tensión, compresión y cortante -...

SECCIÓN 1.1 Introducción a la mecánica de materiales 3

Tensión, compresión

y cortante

1

ASPECTOS GENERALES DEL CAPÍTULO

En este capítulo se presenta una introducción a la mecánica de materiales, que analiza los esfuerzos, las deformaciones unitarias y los desplazamien-tos en barras de diferentes materiales sometidas a cargas axiales aplicadas en los centroides de sus secciones transversales. Aprenderemos acerca del esfuerzo normal (s) y la deformación unitaria normal (�) en materiales empleados en aplicaciones estructurales, luego identifi caremos las propie-dades clave de diversos materiales, como el módulo de elasticidad (E), la fl uencia (sy) y los esfuerzos de rotura (su), a partir de gráfi cas del esfuer-zo (s) en función de la deformación unitaria (�). También grafi caremos el esfuerzo cortante (t) en función de la deformación unitaria por esfuerzo cortante (g) e identifi caremos el coefi ciente de elasticidad en cortante (G). Si estos materiales sólo se desempeñan en el modo elástico, el esfuerzo y la deformación unitaria están relacionadas por la ley de Hooke para esfuerzo normal y deformación unitaria normal (s = E � �) y también para el esfuer-zo cortante y la deformación unitaria en cortante (t = G � g). Veremos que los cambios en las dimensiones laterales y en el volumen dependen de la relación de Poisson (n). De hecho, las propiedades de los materiales E, G y n, están directamente relacionadas entre sí y no son propiedades indepen-dientes del material.

El ensambaje de barras para formar estructuras (como armaduras) nos lleva a considerar los esfuerzos cortante promedio (t) y de aplastamiento (sb) en sus conexiones, así como los esfuerzos normales que actúan sobre el área neta de la sección transversal (si está en tensión) o sobre toda el área de la sección transversal (si está en compresión). Si restringimos los esfuerzos máximos en cualquier punto a valores permisibles mediante el uso de factores de seguridad, podemos identifi car los niveles permisibles de las cargas axiales para sistemas simples, como cables y barras. Los factores de seguridad relacionan la resistencia real con la requerida de los elementos estructurales, y consideran una variedad de incertidumbres, como variacio-nes en las propiedades del material y la probabilidad de una sobrecarga accidental. Por último, consideraremos el diseño: que es el proceso iterativo mediante el cual se determina el tamaño apropiado de los elementos es-tructurales para cumplir con una variedad de requisitos tanto de resistencia como de rigidez para una estructura particular sometida a una variedad de cargas diferentes.

3

El capítulo 1 está organizado como sigue:

1.1 Introducción a la mecánica de materiales 5

1.2 Esfuerzo normal y deformación unitaria normal 7

1.3 Propiedades mecánicas de los materiales 15

1.4 Elasticidad, plasticidad y termofl uencia 24

1.5 Elasticidad lineal, ley de Hooke y relación de Poisson 27

1.6 Esfuerzo cortante y deformación unitaria cortante 32

1.7 Esfuerzos y cargas permisibles 43

1.8 Diseño por cargas axiales y cortante directo 49Resumen y repaso del capítulo 55Problemas 57

4 CAPÍTULO 1 Tensión, compresión y cortante

1.1 INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE MATERIALES

La mecánica de materiales es una rama de la mecánica aplicada que tra-ta del comportamiento de los cuerpos sólidos sometidos a diversas cargas. Otros nombres para este campo de estudio son resistencia de materiales y mecánica de los cuerpos deformables. Los cuerpos sólidos considerados en este libro incluyen barras sometidas a cargas axiales, ejes en torsión, vigas en fl exión y columnas en compresión.

El objetivo principal de la mecánica de materiales es determinar los esfuerzos, las deformaciones unitarias y los desplazamientos en estructuras y sus componentes debidas a las cargas que actúan sobre ellas. Si podemos determinar estas cantidades para todos los valores de las cargas incluyendo las que causan la falla, tendremos una representación completa del compor-tamiento mecánico de esas estructuras.

Comprender el comportamiento mecánico es esencial para el diseño seguro de todos los tipos de estructuras, ya sean aeroplanos y antenas, edi-fi cios y puentes, máquinas y motores o barcos y naves espaciales. Esta es la razón por la cual la mecánica de materiales es una disciplina básica en muchos campos de la ingeniería. La estática y la dinámica también son esenciales, pero estos temas tratan principalmente con las fuerzas y los mo-vimientos asociados con partículas y cuerpos rígidos. En la mecánica de materiales vamos un paso más allá al analizar los esfuerzos y las deforma-ciones unitarias dentro de cuerpos reales; es decir, cuerpos de dimensiones fi nitas que se deforman con cargas. Para determinar los esfuerzos y las de-formaciones unitarias, empleamos las propiedades físicas de los materiales, así como numerosas leyes y conceptos teóricos.

Los análisis teóricos y los resultados experimentales desempeñan pa-peles igualmente importantes en la mecánica de materiales. Empleamos teorías para deducir fórmulas y ecuaciones para predecir el comportamiento mecánico, pero no se pueden usar esas expresiones en un diseño práctico, a menos que se conozcan las propiedades físicas de los materiales. Esas pro-piedades se conocen sólo después de que se han efectuado experimentos cui-dadosos en el laboratorio. Además, no todos los problemas prácticos facili-tan al análisis teórico y en esos casos las pruebas físicas son una necesidad.

El desarrollo histórico de la mecánica de materiales es una mezcla fas-cinante tanto de teoría como de experimentación, la teoría ha señalado el ca-mino para obtener resultados útiles en algunos casos y la experimentación lo ha hecho en otros. Algunos personajes famosos como Leonardo da Vinci (1452-1519) y Galileo Galilei (1564-1642) realizaron experimentos para determinar la resistencia de alambres, barras y vigas, si bien no desarrolla-ron teorías adecuadas (con respecto a las normas actuales) para explicar los resultados de sus pruebas. En contraste, el famoso matemático Leonhard Euler (1707-1783) desarrolló la teoría matemática de las columnas y en 1744 calculó la carga crítica de una columna, mucho antes que existiera al-guna evidencia experimental que demostrara la importancia de sus resulta-dos. Sin ensayos apropiados para apoyar sus teorías, los resultados de Euler permanecieron sin usarse durante más de cien años, aunque en la actualidad constituyen la base del diseño y análisis de la mayoría de las columnas.*

*La historia de la mecánica de materiales, iniciando con Leonardo da Vinci y Galileo Galilei, se encuentra en las referencias 1-1, 1-2 y 1-3.

SECCIÓN 1.1 Introducción a la mecánica de materiales 5


Problemas

Al estudiar la mecánica de materiales descubrirá que el tema está dividido de manera natural en dos partes: primero, en comprender el desarrollo de los conceptos y segundo, aplicar estos conceptos a situaciones prácticas. Lo primero se logra estudiando las deducciones, explicaciones y ejemplos que aparecen en cada capítulo, y lo segundo se logra resolviendo los problemas al fi nal de cada capítulo. Algunos de los problemas son de carácter numéri-co y otros son simbólicos (o algebraicos).

Una ventaja de los problemas numéricos es que las magnitudes de to-das las cantidades son evidentes en cada etapa de los cálculos, lo que per-mite observar si los valores son razonables o no. La ventaja principal de los problemas simbólicos es que conducen a fórmulas de propósito general. Una fórmula presenta las variables que afectan los resultados fi nales; por ejemplo, en la solución es posible cancelar una cantidad, un hecho que no sería evidente en una solución numérica. Además, una solución algebraica muestra la manera en que cada variable afecta los resultados, como cuando una variable aparece en el numerador y otra en el denominador. Además, una solución simbólica permite comprobar las dimensiones en cada etapa del trabajo.

Por último, la razón más importante para resolver problemas de ma-nera algebraica es obtener una fórmula general que se pueda emplear para muchos problemas diferentes. En contraste, una solución numérica sólo se aplica a un conjunto de circunstancias. Como los ingenieros deben ser ex-pertos en las dos clases de soluciones, usted encontrará una mezcla de pro-blemas numéricos y simbólicos en todo el libro.

Los problemas numéricos requieren trabajar con unidades específi cas de medida. De acuerdo con la práctica actual de la ingeniería moderna, en este libro se utiliza tanto el Sistema Internacional de unidades (SI) como el sistema inglés (acostumbrado en Estados Unidos). En el apéndice A se encuentra una descripción de los dos sistemas, donde también se encuentran muchas tablas útiles, incluida una de factores de conversión.

Todos los problemas se localizan al fi nal de los capítulos con sus nú-meros respectivos y los números subsiguientes identifi can las secciones a que pertenecen. En el caso de los problemas que requieren soluciones nu-méricas, los problemas impares están planteados en unidades inglesas y los pares en unidades SI.

En el apéndice B se describen con detalle las técnicas para resolver problemas, además de una lista de procedimientos ingenieriles sólidos. El apéndice B incluye secciones sobre homogeneidad dimensional y cifras sig-nifi cativas. Estos temas son especialmente importantes, debido a que cada ecuación debe ser homogénea dimensionalmente y cada resultado numérico debe expresarse con el número adecuado de dígitos signifi cativos. En este libro los resultados numéricos fi nales, en general, se presentan con tres dí-gitos signifi cativos, cuando un número inicia con los dígitos 2 al 9, y con cuatro dígitos signifi cativos cuando un número principia con el dígito 1. Con frecuencia los valores intermedios se registran con dígitos adicionales para evitar perder precisión debido al redondeo de números.

1.2 ESFUERZO NORMAL Y DEFORMACIÓN UNITARIA NORMAL

Los conceptos fundamentales en mecánica de materiales son el esfuerzo y la deformación unitaria. Estos conceptos se pueden ilustrar en su for-ma más elemental considerando una barra prismática sometida a fuerzas axiales. Una barra prismática es un elemento estructural recto que tiene la misma sección transversal en toda su longitud y una fuerza axial es una carga dirigida a lo largo del eje del elemento, lo que resulta en esfuerzos de tensión o de compresión en la barra. En la fi gura 1.1 se muestran ejemplos donde la barra de arrastre es un elemento prismático en tensión y el puntal del tren de aterrizaje es un elemento en compresión. Otros ejemplos son los elementos de la armadura de un puente, las bielas en motores de automó-viles, los rayos de las ruedas de bicicletas, las columnas en edifi cios y los puntales de las alas de aeroplanos pequeños.

Para fi nes explicativos, consideremos la barra de arrastre de la fi gura 1.1 y aislemos un segmento de ella como un cuerpo libre (fi gura 1.2a). Al dibujar este diagrama de cuerpo libre no tomamos en cuenta el peso de la barra misma y suponemos que las únicas fuerzas activas son las fuerzas axiales P en los extremos. Luego, consideramos dos vistas de la barra; la primera muestra la misma barra antes de la aplicación de las cargas (fi gura 1.2b) y la segunda la muestra después de aplicar las cargas (fi gura 1.2c). Observe que la longitud original de la barra se denota con la letra L y el incremento en longitud debido a las cargas se denota con la letra griega d (delta).

Las fuerzas internas en la barra quedan expuestas si hacemos un corte imaginario por la barra en la sección mn (fi gura 1.2c). Como esta sección se toma perpendicularmente al eje longitudinal de la barra, se denomina sección transversal.

Ahora aislamos la parte de la barra a la izquierda de la sección trans-versal mn como un cuerpo libre (fi gura 1.2d). En el extremo derecho de este cuerpo libre (sección mn) mostramos la acción de la parte eliminada de la barra (es decir, la parte a la derecha de la sección mn) sobre la parte res-tante. Esta acción consiste en esfuerzos distribuidos en forma continua que actúan sobre toda la sección transversal y la fuerza axial P que actúa en la sección transversal es la resultante de estos esfuerzos. (La fuerza resultante se muestra con una línea discontinua en la fi gura 1.2d.)

El esfuerzo tiene unidades de fuerza por unidad de área y se denota por la letra griega s (sigma). En general, los esfuerzos s que actuán sobre una superfi cie plana pueden ser uniformes en toda el área o bien variar en inten-sidad de un punto a otro. Supongamos que los esfuerzos que actúan sobre

FIGURA 1.1 Elementos estructurales sometidos a cargas axiales. (La barra de arrastre está en tensión y el puntal del tren de aterrizaje está en compresión.)

Barra de arrastre

Puntal del tren de aterrizaje

SECCIÓN 1.2 Esfuerzo normal y deformación unitaria normal 7


la sección transversal mn (fi gura 1.2d) están distribuidos uniformemente sobre el área. Entonces la resultante de estos esfuerzos debe ser igual a la magnitud del esfuerzo por el área de la sección transversal A de la barra, es decir, P = sA. Por tanto, obtenemos la expresión siguiente para la magni-tud de los esfuerzos:

sP

A (1.1)

Esta ecuación expresa la intensidad de un esfuerzo uniforme en una barra prismática con sección transversal arbitraria cargada axialmente.

Cuando la barra es estirada por las fuerzas P, los esfuerzos son es-fuerzos de tensión; si se invierte la dirección de las fuerzas, la barra se comprime y tenemos esfuerzos de compresión. Puesto que los esfuerzos actúan en una dirección perpendicular a la superfi cie cortada, se denominan esfuerzos normales. Y, por tanto, los esfuerzos normales pueden ser de tensión o de compresión. Más adelante, en la sección 1.6, analizaremos otro tipo de esfuerzo, denominado esfuerzo cortante, que actúa paralelo a la superfi cie.

Cuando se requiere una convención de signos para los esfuerzos nor-males, se acostumbra defi nir a los esfuerzos de tensión como positivos y a los esfuerzos de compresión como negativos.

Puesto que el esfuerzo normal s se obtiene dividiendo la fuerza axial entre el área de la sección transversal, tiene unidades de fuerza por unidad de área. Cuando se emplean unidades inglesas, el esfuerzo suele expresarse en libras por pulgada cuadrada (psi) o kips por pulgada cuadrada (ksi).* Por ejemplo, suponga que la barra de la fi gura 1.2 tiene un diámetro d de 2.0 in

FIGURA 1.2 Barra prismática en tensión: (a) diagrama de cuerpo libre de un segmento de la barra, (b) segmento de la barra antes de la aplicación de las cargas, (c) segmento de la barra después de la aplicación de las cargas y (d) esfuerzos normales en la barra.

*Un kip, o kilolibra, es igual a 1000 lb.

d

P

(a)

P

P

(c)

(d)

P

P P

—AP=

(b)

m

n

m

n

L

L + d

s

y que la carga P tiene una magnitud de 6 kips. Entonces el esfuerzo en la barra es

P

A d

P2/4 (2.

6

0

k

in)2/41.91 ksi (o 1910 psi)

En este ejemplo el esfuerzo es de tensión o positivo.Cuando se utilizan unidades SI, la fuerza se expresa en newtons (N) y

el área en metros cuadrados (m2). En consecuencia, el esfuerzo tiene uni-dades de newtons por metro cuadrado (N/m2), es decir, pascales (Pa). Sin embargo, el pascal es una unidad de esfuerzo tan pequeña que es necesario trabajar con múltiplos grandes, usualmente con el megapascal (MPa).

Para demostrar que un pascal es en efecto pequeño, sólo tenemos que observar que se requieren casi 7000 pascales para igualar un psi.* Como un ejemplo, el esfuerzo en la barra descrita en el ejemplo anterior (1.91 ksi) se convierte en 13.2 MPa, que es igual a 13.2 × 106 pascales. Aunque no se recomienda emplearlo en el SI, algunas veces el esfuerzo se expresa en newtons por milímetro cuadrado (N/mm2), que es una unidad igual al megapascal (MPa).

Limitaciones

La ecuación s = P/A sólo es válida si el esfuerzo está uniformemente distri-buido sobre la sección transversal de la barra. Esta condición se cumple si la fuerza axial P actúa en el centroide del área de la sección transversal, como se demuestra más adelante en esta sección. Cuando la carga P no actúa en el centroide, se tendrá una fl exión de la barra y se requiere de un análisis más complicado (consulte las secciones 5.12 y 11.5). Sin embargo, en este libro (así como en la práctica común) se entiende que las fuerzas axiales se aplican en los centroides de las secciones transversales a menos que se indique otra cosa.

La condición de esfuerzo uniforme representada en la fi gura 1.2d se tie-ne en toda la longitud de la barra, excepto cerca de los extremos. La distri-bución del esfuerzo en el extremo de la barra depende de cómo se transmite la carga P a la barra. Si sucede que la carga está uniformemente distribuida sobre el extremo, entonces el patrón de esfuerzos será el mismo en otras partes. Sin embargo, es más probable que la carga se transmita mediante un pasador o un perno, produciendo esfuerzos muy localizados denominados concentraciones de esfuerzos.

Una posibilidad se ilustra mediante la barra de ojo de la fi gura 1.3. En este caso las cargas P se transmiten a la barra mediante pasadores que pasan por los agujeros (u ojos) en los extremos de la barra. Por tanto, las fuerzas mostradas en la fi gura en realidad son las resultantes de las presiones de apoyo entre los pasadores y la barra de ojo, y la distribución de esfuerzo alre-dedor de los agujeros es muy compleja. No obstante, conforme nos alejamos de los extremos hacia el centro de la barra, la distribución del esfuerzo gra-dualmente tiende a la distribución uniforme representada en la fi gura 1.2d.

Como regla práctica, se puede emplear la fórmula s = P/A, con buena precisión en cualquier punto dentro de una barra prismática que esté alejado

*Los factores de conversión entre las unidades inglesas y las unidades SI, se encuentran en la tabla A.5 del apéndice A.

FIGURA 1.3 Barra de ojo hecha de acero sometida a cargas de tensión P.

b

PP



de la concentración de esfuerzos al menos una distancia igual a la dimen-sión lateral mayor de la barra. En otras palabras, la distribución del esfuerzo en la barra de ojo de la fi gura 1.3 es uniforme a distancias b o mayores desde los extremos agrandados, donde b es el ancho de la barra, y la distribución del esfuerzo en la barra prismática de la fi gura 1.2 es uniforme a distancias d o mayores desde los extremos, donde d es el diámetro de la barra (fi gura 1.2d). En la sección 2.10 se analizan con más detalle las concentraciones de esfuerzos producidas por cargas axiales.

Por supuesto, aun cuando el esfuerzo no esté distribuido uniformemen-te, la ecuación s = P/A es de utilidad debido a que proporciona el esfuerzo normal promedio sobre la sección transversal.

Deformación unitaria normal

Como ya vimos, una barra recta cambiará su longitud al cargarla axialmen-te, haciéndose más larga en tensión y más corta en compresión. Por ejem-plo, considere de nuevo la barra prismática de la fi gura 1.2. El alargamiento d de esta barra (fi gura 1.2c) es el resultado acumulativo del alargamiento de todos los elementos del material en todo el volumen de la barra. Suponga-mos que el material es el mismo en toda la barra. Entonces, si consideramos la mitad de la barra (longitud L /2), tendrá un alargamiento igual a d/2 y si consideramos un cuarto de la barra, tendrá un alargamiento igual a d/4.

En general, el alargamiento de un segmento es igual a su longitud di-vidida entre la longitud total L y multiplicada por el alargamiento d. Por tanto, una longitud unitaria de la barra tendrá un alargamiento igual a 1/L por d. Esta cantidad se denomina alargamiento por unidad de longitud, o deformación unitaria y se denota con la letra griega � (épsilon). Podemos observar que la deformación unitaria está dada por la ecuación

e 5 L

d (1.2)

Si la barra está en tensión, la deformación unitaria se denomina deforma-ción unitaria por tensión, que representa un alargamiento o estiramiento del material. Si la barra está en compresión, la deformación unitaria es una deformación unitaria por compresión y la barra se acorta. En general, la deformación unitaria por tensión se considera positiva y la deformación unitaria por compresión como negativa. La deformación unitaria � se de-nomina deformación unitaria normal debido a que está asociada con los esfuerzos normales.

Como la deformación unitaria normal es la razón de dos longitudes, es una cantidad adimensional, es decir, no tiene unidades. Por tanto, la de-formación unitaria se expresa simplemente como un número, independiente de cualquier sistema de unidades. Los valores numéricos de la deformación unitaria suelen ser muy pequeños, debido a que las barras hechas de mate-rial estructural sólo experimentan cambios pequeños de longitud cuando se someten a cargas.

