descargue totalmente.

Para la exponencial creciente,

En 0.1 ms:

En 0.2 ms:

En 0.3 ms:

En 0.4 ms:

En 0.5 ms:

Para la exponencial menguante,

v = Vi (e-t/RC) = Vi (e

-t/t)

v = 2.5 V(1 - e-0.5ms/0.084ms) = 2.49 V

v = 2.5 V(1 - e-0.4ms/0.084ms) = 2.48 V

v = 2.5 V(1 - e-0.3ms/0.084ms) = 2.43 V

v = 2.5 V(1 - e-0.2ms/0.084ms) = 2.27 V

v = 2.5 V(1 - e-0.1ms/0.084ms) = 1.74 V

v = VF (1 - e-t/RC) = VF (1 - e-t/t)

t = RC = (15 kÆ)(0.0056 mF) = 0.084 ms

496 ◆ CAPACITORES

En la ecuación, el tiempo se muestra desde el punto en que ocurre el cambio (restando 0.5 msdel tiempo real). Por ejemplo, en 0.6 ms,

En 0.6 ms:

En 0.7 ms:

En 0.8 ms:

En 0.9 ms:

En 1.0 ms:

La figura 12-41 es una gráfica de estos resultados.

v = 2.5 V(e-0.5ms/0.084ms) = 0.01 V

v = 2.5 V(e-0.4ms/0.084ms) = 0.02 V

v = 2.5 V(e-0.3ms/0.084ms) = 0.07 V

v = 2.5 V(e-0.2ms/0.084ms) = 0.23 V

v = 2.5 V(e-0.1ms/0.084ms) = 0.76 V

t = 0.6 ms - 0.5 ms = 0.1 ms.

0.5 1.0

1

2

3

t (ms)

VC (V)

00

� FIGURA 12–41

Problema relacionado ¿Cuál es el voltaje presente en el capacitor en 0.65 ms?

1. Determine la constante de tiempo cuando R� 1.2 kÆ y C� 1000 pF.

2. Si el circuito mencionado en la pregunta 1 se carga con una fuente de 5 V, ¿cuánto le lleva-rá al capacitor alcanzar su carga plena? A plena carga, ¿cuál es el voltaje del capacitor?

3. Para un circuito dado, t � 1 ms. Si se carga con una batería de 10 V, ¿cuál será el voltajeen el capacitor en cada uno de los siguientes tiempos: 2 ms, 3 ms, 4 ms, y 5 ms?

4. Un capacitor se carga a 100 V. Si se descarga a través de un resistor, ¿cuál es el voltaje quehay en el capacitor en una constante de tiempo?


12–6 CAPACITORES EN CIRCUITOS DE CAComo se sabe, un capacitor bloquea la corriente directa. Un capacitor deja pasar la corrientealterna pero con cierta cantidad de oposición, llamada reactancia capacitiva, que depende dela frecuencia de la corriente alterna.


◆ Analizar circuitos capacitivos de ca

◆ Explicar por qué un capacitor provoca cierto desfasamiento entre voltaje y corriente

◆ Definir el término reactancia capacitiva

◆ Determinar el valor de reactancia capacitiva en un circuito dado

◆ Examinar la potencia instantánea, real o activa y reactiva en un capacitor

CAPACITORES EN CIRCUITOS DE CA ◆ 497

Para explicar a cabalidad cómo funcionan los capacitores en un circuito de ca, se debe intro-ducir el concepto de derivada. La derivada de una cantidad que varía con el tiempo es la razón decambio instantánea de dicha cantidad.

Recordemos que la corriente es la velocidad de flujo de la carga (electrones). Por consiguien-te, la corriente instantánea, i, se expresa como la razón de cambio instantánea de la carga, q, conrespecto al tiempo, t.

El término dq/dt es la derivada de q con respecto al tiempo y representa la razón de cambio ins-tantánea de q. Asimismo, en función de cantidades instantáneas, q � Cv. Por consiguiente, deacuerdo con una regla básica del cálculo diferencial, la derivada de q con respecto al tiempo esdq/dt � C(dv/dt). Como i � dq/dt, se obtiene la siguiente relación:

Esta fórmula establece que

La corriente instantánea en el capacitor es igual a la capacitancia multiplicada por la ra-zón de cambio instantánea del voltaje presente entre las terminales del capacitor.

Mientras más rápido cambia el voltaje entre las terminales de un capacitor, mayor es la corriente.

Relación de fase de corriente y voltaje en un capacitor

Considere lo que sucede cuando se aplica un voltaje sinusoidal entre las terminales de un capacitor,como se muestra en la figura 12-42(a). La forma de onda del voltaje tiene una razón de cambiomáxima (dv/dt � máx) en los cruces por cero y velocidad de cambio de cero (dv/dt � 0) en lospicos, según indica la figura 12-42(b).

i = Cadv

dtb

i =dq

dtEcuación 12–23

Ecuación 12–24

Velocidad de cambio cero(dv/dt = 0)

Velocidad de cambio negativa máxima(dv/dt = – máx)

Velocidad de cambio cero(dv/dt = 0)

Velocidad de cambio positiva máxima(dv/dt = + máx)

0

CVs

(a) Circuito (b) Velocidades de cambio de la onda seno

� FIGURA 12–42

Onda seno aplicada a un capacitor.

La relación de fase entre la corriente y el voltaje para el capacitor se establece con la ecuación12-24. Cuando dv/dt� 0, i también es cero porque i� C(dv/dt) � C(0) � 0. Cuando dv/dt es unmáximo que se dirige hacia positivo, i es un máximo positivo; cuando dv/dt es un máximo que sedirige hacia negativo, i es un máximo negativo.

En un circuito capacitivo, un voltaje sinusoidal siempre produce una corriente sinusoidal. Portanto, es posible graficar la corriente con respecto al voltaje si se conocen los puntos en la curvade voltaje donde la corriente es de cero y donde es máxima. Esta relación aparece en la figura12-43(a). Advierta que la corriente está adelantada en 90° con respecto al voltaje. Esto siemprese cumple en un circuito puramente capacitivo. La relación entre los fasores de voltaje y corrien-te se muestra en la figura 12-43(b).

498 ◆ CAPACITORES

Reactancia capacitiva, XC

La reactancia capacitiva es la oposición a la corriente sinusoidal, expresada en ohms. El sím-bolo para reactancia capacitiva es XC.

En el desarrollo de una fórmula para XC, se utiliza la relación i� C(dv/dt) y la curva que apareceen la figura 12-44. La velocidad de cambio del voltaje está directamente relacionada con la fre-cuencia. Mientras más rápido cambia el voltaje, más alta es la frecuencia. Por ejemplo, en la fi-gura 12-44 se observa que, en los cruces por cero, la pendiente de la onda seno A es máspronunciada que la de la onda seno B. La pendiente de una curva en un punto indica la velocidadde cambio en dicho punto. La onda seno A tiene frecuencia más alta que la onda seno B, como in-dica una velocidad máxima más grande (dv/dt es mayor en los cruces por cero).

VC = 0

IC = + máx

VC = + máx

IC = 0

VC = 0

IC = – máx

VC = – máx

IC = 0

VC 0

IC 0

90∞

90∞

(b) Diagrama fasorial

IC

VC

(a) Formas de onda

� FIGURA 12–43

Relación de fase de VC e IC

en un capacitor. La corrientesiempre se adelanta en 90° alvoltaje del capacitor.

t0

Pendiente ABA

Pendiente B

� FIGURA 12–44

La forma de onda de frecuencia más alta (A) tiene una pendiente más pronunciada en sus cruces por cero,lo cual corresponde a una velocidad de cambio más alta.

Cuando se incrementa la frecuencia, dv/dt aumenta, y por tanto i se incrementa. Cuando la fre-cuencia disminuye, dv/dt disminuye, y por tanto, i disminuye.

↑ ↑

↓ ↓Un incremento de i significa que hay menos oposición a la corriente (XC es menor), y una dis-

minución de i significa mayor oposición a la corriente (XC es más grande). Por consiguiente, XCes inversamente proporcional a i, y por tanto, es inversamente proporcional a la frecuencia.

XC es inversamente proporcional a f, mostrada como1f.

i = C(dv/dt) y i = C(dv/dt)


A partir de la misma relación i� C(dv/dt), se observa que si dv/dt es constante y C varía, un in-cremento en C produce un incremento de i, y una disminución en C produce una disminución de i.

↑ ↑

↓ ↓De nuevo, un incremento de i presupone menos oposición (XC es menor), y una disminución

de i presupone oposición (XC es mayor). Por consiguiente, XC es inversamente proporcional a i,y por tanto, inversamente proporcional a la capacitancia.

La reactancia capacitiva es inversamente proporcional tanto a f como a C.

es inversamente proporcional a fC, mostrada comos

Hasta ahora, se ha determinado una relación proporcional entre XC y 1/fC. La ecuación 12-25es la fórmula completa para calcular XC. La derivación se proporciona en el apéndice B.

