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XIII Congreso Internacional de Investigación en Ciencias Administrativas

La administración frente a la globalización: Gobernabilidad y Desarrollo

XIII Congreso Internacional de Investigación en Cie ncias Administrativas

La administración frente a la globalización: Gobern abilidad y desarrollo

5, 6, 7 y 8 de mayo de 2009

La teoria de procesos estocasticos en el analisis d el vpn

Dra. Beatriz Mota Aragon Av. San Rafael Atlixco 186, col. Vicentina, México, d.f., c.p. 09340, deleg. Iztapalapa, Ed. H – 044, P.B. Tel. 58 04 47 73/47 75 Fax: 58 04 47 68 [email protected] [email protected]



LA TEORIA DE PROCESOS ESTOCASTICOS

EN EL ANALISIS DEL VPN

RESUMEN

La presente investigación sostiene que el valor presente neto (VPN) de un

proyecto de inversion es un proceso estocastico, es decir, las variables que

constituyen el VPN son aleatorias y no deterministas.

El trabajo consiste en aplicar los modelos de difusión Ornstein-Uhlenbeck,

Vasicek (1977) para la variable 1 (FNE) y el modelo de CIR (1985) para la

variable 2 (TREMA) que expliquen esta evolución aleatoria. Realizamos

simulación por medio de métodos de Monte Carlo.

La idea fundamental del presente trabajo es que el VPN de la empresa es

un proceso estocástico continuo. Lo anterior nos lleva a la noción de que FNE y

TREMA son procesos evolutivos que están oscilando alrededor de su media.



LA TEORIA DE PROCESOS ESTOCASTICOS

EN EL ANALISIS DEL VPN

I. Introduccion

La presente investigación sostiene que el valor presente neto (VPN) de un

proyecto de inversion es un proceso estocastico, es decir, las variables que

constituyen el VPN son aleatorias y no deterministas.

El trabajo consiste en aplicar los modelos de difusión Ornstein-Uhlenbeck,

Vasicek (1977) para la variable 1 (FNE) y el modelo de CIR (1985) para la

variable 2 (TREMA) que expliquen esta evolución aleatoria. Realizamos

simulación por medio de métodos de Monte Carlo.

La idea fundamental del presente trabajo es que el VPN de la empresa es

un proceso estocástico continuo. Lo anterior nos lleva a la noción de que FNE y

TREMA son procesos evolutivos que están oscilando alrededor de su media.

1. VPN es un proceso estocástico

La principal crítica al método tradicional de VPN es que produce una estimación simple,

y esto es una desventaja, ya que los eventos que afectan los pronósticos de los flujos

de efectivo son altamente inciertos; Myers (1987), Trigeorgis (1993), (Copeland y

Vladimir, 2001). Otras críticas están en Hayes y Garvin (1982) y Hayes y Abernathy

(1980) quienes reconocen que el criterio de VPN subestima las oportunidades de

inversión. Brennan y Schwartz (1985) argumentan que el DCF presenta severas

limitaciones porque los precios son volátiles. Paddock, Siegel y Smith (1988) enumeran

las desventajas de la técnica de VPN.

Por otro lado, Dixit y Pindick (1994) aseveran que:

“The simple NVP rule is not just wrong; it is often very wrong”, (Ver cap. 5).



Una de las debilidades fundamentales que se observan en la técnica tradicional de

VPN es que la estimación de los FNE depende de una tasa de rendimiento constante y

de flujos esperados estáticos. En diversos trabajos el método elegido para resolver el

problema de la estimación de los flujos de efectivo esperados del proyecto, consiste en

suponer que el proyecto genera rentas perpetuas en términos constantes idénticas a

las generadas en el último ejercicio, y la tasa de interés con la cual descuentan los

flujos de efectivo esperados sigue las reglas del CAMP. Copeland y Antikarov (2001),

Díaz (1999, 2000), kester (1984), Gil (1991) y Smith (2001), entre otros.

Motivados por la discusión planteada anteriormente afirmamos que VPN y sus

componentes no son constantes sino son procesos estocásticos.