Como ejemplo, considere una barra de acero con longitud L igual a 2.0 m. Al ser sometida a una carga de tensión muy pesada, podría alargarse 1.4 mm, lo que signifi ca que la deformación unitaria es

e 5 L

d 1

2

.4

.0

m

m

m0.0007 700 10 6

En la práctica, las unidades originales de d y L algunas veces se dan en la de-formación unitaria misma y entonces ésta se registra en formas como mm/m, μm/m e in/in. Por ejemplo, la deformación unitaria � en el ejemplo anterior podría expresarse como 700 μm/m o 700 × 10–6 in/in. Además, en ocasiones la deformación unitaria se expresa como un porcentaje, en especial cuando es grande. (En el ejemplo anterior, la deformación es 0.07 por ciento).

Esfuerzo uniaxial y deformación unitaria uniaxial

Las defi niciones de esfuerzo normal y deformación unitaria normal se basan en consideraciones puramente estáticas y geométricas, lo que signifi ca que las ecuaciones (1.1) y (1.2) se pueden emplear para cargas de cualquier magnitud y para cualquier material. El requisito principal es que la deformación de la barra sea uniforme en todo su volumen, lo que a su vez requiere que la barra sea prismática, que las cargas pasen por los centroides de las secciones trans-versales y que el material sea homogéneo (es decir, que sea el mismo en todas las partes de la barra). El estado de esfuerzo y de deformación unitaria resul-tantes se denomina esfuerzo uniaxial y deformación unitaria uniaxial.

Más adelante en la sección 2.6 se darán explicaciones adicionales del es-fuerzo uniaxial, incluyendo esfuerzos en otras direcciones además de la direc-ción longitudinal de la barra. En el capítulo 7 también analizaremos estados de esfuerzos más complicados, como el esfuerzo biaxial y el esfuerzo plano.

Línea de acción de las fuerzas axiales para una distribución uniforme del esfuerzo

En todo el análisis anterior del esfuerzo y de la deformación unitaria en una barra prismática supusimos que el esfuerzo normal s estaba distribuido uniformemente sobre su sección transversal. Ahora demostraremos que esta condición se cumple si la línea de acción de las fuerzas axiales pasa por el centroide del área de la sección transversal.

Considere una barra prismática con sección transversal arbitraria so-metida a fuerzas axiales P que producen esfuerzos s distribuidos unifor-memente (fi gura 1.4a). Sea p1 el punto en la sección transversal donde la línea de acción de las fuerzas interseca la sección transversal (fi gura 1.4b). Si trazamos un conjunto de ejes xy en el plano de la sección transversal y denotamos las coordenadas del punto p1 con x y y. Para determinar esas coordenadas, observamos que los momentos Mx y My de la fuerza P con respecto a los ejes x y y, respectivamente, deben ser iguales a los momentos correspondientes de los esfuerzos distribuidos uniformemente.

Los momentos de la fuerza P son

Mx Py My Px (a,b)

en donde un momento se considera positivo cuando su vector (empleando la regla de la mano derecha) actúa en la dirección positiva del eje corres-pondiente.*

*Para visualizar la regla de la mano derecha, imagine que toma un eje de coordenadas con la mano derecha, de tal manera que los dedos estén alrededor del eje y el dedo pulgar apunta en la dirección positiva del eje. Entonces un momento es positivo si actúa con respecto al eje en la misma dirección de los dedos.



Los momentos de los esfuerzos distribuidos se obtienen integrando sobre el área de la sección transversal A. La fuerza diferencial que actúa sobre un elemento del área dA (fi gura 1-4b) es igual a sdA. Los momentos de esta fuerza elemental con respecto a los ejes x y y son sydA y –sxdA, respec-tivamente, en donde x y y denotan las coordenadas del elemento dA. Los momentos totales se obtienen integrando sobre el área de la sección trans-versal:

Mx sydA My sxdA (c,d)

Estas expresiones dan los momentos producidos por los esfuerzos s.Luego, igualamos los momentos Mx y My obtenidos para la fuerza P

(ecuaciones a y b) con los momentos obtenidos a partir de los esfuerzos distribuidos (ecuaciones c y d):

Py sydA Px sx dA

Como los esfuerzos s están distribuidos uniformemente, sabemos que son constantes sobre el área A de la sección transversal y se pueden poner fuera de los signos de integración. Además, sabemos que s es igual a P/A. Por tanto, obtenemos las fórmulas siguientes para las coordenadas del pun -to p1:

y xx dA

A

y dA

A (1.3a,b)

Estas ecuaciones son iguales a las que defi nen las coordenadas del centroide de un área (consulte las ecuaciones 12.3a y b en el capítulo 12). Por tanto, ahora hemos llegado a una conclusión importante: a fi n de tener una ten-sión o compresión uniforme en una barra prismática, la fuerza axial debe actuar en el centroide del área de la sección transversal. Como explicamos antes, siempre suponemos que estas condiciones se cumplen a menos que se especifi que de otra manera.

Los ejemplos siguientes ilustran el cálculo de esfuerzos y deformacio-nes unitarias en barras prismáticas. En el primer ejemplo ignoramos el peso de la barra y en el segundo lo incluimos. (Cuando se resuelven problemas del libro de texto es usual omitir el peso de la estructura a menos que se pida incluirlo).

FIGURA 1.4 Distribución uniforme de esfuerzos en una barra prismática: (a) fuerzas axiales P y (b) sección transversal de la barra.

P

P

(a)

PA

=s

(b)

O

y

y

x

A

p1

dA

x

x–

y–

Ejemplo 1.1

Un poste corto, construido con un tubo circular hueco de aluminio, soporta una carga de compresión de 26 kips (fi gura 1.5). Los diámetros interior y exterior del tubo son d1 = 4.0 in y d2 = 4.5 in, respectivamente, y su longitud es 16 in. El acor-tamiento del poste debido a la carga es de 0.012 in.

Determine el esfuerzo de compresión y la deformación unitaria en el poste. (No tenga en cuenta el peso del poste y suponga que éste no se pandea con la carga.)

FIGURA 1.5 Ejemplo 1.1. Poste hueco de aluminio en compresión.

SoluciónSuponiendo que la carga de compresión actúa en el centro del tubo hueco, po-

demos emplear la ecuación s = P/A (ecuación 1.1) para calcular el esfuerzo normal. La fuerza P es igual a 26 k (o 26,000 lb) y el área A de la sección transversal es

A p

4d 22 d 21

p

4(4.5 in)2 (4.0 in)2 3.338 in2

Por tanto, el esfuerzo de compresión en el poste es

s P

A 3

2

.

6

3

,

3

0

8

00

in

lb2 7790 psi

La deformación unitaria de compresión (de la ecuación 1.2) es

e L

d 0.

1

0

6

12

in

in750 10 6

De esta manera hemos calculado el esfuerzo y la deformación unitaria en el poste.Nota: como se explicó antes, la deformación unitaria es una cantidad adimen-

sional y, por tanto, no se requiere indicar unidades para ella. Sin embargo, por cla-ridad, a menudo se le dan unidades. En este ejemplo, � se podría escribir como 750 × 10–6 in/in o 750 μin/in.

16 in

26 k



Ejemplo 1.2

Una barra circular de acero con longitud L y diámetro d cuelga en el tiro de una mina y en su extremo inferior sostiene un balde con mineral con peso W (fi gura 1.6).

(a) Obtenga una fórmula para el esfuerzo máximo smáx en la barra, tomando en cuenta el peso de ésta.

(b) Calcule el esfuerzo máximo si L = 40 m, d = 8 mm y W = 1.5 kN.

Solución(a) La fuerza axial máxima Fmáx en la barra se tiene en el extremo superior y es

igual al peso W del balde con mineral más el peso W0 propio de la barra. Este último es igual al peso específi co g del acero por el volumen V de la barra; o sea

W0 gV gAL (1.4)

en donde A es el área de la sección transversal de la barra. Por tanto, la fórmula para el esfuerzo máximo (de la ecuación 1.1) es

smáx

Fm

A

áx W

A

gAL W

AgL (1.5)

(b) Para calcular el esfuerzo máximo, sustituimos los valores numéricos en la ecuación anterior. El área de la sección anterior A es igual a πd2/4, donde d = 8 mm y el peso específi co g del acero es 77.0 kN/m3 (de la tabla H-1 del apéndice H). Por tanto,

smáx

p (81.

m5k

mN)2/4

(77.0 kN/m3)(40 m)

29.8 MPa 3.1 MPa 32.9 MPa

En este ejemplo, el peso de la barra contribuye de manera considerable al esfuerzo máximo y no debe ignorarse.

FIGURA 1.6 Ejemplo 1.2. Barra de acero soportando un peso W.

L

W

d

El diseño de máquinas y estructuras para que funcionen apropiadamente re-quiere que comprendamos el comportamiento mecánico de los materiales empleados. En general, la única forma para determinar cómo se comportan los materiales cuando se someten a cargas es realizar experimentos en el la-boratorio. El procedimiento usual es colocar muestras pequeñas del material en máquinas de ensayo, aplicar las cargas y luego medir las deformaciones resultantes (como cambios de longitud y diámetro). La mayor parte de los laboratorios de pruebas de materiales están equipados con máquinas capa-ces de cargar las muestras de diversas maneras, incluyendo cargas estáticas y dinámicas en tensión y compresión.

En la fi gura 1.7 se muestra una máquina para ensayos de tensión común. La muestra de ensayo se coloca entre las dos mordazas grandes de la máquina y luego se carga a tensión. Dispositivos de medición registran las deformaciones unitarias y los sistemas de control automático y de pro-cesamiento de datos (a la izquierda en la fotografía) tabulan y grafi can los resultados.

En la fi gura 1.8 se muestra una vista más detallada de una muestra para ensayo de tensión. Los extremos de la muestra circular se amplían en la región donde se colocan en las mordazas para que no ocurra la falla cerca de éstas. Una falla en los extremos no producirá la información deseada acerca del material, debido a que la distribución del esfuerzo cerca de las mordazas no es uniforme, como se explicó en la sección 1.2. En una muestra apropiadamente diseñada, la falla sucederá en su parte prismática donde la distribución del esfuerzo es uniforme y la barra está sometida sólo a tensión pura. Esta situación se muestra en la fi gura 1.8, donde la muestra de acero se fracturó ante la carga. El dispositivo a la derecha, que está conectado me-

1.3 PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES

FIGURA 1.7 Máquina para ensayos de tensión con sistema automático de procesamiento de datos. (Cortesía de MTS Systems Corporation.)

SECCIÓN 1.3 Propiedades mecánicas de los materiales 15


diante dos brazos a la muestra, es un extensómetro que mide el alargamiento durante la aplicación de la carga.

A fi n de que se puedan comparar los resultados de los ensayos, se de-ben estandarizar las dimensiones de las muestras para ensayo y los métodos de aplicación de las cargas. Una de las principales organizaciones norma-tivas en Estados Unidos es la American Society for Testing and Materials (ASTM), una sociedad técnica que publica especifi caciones y normas para materiales y pruebas. Otras organizaciones normativas son la American Standards and Association (ASA) y el National Institute of Standards and Technology (NIST). En otros países existen organizaciones similares.

La muestra para tensión estándar de la ASTM tiene un diámetro de 0.505 in y una longitud calibrada de 2.0 in entre las marcas de calibración, que son los puntos donde los brazos del extensómetro están conectados a la muestra (consulte la fi gura 1.8). Conforme se jala la muestra, se mide y se registra la carga axial, ya sea de forma automática o bien tomando una lec-tura de una carátula. El alargamiento sobre la longitud calibrada se mide de

FIGURA 1.8 Muestra común para ensayo de tensión con extensómetro conectado; la muestra se fracturó en tensión. (Cortesía de MTS Systems Corporation.)

manera simultánea, mediante dispositivos mecánicos del tipo que se mues-tra en la fi gura 1.8 o con deformímetros por resistencia eléctrica.

En un ensayo estático, la carga se aplica lentamente y la velocidad exacta de carga no es de interés debido a que no afecta el comportamiento de la muestra. Sin embargo, en un ensayo dinámico la carga se aplica rápidamen-te y en algunas ocasiones de una manera cíclica. Como la naturaleza de una carga dinámica afecta las propiedades de los materiales, también se de be medir la velocidad de carga.

Los ensayos de compresión de metales suelen realizarse en muestras pequeñas con forma de cubos o cilindros circulares. Por ejemplo, los cubos pueden tener 2.0 in por lado y los cilindros diámetros de 1 in, y longitudes de 1 a 12 in y se pueden medir la carga aplicada por la máquina y el acor-tamiento de la muestra. El acortamiento se debe medir sobre una longitud calibrada que sea menor que la longitud total de la muestra a fi n de eliminar efectos de borde.

El concreto se ensaya a la compresión en proyectos importantes de construcción para asegurar que se haya obtenido la resistencia requerida. Un tipo de muestra para ensayo de concreto tiene 6 in de diámetro, 12 in de longitud y una edad de 28 días (la edad del concreto es importante debido a que adquiere más resistencia a medida que se cura). Muestras similares pero un tanto menores se emplean cuando se realizan ensayos de compresión en roca (fi gura 1-9).

Diagramas de esfuerzo-deformación unitaria

Los resultados de los ensayos, en general, dependen de las dimensiones de la muestra que se ensaya. Como es poco probable que diseñemos una estruc-tura que tenga partes con el mismo tamaño que las muestras para ensayo, necesitamos expresar los resultados en una forma que se pueda aplicar a elementos de cualquier tamaño. Una forma simple de lograr este objetivo es convertir los resultados de los ensayos en esfuerzos y deformaciones unitarias.

El esfuerzo axial s en una muestra para ensayo se calcula dividiendo la carga axial P entre el área de la sección transversal A (ecuación 1.1). Cuando se utiliza el área inicial de la muestra en los cálculos, el esfuerzo se denomina esfuerzo nominal (otros nombres son esfuerzo convencional y esfuerzo ingenieril). Un valor más exacto del esfuerzo axial, denominado esfuerzo real, se puede calcular empleando el área real de la barra en la sección transversal donde ocurre la falla. Como el área real en un ensayo de tensión siempre es menor que el área inicial (como se ilustra en la fi gura 1.8), el esfuerzo real es mayor que el esfuerzo nominal.

La deformación unitaria axial promedio � en la muestra para ensayo se determina dividiendo el alargamiento medido d en medio de las marcas de calibración, entre la longitud calibrada L (consulte la fi gura 1.8 y la ecua-ción 1.2). Si la longitud calibrada inicial se emplea en el cálculo (por ejem-plo, 2.0 in), entonces se obtiene la deformación unitaria normal. Como la distancia entre las marcas de calibración aumenta conforme se aplica la carga de tensión, podemos calcular la deformación unitaria verdadera (o deformación unitaria natural) para cualquier valor de la carga empleando la distancia real entre las marcas de calibración. En tensión, la deformación



unitaria real siempre es menor que la deformación unitaria nominal. Sin embargo, para la mayor parte de los fi nes ingenieriles, el esfuerzo nominal y la deformación unitaria nominal son adecuadas, como se explica más ade-lante en esta sección.

Después de realizar un ensayo de tensión o compresión y de determinar el esfuerzo y la deformación unitaria para varias magnitudes de la carga, podemos trazar un diagrama del esfuerzo en función de la deformación uni-taria. Ese diagrama esfuerzo-deformación unitaria es una característica del material particular que se ensaya y contiene información importante sobre sus propiedades mecánicas y el tipo de comportamiento.*

FIGURA 1.8 Muestra de roca ensayada en compresión para obtener la resistencia a la compresión, el módulo elástico y la relación de Poisson. (Cortesía de MTS Systems Corporation).

*Los diagramas de esfuerzo-deformación unitaria fueron creados por Jacob Bernoulli (1654-1705) y J. V. Poncelet (1788-1867); consulte la referencia 1.4.

El primer material que analizaremos es el acero estructural conocido también como acero dulce o acero al bajo carbono. Es uno de los metales que se emplean y se encuentra en edifi cios, puentes, grúas, barcos, torres, vehículos y en muchos otros tipos de construcciones. Un diagrama de es-fuerzo-deformación unitaria para un acero estructural común en tensión se muestra en la fi gura 1.10. Las deformaciones unitarias están trazadas en el eje horizontal y los esfuerzos en eje vertical. (A fi n de mostrar todas las ca-racterísticas importantes de este material, el eje de la deformación unitaria en la fi gura 1.10 no está dibujado a escala.)

El diagrama inicia con una línea recta desde el origen O hasta el pun-to A, que indica que la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria en esta región inicial no sólo es lineal sino también proporcional.* Más allá del punto A, ya no existe la proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación unitaria; de aquí que al esfuerzo en A se le nombre límite de proporcionalidad. Para aceros al bajo carbono, este límite está en el inter-valo de 30 a 50 ksi (210 a 350 MPa), pero los aceros de alta resistencia (con contenido mayor de carbono más otras aleaciones) pueden tener límites de proporcionalidad mayores que 80 ksi (550 MPa). La pendiente de la línea recta de O a A se denomina módulo de elasticidad. Debido a que la pen-diente tiene unidades de esfuerzo dividido entre la deformación unitaria, el módulo de elasticidad tiene las mismas unidades que el esfuerzo. (Los módulos de elasticidad se analizan en la sección 1.5).

Con un incremento en el esfuerzo más allá del límite de proporciona-lidad, la deformación unitaria comienza a aumentar más rápidamente con cada incremento del esfuerzo. En consecuencia, la curva esfuerzo-defor-mación unitaria tiene una pendiente cada vez menor, hasta que en el punto B la curva se vuelve horizontal (consulte la fi gura 1.10). A partir de este punto ocurre un alargamiento considerable de la muestra para ensayo sin un aumento notable en la fuerza de tensión (del punto B al C). Este fenómeno se conoce como fl uencia del material y el punto B se denomina punto de

FIGURA 1.10 Diagrama esfuerzo-deformación unitaria para un acero estructural común en tensión (no a escala).

*Se dice que dos variables son proporcionales si su relación permanece constante. Por tanto, una relación proporcional se puede representar mediante una recta que pasa por el origen. Sin embargo, una relación proporcional no es lo mismo que una relación lineal. Si bien una relación proporcional es lineal, la proposición inversa no es necesariamente cierta, debido a que una relación representada por una recta que no pasa por el origen es lineal pero no pro-porcional. La expresión empleada con frecuencia “directamente proporcional” es sinónimo de “proporcional” (referencia 1.5).


Fractura

Regiónlineal

Plasticidad o fluencia

perfecta

Endurecimientopor deformación

Estricción

A

O

B C

D

E

E'

Límite de proporcionalidad

Esfuerzo de fluencia

Esfuerzo último

e

s


Región de

fractura

Región de

estricción

Carga

Carga

fl uencia. El esfuerzo correspondiente se conoce como esfuerzo de fl uencia del acero.

En la región de B a C (fi gura 1-10) el material se vuelve perfectamente plástico, lo cual signifi ca que se deforma sin un aumento en la carga aplica-da. El alargamiento de una muestra de acero dulce en la región perfectamen-te plástica usualmente es de 10 a 15 veces el alargamiento que ocurre en la región lineal (entre el inicio de la carga y el límite de proporcionalidad). La presencia de deformaciones unitarias muy grandes en la región plástica (y más allá de ésta) es la razón para no trazar este diagrama a escala.

Después de experimentar las grandes deformaciones unitarias que ocu-rren durante la fl uencia en la región BC, el acero comienza a endurecerse por deformación. Durante el endurecimiento por deformación el material experimenta cambios en su estructura cristalina, resultando en una resisten-cia mayor del material ante una deformación adicional. La elongación de la muestra de ensayo en esta región requiere un aumento en la carga de tensión y, por tanto, el diagrama esfuerzo-deformación unitaria tiene una pendiente positiva de C a D. Al fi nal, la carga llega a su valor máximo y el esfuerzo correspondiente (en el punto D) se denomina esfuerzo último. Un alarga-miento adicional de la barra en realidad se acompaña de una reducción en la carga y la fractura fi nalmente ocurre en un punto como el E de la fi gura 1.10.