La reactancia capacitiva, XC, está en ohms cuando f está en hertz y C en farads. Advierta que2p aparece en el denominador como una constante de proporcionalidad. Este término se derivaa partir de la relación de onda seno al movimiento de rotación.

XC =1

2pfC

1fC

.XC

i = C(dv/dt) y i = C(dv/dt)

Se aplica un voltaje sinusoidal a un capacitor, como indica la figura 12-45. La frecuencia dela onda senoidal es de 1 kHz. Determine la reactancia capacitiva.

EJEMPLO 12–17

C0.0047 F

Vs μ

� FIGURA 12–45

Solución

Problema relacionado Determine la frecuencia requerida para lograr que la reactancia capacitiva mostrada en la fi-gura 12-45 sea igual a 10 kÆ.

Use el archivo Multisim E12-17 para verificar los resultados calculados en este ejemplo y pa-ra confirmar sus cálculos en el problema relacionado.

XC =1

2pfC=

1

2p(1 * 103 Hz)(0.0047 * 10-6 F)= 33.9 kæ

Ley de Ohm La reactancia de un capacitor es análoga a la resistencia de un resistor, según mues-tra la figura 12-46. De hecho, ambas se expresan en ohms. En vista de que tanto R como XC sonformas de oposición a la corriente, la ley de Ohm es aplicable a circuitos capacitivos y resistivos.

Cuando se aplica la ley de Ohm en circuitos de ca, tanto la corriente como el voltaje se deben ex-presar de igual manera, es decir, ambos en valores rms, ambos en valores pico, y así sucesivamente.

I =V

XC

Vs XC

I

� FIGURA 12–46

Ecuación 12–25

500 ◆ CAPACITORES

Potencia en un capacitor

Tal como fue analizado con anterioridad en este capítulo, un capacitor cargado almacena energíaen el campo eléctrico dentro del dieléctrico. Un capacitor ideal no disipa energía; sólo la guardatemporalmente. Cuando se aplica un voltaje de ca a un capacitor, éste guarda energía durante unaparte del ciclo de voltaje; luego la energía guardada regresa a la fuente durante otra parte del ci-clo. No hay pérdida neta de energía. La figura 12-48 muestra la curva de potencia que resulta apartir de un ciclo del voltaje y de la corriente en el capacitor.

En la figura 12-47, determine la corriente rms.EJEMPLO 12–18

0.0056 F Vrms = 5 Vƒ = 10 kHz μ

� FIGURA 12–47

Solución En primer lugar, determine la reactancia capacitiva.

Luego aplique la ley de Ohm.

Problema relacionado En la figura 12-47, cambie la frecuencia a 25 kHz y determine la corriente rms.

Use el archivo Multisim E12-18 para verificar los resultados calculados en este ejemplo y pa-ra confirmar su cálculo en el problema relacionado.

Irms =Vrms

XC

=5 V

2.84 kÆ= 1.76 mA

XC =1

2pfC=

1

2p(10 * 103 Hz)(0.0056 * 10-6 F)= 2.84 kÆ

v = 0p = vi = 0

t

V

II

CV 0

Curva de potenciaP = VI

i = 0p = vi = 0

v = 0p = vi = 0

i = 0p = vi = 0

v = 0p = vi = 0

� FIGURA 12–48

Curva de potencia.


Potencia instantánea (p) El producto de v por i da potencia instantánea. En puntos donde vo i son cero, p también es cero. Cuando tanto v como i son positivos, p también es positiva. Cuan-do v o i son uno positivo y el otro negativo, p es negativa. Si v e i son negativos, p es positiva.Como se puede advertir, la potencia sigue una curva de forma sinusoidal. Los valores positivosde potencia indican que el capacitor guarda energía; los valores negativos de potencia indicanque la energía regresa del capacitor a la fuente. Observe que la potencia fluctúa a una frecuencia quees dos veces la del voltaje o de la corriente conforme la energía se guarda o regresa hacia la fuen-te de modo alterno.

Potencia real o activa P De manera ideal, toda la energía guardada por un capacitor durantela parte positiva del ciclo de potencia se regresa a la fuente durante la parte negativa. No se pier-de energía neta por causa de la conversión de calor en el capacitor, de modo que la potencia reales de cero. En realidad, debido a fugas y a la resistencia de las laminillas en un capacitor prácti-co, un pequeño porcentaje de la potencia total se disipa en forma de potencia real.

Potencia reactiva Q La razón a la cual un capacitor guarda o regresa energía se conoce co-mo potencia reactiva. La potencia reactiva es una cantidad distinta de cero porque, en cualquierinstante, el capacitor realmente está tomando energía de la fuente o regresándola a ésta. La po-tencia reactiva no representa pérdida de energía. Las fórmulas siguientes son aplicables:

Observe que estas ecuaciones son de la misma forma que las presentadas en el capítulo 4 para lapotencia de un resistor. El voltaje y la corriente están expresados en rms. La unidad de potenciareactiva es el VAR (volt-ampere reactivo).

Pr = I 2rmsXC

Pr =V 2

rms

XC

Pr = VrmsIrms Ecuación 12–26

Ecuación 12–27

Ecuación 12–28

Determine la potencia real y la potencia reactiva en la figura 12-49.EJEMPLO 12–19

Vrms2 V

C0.01 Fƒ = 2 kHz μ

� FIGURA 12–49

Solución Para un capacitor ideal, la potencia real Preal, siempre es de cero. La potencia reactiva se de-termina encontrando primero el valor de la reactancia capacitiva y utilizando luego la ecua-ción 12-27.

Problema relacionado Si en la figura 12-49 se duplica la frecuencia, ¿cuáles son la potencia real Preal y la potenciareactiva Q?

Pr =V 2

rms

XC

=(2 V)2

7.96 kÆ= 503 * 10-6 VAR = 503 MVAR

XC =1

2pfC=

1

2p(2 * 103 Hz)(0.01 * 10-6 F)= 7.96 kÆ

502 ◆ CAPACITORES

Si se elige cualquier tarjeta de circuito, se abre la fuente de potencia o se examina el interiorde cualquier pieza de equipo electrónico, es muy probable que se encuentren capacitores de unou otro tipo. Estos componentes se utilizan por una amplia variedad de razones tanto en aplicacio-nes de ca como de cd.

Almacenamiento eléctrico

Una de las aplicaciones básicas de un capacitor es como una fuente de voltaje de respaldo en circui-tos de baja potencia, tales como ciertos tipos de memorias de semiconductor en computadoras. Estaaplicación en particular requiere de un muy alto valor de capacitancia y fugas insignificantes.

El capacitor de almacenamiento se conecta entre la entrada de la fuente de potencia de cd alcircuito y tierra. Cuando el circuito está funcionando con su fuente de potencia normal, el capa-citor permanece totalmente cargado al voltaje de la fuente de potencia de cd. Si se interrumpe,por la remoción efectiva de la fuente del circuito, el capacitor de almacenamiento se transformatemporalmente en fuente de potencia para el circuito.

Un capacitor suministra voltaje y corriente a un circuito en tanto su carga sea suficiente. Con-forme el circuito extrae corriente, se remueve carga del capacitor y el voltaje disminuye. Por es-ta razón, el capacitor de almacenamiento sólo puede ser utilizado como fuente de potenciatemporal. El periodo durante el cual un capacitor es capaz de suministrar suficiente potencia alcircuito depende de la capacitancia y de la cantidad de corriente extraída por el circuito. Mientrasmás pequeña es la corriente y más alta es la capacitancia, mayor es el tiempo durante el cual elcapacitor es capaz de suministrar potencia a un circuito.

1. Enuncie la relación que hay entre corriente y voltaje en un capacitor.

2. Calcule XC con f� 5 kHz y C� 50 pF.

3. ¿A qué frecuencia es la reactancia de un capacitor de 0.1 mF igual a 2 kÆ?

4. Calcule la corriente rms en la figura 12-50.

5. Se conecta un capacitor de 1 mF a una fuente de voltaje de ca de 12 V rms. ¿Cuál es la po-tencia verdadera?

6. En la pregunta 5, determine la potencia reactiva a una frecuencia de 500 Hz.


� FIGURA 12–50

Vrms = 1 Vf = 1 MHz

0.1 Fμ

12–7 APLICACIONES DE LOS CAPACITORES

Los capacitores son ampliamente utilizados en muchas aplicaciones eléctricas y electrónicas.


