xv. integral definida - edu.xunta.gal ... para a partición p do intervalo ... teorema do valor...
TRANSCRIPT
XV / 1
XV. INTEGRAL DEFINIDA
1.- Integral definida: sumas superiores e inferiores
A orixe do cálculo integral remóntase á época de Arquímedes (Grecia, 287-212 a.C.), que expón
o método para calcular a área determinada por un segmento de parábola.
Baseábase en ir aproximando a área baixo unha curva pola de rexións poligonais ao
aumentar o número de lados. Este método foi posteriormente formalizado matematicamente por
Riemann (Georg Friedrich Berhnard R., matemático alemán, 1826-1866) para introducir o concepto de
integral definida de calquera función.
Aínda que ligada ao cálculo de áreas, compre sinalar que a integral definida non é unha área,
senón un número real asociado a unha función que pode interpretarse como a medida dunha certa
superficie, sempre que definamos o que se entende por área.
Unha partición, P, dun intervalo cerrado [a,b] é un conxunto de puntos do intervalo,
n
tttP ,...,,10
tales que bttta n ...10 . Chámase diámetro (ou norma) da partición a maior
das diferenzas iii ttt 1 para i=1, 2, ..., n.
Dise que unha partición Q de [a,b] é mais fina que outra partición P de [a, b], se todo punto de P
pertence a Q, é dicir, Q ten máis puntos que P. Represéntase por QP
Sexa )(xfy unha función continua e positiva en [a,b] e sexan
nittxxfM
nittxxfm
iii
iii
,...,2,1,,),(Max
,...,2,1,,),(min
1
1
(existen polo teorema de Weierstrass)
Chamamos suma inferior de f(x) para a partición P do intervalo [a,b] á suma:
n
i
n
iiiiiinnn tmttmttmttmttmPfs
1 111122011 .).().(...).().(),(
Chamamos suma superior de f(x) para a partición P do intervalo [a,b] á suma:
n
i
n
iiiiiinnn tMttMttMttMttMPfS
1 111122011 .).().(...).().(),(
Xeometricamente, as sumas inferior e superior miden a suma das áreas dos rectángulos que teñen
por base os intervalos ii tt ,1 da partición e por alturas, mi e Mi respectivamente.
XV / 2 Matemáticas II ANÁLISE
T Se )(xf é continua en ba, , para toda partición P do intervalo se verifica que
),(),( PfSPfs
T Se )(xf é continua en [a, b] e Q é unha partición do intervalo máis fina que outra partición P,
se verifica que ),(),(),(),( PfSQfSQfsPfs .
Xeometricamente este teorema di que as sumas inferiores aumentan e as superiores diminú-
en ao engadir puntos a unha partición, é dicir, ao pasar dunha partición a outra máis fina.
T Se P1, P2, ..., Pn, ... son particións dun intervalo, cada unha máis fina ca anterior e de maneira
que o diámetro da partición ( it ) tenda a cero, os mi e os Mi se aproximan e se obtén
IPfSPfs it
it ii
),(lim),(lim00
que representa a área do recinto, trapecio mixtilíneo,
determinado pola gráfica da función )(xf , o eixe OX e as rectas x=a e x=b.
2.- Integral definida nun intervalo cerrado; interpretación xeométrica
A idea intuitiva que permitiunos obter a área dun trapecio mixtilíneo xeneralízase e permite definir
o concepto de integral definida dunha función nun intervalo. Agora non se esixirá que a función tome
soamente valores positivos.
Se a función )(xf é continua en ba, pero non necesariamente positiva en dito intervalo,
podemos definir do mesmo modo ao caso anterior as sumas superiores e inferiores, pero agora estas sumas
non representan en xeral áreas, xa que a función pode tomar tamén valores negativos en certos
subintervalos.
T Se )(xf é continua en ba, e ademais
a) P1, P2, ..., Pn, ... son particións de ba, cada unha máis fina ca anterior
b) 0it cando n
entón IPfSPfs nn
nn
),(lim),(lim (1)
Este número real I, límite común, recibe o nome de integral definida da función )(xf en ba, , e
se designa por b
adxxf )(
Os números a e b chámanse límites inferior e superior de integración, respectivamente, e a
función f recibe o nome de integrando.