El esfuerzo de fl uencia y el esfuerzo último de un material también se denominan resistencia de fl uencia y resistencia última, respectivamen-te. Resistencia es un término general que se refi ere a la capacidad de una estructura para resistir cargas. Por ejemplo, la resistencia de fl uencia de una viga es la magnitud de la carga requerida para ocasionar fl uencia en la viga y la resistencia última de una armadura es la carga máxima que puede soportar, es decir, la carga de falla. Sin embargo, al realizar un ensayo de tensión de un material particular, defi nimos la capacidad de soporte de carga por los esfuerzos en la muestra en vez de las cargas totales que actúan en la muestra. Como resultado, la resistencia de un material usualmente se estipula como un esfuerzo.

Cuando se estira una muestra de ensayo, sufre una contracción lateral, como ya se mencionó. La disminución resultante en el área de la sección transversal es demasiado pequeña para tener un efecto notable sobre los va-lores calculados de los esfuerzos aproximadamente en el punto C en la fi gu-ra 1.10, pero más allá de ese punto la reducción del área comienza a alterar la forma de la curva. En la proximidad del esfuerzo último, la reducción del área de la barra es aparente y se presenta una estricción pronunciada de la barra (consulte las fi guras 1.8 y 1.11).

Si se emplea el área real de la sección transversal en la parte angosta de la estricción para calcular el esfuerzo, se obtiene la curva verdadera es-fuerzo-deformación unitaria (la línea discontinua CE� en la fi gura 1.10). La carga total que la barra puede soportar disminuye en efecto después que se alcanza el esfuerzo último (como lo muestra la curva DE), pero esta re-ducción se debe a la disminución del área de la barra y no a una pérdida de resistencia del propio material. En realidad, el material soporta un aumento en el esfuerzo verdadero hasta la falla (punto E�). Como se espera que la mayoría de las estructuras trabajen a esfuerzos menores que el límite de proporcionalidad, la curva convencional esfuerzo-deformación unitaria OABCDE, que se basa en el área original de la sección transversal de la muestra y es fácil de determinar, proporciona información adecuada para emplearla en el diseño de ingeniería.

FIGURA 1.11 Estricción de una barra de acero dulce en tensión.

El diagrama de la fi gura 1.10 muestra las características generales de la curva esfuerzo-deformación unitaria para el acero dulce, pero sus propor-ciones no son realistas debido a, como ya se mencionó, que la deformación unitaria que ocurre de B a C puede ser más de diez veces mayor que la defor-mación unitaria que ocurre de O a A. Además, las deformaciones unitarias de C a E son muchas veces mayores que las de B a C. Las relaciones correctas se representan en la fi gura 1.12, donde se muestra un diagrama esfuerzo-deforma-ción unitaria para acero dulce dibujado a escala. En esta fi gura, las defor-maciones unitarias desde el punto cero hasta el punto A son tan pequeñas comparadas con las deformaciones unitarias del punto A al punto E que no se pueden ver y parece que la parte inicial del diagrama es una línea vertical.

La presencia de un punto de fl uencia bien defi nido, seguido por deforma-ciones unitarias plásticas grandes, es una característica importante del acero estructural que algunas veces se emplea en el diseño práctico (consulte, por ejemplo, los análisis del comportamiento elastoplástico en las secciones 2.12 y 6.10). Los metales como el acero estructural que sufren deformaciones uni-tarias permanentes antes de la falla se clasifi can como dúctiles. Por ejemplo, la ductilidad es la propiedad que permite que una barra de acero se doble para formar un arco circular o se trefi le para formar un alambre sin romperse. Una característica importante de los materiales dúctiles es que presentan una dis-torsión visible si las cargas son demasiado grandes, proporcionando así una oportunidad para tomar una acción correctiva antes de que ocurra la fractura. También, los materiales que presentan comportamiento dúctil son capaces de absorber grandes cantidades de energía de deformación antes de la fractura.

El acero estructural es una aleación de hierro que contiene aproximada-mente 0.2 por ciento de carbono y, por tanto, se clasifi ca como acero al bajo carbono. Al aumentar el contenido de carbono, el acero se vuelve menos dúctil pero más resistente (mayor esfuerzo de fl uencia y mayor esfuerzo último). Las propiedades físicas del acero también se ven afectadas por un tratamiento térmico, por la presencia de otros metales y por los procesos de manufactura como el laminado. Otros materiales que se comportan de una manera dúctil (en ciertas condiciones) son aluminio, cobre, magnesio, plo-mo, molibdeno, níquel, latón, bronce, metal monel, nailon y tefl ón.

Las aleaciones de aluminio si bien pueden tener una ductilidad con-siderable, no tienen un punto de fl uencia bien defi nido, como se muestra en el diagrama esfuerzo-deformación unitaria de la fi gura 1.13, pero tienen una región lineal inicial con un límite de proporcionalidad reconocible. Las aleaciones producidas para fi nes estructurales tienen límites de proporcio-nalidad en el rango de 10 a 60 ksi (70 a 410 MPa) y esfuerzos últimos en el rango de 20 a 80 ksi (140 a 550 MPa).

Cuando un material, como el aluminio, no tiene un punto de fl uencia bien determinado y, sin embargo, sufre grandes deformaciones unitarias después de rebasar el límite de proporcionalidad, se puede determinar un esfuerzo de fl uencia arbitrario mediante el método de desplazamiento. Se traza una línea recta en el diagrama esfuerzo-deformación unitaria paralela a la parte inicial lineal de la curva (fi gura 1.14), pero desplazada en cierta deformación unitaria estándar, como 0.002 (o 0.2 por ciento). La intersec-ción de la línea desplazada y la curva esfuerzo-deformación unitaria (punto A en la fi gura) defi ne el esfuerzo de fl uencia. Como este esfuerzo se deter-mina mediante una regla arbitraria y no es una propiedad física inherente del material, se debe distinguir de un esfuerzo verdadero de fl uencia y re-ferirse a él como esfuerzo de fl uencia desplazado. Para un material como

FIGURA 1.12 Diagrama esfuerzo-deformación unitaria para un acero estructural típico en tensión (dibujado a escala).

FIGURA 1.13 Diagrama esfuerzo-deformación unitaria típico para una aleación de aluminio.

FIGURA 1.14 Esfuerzo de fl uencia arbitrario determinado mediante el método de desplazamiento.


A

O

0.002 Desplazamiento

s

e

(ksi)

00

40

30

20

10

0.05 0.15 0.250.10 0.20

s

e

E

(ksi)

D

C

A, B

00

80

60

40

20

0.05 0.15 0.250.10 0.300.20

s

e


el aluminio, el esfuerzo de fl uencia desplazado está ligeramente arriba del límite de proporcionalidad. En el caso del acero estructural, con su abrupta transición de la región lineal a la región de alargamiento plástico, el esfuer-zo desplazado es en esencia el mismo tanto en el esfuerzo de fl uencia como en el límite de proporcionalidad.

El caucho mantiene una relación lineal entre el esfuerzo y la deforma-ción unitaria hasta llegar a deformaciones unitarias relativamente grandes (en comparación con los metales). La deformación unitaria en el límite de proporcionalidad puede ser tan alta como 0.1 o 0.2 (10 o 20 por ciento). Más allá del límite de proporcionalidad, el comportamiento depende del tipo de caucho (fi gura 1.15). Algunas clases de caucho suave se estirarán enormemente sin fallar, alcanzando longitudes de varias veces sus longitu-des originales. El material termina presentando cada vez mayor resistencia a la carga y la curva esfuerzo-deformación unitaria se curva marcadamente hacia arriba. Este comportamiento característico se puede percibir estirando una banda de caucho con las manos. (Observe que aunque el caucho pre-senta deformaciones unitarias muy grandes, no es un material dúctil debido a que las deformaciones no son permanentes. Es, por supuesto, un material elástico; consulte la sección 1.4.)

La ductilidad de un material en tensión se puede caracterizar por su alargamiento y por la reducción de su área en la sección transversal donde ocurre la fractura. El porcentaje de alargamiento se defi ne como sigue:

L1

L0

L0(100)Porcentaje de alargamiento (1.6)

en donde L0 es la longitud calibrada original y L1 es la distancia entre las marcas de calibración en la fractura. Ya que el alargamiento no es uniforme en toda la longitud de la muestra, sino que se concentra en la región de es-tricción, el porcentaje de alargamiento depende de la longitud calibrada. Por tanto, al dar el porcentaje de alargamiento, siempre se debe proporcionar la longitud calibrada. Para una longitud calibrada de 2 in, el acero puede tener un alargamiento en el rango de 3 a 40%, dependiendo de su composición; en el caso del acero estructural, son comunes valores de 20 o 30 por ciento. El alargamiento de las aleaciones de aluminio varía de 1 a 45 por ciento, dependiendo de su composición y su tratamiento.

El porcentaje de reducción de área mide la cantidad de estricción que ocurre y se defi ne como sigue:

A0

A0

A1(100)Porcentaje de reducción de área (1.7)

en donde A0 es el área transversal original y A1 es el área fi nal en la sección de fractura. Para aceros dúctiles, la reducción es casi de 50 por ciento.

Los materiales que fallan en tensión a valores relativamente bajos de deformación unitaria se clasifi can como frágiles. Algunos ejemplos son concreto, piedra, hierro colado, vidrio, cerámica y una variedad de aleacio-nes metálicas. Los materiales frágiles fallan con poco alargamiento después que se sobrepasa el límite de proporcionalidad (el esfuerzo en el punto A en la fi gura 1.16). Además, la reducción del área es insignifi cante y por tanto el esfuerzo nominal de fractura (punto B) es el mismo que el esfuerzo último verdadero. Los aceros al alto carbono tienen esfuerzos de fl uencia muy ele-vados —más de 100 ksi (700 MPa) en algunos casos— pero se comportan

FIGURA 1.15 Curvas esfuerzo-deformación unitaria para dos clases de caucho en tensión.

FIGURA 1.16 Diagrama típico de esfuerzo-deformación unitaria para un material frágil, que muestra el límite de proporcionalidad (punto A) y el punto de fractura (punto B).

(psi)

00

3000

2000

1000

2 64 8

Caucho duro

Caucho suave

s

e

A

O

Bs

e

de una manera frágil y la fractura ocurre con un alargamiento de tan sólo un porcentaje bajo.

El vidrio ordinario es un material frágil casi ideal, debido a que casi no presenta ductilidad. La curva esfuerzo-deformación unitaria del vidrio en tensión es en esencia una línea recta y la falla sucede antes de que tenga lu-gar alguna fl uencia. El esfuerzo último es de casi 10 000 psi (70 MPa) para ciertas clases de vidrio en placa, pero hay grandes variaciones, dependiendo del tipo de vidrio, del tamaño de la muestra y de la presencia de defectos mi-croscópicos. Las fi bras de vidrio pueden desarrollar resistencias enormes y se han alcanzado esfuerzos últimos mayores que 1 000 000 psi (7 GPa).

Muchos tipos de plásticos se utilizan para fi nes estructurales debido a su peso ligero, a su resistencia a la corrosión y a sus buenas propiedades de aislamiento eléctrico. Sus propiedades mecánicas varían enormemente, tal que algunos plásticos son frágiles y otros dúctiles. Al diseñar con plásticos es importante tomar en cuenta que sus propiedades se afectan en gran medi-da por los cambios de temperatura y por el tiempo. Por ejemplo, el esfuerzo último de tensión de algunos plásticos disminuye a la mitad solamente ele-vando la temperatura de 10 a 40°C. Además, un plástico cargado se puede estirar gradualmente al paso del tiempo hasta que pierde su capacidad de servicio. Por ejemplo, una barra de cloruro de polivinilo sometida a una car-ga de tensión que inicialmente produce una deformación unitaria de 0.005 puede tener el doble de esa deformación después de una semana, aunque la carga permanezca constante. (Este fenómeno, conocido como termofl uen-cia, se explica en la siguiente sección.)

Los esfuerzos últimos de tensión para plásticos usualmente se encuen-tran en el rango de 2 a 50 ksi (14 a 350 MPa) y sus pesos específi cos varían entre 50 a 90 lb/ft3 (8 a 14 kN/m3). Un tipo de nailon tiene un esfuerzo úl-timo de 12 ksi (80 MPa) y un peso específi co de sólo 70 lb/ft3 (11 kN/m3), que es sólo 12 por ciento más pesado que el agua. Debido a su peso ligero, la razón entre resistencia y peso para el nailon es casi la misma que para el acero estructural (consulte el problema 1.3-4).

Un material reforzado con fi lamentos, consiste en una base (o matriz) en la que están embebidos fi lamentos, fi bras o microfi bras de alta resistencia. El material compuesto resultante tiene una resistencia mucho mayor que el material base. Como ejemplo, el uso de fi bras de vidrio puede aumentar a más del doble la resistencia de una matriz plástica. Los compuestos se em-plean ampliamente en aviones, botes, cohetes y vehículos espaciales donde se requiere alta resistencia y peso ligero.

Compresión

Las curvas esfuerzo-deformación unitaria para materiales en compresión difi eren de las curvas de tensión. Los metales dúctiles como el acero, el aluminio y el cobre tienen límites de proporcionalidad en compresión muy cercanos a los de tensión y las regiones iniciales de sus diagramas esfuerzo-defor mación unitaria en compresión y tensión son casi iguales. Sin embar-go, después que inicia la fl uencia, el comportamiento es muy diferente. En un ensayo de tensión, la muestra se estira, puede ocurrir estricción y fi nal-mente sucede la fractura. Cuando el material se comprime, se abulta hacia fuera en los lados y adopta una forma como de barril, debido a que la fricción entre la muestra y las placas extremas evita la expansión lateral. Al aumentar la carga, la muestra se aplana y presenta una resistencia mucho mayor a un



acortamiento adicional (lo que signifi ca que la curva esfuerzo-deformación unitaria se vuelve muy empinada). Esas características se ilustran en la fi -gura 1.17, donde se muestra un diagrama esfuerzo-deformación unitaria en compresión para el cobre. Como el área de la sección transversal real de una muestra ensayada en compresión es mayor que el área inicial, el esfuerzo verdadero es un ensayo de compresión es menor que el esfuerzo nominal.

Los materiales frágiles cargados en compresión usualmente tienen una región lineal inicial seguida de una región en la que el acortamiento aumen-ta a una velocidad ligeramente mayor que la carga. Las curvas esfuerzo-de-formación unitaria para compresión y tensión con frecuencia tienen formas similares, pero los esfuerzos últimos en compresión son mucho mayores que los de tensión. Además, a diferencia de los materiales dúctiles, que se aplanan cuando se comprimen, los materiales frágiles en realidad se fractu-ran con la carga máxima.

Tablas de propiedades mecánicas

Las propiedades de los materiales se listan en las tablas del apéndice H al fi nal del libro. Los datos de materiales en las tablas son los típicos y ade-cuados para resolver problemas en este libro. Sin embargo, las propiedades de los materiales y las curvas esfuerzo-deformación unitaria varían en gran medida, incluso para el mismo material, debido a los diferentes procesos de manufactura, a la composición química, a defectos internos, a la temperatu-ra y a muchos otros factores.

Por estas razones, los datos obtenidos del apéndice H (o de otras tablas de naturaleza similar) no se deben emplear para fi nes específi cos de inge-niería o diseño. En cambio, se debe consultar los fabricantes o proveedores de materiales para obtener información sobre un producto particular.

FIGURA 1.17 Diagrama esfuerzo-deformación unitaria para el cobre en compresión.

1.4 ELASTICIDAD, PLASTICIDAD Y TERMOFLUENCIA

Los diagramas de esfuerzo-deformación unitaria presentan el comportamien-to de los materiales ingenieriles cuando están cargados en tensión o com-presión, como se describió en la sección anterior. Para ir un paso más allá, consideremos que sucede cuando la carga se quita y el material se descarga.

Suponga por ejemplo, que aplicamos una carga de tensión a una mues-tra tal que el esfuerzo y la deformación unitaria vayan del origen O al punto A en la curva de esfuerzo-deformación unitaria de la fi gura 1.18a. Suponga además que cuando la carga se remueve, el material sigue exactamente la misma curva de regreso al origen O. Esta propiedad de un material, me-diante la cual regresa a sus dimensiones originales durante la descarga, se denomina elasticidad y se dice que el propio material es elástico. Observe que la curva esfuerzo-deformación unitaria de O a A no tiene que ser lineal a fi n de que el material sea elástico.

Ahora suponga que cargamos este mismo material hasta un nivel mayor, tal que se alcanza el punto B en la curva esfuerzo-deformación unitaria (fi gura 1.18b). Cuando la descarga sucede a partir del punto B, el material sigue la línea BC en el diagrama. Esta línea de descarga es paralela a la parte inicial de la curva de carga; es decir, la línea BC es paralela a una tangente a la curva esfuerzo-deformación unitaria en el origen. Cuando se alcanza el punto C, la carga se ha removido por completo, pero en el material permanece una defor-mación unitaria residual o deformación unitaria permanente, representada

(ksi)

00

80

40

60

20

0.2 0.60.4 0.8

s

e

por la línea OC. Como consecuencia, la barra ensayada es más larga ahora que antes de la aplicación de la carga. Este alargamiento residual de la barra se denomina deformación permanente. De la deformación total OD desarro-llada durante la carga de O a B, la deformación unitaria CD se ha recuperado elásticamente y la deformación unitaria OC permanece como una deformación unitaria permanente. Así, durante la descarga la barra regresa parcialmente a su forma original y, por tanto, se dice que el material es parcialmente elástico.

Entre los puntos A y B en la curva esfuerzo-deformación unitaria (fi -gura 1.18b), debe haber un punto antes del cual el material es elástico y después del cual el material es parcialmente elástico. Para encontrar este punto, cargamos el material hasta un valor seleccionado de esfuerzo y luego removemos la carga. Si no hay una deformación unitaria permanente (es decir, si el alargamiento de la barra regresa a cero), entonces el material es completamente elástico hasta el valor seleccionado del esfuerzo.

El proceso de carga y descarga se puede repetir para valores sucesiva-mente mayores del esfuerzo. Al fi nal se alcanzará un esfuerzo tal que no toda la deformación unitaria se recupera durante la descarga. Mediante este procedimiento es posible determinar el esfuerzo en el límite superior de la región elástica, por ejemplo, el esfuerzo en el punto E en las fi guras 1.18a y b. El esfuerzo en este punto se conoce como límite elástico del material.

Muchos materiales, incluyendo la mayor parte de los metales, tienen regiones lineales al inicio de sus curvas esfuerzo-deformación unitaria (por ejemplo, consulte las fi guras 1.10 y 1.13). El esfuerzo en el límite superior de esta región lineal es el límite de proporcionalidad, como se explicó en la sec-ción anterior. El límite elástico usualmente es igual o ligeramente mayor que el límite de proporcionalidad. De aquí que, para muchos materiales, a los dos límites se les asigne el mismo valor numérico. En el caso del acero dulce, el es-fuerzo de fl uencia también está muy cercano al límite de proporcionalidad, tal que para fi nes prácticos el esfuerzo de fl uencia, el límite elástico y el límite de proporcionalidad se suponen iguales. Por supuesto, esta situación no es válida para todos los materiales. El caucho es un notable ejemplo de un material que es elástico mucho más allá de su límite de proporcionalidad.

La característica de un material por la cual experimenta deformaciones unitarias inelásticas, más allá de la deformación unitaria en el límite elástico, se conoce como plasticidad. Por tanto, en la curva esfuerzo-deformación unitaria de la fi gura 1.18a tenemos una región elástica seguida de una región plástica. Cuando suceden deformaciones unitarias grandes en un material dúctil carga-do en la región plástica, se dice que el material experimenta fl ujo plástico.