◆ Analizar algunas aplicaciones de capacitor

◆ Describir un filtro de fuente de potencia

◆ Explicar el propósito de los capacitores de acoplamiento y de desvío (o de bypass)

◆ Analizar los fundamentos de capacitores aplicados a circuitos sintonizados, circuitostemporizadores, y memorias de computadora

APLICACIONES DE LOS CAPACITORES ◆ 503

Filtrado en una fuente de potencia

Una fuente de potencia de cd básica consta de un circuito conocido como rectificador seguido porun filtro. El rectificador convierte el voltaje sinusoidal de 110 V, 60 Hz suministrado por una to-ma de corriente estándar en un voltaje pulsante de cd que puede ser o voltaje rectificado de mediaonda o voltaje rectificado de onda completa, según el tipo de circuito rectificador. Como se mues-tra en la figura 12-51(a), un rectificador de media onda elimina cada uno de los medios ciclos ne-gativos del voltaje sinusoidal. De acuerdo con la figura 12.51(b), un rectificador de onda completaen realidad invierte la polaridad de la parte negativa de cada ciclo. Tanto los voltajes de media on-da como los de onda completa son de cd porque aún cuando cambian, su polaridad no alterna.

� FIGURA 12–51

Operación de rectificador demedia onda y de ondacompleta.

� FIGURA 12–52

Formas de onda básicas que muestran la operación de una fuente de potencia de cd.

Rectificador de media

onda

Rectificador de onda

completa

0 V

0 V

0 V

0 V

Voltaje de ca de 110 V rms, 60 Hz de la toma de corriente

Voltaje rectificado de cd de media onda de 0 V, 60 Hz

Voltaje rectificado de cd de onda completa de0 V, 120 Hz

Voltaje de ca de 110 V rms, 60 Hz de la toma de corriente

(a)

(b)

0 V0 V0 V

ca de 110 V rms, 60 Hz la cd rectificada de onda completa de 120 Hz aparece en la salida del rectificador antes de que se conecte el filtro

Voltaje de cd constante (ideal)

Filtro de fuente de potencia

Rectificador de onda

completa

Carga de circuito

Para que pueda proporcionar potencia a circuitos electrónicos, el voltaje rectificado debe sercambiado a voltaje de cd porque todos los circuitos requieren potencia constante. El filtro eliminacasi por completo las fluctuaciones en el voltaje rectificado e idealmente proporciona un voltajede cd de valor constante a la carga que es el circuito electrónico, como indica la figura 12-52.

504 ◆ CAPACITORES

El capacitor como filtro de una fuente de potencia Se utilizan capacitores como filtros enfuentes de potencia de cd por su capacidad de guardar carga eléctrica. La figura 12-53(a) mues-tra una fuente de potencia de cd con un rectificador de onda completa y un capacitor filtro. Laoperación se describe desde un punto de vista de carga y descarga como sigue: supongamos queinicialmente el capacitor está descargado. Cuando la fuente de potencia se activa por primera vezy ocurre el primer ciclo de voltaje rectificado, el capacitor se cargará de inmediato gracias a la bajaresistencia directa del rectificador. El voltaje en el capacitor seguirá la curva de voltaje rectifica-do hasta el pico del voltaje rectificado. Conforme el voltaje rectificado pasa por el pico y comienzaa disminuir, el capacitor comenzará a descargarse muy lentamente a través de la alta resistenciadel circuito de carga, como indica la figura 12-53(b). La cantidad de descarga es por lo generalmuy pequeña, pero en la figura aparece exagerada sólo para cumplir los propósitos de ilustración.El siguiente ciclo del voltaje rectificado recargará el capacitor de nuevo al valor pico reponiendola pequeña cantidad de carga perdida desde el pico previo. Este patrón de una pequeña cantidadde carga y descarga continúa en tanto la potencia esté activa.

� FIGURA 12–53

Operación básica de un capacitor filtro de fuente de potencia.

Car

ga

Des

carg

a

Des

carg

a

Car

ga

Car

ga

voltaje de cd confluctuación

(b)

Voltaje de salida del rectificador (sin capacitor)

Carga Descarga

Resistencia de carga

C

Voltaje de cd con fluctuación

(a)

60 Hz de ca

Rectificador

Se diseña un rectificador de modo que admita corriente sólo en una dirección para cargar elcapacitor. Éste no se descargará de nuevo a través del rectificador sino que sólo descargará unapequeña cantidad mediante la resistencia relativamente alta de la carga. La pequeña oscilacióndel voltaje debido a la carga y descarga del capacitor se llama voltaje de fluctuación. Una bue-na fuente de potencia de cd tiene una cantidad muy pequeña de fluctuación en su salida de cd. Laconstante de tiempo de descarga de un capacitor filtro de fuente de potencia depende de su capa-citancia y de la resistencia de la carga; por consiguiente, mientras más alto es el valor de capaci-tancia, el tiempo de descarga es mayor y, por tanto, más pequeño es el voltaje de fluctuación.

Bloqueo de cd y acoplamiento de ca

Con el fin de bloquear el voltaje de cd constante en una parte de un circuito para que no llegue aotra parte, por lo común se utilizan capacitores. Como un ejemplo de esto, se conecta un capaci-tor entre dos etapas de un amplificador para evitar que el voltaje de cd a la salida de la etapa 1afecte el voltaje de cd a la entrada de la etapa 2, según ilustra la figura 12-54. Supongamos que,para una operación apropiada, la salida de la etapa 1 tiene un voltaje de cd igual a cero y la entradaa la etapa 2 tiene un voltaje de cd igual a 3 V. El capacitor impide que el voltaje de cd de 3 V enla etapa 2 llegue a la salida de la etapa 1 y afecte su valor de cero y viceversa.

Si se aplica un voltaje de señal sinusoidal a la entrada de la etapa 1, el voltaje de señal se in-crementa (amplifica) y aparece a la salida de la etapa 1, según muestra la figura 12-54. El voltajede señal amplificado se acopla entonces, por conducto del capacitor, a la entrada de la etapa 2,donde se superpone sobre el nivel de cd de 3 V y luego de nuevo es amplificado mediante la eta-pa 2. Para que el voltaje de señal pase a través del capacitor sin que se reduzca, el capacitor debeser lo suficientemente grande a fin de que su reactancia a la frecuencia del voltaje de señal resul-

APLICACIONES DE LOS CAPACITORES ◆ 505

te insignificante. En este tipo de aplicación, el capacitor se conoce como capacitor de acoplamien-to, el cual aparece idealmente como una abertura ante cd y como un corto ante ca. Conforme sereduce la frecuencia de señal, la reactancia capacitiva se incrementa y, en algún punto, la reactan-cia capacitiva llega a ser lo suficientemente grande como para reducir de manera significativa elvoltaje de ca entre las etapas 1 y 2.

Desacoplamiento de línea de potencia

En tarjetas de circuito, para desacoplar los transitorios o pulsos estrechos de voltaje indeseablesque ocurren en el voltaje de suministro de cd debido a circuitos digitales de rápida conmutación,se utilizan capacitores conectados desde la línea de voltaje de la fuente de cd hasta tierra. Un tran-sitorio de voltaje contiene frecuencias altas que pueden afectar la operación de los circuitos. Es-tos transitorios se ponen en cortocircuito a tierra mediante la baja reactancia de los capacitores dedesacoplamiento. En una tarjeta de circuito, a menudo se utilizan varios capacitores de desaco-plamiento en diversos puntos localizados a lo largo de la línea de suministro de voltaje.

Desvío (bypass)

Otra aplicación de capacitor es desviar un voltaje de ca presente alrededor de un resistor en uncircuito sin afectar el voltaje de cd que haya entre las terminales del resistor. En circuitos de am-plificador, por ejemplo, se requieren voltajes de cd, llamados voltajes de polarización, en diver-sos puntos. Para que el amplificador opere apropiadamente, ciertos voltajes de polarizacióndeben permanecer constantes y, por consiguiente, cualesquiera voltajes de ca deben ser removi-dos. Un capacitor lo suficientemente grande conectado desde un punto de polarización hasta tie-rra produce una trayectoria de baja reactancia a tierra para voltajes de ca, y deja el voltaje depolarización de cd constante en el punto dado. A frecuencias bajas, el capacitor de desvío pierdeeficiencia debido a que su reactancia se incrementa. Esta aplicación de desvío se ilustra en la fi-gura 12-55.

Filtros de señal

Los capacitores son esenciales para completar la operación de una clase de circuitos llamados fil-tros, los cuales se utilizan para seleccionar una señal de ca con cierta frecuencia especificada de

� FIGURA 12–54

Aplicación de un capacitor para bloquear cd y acoplar ca en un amplificador.

0 V 0 V

3 V

Etapa 1 de amplificador

R2

R1C

+V

Entrada SalidaEtapa 2 de amplificador

506 ◆ CAPACITORES

entre una amplia variedad de señales con muchas frecuencias diferentes, o para seleccionar ciertabanda de frecuencias y eliminar todas las demás frecuencias. Un ejemplo común de esta aplica-ción se encuentra en receptores de radio y televisión, donde es necesario seleccionar la señaltransmitida desde una estación dada e eliminar o filtrar las señales emitidas desde todas las de-más estaciones localizadas en el área.

Cuando se sintoniza un radio o una televisión, en realidad se está cambiando la capacitanciadel circuito sintonizador (el cual es un tipo de filtro) de modo que únicamente la señal de la esta-ción o del canal que se desea sintonizar pase a través de los circuitos del receptor. Se utilizan ca-pacitores junto con resistores, inductores (estudiados en el siguiente capítulo), y los demáscomponentes en estos tipos de filtro. El tema de filtros se tratará en el capítulo 18.