Unha función, sexa ou non continua, na que se verifique a relación (1) dise que é integrable.
INTEGRAL DEFINIDA Matemáticas II XV / 3
O cálculo do valor máximo ou mínimo en cada un dos subintervalos non sempre é fácil, por iso
elixiremos, na práctica, o valor que toma a función f nun punto calquera do interior de cada intervalo.
Se ci é un número real calquera do intervalo [ti-1,ti], verifícase que
)()()(21)( niiiiiin f,PStMΔtcftmf,Ps,...,n,ii
Mi
cfi
m e de aquí,
i
b
a
n
i
in
tcfdxxf
1
)(lim)(
Esta teoría da integral definida así desenvolvida está deseñada para funcións continuas nun
intervalo cerrado xa que neste caso se pode garantir a existencia do máximo e do mínimo en cada
subintervalo da partición. Existen, sen embargo, outras funcións non continuas que tamén son integrables
nun intervalo.
3.- Propiedades da integral definida
Como consecuencia de considerar os puntos (x, f(x)) nos distintos intervalos en que se divide
ba, e os signos das bases e das alturas dos rectángulos, se poden deducir as seguintes propiedades:
1) O signo do valor da integral definida depende dos valores que tome a función no intervalo
cerrado ba,
2) b
a
a
bdxxfdxxf )()( e, en consecuencia,
a
adxxf 0)(
3) Se bac , , b
a
c
a
b
cdxxfdxxfdxxf )()()( (aditividade)
4) Linearidade da integración, para dúas funcións f, g definidas en ba, :
b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgf )()())((
b
a
b
adxxfkdxxkf )(.))((
5) Se )()( xgxf entón b
a
b
adxxgdxxf )()(
6) b
a
b
adxxfdxxf )()(
Exercicio:
Descompoñer a integral 3
221 dxxx
XV / 4 Matemáticas II ANÁLISE
4.- Teorema do valor medio do cálculo integral
T Se f é unha función continua no intervalo ba, , existe un c de dito intervalo para o que se
verifica que b
aabcfdxxf )).(()(
En efecto, por ser f continua en ba, alcanzará o seu máximo M e o seu mínimo m no intervalo
ba, , e considerando a partición baP , ,
b
a
b
a
b
adxMdxxfdxmbaxMxfm )(,,)(
b
a
b
aMdxxf
abmabMdxxfabm )(
1)()()( 1
Como f é continua en ba, toma tódolos valores comprendidos entre m e M, logo existirá un
bac , tal que
b
adxxf
abcf )(
1)(
Xeometricamente este teorema significa que a área do
recinto limitado pola curva )(xfy , o eixe de abscisas e as
rectas x=a e x=b é igual a área dun rectángulo de base b-a e
unha altura que está comprendida entre m e M, correspondente
á ordenada do punto de abscisa x=c.
5.- Teorema fundamental do cálculo integral
T Se f é continua en ba, , a función x
adttfxF )()( , chamada función integral, é derivable
en ba, e baxxfxF ,),()(' , é dicir F é unha función primitiva de f.
hxxccf
h
xhxcfdttf
h
fffh
dttfdttfhh
xFhxF
hx
x
x
a
hx
x
x
a
x
a
hx
a
,),()()(
)(1
1)()(
1)()(
Tomando límites )()(lim)(lim)()(
lim)('00
xfcfcfh
xFhxFxF
xchh
Xeometricamente F(x) representa a área do recinto limitado por )(tfy , o eixe t e as rectas t=a
e t=x
INTEGRAL DEFINIDA Matemáticas II XV / 5
6.- Regra de Barrow (Isaac B., matemático e teólogo inglés, 1630-1677)
R Se f é unha función continua en ba, e G é unha primitiva de f en ba, , entón
)()()( aGbGdxxfb
a
En efecto, posto que a función integral F é primitiva de f, ao ser F e G dúas primitivas de f nun
intervalo, existe un número real C tal que CxGxF )()(
)()()()()()()(
)(0)(,
)()(,aGbGbFaGbGaFbF
CaGaFax
CbGbFbx
b
a
b
axGaGbGdxxf )()()()(
Exercicio:
Calcular as integrais definidas,
a) 4/3
2/
3
dxxsen b)
0
1
2 )1(ln dxx c) 3
3dxx
7.- Cálculo de áreas planas
Trátase de achar a área de recintos limitados polas gráficas de funcións. Convén representar,
sempre que sexa factible, o recinto correspondente.