Ahora bien, retomando el proceso evolutivo de FNE pensamos que no sólo es

importante el modelo para FNE, la noción de que FNE es un proceso evolutivo nos

obliga a darnos cuenta de que: claramente hay evolución en la capacidad de crear

riqueza en la empresa. Esta capacidad determina su vida útil, la cual se extiende por

medio de la innovación tecnológica, nuevos productos en nuevos mercados, etc.

En Finanzas estas decisiones se toman a través de manejar con certeza el paquete de

control de las variables de mando, marcando el rumbo por donde la empresa es guiada

por su consejo de administración.

FNE es el flujo de caja de la empresa y esta investigación aprovecha el modelo de

Vasicek con la finalidad de calcular los flujos netos de efectivo y el modelo CIR para

calcular la tasa de rendimiento del proyecto de inversión.

Por lo anterior, sabemos que siendo FNEt y rt procesos estocásticos, esto tiene una

clara implicación: VPNt es un proceso estocástico.

La empresa grande tiene flujos de caja y rendimientos que están oscilando alrededor

de su media, por lo que la expresión:



( )∑= +

=T

tt

t

tT

r

FNEVPN

0 1

Debe considerarse como la versión discreta del proceso continuo:

∫−=

Tttr

T tdWetFNEVPN0

)( )()(

Donde {W(t)} es un proceso de Wiener en el intervalo tε[0, T].

La interpretación de la formula:

∫−=

Tttr

T tdWetFNEVPN0

)( )()(

Es medir hoy (t=0) el valor presente neto al momento de vencimiento T, donde 0 ≤ T.

2. El proceso de Ornstein-Uhlenbeck

Este proceso es muy importante en teoria financiera porque posee propiedades

interesantes, una de las propiedades que nos va a interesar es la reversión en la media

(o sea, tiende a oscilar alrededor de E[Xt]), se define como el proceso Xt cuya

trayectoria esta guiada por dXt = -λXtdt+σdWt donde λ > 0 , (a veces se le define como

dXt = (m-λXt)dt+σdWt).

Este modelo se usa para representar activos que fluctúan alrededor de cero, ya

que si Xt toma valores negativos el factor -λ interviene haciendo dXt > 0 por lo que Xt

empieza a crecer. De modo similar si Xt toma valores positivos el factor -λ interviene

haciendo dXt < 0 por lo que Xt empieza a decrecer, esta es la idea de la reversión en la

media. Véase Neftci (2000) p. 271 y Gourieroux y Jasiak (2001) pp. 249 y 289.

El Proceso de Ornstein-Uhlenbeck tiene como su version discreta:



Xt(i+1) =Xt(i) -λXt(i)*(t(i+1)-t(i)) +σ*√(t(i+1)-t(i)) *Zi+1

Se toma λ = 10.84 σ = 0.96

4 Procesos de Ornstein-UhlenbeckLa línea negra es el promedio

interv alo de tiempo [0,T]-0.6

-0.4

-0.2

-0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

GRAFICA 1

Este modelo a diferencia de otros modelos, si es capaz de modelar a FNE

debido a que las oscilaciones presentan reversión en la media y estas oscilaciones que

muestra es una característica en FNE.

Por otra parte su línea de convergencia es hacia cero, lo cual no es esperado

para los FNE, por lo tanto una respuesta parcial seria el modelo no es capaz de

modelar FNE al 100 por ciento.

3. Los procesos particulares

Hacemos notar de la relación general:

dXt = µ(Xt,t)dt + σ(Xt,t) dWt ,

que si se toma

µ(Xt,t)= a(b – Xα t)

σ(Xt,t)= σ Xβ t

llegamos a la ecuación diferencial estocástica:



dXt = a(b – Xα t)dt + σ Xβ t dWt ,

Tenemos así un conjunto de distintos procesos de acuerdo con los valores de

alfa y beta, por lo que la investigacion teorica y empirica muestra el desarrollo de varios

modelos que son notorios por las propiedades que tienen.

Obtenemos el proceso Vasicek (1977). Este modelo de equilibrio de un factor

presenta reversión de la media a un valor constante. Mas tarde tomaremos el modelo

CIR (1985).