La característica principal de un filtro es su selectividad de frecuencia, la cual está basada enel hecho de que la reactancia de un capacitor depende de la frecuencia (XC � 1/2pfC).

Circuitos temporizadores

Otra área importante en la cual se utilizan capacitores es en circuitos temporizadores que gene-ran retrasos específicos o producen formas de onda con características especiales. Recuerde quela constante de tiempo de un circuito con resistencia y capacitancia puede ser controlada selec-cionando valores apropiados para R y C. El tiempo de carga de un capacitor se utiliza como re-traso básico en varios tipos de circuito. Un ejemplo es el circuito que controla las lucesdireccionales de un automóvil, las cuales se encienden y apagan a intervalos regulares.

Memorias de computadora

En las computadoras, las memorias dinámicas utilizan capacitores minúsculos como elemento dealmacenamiento básico de información binaria, la cual se compone de dos dígitos binarios, 1 y 0.Un capacitor cargado puede representar un 1 almacenado, y un capacitor descargado puede re-presentar un 0 guardado. Patrones de unos y ceros que constituyen datos binarios se guardan enuna memoria consistente en una agrupación ordenada de capacitores con circuitos asociados. Es-te tema se estudia en un curso de fundamentos de computadoras o de fundamentos digitales.

� FIGURA 12–55

Ejemplo de la operación de un capacitor de desvío. El punto A se localiza en la tierra de ca debido a latrayectoria de baja reactancia a través del capacitor.

R2

R1

C

0 V

cd más ca

Punto en un circuito donde sólo se requiere cd

0 V

sólo cd

A

CIRCUITOS DE CAPACITOR CONMUTADOS ◆ 507

Recuerde que la corriente se define en función de carga y tiempo t como

Esta fórmula expresa que la corriente es la velocidad a la cual fluye carga a través de un circuito.Asimismo, recuerde que la definición básica de carga en función de capacitancia y voltaje es

Al sustituir Q por CV, la corriente se expresa como

Operación básica

En la figura 12-56 se muestra un modelo general de un circuito de capacitor conmutado. Constade un capacitor, dos fuentes de voltaje arbitrarias (V1 y V2), y un interruptor de dos polos. Exami-nemos este circuito para un periodo de tiempo específico, T, el cual luego se repite. Supongamosque V1 y V2 permanecen constantes durante este periodo. De particular interés es la corriente pro-medio I1 producida por la fuente V1 durante el periodo, T.

Durante la primera mitad del periodo T, el interruptor se encuentra en la posición 1, como seindica en la figura 12-56. Por consiguiente, existe una corriente I1 producida por V1 que carga elcapacitor durante el intervalo que va de t � 0 a t � T/2. En el transcurso de la segunda mitad

I =CV

t

Q = CV

I =Q

t

1. Explique cómo se reducen las oscilaciones o alisan los voltajes de cd de media onda o deonda completa por medio de un capacitor filtro.

2. Explique la finalidad de un capacitor de acoplamiento.

3. ¿Qué tan grande debe ser un capacitor de acoplamiento?

4. Explique el propósito de un capacitor de desacoplamiento.

5. Analice por qué la relación de frecuencia y reactancia capacitiva es importante en circuitosselectores de frecuencia tales como filtros de señales.

6. ¿Cuál característica de un capacitor es más importante en aplicaciones de retraso?


12–8 CIRCUITOS DE CAPACITOR CONMUTADOS

Se aplican capacitores en agrupamientos ordenados analógicos programables, los cua-les se implementan en forma de circuito integrado (CI). Se utilizan capacitores conmu-tados para implementar varios tipos de circuitos analógicos programables en los cualeslos capacitores toman el lugar de los resistores. En un “chip” de CI se pueden implemen-tar capacitores con más facilidad que un resistor, y ofrecen otras ventajas tales como di-sipación de potencia cero. Cuando se requiere resistencia en un circuito, se puede hacerque el capacitor conmutado emule un resistor. Con el uso de emulación por medio de ca-pacitor conmutado, se pueden cambiar con facilidad los valores de resistor mediante re-programación y es posible alcanzar valores de resistencia precisos y estables.


◆ Describir la operación básica de circuitos con capacitor conmutado

◆ Explicar cómo los circuitos de capacitor conmutado emulan resistores

508 ◆ CAPACITORES

del periodo, el interruptor se encuentra en la posición 2, como se indica, y no hay corriente pro-ducida por V1; así, la corriente promedio producida por V1 durante el periodo T es

Q1(0) es la carga en el instante t� 0, y Q1(T/2) es la carga en el instante t� T/2. Por tanto, Q1(T/2)� Q1(0) es la carga neta transferida mientras el interruptor está en la posición 1.

El voltaje presente en el capacitor en T/2 es igual a V1, y en 0 o en T es igual a V2. Utilizandola fórmula Q � CV y sustituyendo en la ecuación previa, se obtiene

Como V1 y V2 se suponen constantes en el periodo T, la corriente promedio se expresa como

La figura 12-57 muestra un circuito equivalente con un resistor en lugar del capacitor e inte-rruptores.

I1(prom) =C(V1 - V2)

T

I1(prom) =CV1(T/2) - CV2(0)

T=

C(V1(T/2) - V2(0))

T

I1(prom) =Q1(T/2) - Q1(0)

T

� FIGURA 12–56

Operación básica de un circuito de capacitor conmutado. El símbolo de fuente de voltaje representa unsímbolo que varía con el tiempo.

V1 V2

I1

C

1

0 T/2

2

T

(a)

Interruptor en la

posición 1 conectado

0 T

(b)

T/2

Posición 1 Posición 1

Interruptor en la

posición 2 conectado

Posición 2

+ +– –

Ecuación 12–29

� FIGURA 12–57

Circuito resistivo.

R

I1

V1 V2+ +– –

Al aplicar la ley de Ohm al circuito resistivo, la corriente es

En el circuito de capacitor conmutado se establece I1(prom) igual a la corriente que circula en elcircuito resistivo, y se tiene

Al eliminar los términos V1 – V2 y resolviendo para R se obtiene la resistencia equivalente.

Este importante resultado comprueba que un circuito de capacitor conmutado puede emular unresistor con un valor determinado en el tiempo T y con capacitancia C. Recuerde que el interrup-tor ocupa cada una de las posiciones durante la mitad del periodo T y que T puede ser variado

R =T

C

C(V1 - V2)

T=

V1 - V2

R

I1 =V1 - V2

R

Ecuación 12–30

CIRCUITOS DE CAPACITOR CONMUTADOS ◆ 509

cambiando la frecuencia a la cual operan los interruptores. En un dispositivo analógico progra-mable, la frecuencia de conmutación es un parámetro programable para cada resistor emulado ypuede ser ajustado para lograr un valor de resistor preciso. Como T � 1/f, la resistencia en fun-ción de la frecuencia es

Interruptores prácticos

El interruptor de dos polos que se ha utilizado para ilustrar el concepto básico de un circuito de ca-pacitor conmutado es una forma poco práctica de implementación en un amplificador programableu otro circuito analógico. La figura 12-58 muestra cómo el interruptor de dos polos simple puedeser reemplazado por dos interruptores de polo único en una analogía mecánica. Se puede advertir quecuando SW1 se cierra y SW2 se abre, esto equivale al interruptor de dos polos en la posición 1. Cuan-do SW1 está abierto y SW2 está cerrado, equivale al interruptor de dos polos en la posición 2.

R =1

fCEcuación 12–31

� FIGURA 12–58

Analogía de interruptormecánico.

1 2

C

SW1 SW2

C

En circuitos electrónicos los interruptores se implementan con transistores. En la figura 12-59se muestra un circuito de capacitor conmutado con dos transistores (Q1 y Q2) que actúan comointerruptores. Sus tiempos de encendido y apagado son controlados mediante voltajes de formade onda pulsante programables. Las dos formas de onda pulsantes que encienden y apagan lostransistores están desfasadas en 180°, de modo que cuando un transistor está encendido el otroestá apagado, y viceversa, sin traslaparse.

Q2Q1

C

SW1 SW2

C

� FIGURA 12–59

Un capacitor conmutado coninterruptores de transistor.

Reemplace el resistor de entrada, R, mostrado en el circuito amplificador de la figura 12-60con un circuito de capacitor conmutado. El símbolo triangular representa un amplificador ope-racional, el cual se estudia en un curso posterior. Por ahora lo único que interesa es el resistorde entrada.