a) Se f é continua nun intervalo cerrado ba, , a área determinada pola gráfica da función, o eixe OX e
as rectas x=a, x=b será:
0)( xf
b
adxxf )(
0)( xf
b
a
b
a
b
adxxfdxxfdxxf )()())((
f(x) se anula e cambia de signo en bac ,
c
a
b
c
c
a
b
cdxxfdxxfdxxfdxxf )()()()(
XV / 6 Matemáticas II ANÁLISE
b) Se f e g son continuas en ba, , a área do recinto limitado polas gráficas de ambas funcións e as
rectas x=a e x=b, pode ser:
)()( xfxg
Se sumamos a cada unha das funcións f e g unha
constante k>0 de tal maneira que as dúas gráficas se
despracen verticalmente cara arriba ata colocarse por encima
do eixe de abscisas, é evidente que as rexións R1 e R2 son
equivalentes e polo tanto as súas áreas.
b
a
b
adxxkgdxxkf ))(()(
b
a
b
adxxgfdxxkgkf ))(()()()(
f e g cambian a relación de monotonía en bac , :
b
d
d
c
c
adxxfgdxxgfdxxfg ))(())(()()(
Exercicios:
1. Área da elipse 12
2
2
2
b
y
a
x
2. Calcular a área delimitada por xy sen , o eixe OX e as rectas 2,0 xx
3. Área da rexión determinada por 02e02 22 yxxy
Integrais impropias
Se denominan integrais impropias ás integrais definidas b
adxxf )( tales que:
1) Os límites de integración non son finitos. É dicir: a e/ou b en cuxo caso chá-
manse integrais impropias de primeira especie.
2) A función a integrar )(xf non está acotada en [a, b] en cuxo caso chámanse integrais im-
propias de segunda especie (non serán obxecto de estudo neste curso).
Se ocurre que algún límite de integración non é finito, definimos:
m
amadxxfdxxf )(lim)(
m
mnn
m
nnm
dxxfdxxfdxxfdxxf0
0
)(lim)(lim)(lim)(
b
nn
b
dxxfdxxf )(lim)(
Cando existe o límite de integración (é finito), diremos que a integral impropia é converxente.
Noutro caso, diremos que é diverxente
Exercicios:
a)
1 3
1dx
x b)
1
21
1dx
x c)
dxx x2
2 d)
0
1
1dx
x
INTEGRAL DEFINIDA Matemáticas II XV / 7
EXERCICIOS - A
1. Calcular:
1)
5
4 222
3
)9)(4)(1(dx
xxx
x 2)
3/
6/ cos.
xsenx
dx 3)
1
0
3 .dx
x
exx x
4)
1
0
22 . dxexx ax 5) 4/
0cos.
dxxsenx 6) e
edxx
/1ln
7)
0
63 3 11 xx
dx 8)
2/1
0 2
3
1dx
x
x 9)
3
2 4).(ln
1dx
xx
10) a
aadxx 1,41 11) dxxx 11.
2
0 12)
e
dxxx1
3 ln.
13)
2
dxsenxx 14)
3
0 2
3
1
2dx
x
x
2. Demostrar, utilizando a regra de L'Hôpital e o teorema do valor medio do cálculo integral que
1
0ln
lima
a xadx
e
x
3. A. Comprobar, na integral 2
0
2)1( dxx a verificación do teorema do valor medio do
cálculo integral.
B. Comprobar a verificación do teorema do valor medio do cálculo integral na función
1)( xxf no intervalo [0, 3].
C. Comprobar a verificación da tese do Teorema do Valor Medio do Cálculo Integral para
3
1)(
x
xxf no intervalo 3,2 e .
