::. UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO .:: XX CONCURSO UNIVERSITARIO FERIA DE LAS CIENCIAS

MATEMÁTICAS ÁREA

LOCAL CATEGORÍA

INVESTIGACIÓN EXPERIMENTAL MODALIDAD

FUNCIÓN EXPONENCIAL DEL PÉNDULO TÍTULO DEL TRABAJO

0548211 FOLIO DE INSCRIPCIÓN

AJEM PSEUDÓNIMO DE INTEGRANTES

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XX Concurso Universitario

Feria de las Ciencias

Función Exponencial del Péndulo.

Área: Matemáticas

Categoría: Local

Modalidad: Investigación experimental

Pseudónimo: AJEM

Abril 2012

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XX Concurso Universitario

Feria de las Ciencias

Función Exponencial del Péndulo

Resumen:

La utilización del “Cálculo Gráfico” ha sido muy importante en la solución de problemas que se presentan en el trabajo del estudiante, al técnico y al profesional.

Muchas fórmulas que se emplean en las ciencias y en los procesos industriales son empíricas, ya que nos ayudan a descubrir leyes que relacionan las variables que intervienen en un fenómeno.

En el trabajo experimental que realizamos sobre el movimiento pendular, efectuamos medidas de la amplitud contra tiempo de oscilación con la finalidad de encontrar una relación matemática entre las variables mencionadas.

Pseudónimo: AJEM

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Función Exponencial del Péndulo

Introducción

Marco teórico En el tema de estudio que realizaremos se encuentran involucrados los conocimientos siguientes:

• Amplitud del péndulo.- Máxima separación de su posición de equilibrio.

• Periodo del péndulo.- Tiempo de una oscilación completa.

O  

02: Posición de equilibrio

L : Longitud del péndulo

T12321: Periodo

• Función.- Relación entre dos variables, tal que a cada valor de la primera variable le corresponde uno y sólo un valor de la segunda variable.

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Función Exponencial (Lipka, p.179)

C                     

• Leyes de los Logaritmos

Log AB = log A + log B

Log A/B= log A – log B

Log Aⁿ = nlog A

• Trazado de gráficas en papel: milimétrico, logarítmico y semilogarítmico

Pendiente y ecuación de la recta.

m=   

 

b  y‐y1= m (x‐x1) punto ‐ pendiente y= mx + b pendiente ‐ ordenada al origen 

 

      

Pendiente y ecuación de la recta en papel semilogarítmico

m=                

Método de Mínimos Cuadrados

Recta representativa de los datos experimentales  

Y =bx+a  

Donde:  

b= pendiente  

a= Ordenada al origen 6 

Resolución de ecuaciones simultaneas.

Métodos:  

• Suma y resta 

• Igualación 

• Sustitución 

• Determinantes  

   

Relación entre los logaritmos de Brigg (base 10) y neperianos o naturales (Base e= 2.718281828…..)

log N = log e ln N Objetivo. Encontrar una relación matemática entre la amplitud de un péndulo largo y el tiempo de una oscilación completa.

Planteamiento del problema. Después de enterarnos que existen varias relaciones matemáticas que relacionan las diferentes variables que intervienen en el movimiento del péndulo, como son: amplitud (A), periodo (T), longitud (L), etc. Y que algunas de estas relaciones están representadas por fórmulas matemáticas incluidas en la unidad 3 (la derivada ubicada en el programa de matemática 6o año (área III) de la ENP, nos interesamos en investigar si existe alguna relación matemática entre la amplitud y el periodo de un péndulo.

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Hipótesis Comprobar que entre la amplitud y el periodo de un péndulo largo existe una relación "Función exponencial"

Metodología (Procedimientos)

Desarrollo experimental Se coloca un clavo de concreto en la pared y un transportador de madera, como se muestra en la figura. Luego con un hilo se improvisa un péndulo simple de 1m de longitud y una pesa pequeña. A continuación se coloca el péndulo con una amplitud de 80° (posición A) y se toma el tiempo en segundos en que realiza la 1ra oscilación completa ABCBA, así como los tiempos correspondientes a las nueve oscilaciones consecutivas siguientes.

A continuación se muestran las mediciones obtenidas, en donde T es el tiempo de duración de cada oscilación y A es la amplitud en grados. Se dan las tabulaciones T - A, las graficas en papel milimétrico, logarítmico y semilogarítmico, así como la función exponencial que representa la relación entre la amplitud (A) y el periodo T.

Tabulación de la amplitud (A) y el periodo (T) obtenidos de la actividad experimental.

Trazado de gráficas. A continuación graficamos la amplitud (A) contra el periodo (T), en el papel milimétrico, logarítmico, y semilogarítmico.

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Log A

Análisis Matemático

Método de Mínimos Cuadrados

Corrección de los puntos experimentales, por el método de los mínimos cuadrados, para obtener la mejor curva representativa y su ecuación.

La recta representativa de los datos experimentales está dada por la ecuación:

LogA = mT + a …………………. E  

Siendo “m” la pendiente de la recta y “a” la ordenada al origen.