EJEMPLO 12–20

10 k�

R

C

1000 pF

Vout

Vin

� FIGURA 12–60

510 ◆ CAPACITORES

Solución Suponga que el valor del capacitor conmutado es de 1000 pF. Usted desea que el capacitorconmutado emule un resistor de 10 kÆ y proporcione efectivamente la misma corriente pro-medio que el resistor real. Utilizando la fórmula R � T/C,

Esto significa que cada interruptor debe ser operado a una frecuencia de

El ciclo de trabajo es del 50%, de modo que el interruptor ocupa cada posición a la mitad delperiodo. Se aplican dos voltajes de ciclo de trabajo al 50% de 100 kHz no traslapados, desfa-sados en 180° entre sí, a los interruptores de transistor mostrados en la figura 12-61.

f =1

T=

1

10 ms = 100 kHz

T = RC = (10 kÆ)(1000 pF) = 10 ms

� FIGURA 12–61

Capacitor conmutadoequivalente al circuito de lafigura 12-60.

C2

1000 pF

C11000 pF

f = 100 kHz f = 100 kHz

Circuito de capacitor conmutado

Vsal

Vent

Problema relacionado ¿A qué frecuencia deben ser operados los interruptores de transistor en la figura 12-61 paraemular un resistor de 5.6 kÆ?

1. ¿Cómo emula un capacitor conmutado a un resistor?

2. ¿Qué factores determinan el valor de resistencia que un determinado circuito de capacitorconmutado puede emular?

3. En una implementación práctica, ¿qué dispositivos se utilizan como interruptores?


Una aplicación de circuitoEn ciertos tipos de amplificadores seutilizan capacitores para acoplar la señalde ca al mismo tiempo que se bloqueael voltaje de cd. Se utilizan capacitoresen muchas otras aplicaciones, pero en

ésta, usted se enfocará en los capacitores de acoplamiento em-pleados en un circuito amplificador. Este tema se introdujo en lasección 12-7. Para esta asignatura no se requiere el conocimientode circuitos amplificadores.

Todos los circuitos amplificadores contienen transistores querequieren voltajes de cd para establecer condiciones de operación

apropiadas en la amplificación de señales de ca. Estos voltajes decd se conocen como voltajes de polarización. Como se indica enla figura 12-62(a), un tipo común de circuito de polarización decd utilizado en amplificadores es el divisor de voltaje formadopor R1 y R2, el cual establece el voltaje de cd apropiado a la entra-da del amplificador.

Cuando se aplica una señal de voltaje de ca al amplificador, elcapacitor de acoplamiento de entrada, C1, evita que la resistenciainterna de la fuente de ca cambie el voltaje de polarización de cd.Sin el capacitor, la resistencia interna de la fuente aparecería enparalelo con R2 y cambiaría drásticamente el valor del voltaje de cd.

UNA APLICACIÓN DE CIRCUITO ◆ 511

� FIGURA 12–62

Un amplificador capacitivamente acoplado.

Fuente de CA

Sólo señal de entrada de ca en este punto

10 F

Señal de CA más nivel de cd en este punto

100 k�

27 k�

+24 V dc

Circuito de polarización divisor de voltaje de CD

C1

C2

Salida

Símbolo de transistor

C

E

B

C

E

(a) Diagrama de amplificador (b) Tarjeta de amplificador

R1

R2

R310 k�

R42.7 k�

++++

++++B

m

10 Fm

10 Fm

10 Fm

La capacitancia de acoplamiento se elige de modo que su reac-tancia (XC) a la frecuencia de la señal de ca sea muy pequeña encomparación con los valores de resistor de polarización. La capa-citancia de acoplamiento, por consiguiente, acopla con eficacia laseñal de ca producida por la fuente a la entrada del amplificador.Del lado de la fuente del capacitor de acoplamiento de entrada só-lo existe ca, pero del lado del amplificador hay ca más cd (el vol-taje de la señal aparece montado sobre el voltaje de polarizaciónde cd establecido por el divisor de voltaje), como se indica en lafigura 12-62(a). El capacitor C2 es el capacitor de acoplamientode salida, el cual acopla la señal de ca amplificada a otra etapa delamplificador que se conectaría a la salida.

Por medio de un osciloscopio, usted revisará tres tarjetas deamplificador como la que aparece en la figura 12-62(b) en cuantoa los voltajes de entrada apropiados. Si los voltajes son incorrec-tos, determinará la falla más probable. En todas las mediciones,suponga que el amplificador no tiene efecto de carga de cd en elcircuito de polarización del divisor de voltaje.

La tarjeta de circuito impreso y el diagrama esquemático

◆ Verifique la tarjeta de circuito impreso mostrada en la figura12-62(b) para asegurarse de que concuerda con el diagramaesquemático del amplificador que aparece en la parte (a).

Prueba de la tarjeta 1

El sensor del osciloscopio se conecta del canal 1 a la tarjeta comose muestra en la figura 12-63. La señal de entrada producida porla fuente de voltaje sinusoidal se conecta a la tarjeta y se ajusta auna frecuencia de 5 kHz con una amplitud de 1 V rms.

◆ Determine si el voltaje y la frecuencia que aparecen en la pan-talla son correctos. Si la lectura del osciloscopio es incorrecta,especifique la falla más probable en el circuito.


El sensor del osciloscopio se conecta del canal 1 a la tarjeta 2, co-mo se muestra en la figura 12-63 para la tarjeta 1. La señal de en-trada producida por la fuente de voltaje sinusoidal es igual a la dela tarjeta 1.

◆ Determine si la lectura que aparece en la pantalla mostrada enla figura 12-64 es correcta. Si no es correcta, especifique la fa-lla más probable en el circuito.


El sensor del osciloscopio se conecta del canal 1 a la tarjeta 3, co-mo se muestra en la figura 12-63 para la tarjeta 1. La señal de en-trada producida por la fuente de voltaje sinusoidal es la misma deantes.

◆ Determine si la medición mostrada en la pantalla de la figura12-65 es correcta. Si la medición es incorrecta, especifique lafalla más probable en el circuito.

Repaso

1. Explique por qué es necesario el capacitor de acoplamiento deentrada cuando se conecta una fuente de ca al amplificador.

2. El capacitor C2 mostrado en la figura 12-62 es un capacitor deacoplamiento de salida. En general, ¿usted qué esperaría me-dir en el punto del circuito designado con C y a la salida delcircuito cuando se aplica una señal de entrada de ca al ampli-ficador?

HARDCOPY

HORIZONTALVERTICAL TRIGGER

LEVEL

TRIGGER MENU

SET LEVEL TO 50%

FORCE TRIGGER

CURSOR DISPLAYUTILITY

MEASURE ACQUIRESAVE/RECALL AUTOSET

RUN/STOP

POSITION

HORIZONTALMENU

SEC/DIV

5 s 5 ns

HOLDOFF

POSITION

VOLTS/DIV

CURSOR 2

CH 2MENU

5 V 2 mV

POSITION

VOLTS/DIV

CURSOR 1

CH 1MENU

5 V 2 mV

MATHMENU

CH 1 CH 2 EXT TRIGPROBE COMP5 V

MENUS

TRIGGER VIEW

Ch 1 1V 0.1ms

1

Señal de entrada+ (1 V rms, 5 kHz)

++++

++++

10 F

+24 V

1

Nota: La referencia de tierra se estableció como se indica con 0 V

m

10 Fm

0 V

1

� FIGURA 12–63

Prueba de la tarjeta 1.

Ch 1 0.1ms1V

0 V

1



0 V 1

Ch 1 1V 2 s

� FIGURA 12–64


� FIGURA 12–65


FÓRMUL AS ◆ 513

RESUMEN◆ Un capacitor está compuesto por dos placas conductoras en paralelo separadas por un material aislante

llamado dieléctrico.◆ Un capacitor guarda energía en el campo eléctrico presente entre las placas.◆ Un farad es la cantidad de capacitancia cuando se guarda un coulomb de carga con un volt entre las placas.◆ La capacitancia es directamente proporcional al área de placas e inversamente proporcional a la separa-

ción entre placas.◆ La constante dieléctrica es una indicación de la capacidad de un material para establecer un campo eléctrico.◆ La resistencia dieléctrica es un factor que determina el voltaje de ruptura de un capacitor.◆ Un capacitor bloquea la cd constante.◆ La constante de tiempo para un circuito RC dispuesto en serie es la resistencia multiplicada por la capa-

citancia. ◆ En un circuito RC, al cargar o descargar un capacitor el voltaje y la corriente provocan un 63% de cam-

bio durante cada intervalo de constante de tiempo. ◆ Se requieren cinco constantes de tiempo para que un capacitor se cargue o descargue por completo. Es-

to se llama tiempo transitorio. ◆ La carga y la descarga siguen curvas exponenciales. ◆ La capacitancia total en serie es menor que la del capacitor más pequeño dispuesto en serie. ◆ La capacitancia se suma en paralelo. ◆ En un capacitor, la corriente va 90° por delante del voltaje.◆ La reactancia capacitiva, XC, es inversamente proporcional a la frecuencia y la capacitancia. ◆ La potencia verdadera en un capacitor es de cero, es decir, no se pierde energía en un capacitor ideal a

causa de la conversión en calor.

TÉRMINOS CLAVE Los términos clave y otros términos en negritas que aparecen en el capítulo se definen en el glosarioincluido al final del libro.