Carga repetida de un material

Si el material permanece dentro del rango elástico, se puede cargar, descar-gar y cargar de nuevo sin cambiar signifi cativamente su comportamiento. Sin embargo, cuando está cargado en el rango plástico, la estructura interna del material se altera y cambian sus propiedades. Por ejemplo, ya hemos ob-servado que se da una deformación unitaria permanente en la muestra des-pués de la descarga desde la región plástica (fi gura 1.18b). Ahora suponga que el material se recarga después de esa descarga (fi gura 1.19). La nueva carga inicia en el punto C en el diagrama y continúa hacia arriba hasta el punto B, el punto en el cual comenzó la descarga durante el primer ciclo de carga. Entonces el material sigue la curva original de esfuerzo-deformación unitaria hacia el punto F. Así, para la segunda carga, podemos imaginar que

FIGURA 1.18 Diagramas esfuerzo-deformación unitaria que ilustran (a) un comportamiento elástico y (b) un comportamiento parcialmente elástico.

SECCIÓN 1.4 Elasticidad, plasticidad y termofl uencia 25

A

O

EF

(a)

Carg

a

Desca

rga

Elástico Plástico

A

O

EFB

C D

(b)

Carga

Des

carg

a

s

e

s

eDeforma-

ción unitaria residual

Recupe-ración elástica


tenemos un diagrama nuevo de esfuerzo-deformación unitaria con su origen en el punto C.

Durante la segunda carga el material se comporta de una manera lineal-mente elástica de C a B, donde la pendiente de la recta CB es igual que la pendiente de la tangente a la curva original de carga, en el origen O. Ahora el límite de proporcionalidad está en el punto B, el cual está mayor esfuerzo que el límite elástico original (punto E). Así, al estirar un material como el acero o el aluminio en el rango inelástico o plástico, cambian las propiedades del ma-terial —aumenta la región linealmente elástica, aumenta el límite de propor-cionalidad y aumenta también el límite elástico—. Sin embargo, la ductilidad se reduce debido a que en el “nuevo material” la cantidad de fl uencia más allá del límite elástico (de B a F) es menor que en el material original (de E a F).*

Termofl uencia

Los diagramas de esfuerzo-deformación unitaria descritos antes se obtuvie-ron a partir de ensayos de tensión en los que se aplicaba carga y descarga estática a las muestras y el paso del tiempo no entró en nuestros análisis. No obstante, cuando los materiales se cargan durante periodos largos, algunos de ellos desarrollan deformaciones unitarias adicionales y se dice que pre-sentan termofl uencia.

Este fenómeno se manifi esta de diversas maneras. Por ejemplo, supon-ga que una barra vertical (fi gura 1.20a) se carga lentamente mediante una fuerza P, produciendo un alargamiento igual a d0. Supongamos que la car-ga y el alargamiento correspondiente tiene lugar durante un intervalo que dura t0 (fi gura 1.20b). Después del tiempo t0, la carga permanece constante. Sin embargo, debido a la termofl uencia, la barra puede alargarse en forma gradual, como se muestra en la fi gura 1.20b, aunque la carga no cambie. Este comportamiento sucede en muchos materiales, aunque algunas veces el cambio es demasiado pequeño para considerarlo.

Como otra manifestación de termofl uencia, considere un alambre que se estira entre dos soportes inmóviles, de manera tal que tiene un esfuerzo de tensión inicial s0 (fi gura 1.21). Una vez más, denotaremos el tiempo durante el cual el alambre se alarga inicialmente como t0. Con el paso del tiempo el esfuerzo en el alambre disminuye de manera gradual y termina alcanzando un valor constante, aun cuando los soportes en los extremos del alambre no se muevan. Este proceso se denomina relajación del material.

En general, la termofl uencia es más importante a temperaturas eleva-das que a temperaturas ordinarias y, por lo tanto, siempre se debe tomar en cuenta en el diseño de motores, chimeneas y otras estructuras que operan a temperaturas elevadas durante grandes periodos. Sin embargo, materiales como el acero, el concreto y la madera tendrán una termofl uencia ligera aun a temperaturas ambiente. Por ejemplo, la termofl uencia del concreto en el trascurso de grandes periodos puede crear ondulaciones en las calzadas de puentes debido a la fl exión entre los apoyos. (Una solución es construir la calzada con una contrafl echa, que es un desplazamiento inicial arriba de la horizontal, de modo que cuando ocurra la termofl uencia, los tramos del puente bajen hasta su posición a nivel.)

*El estudio del comportamiento de materiales expuestos a diversas condiciones ambientales y sometidos a varias cargas es una rama importante de la mecánica aplicada. Para obtener información ingenieril más detallada sobre materiales, consulte un libro de texto enfocado en este tema.

FIGURA 1.19 Carga repetida de un material y elevación de los límites elástico y de proporcionalidad.

FIGURA 1.21 Relajación del esfuerzo en un alambre sometido a una deformación unitaria constante.

O

EFB

C

Carga

Des

carg

a

Car

ga r

epet

ida

s

e

FIGURA 1.20 Termofl uencia en una barra sometida a una carga constante.

(b)

Alargamiento

Tiempo

O

0

t0P

(a)

d

O

(b)

(a)

Esfuerzo

Tiempo

0

t0

Alambre

s

Muchos materiales estructurales, incluyendo la mayor parte de los meta-les, madera, plásticos y cerámicos, se comportan tanto de manera elástica como lineal cuando se cargan por primera vez. En consecuencia, sus curvas esfuerzo-deformación unitaria inician con una línea que pasa por el ori-gen. Un ejemplo es la curva esfuerzo-deformación unitaria para el acero estructural (fi gura 1.10), donde la región desde el origen O hasta el límite de proporcionalidad (punto A) es tanto lineal como elástica. Otros ejemplos son las regiones bajo los límites tanto de proporcionalidad como de elastici-dad en los diagramas para el aluminio (fi gura 1.13), los materiales frágiles (fi gura 1.16) y el cobre (fi gura 1.17).

Cuando un material se comporta elásticamente y también presenta una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria se dice que es linealmente elástico. Este tipo de comportamiento es muy importante en ingeniería por una razón obvia: al diseñar estructuras y máquinas para que trabajen en esta región, evitamos deformaciones permanentes debidas a la fl uencia plástica.

Ley de Hooke

La relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria para una barra en tensión o compresión simple se expresa por la ecuación

s Ee (1.8)

en donde s es el esfuerzo axial, � es la deformación unitaria axial y E es una constante de proporcionalidad conocida como módulo de elasticidad del material. El módulo de elasticidad es la pendiente del diagrama esfuerzo-deformación unitaria en la región linealmente elástica, como mencionamos en la sección 1.3. Como la deformación unitaria es adimensional, las unida-des de E son las mismas que las del esfuerzo. Las unidades típicas de E son psi o ksi en unidades inglesas y pascales (o sus múltiplos) en unidades SI.

La ecuación s = Ee se conoce como ley de Hooke, nombrada en ho-nor del famoso científi co inglés Robert Hooke (1635-1703), quien fue la primera persona que investigó científi camente las propiedades elásticas de los materiales y probó varios de ellos como metal, madera, piedra, hueso y tendones. Hooke midió el alargamiento de alambres largos que soportaban pesos y observó que los estiramientos “siempre mantienen las mismas pro-porciones entre sí de acuerdo con los pesos que los causaron” (referencia 1.6). Así, Hooke estableció la relación lineal entre las cargas aplicadas y los alargamientos resultantes.

La ecuación (1.8) en realidad es una versión muy limitada de la ley de Hooke debido a que sólo se relaciona con los esfuerzos longitudinales y las deformaciones unitarias desarrolladas en tensión o compresión simple de la barra (esfuerzo uniaxial). Para tratar con estados más complicados de es-fuerzos, como los encontrados en la mayoría de las estructuras y máquinas, debemos emplear ecuaciones más completas de la ley de Hooke (consulte las secciones 7.5 y 7.6).

El módulo de elasticidad tiene valores relativamente grandes para ma-teriales que son muy rígidos, como los metales estructurales. El acero tiene

1.5 ELASTICIDAD LINEAL, LEY DE HOOKE Y RELACIÓN DE POISSON

SECCIÓN 1.5 Elasticidad lineal, ley de Hooke y relación de Poisson 27


un módulo de elasticidad de aproximadamente 30 000 ksi (210 GPa) y el aluminio tiene valores típicos alrededor de 10 600 ksi (73 GPa). Los mate-riales más fl exibles tienen un módulo menor —los valores para los plásticos varían de 100 a 2000 ksi (0.7 a 14 GPa)—. Algunos valores representativos de E se enlistan en la tabla H.2 del apéndice H. Para la mayor parte de los materiales el valor de E en compresión es casi el mismo que en tensión.

El módulo de elasticidad con frecuencia se llama módulo de Young, en honor de otro científi co inglés, Thomas Young (1773-1829), quien introdujo la idea de un “módulo de la elasticidad” en conexión con una investigación de tensión y compresión de barras prismáticas. Sin embargo, su módulo no era el mismo que el empleado en la actualidad, debido a que comprendía propiedades de la barra así como del material (referencia 1.7).

Relación de Poisson

Cuando una barra prismática se somete a tensión, la elongación axial va acompañada de una contracción lateral (es decir, contracción normal a la dirección de la carga aplicada). Este cambio de forma se representa en la fi -gura 1.22, donde en la parte (a) se muestra la barra antes de la carga y en la (b) después de la carga. En la parte (b), las líneas discontinuas representan la forma de la barra antes de la carga.

La contracción lateral se observa con facilidad estirando una banda de caucho, pero en los metales los cambios en las dimensiones laterales (en la región linealmente elástica) usualmente son demasiado pequeños para observarlos a simple vista. Sin embargo, se pueden detectar mediante dis-positivos sensitivos de medición.

La deformación unitaria lateral �� en cualquier punto en una barra es proporcional a la deformación unitaria axial � en el mismo punto si el ma-terial es linealmente elástico. La relación de esas deformaciones unitarias es una propiedad del material conocida como relación de Poisson. Esta relación adimensional, que en general se denota por la letra griega n (nu), se puede expresar mediante la ecuación

needeformación unitaria axial

deformación unitaria lateral (1.9)

El signo menos agregado en la ecuación es para compensar el hecho de que las deformaciones unitarias lateral y axial por lo general tienen signos opuestos. Por ejemplo, la deformación unitaria axial en una barra en tensión es positiva y la deformación unitaria lateral es negativa (debido a que el an-cho de la barra disminuye). Para compresión tenemos la situación opuesta ya que la barra se acorta (deformación unitaria axial negativa) y se hace más ancha (deformación unitaria lateral positiva). Por tanto, para materiales ordinarios la relación de Poisson tendrá un valor positivo.

Cuando se conoce la relación de Poisson para un material, podemos obtener la deformación unitaria lateral a partir de la deformación unitaria axial como sigue:

e ne (1.10)

Al emplear las ecuaciones (1.9) y (1.10) siempre debemos tener en cuenta que sólo se aplican a una barra sometida a esfuerzo axial, es decir, una barra para la cual el único esfuerzo es el esfuerzo normal s en la dirección axial.

FIGURA 1.22 Alargamiento axial y contracción lateral de una barra prismática en tensión (a) antes de aplicar la carga y (b) barra después de aplicar la carga. (Las deformaciones de la barra se muestran muy exageradas.)

P

(b)

P

(a)

La relación de Poisson recibe su nombre en honor del matemático fran-cés Siméon Denis Poisson (1781-1840), quien intentó calcular esta relación mediante una teoría molecular de los materiales (referencia 1.8). Para ma-teriales isotrópicos, Poisson determinó que n = 1/4. Cálculos más recientes basados en mejores modelos de estructura atómica dan como resultado n = 1/3. Esas dos cifras están cercanas a los valores reales medidos, que están en el rango de 0.25 a 0.35 para la mayor parte de los metales y para muchos otros materiales. Entre los materiales con un valor extremadamente bajo de la relación de Poisson se incluyen el corcho, para el cual n es prácticamente cero y el concreto, para el cual n es aproximadamente 0.1 o 0.2. Un límite teórico superior para la relación de Poisson es 0.5, como se explica en la sección 7.5. El caucho se acerca a este valor limitante.

En el apéndice H se da una tabla de relaciones de Poisson para varios materiales en el rango linealmente elástico (consulte la tabla H.2). Para la mayor parte de los fi nes se supone que la relación de Poisson es la misma tanto en tensión como en compresión.

Cuando las deformaciones unitarias en un material son grandes, la rela-ción de Poisson cambia. Por ejemplo, en el caso del acero estructural la relación llega hasta 0.5 cuando ocurre la fl uencia plástica. Así, la relación de Poisson permanece constante sólo en el rango linealmente elástico. Cuando el com-portamiento del material es no lineal, la relación entre la deformación unitaria lateral y la deformación unitaria axial con frecuencia se denomina relación de contracción. Por supuesto, en el caso especial de comportamiento linealmente elástico, la relación de contracción es igual que la relación de Poisson.

Limitaciones

Para un material particular, la relación de Poisson permanece constante en todo el rango linealmente elástico, como ya se explicó antes. Por tanto, en cualquier punto dado en la barra prismática de la fi gura 1.22, la deforma-ción unitaria lateral permanece proporcional a la deformación unitaria axial conforme la carga aumenta o disminuye. Sin embargo, para un valor dado de la carga (que signifi ca que la deformación unitaria axial es constante en toda la barra), se deben cumplir condiciones adicionales si las deformacio-nes unitarias laterales deben ser las mismas en toda la barra.

En primer lugar, el material debe ser homogéneo, es decir, debe tener la misma composición (y en consecuencia las mismas propiedades elásticas) en cada punto. Sin embargo, tener un material homogéneo no signifi ca que las propiedades elásticas en un punto particular sean las mismas en todas las direc-ciones. Por ejemplo, el módulo de elasticidad podría ser diferente en las direc-ciones axial y lateral, como en el caso de un poste de madera). Por tanto, una segunda condición para la uniformidad en las deformaciones unitarias laterales es que las propiedades elásticas deben ser las mismas en todas las direcciones perpendiculares al eje longitudinal. Cuando se cumplen las condiciones ante-riores, como es el caso frecuente con los metales, las deformaciones unitarias laterales en una barra prismática sometida a una tensión uniforme serán las mismas en cada punto en la barra y también en todas las direcciones laterales.

Los materiales que tienen las mismas propiedades en todas las direc-ciones (ya sea axial, lateral o cualquier otra dirección) se llaman isotró-picos. Si las propiedades difi eren en distintas direcciones, el material es anisotrópicos (aeolotrópico).

En este libro, todos los ejemplos y problemas se resuelven suponiendo que el material es linealmente elástico, homogéneo e isótropo, a menos que se especifi que lo contrario.FIGURA 1.22 (Repetida.)


P

(b)

P

(a)


Ejemplo 1.3

Un tubo de acero con longitud L = 4.0 ft, diámetro exterior d2 = 6.0 in y diámetro interior d1 = 4.5 in se comprime mediante una fuerza axial P = 140 k (fi gura 1.23). El material tiene un módulo de elasticidad E = 30,000 ksi y una relación de Poisson n = 0.30.

Determine las siguientes cantidades para el tubo: (a) su acortamiento d, (b) la deformación unitaria lateral �’, (c) el aumento ∆d2 del diámetro exterior y el aumen-to ∆d1 del diámetro interior y (d) el aumento ∆t en el espesor de la pared.

SoluciónEl área A de la sección transversal y el esfuerzo longitudinal s se determinan

como sigue:

A p4

d22 d2

1p4

(6.0 in)2 (4.5 in)2 12.37 in2

s PA 12

1.3470

ikn2 11.32 ksi (compresión)

Como el esfuerzo es mucho menor que el esfuerzo de fl uencia (consulte la tabla H.3 del apéndice H), el material se comporta en forma linealmente elástica y la deforma-ción unitaria axial se puede determinar a partir de la ley de Hooke:

e sE 30,

110.0302

kkssii

377.3 10 6

El signo de menos para la deformación unitaria indica que el tubo se acorta.(a) Conociendo la deformación unitaria axial, ahora podemos determinar el

cambio de longitud del tubo (consulte la ecuación 1.2)

d eL ( 377.3 10 6)(4.0 ft)(12 in/ft) 0.018 in

De nuevo el signo negativo indica un acortamiento del tubo.(b) La deformación unitaria lateral se obtiene de la relación de Poisson (con-

sulte la ecuación 1.10):

e9 2ne 2(0.30)( 377.3 10 6) 113.2 10 6

El signo positivo de �� indica un aumento de las dimensiones laterales, como se esperaba para un esfuerzo de compresión.

FIGURA 1.23 Ejemplo 1.3. Tubo de acero en compresión.

L

P

d1

d2

(c) El aumento del diámetro exterior es igual a la deformación unitaria lateral por el diámetro:

d2 e9d2 (113.2 10 6)(6.0 in) 0.000679 in

De manera similar, el aumento del diámetro interior es

d1 e9d1 (113.2 10 6)(4.5 in) 0.000509 in

(d) El aumento del espesor de la pared se determina de la misma manera que el aumento de los diámetros; por tanto,

t e9t (113.2 10 6)(0.75 in) 0.000085 in

Este resultado se puede verifi car observando que el aumento del espesor de la pared es igual a la mitad de la diferencia de los aumentos de los diámetros:

td2

2

d1 12

(0.000679 in 0.000509 in) 0.000085 in

como se esperaba. Observe que en compresión las tres cantidades aumentan (diáme-tro exterior, diámetro interior y espesor).

Nota: los resultados numéricos obtenidos en este ejemplo ilustran que los cam-bios dimensionales en materiales estructurales ante condiciones normales de carga son extremadamente pequeños. A pesar de ello, los cambios de las dimensiones pueden ser importantes en ciertas clases de análisis (como el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas) y en la determinación experimental de esfuerzos y deformaciones unitarias.



En las secciones anteriores analizamos los efectos de los esfuerzos norma-les producidos por cargas axiales que actúan en barras rectas. Estos esfuer-zos se denominan “esfuerzos normales” debido a que actúan en direcciones perpendiculares a la superfi cie del material. Ahora consideraremos otro tipo de esfuerzo, llamado esfuerzo cortante, que actúa de manera tangencial a la superfi cie del material.

Como un ejemplo de la acción de los esfuerzos cortantes, considere la conexión con perno que se muestra en la fi gura 1-24a. Esta conexión consis-te de una barra plana A, una horquilla C y un perno B que pasa por agujeros en la barra y en la horquilla. Por la acción de las cargas de tensión P, la barra y la horquilla presionarán contra el perno en compresión y se desarrollarán esfuerzos de contacto, llamados esfuerzos de compresión, esfuerzos en apoyos o esfuerzos de soporte. Además, la barra y la horquilla tienden a cortar el perno, es decir, pasar a través de él, y esta tendencia es resistida por los esfuerzos cortantes en el perno. Como un ejemplo, considere el re-fuerzo para un pasillo peatonal elevado que se muestra en la fotografía.

1.6 ESFUERZO CORTANTE Y DEFORMACIÓN UNITARIA CORTANTE

Arriostramiento diagonal para un pasillo elevado; se muestra una horquilla y un pasador sometidos a cortante doble

Para mostrar con más claridad las acciones de los esfuerzos de soporte y cortante, analicemos este tipo de conexión en una vista lateral esquemá-tica (fi gura 1.24b). Con este esquema en mente, dibujamos un diagrama de cuerpo libre del perno (fi gura 1.24c). Los esfuerzos en los apoyos ejercidos por la horquilla contra el perno se muestran en el lado izquierdo del diagra-ma de cuerpo libre y se identifi can con 1 y 3. Los esfuerzos de la barra apa-recen en el lado derecho y se identifi can con 2. La distribución real de los esfuerzos de soporte es difícil de determinar, por lo que se acostumbra su-poner que están distribuidos uniformemente. Con base en la suposición de

2

3

mn

pq

1m n

p

V

q

2V

m n

(a)

(c) )e()d()b(

P

P

AB

C

Pm n

p q

P t

FIGURA 1.24 Conexión con perno en la que éste está sometido a cortante doble.

distribución uniforme, podemos calcular un esfuerzo de soporte promedio sb dividiendo la fuerza de soporte total Fb entre el área de soporte Ab:

sb

F

Ab

b (1.11)

El área de soporte se defi ne como el área proyectada de la superfi cie curva de soporte. Por ejemplo, considere los esfuerzos de soporte identifi cados con 1. El área proyectada Ab sobre la cual actúan es un rectángulo que tiene una altura igual al espesor de la horquilla y un ancho igual al diámetro del perno. Además, la fuerza de soporte Fb representada por los esfuerzos iden-tifi cados con 1 es igual a P/2. La misma área y la misma fuerza se aplican a los esfuerzos identifi cados con 3.