4. El modelo de Vasicek (1977)

En la literatura de teoria financiera encontramos un importante desarrollo en esta

area que incluye diversos estudios sobre modelos de estructura de tasas de interes

(evaluan instrumentos de renta fija). En esta linea de investigación, diversos modelos

en tiempo continuo han sido propuestos para estudiar la tasa de interes de corto plazo,

entre ellos encontramos los modelos de equilibrio y de no arbitrage. El primero de ellos

en su modalidad de un factor, ha sido ampliamente utilizado en la literatura empirica;

ver Vasicek (1977) y CIR (1985).

Por otro lado, en el segundo grupo de modelos, los ejemplos clasicos son Heath,

Jarrow y Morton (1992) y Ho-Lee (1986).

Aquí se asume que los FNE siguen un proceso estocastico a traves del modelo

de Vasicek (1977), el cual es conocido como un proceso de reversión en la media.

Este modelo tiene la siguiente forma:

dXt = a(b – Xt)dt + σ dWt ,

Donde a> 0, b> 0, σ> 0 son constantes positivas.



Este proceso por ser de la familia Ornstein-Uhlenbeck tiene reversión en la

media, más específicamente:

dXt es positivo si b > Xt por lo que dXt = a(b – Xt)dt es positivo asi Xt crece.

dXt es negativo si b < Xt por lo que dXt = a(b – Xt)dt es negativo asi Xt decrece.

El parámetro a es la velocidad de convergencia mientras que b es el nivel

adonde se toma el equilibrio.

En Vasicek el nivel de largo plazo, o sea b, es hacia donde el proceso se dirige

(llamemos a b la tasa de interés de largo plazo) y el parámetro a es la fuerza con la

que es empujado el proceso rt.

En este modelo es posible que Xt tome valores negativos.

Su versión discretizada es:

Xt(i+1)=Xt(i)+ a(b – Xt(i)) )*(t(i+1)-t(i)) +σ*√(t(i+1)-t(i)) *Zi+1

a, b, σ son constantes positivas . Se toman los valores para las simulaciones, a = 3.0,

b =0.5 , σ= 5.4

4 Procesos de VasicekLa línea negra es el promedio

interv alo de tiempo [0,T]-6

-4

-2

0

2

4

6

8



GRAFICA 2

Este modelo es capaz de modelar a FNE debido a que las oscilaciones que

muestra es una característica en FNE. Por otro lado, el hecho de que pueda tomar

valores negativos es un fuerte atractivo puesto que así puede modelar a FNE; otra

importante caracteristica es el nivel de convergencia de largo plazo que sigue el

parámetro b.

5. Proceso Cox - Ingersoll y Ross (1985)

Otro caso relevante para este trabajo es el proceso CIR el cual es utilizado para

modelar la tasa de interes (TREMA) y es generado, tomando:

α = 1 β = ½ µ(Xt,t) = a(b – Xt) y σ(Xt,t)= σ √Xt

Este modelo es uno de los primeros modelos de equilibrio de estructura de tasas

de interés en tiempo continuo de un factor que describe la estructura temporal de las

tasas. Asume que estas siguen un proceso estocástico en donde sus parámetros

(tendencia y volatilidad) son una función de sí misma pero son independientes del

tiempo, Fernández (1999).

Esta investigación soporta la hipótesis de CIR, esto significa que el

comportamiento de la tasa de interes de los proyectos de inversion no es constante (tal

como asume el analisis tradicional de VPN), el cual es aceptable en el mercado

accionario, específicamente en instrumentos de renta fija de corto plazo en una

economia estable; sin embargo la tasa de interes a mediano y largo plazo tiene un

comportamiento modelado por CIR.

Este modelo captura la dinamica de la tasa de interes de corto plazo con

reverion en la media y esta basado en la siguiente ecuación de difusión:

dXt = a(b-Xt)dt+σ√XtdWt



Donde a, b, σ son parámetros constantes.

“a” es la fuerza con la que es empujada la trayectoria de rt hacia el nivel de equilibrio

“b”.