Capacitor Dispositivo eléctrico constituido por dos placas conductoras separadas por un material aislan-te y que posee la propiedad de capacitancia.

Constante de tiempo RC Intervalo fijo de tiempo establecido por los valores R y C que determina la res-puesta de tiempo de un circuito RC en serie. Es igual al producto de la resistencia y la capacitancia.

Dieléctrico El material aislante colocado entre las placas de un capacitor.

Farad (F) Es la unidad de capacitancia.

Ley de Coulomb Este principio establece que existe una fuerza entre dos cuerpos cargados que es direc-tamente proporcional al producto de las dos cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distanciaentre las cargas.

Potencia instantánea (p) Es el valor de la potencia que hay en un circuito en cualquier instante dado.

Potencia reactiva Q Razón a la cual un capacitor guarda y regresa energía a la fuente de modo alterno.La unidad es el VAR.

Potencia real o activa (P) la potencia disipada en un circuito, casi siempre en forma de calor, se mideen watts.

Reactancia capacitiva Es la oposición de un capacitor a la corriente sinusoidal. La unidad es el ohm.

VAR (volt-ampere reactivo) Es la unidad de potencia reactiva.

Voltaje de fluctuación Pequeña oscilación de voltaje provocada por la carga y descarga de un capacitor.

FÓRMULAS

12–1 Capacitancia en función de carga y voltaje

12–2 Carga en función de capacitancia y voltajeQ � CV

C �Q

V

514 ◆ CAPACITORES

12–3 Voltaje en función de carga y capacitancia

12–4 Energía guardada por un capacitor

12–5 Constante dieléctrica (permitividad relativa)

12–6 Capacitancia en función de parámetros físicos

12–7 Carga total de capacitores dispuestos en serie (general)

12–8 Recíproco de la capacitancia total en serie (general)

12–9 Capacitancia total en serie (general)

12–10 Capacitancia total de dos capacitores dispuestos en serie

12–11Capacitancia total de capacitores de igual valor dispuestosen serie.

12–12 Voltaje de capacitor para capacitores en serie

12–13 Carga total de capacitores dispuestos en paralelo (general)

12–14 Capacitancia total en paralelo (general)

12–15 Capacitancia total en paralelo de capacitores de igualvalor dispuestos en paralelo

12–16 Constante de tiempo

12–17 Voltaje exponencial (general)

12–18 Corriente exponencial (general)

12–19 Voltaje exponencial creciente comenzando en cero

12–20 Voltaje exponencial menguante que termina en cero

12–21 Tiempo en exponencial menguante (VF � 0)

12–22 Tiempo en exponencial creciente (Vi � 0)

12–23Corriente instantánea empleada como derivada de lacarga

12–24Corriente instantánea en un capacitor empleada comoderivada de voltaje

12–25 Reactancia capacitiva

12–26 Potencia reactiva en un capacitor

12–27 Potencia reactiva en un capacitor

12–28 Potencia reactiva en un capacitor Pr � I2rmsXC

Pr �V 2

rms

XC

Pr � Vrms Irms

XC �1

2PfC

i � C advdtb

i �dq

dt

t � �RC lna1 �v

VF

bt � �RC lna v

Vi

bv � Vie

� t/RC

v � VF(1 � e � t/RC)

i � IF � (Ii � IF)e � t/T

v � VF � (Vi � VF)e � t/T

T � RC

CT � nC

CT � C1 � C2 � C3 � Á � Cn

QT � Q1 � Q2 � Q3 � Á � Qn

Vx � aCT

Cx

bVT

CT �Cn

CT �C1C2

C1 � C2

CT �1

1C1

�1C2

�1C3

� Á �1

Cn

1CT

�1C1

�1C2

�1C3

� Á �1

Cn

QT � Q1 � Q2 � Q3 � Á � Qn

C �Aer(8.85 : 10� 12 F/m)

d

Er �E

E0

W �12

CV 2

V �Q

C

AUTOEVALUACIÓN ◆ 515

12–29 Corriente promedio en un capacitor conmutado

12–30 Resistencia equivalente emulada por un capacitor conmutado

12–31 Resistencia equivalente emulada por un capacitor conmutado

AUTOEVALUACIÓN Las respuestas se encuentran al final del capítulo.

1. El o los siguientes enunciados describen con precisión un capacitor:

(a) Las placas son conductoras.

(b) El dieléctrico es una aislante entre las placas.

(c) Existe un corriente directa constante (cd) a través de un capacitor totalmente cargado.

(d) Un capacitor práctico guarda carga por tiempo indefinido cuando se desconecta de la fuente.

(e) Ninguna de las respuestas anteriores.

(f) Todas las respuestas anteriores.

(g) Únicamente las respuestas (a) y (b).

2. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero?

(a) Existe corriente a través del dieléctrico de un capacitor de carga.

(b) Cuando se conecta un capacitor a una fuente de voltaje de cd, se cargará al valor de la fuente.

(c) Un capacitor ideal puede ser descargado desconectándolo de la fuente de voltaje.

3. Una capacitancia de 1000 pF es mayor que

(a) 0.00001 F (b) 100,000 pF (c) 1000 pF (d) todas estas respuestas

4. Una capacitancia de 1000 pF es menor que

(a) (b) (c) 0.00000001 F (d) tanto (a) como (c)

5. Cuando el voltaje presente entre las terminales de un capacitor se incrementa, la carga almacenada

(a) aumenta (b) disminuye (c) permanece constante (d) fluctúa

6. Cuando el voltaje entre las terminales de un capacitor se duplica, la carga almacenada

(a) no cambia (b) se reduce a la mitad (c) se cuadruplica (d) se duplica

7. El voltaje nominal de un capacitor se aumenta

(a) al incrementar la separación de las placas (b) al disminuir la separación de las placas

(c) al incrementar el área de placas (d) las respuestas (b) y (c)

8. El valor de capacitancia se incrementa

(a) al disminuir el área de placas (b) al incrementar la separación de las placas

(c) al disminuir la separación de las placas (d) al incrementar el área de placas

(e) las respuestas (a) y (b) (f) las respuestas (c) y (d)

9. Tres capacitores de 1 mF, 2.2 mF, y 0.047 mF se conectan en serie. La capacitancia total es menor que

(a) (b) (c) (d)

10. Cuatro capacitores de 0.022 mF se conectan en paralelo. La capacitancia total es de

(a) (b) (c) (d)

11. Un capacitor descargado y un resistor se conectan en serie con un interruptor y una batería de 12 V. Enel instante en que se cierra el interruptor el voltaje entre las terminales del capacitor es de

(a) 12 V (b) 6 V (c) 24 V (d) 0 V

12. En la pregunta 11, el voltaje entre las terminales del capacitor cuando está totalmente cargado es de

(a) 12 V (b) 6 V (c) 24 V (d) -6 V

0.044 mF0.011 mF0.088 mF0.022 mF

0.001 mF0.047 mF2.2 mF1 mF

0.001 mF0.01 mF

R �1

fC

R �TC

I1(prom) �C(V1 - V2)

T

516 ◆ CAPACITORES

13. En la pregunta 11, el capacitor se cargará por completo en un tiempo igual a aproximadamente

(a) RC (b) 5RC (c) 12RC (d) no puede predecirse

14. Se aplica un voltaje sinusoidal entre las terminales de un capacitor. Cuando la frecuencia del voltaje seincrementa, la corriente

(a) aumenta (b) disminuye (c) permanece constante (d) cesa

15. Un capacitor y un resistor están conectados en serie a un generador de ondas seno. La frecuencia seajusta de modo que la reactancia capacitiva es igual a la resistencia y, por tanto, aparece una cantidadigual de voltaje entre cada componente. Si la frecuencia disminuye,

(a) (b) (c)

16. Los circuitos de capacitor conmutado se utilizan para

(a) incrementar la capacitancia (b) emular inductancia

(c) emular resistencia (d) generar voltajes de onda seno

EXAMEN RÁPIDODE DINÁMICADE CIRCUITOS Las respuestas se encuentran al final del capítulo.

Consulte la figura 12-73.

1. Si los capacitores inicialmente están cargados y el interruptor se cierra, la carga en C1

(a) aumenta (b) disminuye (c) no cambia

2. Si C4 se pone en cortocircuito con el interruptor cerrado, la carga en C1


3. Si el interruptor se cierra y C2 se abre, la carga en C1



4. Suponga que se cierra el interruptor y se permite que C se cargue por completo. Cuando el interruptorse abre, el voltaje en C


5. Si C se abre cuando el interruptor se cierra, el voltaje en C



6. Si el interruptor se cierra permitiendo que el capacitor se cargue y luego se abre el interruptor, el vol-taje entre las terminales del capacitor


7. Si R2 se abre, el tiempo requerido para que el capacitor se cargue por completo


8. Si R4 se abre, el voltaje máximo al cual el capacitor puede cargarse


9. Si VS se reduce, el tiempo requerido para que el capacitor se cargue por completo


Consulte la figura 12-80(b).