D. ¿É aplicable o Teorema do Valor Medio do Cálculo Integral á función 21
)(x
xxf
no intervalo [0, 1]? En caso afirmativo, comproba a súa verificación.
E. Comproba que se verifica o Teorema do Valor Medio do Cálculo Integral para a función
senxxf )( , definida no intervalo ,0 .
4. Achar o valor da suma 100321100...32 IIII sendo
2/
0cos
dxnxI n .
5. Sexa xxf cos)( en ),( , pídese:
a) ¿É aplicable o teorema do valor medio do cálculo diferencial?
b) ¿É aplicable a fórmula do valor medio do cálculo integral?
En caso afirmativo, achar o valor medio que aparece no teorema e na fórmula.
6. Achar o punto de [0, 2] no que
x
dtt
txf
0 21
1)( alcanza o seu valor mínimo.
7. Achar os máximos e mínimos en [2, 10] da función x
xdttxF1
1,ln)(
8. Dunha función integrable f definida en [-1, 1] sábese que en dito intervalo se ten 21)( xxf . Dos números -3, -2, -1, 2'5, 2'75, ¿cales poden ser os valores da integral
1
1)( dxxf ?
XV / 8 Matemáticas II ANÁLISE
9. Sexa a función
22
2)(
xxxf , onde o símbolo representa a raíz cadrada positiva.
1. Estuda a continuidade e a derivabilidade da función en 0x
2. Determina os intervalos de crecemento da función.
3. Calcula 3
3)(.3 dxxf
10. a) Se p e q son enteiros positivos, demostra que 1
0
1
0)1()1( dxxxdxxx pqqp
b) Calcula 1
0
102 )1( dxxx
11. Dada a función
xt dtetxF
0
2 2
)1()( , definida para todo número real,
a) Calcular )(' xF , estudar o crecemento de )(xF e achar as abscisas dos seus máximos e
mínimos relativos.
b) Calcular )('' xF , estudar a concavidade e convexidade de )(xF e achar as abscisas dos
seus puntos de inflexión.
12. Considera a función xxxf 2)(
a) Calcula os puntos nos que a gráfica corta ós eixes.
b) Calcula os extremos relativos, así como os intervalos de monotonía de f
c) Debuxa a gráfica de f
d) Calcula 2
1)( dxxf
13. Sexa )(xf unha función derivable en (0, 1) e continua en [0, 1], tal que 0)1( f e
1
01)('2 dxxfx . Utilizar a fórmula de integración por partes para achar
1
0)( dxxf
14. Sexa a función x
senxxf
cos2)(
. Calcular:
a) O seu dominio de definición. Os seus máximos e mínimos no intervalo 2,0
b) 3/
0)(
dxxf
15. Sexa a un número positivo menor que 4, calcular
a
adx
xxx 100254
123
16. A función
8se4
32
80se)( 2
xx
x
xaxxf é continua en ,0 .
a) Achar o valor de a que fai que esta afirmación sexa certa
b) Calcula 10
0)( dxxf
17. Sexa 2
1ln)(
x
dttxF , con 1x . Calcular )(' eF . ¿É )('' xF unha función constante?
Xustificar a resposta.
18. A) Enunciar o teorema fundamental do cálculo
B) Calcular a derivada da función x
dttxf0
2 )cos()(
C) Calcular a integral e
dxx1
2 )ln(
INTEGRAL DEFINIDA Matemáticas II XV / 9
EXERCICIOS – B (cálculo de áreas)
1. CON FUNCIÓNS POLINÓMICAS (en xeral)
1. Calcular a área limitada por xxxy 86 23 e o eixe OX
2. Achar a área limitada pola curva 13 23 xxy e a recta tanxente á mesma no punto
no que alcanza o seu máximo relativo. Debuxa o recinto.
3. Calcular a área da rexión limitada pola curva )1.()1( 2 xxy e as rectas
1,2,0 xxy .