El proceso CIR tiene la propiedad de que si r(0) > 0 entonces r(t) ≥ 0 toda t y si

además 2ab ≥ σ2 entonces r(t) > 0 toda t con probabilidad uno. Ver Glasserman (2004)

p. 120.

La característica más importante de este modelo es que en la estructura de

plazos genera tasas de interés positivas siempre, a diferencia del modelo propuesto por

Vasicek (1977) que puede generar tasas de interés negativas con probabilidad positiva

para algunos valores de los parámetros; esta es la razón principal que nos motiva a

elegir el modelo CIR y no el modelo de Vasicek para la estimación de la tasa interna de

rendimiento del VPN de un proyecto en este trabajo de investigación. Sin embargo,

para FNE resulta atractivo tener la posibilidad de modelar flujos de caja negativos.

Se toma a = 2.5 b =3.5 σ = 0.96

Usando la discretización se obtiene:

1111 )()))((()()( ++++ −+−−+= iiiiiiiii ZtttXdtttXbatXtX σ

4 Procesos de Cox Ingersol RossLa línea negra es el promedio

interv alo de tiempo [0,T]1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5



GRAFICA 3

Este proceso se usa para la tasa de rendimiento en la formula de VPN.

Como puede observarse los procesos que se utilizan son los modelos de

Vasicek y CIR porque son los que mejor se ajustan al análisis del VPN de un proyecto.

6. La propuesta del método general de trabajo

El valor presente neto es el proceso estocástico que describe la vida de la empresa, de

manera particular describe el valor de un proyecto:

∫−=

Tttr

T tdWetFNEVPN0

)( )()(

Donde FNEt es un proceso que evoluciona de acuerdo con la evolución de los

mercados (bajo el supuesto de que FNE representa el múltiplo: Volumen de acciones

por precio de la acción) y se representa por medio del siguiente proceso de difusión:

dFNEt = µ(Zt,FNEt,t)dt+σ(Zt,FNEt,t)dWt

El caso particular utilizado en este trabajo es un proceso con reversión en la media:

dXt = a(F(Zt) – Xt)dt + σ dWt

La dinámica del control Zt viene dada por un sistema de ecuaciones diferenciales

estocásticas:

dZ1t = a11Z1t+a12 Z2t+a13 Z3t+…+a1kZkt +σ1 dW1t



……………………………………………………

dZkt = ak1Z1t+ak2 Z2t+ak3 Z3t+…+akkZkt +σk dWkt



La tasa de rendimiento rt es un proceso de difusión del tipo CIR:

drt = (a-brt)dt+σ√rtdWt

7. Simulación del modelo

En la formulación propuesta:

FNEt+1 = β0+β1FNEt + α1 Z1t+α2 Z2t+α3Z3t+…+αkZkt + εt ,

εt ~ NIID(0,σ2)

tktkttttt ZZZZFNEFNE εααααββ +++++++=+ ...332211101

Recordemos el componente Vasicek:

ttt FNEFNE εββ ++=+ 101

Está capturado en β0, β1

Notemos que si hacemos una prueba de hipótesis y aceptamos H0: α1= α2= α3=… =

αk=0, se reduce al modelo de Vasicek, en caso de aceptar la nula quiere decir que las

variables utilizadas no ejercen control sobre FNE, no afectan la trayectoria de FNE.

El flujo esperado incorpora la idea básica de Vasicek al relacionar FNE(t+1) con FNE(t)

pero además da la posibilidad de una intervención por parte del consejo de

administración, por medio de las componentes Z1, Z2, Z3, …,Zk.

Estas variables tienen una dinámica propia, la cual se modela por medio de un sistema

VAR(p), el cual captura la interacción dinámica de las variables en el tiempo que el

consejo de administración esta considerando para su control. Esta es la importancia de

proponer el modelo VAR(1).

El modelo completo, para las aplicaciones es:



ttt

tktkttttt

tt

t

BZZ

ZZZZFNEFNE

tomamos

r

FNEVPN

σδ

εααααββ

+=

+++++++=

+=

−

+

∑

1

332211101 ...