10. Si la frecuencia de la fuente de ca se incrementa, la corriente total


11. Si C1 se abre, la corriente a través de C2


12. Si el valor de C2 cambia a 1 mF, la corriente a través de C2


VR = VCVC 7 VRVR 7 VC

PROBLEMAS ◆ 517

Los problemas más difíciles están señalados con un asterisco (*).PROBLEMAS Las respuestas a los problemas de número impar se encuentran al final del libro.

SECCIÓN 12–1 El capacitor básico

1. (a) Encuentre la capacitancia cuando Q � 50 mC y V � 10 V.

(b) Determine la carga cuando C � 0.001 mF y V � 1 kV.

(c) Determine el voltaje cuando Q� 2 mC y C � 200 mF.

2. Transforme los siguientes valores de microfarads a picofarads:

(a) (b) (c)

3. Transforme los siguientes valores de picofarads a microfarads:

(a) 1000 pF (b) 3500 pF (c) 250 pF

4. Transforme los siguientes valores de farads a microfarads;

(a) 0.0000001 F (b) 0.0022 F (c) 0.0000000015 F

5. ¿Cuánta energía guarda un capacitor de 1000 mF que se carga a 500 V?

6. ¿Qué tamaño de capacitor es capaz de guardar 10 mJ de energía con 100 V entre sus placas?

7. Calcule la permitividad absoluta, e, para cada uno de los siguientes materiales. Consulte la tabla 12-3para obtener los valores de er.

(a) aire (b) aceite (c) vidrio (d) Teflón®

8. Un capacitor de mica tiene placas cuadradas de 3.8 cm por lado con una separación entre ellas de 2.5 mils.¿Cuál es la capacitancia?

9. Un capacitor de aire tiene un área de placas total de 0.05 m2. La separación entre las placas es de 4.5� 10�4 m. Calcule la capacitancia.

* 10. Un estudiante desea construir un capacitor de 1 F con dos placas cuadradas para un proyecto de feriade las ciencias. Planea utilizar un dieléctrico de papel (er� 2.5) de 8 � 10�5 m de espesor. La feria delas ciencias se va a llevar a cabo en el “Astrodomo”. ¿Cabrá su capacitor en el “Astrodomo”? ¿De quétamaño serían las placas si pudieran ser construidas?

11. Un estudiante decide construir un capacitor con dos placas conductoras de 30 cm por lado. Separa lasplacas con un dieléctrico de papel (er � 2.5) de 8 � 10�5 de espesor. ¿Cuál es la capacitancia de sucapacitor?

12. A temperatura ambiente (25°C), se especifica que cierto capacitor sea de 1000 pF. El capacitor tienecoeficiente de temperatura negativo de 200 ppm/°C. ¿Cuál es su capacitancia a 75°C?

13. Un capacitor de 0.001 mF tiene coeficiente de temperatura positivo de 500 ppm/°C. ¿Cuánto cambiode capacitancia provocará un incremento de 25°C en la temperatura?

SECCIÓN 12–2 Tipos de capacitores

14. En la construcción de un capacitor de hojas de mica y laminillas apiladas, ¿cómo se incrementa el áreade placas?

15. De mica o cerámica, ¿cuál tipo de capacitor tiene la constante dieléctrica más alta?

16. Muestre cómo conectar un capacitor electrolítico de un lado a otro de R2 entre los puntos A y B en lafigura 12-66.

4.7 mF0.0025 mF0.1 mF

� FIGURA 12–66

VS R2

R1

A

B

17. Nombre dos tipos de capacitores electrolíticos. ¿Cómo difieren los capacitores electrolíticos de otroscapacitores?

518 ◆ CAPACITORES

18. Identifique las partes del capacitor de disco de cerámica mostrado en la vista de corte de la figura 12-67.

19. Determine el valor de los capacitores de disco de cerámica mostrados en la figura 12-68.

(a)

(b)

(c)

(d)

� FIGURA 12–69

� FIGURA 12–70

� FIGURA 12–67

� FIGURA 12–68

SECCIÓN 12–3 Capacitores en serie

20. Cinco capacitores de 1000 pF están en serie. ¿Cuál es la capacitancia total?

21. Determine la capacitancia total para cada uno de los circuitos mostrados en la figura 12-69.

22. Para cada circuito de la figura 12-69, determine el voltaje entre las terminales de cada capacitor.

0.022MF

(a) (b)

0.001MFD

(c) (d)

2200.047

1 Fm

2.2 F

4.7 F10 F

10 V 100 V

100 pF 560 pF 390 pF

30 V

(a) (b) (c)m

m m

47 Fm

22 Fm

23. Dos capacitores en serie (uno de 1 mF, el otro de valor desconocido) se cargan con una fuente de 12 V.El capacitor de 1 mF se carga a 8 V y el otro a 4 V. ¿Cuál es el valor del capacitor desconocido?

24. La carga total guardada por los capacitores en serie de la figura 12-70 es de 10 mC. Determine el vol-taje entre las terminales de cada capacitor.

10 F

C1 C2 C4C3

m2.2 Fm1 Fm4.7 Fm

SECCIÓN 12–4 Capacitores en paralelo

25. Determine la CT para cada circuito de la figura 12-71.

26. ¿Cuál es la carga en cada capacitor de la figura 12-71?

PROBLEMAS ◆ 519

27. Determine la CT para cada circuito de la figura 12-72.

0.001 F0.01 F

0.1 F

10 pF 0.001 F47 pF

10,000 pF

(a) (b)

10 V 5 Vμ

μ

μμ

� FIGURA 12–71

28. ¿Cuál es el voltaje entre los nodos A y B en cada circuito de la figura 12-72?

*29. Inicialmente, los capacitores del circuito de la figura 12-73 están descargados.

(a) Después de que se cierra el interruptor, ¿cuál es la carga total suministrada por la fuente?

(b) ¿Cuál es el voltaje entre las terminales de cada capacitor?

� FIGURA 12–72

� FIGURA 12–73

3.3 F2.2 F5 V

A B

10 V

A B

100 pF

100 pF

0.001 F

(a) (b)

10 V

(c) C = 1 F para cada capacitor

A

B

C2 C4

C1 C3 C5

1000 pF

470 pF

470 pF10 Fm 10 Fm

m m

m

m

C30.047 Fm

VS12 V

C40.056 Fm

C10.01 Fm

C20.068 Fm

SECCIÓN 12–5 Capacitores en circuitos de cd

30. Determine la constante de tiempo para cada una de las combinaciones en serie:

(a) (b)

(c) (d)

31. Determine cuánto tiempo se lleva el capacitor para cargarse por completo con cada una de las combi-naciones siguientes:

(a) (b)

(c) (d) R = 5.6 MÆ, C = 10 pFR = 22 kÆ, C = 100 pF

R = 3300 Æ, C = 0.015 mFR = 56 Æ, C = 47 mF

R = 1.5 MÆ, C = 0.01 mFR = 4.7 kÆ, C = 0.0047 mF

R = 10 MÆ, C = 47 pFR = 100 Æ, C = 1 mF

520 ◆ CAPACITORES

32. En el circuito de la figura 12-74, inicialmente el capacitor está descargado. Determine el voltaje pre-sente en el capacitor en los instantes posteriores al cierre del interruptor:

(a) (b) (c) (d) (e) 50 ms40 ms30 ms20 ms10 ms

� FIGURA 12–75

� FIGURA 12–76

� FIGURA 12–74

m

R

10 k�C0.001 F15 V

m

C25 V 1.5 F

R1.0 k�

33. En la figura 12-75, el capacitor se carga a 25 V. Cuando se cierra el interruptor, ¿cuál es el voltaje pre-sente en el capacitor en los instantes posteriores?

(a) 1.5 ms (b) 4.5 ms (c) 6 ms (d) 7.5 ms

m

R

2.2 k�C0.01 F12 V

34. Repita el problema 32 con los siguientes intervalos de tiempo:

(a) (b) (c)

35. Repita el problema 33 con los siguientes tiempos:

(a) 0.5 ms (b) 1 ms (c) 2 ms

*36. Derive la fórmula para determinar el tiempo en cualquier punto de una curva de voltaje exponencialcreciente. Use esta fórmula para calcular el tiempo en el cual el voltaje que aparece en la figura 12-76llega a 6 V después de cerrar el interruptor.

15 ms5 ms2 ms

� FIGURA 12–77

0.0022 FVS

50 V

1.0 k�

R22.2 k�

R41.5 k�

C

R1

1.0 k�

R3

μ

37. ¿Cuánto tiempo requiere C para cargarse a 8 V en la figura 12-74?

38. ¿Cuánto tiempo requiere el capacitor C para descargarse a 3 V en la figura 12-75?

39. Determine la constante de tiempo para el circuito de la figura 12-77.

PROBLEMAS ◆ 521

* 40. En la figura 12-78, inicialmente el capacitor está descargado. En el instante t � 10 ms después de quese cierra el interruptor, el voltaje instantáneo en el capacitor es de 7.2 V. Determine el valor de R.