4. Consideramos a función dcxbxaxxf 23)( . Sabemos que dita función ten un
máximo no punto (1, 4) e unha tanxente de ecuación xy 6 no punto (0, 0). Calcular os
valores que deben tomar os parámetros a, b, c e d.
¿Ten esta función algún punto de inflexión? Se a resposta é positiva, determinar a
tanxente á curva nese punto.
Debuxar a gráfica da función e calcular a área comprendida entre a gráfica debuxada e o
eixe OX situado no primeiro cuadrante.
5. Calcula a área da rexión limitada polas curvas 125 xxy e 15 xxy
6. a) Para cada valor 0c , calcular a área da rexión acoutada comprendida entre a gráfica
da función: 1)/1()( 24 xccxxf , o eixe OX e as rectas 1,0 xx .
b) Achar o valor de c para o que a área obtida no apartado a) sexa mínima.
2. CON PARÁBOLAS
1. Encontrar as ecuacións das parábolas que pasan pola orixe, teñen un punto crítico en
1x e a área que determinan co eixe de abscisas vale 4.
2. Achar a área encerrada pola parábola 24 yx e o eixe de ordenadas.
3. Calcula a área limitada polas curvas 2,6)2)(2/9( 2 yxxy .
4. Sexa a rexión D delimitada polas gráficas das funcións exxyxy ,/1,2 e o eixe
OX. Calcular a área de D.
5. Achar a área do recinto limitado polos eixes de coordenadas, a recta 2y e a curva de
ecuación 2 xy
6. Calcular a área do recinto limitado pola parábola 22 2 xy , o eixe de abscisas e a
tanxente á parábola paralela á recta 32 xy . Facer un debuxo do recinto descrito.
7. Debuxar o recinto limitado por 342 xxy , a súa recta tanxente no punto P(0, -3) e
a recta 3 xy . Calcular a súa área.
8. Representar graficamente o recinto plano limitado pola curva xxy 2 e a recta
perpendicular á súa tanxente no punto (0, 0). Calcular a súa área.
9. Achar a área comprendida entre 22 /4,5 xyxy debuxando dito recinto.
10. Calcular a área positiva (só a que está na parte positiva do eixe Y), determinada polas
gráficas das funcións: xxyxxy 2,6 22
11. Debuxar o recinto plano limitado pola gráfica da parábola xxy 42 , o eixe OX e as
rectas 1x e 1x . Calcular a área desa rexión.
12. Sexa 2xy . Calcular o valor de para que as tanxentes á curva nos puntos de
abscisa de valor absoluto un, pasan pola orixe de coordenadas. Achar a área do recinto
limitado pola curva e as dúas tanxentes.
13. A curva 22xy divide ao cadrado de vértices A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1) e D(0,1) en dous
recintos. Debuxa ditos recintos e acha a área de cada un deles
XV / 10 Matemáticas II ANÁLISE
14. Na figura aparece unha curva que representa a unha
función polinómica de grao 2. Os puntos de
intersección da curva co eixe OX son o (1, 0) e o
(3, 0). Ademais, a área limitada pola curva e os dous
eixes coordenados vale 3/4. Achar a expresión da
función polinómica.
15. Nun plano, o trazado dunha estrada descorre segundo a ecuación xxy )4/( 2 , sendo
un río o eixe OX. No terreo entre o río e a estrada hai un piñeiral. Se expresamos as
distancias en quilómetros, ¿canto vale o piñeiral se a hectárea se paga a 60 euros?
16. A área do recinto limitado polas curvas de ecuacións a
xy
2
e axy , con a>0, vale
3. Calcula o valor de a
17. Calcular o valor de a para que a rexión plana encerrada entre a parábola 2xy e a recta
ay sexa o dobre da área da rexión limitada por dita parábola e a recta 1y .
18. Sexa R o rectángulo do plano con vértices en V1=(0, 0), V2=(3, 0), V3=(3, 9) e V4=(0, 9).
Demostrar que para todo valor de A a curva de ecuación xAAxY )33(2 pasa polos
vértices V1 e V3 e divide ao rectángulo en dúas rexións.
Calcular a área de ditas rexións e encontrar o valor de A para que a rexión situada por
encima da curva teña un área dobre que a situada por debaixo da curva.