Ahora considere los esfuerzos de soporte entre la barra plana y el perno (los esfuerzos identifi cados con 2). Para estos esfuerzos, el área de soporte Ab es un rectángulo con una altura igual al espesor de la barra plana y con un ancho igual al diámetro del perno. La fuerza de soporte correspondiente Fb es igual a la carga P.

El diagrama de cuerpo libre de la fi gura 1.24c muestra que hay una tendencia a cortar el perno a lo largo de las secciones transversales mn y pq. A partir de un diagrama de cuerpo libre de la parte mnpq del perno (consulte la fi gura 1.24d), observamos que las fuerzas cortantes V actúan sobre las superfi cies cortadas del perno. En este ejemplo particular hay dos planos de corte (mn y pq) y, por tanto, se dice que el perno está en cortante doble. En cortante doble, cada una de las fuerzas de corte es igual a la mitad de la carga transmitida por el perno, es decir, V = P/2.

FIGURA 1.25 Conexión con perno en la que el perno está sometido a cortante simple.

m

n

(c)(b)

(a)

m

nV

(d)

P

P

SECCIÓN 1.6 Esfuerzo cortante y deformación unitaria cortante 33


Las fuerzas cortantes V son las resultantes de los esfuerzos cortantes distribuidos sobre el área de la sección transversal del perno. Por ejemplo, los esfuerzos cortantes que actúan en la sección transversal mn se muestran en la fi gura 1.24e. Estos esfuerzos actúan paralelos a la superfi cie de corte. La distribución exacta de los esfuerzos no se conoce, pero son máximos cerca del centro y se vuelven cero en ciertas ubicaciones en los bordes. Como se indica en la fi gura 1.24e, los esfuerzos cortantes se representan con la letra griega t (tau).

Una conexión con perno en cortante simple se muestra en la fi gura 1.25a, donde la fuerza axial P en la barra metálica se transmite al patín de la columna de acero mediante un perno. Una vista de la sección transversal de la columna (fi gura 1.25b) muestra la conexión con más detalle. Además, un bosquejo del perno (fi gura 1.25c) muestra la distribución supuesta de los esfuerzos de soporte que actúan en el perno. Como ya se mencionó, la dis-tribución real de estos esfuerzos de soporte es mucho más compleja que la mostrada en la fi gura. Además, también se desarrollan esfuerzos de soporte contra las superfi cies internas de la cabeza del perno y de la tuerca. Así, la fi gura 1.25c no es un diagrama de cuerpo libre, ya que sólo se muestran los esfuerzos de soporte idealizados actuando en el vástago del perno.

Al cortar el perno en la sección mn obtenemos el diagrama que se muestra en la fi gura 1.25d. Este diagrama incluye la fuerza cortante V (igual a la carga P) que actúa sobre la sección transversal del perno. Como ya se señaló, esta fuerza cortante es la resultante de los esfuerzos cortantes que actúan en el área de la sección transversal del perno.

FIGURA 1.25 (Repetida.)

m

n

(c)(b)

(a)

m

nV

(d)

P

P

La deformación de un perno, cargado casi hasta su fractura en cortante simple se muestra en la fi gura 1.26 (compare con la fi gura 1.25c).

En las explicaciones anteriores de conexiones con perno ignoramos la fricción (producida al apretar los pernos) entre los elementos de conexión. La presencia de fricción signifi ca que parte de la carga es soportada por las fuerzas de fricción, y por ende reducen las cargas en los pernos. Como las fuerzas de fricción son poco confi ables y difíciles de estimar, es práctica común pecar de conservador y omitirlas en los cálculos.

El esfuerzo cortante promedio sobre la sección transversal de un per-no se obtiene dividiendo la fuerza cortante total V entre el área A de la sec-ción transversal sobre la que actúa, como sigue:

tpromVA

(1.12)

En el ejemplo de la fi gura 1.25, que muestra un perno en cortante simple, la fuerza cortante V es igual a la carga P y el área A es el área de la sección transversal del perno. Sin embargo, en el ejemplo de la fi gura 1.24, donde el perno está en cortante doble, la fuerza cortante V es igual a P/2.

De la ecuación (1.12) observamos que los esfuerzos cortantes, al igual que los esfuerzos normales, representan una intensidad de la fuerza o fuerza por unidad de área. Así, las unidades del esfuerzo cortante son las mismas que para el esfuerzo normal, que son, psi o ksi en unidades inglesas y pas-cales o sus múltiplos en unidades SI.

Las confi guraciones de carga que se muestran en las fi guras 1.24 y 1.25 son ejemplos de cortante directo (o cortante simple) en los cuales los esfuerzos cortantes se originan por la acción directa de las fuerzas al tratar de cortar a través del material. El cortante directo se origina en el diseño de pernos, pasadores, remaches, cuñas, soldaduras y juntas pegadas.

También se producen esfuerzos cortantes de una manera indirecta cuan-do los elementos se someten a tensión, torsión y fl exión, como se analiza más adelante en las secciones 2.6, 3.3 y 5.8, respectivamente.

Igualdad de los esfuerzos cortantes en planos perpendiculares

Para obtener una representación más completa de la acción de los esfuerzos cortantes, consideremos un elemento pequeño de material en la forma de un paralelepípedo rectangular con longitudes de sus lados a, b y c en las direc-

FIGURA 1.26 Falla de un perno en cortante simple.


Carga

Carga


ciones x, y y z, respectivamente (fi gura 1.27).* Las caras anterior y posterior de este elemento están libres de esfuerzo.

Ahora suponga que un esfuerzo cortante t1 está distribuido uniforme-mente sobre la cara derecha, que tiene un área bc. A fi n de que el elemento esté en equilibrio en la dirección y, la fuerza cortante total t1bc que actúa sobre la cara derecha se debe equilibrar por una fuerza cortante igual pero en dirección opuesta en la cara izquierda. Como las áreas de estas dos caras son iguales, se deduce que los esfuerzos cortantes sobre las dos caras deben ser iguales.

Las fuerzas t1bc que actúan sobre las caras laterales izquierda y dere-cha (fi gura 1.27) forman un par que tiene un momento con respecto al eje z, de magnitud t1abc, que actúa en sentido contrario al de las manecillas del reloj, en la fi gura.** Para el equilibrio de los elementos se requiere que este momento esté equilibrado por un momento igual y opuesto resultante de los esfuerzos cortantes actuando sobre las caras superior e inferior del elemento. Si representamos los esfuerzos sobre las caras superior e inferior como t2, observamos que las fuerzas cortantes horizontales son iguales a t2ac. Estas fuerzas forman un par en el sentido de las manecillas del reloj de momento t2abc. Del equilibrio de momentos del elemento con respecto al eje z, observamos que t1abc es igual a t2abc, o

t1 t2 (1.13)

Por tanto, las magnitudes de los cuatro esfuerzos cortantes que actúan sobre el elemento son iguales, como se muestra en la fi gura 1.28a.

En resumen, hemos llegado a las siguientes observaciones generales acerca de los esfuerzos cortantes que actúan sobre un elemento rectan-gular:

1. Los esfuerzos cortantes sobre caras opuestas (y paralelas) de un ele-mento son iguales en magnitud y opuestas en dirección.

2. Los esfuerzos cortantes sobre caras adyacentes (y perpendiculares) de un elemento son de igual magnitud y tienen direcciones tales que ambos esfuerzos apuntan alejándose de la línea de intersección de las caras.

Estas observaciones se obtuvieron para un elemento sujeto sólo a esfuerzos cortantes (no esfuerzos normales), como se representa en las fi guras 1.27 y 1.28. Este estado de esfuerzo se denomina cortante puro y se describirá más adelante con más detalle (sección 3.5).

Para la mayor parte de los fi nes, las conclusiones anteriores son válidas aun cuando los esfuerzos normales actúen sobre las caras del elemento. La razón es que los esfuerzos sobre caras opuestas de un elemento pequeño usualmente son iguales en magnitud y opuestos en dirección; y de aquí que no modifi quen las ecuaciones de equilibrio empleadas para llegar a las conclusiones anteriores.

*Un paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos; así, un paralelepípedo tiene seis caras, cada una de ellas es un paralelogramo. Caras opuestas son paralelas y paralelogra-mos idénticos. Un paralelepípedo rectangular tiene todas sus caras en la forma de rectán-gulos.**Un par consiste en dos fuerzas paralelas que son iguales en magnitud y opuestas en direc-ción.

FIGURA 1.27 Elemento pequeño de material sometido a esfuerzos cortantes.

y

x

2

1

z

a

b

c

t

t

FIGURA 1.28 Elemento de material sometido a esfuerzos y deformaciones unitarias en cortante.

(a)

(b)

y

x

zs

p q

r

a

b

ct

t

2

2

2

p q

s r

–

2+

t

t

p

p g

gg

g

Deformación unitaria cortante

Los esfuerzos cortantes que actúan sobre un elemento de material (fi gura 1.28a) van acompañados de deformaciones unitarias cortantes. Como una ayuda para visualizar esas deformaciones, observamos que los esfuerzos cortantes no tienen una tendencia a alargar o acortar el elemento en las direcciones x, y y z —en otras palabras, las longitudes de los lados del ele-mento no cambian—. Más bien, los esfuerzos cortantes producen un cam-bio en la forma del elemento (fi gura 1.28b). El elemento original, que es un paralelepípedo rectangular, se deforma en un paralelepípedo oblicuo y las caras anterior y posterior se transforman en romboides.*

Debido a esta deformación, cambian los ángulos entre las caras late-rales. Por ejemplo, los ángulos en los puntos q y s, que eran π/2 antes de la deformación, se reducen en un ángulo pequeño g a π/2 – g (fi gura 1.28b). Al mismo tiempo, los ángulos en los puntos p y r aumentan a π/2 + g. El ángulo g es una medida de la distorsión o cambio en la forma del elemento y se denomina deformación unitaria cortante. Como la deformación uni-taria cortante es un ángulo, por lo general se mide en grados o radianes.

Convenciones de signo para esfuerzos cortantes y deformaciones unitarias cortantes

Como ayuda para establecer convenciones de signo para los esfuerzos cor-tantes y las deformaciones unitarias cortantes, necesitamos un esquema en el que se indiquen las diferentes caras de un elemento de esfuerzo (fi gura 1.28a). De ahora en adelante nos referiremos a las caras orientadas hacia las direcciones positivas de los ejes como las caras positivas del elemento. En otras palabras, una cara positiva tiene su normal exterior dirigida en la dirección positiva de un eje coordenado. Las caras opuestas son caras negativas. Por tanto, en la fi gura 1.28a, las caras derecha, superior y frontal son las caras x, y y z, respectivamente, y las caras opuestas son las caras negativas x, y y z.

Empleando la terminología descrita en el párrafo anterior, podemos estipular la convención de signos para los esfuerzos cortantes de la siguiente manera:

Un esfuerzo cortante que actúa sobre una cara positiva de un elemento es posi-tivo si actúa en la dirección positiva de uno de los ejes coordenados y negativo si actúa en la dirección negativa de un eje. Un esfuerzo cortante que actúa sobre una cara negativa de un elemento es positivo si actúa en la dirección negativa de un eje y negativo si actúa en una dirección positiva.

Así, todos los esfuerzos cortantes que se muestran en la fi gura 1.28a son positivos.

La convención de signos para las deformaciones unitarias en cortante es como sigue:

La deformación unitaria cortante en un elemento es positiva cuando se reduce el ángulo entre dos caras positivas (o dos caras negativas). La deformación unitaria es negativa cuando aumenta el ángulo entre dos caras positivas (o entre dos negativas).

*Un ángulo oblicuo puede ser agudo o bien obtuso, pero no es un ángulo recto. Un romboide es un paralelogramo con ángulos oblicuos y lados adyacentes no iguales. (Un rombo es un pa-ralelogramo con ángulos oblicuos y todos sus cuatro lados iguales, algunas veces denominado fi gura con forma de diamante).



Por tanto, las deformaciones unitarias que se muestran en la fi gura 1.28b son positivas y observamos que los esfuerzos cortantes positivos van acom-pañados de deformaciones unitarias cortantes positivas.

Ley de Hooke en cortante

Las propiedades de un material en cortante se pueden determinar de manera experimental a partir de ensayos de cortante directo o de ensayos de torsión. Estos últimos ensayos se realizan torciendo tubos circulares huecos, lo que produce un estado de cortante puro, como se explica más adelante en la sec-ción 3.5. A partir de los resultados de esos ensayos, podemos trazar diagramas de esfuerzo-deformación unitaria cortante (es decir, diagramas de esfuerzo cortante t en función de la deformación unitaria cortante g). Estos diagramas son similares en forma a los diagramas de ensayos de tensión (s en función de �) para los mismos materiales, aunque difi eren en las magnitudes.

De los diagramas de esfuerzo-deformación unitaria cortante podemos obtener propiedades de los materiales como el límite de proporcionalidad, el módulo de elasticidad, el esfuerzo de fl uencia y el esfuerzo último. Estas pro-piedades en cortante por lo general son casi de la mitad de magnitud que las correspondientes en tensión. Por ejemplo, el esfuerzo de fl uencia para el acero estructural en cortante es de 0.5 a 0.6 veces el esfuerzo de fl uencia en tensión.

Para muchos materiales, la parte inicial del diagrama de esfuerzo-de-formación unitaria en cortante es una recta que pasa por el origen, al igual que en tensión. Para esta región linealmente elástica, el esfuerzo cortante y la deformación unitaria en cortante son proporcionales y, por lo tanto, tene-mos la ecuación siguiente para la ley de Hooke en cortante:

t Gg (1.14)

en donde G es el módulo de elasticidad en cortante (también denominado módulo de rigidez).

El módulo de corte G tiene las mismas unidades que el módulo de ten-sión E, que son, psi o ksi en unidades inglesas y pascales (o sus múltiplos) en unidades SI. Para el acero dulce, los valores comunes de G son 11 000 ksi o 75 GPa; para aleaciones de aluminio, los valores comunes son 4000 ksi o 28 GPa. En la tabla H-2 del apéndice H se enlistan valores adicionales.

Los módulos de elasticidad en tensión y en cortante están relacionados por la ecuación siguiente:

G2(1

E

n) (1.15)

en donde n es la relación de Poisson. Esta relación, que se deducirá des-pués, en la sección 3.6, muestra que E, G y n no son propiedades elásticas independientes del material. Debido a que la relación de Poisson para ma-teriales ordinarios se encuentra entre cero y un medio, de la ecuación (1.15) observamos que G debe ser de un tercio a un medio de E.

Los siguientes ejemplos ilustran algunos análisis típicos que compren-den los efectos del esfuerzo cortante. El ejemplo 1.4 tiene que ver con es-fuerzos cortantes en una placa, el ejemplo 1.5 trata de esfuerzos de soporte y cortantes en pasadores y pernos, y el ejemplo 1.6 implica determinar los esfuerzos cortantes y las deformaciones unitarias cortantes en una placa elastomérica de soporte sometida a una fuerza cortante horizontal.

Ejemplo 1.4

En la fi gura 1.29a se muestra un punzón para hacer agujeros en placas de acero. Su-ponga que se utiliza un punzón con un diámetro d = 20 mm para hacer un agujero en una placa de 8 mm de espesor, como se muestra en la vista transversal correspon-diente (fi gura 1.29b).

Si se requiere de una fuerza P = 110 kN para hacer el agujero, ¿cuál es el esfuerzo cortante promedio en la placa y el esfuerzo de compresión promedio en el punzón?

FIGURA 1.29 Ejemplo 1.4. Realización de un agujero con punzón en una placa de acero.

SoluciónEl esfuerzo cortante promedio en la placa se obtiene dividiendo la fuerza P en-

tre el área en cortante de la placa. El área en cortante As es igual a la circunferencia del agujero por el espesor de la placa, o

As pdt p(20 mm)(8.0 mm) 502.7 mm2

en donde d es el diámetro del punzón y t es el espesor de la placa. Por lo tanto, el esfuerzo cortante promedio en la placa es

tprom AP

s 50121.07 m

kNm2 219 MPa

El esfuerzo de compresión promedio en el punzón es

sc Apunzón

Ppd

P2/4 p (2

1010

mkmN)2/4

350 MPa

en donde Apunzón es el área de la sección transversal del punzón.Nota: este análisis está muy idealizado debido a que ignoramos los efectos de

impacto que ocurren cuando se penetra una placa con un punzón. (Para incluirlos se requiere una metodología de análisis que están más allá del alcance de la mecánica de materiales.)

(a)

d = 20 mm

t = 8.0 mm

P = 110 kN

(b)

P



Ejemplo 1.5

FIGURA 1.30 Ejemplo 1.5. (a) Conexión con pasador entre el puntal S y la placa base B. (b) Sección transversal a través del puntal S.

Un puntal S de acero que sirve como riostra para un malacate marino transmite una fuerza de compresión P = 12 k a la plataforma de un muelle (fi gura 1.30a). El puntal tiene una sección transversal hueca con espesor de pared t = 0.375 in (fi gura 1.30b) y el ángulo u entre el puntal y la horizontal es 40°. Un pasador que atraviesa el puntal transmite la fuerza de compresión del puntal a dos placas de unión G que están soldadas a la placa base B. Cuatro pernos de anclaje sujetan la placa base a la plataforma.

El diámetro del pasador es dpasador = 0.75 in, el espesor de las placas de unión es tG = 0.625 in, el espesor de la placa base es tB = 0.375 in y el diámetro de los pernos de anclaje es dperno = 0.50 in.

Determine los esfuerzos siguientes: (a) el esfuerzo de soporte entre el puntal y el pasador, (b) el esfuerzo cortante en el pasador, (c) el esfuerzo de soporte entre el pasador y las placas de unión, (d) el esfuerzo de soporte entre los pernos de anclaje y la placa base y (e) el esfuerzo cortante en los pernos de anclaje. (No tenga en cuenta la fricción entre la placa base y la plataforma.)

= 40°

P

S

B

)b()a(

G GS

t

Pasador

u

G

Solución

(a) Esfuerzo de soporte entre el puntal y el pasador. El valor promedio del esfuerzo de soporte entre el puntal y el pasador se determina dividiendo la fuerza en el puntal entre el área total de soporte del puntal contra el pasador. Ésta última es igual al doble del espesor del puntal (debido a que el soporte se tiene en dos ubica-ciones) por el diámetro del pasador (consulte la fi gura 1.30b). Por tanto, el esfuerzo de soporte es

sb1 2tdP

perno21.3 ksi

12 k2(0.375 in)(0.75 in)

Este esfuerzo de soporte no es excesivo para un puntal de acero estructural.(b) Esfuerzo cortante en el pasador. Como se observa en la fi gura 1.30b, el

pasador tiende a cortarse en dos planos, que son los planos entre el puntal y las placas de unión. Por tanto, el esfuerzo cortante promedio en el pasador (que está en cortante doble) es igual a la carga total aplicada al pasador dividida entre dos veces el área de su sección transversal.

tpasador 2pdP

2pasador/4 2p(0.

1725

kin)2/4

13.6 ksi

Normalmente el pasador se fabricaría con acero de alta resistencia (esfuerzo de fl uencia en tensión mayor que 50 ksi) y con facilidad podría soportar este esfuerzo cortante (el esfuerzo de fl uencia en cortante usualmente es al menos 50% del esfuer-zo de fl uencia en tensión).