� FIGURA 12–79

C1 F

20 V

R1

24 k�

1 2

R310 k�

R233 k�

m

* 41. (a) El capacitor de la figura 12-79 está descargado cuando el interruptor se pone en la posición 1. Elinterruptor permanece en esta posición durante 10 ms y luego se cambia a la posición 2, donde sequeda por tiempo indefinido. Trace la forma de onda completa del voltaje presente en el capacitor.

(b) Si el interruptor se pone otra vez en la posición 1 después de 5 ms en la posición 2, y luego se de-ja en la posición 1, ¿cómo sería la forma de onda?

SECCIÓN 12–6 Capacitores en circuitos de ca

42. ¿Cuál es el valor de la reactancia capacitiva total en cada circuito de la figura 12-80?

� FIGURA 12–78

10 VC1000 pF

R

� FIGURA 12–80

C21 F

C11 FC2

15 FC110 F

ƒ = 1 kHz 1 Hz 60 Hz

(b)(a) (c)

C0.047 Fμ μ μ

μ

μ

43. En la figura 12-72, cada fuente de voltaje de cd es reemplazada por una fuente de 10 V de 2 kHz. De-termine la reactancia total en cada caso.

44. En cada circuito de la figura 12-80, ¿qué frecuencia se requiere para producir una XC de 100 Æ? ¿UnaXC de 1 kÆ?

45. Un voltaje sinusoidal de 20 V rms produce una corriente rms de 100 mA cuando se conecta a cierto ca-pacitor. ¿Cuál es la reactancia?

46. Se aplica un voltaje de 10 kHz a un capacitor de 0.0047 mF, y se mide una corriente rms de 1 mA. ¿Cuáles el valor del voltaje?

47. Determine la potencia verdadera y la potencia reactiva en el problema 46.

522 ◆ CAPACITORES

SECCIÓN 12–7 Aplicaciones de los capacitores

51. Si se conecta otro capacitor en paralelo con el capacitor existente en el filtro de fuente de potencia dela figura 12-53, ¿cómo se ve afectado el voltaje de fluctuación?

52. Idealmente, ¿cuál deberá ser la reactancia de un capacitor de desvío para eliminar un voltaje de ca de10 kHz en un punto dado en un circuito amplificador?

SECCIÓN 12–8 Circuitos de capacitor conmutado

53. En un circuito de capacitor conmutado, el capacitor tiene un valor de 2200 pF y se conmuta con unaforma de onda cuyo periodo es de 10 ms. Determine el valor del resistor que se emula.

54. En un circuito de capacitor conmutado, el capacitor de 100 pF se conmuta a una frecuencia de 8 kHz.¿Qué valor de resistor se emula?

Localización de fallas y análisis con Multisim

Estos problemas requieren del CD-ROM Multisim.

55. Abra el archivo P12-55 y mida el voltaje entre las terminales de cada capacitor.

56. Abra el archivo P12-56 y mida el voltaje entre las terminales de cada capacitor.

57. Abra el archivo P12-57 y mida la corriente. Disminuya la frecuencia a la mitad y mida la corriente otravez. Duplique la frecuencia original y de nuevo mida la corriente. Explique sus observaciones.

58. Abra el archivo P12-58 y determine qué capacitor está abierto, si hay alguno.

59. Abra el archivo P12-59 y determine qué capacitor está en cortocircuito, si hay alguno.

� FIGURA 12–82

C20.0022 F

C30.0015 FXC3

= 750 �

4 mAC1

5 V rmsμ

μ

� FIGURA 12–81

C20.022 F

0.015 F0.01 F

C1 C3

Vs10 Vrms

ƒ = 300 Hz

μ μ

μC40.047 F

C50.01 F

C60.015 F

μ

μ

μ

* 48. Determine el voltaje de ca entre las terminales de cada capacitor y la corriente en cada rama del circui-to de la figura 12-81.

49. Determine el valor de C1 en la figura 12-82.

* 50. Si en la figura 12-81 C4 se abriera, determine los voltajes que se medirían entre las terminales de losotros capacitores.

RESPUESTAS ◆ 523

RESPUESTAS

REPASOS DE SECCIÓN

SECCIÓN 12–1 El capacitor básico

1. Capacitancia es la capacidad de guardar carga.

2. (a) en 1 F (b) en 1 F (c) 1,000,000 pF en

3.

4. W � 1⁄2CV2 � 1.125 J

5. (a) C se incrementa (b) C disminuye.

6. (1000 V/mil)

7.

SECCIÓN 12–2 Tipos de capacitores

1. Los capacitores se clasifican según el material dieléctrico.

2. El valor de capacitancia de un capacitor fijo no puede ser cambiado; el valor de capacitancia de un ca-pacitor variable sí puede ser cambiado.

3. Los capacitores electrolíticos se polarizan.

4. Cuando se conecta un capacitor polarizado, debemos asegurarnos de que el voltaje nominal es sufi-ciente. Conecte el extremo positivo al lado positivo del circuito.

SECCIÓN 12–3 Capacitores en serie

1. La CT en serie es menor que la C más pequeña.

2.

3.

4.

5.

SECCIÓN 12–4 Capacitores en paralelo

1. Los valores de los capacitores individuales se suman en paralelo.

2. La CT se obtiene con cinco capacitores de 0.01 mF dispuestos en paralelo.

3.

SECCIÓN 12–5 Capacitores en circuitos de cd

1.

2.

3.

4.

SECCIÓN 12–6 Capacitores en circuitos ca

1. La corriente va 90° adelante del voltaje presente en un capacitor.

2.

3.

4.

5.

6.

SECCIÓN 12–7 Aplicaciones de los capacitores

1. Una vez que el capacitor se carga al voltaje pico, se descarga muy poco antes del siguiente pico, y portanto reduce las oscilaciones del voltaje rectificado.

Pr = 0.453 VAR

Preal = 0 W

Irms = 629 mA

f = 1/2pXCC = 796 Hz

XC = 1/2pfC = 637 kÆ

vC = 36.8 V

v2ms = 8.65 V; v3ms = 9.50 V; v4ms = 9.82 V; v5ms = 9.93 V

5t = 6 ms; VC = 4.97 V

t = RC = 1.2 ms

CT = 167 pF

VC1 = 75.2 V

CT = 20 pF

CT = 0.006 mF

CT = 61.2 pF

C = 2.01 mF

(2 mil) = 2 kV

m

0.0015 mF = 1500 pF; 0.0015 mF = 0.0000000015 F

1 mF1 * 1012 pF1,000,000 mF

524 ◆ CAPACITORES

2. Un capacitor de acoplamiento dejar pasar la ca de un punto a otro, pero bloquea la cd constante.

3. Un capacitor de acoplamiento debe ser lo suficientemente grande como para que su reactancia resulteinsignificante a la frecuencia que ha de pasar sin oposición.

4. Un capacitor de desacoplamiento pone en cortocircuito los transitorios de voltaje de línea a tierra.

5. XC es inversamente proporcional a la frecuencia y también lo es la capacidad del filtro de dejar pasarseñales de ca.

6. Capacitancia.

SECCIÓN 12–8 Circuitos de capacitor conmutado

1. Moviendo la misma cantidad de carga correspondiente a la corriente en la resistencia equivalente.

2. Frecuencia de conmutación y valor de capacitancia.

3. Transistores.

Una aplicación de circuito

1. El capacitor de acoplamiento impide que la fuente afecte el voltaje de cd, pero deja pasar la señal deentrada.

2. En el punto C hay un voltaje de ca montado sobre un voltaje de cd. Un voltaje de ca sólo a la salida.

PROBLEMAS RELACIONADOS CON LOS EJEMPLOS12–1 100 kV

12–2

12–3

12–4

12–5

12–6 278 pF

12–7

12–8 2.83 V

12–9 650 pF

12–10

12–11

12–12 8.36 V

12–13 8.13 V

12–14

12–15 1.52 ms

12–16 0.42 V

12–17 3.39 kHz

12–18

12–19 0 W; 1.01 mVAR

12–20 178.57 kHz

AUTOEVALUACIÓN1. (g) 2. (b) 3. (c) 4. (d) 5. (a) 6. (d) 7. (a) 8. (f)

9. (c) 10. (b) 11. (d) 12. (a) 13. (b) 14. (a) 15. (b) 16. (c)

EXAMEN DE DINÁMICA DE CIRCUITOS1. (a) 2. (c) 3. (c) 4. (c) 5. (a) 6. (b) 7. (a) 8. (a)

9. (c) 10. (a) 11. (c) 12. (b)

4.40∠90° mA

L0.74 ms; 95 V

891 ms

0.09 mF

0.011 mF

1.54 mF

0.697 mF

100 * 106 pF

0.047 mF

cruchi.comcruchi.com/content/docencia/modulos/modulo_2_205412018.pdf · 4 capÍtulo 80 energía y...

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