19. Calcular os valores de a para os que a área comprendida entre a gráfica da función 42 axy e o eixe OX é de 256/3 unidades de superficie.
20. Esboce a gráfica da parábola 4
72 xxy e ache a área da rexión do plano
determinada pola parábola e a recta que pasa polos puntos
4
1,0 e
0,
6
1
21. Definimos as funcións )1()( 2xaxf e a
xxg
1)(
2 , con 0a .
a) Comproba que a área do recinto limitado polas gráficas das funcións é: a
a
3
)1(4 2
b) Calcula o valor do parámetro a para que este área sexa mínima
22. Calcule a área do recinto limitado pola gráfica da función
134
1124)(
2 xxx
xxxf
se
se, o eixe de abscisas e a recta 2x
3. CON FUNCIÓNS VALOR ABSOLUTO
1. Calcula a área do recinto determinado pola gráfica da función 1 xxy e a recta 2y .
2. Calcula a área determinada polas gráficas das funcións 2,2 xyxy .
3. Calcular a área encerrada pola curva 11
2
x
xy , o eixe OX e as rectas
2
3,
2
1 xx .
4. Achar a área limitada por 12
1
xy , o eixe de abscisas e as ordenadas 3e1 xx
5. Calcula a área da rexión limitada polas funcións 322 xxy e 5y
INTEGRAL DEFINIDA Matemáticas II XV / 11
6. Sexan as funcións 3/: xxRRf , xxRRg /: , )(/: xsenxRRh
a) Estudar os intervalos de crecemento e decrecemento e os puntos de inflexión de )(xf .
b) Calcular a derivada de ))(( xhf
c) Obter a área do recinto limitado por f e g entre 0x e 1x .
7. Sexa RRf : a función definida por 1)( xxxf .
a) Esboza a gráfica de f
b) Comproba que a recta de ecuación xy é a recta tanxente á gráfica de f no punto de
abscisa 0x
c) Calcula a área do recinto limitado pola gráfica de f e a de dita tanxente.
8. Sexa a función 2)( 2 xxxf
a) Achar os intervalos de crecemento e decrecemento, os de concavidade e convexidade e
esbozar a súa gráfica.
b) Demostrar que non é derivable en 2x
c) Calcular a área da rexión limitada por dita gráfica, o eixe OX e as rectas 2x ,
0x
9. a) Exprese xxxf )( como unha función definida a trozos e debuxe a súa gráfica de
forma aproximada.
b) Calcule a integral definida 1
1dxxx
c) Calcule a área do recinto plano limitado pola gráfica de )(xf , o eixe OX, a recta
1x e a recta 1x
10. Sexa RRf : e RRg : as funcións definidas respectivamente por:2
)(x
xf e
21
1)(
xxg
a) Esboza as gráficas de f e g sobre os mesmos eixes e calcula os puntos de corte entre
ambas gráficas
b) Calcula a área do recinto limitado polas gráficas de f e g
4. CON FUNCIÓNS EXPONENCIAIS
1. Achar a área limitada pola curva 2
. xexy , eixe de abscisas, a ordenada en 0x e a
ordenada no máximo.
2. Calcular a área determinada pola curva x
x
e
exf
21)(
entre os puntos de abscisas
0x , 3lnx e o eixe OX.
3. Calcular a área da rexión limitada pola gráfica da función 12)( 2 xexxf , o eixe X e
as rectas 1,1 xx .
4. Debuxando as gráficas das funcións xexf )( , xexg 2)( , 2)( exh , calcula a área do
recinto limitado polas mesmas.
5. Achar a área encerrada entre a gráfica da función xxexf )( , o eixe de abscisas e a recta
1x .
6. Sexa a función x
ey2
2
a) Estúdese a súa monotonía, extremos relativos e asíntotas
b) Calcúlese a área da rexión plana comprendida entre a gráfica da función, as rectas
1x e 1x e a asíntota horizontal.