(c) Esfuerzo de soporte entre el pasador y las placas de unión. El pasador se apoya contra las placas de unión en dos puntos, por tanto el área de soporte es el doble del espesor de las placas de unión por el diámetro del pasador; entonces,

sb2 2tG

Pdpasador

12.8 ksi12 k

2(0.625 in)(0.75 in)

que es menor que el esfuerzo de soporte entre el puntal y el pasador (21.3 ksi).(d) Esfuerzo de soporte entre los pernos de anclaje y la placa base. La compo-

nente vertical de la fuerza P (consulte la fi gura 1.30a) se transmite a la plataforma por soporte directo entre la placa base y la plataforma. Sin embargo, la componente horizontal se transmite a través de los pernos de anclaje. El esfuerzo de soporte promedio entre la placa base y los pernos de anclaje es igual a la componente hori-zontal de la fuerza P dividida entre el área de soporte de los cuatro pernos. El área de soporte para un perno es igual al espesor de la placa base por el diámetro del perno. En consecuencia, el esfuerzo de soporte es

sb3P4ctB

ods

perno

40°12.3 ksi

(12 k)(cos 40°)4(0.375 in)(0.50 in)

(e) Esfuerzo cortante en los pernos de anclaje. El esfuerzo cortante promedio en los pernos de anclaje es igual a la componente horizontal de la fuerza P dividida entre el área total de la sección transversal de los cuatro pernos (observe que cada perno está sometido a cortante simple). Por lo tanto,

tpernoP

4pcdos2perno

40

/4

°4(1p2(0k.)5(c0oisn4)02/

°4)

11.7 ksi

Cualquier fricción entre la placa base y la plataforma reduciría la carga sobre los pernos de anclaje.



Una placa de soporte del tipo empleado para sostener máquinas y trabes de puentes consiste en un material linealmente elástico (por lo general un elastómero como el caucho) cubierto con una placa de acero (fi gura 1.31a). Suponga que el espesor del elastómero es h, que las dimensiones de la placa son a × b y que la placa está sometida a una fuerza cortante horizontal V.

Obtenga fórmulas para el esfuerzo cortante promedio tprom en el elastómero y el desplazamiento horizontal d de la placa (fi gura 1.31b).

Ejemplo 1.6

FIGURA 1.31 Ejemplo 1.6. Placa de soporte en cortante.

a

h

b VVVVVVVVVVVVVVVVh

a

d V

(a) (b)

g

Solución

Suponga que los esfuerzos cortantes en el elastómero están distribuidos uni-formemente en todo el volumen del mismo. Entonces el esfuerzo cortante sobre cualquier plano horizontal a través del elastómero es igual a la fuerza cortante V dividida entre el área ab de la placa (fi gura 1.31a):

tprom aVb

(1.16)

La deformación unitaria cortante correspondiente (de la ley de Hooke para cortante; ecuación 1.14) es

gt

Gprom

e abVGe

(1.17)

en donde Ge es el módulo de corte del material elastomérico. Por último, el despla-zamiento horizontal d es igual a h tan g (de la fi gura 1.31b):

d h tan g h tanab

VGe

(1.18)

En la mayor parte de las situaciones prácticas la deformación unitaria por cortante g es un ángulo pequeño y en esos casos tan g se puede sustituir por g y obtenemos

d hgahbVGe

(1.19)

Las ecuaciones (1.18) y (1.19) dan resultados aproximados del desplazamiento horizontal de la placa, debido a que se basan en la suposición de que el esfuerzo cor-tante y la deformación unitaria cortante son constantes en todo el volumen del material elastomérico. En realidad, el esfuerzo cortante es cero en los bordes del material (por-que no hay esfuerzos cortantes sobre las caras verticales libres) y, por tanto, la de-formación del material es más compleja que la representada en la fi gura 1.31b. Sin embargo, si la longitud a de la placa es grande en comparación con el espesor h del elastómero, los resultados anteriores son satisfactorios para fi nes de diseño.

La ingeniería se ha descrito apropiadamente como la aplicación de la cien-cia a los propósitos comunes de la vida. Al cumplir esta misión, los inge-nieros diseñan una variedad aparentemente sin fi n de objetos para satisfacer las necesidades básicas de la sociedad. Esas necesidades incluyen vivienda, agricultura, transporte, comunicación y muchos otros aspectos de la vida moderna. Los factores que se deben considerar en el diseño incluyen fun-cionalidad, resistencia, apariencia, economía y efectos ambientales. Sin embargo, al estudiar la mecánica de materiales, nuestro interés principal de diseño es la resistencia, es decir, la capacidad del objeto para soportar o trasmitir cargas. Entre los objetos que deben soportar cargas se incluyen edifi cios, máquinas, recipientes, camiones, aeronaves, barcos y similares. Por simplicidad, nos referiremos a estos objetos como estructuras; por tanto, una estructura es cualquier objeto que debe soportar o transmitir cargas.

Factores de seguridad

Como se debe evitar la falla estructural, las cargas que una estructura debe soportar deben ser mayores que las cargas a que se someterá cuando esté en servicio. Como la resistencia es la habilidad de una estructura para resistir cargas, el criterio anterior se puede volver a plantear como sigue: la resis-tencia real de una estructura debe ser mayor que la resistencia requerida. La razón entre la resistencia real y la resistencia requerida se denomina factor de seguridad n:

Factor de seguridad nResistencia real

Resistencia requerida (1.20)

Por supuesto, para evitar la falla el factor de seguridad debe ser mayor que 1.0. Dependiendo de las circunstancias, se utilizan factores de seguridad un poco mayores que 1.0 y hasta de 10.

La incorporación de factores de seguridad en el diseño no es un asunto simple, porque tanto la resistencia como la falla pueden tener signifi cados distintos. La resistencia se puede medir mediante la capacidad de soporte de carga de una estructura o por el esfuerzo en el material. Falla puede signifi -car la fractura y el derrumbe completo de una estructura, o puede signifi car que las deformaciones son tan grandes que la estructura ya no puede rea-lizar sus funciones propuestas. Éste último tipo de falla puede presentarse con cargas mucho menores que las que ocasionan el desplome real.

En la determinación de un factor de seguridad también deben tomarse en cuenta aspectos como los siguientes: probabilidad de sobrecarga acci-dental de la estructura, por cargas que sobrepasan las cargas de diseño; ti-pos de cargas (estáticas o dinámicas); si las cargas se aplican una vez o se repiten; qué tan exactamente se conocen las cargas; posibilidades de falla

1.7 ESFUERZOS Y CARGAS PERMISIBLES

SECCIÓN 1.7 Esfuerzos y cargas permisibles 43


por fatiga; imprecisiones de construcción; variabilidad en la calidad de la mano de obra; variaciones en las propiedades de los materiales; deterioro debido a corrosión u otros efectos ambientales; precisión de los métodos de análisis; si la falla es gradual (con advertencia sufi ciente) o repentina (sin advertencia); consecuencias de la falla (daño menor o catástrofe mayor) y otras consideraciones de este tipo. Si el factor de seguridad es muy bajo, la probabilidad de falla será alta y la estructura será inaceptable; si es muy grande, la estructura será un desperdicio de materiales y tal vez inadecuada para su función (por ejemplo, podría ser muy pesada).

Debido a estas complejidades e incertidumbres, los factores de segu-ridad deben determinarse con una base probabilística. En general son esta-blecidos por grupos de ingenieros experimentados que escriben los códigos y las especifi caciones empleadas por otros diseñadores y en algunas ocasio-nes se promulgan como leyes. Las previsiones de códigos y especifi caciones tienen el propósito de proporcionar niveles de seguridad razonables sin costos exorbitantes.

En el diseño de aeronaves se acostumbra hablar del margen de segu-ridad en lugar del factor de seguridad. El margen de seguridad se defi ne como el factor de seguridad menos uno:

Margen de seguridad = n – 1 (1.21)

El margen de seguridad con frecuencia se expresa como un porcentaje, caso en el cual el valor dado antes se multiplica por 100. Por tanto, una estructura que tiene un resistencia real que es 1.75 veces la requerida tiene un factor de seguridad de 1.75 y un margen de seguridad de 0.75 (o 75 por ciento). Cuando el margen de seguridad se reduce a cero o menos, la estructura (probablemente) fallará.

Esfuerzos permisibles

Los factores de seguridad se defi nen e implantan de diversas maneras. Para muchas estructuras, es importante que el material permanezca dentro del rango elástico a fi n de evitar deformaciones permanentes cuando se remue-van las cargas. En estas condiciones el factor de seguridad se establece con respecto a la fl uencia de la estructura. La fl uencia inicia cuando el esfuerzo de fl uencia se alcanza en cualquier punto dentro de la estructura. Por tanto, al aplicar un factor de seguridad con respecto al esfuerzo de fl uencia (o resistencia a la fl uencia), obtenemos un esfuerzo permisible (o esfuerzo de trabajo) que no se debe rebasar en la estructura. Por tanto,

Esfuerzo permisibleResistencia a la fluencia

Factor de seguridad (1.22)

O bien, para tensión y cortante, respectivamente,

sperms

n1

Y y tperm n

tY

2 (1.23a,b)

donde sY y tY son los esfuerzos de fl uencia y n1 y n2 son los factores de se-guridad correspondientes. En el diseño de edifi cios, un factor de seguridad común con respecto a la fl uencia en tensión es 1.67; por lo que un acero dulce que tenga una resistencia a la fl uencia de 36 ksi tiene un esfuerzo permisible de 21.6 ksi.

En ocasiones el factor de seguridad se aplica al esfuerzo último en vez de al esfuerzo de fl uencia. Este método es adecuado para materiales frági-les, como el concreto y algunos plásticos, y para materiales sin un esfuerzo de fl uencia bien defi nido, como la madera y los aceros de alta resistencia. En estos casos los esfuerzos permisibles en tensión y cortante son

sperms

nU

3y tperm

t

nU

4 (1.24a,b)

donde sU y tU son los esfuerzos últimos (o resistencias últimas). Los fac-tores de seguridad con respecto a la resistencia última de un material, en general, son mayores que los basados en la resistencia a la fl uencia. En el caso de acero dulce, un factor de seguridad de 1.67 con respecto a la fl uencia corresponde a un factor de aproximadamente 2.8 con respecto a la resistencia última.

Cargas permisibles

Después que se han establecido los esfuerzos permisibles para un material o una estructura particular, se puede determinar la carga permisible sobre esa estructura. La relación entre la carga permisible y el esfuerzo permisible depende del tipo de estructura. En este capítulo nos interesan sólo las clases más elementales de estructuras, que son las barras en tensión o compresión y los pasadores (o pernos) en cortante directo y en soporte.

En estos tipos de estructuras los esfuerzos están distribuidos uniforme-mente (o al menos se supone que lo están) sobre un área. Por ejemplo, en el caso de una barra en tensión, el esfuerzo está distribuido uniformemente sobre el área de la sección transversal, siempre que la fuerza axial resultante actúe en el centroide de la sección transversal. Lo mismo es válido para una barra en compresión con la condición que no se le someta a una carga ex-céntrica que provoque pandeo. En el caso de un pasador sometido a cortan-te, sólo consideramos el esfuerzo cortante promedio sobre la sección trans-versal, que es equivalente a suponer que el esfuerzo cortante está distribuido uniformemente. De manera similar, sólo consideramos un valor promedio del esfuerzo de soporte que actúa sobre el área proyectada del pasador.



Por tanto, en los cuatro casos anteriores la carga permisible (también llamada carga segura) es igual al esfuerzo permisible por el área sobre la que actúa:

Carga permisible = (Esfuerzo permisible)(Área) (1.25)

Para barras en tensión y compresión directa (sin pandeo), esta ecuación se convierte en

Pperm sperm A (1.26)

donde sperm es el esfuerzo normal permisible y A es el área de la sección transversal de la barra. Si la barra tiene un agujero, cuando se somete a tensión es usual que se emplee el área neta. El área neta es el área total de la sección transversal menos el área del agujero. Para compresión, se puede emplear el área total si por el agujero pasa un perno o un pasador que pueda transmitir los esfuerzos de compresión.

Para pasadores en cortante directo, la ecuación (1.25) se transforma en

Pperm tperm A (1.27)

en donde tperm es el esfuerzo cortante permisible y A es el área sobre la que actúa el esfuerzo cortante. Si el pasador está en cortante simple, el área es el de la sección transversal del pasador; en cortante doble, es el doble del área de la sección transversal.

Por último, la carga permisible basada en soporte es

Pperm = sbAb (1.28)

en donde sb es el esfuerzo normal permisible y Ab es el área proyectada del pasador u otra superfi cie sobre la que actúan los esfuerzos de soporte.

El siguiente ejemplo ilustra cómo se determinan las cargas permisibles cuando se conocen los esfuerzos permisibles del material.

Ejemplo 1.7

Una barra de acero que trabaja como barra de suspensión para maquinaria pesada en una fábrica, está acoplada a un soporte mediante la conexión con perno que se muestra en la fi gura 1.32. La parte principal del colgante tiene una sección trans-versal rectangular con un ancho b1 = 1.5 in y un espesor t = 0.5 in. En la conexión con perno la barra de suspensión se alarga hasta un ancho b2 = 3.0 in. El perno, que transfi ere la carga de la barra a las dos placas de unión, tiene un diámetro d = 1.0 in.

Determine el valor permisible de la carga de tensión P en la barra de suspensión con base en las siguientes consideraciones:

(a) El esfuerzo de tensión permisible en la parte principal de la barra de sus-pensión es 16,000 psi.

(b) El esfuerzo de tensión permisible en la barra de suspensión en su sección transversal que pasa por el agujero del perno es 11,000 psi. (El esfuerzo permisible en esta sección es menor debido a las concentraciones de esfuerzos alrededor del agujero).

(c) El esfuerzo de soporte permisible entre la barra de suspensión y el perno es 26,000 psi.

(d) El esfuerzo cortante permisible en el perno es 6500 psi.

FIGURA 1.32 Ejemplo 1.7. Barra de suspensión vertical sometida a una carga de tensión P: (a) vista frontal de la conexión con perno y (b) vista lateral de la conexión.

Solución(a) La carga permisible P1 con base en el esfuerzo en la parte principal de la ba-

rra de suspensión es igual al esfuerzo permisible en tensión por el área de la sección transversal de la barra de suspensión (ecuación 1.26):

P1 sperm A sperm b1t (16,000 psi)(1.5 in 0.5 in) 12,000 lb

continúa

P

Barra de suspensión

)b()a(

b1 = 1.5 in

t = 0.5 in

d = 1.0 in

Arandela

Tornillo

Cartela

P

b2 = 3.0 in



Una carga mayor que este valor provocará una tensión excesiva en la parte principal de la barra de suspensión, es decir, el esfuerzo real excederá el esfuerzo permisible y, en consecuencia, se reduciría el factor de seguridad.

(b) En la sección transversal de la barra de suspensión a través del perno debe-mos hacer un cálculo similar, pero con un esfuerzo permisible y un área diferentes. El área neta de la sección transversal es igual al ancho neto por el espesor. El ancho neto es igual al ancho total b2 menos el diámetro d del agujero. Por tanto, la ecuación para la carga permisible P2 en esta sección es

P2 sperm A sperm (b2 d)t (11,000 psi)(3.0 in 1.0 in)(0.5 in)

11,000 lb

(c) La carga permisible basada en el soporte entre la barra de suspensión y el perno es igual al esfuerzo de soporte permisible por el área se soporte. El área de soporte es la proyección del área real de contacto, que a su vez es igual al diámetro del perno por el espesor de la barra de suspensión. Por tanto, la carga permisible (ecuación 1.28) es

P3 sbA sbdt (26,000 psi)(1.0 in)(0.5 in) 13,000 lb

(d) Por último, la carga permisible P4 con base en el cortante en el perno es igual al esfuerzo cortante permisible por el área de corte (ecuación 1.27). El área de corte es dos veces el área del perno debido a que el perno está en cortante doble; por tanto:

P4 tperm A tperm (2)(pd2/4) (6500 psi)(2)(p)(1.0 in)2/4 10,200 lb

Ahora hemos determinado las cargas de tensión permisibles en la barra de suspen-sión con base en las cuatro condiciones dadas.

Al comparar los cuatro resultados anteriores, observamos que el valor menor de la carga es

Pperm 10,200 lb

Esta carga, que se basa en el cortante en el perno, es la carga de tensión permisible en la barra de suspensión.

En la sección anterior analizamos la determinación de las cargas permi-sibles para estructuras simples y en secciones anteriores vimos cómo de-terminar esfuerzos, deformaciones unitarias y deformaciones en barras. La determinación de esas cantidades se conoce como análisis. En el contexto de la mecánica de materiales, el análisis consiste en determinar la respuesta de una estructura a cargas, cambios de temperatura y otras acciones físicas. Por respuesta de una estructura queremos decir los esfuerzos, las deforma-ciones unitarias y las deformaciones producidas por las cargas.

Respuesta también se refi ere a la capacidad de soporte de carga de una estructura; por ejemplo, la carga permisible sobre una estructura es una for-ma de respuesta.

Se dice que una estructura es conocida (o dada) cuando tenemos una descripción física completa de ella, es decir cuando conocemos todas sus propiedades. Las propiedades de una estructura incluyen los tipos de ele-mentos y cómo están dispuestos, las dimensiones de todos los elementos, los tipos de soportes y dónde se ubican, los materiales empleados y sus propiedades. Así, cuando se analiza una estructura, se dan las propiedades y se determinará su respuesta.

El proceso inverso se denomina diseño. Al diseñar una estructura, de-bemos determinar las propiedades de la estructura a fi n de que soporte las cargas y cumpla sus funciones previstas. Por ejemplo, un problema de di-seño común en ingeniería es determinar el tamaño de un elemento para so-portar ciertas cargas dadas. En general, diseñar una estructura es un proceso más largo y más difícil que analizarla; de hecho, analizar una estructura, a menudo más de una vez, es parte característica del proceso de diseño.

En esta sección trataremos el diseño en su forma más elemental calcu-lando los tamaños requeridos de elementos en tensión y compresión simple así como de pasadores y pernos cargados en cortante. En estos casos el proceso de diseño es muy directo. Si se conocen las cargas que se van a transmitir y los esfuerzos permisibles en los materiales, podemos calcular las áreas necesarias de los elementos a partir de la relación general siguiente (compárela con la ecuación 1.25):

Área requerida

Carga por transmitirEsfuerzo permisible

(1.29)

Esta ecuación se puede aplicar a cualquier estructura en la que los esfuerzos estén distribuidos uniformemente sobre el área. (Su uso en la determinación del tamaño de una barra en tensión y el tamaño de un pasador en cortante se ilustra en el ejemplo 1.8 que sigue).

Además de consideraciones de resistencia, como se ejemplifi ca por la ecuación (1.29), es probable que el diseño de una estructura comprenda la rigidez y la estabilidad. Rigidez se refi ere a la capacidad de la estructu-ra para resistir cambios de forma (por ejemplo, para resistir alargamiento, fl exión o torsión) y estabilidad se refi ere a la habilidad de la estructura para resistir pandeo ante esfuerzos de compresión. En ocasiones son necesarias

1.8 DISEÑO POR CARGAS AXIALES Y CORTANTE DIRECTO

SECCIÓN 1.8 Diseño por cargas axiales y cortante directo 49


limitaciones en la rigidez para evitar deformaciones excesivas, como de-fl exiones grandes de una viga que podrían interferir con su desempeño. El pandeo es la consideración principal en el diseño de columnas, que son elementos esbeltos en compresión (capítulo 11).

Otra parte del proceso de diseño es el perfeccionamiento, que es la tarea de diseñar la mejor estructura para cumplir con una meta particular, como peso mínimo. Por ejemplo, puede haber muchas estructuras que so-portarán una carga dada, pero en algunas circunstancias la mejor estructura será la más ligera. Por supuesto, una meta como peso mínimo generalmente se debe equilibrar con consideraciones más generales, incluyendo los as-pectos estético, económico, ambiental, político y técnico del proyecto de diseño particular.

Al analizar o diseñar una estructura, nos referimos a las fuerzas que actúan sobre ella ya sea como cargas o reacciones. Las cargas son fuerzas activas que se aplican a la estructura debido a alguna causa externa, como la gravedad, presión del agua, viento y movimiento del suelo por un terremo-to. Las reacciones son fuerzas pasivas que se inducen en los soportes de la estructura, cuyas magnitudes y direcciones se determinan por la naturaleza de la propia estructura. Por tanto, las reacciones se deben calcular como parte del análisis, en tanto que las cargas se conocen de antemano.