:

)1(

En el caso de la tasa de rendimiento tomamos el modelo CIR discretizado:

rt -rt-1 = (a-brt) + σ√rt Vt

Este es el modelo en su formulación general, vamos a dar un simple ejemplo para

ilustrar su funcionamiento.

El consejo de administración de la empresa tiene Z1, Z2, Z3,…Zk variables exógenas de

injerencia bajo su mando; por medio de los cuales desea influir en su flujo de caja que

a su vez determina la capacidad para generar riqueza.

Supongamos que solo nos interesa tomar como componentes explicativas de FNE a:

los ingresos netos, al cambio en el capital de trabajo y a los intereses (Kaplan y

Ruback, 1995).

Específicamente tomamos:

Z1 a la variación en sus ingresos netos.

Z2 a la variación en su capital de trabajo.

Z3 a la variación en sus intereses netos.



El modelo a simular es:

+

=

+++++=

+=

−

∑

t

t

t

ttt

tt

BBB

BBB

BBB

errorZFNEFNE

tomamos

rend

FNEVPN

3

2

1

1-3t

1-2t

1-1t

333231

232221

131211

3t

2t

1t

342t31t210

Z

Z

Z

Z

Z

Z

*Z*Z*1

:

)1(

εεε

βββββ

En el análisis propuesto se necesita la historia de los datos de las series:

Ingresos, Capital de Trabajo, intereses, FNE y rendimiento. Estas 5 listas de datos son

indispensables.

En este trabajo se van a generar artificialmente las tres series: Ingresos, Capital de

Trabajo e intereses; vale la pena notar que sus variaciones son procesos estacionarios.

El rendimiento se genera por medio del modelo CIR y FNE se genera por medio del

modelo propuesto.

Y las ecuaciones a usar son:

Z1=d(ingresost) = 0.006+ 3.5*dw1t

Z2=d(CapTrabt) = 0.002+ 2.5*dw2t

Z3=d(interesest) = 0.001+ 1.1*dw3t

Para tasa de rendimiento se usa CIR discretizado:

rt = rt-1 (a-brt) + σ√rt Vt

Suponemos que se tiene la historia mensual de los últimos 10 años de las variables:

Ingresos, Capital de trabajo e Intereses y que sus gráficas son:



0

100

200

300

400

500

600

700

800

96 97 98 99 00 01 02 03 04 05

IngresosCap. de trabajoIntereses

GRAFICA 4

Por lo que sus variaciones son:



-8

-4

0

4

8

12

16

96 97 98 99 00 01 02 03 04 05cambio en los ingresos resp mes ant.cambio en cap. de trabajo resp. al mes ant.cambio en intereses resp. al mes ant.

GRAFICA 5

Como puede notarse las variaciones son variables I(0), que están oscilando alrededor

de un nivel constante.

8. Conclusiones

El planteamiento que se hace para VPN y su análisis en este trabajo es diferente al

enfoque tradicional del VPN, el cual asume que el futuro es predecible usando la

experiencia pasada. Como es claro, la incertidumbre de los FNE no está explícitamente

modelada, sólo descuenta los flujos esperados. Matemáticamente, esto es igual a

tomar el máximo de un conjunto de alternativas mutuamente exclusivas, tales que VPN

= max (t = 0) [0, E 0 V T - X] y comparar las alternativas para determinar su valor E 0 (V

T - X), y elegir la mejor entre ellas, (Copeland y Murrin, 2000). VPN es determinista.



El enfoque propuesto toma una perspectiva distinta. Aquí VPN es un proceso evolutivo

en donde la acción de (Z1t,Z2t, Z3t,…, Zkt ) afecta la posición de largo plazo, la propuesta

esta pensada para resaltar de manera explícita la importancia que corresponde a las

decisiones de la dirección de la empresa. Esta pensada como una herramienta de

planeación que permite administrar los flujos de caja de la empresa, así realizar con

mayor conocimiento proyectos de inversión y reducir sus niveles de riesgo al disminuir

el factor incertidumbre. Creemos que estas bondades podrían extenderse al mercado y

afianzar la teoría de finanzas corporativas.

9. Bibliografia

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