XV / 12 Matemáticas II ANÁLISE
7. Calcular a área encerrada entre a gráfica da función xexf )( e a corda á mesma que
une os puntos de abscisas 1x e 1x
8. Sábese que as dúas gráficas do debuxo corresponden á
función xex)x(f 2 e á súa función derivada 'f
a) Indica, razoando a resposta, cal é a gráfica de f e cal a
de 'f
b) Calcula a área da rexión sombreada
9. Sexa RRf : a función dada por xexf 2)( .
a) Xustifica que a recta de ecuación exy 2 é a recta tanxente á gráfica de f no punto
de abscisa 2/1x .
b) Calcula a área do recinto limitado pola gráfica de f, o eixe de ordenadas e a recta
tanxente do apartado anterior.
5. CON FUNCIÓNS LOGARÍTMICAS
1. Dada a función x
xxf
ln)( , calcular posibles máximos, mínimos e asíntotas
horizontais. Obter a área da rexión acoutada por f, o eixe OX e a recta ex .
2. Calcular a área do recinto plano delimitado por xxy ln.2 , eixe X, e a recta 2x .
3. Achar a área limitada polas curvas 2,ln yxy e os eixes coordenados.
4. Calcular a área encerrada polas curvas xeyxy ,ln e as rectas exx ,1 . ¿Existe un
punto m no intervalo e,1 tal que a área encerrada polas curvas anteriores e as rectas
mxx ,1 valga exactamente 2?
5. Achar a área da rexión do plano limitada pola curva de ecuación xy ln , a recta
tanxente á súa gráfica no punto de abscisa 1, e a recta 3x .
6. Calcular a área encerrada polas funcións xxf ln1)( e xxg /1)( e as rectas 1x
e 2x .
7. Calcular a área encerrada pola gráfica da función )ln()( xxxf para 21 x , a recta
2x e o eixe X.
6. CON FUNCIÓNS TRIGONOMÉTRICAS
1. Calcular as asíntotas oblicuas de arctgxxxf .)( . Determinar a área da rexión acoutada
do plano delimitada pola gráfica de f, o eixe OX e as rectas 1,0 xx .
2. Calcular a área do recinto plano delimitado por xy 2cos , OX, xx ,0 .
3. Obtéñase a área da rexión plana acoutada polas rectas xx ,0 , e as gráficas das
funcións xx exgsenxexf )(,.)( .
4. Determinar a área limitada polo eixe OX, a curva de ecuación xxseny cos32 2 e as
abscisas xx ,0 .
5. Calcular a área encerrada pola función
2/4/se,cos
4/0se,)(
xx
xsenxxf e o eixe OX.
6. Dadas as funcións
xxg
x
x
xxf
2cos)(,
111
111
111
1111
)(
achar a área encerrada
polas curvas )(),( xgyxfy .
INTEGRAL DEFINIDA Matemáticas II XV / 13
7. Sexa a función senxxxf )( . Determinar:
a) A área encerrada entre a gráfica e o eixe de abscisas entre as rectas 0x e x .
b) A área encerrada entre a tanxente en x e os dous eixes coordenados.
8. Dadas as funcións )()( xsenxf e xxxg 3)( , encontra os tres puntos nos que se
cortan e calcula a área da rexión do plano encerrada entre as gráficas de )(xf e )(xg
9. Considera a función senxxf 2
1)(
a) Debuxa o recinto acoutado comprendido entre a gráfica de )(xf , o eixe OX e as rectas
0x e 2
x
b) Calcula a área do recinto anterior
7. CON FUNCIÓNS RACIONAIS
1. Calcular a área encerrada pola curva 45
32
xx
y , o eixe de abscisas e as ordenadas
3,2 xx
2. Calcular a área que determina a curva 42
3
x
xy coa súa asíntota (oblicua) e coas
rectas 1,1 xx .
3. Calcular a área do recinto delimitado por xxx
y23
123
, OX, 4,3 xx .
4. Calcular a área do recinto plano delimitado pola gráfica da función 1
)(2
x
xxf , o eixe
X e a recta 2/1x .