El ejemplo 1.8, en las siguientes páginas, comienza con un repaso de los diagramas de cuerpo libre y de la estática elemental y concluye con el diseño de una barra en tensión y un pasador en cortante directo.

Al trazar diagramas de cuerpo libre es útil hacer la diferencia entre re-acciones debidas a cargas y reacciones debidas a otras fuerzas aplicadas. Un esquema común es colocar una línea o línea inclinada, a través de la fl echa cuando representa una fuerza reactiva, como se ilustra en la fi gura 1.34 del siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.8

La armadura de dos barras ABC que se muestra en la fi gura 1.33 tiene soportes ar-ticulados en los puntos A y C, que están separados 2.0 m. Los elementos AB y BC son barras de acero, interconectadas por un pasador en el nodo B. La longitud de la barra BC es de 3.0 m. Un anuncio que pesa 5.4 kN está suspendido de la barra BC en los puntos D y E, que están ubicados a 0.8 m y 0.4 m, respectivamente, de los extremos de la barra.

Determine el área de la sección transversal necesaria de la barra AB y el diá-metro necesario del pasador en el soporte C si los esfuerzos permisibles en tensión y cortante son 125 MPa y 45 MPa, respectivamente. (Nota: los pasadores en los soportes están en cortante doble. Además, no tome en cuenta los pesos de los ele-mentos AB y BC.)

FIGURA 1.33 Ejemplo 1.8. Armadura de dos barras ABC que soportan un anuncio con peso W.

D EC

A

B

2.0 m

0.9 m

0.8 m

0.9 m

W = 5.4 kN0.4 m

Solución

Los objetivos de este ejemplo son determinar los tamaños necesarios de la barra AB y del pasador en el soporte C. Como primer punto, debemos determinar la fuerza de tensión en la barra y la fuerza cortante que atúa sobre el pasador. Estas cantidades se encuentran a partir de diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio.

Reacciones: iniciamos con un diagrama de cuerpo libre de la armadura com-pleta (fi gura 1.34a). En este diagrama mostramos todas las fuerzas que actúan sobre la armadura, que son, las cargas del peso del anuncio y las fuerzas reactivas ejercidas por los soportes de los pasadores en A y C. Cada reacción se muestra mediante sus componentes horizontal y vertical, mostrando la reacción resultante mediante una línea discontinua. (Observe el uso de líneas a través de las fl echas para distinguir las reacciones de las cargas).

La componente horizontal RAH de la reacción en el soporte A se obtiene su-mando momentos con respecto al punto C, como sigue (los momentos en sentido contrario al de las manecillas del reloj son positivos):

MC 0 RAH (2.0 m) (2.7 kN)(0.8 m) (2.7 kN)(2.6 m) 0

continúa



Resolviendo esta ecuación, obtenemos

RAH 4.590 kN

Enseguida sumamos las fuerzas en la dirección horizontal y tenemos

Fhoriz 0 RCH RAH 4.590 kN

Para obtener la componente vertical de la reacción en el soporte C podemos emplear un diagrama de cuerpo libre del elemento BC, como se muestra en la fi gura 1.34b. La suma de momentos con respecto al nodo B da la componente deseada de la reacción:

MB 0 RCV(3.0 m) (2.7 kN)(2.2 m) (2.7 kN)(0.4 m) 0

RCV 2.340 kN

Ahora regresamos al diagrama de cuerpo libre de la armadura completa (fi gura 1.34a) y sumamos fuerzas en la dirección vertical para obtener la componente ver-tical RAV de la reacción en A:

Fvert 0 RAV RCV 2.7 kN 2.7 kN 0

RAV 3.060 kN

FIGURA 1.34 Diagramas de cuerpo libre para el ejemplo 1.8.

2.7 kN

D EC

A

B

2.0 m

1.8 m

(a)

0.8 m

2.7 kNRCV

RCH

RC

RAV

RAH

RA

0.4 m 2.7 kN

DC E B

1.8 m

(b)

0.8 m

2.7 kNRCV

FAB

RCH

RC0.4 m

Como una verifi cación parcial de estos resultados, observamos que la razón RAV/RAH de las fuerzas que actúan en el punto A es igual a la razón de las componentes verti-cal y horizontal de la línea AB que es: 2.0 m/3.0 m o 2/3.

Conociendo las componentes horizontal y vertical de la reacción en A, pode-mos calcular la reacción misma (fi gura 1.34a):

RA (RAH)2 (RAV)2 5.516 kN

De manera similar, la reacción en el punto C se obtiene a partir de sus componentes RCH y RCV, como sigue:

RC (RCH)2 (RCV)2 5.152 kN

Fuerza de tensión en la barra AB. Como no tomamos en cuenta el peso de la barra AB, la fuerza de tensión FAB en la barra es igual a la reacción en A (consulte la fi gura 1.34):

FAB RA 5.516 kN

Fuerza cortante que actúa sobre el pasador en C. Esta fuerza cortante es igual a la reacción RC (consulte la fi gura 1.34); por tanto,

VC RC 5.152 kN

De esta manera, ahora hemos determinado la fuerza de tensión FAB en la barra AB y la fuerza cortante VC que actúa sobre el pasador en C.

Área necesaria de la barra. El área de la sección transversal necesaria de la barra AB se calcula dividiendo la fuerza de tensión entre el esfuerzo permisible, ya que el esfuerzo está distribuido uniformemente sobre la sección transversal (consul-te la ecuación 1.29):

AABs

F

perm

AB 51.25516

MkPNa

44.1 mm2

La barra AB se debe diseñar con un área de sección transversal igual o mayor que 44.1 mm2 a fi n de que soporte el peso del anuncio, que es la única carga que conside-ramos. Si se incluyen otras cargas en los cálculos, el área necesaria será mayor.

Diámetro necesario del pasador. El área de la sección transversal necesaria del pasador en C, el cual está en cortante doble, es

Apasador 2t

V

perm

C

25(.41552

MkPNa)

57.2 mm2

de donde podemos calcular el diámetro requerido:

dpasador 4Apasador /p 8.54 mm

continúa



Se necesita un pasador con al menos este diámetro para soportar el peso del anuncio sin sobrepasar el esfuerzo cortante permisible.

Notas: en este ejemplo, omitimos intencionalmente en los cálculos el peso de la armadura. Sin embargo, una vez que se conozcan los tamaños de los elementos, se pueden calcular sus pesos e incluirlos en los diagramas de cuerpo libre de la fi gura 1.34.

Cuando se incluyen los pesos de las barras, el diseño del elemento AB se com-plica, debido a que ya no es una barra en tensión simple. En cambio, es una viga so-metida tanto a fl exión como a tensión. Existe una situación análoga para el elemento BC. No sólo debido a su propio peso, sino también al peso del anuncio, el elemento BC está sometido tanto a fl exión como a compresión. El diseño de esos elementos debe esperar hasta que estudiemos los esfuerzos en vigas (capítulo 5).

En la práctica se tienen que considerar otras cargas además de los pesos de la armadura y del anuncio antes de tomar una decisión fi nal sobre los tamaños de las barras y de los pasadores. Las cargas que podrían ser importantes incluyen cargas por viento, cargas por sismo y los pesos de los objetos que tendrían que soportar de manera temporal la armadura y el anuncio.

FIGURA 1.34 (Repetida.)

2.7 kN

D EC

A

B

2.0 m

1.8 m

(a)

0.8 m

2.7 kNRCV

RCH

RC

RAVR

RAHR

RAR

0.4 m 2.7 kN

DC E B

1.8 m

(b)

0.8 m

2.7 kNRCV

FABFF

RCH

RC0.4 m

En el capítulo 1 aprendimos sobre las propiedades mecánicas de los materiales de cons-trucción. Calculamos esfuerzos y deformaciones unitarias normales en barras cargadas por cargas axiales centroidales y también esfuerzos y deformaciones unitarias en cortante (así como esfuerzos de soporte) en conexiones con pasador empleadas para ensamblar estructuras simples, como armaduras. También defi nimos los niveles permisibles del es-fuerzo a partir de factores de seguridad apropiados y utilizamos estos valores para deter-minar las cargas permisibles que se podrían aplicar a la estructura.

Algunos de los conceptos importantes presentados en este capítulo son los siguientes:

1. El objetivo principal de la mecánica de materiales es determinar los esfuerzos, las deformaciones unitarias y los desplazamientos en estructuras y sus componentes debidos a las cargas que actúan sobre ellos. Estos componentes incluyen barras con cargas axiales, ejes en torsión, vigas en fl exión y columnas en compresión.

2. Las barras prismáticas sometidas a cargas de tensión o compresión que actúan en el centroide de su sección transversal (para evitar la fl exión) experimentan esfuerzos y deformaciones normales y una extensión o bien una contracción proporcional a sus longitudes. Estos esfuerzos y deformaciones son uniformes excepto cerca de los puntos de aplicación de la carga donde se tienen esfuerzos o concentraciones de esfuerzos muy localizados.

3. Investigamos el comportamiento mecánico de varios materiales y trazamos el diagrama esfuerzo-deformación unitaria resultante, que representa información importante sobre el material. Los materiales dúctiles (como el acero dulce) tienen una relación inicial lineal entre el esfuerzo normal y la deformación unitaria normal (hasta el límite de proporcionalidad) y se dicen ser linealmente elásticos con el esfuerzo y la deformación unitaria relacionados por la ley de Hooke (s = E ∙ �); también tienen un punto de fl uencia bien defi nido. Otros materiales dúctiles (como aleaciones de aluminio) comúnmente no tienen un punto de fl uencia bien defi nido, por lo que se puede determinar un esfuerzo de fl uencia arbitrario empleando el método de desplazamiento.

4. Los materiales que fallan en tensión a valores relativamente bajos de deformación unitaria (como el concreto, piedra, fundición gris, la cerámica vidriada y una varie-dad de aleaciones metálicas) se clasifi can como frágiles. Los materiales frágiles fallan sólo con poco alargamiento después del límite de proporcionalidad.

5. Si el material permanece dentro del rango elástico, se puede cargar, descargar y volver a cargar sin cambiar signifi cativamente su comportamiento. Sin embargo, al cargar el material en el rango plástico su estructura interna se altera y cambian sus propiedades. El comportamiento al cargar y descargar los materiales depende de las propiedades de elasticidad y plasticidad del material, como el límite elástico y la posibilidad de (deformación residual) en el material. Las cargas sostenidas durante mucho tiempo pueden conducir a termofl uencia y relajación.

6. El alargamiento axial de las barras cargadas en tensión va acompañada de una con-tracción lateral; la relación entre la deformación unitaria lateral y la deformación uni-taria normal se conoce como relación de Poisson. Ésta permanece constante en todo el rango linealmente elástico, siempre que el material sea homogéneo e isotrópico. La mayoría de los ejemplos y problemas en el libro se resuelven con la suposición que el material es linealmente elástico, homogéneo e isotrópico.

7. Los esfuerzos normales actúan perpendiculares a la superfi cie del material y los es-fuerzos cortantes actúan tangenciales a la superfi cie. Investigamos conexiones con perno entre placas en las que los pernos se sometieron a cortante simple o bien a cortante doble, así como a esfuerzos de soporte promedio. Los esfuerzos de soporte actúan sobre la proyección rectangular de la superfi cie curva de contacto real entre un perno y una placa.

continúa

RESUMEN Y REPASO DEL CAPÍTULO

CAPÍTULO 1 Resumen y repaso del capítulo 55


8. Analizamos un elemento de material sometido a esfuerzos cortantes y deformacio-nes unitarias en cortante para estudiar un estado de esfuerzo referido como . Vimos que la deformación unitaria en cortante (g) es una medida de la distorsión o cambio de forma del elemento en cortante puro. Estudiamos la ley de Hooke en cortante en la que el esfuerzo cortante (t) está relacionado con la deformación unitaria en cortante mediante el módulo de elasticidad en corte (G), t = G ∙ g. Observamos que E y G están relacionados y por lo tanto no son propiedades elásticas independientes del material.

9. La resistencia es la capacidad de una estructura o componente para soportar o transmitir cargas. Los factores de seguridad relacionan la resistencia real con la resistencia requerida de los elementos estructurales y toman en cuenta una variedad de incertidumbres, como variaciones en las propiedades de los materiales, magnitu-des o distribuciones inciertas de las cargas, probabilidad de sobrecarga accidental, etcétera. Debido a estas incertidumbres, los factores de seguridad deben determi-narse empleando métodos probabilísticos.

10. Los esfuerzos de fl uencia o de nivel último se pueden dividir entre factores de se-guridad para producir valores permisibles para emplearlos en el diseño. Para un elemento conectado con un perno en tensión axial, la carga permisible depende del esfuerzo permisible multiplicado por el área adecuada (por ejemplo, área neta de la sección transversal para barras sometidas a cargas de tensión centroidales, área de la sección transversal de un pasador para pasadores en cortante y área proyectada para pernos en soporte). Si la barra está en compresión no es necesario emplear el área neta de la sección transversal, pero el pandeo puede ser una consideración importante.

11. Por último, consideramos el diseño, que es el proceso iterativo mediante el cual se determina el tamaño apropiado de los elementos estructurales para cumplir con una variedad de requisitos tanto de resistencia como de rigidez para una estructura par-ticu lar sometida a una variedad de cargas distintas. Sin embargo, la incorporación de factores de seguridad en el diseño no es asunto simple, debido a que los concep-tos tanto de resistencia como de falla pueden tener signifi cados distintos.

CAPÍTULO 1 Problemas 57

PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 1

Esfuerzo normal y deformación normal unitaria

1.2.1 Un poste circular hueco ABC (consulte la fi gura) sopor-ta una carga P1 = 1700 lb que actúa en su parte superior. Una segunda carga P2 está distribuida uniformemente alrededor de la placa de cubierta del poste en B. El diámetro y el espesor de las partes superior e inferior del poste son dAB = 1.25 in, tAB = 0.5 in, dBC = 2.25 in y tBC = 0.375 in, respectivamente.

(a) Calcule el esfuerzo normal sAB en la parte superior del poste.

(b) Si se desea que la parte inferior del poste tenga el mis-mo esfuerzo de compresión que la parte superior, ¿cuál será la magnitud de la carga P2?

(c) Si P1 permanece en 1700 lb y P2 ahora se fi ja en 2260 lb, ¿qué espesor nuevo de BC resultará en el mismo esfuerzo de compresión en las dos partes?

1.2.2 Un ciclista aplica una fuerza P de 70 N al freno de mano frontal de una bicicleta (P es la resultante de una presión dis-tribuida uniformemente). Conforme el freno de mano gira en A, se desarrolla una tensión T en el cable con longitud de 460 mm (Ae = 1.075 mm2) que se estira en d = 0.214 mm. Deter-mine el esfuerzo normal s y la deformación unitaria � en el cable del freno.

PROB. 1.2.1

PROB. 1.2.2

50 mm

100 mm

P (resultante de la presión distribuida)

A

Pivote A del freno de mano Cable del freno, L = 460 mm

37.5 mmT

Presión uniforme del freno de mano

A

B

C

P1

dAB

tAB

dBC

tBC

P2


1.2.3 Un ciclista quiere comparar el efectividad de los frenos de cantilever [consulte la fi gura (a)] con los frenos en “V” [parte (b) de la fi gura].

(a) Calcule la fuerza de frenado RB en los rines del neu-mático para cada uno de los sistemas de frenado de las bici-cletas. Suponga que todas las fuerzas actúan en el plano de la fi gura y que la tensión del cable T = 45 lb. También calcule cuál es el esfuerzo normal de compresión promedio sc en la almohadilla del freno (A = 0.625 in2).

(b) Para cada sistema de frenado, ¿cuál es el esfuerzo en el cable del freno (suponga un área de la sección transversal efectiva de 0.00167 in2)?

(Sugerencia: debido a la simetría, sólo necesita emplear la mitad de cada fi gura en su análisis).

PROB. 1.2.3

1.2.4 Un tubo circular de aluminio con longitud L = 400 mm está cargado en compresión por fuerzas P (consulte la fi gura). Los diámetros interior y exterior son 60 mm y 50 mm, respec-tivamente. Se coloca un deformímetro en el exterior de la barra para medir las deformaciones unitarias normales en la di rección longitudinal.

(a) Si la deformación unitaria es � = 550 × 10 –6, ¿cuál es el acortamiento d de la barra?

(b) Si el esfuerzo de compresión en la barra se propone sea de 40 MPa, ¿cuál debe ser la carga P?

PROB. 1.2.4

1.2.5 En la siguiente fi gura se muestra la sección transversal de una columna de esquina de concreto que está cargada uni-formemente en compresión.

Deformímetro

L = 400 mm

PP

TDCv

2 in

4 in45°

90°5 in

Puntos pivote anclados en el marco

1 in

1 in

HA

RB

VA

TDC

TDCh

TDETDE

TDC = TDE

TD

C

B

G

F

A

E

(a) Frenos en cantilever

4.25 in

4 in

1 inHA

RB

VA

T T

B

T

DC

F A

E

Frenos en “V”

Puntos pivote anclados en el marco


(a) Determine el esfuerzo de compresión promedio sc en el concreto si la carga es igual a 3200 k.

(b) Determine las coordenadas xc y yc del punto donde la carga resultante debe actuar a fi n de producir un esfuerzo normal uniforme en la columna.

un ángulo a = 20° con la horizontal y el alambre 2 forma un ángulo b = 48°. Los dos alambres tienen un diámetro de 30 milésimas. (Los diámetros del alambre, con frecuencia, se expresan en milésimas de pulgada; una milésima es igual a 0.001 in).

Determine los esfuerzos de tensión s1 y s2 en los dos alambres.

PROB. 1.2.5

1.2.6 Un carro que pesa 130 kN, cuando está completamente cargado, se jala lentamente hacia arriba por una pista inclinada mediante un cable de acero (consulte la fi gura). El cable tiene un área de sección transversal efectiva de 490 mm2 y el ángulo a de la inclinación es 30°.

Calcule el esfuerzo de tensión st en el cable.

PROB. 1.2.6

1.2.7 Dos alambres de acero soportan una cámara móvil suspendida que pesa W = 25 lb (consulte la fi gura), emplea-da para hacer acercamientos de las acciones en el campo en eventos deportivos. En un instante dado, el alambre 1 forma

PROB. 1.2.7

1.2.8 Un muro de retención de gran longitud está apuntalado con puntales de madera dispuestos en un ángulo de 30° y so-portados por bloques de empuje de concreto, como se muestra en la primera parte de la fi gura. Los puntales están espaciados uniformemente a 3 m.

Para fi nes de análisis, la pared y los puntales se idealizan como se muestra en la segunda parte de la fi gura. Observe que la base del muro y los dos extremos de los puntales se supone que están articulados. La presión del suelo contra el muro se supone distribuida triangularmente y la fuerza resultante que actúa sobre una longitud de 3 m del muro es F = 190 kN.

Si cada puntal tiene una sección transversal cuadrada de 150 mm × 150 mm, ¿cuál es el esfuerzo de compresión sc en los puntales?

PROB. 1.2.8

8 in

y

x

20 in

20 in

16 in

8 in

24 in

Cable

a

Muro de retención

Puntal

30° 30°

Bloque de empuje

de concreto

Suelo

4.0 m

0.5 m

F

B

C

A

1.5 m

T2

W

ab

T1


1.2.9 Una puerta trasera de una camioneta soporta una caja (WC = 150 lb), como se muestra en la fi gura siguiente. La puerta pesa WT = 60 lb y está soportada por dos cables (sólo se muestra uno en la fi gura). Cada cable tiene un área transver-sal efectiva Ae = 0.017 in2).

(a) Encuentre la fuerza de tensión T y el esfuerzo normal s en cada cable.

(b) Si cada cable se estira d = 0.01 in debido al peso tanto de la caja como de la puerta, ¿cuál es la deformación unitaria promedio en el cable?

*1.2.11 Una losa de concreto en forma de “L” de 12 ft × 12 ft (pero con un corte de 6 ft × 6 ft) y espesor t = 9.0 in, se levanta mediante tres cables sujetos en los puntos O, B y D, como se muestra en la fi gura. Los cables se juntan en el punto Q, que está 7 ft arriba de la superfi cie de la losa y directamente arriba del centro de masa en el punto C. Cada cable tiene un área transversal efectiva Ae = 0.12 in2.