Los mejores valores de las constantes ”m” y “a” se pueden obtener con las ecuaciones siguientes:

∑ logA = an + m∑ T

∑TlogA = a∑T + m∑T² 1  

Donde n = al número de observaciones

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OSCILACIÓN T log A T log A T² 1 1.93 1.86923172 3.607617219 3.7249 2 3.74 1.857332496 6.946423537 13.9876 3 6.06 1.838849091 11.14342549 36.7236 4 8.30 1.826074803 15.15642086 68.89 5 10.50 1.806179974 18.96488973 110.25 6 12.74 1.79239169 22.83507012 162.3076 7 14.97 1.77815125 26.61892422 224.1009 8 17.21 1.763427994 30.34859577 296.1841 9 19.32 1.748188027 33.77499268 373.2624 10 21.51 1.73239376 37.26378977 462.6801 ∑ 116.28 18.01222081 206.6661494 1752.1112

Sustituyendo los valores de la tabla anterior en 1

18.01222081 = 10a + 116.28m…………………………………………….2

206.6661494 = 116.28a + 1752.1112m………………………………..3

Resolviendo estas ecuaciones por el método de sustitución:

De 2 : a = 1.801222081 – 11.628m………………………………..4

y sustituyendo de “a” en 3:

206.6661494 = 116.28(1.801222081 – 11.628m) + 1752.1112m

= 209.4461036 – 1352.10384m + 1752.1112m

= 209.4461036 + 400.00736m

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m = = −6.94957624 x10-3

= −0.00694957624…………………………………5

Sustituyendo 5 en 4:

a = 1.801222081 – 11.628(−0.00694957624)

= 1.801222081 + 0.080809672

= 1.882031754

Ahora sustituyendo “a” y “m” en E nos queda:

log A = −0.00694957624T + 1.882031754

log A = 1.882031754 – 0.00694957624T La Ecuación de la recta en papel 

semi‐logarítmico.      

 Sustituyendo log A = log e ln A tenemos:

log e ln A = 1.882031754 – 0.00694957624 T

Despejando ln A:

ln A =

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=

ln A = 4.33353827 – 0.01600199T

Considerando el antilogaritmo natural de 4.33353827 que es 76.21347391 nos queda:

ln A = ln 76.21347391– 0.01600199

y aplicando las propiedades de los logaritmos:

ln A = ln 76.21347391 – 0.01600199T ln e

= ln 76.21347391 + ln e-0.01600199T

Que resulta al aplicar antilogaritmos:

Ecuación 

exponencial 

del péndulo 

 

 

A = 76.21347391 e-0.01600199T

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Resultados

1) De la actividad experimental tenemos como resultados valores de la amplitud (A) en grados y el tiempo de oscilación (periodo t) en segundos correspondientes al movimiento pendular.

2) De las gráficas nos dimos cuenta que los puntos experimentales corresponden y de manera aproximada a una línea recta en el papel semilogarítmico la cual tiene por pendiente y ecuación las expresiones matemáticas siguientes:

Pendiente (m)= log74 – log56 1.93 – 19.32 Log A – log74= log74 – log56 (T - 1.93) 1.93 - 19.32

3) Del análisis matemático obtuvimos que la ecuación representativa de la recta en el papel semilogarítmico es:

Log A = 1.882 – 0.00695T  Expresado con logaritmos 

decimales    

Ln A = 4.33 – 0.016T  Expresado con logaritmos 

neperianos      

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4) De la corrección realizada con el “Método de mínimos cuadrados” y las leyes de los logaritmos obtuvimos como resultado la función exponencial del péndulo.

A= 76.21 e‐0.016T                                                       

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Análisis e interpretación de resultados.

• Los valores de amplitud (A) y periodo (T) que obtuvimos fueron medidas al ser captados (fotografiados) por medio de una cámara digital por lo que estuvieron sujetos a la habilidad de quienes caparon las imágenes, así como de quien tomó los tiempos con cronómetro.

• En la gráfica en el papel semilogarítmico se consideró que los puntos estaban en la dirección de la línea recta, ya que la mayoría de los puntos coinciden sobre una misma dirección.

• Con la finalidad de evitar algún error en la obtención de la ecuación de la gráfica (considerada en el papel semilogarítmico) por exceso de confianza al considerar que todos los puntos experimentales están en una línea recta y dar por hecho que su pendiente es realmente la que puede obtenerse con dos de sus puntos nos avocamos a rectificarlos por medio del “método de mínimos cuadrados”.

• Los resultados que obtuvimos, consideramos son congruentes y verifican las hipótesis planteadas, ya que se obtuvo la ecuación empírica que representa “La función exponencial del péndulo.

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Conclusiones. Consideramos que:

1. Se ha cumplido con el objetivo planeado.

2. Hemos logrado satisfacer nuestro interés a través de la investigación, de que existe una relación matemática entre la amplitud de un péndulo largo y el periodo del mismo.

3. Comprobamos la hipótesis de que la relación entre la amplitud y el periodo de un péndulo es una “Función Exponencial”

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Fuentes de información.

o Serway, A.R. Faughn S.T física. Prentice. México 1995 o Fuenlabrada, S. Geometría Analítica. Mc Gyaw Hill.

México 2009 o Fippens, E.P. Conceptos y aplicaciones. Mc Gyaw Hill.

México 2008 o Lipka, T. Computaciones Gráficas y Mecánicas.

CFCSA. México 1995 o Kleiber-Karsten. Tratado de Física. Gustavo Gili, S.A,

España 1980 o Fuenlabrada, S. Aritmética y algebra. Mc Gyaw Hill.

México 2009

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