5. Calcular a área encerrada pola función 1
1)(
2
3
x
xxf e os eixes X e Y
6. A gráfica de x
xxf
3)( , desde 1x ata 4x , é a seguinte:
a) Calcula a ecuación das rectas tanxentes a esta función nos
puntos de abscisa 1x e 3x
b) Debuxa o recinto limitado pola gráfica da función e as dúas
rectas tanxentes que calculaches.
c) Encontra os vértices deste recinto
d) Calcula a superficie do recinto anterior.
7. Calcule a área da rexión limitada pola curva 21
1
xy
e as rectas bxaxy ,,0 ,
onde a e b son as abscisas dos puntos de inflexión da curva. Faga un debuxo da rexión.
8. Sexa 2
1)(
xxxf
.
a) Determinar o seu dominio
b) Estudar se )(xf é unha función simétrica respecto á orixe de coordenadas
c) Obter a área encerrada por )(xf e o eixe OX entre 4/1x e 4/3x
8. CON OUTRAS CÓNICAS
1. Calcular a área limitada pola curva 21 xy , e as rectas
2
2,0,0 xxy
2. Achar a área do recinto limitado polas gráficas das funcións 1,,08 2 yxyxy
3. Calcula a área do recinto limitado pola elipse 99 22 yx con 2
3x e a recta
2
3x .
XV / 14 Matemáticas II ANÁLISE
4. Área limitada por x
y1
e a circunferencia centrada na orixe e de radio 2
17
5. Achar a área da rexión acoutada comprendida entre a gráfica da función 2)2(
1
xy e
as rectas 2/5,1 xy
9. Área limitada por xy 3 e as rectas 8,1 xy .
10. Achar a área do recinto limitado polo eixe OX e a gráfica da función 42)( xxxf .
Xustificar a resposta.
11. As gráficas das funcións xxhx
xgx
xf )(,8
)(,1
)(2
, delimitan unha rexión acoutada na
zona do plano onde x>0. Debuxar un esquema de dita rexión e calcular a área da mesma.
12. Dada a función xxxf 23.)( , determinar o seu campo de definición e zonas de
crecemento e decrecemento. Calcular a área da rexión acoutada delimitada pola gráfica de f e
o eixe OX.
13. a) Calcula a e b para que xbaxy /8 teña no punto (-2, -6) unha tanxente horizontal.
b) Determina a área da porción de plano limitada pola gráfica da función, o eixe OX e as
rectas 2,1 xx .
14. Acha a área do recinto sombreado que aparece na figura adxunta, sabendo
que a parte curva ten como ecuación x
xy
1
22
15. Considera a función definida por
0se
0se)(
2 xxbx
xsenxxf con Rb
a) Calcula o valor de b para que f sexa derivable en 0x
b) Para 2b e o intervalo 3,2 , determina os puntos de corte cos eixes, os extremos rela-
tivos (máximos e mínimos), a curvatura e debuxa a gráfica da función f.
c) Calcula a área comprendida entre a curva )(xseny e a recta 0y no intervalo 0,2
16. Calcula a área limitada pola curva 1 xxy , a recta 0y , e a recta 1x . Previamente,
fai un esquema do recinto do que se quere calcular a súa área.
17. Se considera, no primeiro cuadrante, a rexión R do plano limitada por: o eixe X, o eixe Y, a
recta 2x e a curva 24
1
xy
a) Calcular razoadamente a área da rexión R.
b) Encontrar o valor de para que a recta x divida a rexión R en dúas partes,
A(esquerda) e B (dereita), tales que a área de A sexa o dobre que a de B.
18. Dada a función xxxf 3)( , pídese:
a) Achar a ecuación da recta tanxente á gráfica de f no punto ))1(,1( f
b) Determinar os puntos de intersección da recta achada no apartado anterior coa gráfica de f.
c) Calcular a área da rexión acoutada que está comprendida entre a gráfica de f e a recta ob-
tida no apartado a).
19. Sexa a función 21
)(x
x
e
exf
a) Calcular un punto da súa gráfica tal que a recta tanxente en dito punto sexa paralela ao
eixe OX. Escribe a ecuación da recta tanxente
b) Calcular a área limitada pola gráfica da función, o eixe OX e as rectas 0x e 5lnx