(a) Determine la fuerza de tensión Ti (i = 1, 2, 3) en cada cable debido al peso W de la losa de concreto (no tome en cuenta el peso de los cables).

(b) Determine el esfuerzo promedio si en cada cable. (Consulte la tabla H-1 del apéndice H para obtener el peso específi co del concreto reforzado).

PROBS. 1.2.9 y 1.2.10

1.2.10 Resuelva el problema anterior si la masa de la puerta trasera es MT = 27 kg y la de la caja es MC = 68 kg. Utilice las dimensiones H = 305 mm, L = 406 mm, dC = 460 mm y dT = 350 mm. El área transversal del cable es Ae = 11.0 mm2.

(a) Encuentre la fuerza de tensión T y el esfuerzo normal s en cada cable.

(b) Si cada cable se estira d = 0.25 mm debido al peso tanto de la caja como de la puerta, ¿cuál es la deformación unitaria promedio en el cable?

PROB. 1.2.10

PROB. 1.2.11

Cable

dT = 14 in

L = 16 in

WT = 60 lb

WC = 150 lbdc = 18 in

Puerta traseraCamioneta

H = 12 in

Caja

Cable

dT = 350 mm

L = 406 mm

MT = 27 kg

MC = 68 kgdc = 460 mm

Puerta trasera

Caja

Camioneta

H = 305 mm

6 ft 6 ft

6 ft

Coordenadas de D en ft

D (5, 12, 0)

C (5, 5, 0)

W

Q(5, 5, 7)

F

T1

T2

T3

B (12, 0, 0)

O(0, 0, 0)

z

x

y

5

5

5

7

7

7

11

lbft3

—Losa de concreto g = 150

Espesor t, centro de gravedad (5 ft, 5 ft, 0)


x

P

TAQ

TBQ

C

OB

A

Q

55°

2

5 m

m 3m 5

2 m2 m

5 m

21

D

y

z

Agu

ilón

de la

grú

a

L = 100 ft

Torre de soporte

B

WB WC

C

DA

DC

DBu3

u2

u1

*1.2.12 Una barra redonda ACB de longitud 2L (consulte la fi gura) gira con respecto a un eje que pasa por el punto medio C, con una velocidad angular constante s (radianes por segun-do). El material de la barra tiene un peso específi co g.

(a) Deduzca una fórmula para el esfuerzo de tensión sx en la barra como una función de la distancia x desde el punto medio C.

(b) ¿Cuál es el esfuerzo de tensión máximo smáx?

(a) Determine las fuerzas de tensión en cada cable: TAQ y TBQ (kN); no tome en cuenta la masa de los cables, pero inclu-ya la masa del aguilón además de la carga P.

(b) Determine el esfuerzo promedio (s) en cada cable.

1.2.13 Dos góndolas en un teleférico están aseguradas en la posición que se muestra en la fi gura mientras se hacen repa-raciones en otro lugar. La distancia entre las torres de soporte es L = 100 ft. La longitud de cada segmento de cable sobre las góndolas que pesan WB = 450 lb y WC = 650 lb son DAB = 12 ft, DBC = 70 ft y DCD = 20 ft. El pandeo del cable en B es ΔB = 3.9 ft y en C(ΔC) es 7.1 ft. El área de la sección transversal efectiva del cable es Ae = 0.12 in2.

(a) Encuentre la fuerza de tensión en cada segmento de cable; no tome en cuenta la masa del cable.

(b) Encuentre el esfuerzo promedio (s) en cada segmen-to de cable.

PROB. 1.2.12

1.2.14 Un aguilón de una grúa tiene una masa de 450 kg con su centro de masa en C estabilizado por dos cables AQ y BQ (Ae = 304 mm2 para cada cable) como se muestra en la fi gura. Una carga P = 20 kN está soportada en el punto D. El aguilón de la grúa yace en el plano y-z.

PROB. 1.2.13

Propiedades mecánicas y diagramas esfuerzo-deformación unitarias

1.3.1 Imagine que un alambre largo de acero cuelga vertical-mente desde un globo a gran altura.

(a) ¿Cuál es la longitud máxima (ft) que puede tener el alambre sin fl uencia si el acero fl uye a 40 ksi?

(b) Si el mismo alambre cuelga de un barco en alta mar, ¿cuál es la máxima longitud? (Obtenga los pesos específi co del acero y del agua de mar de la tabla H.1 del apéndice H).

1.3.2 Imagine que un alambre largo de tungsteno cuelga ver-ticalmente de un globo a gran altitud.

(a) ¿Cuál es la máxima longitud (metros) que puede tener sin que se rompa el alambre, si la resistencia última (o resis-tencia de ruptura) es 1500 MPa?

(b) Si el mismo alambre cuelga de un barco en alta mar, ¿cuál es la mayor longitud? (Obtenga los pesos específi cos del tungsteno y del agua de mar de la tabla H.1 del apéndice H.)

PROB. 1.2.14

CA B

L L

x

v


1.3.3 Se prueban tres materiales diferentes, designados A, B y C, se ensayan en tensión empleando muestras de ensayo que tienen diámetros de 0.505 in y longitudes calibradas de 2.0 in (consulte la fi gura). En la falla, se ve que las distancias entre las marcas de calibración son 2.13, 2.48 y 2.78 in, respecti-vamente. También, se observa que en la falla las secciones transversales de los diámetros tienen 0.484, 0.398 y 0.253 in, respectivamente.

Determine la elongación porcentual y el porcentaje de reducción en el área de cada muestra y luego, utilice su propio juicio e indique si cada material es frágil o dúctil.

PROB. 1.3.3

1.3.4 La razón entre resistencia y peso de un material estruc-tural se defi ne como su capacidad de soporte de carga dividida entre su peso. Para materiales en tensión, podemos emplear un esfuerzo de tensión característico (como se obtiene de una curva esfuerzo-deformación unitaria) como una medida de re-sistencia. Por ejemplo, se podría emplear el esfuerzo de fl uen-cia o bien el esfuerzo último, dependiendo de la aplicación particular. Así, la razón entre resistencia y peso RS/W para un material en tensión se defi ne como

RS/W = s

g

donde s es el esfuerzo característico y g es el peso específi co. Observe que la relación tiene unidades de longitud.

Empleando el esfuerzo último sU como el parámetro de la resistencia, calcule la razón entre resistencia y peso (en unida-des de metros) para cada uno de los materiales siguientes: alea-ción de aluminio 6061-T6, abeto Douglas (en fl exión), nailon, acero estructural ASTM-A572 y aleación de titanio. (Obtenga las propiedades de los materiales de las tablas H.1 y H.3 del apéndice H. Cuando en una tabla se da un rango de valores, utilice el valor promedio).

1.3.5 Una armadura simétrica que consiste en tres barras ar-ticuladas, está cargada por una fuerza P (consulte la fi gura). El ángulo entre las barras inclinadas y la horizontal es a = 48°. La deformación unitaria axial en medio de la barra se mide y resulta que es 0.0713.

Determine el esfuerzo de tensión en las barras exteriores si están construidas de una aleación de aluminio que tiene un diagrama esfuerzo-deformación unitaria como se muestra en la fi gura 1.13. (Exprese el esfuerzo en unidades inglesas).

P

D

A B Ca

PROB. 1.3.5

1.3.6 Una muestra de un plástico metacrilato se ensaya en tensión a temperatura ambiente (consulte la fi gura), produ-ciendo los datos de esfuerzo-deformación unitaria que se lis-tan en la tabla siguiente.

Trace la curva esfuerzo-deformación unitaria y deter-mine el límite de proporcionalidad, el módulo de elasticidad (es decir, la pendiente de la parte inicial de la curva esfuerzo-deformación unitaria) y el esfuerzo de fl uencia a un desplaza-miento de 0.2 por ciento. ¿Es dúctil o frágil el material?

PROB. 1.3.6

Longitud calibradaP

P

P

P

Esfuerzo (MPa)

8.0 0.003217.5 0.007325.6 0.011131.1 0.012939.8 0.0163

44.0 0.018448.2 0.020953.9 0.026058.1 0.033162.0 0.042962.1 Fractura

Deformaciónunitaria


*1.3.7 Los datos de la tabla siguiente se obtuvieron de un en-sayo en tensión con acero de alta resistencia. La muestra de ensayo tenía un diámetro de 0.505 in y una longitud calibrada de 2.00 in. (Consulte la fi gura para el problema 1.3.3). En la fractura, el alargamiento entre las marcas de calibración fue 0.12 in y el diámetro mínimo fue 0.42 in.

Trace la curva esfuerzo-deformación unitaria convencio-nal para el acero y determine el límite proporcional, el módulo de elasticidad (es decir, la pendiente de la parte inicial de la curva esfuerzo-deformación unitaria), el esfuerzo de fl uencia a un desplazamiento de 0.1 por ciento y la reducción porcen-tual del área.

¿Cuál es la diferencia entre la longitud fi nal de la barra y su longitud original? (Sugerencia: utilice los conceptos ilus-trados en la fi gura 1.18b).

PROB. 1.4.1

1.4.2 Una barra con una longitud de 2.0 in está hecha de un acero estructural que tiene un diagrama esfuerzo-deformación unitaria como se muestra en la fi gura. El esfuerzo de fl uencia del acero es 250 MPa y la pendiente de la parte inicial lineal de la curva esfuerzo-deformación unitaria (módulo de elasti-cidad) es 200 GPa. La barra se carga axialmente hasta que se alarga 6.5 mm y luego se quita la carga.

¿Cuál es la diferencia entre la longitud fi nal de la barra y su longitud original? (Sugerencia: utilice los conceptos ilus-trados en la fi gura 1.18b).

(ksi)

0

60

40

20

0.002 600.00 0.004

s

e

PROB. 1.4.2

(MPa)

0

300

200

100

0.002 600.00 0.004

s

e

Elasticidad y plasticidad

1.4.1 Una barra de acero estructural que tiene el diagrama esfuerzo-deformación unitaria que se muestra en la fi gura tie-ne una longitud de 48 in. El esfuerzo de fl uencia del acero es 42 ksi y la pendiente de la parte inicial lineal de la curva esfuerzo-deformación unitaria (módulo de elasticidad) es 30 × 103 ksi. La barra se carga axialmente hasta que se alarga 0.20 in y luego se quita la carga.

Carga (lb)

1,000 0.0002 2,000 0.0006 6,000 0.0019

10,000 0.003312,000 0.003912,900 0.004313,400 0.004713,600 0.005413,800 0.006314,000 0.009014,400 0.010215,200 0.013016,800 0.023018,400 0.033620,000 0.050722,400 0.110822,600 Fractura

Alargamiento (in)


1.4.3 Una barra de aluminio tiene una longitud L = 5 ft y un diámetro d = 1.25 in. La curva esfuerzo-deformación unitaria para el aluminio se muestra en la fi gura 1.13 de la sección 1.3. La parte inicial en línea recta de la curva tiene una pendiente (módulo de elasticidad) de 10 × 106 psi. La barra está cargada por fuerzas de tensión P = 39 k y luego se descarga.

(a) ¿Cuál es la deformación permanente de la barra?(b) Si la barra se vuelve a cargar, ¿cuál es el límite de

proporcionalidad? (Sugerencia: utilice los conceptos ilustra-dos en las fi guras 1.18b y 1.19.)

1.4.4 Una barra circular de una aleación de magnesio tiene una longitud de 750 mm. El diagrama esfuerzo-deformación unitaria para el material se muestra en la fi gura. La barra se carga en tensión hasta obtener un alargamiento de 6.0 mm y luego se quita la carga.

(a) ¿Cuál es la deformación permanente de la barra?(b) Si la barra se vuelve a cargar, ¿cuál es el límite de

proporcionalidad? (Sugerencia: utilice los conceptos ilustra-dos en las fi guras 1.18b y 1.19.)

(c) Si se quitan las fuerzas, ¿cuál es la deformación per-manente de la barra?

(d) Si se aplican de nuevo las fuerzas, ¿cuál es el límite de proporcionalidad?

Ley de Hooke y relación de Poisson

Al resolver los problemas de la sección 1.5, suponga que el material se comporta de manera linealmente elástica.

1.5.1 Una barra de acero de alta resistencia que se usa en una grúa grande tiene un diámetro d = 2.00 in (consulte la fi gura). El acero tiene un módulo de elasticidad E = 29 × 10 6 psi y una relación de Poisson n = 0.29. Debido a requisitos de hol-gura, el diámetro de la barra está limitado a 2.001 in, cuando se comprime por fuerzas axiales.

¿Cuál es la carga máxima de compresión Pmáx permi-tida?

PROB. 1.5.1

1.5.2 Una barra redonda de 10 mm de diámetro está hecha de una aleación de aluminio 7075-T6 (consulte la fi gura). Cuando la barra se estira por fuerzas axiales P, su diámetro disminuye 0.016 mm.

Determine la magnitud de la carga P. (Obtenga las pro-piedades del material del apéndice H.)

PROB. 1.5.2

1.5.3 Una barra de polietileno tiene un diámetro d1 = 4.0 in, y se coloca dentro de un tubo de acero que tiene un diámetro interior d2 = 4.01 in (consulte la fi gura). Luego la barra de polietileno se comprime por una fuerza axial P.

*1.4.5 Un alambre con longitud L = 4 ft y diámetro d = 0.125 in se estira mediante fuerzas de tensión P = 600 lb. El alambre está hecho de una aleación de cobre que tiene una relación esfuerzo-deformación unitaria que se puede describir matemáticamente mediante la ecuación siguiente:

s 1

18,0

3

0

0

0

0

e

e0 e 0.03 (s ksi)

en donde � es adimensional y s tiene unidades de kips por pulgada cuadrada (ksi).

(a) Elabore un diagrama esfuerzo-deformación unitaria para el material.

(b) Determine la elongación del alambre debida a las fuerzas P.

PROBS 1.4.3 y 1.4.4

Pd

P

d = 10 mm

7075-T6

PP

(MPa)

00

200

100

0.005 0.010

s

e


¿Cuál es el valor de la fuerza P que hará que se cierre el espacio entre la barra de polietileno y el tubo de acero? (Para el polietileno suponga E = 200 ksi y n = 0.4.)

PROB. 1.5.3

1.5.4 Una barra prismática con una sección transversal circu-lar se somete a fuerzas de tensión P = 65 kN (consulte la fi gura). La barra tiene una longitud L = 1.75 m, un diámetro d = 32 mm y está hecha de una aleación de aluminio con un módulo de elasticidad E = 75 GPa y una relación de Poisson n = 1/3.

Determine el incremento en la longitud de la barra y el decremento porcentual en el área de su sección transversal.

PROBS 1.5.4 y 1.5.5

1.5.5 Una barra de metal monel tiene una longitud L = 9 in, un diámetro d = 0.225 in, como se muestra en la fi gura anterior. La barra se somete a una carga axial mediante una fuerza de tensión P. Si la barra se alarga en 0.0195 in, ¿cuál es el decremento en su diámetro d? ¿Cuál es la magnitud de la carga P? utilice los datos de la tabla H.2 del apéndice H.

1.5.6 Se lleva a cabo un ensayo de tensión en una probeta de bronce que tiene un diámetro de 10 mm utilizando una longi-tud calibrada de 50 mm (consulte la fi gura). Cuando una carga de tensión P alcanza un valor de 20 kN, la distancia entre las marcas de calibración aumenta 0.122 mm.

(a) ¿Cuál es el módulo de elasticidad E del bronce?(b) Si el diámetro disminuye 0.00830 mm, ¿cuál es la

relación de Poisson?

PROB. 1.5.6

1.5.7 Un tubo circular hueco de bronce ABC (consulte la fi -gura) soporta una carga P1 = 26.5 kips que actúa en su parte superior. Una segunda carga P2 = 22.0 kpis está distribuida uniformemente alrededor de la placa de soporte en B. Los diá-metros y espesores de las partes superior e inferior del tubo son dAB = 1.25 in, tAB = 0.5 in, dBC = 2.25 in y tBC = 0.375 in, respectivamente. El módulo de elasticidad es 14 000 ksi. Cuando se aplican las dos cargas, el espesor del tubo BC au-menta en 200 × 10 –6 in.

(a) Determine el aumento en el diámetro interior del seg-mento BC del tubo.

(b) Determine la relación de Poisson para el bronce.(c) Determine el aumento en el espesor de la pared del

segmento AB del tubo y el aumento en el diámetro interior del segmento AB.

PROB. 1.5.7

d2d1

Tubo de acero

Barra de polietileno

d PP

L

10 mm

PP50 mm

P2

dAB

tAB

dBC

tBC

A

B

C

Placa de soporte

P1


*1.5.8 Una barra de bronce con longitud de 2.25 m y sección transversal cuadrada de 90 mm por lado, se somete a una fuer-za axial de tensión de 1500 kN (consulte la fi gura). Suponga que E = 110 GPa y n = 0.34.

Determine el aumento del volumen de la barra.

PROB. 1.5.8

Esfuerzo cortante y deformación unitaria cortante

1.6.1 Una ménsula formada con un perfi l angular tiene un espesor t = 0.75 in y está unida al patín de una columna me-diante dos pernos de 5/8 in de diámetro (consulte la fi gura). Una carga distribuida uniformemente de una viga de piso ac-túa sobre la cara superior de la ménsula con una presión p = 275 psi. La cara superior de la ménsula tiene una longitud L = 8 in y un ancho b = 3.0 in.

Determine la presión de soporte promedio sb entre la ménsula de ángulo y los pernos, y el esfuerzo cortante prome-dio tprom en los pernos. (No tenga en cuenta la fricción entre la ménsula y la columna.)

1.6.2 Los elementos de soporte de una armadura que sostie-ne un techo están conectados a una placa de unión de 26 mm de espesor mediante un pasador con un diámetro de 22 mm, como se muestra en la fi gura y fotografía siguientes. Cada una de las dos placas extremas en los elementos de la armadura tiene un espesor de 14 mm.

(a) Si la carga P = 80 kN, ¿cuál es el esfuerzo de soporte mayor que actúa sobre el pasador?

(b) Si el esfuerzo cortante último para el pasador es 190 MPa, ¿cuál es la fuerza Púlt que se requiere para que el pasador falle en cortante?

(No tenga en cuenta la fricción entre las placas.)

PROB. 1.6.2

PROB. 1.6.1

Elementos de la armadura que sostiene un techo

90 mm90 mm

1500 kN

2.25 m

1500 kN

Ménsula de ángulo

L

b

t

P

Vigeta de piso

Losa de piso

Ménsula de ángulo

DiPresión distribuida sobre la mensula de ángulo

Estructura del techo

Elemento de la armadura

t = 14 mm

26 mm

Pasador

PPlacas extremas

Placade unión

P


1.6.3 La plataforma superior de un estadio de futbol está so-portada por puntales que transfi eren cada uno una carga P = 160 kips a la base de una columna [consulte la parte (a) de la fi gura]. Una placa de soporte en la parte inferior del puntal distribuye la carga P a cuatro planchas de ala (tf = 1 in) me-diante un perno (dp = 2 in) a dos placas de unión (tg = 1.5 in) [consulte las partes (b) y (c) de la fi gura].

Determine las cantidades siguientes.(a) El esfuerzo cortante promedio tprom en el pasador(b) El esfuerzo de soporte promedio entre las planchas

de ala y el pasador (sbf) y entre las placas de unión y el pasa-dor (sbg).

(No tome en cuenta la fricción entre las placas.)

PROB. 1.6.3

(a) Puntal del estadio

(b) Detalle en la parte inferior del puntal

(c) Sección por la parte inferior del puntal

Placa de soporte

Pasador ( dp = 2 in)

Planchas de ala (tf = 1 in)

Placa de unión (tg = 1.5 in)

Placa de soporte

Pasador (dp = 2 in)

Planchas de ala (tf = 1 in)

Placa de unión (tg = 1.5 in)

P

P/2 P/2

P = 160 k

P

tensión, compresión y cortante -...

Documents